VYSOKÁ KOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra finance a ízení

1

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra finance a řízení

Využití optimalizačního modelu dopravního problému při pláno vání ro zvozu výrobků Bakalářská práce

Autor: Markéta Heřmanová Vedoucí práce: Ing. Martina Kuncová, Ph.D. Jihlava 2012 2

Prohlašuji, že předložená bakalářská práce je původní a zpracoval/a jsem ji samostatně. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná, že jsem v práci neporušil/a autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů, v platném znění, dále též „AZ“). Souhlasím s umístěním bakalářské práce v knihovně VŠPJ a s jejím užitím k výuce nebo k vlastní vnitřní potřebě VŠPJ . Byl/a jsem seznámen/a s tím, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje AZ, zejména § 60 (školní dílo). Beru na vědomí, že VŠPJ má právo na uzavření licenční smlouvy o užití mé bakalářské práce a prohlašuji, že s o u h l a s í m s případným užitím mé bakalářské práce (prodej, zapůjčení apod.). Jsem si vědom/a toho, že užít své bakalářské práce či poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem VŠPJ, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, vynaložených vysokou školou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše), z výdělku dosaženého v souvislosti s užitím díla či poskytnutím licence. V Jihlavě dne ................................................... Podpis

3

Poděkování: Ráda bych poděkovala Ing. Martině Kuncové, Ph.D. za vedení mé bakalářské práce, za ochotu, příjemnou spolupráci a vyčerpávající zodpovídání všech mých dotazů.

4

Abstrakt Název práce: Využití optimalizačního modelu dopravního problému při plánování rozvozu výrobků Autor:

Markéta Heřmanová

Obor:

Finance a řízení

Práce se zabývá optimalizací rozvozu výrobků. Cílem práce je vytvoření optimalizačního modelu rozvozu zboží pro vybranou firmu tak, aby z dlouhodobého pohledu došlo ke snížení nákladů firmy. Teoretická část přináší objasnění pojmů operační výzkum a jeho základní kategorie. Popisuje základní typy lineárního programování a dále pak distribuční úlohy. Pozornost je věnována postupu řešení optimalizačních metod a na závěr základním informacím o teorii grafů. Praktická část přenáší danou problematiku do oblasti praxe. Představuje vybranou firmu, popisuje aplikaci optimalizačních metod dopravního modelu, navrhuje různé varianty rozvozu. Výsledky jsou zhodnoceny a porovnány se současnou strategií firmy. Klíčová slova Operační výzkum, lineární programování, optimální cesta, Herbia spol., s r. o.

Abstract Titel der Bachelorarbeit:

Nutzung des optimalisierten Verkehrsmodells bei der Planung der Warenlieferung

Autor:

Markéta Heřmanová

Fachbereich:

Finanzen und Leitung

Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit der Optimalisierung der Warenlieferungen. Das Ziel der Arbeit ist, so ein optimiertes Lieferungsmodell für eine konkrete Firma zu erstellen, um ihre Kosten langfristig zu erniedrigen. In dem theoretischen Teil der Arbeit werden der Begriff Operationsforschung und seine grundlegenden Kategorien ausgelegt. Man beschreibt die einzelnen Typen des linearen Programmierens und darauffolgend auch die einzelnen Distributionsaufgaben. Die Aufmerksamkeit wird dem Verfahren bei der Lösung der Optimierungsmethoden, gewidmet. Den Abschluss des theoretischen Teiles bilden die wichtigsten Informationen über die Graphiktheorie. Der praktische Teil zeigt die Problematik am Beispiel einer konkreten Firma. Man stellt die Firma vor, beschreibt die applizierten Optimierungsmethoden des Verkehrssystems und schlägt unterschiedliche Varianten eines

5

neuen Warenlieferungsmodells vor.

Zuletzt werden die Ergebnisse dieser Modelle

ausgewertet und mit der gegenwärtigen Firmenstrategie verglichen. Schlüsselwörter Operationsforschung, lineares Programmieren, optimaler Weg, Herbia spol. s.r.o (Herbia spol., GmbH)

6

Obsah 1

Úvod ...............................................................................................................................9

2

Upotřebení operačního výzkumu v řízení podniku ......................................................... 10

3

Operační výzkum .......................................................................................................... 11

4

3.1

Nástin historického vývoje ..................................................................................... 11

3.2

Rozdělení problémů operačního výzkumu .............................................................. 12

Lineární programování .................................................................................................. 15 4.1

Základní typy úloh lineárního programování .......................................................... 15

5

Průběh řešení optimalizačního problému ....................................................................... 18

6

Distribuční úlohy lineárního programování.................................................................... 22

7

8

9

6.1

Dopravní problém .................................................................................................. 22

6.2

Obecný distribuční problém.................................................................................... 23

6.3

Přiřazovací problém ............................................................................................... 24

6.4

Okružní dopravní problém ...................................................................................... 25

6.5

Další typy distribučních úloh .................................................................................. 26

6.6

Aplikace dopravních úloh ....................................................................................... 27

Teorie grafů ................................................................................................................... 28 7.1

Vlastnosti grafů ...................................................................................................... 28

7.2

Nejkratší cesta ........................................................................................................ 30

Herbia spol. s r. o. ......................................................................................................... 31 8.1

Dodavatelé organizace ............................................................................................ 32

8.2

Konkurenti organizace ............................................................................................ 33

8.3

Obrat ...................................................................................................................... 33

8.4

Zaměstnanci ........................................................................................................... 33

8.5

Poslání, vize a mise ................................................................................................ 34

8.6

Organizační dokumenty a formalizace v organizaci ................................................ 34

8.7

Chod firmy ............................................................................................................. 35

8.8

SWOT analýza ....................................................................................................... 35

8.9

Vlastní zkušenost.................................................................................................... 36

Aplikace optimalizačních metod .................................................................................... 39 9.1

Dosavadní výdaje ................................................................................................... 40

9.2

Rozvoz – analýza z hlediska nejkratší trasy ............................................................ 41

7

9.3

Rozvoz – analýza z hlediska nejrychlejší trasy........................................................ 47

9.4

Porovnání výsledků ................................................................................................ 50

9.5

Dosavadní náklady při sezónních výkyvech ............................................................ 51

9.6

Rozvoz – sezónní rozvoz z hlediska nejkratší trasy ................................................. 53

9.7

Rozvoz – sezónní rozvoz z hlediska nejrychlejší trasy ............................................ 56

9.8

Porovnání výsledků ................................................................................................ 58

10 Závěr ............................................................................................................................. 60 11 Seznam použité literatury .............................................................................................. 61 11.1

Knižní zdroje ...................................................................................................... 61

11.2

Internetové zdroje ............................................................................................... 61

8

1 Úvod Cílem práce je optimalizovat rozvoz výrobků pro vybranou firmu tak, aby z dlouhodobého pohledu došlo ke snížení nákladů této firmy. V práci budou využity optimalizační modely dopravního problému a budou navrženy různé varianty rozvozu. Dosažené výsledky budou zhodnoceny a porovnány se současnou strategií firmy. Práci bych mohla rozdělit do třech částí. V první se zabývám teorií, konkrétně začínám popsáním operačního výzkumu obecně, o jeho historickém vzniku, dále pak o základních kategoriích. Stejně tak popisuji lineární modelování, představuji jeho základní kategorie. Poté se věnují postupu řešení optimalizační úlohy. Další velkou skupinou úloh, kterou popisuji, jsou distribuční úlohy. Na závěr zmiňuji základní informace o teorii grafů, potřebných pro část praktickou. V další části představuji firmu, která je předmětem mého zkoumání. Jde o firmu, kde jsem trávila svou semestrální praxi. Jsou zde uvedeny všechny základní informace o podniku a také mé postřehy. Ve třetí části se dostávám k jádru problému. Je zde nadefinovaný konkrétní problém, který se v zápětí pokouším vyřešit. Jde o optimalizaci rozvozu výrobků stálým odběratelům. Naleznete zde náklady na rozvoz za současného stavu. Poté probíhá výpočet zlepšení, zavedením vlastní dopravy, řeším pomocí problému obchodního cestujícího, výsledky nalézám za pomoci počítačového softwaru, ty jsou poté ještě porovnávány s ručním výpočtem. Pokouším se namodelovat situaci, kdy by v průběhu roku mohlo dojít určitým změnám v požadavcích odběratelů a je nutný vytvořit další plán. Získané výsledky porovnávám se současným stavem a rozhoduji o doporučení či nedoporučení změn. Firma poté sama rozhodne o případných inovacích.

9

2 Upotřebení operačního výzkumu v řízení podniku V dnešní době není jednoduché prosadit se na trhu, všude se prodává všechno a za poměrně nízké ceny. Trh je nasycený a přijít s něčím novým a neotřelým je nepředstavitelně složité, velikou roli hraje také náhoda a štěstí. Získat zákazníka často znamená, odlákat ho již od jiného producenta. Stejně tak těžké je na trhu se udržet, firmy jsou pod neustálým tlakem z okolí a nemohou si dovolit stagnaci. Univerzálních rad, jak tyto potíže o trochu zmírnit, je mnoho, jsou popsány v mnoha odborných knihách a příručkách, umění pohybovat se v takovém prostředí je spíše dar. Zaujmout, přilákat, osvědčit se, poskytnout další služby, vše vyřídit rychle a bez potíží, pak už jen doufat, že je klient spokojený a vrátí se i příště. Jedním z klíčových slov jsou náklady, tato práce se kolem tohoto pojmu otáčí neustále. Úspěšná společnost se stále snaží snižovat veškeré možné náklady, aby tak i cena produktu byla co nejnižší a čistý zisk zůstal vysoký. Stále zlepšujeme, analyzujeme a porovnáváme, hledáme lepší varianty nebo jiné příležitosti, to vše jen proto, abychom byli o krok před naší konkurencí. Samozřejmě toto vše stojí a padá s kvalitou produktu a služeb, marketingem, personálním řízením, výzkumem, se všemi prvky firmy a i s jejím úzkým a širokým okolím. Já bych se však nyní soustředila spíše na náklady, jako na jednu podstatnou složku úspěchu či neúspěchu podniku. Tato práce se zabývá optimalizací, což je pro řízení nákladů nepostradatelnou metodou, jak náklady propočítávat, plánovat a případně upravovat. Samotná optimalizace je široký pojem zahrnující mnoho a mnoho odvětví a dokáže usnadnit rozhodování spojené nejen s náklady. Následující kapitoly se operačním výzkumem zabývají více do hloubky a představují širokou škálu jejich využitelnosti. Později také ukážu na konkrétním případu z reality, jak se ekonomické disciplíny prolínají s operačním výzkumem a jak vhodná interpretace výsledků a jejich kloudné použití napomůže jakémukoliv vedení společnosti lépe rozhodovat, tedy konkurovat svému okolí.

10

3 Operační výzkum Abychom správně pochopili problematiku, kterou se ve své práci zabývám, ráda bych začala širším popisem a postupně se přibližovala k přesnějšímu vymezení jednoho speciálního odvětví, které řeší rozhodovací problémy ve vybrané firmě, o které se podrobně zmíním později. Začneme tedy právě zde, u operačního výzkumu, který považuji za klíčové slovo společné pro všechny úlohy, u nichž se pokoušíme o nalezení nejlepší varianty řešení. Co operační výzkum vlastně je, by nám mohla přiblížit následující definice: „Operační výzkum je možné charakterizovat jako vědní disciplínu nebo spíše soubor relativně samostatných vědních disciplín, které jsou zaměřeny na analýzu různých typů rozhodovacích problémů“ (Lagová, Jablonský, 2004, str. 7). „Našim cílem je stanovit takovou úroveň provádění těchto operací nebo jejich vzájemný vztah tak, aby bylo zajištěno co možná nejlepší fungování celého systému“ (Lagová, Jablonský, 2004, str. 8). Musíme brát ovšem na zřetel, aby to nebylo příliš jednoduché, že řešený problém obsahuje tzv. omezující podmínky, tedy že jednotlivé zdroje nejsou nevyčerpatelné, že se musíme podřídit času, nákladům, lidským zdrojům či jiným operacím. Hledáme tedy nejlepší (maximalizace či minimalizace) řešení, které bude respektovat naše požadavky a omezení. Jen zřídka bychom se v běžném životě setkali s tím, že zadavateli úkolu nezáleží, jak bude zkoumaná činnost nákladná, nebo že bychom snad měli neomezené množství zdrojů.

3.1 Nástin historického vývoje Pro úplnost a komplexní seznámení bychom myslím neměli vynechat stručný nástin toho, jak tato vědní disciplína vznikala a jak se vyvíjela. Jan Fábry ve své publikaci Matematické modelování (2007) udává, že první náznaky vzniku matematického modelování jako samostatné vědní disciplíny můžeme sledovat dokonce již v 17. století, kdy anglický ekonom W. Petty zveřejnil svou odbornou studii „Political Arithmetic“ obsahující některé základní myšlenky ekonometrie. Jak dále udává, podobných náznaků budoucího vývoje přichází od té doby více a stále častěji. Můžeme zmínit např. předložení petrohradského paradoxu N. Bernoulliem v roce 1713 nebo první pokus o vytvoření makroekonomického modelu v tabulkovém znázornění francouzským ekonomem F. Quesnayem, který taktéž spadá do 18. století. Matematické modelování má velmi pestré spektrum použitelnosti, rozvíjí se mnoha směry a je hojně využíváno k ekonomickým teoriím. Nepřehlédnutelnou osobností je 11

beze sporu L. V. Kantorovič, který je považován za zakladatele lineárního programování, uvádí Fábry. Dále dochází k jasnému oddělení operačního výzkumu a ekonometrie. Ekonometrie řeší a měří vzájemné vztahy mezi různými veličinami, kdežto operační výzkum se zaměřuje na hledání nejlepšího fungování systému. Následující fakta byla čerpána z knih Lineární modely (Lagová M., Jablonský J., 2004) a Operační výzkum (J. Jablonský, 2002). První zmínky o operačním výzkumu samostatně zaznamenáváme ve 30. a 40. letech 20. století, ovšem, kdy vlastně vznikl operační programování, jako samostatná disciplína se nedá přesně datovat. Další větší rozmach přichází během 2. sv. války, kdy se poznatky získané v operačním výzkumu uplatňovaly při řešení strategických vojenských operací, a to především v USA a Velké Británii. Největší rozšíření operačního výzkumu proběhlo však až poté, v 50. letech 20. století, a to již v podobě, kterou známe dnes, pro řešení ekonomických rozhodovacích problémů ve snaze co nejrychlejšího poválečného rozvoje. Tato disciplína se stále vyvíjí a přizpůsobuje konkrétním praktickým studiím, navíc je ovlivňována i neustálým vývojem výpočetní techniky, ten umožňuje řešit stále složitější úkoly pomocí nejrůznějších softwarů. Nejzákladnější funkce dokáže dnes vyřešit běžný Excel, existují však speciální řešící programy, mezi nejznámější patří např. LINDO nebo LINGO, ve které bude řešena praktická úloha, to však již není předmětem této práce.

3.2 Rozdělení problémů operačního výzkumu Operační výzkum zkoumá rozhodovací problémy z mnoha odvětví a zahrnuje celou škálu různých druhů řešení. Řešené úlohy můžeme rozdělit do několika skupin, které mají společné prvky a podobný způsob řešení. Mezi nejznámější skupiny patří následující výčet se stručným popisem. Výčet byl sestaven za pomoci publikací M. Lagové (2004) a J. Jablonského (2002). · Matematické programování – řeší optimalizační úlohy, kdy se snažíme najít maximum nebo minimum účelové funkce, omezující podmínky jsou formulovány pomocí lineárních nebo nelineárních rovnic a nerovnic. Toto odvětví zahrnuje mnoho dalších podskupin, vyznačujících se společnými znaky. Jde o velmi širokou kapitolu a je poměrně těžké najít konkrétnější společné znaky, které by jí detailněji přiblížily. Já se však vybranými úlohami budu podrobněji zabývat v dalších částech této práce. 12

· Vícekriteriální rozhodování – tyto úlohy jsou speciální tím, že posuzují jednotlivé varianty zpravidla za pomoci více kritérií. Tato kritéria často stojí v opozici a je na nás a našich preferencích, pro které se rozhodneme, vícekriteriální rozhodování nám může takové dilema usnadnit. · Teorie grafů – v této technice řešení využíváme grafických znázornění, skládající se z tzv. uzlů a hran. Tyto grafy mohou ilustrovat reálnou síť dopravních komunikací, přívodů energie, vodních toků a mnoho dalších reálných situací. Pomocí výpočtů je poté možné nalézt nejkratší nebo nejméně nákladnou cestu, maximální propustnost, nejrychlejší spoj apod. Velice často se však tyto nákresy používají také při plánování projektů, kdy si můžeme všechny dílčí činnosti graficky znázornit a získat poměrně přesný časový odhad celého projektu, samozřejmě záleží na přesnosti odhadů doby trvání jednotlivých dílčích činností. Teorii grafů bych se také ráda věnovala více v samostatné kapitole a dále jí také aplikovala v části praktické. · Teorie zásob – toto odvětví řeší problémy týkající se skladování zásob. Nejčastěji usilujeme o minimalizaci nákladů spojených se skladováním. · Teorie hromadné obsluhy (teorie front) – řeší situace, kdy požadavky čekají na obslužní linky, kterých je omezené množství. Dochází tedy k tvoření front a teorie hromadné obsluhy se snaží zkrátit dobu čekání na minimum. V praxi se s úlohami tohoto typu setkáme v nejrůznějších obchodech, na výrobních linkách nebo například na křižovatkách, kde čekají automobily, až budou moci projet. · Markovovy rozhodovací procesy – zabývají se situacemi, kdy chceme znát pravděpodobnou podobu stavu systému v určitém okamžiku. Jde tedy o pravděpodobnostní výpočet budoucí podoby dynamického systému. · Simulace – v tomto případě nasimulujeme reálnou situaci pomocí počítačových programů a sledujeme, jak se systém vyvíjí ve zrychleném čase. Můžeme také 13

měnit některé parametry a sledovat, jak nám ovlivní výsledný produkt dané činnosti. Tyto experimenty umožňují rozhodovateli cvičně zkoušet různé varianty řešení v systému a volit optimální pro realitu. Simulace můžeme provádět pouze na výkonných počítačích za pomoci speciálních programů, které bývají finančně náročné. · Teorie her – toto odvětví řeší, jakou by měl subjekt zvolit strategii v určitém stádiu rozhodování. Za hru můžeme považovat toto odvětví z důvodu, že se zde často střetává několik rozhodovatelů, kteří volí různé postupy a na základě toho je vyhodnocena jejich úspěšnost, kterou je možné porovnávat a zjišťovat, který byl lepší. · Teorie obnovy – jak již název napovídá, půjde v tomto případě o obnovování. V úlohách tohoto typu hraje do jisté míry úlohu náhoda. My se tedy snažíme co nejpřesněji odhadnout životnost určité jednotky nebo souboru jednotek v závislosti na jejích vlastnostech a intenzitě, s jakou je používána. Budeme pak lépe připraveni na opravy nebo kompletní výměny, můžeme předvídat budoucí náklady.

14

4 Lineární programování Některé úlohy matematického programování můžeme řešit za pomoci lineárních rovnic či nerovnic, takových je široká škála a já považuji za nutné blíže je čtenáři představit. „ Lineární programování je disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů, ve kterých jde o určení intenzit realizace procesů, které probíhají nebo mohou probíhat v daném systému. Je při tom třeba respektovat všechny podmínky, které realizaci těchto procesů ovlivňují, a najít takové řešení, aby byl cíl rozhodování splněn co nejlépe.“ (J. Jablonský, 2002, str.19). Úlohy tohoto typu bývají často využívány v praxi a tvoří pomyslný základ, na kterém se demonstrují jednoduché principy rozhodovacích úkolům, a teprve později přistupujeme ke složitějším úlohám. Lineární programování je podmnožinou větší skupiny,

nazývající se

matematické programování,

sem spadá spolu

s lineárním

programováním také nelineární, vícekriteriální a cílové programování.

4.1 Základní typy úloh lineárního programování Lineární programování je široký pojem a neexistuje jeden univerzální způsob, jakým je možné úkol rozřešit. Problematika, jíž se zabývá, je natolik rozmanitá, není proto možné vytvořit jeden univerzální postup, jakým bychom se měli řídit. Je však možné nejtypičtější úlohy rozřadit do několika podskupin, které mají společné rysy a řešení je velmi podobné. Ráda bych tyto nejznámější typy představila v této podkapitole. Později se budu v samostatném celku věnovat jen jednomu druhu, a to distribučním úlohám. Pro komplexnější výčet a popis jsem opět použila publikace M.Lagové (2004) a J. Jablonského (2002). · Úlohy výrobního plánování V tomto okruhu se zaměřujeme především na to, složit výrobní sortiment tak, abychom dosáhli maximalizace zisku nebo minimalizace nákladů. Jsme omezeni podmínkami, především omezeným množstvím zdrojů, časem nebo jinými nákladovými položkami. Dále musíme vyhovět odběrateli a dodat mu takové množství, které požaduje. Jednoduše řečeno, snažíme se naplánovat produkci určitých výstupů tak, aby to pro nás bylo nejvýhodnější. · Úlohy finančního plánování Jak název opět napovídá, v tomto typu úloh jde o to, určit objem investic, které bychom rádi vložili do několika variant tak, abychom měli co největší 15

zisk při minimálním riziku. Množství peněž, které máme v plánu vkládat, můžeme podle libosti nebo podle strategie rozkládat, to vyjadřujeme v matematickém

modelu

pomocí

omezujících

podmínek.

Samotnými

proměnnými jsou zde objemy vkládané do investic. Omezením jsou pro nás prostředky, kterých nemáme neomezené množství, popřípadě jiná investiční pravidla a omezení. · Plánování reklamy Při plánování reklamy se pokoušíme, aby byla zaznamenána co největším množstvím diváků a to co nejvíce krát. Máme k dispozici mnoho médií, z kterých vybíráme. Pomocí proměnných se snažíme vypočítat počet opakování variant. Omezením jsou pro nás náklady, které můžeme maximálně investovat, dále nejrůznější preference a strategie. Rozkládáme tedy finance mezi různé varianty (časopisy, noviny, rádia, televizní reklamy, poutače…) v různých časech s ohledem na cílovou skupinu, kterou bychom rádi oslovily. · Úloha o dělení materiálu Zde se zabýváme tím, jakým způsobem bychom mohli rozdělit větší celek na menší části. Snažíme se to provést tak, aby byl co nejmenší odpad, abychom spotřebovali co nejméně materiálu, popřípadě aby bylo provedeno řezání co nejméně krát. Nařezané díly musí odpovídat samozřejmě takovému množství a požadavkům, které potřebujeme. Lineární programování dokáže vyřešit jednorozměrné dělení (trubky, fošny,…), ale i dvourozměrný materiál (desky, látka,…), zde je však řešení podstatně složitější. Problém by zde mohlo činit rozhodování, co budou vlastně proměnné, v tomto případě zvolíme za proměnné způsoby, jakým se dá materiál dělit. · Směšovací problém Pokud řešíme směšovací problém, pokoušíme se vytvořit směs, která bude mít požadované vlastnosti. Proměnné představují jednotlivé složky výsledné směsi a jejich ohodnocení odpovídá objemu, který byl použit. Mícháme jednotlivé složky a snažíme se, aby byly náklady co nejmenší a přitom směs měla vše co mít má v potřebném poměru.

16

· Nutriční problém Dá se říct, že nutriční problém je jednou ze speciálních variant směšovacího problému. V tomto případě se snažíme nejčastěji o sestavení jídelníčku tak, aby obsahoval všechny potřebné živiny a zároveň aby byly náklady nebo např. kalorie na co nejnižší hranici. Z jednotlivých druhů potravin skládáme celou denní dávku na základě vlastností, obsahu důležitých látek a osobních preferencí a chutí. · Rozvrhování pracovníků Díky lineárnímu řešení je možné efektivně vyřešit i to, kdy kdo půjde na jakou směnu tak, aby to bylo opět co nejvýhodnější, aby bylo zaplaceno co nejmíň a uděláno co nejvíc práce. Co nemůžeme opomenout je, že různí pracovníci mají různé kvalifikace, že existují různá pravidla na minimální a maximální omezující počet pracovníků na směně, a že některé stroje musí být obsluhovány neustále. · Distribuční úlohy Distribuční úlohy jsou další složitou a obsáhlou kapitolou. Společné mají to, že se většinou snažíme přiřadit dodávané množství produkce odběratelům. Pokoušíme se o to, aby náklady na dodávku byly co nejnižší a zároveň aby byl zákazník spokojený jak s požadovaným množstvím, tak i s časem, za který jsme schopni náklad dodat. Mezi distribuční úlohy patří typický dopravní problém, kontejnerový dopravní problém, obecný distribuční problém, přiřazovací problém, okružní problém, a úloha o pokrytí. Vybranými úlohami se budu podrobně zabývat samostatně v další kapitole.

17

5 Průběh řešení optimalizačního problému Obecně můžeme řešení optimalizačního problému rozdělit na několik fází, přičemž jedna plynule navazuje na druhou. Fáze se nedají přeskakovat nebo snad některé vypouštět, závěr z jedné je zásadní pro následující, a pokud dojde k chybě hned na začátku, ovlivní to zásadně celý výsledek. Tyto fáze jsou také podrobně popsány v publikaci Lagové a Jablonského (2004) nebo v jakékoliv jiné práci, zabývající se lineárním programováním. V praktické části budu postupovat podle následujících fází, ukážu jejich plynulou a logickou návaznost. Jedná se tedy o: · Rozpoznání problému a jeho definice – důležité je samotné uvědomění si, že něco neprobíhá tak, jak by mohlo a rozhodnutí, že dojde ke změně. To učiní zadavatel - majitel, správce či jiný pracovník na vedoucí pozici. Může se zdát, že jde o samozřejmost, často tomu však tak není a rozpoznat neefektivní fungování je dost komplikované, zvláště pokud jde o zajetou činnost, která probíhá stejným způsobem dlouhá léta bez připomínek a v domnění, že je vše v nejlepším pořádku. · Formulace ekonomického problému – jde o popis reálné situace ve zjednodušené formě, která obsahuje skutečně jen to nejpodstatnější. Nesmí být příliš osekaný, neodpovídal by totiž realitě, pokud by ignoroval některá zásadní fakta. Naopak, nesmí být ani příliš podrobný, nebylo by poté možné úlohu vyřešit za pomoci dostupné výpočetní techniky. Hledáme tedy pomyslnou vyváženost, nezacházet příliš do detailů a zároveň neopomenout nic zásadního. Ani tato fáze není jednoduchá a často je zapotřebí citu pro věc a intuitivní rozhodování. Tento popis zahrnuje cíl analýzy, popis procesů probíhajících v systému, popis činitelů ovlivňujících provádění procesů a popis vzájemných vztahů mezi procesy. Cílem analýzy bývá maximalizace či minimalizace, v případě maximalizace jde nejčastěji o zisk, v případě minimalizace se nejčastěji setkáme s náklady. Procesy, které v systému probíhají, ovlivňují cíl analýzy tak, že jim je přiřazena určitá maximální hodnota a omezují tak budoucí množinu řešení. Činitelé ovlivňují realizaci procesů.

18

· Formulace matematického modelu – jde pouze o jiný způsob vyjádření těch samých informací, které jsme formulovali už ve fázi předchozí. Je také strukturován stejným způsobem. Jednoduše řečeno, převedeme informace z ekonomického modelu do čísel ve vzájemném vztahu. Cíl analýzy je zde formulován jako účelová funkce, u které se snažíme nalézt jeden z extrémů. Proměnné mají podobu strukturních proměnných a jde o úroveň realizace jednotlivých procesů. Jednotlivá omezení jsou vyjádřeny pomocí rovnic či nerovnic. Omezují nás strukturní koeficienty, které popisují, jaký je vztah mezi činiteli a mezi procesy. Dále nás také omezují pravé strany, ty určují maximální možnou úroveň činitelů. Nesmíme také zapomenout na podmínky nezápornosti, bylo by nejspíš nemožné např. vyrobit záporné množství výrobku nebo třeba dokončit nějakou činnost v záporném čase. Matematické vyjádření je nezbytné, nebylo by jinak možné přejít do fáze řešení.

Matematické modely můžeme definovat z několika hledisek, a tedy můžeme vytvořit i určité skupiny, které mají pro jednotlivé typy specifické znaky. Modely můžeme mít tedy deterministické a stochastické. V případě deterministických modelů, jsou všechny informace jasné a předem dané, u stochastických modelů hraje důležitou roli pravděpodobnost, je určitou složkou, které vyjadřuje faktor náhody a nepředvídatelnosti. Další možnost dělení je na statické a dynamické. Dynamické modely jsou ovlivňovány faktorem času, naopak statické modely jsou v čase neměnné. Podle toho, jak veliké

systémy

zkoumáme,

dělíme

modely

na

mikroekonomické

a

makroekonomické. Mikroekonomické řeší spíše menší systémy v rámci jednoho podniku nebo určitého trhu výrobku. Makroekonomické modely se zaměřují na řešení problémů v rámci celých hospodářství. (Fábry J., 2007) · Řešení matematického modelu – jde o konkrétní zpracování navoleného problému. Úlohy bývají často dost rozsáhlé a hledání řešení může být dost zdlouhavé, pro řešení používáme nejrůznějším metod, mezi nejznámější patří např.

simplexová

metoda.

Simplexová

metoda

umožňuje

rychlejší

prohledávání základních přípustných řešení a tedy i snadnější nalezení řešení optimálního. Přípustné řešení je možné nadefinovat jako řešení, které sice vyhovuje všem podmínkám, ale nejde o řešení nejlepší, takových může mít 19

úloha několik. Základní přípustné řešení je už o něco užší pojem, představuje jen některé vybrané varianty, v grafickém znázornění představují krajní body přípustné množiny. Zato v případě optimálního řešení jde už řešení nejlepší, které zároveň splňuje všechny nutné podmínky. Pokud bychom si úlohu lineárního programování znázornili graficky, simplexová metoda se vlastně zabývá krajními body množiny řešení, přičemž ignoruje body uvnitř i vně množiny. S každým krokem, iterací, skáče z jednoho základního řešení k dalšímu, prohledává podezřelé body a efektivním způsobem nalézá řešení optimální. Základní věta lineárního programování říká, že optimální řešení musí být vždy i řešením základním. Pokud dojdeme k závěru, že úloha má více optimálních řešení, znamená to, že jich má nekonečně mnoho. Jak už bylo řečeno, může také dojít k tomu, že úkol nemá žádné optimální řešení. Ve většině případů se v praxi již dává přednost zpracování pomocí počítačových aplikací, je podstatně rychlejší a zvládá vyřešit i obsáhlé úlohy, které by ručním způsobem nebylo možné vypočítat. · Interpretace výsledků a následná verifikace – tato fáze zahrnuje nejen vysvětlení výsledných čísel a jejich převedení do praxe, ale jde především o kontrolu a ověření, že jsme všechny předešlé fáze udělali správně. Musíme správně interpretovat hodnotu strukturních a přídatných proměnných, hodnoty redukovaných cen a hodnoty stínových cen. Nalezením řešení nám strukturní proměnné říkají, jaké jsou hodnoty jednotlivých procesů, zjednodušeně řečeno, kolik čeho musí být, abychom dosáhli optimálního řešení. Přídatné proměnné souvisí s nerovnicemi ≤ a ≥, jsou do nerovnice uměle dodávány, aby došlo k jejímu vyrovnání. Interpretujeme-li přídatnou proměnnou, která byla přidána do nerovnice typu ≤, vyjadřuje nevyužitou kapacitu. Pokud chceme interpretovat proměnnou v nerovnici typu ≥, udává, o kolik převyšuje navržené řešení minimální požadavek.

Další interpretaci, kterou bychom neměli opomenout, je vysvětlení redukovaných cen. Ukazují nám, o kolik se zvýší např. zisk, pokud přidáme 20

jednotku výroby. Obvykle ukazují, jestli je produkce daného výrobku efektivní.

Stínové ceny poukazují na to, jak byla, popřípadě nebyla vyčerpána určitá kapacita, a jak může změna tohoto množství ovlivnit výsledek účelové funkce. Jde tedy o ocenění jedné jednotky pravé strany nerovnice. · Implementace – poslední fází je fáze realizační, kdy aplikujeme výstupy analýzy do reality. Fungování by se díky výše zmíněnému procesu mělo vylepšit, mělo by dojít ke snížení nákladů, zkrácení času, zvýšení produktivity, ušetření zdrojů apod. Ani tato fáze by neměla být opomíjena, právě zde se totiž řeší to nejpodstatnější, porovnávají se náklady a výnosy a dochází k velkému rozhodování, zda by mělo dojít ke změnám, zda se vyplatí případná investice.

21

6 Distribuční úlohy lineárního programování O distribučních úlohách jsem se v mé práci již zmiňovala, nyní bych se jim chtěla věnovat podrobněji, tvoří totiž velmi početnou skupinu, která řeší problémy, se kterými se setkáváme často v běžném životě. Navíc jednou z úloh patřící mezi distribuční úlohy je i okružní dopravní problém, který hraje v mé práci významnou roli. Bude totiž klíčový v řešení praktické úlohy. Úlohy tohoto typ jsou specifické především díky svému specifickému zápisu matematického modelu a způsobu, jakým nalézáme řešení. Obecně řečeno, v distribučních úlohách jde o to, naplánovat rozvoz produkce s co nejnižšími náklady a tak, aby byla uspokojena poptávka odběratele. Postupně zmíním některé úlohy, se kterými se můžeme setkat, a detailněji je popíšu.

6.1 Dopravní problém Pokud řešíme dopravní problém, pokoušíme se zorganizovat rozvoz tak, aby byly náklady minimální. Máme několik míst, ze kterých rozvážíme produkty a několik míst, které naše produkty odebírají. Naším úkolem je zjistit, kolik odkud a kam povezeme. Musíme brát také v úvahu to, že máme více zboží, než je požadováno popřípadě odběratel může požadovat více, než můžeme nabídnout. V takovém případě jde o nevyrovnaný dopravní problém. Spíše ojedinělá situace je, když produkujeme přesně tolik, kolik je požadováno, v tomto případě můžeme hovořit o vyrovnaném dopravním problému. Nevyrovnaný problém můžeme poměrně snadno vyrovnat, stačí pouze dodat fiktivního odběratele (pokud máme více produkce než požadavků) nebo fiktivní zdroj (v případě, že je poptáváno více než produkováno). (J. Jablonský, 2002) Při řešení dopravního problému sestavujeme speciální tabulku a postupně se dostáváme od přípustného řešení k optimálnímu. Máme několik možností, jak postupovat při hledání přípustného řešení, můžeme použít např. metodu severozápadního rohu, metodu maticového minima a metodu VAM. Liší se pouze tím, jak si vybrat základní proměnnou v postupných krocích. V dalších krocích postupujeme postupně k řešení optimálnímu pomocí tzv. MODI metody (J. Jablonský, 2002), nebo ponecháme řešení na softwaru. Pro formulaci matematického modelu je nezbytné znát značení, kterého se v dopravním problému běžně užívá. Máme nadefinovány dodavatele

,

, …

. K dispozici tedy

máme 1,2, … m zdrojů. Tito dodavatelé mají jen omezené kapacity, to vyjadřujeme pomocí symbolů

,

, …

. Odběratele značíme 22

,

, …

, máme tedy n cílových míst.

Odběratelé požadují, aby jim bylo dodáno množství, které značíme

,

, …

. Mezi

místem odkud dovážíme a místem kam náklad vezeme, existuje určité ohodnocení, může to být buď kilometrová vzdálenost, nebo třeba vypočítané náklady a trasu, tuto skutečnost , kdy i=1,2, …, m a j=1,2, …, n. Nyní už nám nic nebrání,

vyjadřujeme pomocí proměnné

představit matematický model dopravního problému, jehož účelovou funkci musíme minimalizovat

3.1 Podmínky

3.2

3.3

3.4 Takto naformulovaný model obsahuje m.n proměnných a m+n vlastních omezení. Tato formulace je doslovně převzatá ze skript Lineární modely ( Jablonský, Lagová, 2004, str. 66, 67).

6.2 Obecný distribuční problém Specifikem obecného distribučního problému je, že údaje potřebné k řešení nejsou uvedeny ve stejných jednotkách. Proto musí být takový model doplněn o pomocné převodové koeficienty. (Lagová M., Jablonský J., 2004) Pro formulaci matematického modelu je opět nezbytné naformulovat značení. Podobně jako doposud počet zdrojů značíme m, počet požadavků n. Kapacity zdrojů označíme požadavky odběratelů

a

. Přepočítací koeficienty mezi i-tým zdrojem a j-tým požadavkem

definujeme pomocí znaku

. Cenové koeficienty značíme

Obecný zápis vypadá tedy takto

23

a proměnné modelu

.

3.11 Podmínky

3.12

3.13

3.14 Obecný zápis je opět získán z odborné literatury. Tentokrát jde o knihu Operační výzkum (Jablonský J., 2002, str. 107).

6.3 Přiřazovací problém V přiřazovacím problému k sobě hledáme dvojice jednotek tak, aby to přineslo co největší efekt. K dispozici máme jednotky, které jsou rozděleny do dvou skupin, z každé skupiny hledáme tedy jednotce na jedné straně jednotky ze strany druhé. Pokud se počet prvků z jedné skupiny nerovná počtu prvku ze skupiny druhé, doplníme úlohu o fiktivní prvky. Proměnné v tomto modelu nabývají pouze 2 možných hodnot, 0 nebo 1. Hodnotu 1 získáme, jestliže dojde ke spárování dané dvojice, pokud mezi právě touto kombinací ke spojení nedojde, nabývá hodnoty 0. Takové proměnné označujeme za bivalentní. Pokud tedy data zaznamenáme do tabulky, budou řádkové a sloupcové součty rovny 1. Pro řešení úloh tohoto typu existuje speciálně nadefinovaný způsob řešení, jde o tzv. maďarskou metodu. (Lagová M., Jablonský J., 2004) Abych mohla nadefinovat matematický model, určíme opět jednotné značení. Jednotky z první skupiny označíme jako

a jednotky ze skupiny druhé značíme

. Cenové ohodnocení mezi každou dvojicí vyjádříme pomocí koeficientu Matematický model, jehož účelovou funkci maximalizujeme nebo minimalizujeme, tedy vypadá následovně

24

3.15 Podmínky

3.16

3.17

3.18 Takto naformulovaný obecný tvar byl opět získán z publikace Operační výzkum (Jablonský J., 2002, str. 109).

6.4 Okružní dopravní problém Okružní dopravní problém známe také pod názvem úloha obchodního cestujícího. Specifikem tohoto typu úloh je to, že vycházíme z jednoho místa, musíme projít všechna další a to právě jednou a cestu musíme ukončit zase v místě výchozím. Našim úkolem je sestavit cestu tak, aby byli náklady s ní spojené co nejnižší. Úloha tohoto typu hraje velikou roli nejen v mé práci, ale také v běžném životě, kde se masivně využívá k plánování rozvozu. Úlohy tohoto typu mají mnoho společného s přiřazovacím problémem. Stejně jako u přiřazování i zde máme nadefinované jen dvě hodnoty, 1 a 0. Pokud hodnota udává mezi dvěma místy 1, znamená to, že zde povede cesta. Pokud nám vychází hodnota 0, cesta mezi dvěma uzly nepovede. Pokud tedy data opět seřadíme do tabulky, sloupcové i řádkové součty dávají jedničku. (Lagová M., Jablonský J., 2004) Místa, která musíme postupně všechna navštívit, ovšem v libovolném pořadí, značíme Bivalentní proměnné označujeme

. Abychom zamezili vzniku dílčích

okruhů, potřebujeme ještě další podmínky (takzvané protismykové podmínky) a tedy i další proměnné (pro každé výchozí resp. Cílové místo), které mohou nabývat libovolných hodnot a značíme jí δi (resp.δj). Matematický model, jehož účelovou funkci minimalizujeme, zaznamenáme tedy takto 25

3.20 Podmínky

3.21

3.22

3.23

3.24 I tato formulace byla získána z publikace Operační výzkum (Jablonský J., 2002, str. 113). Další možný postup, jak najít řešení takové úlohy, je metoda nejbližšího souseda. Jde o metodu heuristickou, nalézáme pomocí ní přípustné řešení, nemusí být nicméně nejlepší. Výhodou takového řešení je, že je poměrně jednoduchá na výpočet. Postupujeme tak, že zvolíme jedno z měst jako výchozí, nalezneme jeho nejbližšího souseda, přemístíme se tak do dalšího města a tomu opět hledáme dalšího nejbližšího souseda, nevracíme se ovšem nikdy do města, kde jsme již byli. Jakmile se dostaneme do města posledního, vrátíme se na start a jeden okruh je vytvořen. Stejným způsobem zvolíme další město a opět vytvoříme okruh stejným způsobem. Jakmile máme hotové všechny možné okruhy, zvolíme ten nejlepší (nejkratší, nejrychlejší,…) a dostáváme řešení úlohy.

6.5 Další typy distribučních úloh Mezi další často uváděné typy dopravních úloh patří dopravní problém, kdy se zabýváme přepravou produktů v kontejnerech. Za zmínku taktéž stojí úlohy o pokrytí, kterých se využívá při výstavbě obslužných stanic. Tato problematika se ovšem už příliš odklání od našeho tématu a nebudu se jim blíže věnovat.

26

6.6 Aplikace dopravních úloh Dopravní úlohy jsou v reálném světě hojně využívány a to v souvislosti s jakýmkoliv plánováním, kdy chceme dostat cokoliv kamkoliv a za nejrůznějších podmínek. Jako příklad můžeme udat přepravu produktů, tiskovin, poštovních zásilek, materiálu, osob,… Firmy se se svými postupy nerady chlubí, já jsem tedy hledala inspiraci v nejrůznějších bakalářských prácích. Obzvlášť podnětné pro mě byla práce Teorie grafů v distribuční úloze autorky Terezy Libichové (2010), kde se zabývá podobně jako já problémem nalezení ideálního rozvozového plánu pro firmu distribuující pralinky. Podobně se zabývá optimalizací i autor Pavel Peleška (2008) ve své diplomové práci Optimalizace rozvozu tiskovin, také zde jsem nalezla celou řadu postřehů.

27

7 Teorie grafů Pomocí grafů můžeme znázornit nejrůznější reálné systémy. Jsou velmi přehledné, srozumitelné a proto také často používané. Jsou tvořeny množinou uzlů a hran. Uzly jsou značeny

, kde n představuje počet uzlů, které se v grafu nacházejí. Hrany

značíme pro změnu písmeny

, v tomto případě jde tedy o hranu spojující uzly i a j.

(Jablonský J., 2002) Obecně označíme graf G = (H,U), kde H představuje množinu hran a U označuje množinu uzlů. (Kuncová, 2011) Jednotlivé hrany a uzly mají všechny svou speciální interpretaci. Může jít o nejrůznější dopravní cesty mezi městy, sklady, odběrateli apod., dále mohou znázorňovat např. potrubní systém, znázornění sítě elektrické energie, řečiště, plynovody, také průběh projektů či procesů v podniku a mnoho dalších. Obecně lze říct, že uzly představují převážně objekty nebo procesy a hrany udávají, jaký je mezi nimi vztah. (Fábry J., 2007) Jakým způsobem se teorie grafů postupně prosazovala v dějinách, popisuje ve své knize Fábry. Historické kořeny prvních zmínek o teorii grafů sahají až do 18. století. Mezi první zmínky patří beze sporu úloha o nalezení cesty mezi sedmi mosty ve městě Kalingradu, kdy se chodec pokouší projít všechny mosty jen jednou a vrátit se do výchozího místa. V roce 1736 prokázal matematik L. Euler, že něco takového není možné. Takto naznačený cyklus, Eulerův cyklus dokazuje, že podobnou úlohu je možné splnit pouze v případě, že je každý z uzlů spojen s ostatními sudým počtem hran. Později, v průběhu 19. století publikují ve svých pracích i jiní myslitelé zmínky o grafech, mezi nejznámější patří G. Kirchhoff nebo A. Cayley. V roce 1936 vychází kniha D. Königa, zabývající se terminologií z oblasti teorie grafů. Později vznikají další práce a studie, řešící nejrůznější problematiku tohoto typu, mezi nejznámější představitele patří např. L. R. Ford, E. W. Dijkstra, R. W. Floyd, C. Berge a mnoho jiných.

7.1 Vlastnosti grafů Souvislý a nesouvislý graf Souvislý graf je takový, když je možné najít cestu mezi jakoukoliv dvojicí uzlů, tedy když je možné dostat se odkudkoliv kamkoliv. Pokud je graf naopak nesouvislý, je rozdělený na několik částí, mezi kterými spojnice neexistuje. (Fábry J., 2007)

28

Orientovaný a neorientovaný graf Pokud znázorňujeme nějaký systém pomocí grafu, často jsme omezeni tím, že pohyb z jednoho uzlu do druhého je možný pouze jedním směrem, v realitě si to můžeme představit jako jednosměrku v síti dopravních komunikací nebo jako např. řečiště, kde teče voda pouze jedním směrem a zpět to není možné. Takovou situaci znázorníme tak, že dosavadní graf obohatíme o šipky tento směr znázorňující a tak jako ve skutečnosti i zde na papíře se budeme také pohybovat jen dovolenými směry. Takový graf nazýváme orientovaný. Pokud je možné používat obousměrný pohyb, jde o graf neorientovaný. (Jablonský J., 2002)

Cesta a cyklus Představme si, že se pokoušíme dostat se z určitého uzlu do jiného. Musíme projít několika jinými, abychom dorazili do cílového. Takovou posloupnost můžeme označit za cestu. Na takové cestě se žádný uzel neopakuje. Můžeme se setkat s orientovanou cestou a neorientovanou cestou. V případě orientované respektujeme směry šipek, tedy předepsanou orientaci. (Kuncová, 2011) Cyklus je pouze speciální případ cesty. Za cyklus můžeme označit cestu, která začíná a končí ve stejném uzlu.

Ohodnocení grafu Jednotlivým hranám či uzlům můžeme přiřadit určité ohodnocení. Pokud ohodnotíme hranu, jde o hranově ohodnocený graf ( Fábry J., 2007). V praxi jde např. o vzdálenost dvou míst, náklady spojené s přepravou z jednoho místa do druhého atd. Pokud ohodnotíme uzel, označíme graf za uzlově orientovaný graf.

Síť a strom Jde o speciální formy grafu. „Síť je graf, který je orientovaný, souvislý, nezáporně hranově (uzlově) ohodnocený a obsahuje dva speciální uzly – vstup a výstup.“ (Jablonský J., 2002, str. 171) Vstupní uzel poznáme tak že žádné šipky nesměřují do něj, všechny pouze vychází. Podobně tak u výstupního uzlu, zde šipky do uzlu pouze vstupují a žádné nevychází ven. „Strom je souvislý, neorientovaný graf, který neobsahuje žádný cyklus.“ (Jablonský J., 2002, str. 171) Z této definice jasně vyplývá, že graf typu strom bude obsahovat méně hran než uzlů.

29

7.2 Nejkratší cesta Pokud se snažíme nalézt nejkratší cestu z jednoho uzlu do dalšího, použijeme výpočet pro určení optimální cesty v grafu. Graf znázorňuje konkrétní výčet míst (uzly), které jsou spojeny cestami (hrany). Hrany mají ohodnocení, která odpovídají vzdálenostem mezi místy, a my hledáme tu nejkratší mezi zvolenými místy. Výpočet konkrétní úlohy je poměrně snadný. Hledáme např. cestu mezi uzly Vstupní uzel má hodnotu

a

Uzlům jsou přiřazeny hodnoty

Poté postupně vypočteme hodnoty v dalších uzlech

následujícím způsobem:

4.1 „I jsou indexy uzlů, pro které je hodnota uzlů, pro které hodnota s ohodnocením

už známá z předcházejících kroků a j jsou indexy

ještě známá není a z uzlu

vede do uzlu

hrana

.“(Jablonský J., 2002, str. 173) Takto postupujeme do té doby, dokud

nenalezneme nejkratší vzdálenost do ostatních míst a tedy i do místa cílového. Zmíněný postup se nazývá Dijkstrův algoritmus, podobné úkoly však můžeme vyřešit i jinými způsoby, např. můžeme aplikovat Dantzingův, Floydův nebo Ford-Fulkersonův. (Fábry J., 2007) Speciální úlohou kdy se pokoušíme nalézt nejkratší cestu je problém obchodního cestujícího, který lze znázornit taktéž graficky. Jak už bylo v mé práci zmíněno, jde o cyklus, začínající a končící ve stejném uzlu. Zároveň musíme spojit všechna místa. Našim cílem je naplánovat nejkratší, popřípadě nejrychlejší cestu. (Fábry J., 2007) Další známá úloha, se kterou se můžeme setkat v souvislosti s teorií grafů a hledání nejkratších cest je úloha čínského listonoše. Listonoš musí roznést zásilky po celém městě, to je znázorněno jako graf, uzly představují křižovatky a ulice znázorníme pomocí hran. Listonoš musí projít všechny a zároveň se pokouší ujít co nejkratší vzdálenost. Takováto úloha není obtížná vyřešit, pokud obsahuje Eulerův cyklus, jestliže tomu tak není, dodáváme si některé ulice tak, abychom si takový cyklus vytvořili a mohli úkol splnit. (Fábry J., 2007) V mé praktické práci se zabývám nalezením optimální cesty, můžeme celý úkol popsat způsobem, jak je uvedeno výše, jde o jeden možný způsob. U rozsáhlejších úloh však grafické řešení zpravidla nevolíme, je příliš nepřehledné.

30

8 Herbia spol. s r. o. Nyní bych ráda představila firmu, která je hlavním předmětem zájmu v této práci. Jde o podnik, kde jsem absolvovala svojí semestrální praxi. Během ní sem získala mnoho informací a zkušeností, které mohu nyní uplatnit. Veškeré doplňující informace jsem získala od mé přímé nadřízené, nebo z jejich internetových stránek. Firma nese název Herbia spol. s r. o. a předmětem jejího podnikání je vydavatelství, tiskárna a studio předtiskové přípravy. Jejich cílem je poskytnout zákazníkovi maximální servis a uspokojit všechna jejich přání za přijatelnou cenu a v co nejkratším čase, poskytují komplexní služby od nafocení a předtiskové přípravy, až po kompletní výrobu a doručení. Firma má dlouholetou tradici, byla založena v roce 1991. Zákazník může požadovat: · Ofsetový tisk · Suchý ofset, který je oproti klasickému ekologický, realizuje lepší barevné podání, ostřejší tiskový bod, menší tiskový nárůst a až dvojnásobné rozlišení tisku oproti klasickému · Malonákladový digitální tisk. Knihařské oddělení umožňuje realizaci falcu, laminaci, lakování, číslování, výsek, vrtání, bigování, perforace, lepení, kompletaci a balení. Kromě zakázkové výroby a speciálních požadavků se podnik zaměřuje především na výrobu: · kalendářů, · katalogů, prospektů a brožur, · knih, · časopisů, · firemních desek a jiných reklamních předmětů, · výročních zpráv, · pohlednic, · vizitek, · pozvánek, · novoročenek, · tiskopisů, · plakátů, 31

· etiket, · …. Bez opomenutí nemůže zůstat ani fakt, že firma vlastní bohatou fotobanku kvalitních diapozitivů, kterou mohou využít zákazníci k realizaci svých zakázek zdarma. Na výběr mají téměř ze 7000 obrázků a jsou s oblibou vybírány např. pro zhotovení kalendářů, pohlednic nebo nejrůznějších reklamních předmětů. Podnik zaměřuje svůj zájem jak na fyzické, tak i právnické osoby, poskytuje služby jednotlivcům, malým podnikatelům, i velkým firmám. Je schopný uspokojit jakoukoliv poptávku, nespecializuje se ani na jednotlivce ani na firmy jakýchkoliv velikostí, je možné žádat tedy náklad jak o jednom výrobku, tak i několikatisícový.

8.1 Dodavatelé organizace Pro svou činnost je nutno zajistit dodávky papíru. Mezi hlavní papírenské dodavatele patří OSPAP, Europapier, Antalis. OSPAP a.s. je předním velkoobchodem papírem v ČR a díky mateřské společnosti PaperlinX také součástí jedné z největších obchodních skupin s tímto zbožím na světě. Hlavními produkty firmy OSPAP jsou grafické papíry a kartony, speciální grafické papíry, kancelářské a komunikační papíry, balící a obalové materiály. Neméně velkým dodavatelem je Europapier, která patří mezi hlavní dodavatele v Evropě, aktivně působí ve 12 zemích. Jejich snahou je poskytovat ve všech zemích regionální služby se záměrem zajistit úspěch. Hlavními produkty, které Herbia odebírá, jsou kreativní papíry (moderní, luxusní, elegantní a nadčasové papíry různých povrchů a barev) a samolepky. Firma ovšem produkuje také grafické papíry, obalové materiály a kancelářské papíry. Mezi největší dodavatele patří poslední zmíněná společnost Antalis. Antalis nabízí své zboží v 5 - oblastech: Grafické a speciální grafické papíry a kancelářské papíry, obalové materiály, reklamní předměty a materiály pro Signmaking. ANTALIS představuje širokou nabídku grafických a speciálních grafických papírů, kartonů, lepenky, bílých a barevných kancelářských papírů a rozsáhlého kancelářského sortimentu. Nabízí fólie pro řezanou grafiku a sítotisk, materiály pro velkoformátový tisk, desky a další potřeby pro signmaking. Další nezbytnou věcí pro tiskárnu je barva, tu firma objednává u podniku Gumiprint.

32

8.2 Konkurenti organizace Herbia se s velikou konkurencí potýkat nemusí. V oblasti, kde působí, nabízí jedinečné služby. Specializuje se na suchý ofset a především kvalitní výstup, díky čemuž je jedinečná ve svém oboru. Dochází tak spíš ke spolupráci s podobnými firmami, pokud zákazník požaduje službu, na kterou se tiskárna nespecializuje, předává část zakázky firmě kvalifikovanější. Za důsledek to má tedy spíše to, že si firmy zakázky navzájem přehazují, než aby si je pokoušeli sebrat. Mezi další firmu, která má k Herbii velice blízko, patří Typodesigne. Typodesigne poskytuje kompletní servis v oblasti propagace a reklamy včetně médií. Disponují technickým zázemím vysoké kvality a jsou schopni zpracovat velký objem zakázek, při zachování nejvyšší úrovně, až do fáze kompletní předtiskové přípravy. Tiskovou produkci realizují v plzeňské tiskárně Typos, tiskařské závody s.r.o., která díky svému vybavení zajišťuje nejvyšší možnou kvalitu tisku. Zajišťují kreativní a grafické práce, tvorbu firemního stylu (značka a logo, manuál, výroční zprávy, firemní tiskoviny), reklamní kampaně (slogany, inzerce, billboardy, TV spoty), design knih, novin a časopisů, speciální kreativní a grafické práce, DTP studio (sken, sazba, zlom, osvit), polygrafické služby, full service…

8.3 Obrat Průměrný obrat za poslední tři roky činí 15 000 000 Kč. Konkrétnější informace mi bohužel nebyly poskytnuty.

8.4 Zaměstnanci Počet zaměstnanců za poslední 3 roky je průměrně 17. V současné době v podniku pracuje 17 zaměstnanců. Pokud je to nutné, v případech kdy je potřeba udělat větší množství zakázek, přijímá Herbia pomocnou sílu v podobě brigádníků. Tyto brigádníky hledá prostřednictvím databáze Úřadu práce. Mezi stále zaměstnance patří: · Obchodní oddělení - 2 osoby, přijímání zakázky, zpracování cenových nabídek, příprava podkladů pro grafické a polygrafické zpracování, příprava podkladů pro fakturaci. · Finanční oddělení - 1 úřednice, veškeré fakturační a mzdové práce.

33

· Grafické oddělení – 2 osoby, grafické zpracování zakázek, technické zpracování dat na filmy pro polygrafickou výrobu nebo tisk na digitálních strojích. · Montážní oddělení – 3 osoby, montování filmů, svícení a vyvolávání kovolistů. · Polygrafické oddělení – 3 osoby, řezání papíru a tisk zakázek. · Knihařské oddělení – 2 osoby, dokončovací práce na zakázkách (povrchová úpravalaminace, vazba-V1šitá na skoby, V2 lepená, V8-ruční šitá vazba, falcování…). · Expedice, marketing – 1 osoba, zajištění včasného dodání zákazníkovi, zjišťování spokojenosti, monitorig konkurenčních firem, hledání nových zákazníků. · Vedení firmy – 3 osoby.

8.5 Poslání, vize a mise Posláním firmy je uspokojit širokou škálu zákazníků, dosáhnout co nejvyšší technické dokonalosti, zavádět stále nové technologie a nabízet díky tomu stále kvalitnější výrobky, které budou splňovat všechna očekávání kupce. Tímto způsobem by se chtěli rozvíjet i do budoucna. Poskytovat svým zákazníkům individuální pozornost a speciální péči každému novému produktu. Vize do budoucna je tedy udržet si stávající zákazníky a získávat nové, přičemž nebude docházet k masové výrobě, ale stále bude zachován rodinný přístup, aby se lidé rádi vraceli a mohli si dovolit požadovat pořád něco nového. Jejich cílem je nabídnout nejvyšší možnou kvalitu v oblasti ofsetového tisku a předtiskové přípravy (DTP) a poskytovat služby co největšímu množství zákazníků.

8.6 Organizační dokumenty a formalizace v organizaci Firma je zatím stále ve fázi příprav na normu ISO, která ovšem není ještě dokončena a schválena. Pracovníci se řídí procesní mapou, která vlastně popisuje proces toku zakázky firmou. Organizačních dokumentů mají hned několik, jde o dokument Proces zakázky a Funkční náplň, který je vytvořeno pro každé oddělení. Proces zakázky přesně udává postup, jak by měla jednotlivá oddělení jednat při plnění zakázky. Funkční náplň je zase popis pracovní pozice na určitém oddělení, jaké jsou požadavky na tuto osobu a čím se v pracovní době zabývá.

34

8.7 Chod firmy Myslím, že všechny funkce jednotlivých oddělení se dají stručně shrnout do 4 částí. Herbia nabízí předtiskovou přípravu, zde vznikají nové návrhy, jak by měl výrobek vypadat. Jde o nejkreativnější oddělení, někdy má zákazník jasnou představu a potřebuje jí jen graficky ztvárnit, jindy zase dostanou grafici volnou ruku a vznikají zde nové, neokoukané věci, plakáty, vizitky, kalendáře nebo reklamní letáky, které pak běžně míjíme na ulicích, v tisku nebo televizích. V dalších odděleních jde jen už o to, aby tento návrh vznikl co nejrychleji a s co největší kvalitou (montážní, polygrafické a knihařské oddělení). Poslední důležitá funkce je získat spokojeného zákazníka, který je dostatečně a včas informovaný a dostane vše, co očekává, za co nejnižší cenu, bez zbytečných komplikací, a bez problémů, co se týče transakce peněz (obchodní, finanční a marketingové oddělení). Hlavou toho všeho je vedení, které by mělo zajistit součinnost všeho zmíněného a udržet vše v plynulém chodu.

8.8 SWOT analýza Pro lepší představu o firmě jsem sestavila následující SWOT analýzu: Silné stránky · Specializace na suchý ofset · Možnost zvolit digitální malonákladový způsob tisku · Domácí prostředí · Osobní přístup · Důraz na kvalitu · Kreativní tvorba návrhů a originální nabídka fotografií · Flexibilita · Přijatelné ceny v porovnání s konkurencí Slabé stránky · Některé stroje a vybavení jsou zastaralé · Nízký příjem · Malé množství zakázek · Pouze regionální pokrytí · Malá reklama

35

· V případě komplikací dochází k opožďování dodání výrobků zákazníkovi, a to v případě selhání lidského faktoru, v případě komplikací na straně dodavatele materiálu, nebo pokud se nedaří seřídit stroje dle požadavků a práce se tak protahuje · Nedokonalý systém vedení dokumentace o zakázkách (někdy dochází ke zmatkům) Příležitosti · Specializace může přilákat nové zákazníky · Proniknutí na další trhy · Při nákupu dalších strojů může firma nabízet širší škálu služeb nebo by byla schopna vyrábět větší objem produktů · Lepší plánování výroby může zvýšit produktivitu · Přijetí dalších pracovníků pomůže k plynulejšímu chodu ve společnosti a zvýší se tím i produktivita Hrozby · Ztráta největších zákazníků, kteří pravidelně odebírají · Celkové snížení poptávky po tiskařské produkci · Úplné zastarání stávajícího dlouhodobého majetku · V případě, že se objeví nová firma, poskytující stejné služby, může dojít ke konkurenčnímu boji, který by firmě podstatně snížil příjem

8.9 Vlastní zkušenost Za dobu mé praxe jsem měla možnost poznat více pracovních pozic, než jsem původně čekala. Za to jsem samozřejmě ráda, protože jsem poznala nové věci a získala další zkušenosti. Povšimla jsem si také slabých stránek a jednu z nich bych ráda proměnila v silnou. Mohla jsem pohlížet na firmu nejen z jednoho úhlu pohledu asistentky, ale jako na celek, složený z několika součástí. Mezi jednotlivými částmi musí probíhat perfektní komunikace, vzájemná spolupráce, a pokud dojde k neúspěchu v jednom oddělení, silně to pociťují i ty zbylé části a na zlepšení musí pracovat všichni, jako jeden tým. Navíc je velmi důležitá vzájemná tolerance, tedy schopnost přijmout chybu druhého, pomoci s jejím odstraněním a to s úsměvem a přátelsky. Zjistila jsem, jak moc jsou vztahy na pracovišti důležité. Zaměstnanci jsou mnohem produktivnější, pokud chodí do práce s chutí. Pokud je na pracovišti negativní ovzduší, projeví se to na produktivitě i na kvalitě.

36

Krátkou část své praxe jsem strávila na oddělení knihárna. Jedná se o dílnu, kde se kompletují vytištěné materiály. Jde především o kompletaci a montování kalendářů, lepení nebo šití prospektů, laminování plakátů nebo pohledů, falcování letáků nebo děrování. Dále se zde hotové výrobky počítají, aby byl poslán takový náklad, jaký je v daném termínu požadován. Požadované množství se zde také balí a připravuje se na odevzdání zákazníkovi. Další důležitou funkcí této dílny je spočítat, kolik času a materiálu je na výrobu jednoho produktu potřeba. Toho se využije při kalkulacích, jak je jeden výrobek finančně náročný. Standardním způsobem je počítat čas a materiál na 100 výrobků. Zároveň jsem získala nějaké cenné postřehy. Někdy docházelo k tomu, že chod v dílně nebyl úplně plynulý. Pracují zde 3 osoby. Jeden z nich se věnuje především obsluze a seřizováním strojů. Další osoba je vedoucí pracovník, na knihárně nemůže trávit veškerý čas, její povinnosti jsou i v jiných oblastech, rozdá proto většinou úkoly a často pak musí odcházet. Poslední osoba se zabývá především ruční prací a balením. Problém, kterého jsem si všimla, spočívá v tom, že pokud se věnuje každý pracovník především své hlavní činnosti, není práce plněna takovou rychlostí, jakou by bylo možné. Často dochází ke zpoždění a nelogickému přecházení od jedné práce ke druhé ve snaze zvládnout najednou co nejvíce zakázek. Řešení tohoto problému není předmětem mé práce, musím však upozornit na to, že pokud by došlo ke změnám a byl by zaveden centrální rozvoz, chod dílny by se musel zkorigovat tak, aby byly výrobky dokončovány současně ve stanoveném termínu. Toto oddělení je poslední, kterým produkt prochází, a proto je často už zpožděn vinou jiného oddělení a zde se musí vše uspíšit. Není však podle mého názoru možné, zvládnout dokončit zakázku o několika tisíci kusech během několika dnů jen při intenzivní práci jednoho pracovníka. Poté se tento problém řeší tím, že se na pomoc bere brigádní síla. Tyto pracovníky firma vybírá na Úřadu práce. Ovšem uvědomuji si, že hlavní chyba není na straně pracovníků. Je velmi složité, naplánovat výrobu rovnoměrně. Zakázky totiž chodí nepředvídatelně a některé požadavky jsou nepřiměřené času, který na vyplnění poskytnou. Herbia však přijímá všechny zakázky a chce pokud možno vyhovět čemukoliv, co je možné. Proto, i když je výroba rovnoměrně rozfázována, znenadání dojde ke změnám, urychlení nebo zpomalení něčeho, problémem také může být opoždění dodávky nějakého potřebného materiálu nebo komplikacím u tiskacího stroje či při projektování. Problém tedy není na straně tohoto oddělení, ale často je chyba někde jinde a zde musí dojít k nápravě. Není tedy možné vše produktivně rozplánovat a chod v tomto oddělení je tedy podle mého názoru nemožné připravit do nejmenšího detailu za současné vybavenosti stroji a vstřícnosti přijímací kanceláře. Některé stroje v tomto oddělení jsou už skutečně zastaralé a některé úkony, které by se daly plnit automaticky, se zde stále 37

dokončují jen za pomoci ruční práce, což je samozřejmě z dlouhodobého hlediska nevýhodné a především pomalejší. Z toho vyplývá, že nakoupení většího množství strojů by mohlo tento problém podstatně snížit, k naprosté eliminaci však, podle mého názoru, dojít nemůže. Pokud by došlo k zavedení pravidelných rozvozů dokončených výrobků, znamenalo by to i možné investice do nových strojů, které by výrobu uspíšily, nebo by přijímací kancelář musela zavést určitá pravidla, kdy by zákazníkovy nabídla pozdější termíny dokončení bez výjimek. Tato problematika tedy s mojí analýzou částečně souvisí, jedná se však již o jinou oblast a zde jí zohledňovat nebudu. Hotové výrobky se z tohoto oddělení předávají do rukou zákazníka. Jednorázové či malé zakázky si odběratel zpravidla převezme sám. V případě, že se jedná o pravidelný odběr většího rozsahu, zajišťuje přepravu sama tiskárna. Herbia nevlastní automobil určený pro přepravu a nemá ani řidiče, který by zásilky doručoval, využívá tedy služby PPL. Služby PPL jsou finančně poměrně náročné a firma uvažuje, jestli by nebylo efektivnější zajišťovat si dopravu samostatně. Já bych ráda použila získané informace a vytvořila plán rozvozu, spočítala jeho nákladnost a porovnala výsledek s dosavadními náklady na rozvoz. Pokud by byly mé výsledky ekonomicky výhodnější, firma by uvažovala o zavedení soukromého rozvozu.

38

9 Aplikace optimalizačních metod Firma Herbia má své sídlo v Českých Budějovicích. Pravidelně dodává do 15 podniků a prodejen rozptýlených po Jižních Čechách. Odběratelé požadují dodávku každých 14 dní. Rozvoz neprobíhá v jeden den, výrobky jsou průběžně posílány tak, jak jsou dodělávány. Vedení ve firmě však uvažuje o změně, platí nejen za náklady na spotřebu pohonných hmot, ale i za provizi pro dodavatelskou společnost. Pokud bych ve své analýze došla k závěru, že by vlastní rozvoz ušetřil náklady, rozhodla se firma, že také zkoriguje výrobu tak, aby byli schopní vždy k jednomu datu dokončit zakázky a najednou je vypravili k odvezení. Moje výsledku mohou tedy nejen vést ke změnám k rozvozu, ale mohou vyvolat další podnikové změny, které je potřeba vzít v úvahu a ověřit, zda by to bylo vlastně technicky možné. Podle vedoucích pracovníků by to bylo organizačně náročnější, ale po domluvě s odběrateli a lepším plánováním výroby by to možné bylo. Pořízení automobilu a plat pro řidiče je ovšem také nemalý náklad. Pokusíme se tedy porovnat dosavadní stav s dalšími novými variantami a dle výsledků se můžeme správně rozhodnout, co je pro firmu skutečně nejmíň nákladné. Na jedné straně tedy stojí externí logistická firma, která dopravuje v různé dny různé zakázky, opakující se každých 14 dní, a na straně druhé pořízení automobilu, zajištění řidiče, synchronizace výroby a vytvoření plánu trasy. Zjistíme tedy, jak nákladné jsou varianty a porovnáme je. Dále se také pokusím nasimulovat některé situace, které mohou nastat a připravit tak lépe firmu na sezónní výkyvy a nepředvídatelné situace. Firma by byla ochotná koupit ojeté auto, určené k rozvozu. Zvolila Mercedes Benz, Sprinter 211 CDI KA/36, je ve velmi dobrém stavu, jeho cena je 290 000 Kč. Nesmíme také opomenout požadavek, aby měl automobil dostatečný úložný prostor pro dodávky, tuto podmínku auto splňuje. Mohli bychom zvolit i levnější auto, vybrali jsme však právě tohle s myšlenkou, že alespoň poslouží déle a bude spolehlivé. Informace o cenách ojetých automobilů jsem získala na internetových stránkách www.autobazar.sbazar.cz. Tento automobil má průměrnou spotřebu 10 litrů nafty na 100 km. Pokud uvažujeme, že současná průměrná cena nafty je 34 Kč za litr, náklady na pohonné hmoty na 1 km stojí 3,4 Kč. Musíme brát v úvahu i opotřebení možnost poruchy, stanovím tedy průměrné celkové náklady na 1 km na 3,8 Kč. Novou pracovní sílu není nutné najímat, jeden ze stávajících pracovníků bude zbaven části svých dosavadních povinností a v určené dny by se rozvozu ujal. Je ochoten pracovat 39

případně přesčas. Mzda tohoto dělníka činí 95 Kč na hodinu, normální pracovní doba je 8 hodin. Pokud by byla doba rozvozu delší, bude dělník odměněn příplatkem za přesčas ve výši 30 Kč, mzda za hodinu bude tedy v takovém případě 125 Kč na hodinu. Nyní se tedy pokusíme naplánovat trasu pro případ, že by se firma rozhodla sama zajišťovat rozvoz. Sestavíme plán cesty, který by spojil všechna města tak, aby to bylo co možná nejvíce výhodné, tedy vytvořit spojnice všech míst seřazených v jakémsi okruhu, přičemž by se žádným městem nemělo projet dvakrát. Výchozí a cílové město by mělo být samozřejmě České Budějovice. Vytvoříme takové okruhy dva, nejdříve vezmeme jako hlavní hledisko vzdálenosti, budeme hledat cestu nejkratší. Poté se pokusíme najít cestu nejrychlejší, tedy takovou, kdy si můžeme trochu zajet, ale zároveň volíme nejrychlejší silnice, vyhýbáme se centrům měst a volíme spíše obchvaty. Dále bych také ráda připravila plán pro případ sezónních výkyvů. Jak bylo v předchozí kapitole zmíněno, jedná se o tiskárnu, produkující mimo jiné kalendáře, novoročenky a pohledy. Je tedy zřejmé, že poslední čtvrtletí v roce dochází k mohutnému nárůstu množství rozváženého zboží. Proto je nutné některá místa navštívit jednou týdně. Zbylí odběratelé, tedy odběratelé nesezónních výrobků vyžadují stále stejné intervaly po celý rok. Vytvoříme tedy plán, který umožní uspokojit všechny zmíněné požadavky. Zároveň platí stejně jako v předešlém zadání, že budeme hledat jednotný okruh spojující všechna místa, výchozím a zároveň cílovým místem jsou České Budějovice. Opět také provedeme dvě porovnání, první z hlediska vzdáleností a druhé z hlediska času.

9.1 Dosavadní výdaje Jak již bylo řečeno, dosud firma využívá služeb PPL. Tato firma si účtuje za přepravné dle velikosti a hmotnosti zásilky, a dále pak za náklady na pohonné hmoty a za mýtné. Pro určení ceny nafty vychází z fakt zveřejněných Českým statistickým úřadem, momentálně je cena 34 Kč za 1 litr nafty. Aktuální ceník všech služeb je přehledně zveřejněn na internetových stránkách www.ppl.cz. Je obohacen také kalkulačkou, kde si můžeme sami spočítat cenu zásilky, díky ní byla spočítána cena rozvozu i v této práci a je výchozí pro srovnávání nákladů. Velikost a váha dodávaných balíků se může různě měnit dle požadavku odběratele, nedochází však k žádným velikým výkyvům a vycházím tedy z obvyklé standardní dodávky v případě, že se nic neobvyklého neděje. Následující tabulka obsahuje všechny potřebné údaje a zároveň i celkovou cenu, kterou službě PPL zaplatíme každých 14 dní.

40

Tab. 9.1 – Náklady dopravy PPL. Zdroj: www.ppl.cz Z údajů, které tabulka vykazuje, můžeme snadno spočítat, že Herbia zaplatí každých 14 dní 5587 Kč. Pokud uvažujeme, že rok má 52 týdnů, zaplatí ročně jen na dopravě 145262 Kč, což je částka, která rozhodně stojí za srovnání s jinými alternativami.

9.2 Rozvoz – analýza z hlediska nejkratší trasy Nyní přistoupíme k samotnému řešení úlohy. Vytvoříme tedy okruh, zahrnující všechna místa, která musíme navštívit. Každým městem projedeme právě jednou. Vyjedeme z Českých Budějovic a také se na konci na stejné místo i vrátíme. Následující tabulka znázorňuje všechna místa, která musíme navštívit a zároveň vyčísluje i vzdálenosti mezi městy, údaje v tabulce vyjadřují vzdálenosti v kilometrech. Tyto informace jsou získány z internetových stránek www.mapy.cz. Jsou to nejkratší vzdálenosti mezi jednotlivými městy. Pro výpočet použijeme úlohu obchodního cestujícího, přesně pasuje na náš případ, jak je popsáno v teoretické části. Vzhledem k mnoha městům, tedy i mnoha proměnným, není možné takovou úlohu spočítat za pomoci ručního výpočtu, kdy bychom pouze dosadili do vzorečků. Použijeme tedy speciální program k tomu určený, data vložíme do programu a velice jednoduše získáme výsledky.

41

Tab. 9.2 – Vzdálenosti míst v km Zdroj: www.mapy.cz Pokud bychom postupovali chronologicky, můžeme popsat jednotlivé části postupu řešení problému a zopakovali bychom tak aspoň všechna podstatná fakta: 1. Rozpoznání problému a jeho definice – Firma je nespokojená s dosavadními výdaji, má pocit, že za rozvoz platí příliš a ráda by to nějak změnila. Uvažuje o zavedení vlastního rozvozu a před zahájením změn chce nejdříve ověřit, zda by se to vyplatilo. 2. Formulace ekonomického problému – Nadefinujeme všechna podstatná data, která potřebujeme zahrnout do výpočtu. Konkrétně jsou to města, která budeme objíždět a kilometrové vzdálenosti mezi jednotlivými místy. 3. Formulace matematického modelu – V teoretické části byl naznačen vzorec, jakým po doplnění a vyřešení dostáváme výsledek, je vyjádřen pomocí sumací. Já nyní ukážu, jakým způsobem se do takového vzorce doplňují hodnoty, nepůjde však o kompletní vyjádření všech vztahů,celý je poměrně rozsáhlý. Proměnné

vyjadřují, jestli bude mezi místem i a j cesta,

pokud ano, nabývá tato proměnná hodnoty jedna, pokud ne, je nulová. Všechny řádkové součty musí být 1.

42

…

Všechny sloupcové součty musí být také 1.

…

Abychom zabránili tvorbě více okruhů, zařazujeme i protismyčkové podmínky pomocí proměnné

(resp.

).

…

Účelová funkce by měla tedy vypadat takto:

Úplný výčet míst a jejich vzdáleností vložíme do softwarového programu, který je naprogramován přesně na úlohu tohoto typu. Pro řešení bude využit model LINGO, převzatý z doktorské disertační práce Jana Fábryho (2007), viz obrázek níže.

43

Obr. 9.1 – Formulace modelu v programu LINGO Zdroj: Doktorská disertační práce, Dynamické okružní rozvozní úlohy ( Fábry Jan, 2007) 4. Řešení matematického modelu – Samotné řešení proběhne v programu. Pro zajímavost a porovnání zkusíme ještě ruční výpočet za pomoci metody nejbližšího souseda z dat v tabulce. Budu postupovat tak, že vyberu jedno město, naleznu nejbližšího souseda a tímto způsobem budu pokračovat, dokud nebudu mít spojena všechna místa, poté se vrátím do místa výchozího. Takto vytvořím všechny možné okruhy a budu moci vybrat, který je nejkratší. V tabulce níže nalezneme ukázky 2 okruhů, které byly vytvořeny touto metodou.

44

Tab. 9.3 – Ukázka výpočtu metodou nejbližšího souseda Program provedl analýzu a výstupy znázorňuje tabulka níže, z programu je interpretujeme prostřednictvím Excelu. Nuly znamenají, že mezi příslušnými městy cesta nepovede, pokud je mezi městy jednička, vypovídá toto znázornění, že zde cesta povede. V každém řádku i sloupci může být jednička pouze jedna.

Tab. 9.4 – Výsledky analýzy I

45

5. Interpretace výsledků a následná verifikace – Nyní před sebou máme výstupy (tab. 9.4) a je nutné je náležitě okomentovat. Z matematických čísel se přesouváme zpět do reality. Nejkratší délka okruhu činí 330km. Z Českých Budějovic vyjíždíme do Velešína, dále pak do Českého Krumlova, Volar, Prachatic, Netolic, Volyně, Písku, Týna nad Vltavou, Bechyně, Soběslavi, Kardašova Řečice, Jindřichova Hradce, Lomnice nad Lužnicí, Třeboně, Lišova a vracíme se zpět do Českých Budějovic. Na základě ručního výpočtu jsem nalezla cestu, která byla taktéž 330km dlouhá a její posloupnost totožná. Cestovat touto trasou můžeme samozřejmě i v obráceném sledu. Pro lepší představu jsme trasu znázornili i pomocí síťového grafu níže.

Obr. 9.2 - Nejkratší cesta v mapě Zdroj: http://www.czso.cz/xc/edicniplan.nsf/t/190043E9F6/$File/3112ma.jpg - podkladová mapa, znázornění cesty vlastní 6. Implementace – O případném zavedení rozhodneme až na základě porovnání se všemi variantami a náklady s nimi spojenými.

46

9.3 Rozvoz – analýza z hlediska nejrychlejší trasy Pro porovnání provedeme i analýzu z hlediska času. Zadání je stejné jako u předchozí podkapitoly. Opět vyjedeme z Českých Budějovic, navštívíme všechna místa právě jednou, odevzdáme firmám výrobky a vrátíme se zpět do Budějovic. Opět jde o úlohu obchodního cestujícího. Jediný rozdíl spočívá v tom, že nyní nehledáme nejkratší cestu, ale cestu nejrychlejší. V následující tabulce jsou opět všechna města a vyjádření času, který potřebuje k překonání vzdáleností mezi nimi. Údaje v tabulce jsou vyjádřeny v minutách.

Tab. 9.5 – Vzdálenosti míst v minutách Zdroj: www.mapy.cz Opět můžeme vytvořit fáze postupu, jako v předchozím případě, změny jsou minimální, proto budu uvádět pouze to, co se v tomto případě mění. 1. Rozpoznání problému a jeho definice – Firma je nespokojená s dosavadními výdaji, má pocit, že za rozvoz platí příliš a ráda by to nějak změnila. Uvažuje o zavedení vlastního rozvozu a před zahájením změn chce nejdříve ověřit, zda by se to vyplatilo. 2. Formulace ekonomického problému – Nadefinujeme všechna podstatná data, která potřebujeme zahrnout do výpočtu. Konkrétně jsou to města, která budeme objíždět a časové vzdálenosti mezi jednotlivými místy.

47

3. Formulace matematického modelu – Místa a jejich vzdálenosti v čase vložíme do softwarového programu, který je naprogramován přesně na úlohu tohoto typu do LINGA z doktorské disertační práce Jana Fábryho (2007). Možné je vložit vzdálenosti do obecného vzorce pro problém obchodního cestujícího a vyjádřit tak jejich vzájemné vztahy. Tento postup by probíhal naprosto stejným způsobem, jako u předchozí podkapitoly, není myslím už nutné znovu opakovat, data vkládáme rovnou do počítače. 4. Řešení matematického modelu – Řešení probíhá v počítačovém programu. Já bych opět ráda provedla porovnání a pokusím se vytvořit i ruční výpočet metodou nejbližšího souseda v tabulce. Zvolím jedno po druhém všechna města a budu u nich hledat nejbližšího souseda. Vybranému sousedovi najdu dalšího nejbližšího a takto postupuji, dokud nemám všechna místa spojená. Vrátím se do výchozích míst a spočítám, jak jsou jednotlivé okruhy časově náročné. Ukázku již myslím, není nutné znovu uvádět. Výsledky, které program zpracoval, jsou opět uvedeny, již na první pohled je zřejmé, že okruh, který se vytvořil, tentokrát bude jiný. Výstupy jsou znázorněny v excelové tabulce.

Tab. 9.6 – Výsledky analýzy II

48

5. Interpretace výsledků a následná verifikace – Zjištěný výsledek říká, že nejkratší možný čas, za který projedeme okruhem, je 349 minut, tedy 5 hodin a 49 minut. Tento okruh je tvořen následující posloupností: České Budějovice, Lišov, Lomnice nad Lužnicí, Třeboň, Jindřichův Hradec, Kardašova Řečice, Soběslav, Bechyně, Týn nad Vltavou, Netolice, Písek, Volyně, Prachatice, Volary, Český Krumlov, Velešín a poté návrat do Českých Budějovic. Za pomoci ručního výpočtu se mi podařilo nalézt nejrychlejší trasu, která trvá 363 km, tento výsledek je o 14 minut delší. Tento horší výsledek je tvořen odlišnou posloupností, výpočet je znázorněn v tabulce.

Tab. 9.7 – Výsledek metodou nejbližšího souseda

Nejlepší výsledek, tedy trasa dlouhá 349 minut je opět zaznamenána i za pomoci síťového grafu níže.

49

Obr. 9.3 – Nejrychlejší cesta v mapě Zdroj: http://www.czso.cz/xc/edicniplan.nsf/t/190043E9F6/$File/3112ma.jpg - podkladová mapa, znázornění cesty vlastní 6. Implementace – O tom, jestli bude tento výsledek implementován, opět rozhodneme až v závislosti na ostatních výsledcích.

9.4 Porovnání výsledků

Tab.9.8 –Porovnané výsledky Zde jsou shrnuty závěry z předchozích dvou podkapitol. První řádek patří analýze provedené z hlediska nejkratší cesty a druhý řádek patří výsledkům analýzy provedené z hlediska nejrychlejší trasy. Nalezneme zde kilometrové vzdálenosti obou tras a dále čas, který je zapotřebí na jejich zvládnutí. Celkový čas cesty neobsahuje pouze převod z minut na hodiny, ale je zde také již započítán čas vykládky a přestávka zaměstnance. Předpokládáme, že doba 50

vyložení výrobků může trvat v průměru 10 minut, zaměstnanec má nárok na odpočinek na 30 minut, celkový čas je tedy doba potřebná na celou cestu se vším, co je zapotřebí k tomu. Náklady na mzdu jsme stanovili na základě údajů uvedených v úvodu, mzda na hodinu je 95 Kč, pokud pracovní doba překročí 8 hodin, každá další je ohodnocena mzdou 125 Kč na hodinu. Dopravní náklady zahrnují kilometrovou vzdálenost vynásobenou náklady na 1km, což činí 3,8 Kč. Celkové náklady jsou náklady na jednu cestu, tedy mzda pracovníka a dopravní náklady. Pojedeme-li v roce 26 krát, jak je předpokládáno, činí roční náklad na rozvoz v prvním případě 55061,5 Kč a v případě druhém 55918,2 Kč. Náklady na cesty jsou prakticky stejné, rozdíl mezi nimi je jen 856,7 Kč, přesto se jako výhodnější jeví nejkratší okruh, je jen o jednu minutu delší. Porovnáme-li oba tyto výsledky s dosavadními výdaji, které jsou vynakládané na dopravu prostřednictvím služby PPL a činí ročně 145262 Kč, zjistíme, že rozdíl je neuvěřitelných 90200,5 Kč, popřípadě 89343,8 Kč. Vezmeme-li v úvahu fakt, že pořízení automobilu přijde firmu na 290000 Kč a ušetřené náklady jsou 90200,5 Kč ročně, investice se nám vrátí za 3,22 roku. Auto nebude využíváno intenzivně, pouze jednou za čtrnáct dní, dá se tedy očekávat, že jeho životnost bude minimálně 5 let. Nejen, že by se tedy firmě poplatily během pěti let náklady, ale mohla by i ušetřit, a to přibližně 160556,89 Kč. V této částce nejsou zahrnuty případné opravy, náklady spojené s generální údržbou auta, pojištění automobilu apod.

9.5 Dosavadní náklady při sezónních výkyvech Nyní se pokusíme uvažovat, že poslední čtvrtletí můžeme do některých míst rozvážet každý týden. Jde o místa, která jsou uvedena v tabulce níže. Od ledna do září je vše beze změn, každých 14 dní rozvezeme do všech míst. Od října do prosince však rozvážíme do všech míst v liché týdny a do vyjmenovaných míst nejen v liché, ale i v sudé týdny. Kromě původních tras musíme vytvořit ještě jednu, menší, kterou budeme jezdit v sudé týdny. Podle kalendáře je takových sudých týdnů v roce 2011 šest. Přehled sudých a lichých týdnů naleznete v plánovacím kalendáři.

51

Tab.9.9 – Plánovací kalendář

Pokusíme se nyní vypočítat, jak vysoké jsou náklady spojené s trasami, které jsou navíc oproti předchozím případům. Pro výpočet jsem opět použila internetové kalkulačky na stránkách společnosti PPL. Podrobný rozpis nově přidaných nákladů naleznete v tabulce níže.

52

Tab. 9.10 - Přidané náklady Zdroj: www.ppl.cz K původně vypočítané částce 145262 Kč přičteme ještě náklady na těchto 6 cest, což činí 16656 Kč. Celkové náklady na rok v takovém případě činí tedy dokonce 161918 Kč.

9.6 Rozvoz – sezónní rozvoz z hlediska nejkratší trasy Nyní se pokusíme o propočet, který bude už trochu složitější. Opět použijeme výpočet obchodního cestujícího. Základní okruh bude totožný s okruhem v kapitole 6.2. Tento okruh bude obohacený o druhý, již zmíněný, menší okruh. Po dobu tří měsíců se budou tyto dvě cesty střídat, v liché týdny bude řidič objíždět velký okruh a v sudé týdny objede okruh malý. Opět přidávám tabulku, vyjadřující vzdálenosti mezi městy v km, pomocí níž sestavíme co nejkratší cestu. Tato cesta projde všemi zmíněnými místy a vrátíme se na místo startu. Hlavním požadavkem je, aby byla cesta co možné nejkratší.

Tab. 9.11 – Malý okruh v km Zdroj: www.mapy.cz

53

Sestavíme chronologický postup výpočtu: 1. Rozpoznání problému a jeho definice – Firma je nespokojená s dosavadními náklady na rozvoz, uvažuje o zavedení vlastního rozvozu a před zahájením změn chce nejdříve ověřit, zda by se to vyplatilo. 2. Formulace ekonomického problému – Nadefinujeme všechna podstatná data, která potřebujeme zahrnout do výpočtu. Konkrétně jsou to města, která budeme objíždět a kilometrové vzdálenosti mezi jednotlivými místy. Vytvoříme možný plán sezónních výkyvů a vytvoříme seznam měst, kterých by se tato změna týkala. 3. Formulace matematického modelu – Místa a jejich vzdálenosti vložíme do softwarového programu. Možné je vložit vzdálenosti do obecného vzorce pro problém obchodního cestujícího a znázornit tak jejich vzájemné vztahy, poté vypsat stejným způsobem účelovou funkci, to již bylo ukázáno v prvním případě. 4. Řešení matematického modelu – Řešení opět proběhne v určeném programu. Pro zajímavost a porovnání zkusíme ještě ruční výpočet metodou nejbližšího souseda. Vytvořím všechny možné okruhy a budu moci vybrat, který je nejkratší. Konkrétní postup je detailně popsán v kapitole 9.2. Uvádím pouze výsledek analýzy nejbližšího souseda:

Tab. 9.12 – Výsledky analýzy nejbližšího souseda pro malý okruh

Nyní bych ještě ukázala výsledky, jaké byly zpracovány za pomoci LINGA.

54

Tab. 9.13 – Výsledky analýzy III 5. Interpretace výsledků a následná verifikace – Získané výsledky musíme opět popsat. Tento okruh můžeme minimalizovat maximálně na 219 km. Z Českých Budějovic vyjíždíme do Třeboně, dále pak do Lomnice, Jindřichova Hradce, Kardašovi Řečice, Týna nad Vltavou, Prachatic, Českého Krumlova a vracíme se do Českých Budějovic. Města je možné projíždět i v obráceném pořadí. Na základě ručního výpočtu jsem dospěla k totožnému výsledku, posloupnost měst se také shoduje. Výsledek opět interpretuji i na síťovém grafu.

Obr. 9.4 – Nejkratší cesta malého okruhu v mapě Zdroj: http://www.czso.cz/xc/edicniplan.nsf/t/190043E9F6/$File/3112ma.jpg - podkladová mapa, znázornění cesty vlastní 55

6. Implementace – Implementace proběhne až po závěrečném porovnání.

9.7 Rozvoz – sezónní rozvoz z hlediska nejrychlejší trasy Nyní provedeme podobný úkon, jako v předchozí kapitole, jediný rozdílem je, že hlavním stanoviskem je, najít cestu, která bude co možná nejrychlejší. Delší okruh se bude shodovat s kapitolou 9.3. Kratší okruh bude nově vytvořen. Jde samozřejmě opět o úlohu obchodního cestujícího.

Přikládám opět menší tabulku vyjadřující vzdálenosti mezi místy vyjádřené

v čase.

Tab. 9.14 – Malý okruh v minutách Zdroj: www.mapy.cz Opět sestavíme chronologický sled jednotlivých činností: 1. Rozpoznání problému a jeho definice – Firma je nespokojená s dosavadními výdaji, uvažuje o zavedení vlastního rozvozu a před zahájením změn chce nejdříve ověřit, zda by se to vyplatilo. 2. Formulace ekonomického problému – Nadefinujeme všechna podstatná data, která potřebujeme zahrnout do výpočtu. Konkrétně jsou to města, která budeme objíždět a vzdálenosti mezi jednotlivými místy v minutách. Vytvoříme možný plán sezónních výkyvů a vytvoříme seznam měst, kterých by se tato změna týkala.

56

3. Formulace matematického modelu – Místa a jejich vzdálenosti vložíme do softwarového programu, který je naprogramován přesně na úlohu tohoto typu. Ani nyní nebudeme vkládat hodnoty do obecného vzorce, již bylo uvedeno. 4. Řešení matematického modelu – Řešení opět proběhne v programu. Pro porovnání zkusíme ještě ruční výpočet metodou nejbližšího souseda. Vytvořím všechny možné okruhy a budu moci vybrat, který je nejkratší. Konkrétní postup je detailně popsán v kapitole 6.3. 5. Interpretace výsledků a následná verifikace – Výsledek této analýzy je poměrně zajímavý. Okruh vytvořený za účelem nalezení nejrychlejší trasy je stejný jako okruh vytvořený z hlediska nejkratší trasy, z tohoto důvodu nejsou uváděny ani tabulky s výsledky. Doba potřebná na zvládnutí této cesty je 234 minut. Ruční výpočet se s tímto výsledkem také shoduje. Vyjedeme z Českých Budějovic, projíždíme Třeboní, Lomnicí nad Lužnicí, Jindřichovým Hradcem, Kardašovou Řečicí, Týnem nad Vltavou, Prachaticemi, Českým Krumlovem a vracím se do Českých Budějovic. Města je možné projíždět i v obráceném pořadí. Výsledek opět interpretuji i na síťovém grafu.

Obr. 9.5 – Nejrychlejší trasa malého okruhu v mapě Zdroj: http://www.czso.cz/xc/edicniplan.nsf/t/190043E9F6/$File/3112ma.jpg - podkladová mapa, znázornění cesty vlastní 57

6. Implementace – Implementace proběhne až po závěrečném porovnání.

9.8 Porovnání výsledků

Tab. 9.15 – Náklady na cesty Tato tabulka zahrnuje náklady, které je nutné vynaložit na cesty všemi jednotlivými okruhy. První řádek patří nejkratší cestě velkým okruhem a detailně byl již popsán. Třetí řádek byl již taktéž interpretován a patří nákladům spojeným s velkým okruhem sestaveným za účelem nalezení nejrychlejší cesty. Ve druhém a čtvrtém řádku jsou údaje o malém okruhu. Malý okruh sestavený za účelem nalezení nejkratší cesty je totožný s nejrychlejším okruhem, proto jsou tyto řádky stejné. Je zde tedy uvedena kilometrová vzdálenost, čas k tomu potřebný, dále pak celkový čas zahrnující i vykládku a přestávku zaměstnance, poté náklady na mzdu řidičovi, náklady spojené s ujetými kilometry a celkové náklady na jednu cestu. Roční náklady jsou součtem 6 krátkých cest a 26 dlouhých. Jako nejlepší variantu volíme nejkratší dlouhý okruh v kombinaci s malým. Je pouze o 1 minutu delší, ale ročně ušetříme oproti druhému okruhu 856,7 Kč. Nyní porovnejme tento zvolený výsledek s náklady, které se vynakládají za současného stavu. Za takto nadefinované situace zaplatí firma nyní 161918 Kč, rozdíl, který bychom mohli ušetřit je 98688,4 Kč. Takový rozdíl se jeví jako ohromný, rozhodně bych tedy firmě doporučila provést navrhnuté změny. Firma o zavedení ovšem uvažuje v širších souvislostech. Jak bylo naznačeno v úvodu a představení řešené situace, souvisejí se zavedením i další změny. Pořízení auta za 290000 Kč může být pro menší společnost nezanedbatelná investice. Z hlediska dlouhodobého by sice rozhodně ušetřila, z hlediska krátkodobého výdej takovéto částky může být velkým problémem, obzvlášť, jestli se nechtějí zadlužit. V případě, že by firma chtěla využít úvěru, zjistila jsem orientačně, jak nákladné by to bylo. Použila jsem internetovou kalkulačku na stránkách Komerční banky na www.kb.cz, právě Komerční banky proto, že zde vede firma svůj podnikatelský účet. Pokud by se tedy rozhodli financovat automobil úvěrem a to po celou

58

dobu jeho předpokládané životnosti, platili by 6261 Kč měsíční anuitní splátku a celková částka k zaplacení by činila 382068,05 Kč. Za úvahu také stojí fakt, že výroba a dokončování výrobků musí být synchronizováno tak, aby bylo vše dokončeno v jeden den, nutná by byla restrukturalizace pracovních úkonů, možné změny v počtu zaměstnanců a možná i nutnost nakoupit nové stroje, usnadňující dokončující práce na oddělení knihárna. To vše jsou další náklady a je jen na firmě, jestli by tedy takové změny unesla. Z mé strany předkládám pouze návrh na zlepšení. Ročně ušetří náklady ve výši 98688,4 Kč. Jestli bude implementován do reality, je čistě na rozhodnutí vedení společnosti Herbia, s ohledem na jiné faktory a celopodnikovými zájmy.

59

10 Závěr Na závěr bych ráda konstatovala, že hlavní cíl práce byl splněn. Čtenář byl seznámen se základy operačního výzkumu, byly mu naznačeny nejpoužívanější kategorie úloh a také nástin možného řešení. Nadefinovaný problém byl optimalizován, byly vypočítány náklady stávající a i možné snížené. Výsledky byly porovnány a docházíme k závěru, že inovace se podniku rozhodně doporučí. Zda bude návrh firmou přijat, záleží na rozhodnutí společnosti. K tomuto byly použity výpočty za pomoci specializovaného softwaru LINGO. Analýza byla provedena taktéž za pomoci ručního výpočtu metodou nejbližšího souseda. Vše je interpretováno nejen číselně, ale také v reálné mapě za pomoci síťového grafu. Nadefinovali jsme dvě možné situace, jedna představuje běžný rok, druhá zohledňuje možnost sezónnosti. Takto bychom mohli požadavky variovat v případě zájmu i jinými způsoby, například zvyšovat počet míst k rozvážení, měnit požadavky na objem dodávky a zavádět tak další automobil, nebo zavádět mezisklad. Častým požadavkem je, rozdělit okruh na dvě části a rozvážet produkty ve dvou dnech. Všechny takové požadavky by bylo možné za pomoci optimalizačních analýz zahrnout do výpočtu a vyřešit.

60

11 Seznam použité literatury 11.1 Knižní zdroje 1. Lagová Milada, Jablonský Josef: Lineární modely. Oeconomica, Praha, 2004. ISBN 80-245-0816-8 2. Lagová Milada, Jablonský Josef: Lineární modely v příkladech. Oeconomica, Praha, 2002. ISBN 80-245-0456-1 3. Fábry Jan: Matematické modelování. Oeconomica, Praha, 2007. ISBN 978-80-2451266-2 4. Jablonský Josef: Operační výzkum. PROFESSIONAL PUBLISHING, Praha, 2002. ISBN 80-86419-23-1 5. Kuncová Martina: studijní materiály – Techniky projektového managementu I, VŠPJ, 2011 6. Libichová Tereza: Využití teorie grafů v distribuční úloze. Bakalářská práce, VŠE Praha, 2010. 7. Peleška Pavel: Optimalizace rozvozu tiskovin – případová studie. Diplomová práce, VŠE Praha, 2008. 8. FÁBRY, Jan. Dynamické okružní rozvozní úlohy. Praha, 2007. 160 s. Dizertační práce. VŠE, KEKO.

11.2 Internetové zdroje 9. Www.herbia.cz [online]. 4.2.2011 [cit. 2011-02-04]. Firma Herbia. Dostupné z WWW: <www.herbia.cz>. 10. Www.ospap.cz [online]. 4.2.2011 [cit. 2011-02-04]. Firma Ospap. Dostupné z WWW: <www.ospap.cz>. 11. Www.europapier.com [online]. 4.2.2011 [cit. 2011-02-04]. Firma Europapier. Dostupné z WWW: <www.europapier.com>. 12. Www.antalis.cz [online]. 4.2.2011 [cit. 2011-02-04]. Firma Antalis. Dostupné z WWW: <www.antalis.com>.

61

13. Www.autobazar.sbazar.cz [online]. 21.9.2011 [cit. 2011-09-21]. Ojetá auta. Dostupné z WWW: <www.autobazar.sbazar.cz>. 14. Www.ppl.cz [online]. 17.9.2011 [cit. 2011-09-17]. PPL. Dostupné z WWW: <www.ppl.cz>. 15. Www.csu.cz [online]. 28.9.2011 [cit. 2011-09-28]. Český statistický úřad. Dostupné z WWW: <www.csu.cz>. 16. Www.mapy.cz [online]. 29.8.2011 [cit. 2011-08-29]. Mapa. Dostupné z WWW: <www.mapy.cz>. 17. Www.czso.cz [online]. 25.11.2011 [cit. 2011-11-25]. Schéma mapy. Dostupné z WWW: <www.czso.cz>. 18. Www.kb.cz [online]. 04.12.2011 [cit. 2011-12-04]. Komerční banka. Dostupné z WWW: .

62