VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

´ SKOLA ˇ ´ JIHLAVA VYSOKA POLYTECHNICKA Katedra matematiky

Matematick´ y semin´ aˇ r

Petra Hor´ aˇ ckov´ a, Miroslav Han´ aˇ cek 2016

Za jazykovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou.

1. vydání © Petra Horáčková, Miroslav Hanáček, 2016

ISBN 978-80-88064-26-8

Obsah 1 Vzorce 2 Grafy element´ arn´ıch (z´ akladn´ıch) funkc´ı 2.1 Lineárn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kvadratické funkce . . . . . . . . . . . . 2.3 Lineárnˇe lomené funkce . . . . . . . . . . 2.4 Exponenciáln´ı funkce . . . . . . . . . . . 2.5 Logaritmické funkce . . . . . . . . . . . 2.6 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . 2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

8 8 9 11 12 14 16 17

3 Grafy kˇ rivek (kuˇ zeloseˇ cek)

29

4 Algebraick´ e v´ yrazy

35

5 Soustavy rovnic

39

6 Nerovnice

43

7 Goniometrick´ e rovnice

48

8 Goniometrick´ e v´ yrazy

51

9 Exponenci´ aln´ı rovnice

53

10 Logaritmick´ e rovnice

56

11 Analytick´ a geometrie

59

Pˇ redmluva Tato sb´ırka shrnuje typy stˇredoˇskolsk´ ych pˇr´ıklad˚ u, které jsou základem ke studiu matemaˇ tick´ ych pˇredmˇet˚ u na VSPJ. Sb´ırka je rozdˇelena do jedenácti kapitol. V prvn´ı kapitole jsou vypsány vˇsechny potˇrebné vzorce, které jsou potˇreba pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u. Dalˇs´ı kapitoly obsahuj´ı pˇr´ıklady z jednotliv´ ych parti´ı stˇredoˇskolské matematiky. V u ´vodu je slovn´ı popis a vzorovˇe vyˇreˇsené pˇr´ıklady. Za nimi následuj´ı neˇreˇsené pˇr´ıklady k procviˇcen´ı. Samozˇrejmost´ı jsou správné v´ ysledky vˇsech pˇr´ıklad˚ u, tyto jsou pro pˇrehlednost um´ıstˇené hned za zadán´ım. Sb´ırka byla vysázena systémem LATEX a pro grafické v´ ystupy bylo pouˇzito programu Maple. Autoˇri

4

1 VZORCE

1

Vzorce

Mocniny a rozklad mnohoˇ clen˚ u (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b)(a + b) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

Mocniny a odmocniny re´ aln´ ych ˇ c´ısel Vzorce am · an = am+n

Pˇr´ıklad 23 · 24 = 27

(am )n = am·n

(23 ) = 212

an · bn = (a · b)n a n an = n b b

42 · 32 = (4 · 3)2 = 122 42 4 2 = 2 3 3

am an

37 35

4

= am−n

a−n =

= 37−5 = 32

2−3 =

1 an

a0 = 1 √ √ m m n am = ( n a) = a n √ √ √ n a · n b = n ab √ p na n a √ = n b b p √ √ m n a = mn a √ √ n am = np amp

1 23

=

√ 1 2 x = x1 = x 2 √ √ √ 3 2· 34= 38=2 √ √ √50 = 25 = 5 2 p √ √ 3 x= 6x √ √ √ 6 (obrácenˇe) 6 25 = 52 = 3 5 √

Koˇ reny kvadratick´ e rovnice ax2 + bx + c = 0 (základn´ı tvar rovnice)

x1,2

Vzorcem √ −b ± b2 − 4ac = 2a

1 8

Rozkladem a(x − x1 )(x − x2 ) = 0 pro koˇreny x1 , x2 plat´ı x1 + x2 = − ab , x1 · x2 =

5

c a

1 VZORCE

Goniometrick´ e funkce sin2 x + cos2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x tg x · cotg x = 1 1 sin x = cotg = cotg−1 x tg x = cos x x x cotg x = cos sin x x sin x

0 0◦ 0

cos x

1

tg x

0

cotg x

x

π 6

◦

30

1 2 √ 3 2 √ 3 3

π 4

◦

π 3

◦

π 2

3 π 2 ◦

90 1

π 180◦ 0

270 −1

2π 360◦ 0

◦

45 √

60 √

0

−1

0

1

1

√ 3

x

0

x

0

1

3 3

0

x

0

x

√ 3

2 2 √ 2 2

3 2 1 2

√

Logaritmy loga r = s ⇔ as = r loga rn = n · loga r loga (r · s) = loga r + loga s loga ( rs ) = loga r − loga s loga a = 1 loga 1 = 0 loga an = n log r = log10 r . ln r = loge r, (e = 2, 72 - Eulerovo ˇc´ıslo) aloga r = r

Analytick´ a geometrie −→ − Smˇerov´ y vektor – → s = AB = B − A − Normálov´ y vektor – → n = (a; b) p Velikost u ´seˇcky – |AB| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 Pˇr´ımka

− – parametrická rovnice p : X = A + t · → s,t∈R → − s je smˇerov´ y vektor – obecná rovnice p : ax + by + c = 0, a, b, c ∈ R → − n = (a; b) je normálov´ y vektor – smˇernicov´ y tvar p : y = kx + q, k, q ∈ R k je smˇernice

6

1 VZORCE Kruˇznice (x − s1 )2 + (y − s2 )2 = r2 Elipsa

(x − s1 )2 (y − s2 )2 + =1 a2 b2

(x − s1 )2 (y − s2 )2 − =1 a2 b2 2 2 (y − s2 ) (x − s1 ) + =1 – hlavn´ı osa o k y − a2 b2 Parabola – hlavn´ı osa o k x (y − v2 )2 = 2p(x − v1 ), p ∈ R – hlavn´ı osa o k y (x − v1 )2 = 2p(y − v2 ), p ∈ R

Hyperbola

– hlavn´ı osa o k x

7

´ ÍCH (ZAKLADN ´ ÍCH) FUNKCÍ 2 GRAFY ELEMENTARN

2

Grafy element´ arn´ıch (z´ akladn´ıch) funkc´ı

2.1

Line´ arn´ı funkce

Pˇredpis: y = ax + b , kde a, b ∈ R. Grafem lineárn´ı funkce je pˇ r´ımka, tzn. staˇc´ı nalézt dva r˚ uzné body pˇr´ımky a ty spojit. Vhodn´ ymi body mohou b´ yt pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky se souˇradn´ ymi osami.

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce f : y = 2x − 4. Grafem této funkce je pˇr´ımka, proto nám staˇc´ı urˇcit souˇradnice dvou libovolných (r˚ uzných) bod˚ u. M˚ uˇzeme si pomoci napˇr. tabulkou, kterou známe uˇz ze základn´ı ˇskoly. Za x vol´ıme libovolné ˇc´ıslo, y dopoˇc´ıtáme ze vzorce y = 2x − 4. x (lib.) y

0

3

→

x y

0 3 −4 2

Dostáváme tedy souˇradnice dvou bod˚ u [0; −4], [3; 2]. (Pokud je x-ová souˇradnice nulová mluv´ıme o pr˚ useˇc´ıku s osou y a bod znaˇc´ıme Py [0; −4].) Graf:

2. Nakreslete graf funkce f : y = − 12 x + 3 a urˇcete pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ ymi osami. Vypoˇc´ıtáme souˇradnice dvou libovolných (r˚ uzných) bod˚ u. Za x vol´ıme libovolné ˇc´ıslo, y 1 dopoˇc´ıtáme ze vzorce y = − 2 x + 3. x (lib.) y

0

4

→

x y

0 4 3 1

→

[0; 3] = Py , [4; 1]

Chceme-li vypoˇc´ıtat souˇradnice pr˚ useˇc´ıku s osou x, vol´ıme y = 0 a x-ovou souˇradnici dopoˇc´ıtáme ze zadané rovnice. Px : 0 = − 21 x + 3 1 x = 3 /·2 2 x = 6 → Px [6; 0]

8

2.2 Kvadratické funkce


Graf:

2.2

Kvadratick´ e funkce

Pˇredpis: y = ax2 + bx + c , kde a, b, c ∈ R. Grafem kvadratické funkce je parabola, nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım bodem paraboly je vrchol V [v1 ; v2 ]. b Prvn´ı souˇradnici vrcholu m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat ze vzorce v1 = − 2a , druhou souˇradnici poté dopoˇc´ıtat z pˇredpisu funkce. Dalˇs´ı moˇznost, jak z´ıskat souˇradnice vrcholu, je z tzv. vrcholov´ e rov´ nice y = a(x − v1 )2 + v2 , kterou z obecné rovnice z´ıskáme tzv. METODOU UPRAVY NA ˇ CTVEREC. Poté, co z´ıskáme vrchol, dopoˇc´ıtáme souˇradnice dalˇs´ıho/dalˇs´ıch bod˚ u (nejlépe v bl´ızkosti vrcholu), které nám urˇc´ı ”rozevˇrenost”paraboly.

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce f : y = x2 − 6x + 5 a urˇcete souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u se souˇradn´ ymi osami. Obecnou rovnici pˇrevedeme na vrcholovou. y = x2 −6x + 5 y = (x−3)2 ± ? . . . ˇc´ıslo −3 je polovina z ˇc´ısla −6 (vˇcetnˇe znaménka) y = (x−3)2 − 4 . . . za závorku dopln´ıme takové ˇc´ıslo, aby byl výsledek po umocnˇen´ı a seˇcten´ı +5 Souˇradnice vrcholu jsou tedy V [3; −4]. Dále m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u (nejlépe v bl´ızkosti vrcholu) a pr˚ useˇc´ık s osou y (x = 0). x (lib.) y

2

4 0

→

x y

2 4 −3 −3

0 5

Dalˇs´ı body, kterými parabola procház´ı, jsou: [2; −3] , [4; −3] , Py [0; 5]. Chceme-li vypoˇc´ıtat souˇradnice pr˚ useˇc´ıku s osou x, vol´ıme y = 0 a x-ovou souˇradnici dopoˇc´ıtáme ze zadané rovnice. Px : 0 = x2 − 6x + 5 0 = (x − 1)(x − 5) x1 = 1, x2 = 5 → Px1 [1; 0], Px2 [5; 0] 9

2.2 Kvadratické funkce


Graf:

2. Nakreslete graf funkce f : y = 3x2 − 12x + 13. Obecnou rovnici pˇrevedeme va vrcholovou. y = 3x2 − 12x + 13 2 y = 3 (x + 13 −4x) 2 y = 3 (x−2) − 4 + 13 y = 3 (x−2)2 − 12 + 13 y = 3 (x−2)2 +1 → V [2; 1] Dále m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u (nejlépe v bl´ızkosti vrcholu) a pr˚ useˇc´ık s osou y (x = 0). x (lib.) y

1

3 0

→

x y

1 3 4 4

0 13

Dalˇs´ı body, kterými parabola procház´ı, jsou: [1; 4] , [3; 4] , Py [0; 13]. Graf:

10


2.3 Lineárnˇe lomené funkce

2.3

Line´ arnˇ e lomen´ e funkce

Pˇredpis:

y=

ax+b cx+d

y=

k x−s1

, kde a, b, c, d ∈ R nebo + s2 , kde k, s1 , s2 ∈ R.

Grafem lineárnˇe lomené funkce je hyperbola, nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım bodem hyperboly je stˇ red S [s1 ; s2 ]. V grafu je nutné vykreslit (ˇca´rkovanˇe) i asymptoty hyperboly (pˇr´ımky, ke kter´ ym se graf funkce pˇribliˇzuje).

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 2 −3 x+1

1. Nakreslete graf funkce f : y = Z pˇredpisu funkce y =

2 −3 x+1

a urˇcete souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u se souˇradn´ ymi osami.

m˚ uˇzeme urˇcit souˇradnice stˇredu hyperboly S [−1; −3].

Dále m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u (nejlépe v bl´ızkosti stˇredu). x (lib.) y

−2 0

→

x y

−2 0 −5 −1

Dalˇs´ı body, kterými hyperbola procház´ı, jsou: [−2; −5] , Py [0; −1]. Chceme-li vypoˇc´ıtat souˇradnice pr˚ useˇc´ıku s osou x, vol´ıme y = 0 a x-ovou souˇradnici dopoˇc´ıtáme ze zadané rovnice. 2 Px : 0 = x+1 −3 2 3 = x+1 / · (x + 1) 3x + 3 = 2 3x = −1 /:3 1 x = −3 → Px − 13 ; 0 Graf (nesm´ıme zapomenout stˇredem hyperboly vést asymptoty – svislou a vodorovnou pˇr´ımku):

2. Nakreslete graf funkce f : y =

6x+1 . 3x−12

x-ovou souˇradnici stˇredu hyperboly urˇc´ıme stejnˇe, jako bychom ˇreˇsili podm´ınky ˇreˇsitelnosti, pˇr´ıp. definiˇcn´ı obor. Stˇred hyperboly je vlastnˇe bod, který vyj´ımáme z definiˇcn´ıho oboru. 3x − 12 6= 0 3x 6= 12 x 6= 4 → s1 = 4 6x+1 y-ovou souˇradnici m˚ uˇzeme z´ıskat ze zadán´ı y = 3x−12 tak, ˇze vydˇel´ıme lineárn´ı ˇcleny 11

2.4 Exponenciáln´ı funkce


ˇcitatele a jmenovatele zlomku. S [4; 2] s2 = 63 = 2 → Dále m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u. x (lib.) y

3

5 0

x y

→

3 . = −6, 3

5 0 . . = 10, 3 = −0, 1

Pokud nám nˇekteré hodnoty vycház´ı pˇr´ıliˇs vysoké/n´ızké, m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat souˇradnice i jiných vhodných bod˚ u. x y

3 . = −6, 3

5 0 . . = 10, 3 = −0, 1

−4 6 . . = 1, 0 = 6, 2

Dalˇs´ı body, kterými hyperbola procház´ı, jsou napˇr.: Py [0; −0, 1], [−4; 1, 0], [6; 6, 2]. Graf (nesm´ıme zapomenout stˇredem hyperboly vést asymptoty – svislou a vodorovnou pˇr´ımku):

2.4

Exponenci´ aln´ı funkce

Pˇredpis základn´ıho tvaru: y = ax , kde a ∈ R+ . Grafem exponenciáln´ı funkce je exponenci´ ala. Ve vysokoˇskolské matematice nejˇcastˇeji pouˇz´ıváme . pˇrirozenou exponenciálu y = ex , kde e je Eulerovo ˇc´ıslo a jeho hodnota je e = 2, 7. Pro konstrukci základn´ıho tvaru této funkce m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. tabulku, ve které si pro vhodné libovolné x dopoˇc´ıtáme y. x (lib.) y = ex

−2 −1 0 1 2

→

→

x (lib.) y = ex

−2 e = e12 . = 0, 1 −2

−1 e = 1e . = 0, 4 −1

0 1 2 1 e =1 e =e e2 . . = 2, 7 = 7, 4 0

Graf tedy (pˇribliˇznˇe) procház´ı body [−2; 0, 1], [−1; 0, 4], [0; 1], [1; 2, 7], [2; 7, 4] a pˇribliˇzuje se k ose x, která je asymptotou exponenciály. Graf funkce y = ex :

12

2.4 Exponenciáln´ı funkce


y = e^x 8

6 y

4

2

–3

–2

0

–1

1

x

2

3

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce f : y = ex+2 − 3. Graf funkce f : y = ex+2 −3 m˚ uˇzeme sestrojit pomoc´ı posunu základn´ı funkce y = ex o −2 jednotky na ose x (dvˇe vlevo) a o −3 jednotky na ose y (tˇri dol˚ u). Posuneme-li p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice o 2 ← a 3 ↓, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. x (lib.) y = ex

−1 0 1 . . = 0, 4 1 = 2, 7

p˚ uvodn´ı asymptota y = 0

→ →

x−2 y−3

−3 −2 −1 . . . = −2, 6 = −2 = −0, 3

asymptota y = −3

Graf tedy procház´ı (pˇribliˇznˇe) body [−3; −2, 6], [−2; −2], [−1; −0, 3] a pˇribliˇzuje se k pˇr´ımce y = −3. Graf (nesm´ıme zapomenout nakreslit asymptotu):

2. Nakreslete graf funkce f : y = ex + 2. Pˇredpis funkce f : y = ex + 2 m˚ uˇzeme pˇrepsat na y = ex−0 +2. Dále postupujeme stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Základn´ı funkci y = ex ve smˇeru osy x neposunujeme (posun o 0 jednotek), ve smˇeru osy y posuneme o +2 jednotky (dvˇe nahoru). Posuneme-li p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice o 2 ↑, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. x (lib.) y = ex

−1 0 1 . . = 0, 4 1 = 2, 7

p˚ uvodn´ı asymptota y = 0

→ →

x (+0) y+2

−1 . = 2, 4

0 1 . . = 3 = 5, 7

asymptota y = +2

Graf tedy procház´ı (pˇribliˇznˇe) body [−1; 2, 4], [0; 3], [1; 5, 7] a pˇribliˇzuje se k pˇr´ımce y = 2. Graf (nesm´ıme zapomenout nakreslit asymptotu):

13


2.5 Logaritmické funkce

2.5

Logaritmick´ e funkce

Pˇredpis základn´ıho tvaru: y = loga x , kde a ∈ R+ , a 6= 1, x > 0. Grafem logaritmické funkce je logaritmick´ a kˇ rivka. Ve vysokoˇskolské matematice nejˇcastˇeji pouˇz´ıváme pˇrirozen´ y logaritmus y = ln x, základ pˇrirozeného logaritmu je Eulerovo ˇc´ıslo e (jeho . hodnota je e = 2, 7). Pro konstrukci základn´ıho tvaru této funkce m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. tabulku, ve které si pro vhodné libovolné x dopoˇc´ıtáme y. (Logaritmovat lze pouze kladná ˇc´ısla.) x (lib.)

e−2 . = 0, 1

e−1 e0 . = 0, 4 1

e1 e2 . . = 2, 7 = 7, 4

→

y = ln x x (lib.) → y = ln x

e−2 e−1 . . = 0, 1 = 0, 4 −2 −1

1 0

e e2 . . = 2, 7 = 7, 4 1 2

(Srovnáme-li tabulku hodnot pˇrirozeného logaritmu s hodnotami pˇrirozené exponenciály, vid´ıme, ˇze tyto funkce jsou vzájemnˇe inverzn´ı – zámˇena x-ové a y-ové souˇradnice.) Pˇrirozen´ y logaritmus tedy (pˇribliˇznˇe) procház´ı body [0, 1; −2], [0, 4; −1], [1; 0], [2, 7; 1], [7, 4; 2] a pˇribliˇzuje se k ose y, která je jeho svislou asymptotou. Graf funkce y = ln x:

y = ln x

3 2 y 1 0

2

4 x

–1 –2 –3

14

6

8


2.5 Logaritmické funkce ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady:

1. Nakreslete graf funkce f : y = ln (x + 1) − 3. Graf funkce f : y = ln (x+1)−3 m˚ uˇzeme sestrojit pomoc´ı posunu základn´ı funkce y = ln x o −1 jednotky na ose x (jedna vlevo) a o −3 jednotky na ose y (tˇri dol˚ u). Posuneme-li p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice o 1 ← a 3 ↓, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. x (lib.) y = ln x

e−1 e0 . = 0, 4 1 −1 0

e1 . = 2, 7 1

p˚ uvodn´ı asymptota x = 0

. = −0, 6 −4

. 0 = 1, 7 −3 −2

→

x−1 y−3

→

asymptota x = −1

Graf tedy procház´ı (pˇribliˇznˇe) body [−0, 6; −4], [0; −3], [1, 7; −2] a pˇribliˇzuje se k pˇr´ımce x = −1. Graf (nesm´ıme zapomenout nakreslit asymptotu):

2. Nakreslete graf funkce f : y = log2 (x + 1) − 3. Graf funkce f : y = log2 (x+1)−3 m˚ uˇzeme sestrojit pomoc´ı posunu základn´ı funkce y = log2 x o −1 jednotky na ose x (jedna vlevo) a o −3 jednotky na ose y (tˇri dol˚ u). Posuneme-li p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice o 1 ← a 3 ↓, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. x (lib.) y = ln x

2−1 0, 5 −1

20 1 0

21 2 1

p˚ uvodn´ı asymptota x = 0

→ →

x−1 y−3

−0, 5 0 1 −4 −3 −2

asymptota x = −1

Graf tedy procház´ı body [−0, 5; −4], [0; −3], [1; −2] a pˇribliˇzuje se k pˇr´ımce x = −1. Graf (nesm´ıme zapomenout nakreslit asymptotu):

15


2.6 Goniometrické funkce

2.6

Goniometrick´ e funkce

Pˇredpis: y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = cotg x . Grafem funkce y = sin x je sinusoida. Pro ostatn´ı funkce názvy sice existuj´ı (kosinusoida, tangentoida, kotangentoida), ale bˇeˇznˇe se nepouˇz´ıvaj´ı. Grafy jednotliv´ ych funkc´ı m˚ uˇzeme sestrojit na základˇe znalosti hodnot základn´ıch u ´hl˚ u a znalosti periody dané funkce (sin x, cos x maj´ı periodu 2π, tg x, cotg x maj´ı periodu π). Z´ akladn´ı grafy goniometrick´ ych funkc´ı: y = sin x

y = cos x

y = sin x

y = cos x

1

1

y

y 0.5

–8

–6

–4

–2

0

0.5

2

4

x

6

8

–8

–6

–4

–0.5

–2

–1

y = tg x

y = cotg x

y = tg x

y = cotg x

4

–2

4

x

6

8

4 y

2

–4

2

–1

y

–6

0

–0.5

0

2

2

x

4

6

–6

–4

–2

0

–2

–2

–4

–4

2

x

4

6

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce f : y = cos x −

π 2

− 2.

uˇzeme sestrojit pomoc´ı posunu základn´ı funkce Graf funkce f : y = cos x− π2 −2 m˚ π π y = cos x o + 2 jednotek na ose x ( 2 vpravo) a o −2 jednotky na ose y (dvˇe dol˚ u). π Posuneme-li p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice (z tabulky v kapitole VZORCE) o 2 → a 2 ↓, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. π 3 x+ π2 x 0 π2 π 32 π 2π π π 2π 52 π 2 2 → y = cos x 1 0 −1 0 1 y−2 −1 −2 −3 −2 −1 π Graf zadan´ e funkce zakresl´ ı me do vodorovn´ e ho p´ a su y ∈ h−3; −1i, proch´ a z´ ı body , ; −1 2 3 5 [π; −2], 2 π; −3 , [2π; −2], 2 π; −1 . Pro nakreslen´ı dalˇs´ıch bod˚ u m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt periodicitu funkce (pravidelné opakován´ı, p = 2π).

Graf:

16


2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı

2. Nakreslete graf funkce f : y = tg x +

π 4

.

uˇzeme sestrojit pomoc´ı posunu základn´ı funkce y = tg x Graf funkce f : y = tg x+ π4 +0 m˚ o − π4 jednotek na ose x ( π4 vlevo) a o 0 jednotek na ose y (ˇzádný posun). Posuneme-li tedy p˚ uvodn´ı základn´ı souˇradnice o π4 ←, dostaneme následuj´ıc´ı souˇradnice. x y = tg x

− π2 x

π 4

0 −1 0

π 4

π 2

1

x

→

→

x− π4 y+0

− 43 π x

− π2 −1

− π4 0

0 1

π 4

x

Graf zadané funkce procház´ı body − π2 ; −1 , − π4 ; 0 , [0; 1], asymptoty jsou x = − 34 π, x = π . Pro nakreslen´ı dalˇs´ıch bod˚ u (ˇcást´ı grafu) m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt periodicitu funkce (pravidelné 4 opakován´ı, p = π). Graf (nesm´ıme zapomenout nakreslit asymptoty):

2.7

Dalˇ s´ı typy funkc´ı

Mezi základn´ı funkce m˚ uˇzeme pˇriˇradit i absolutn´ı hodnotu (odstraˇ nuje záporné znaménko), coˇz graficky lze vyjádˇrit jako otoˇcen´ı“ grafu podle osy x. ” Dalˇs´ı operaci, kterou m˚ uˇzeme pouˇz´ıt na základn´ı funkce, je zmˇena znaménka v argumentu funkce, napˇr. y = ln(−x), která pˇri tvorbˇe grafu otáˇc´ı“ p˚ uvodn´ı funkci (y = ln x) podle osy y. ” Tyto funkce dále m˚ uˇzeme r˚ uznˇe posunovat ve smˇeru osy x i osy y. ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce y = |x2 + 4x + 3|. Uvnitˇr absolutn´ı hodnoty je kvadratická funkce a grafem je tedy parabola. Nejdˇr´ıv mus´ıme urˇcit souˇradnice vrcholu a poté zpracovat absolutn´ı hodnotu. y = x2 +4x + 3 y = (x+2)2 +? y = (x+2)2 −1 Souˇradnice vrcholu jsou V [−2; −1]. Dopoˇc´ıtáme souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u (v bl´ızkosti vrcholu). x −3 −1 0 x (lib.) −3 −1 0 → y y 0 0 3 17



Dalˇs´ı body, kterými parabola procház´ı, jsou: Px1 [−3; 0], Px2 [−1; 0], Py [0; 3]. Nakresl´ıme graf a vˇse, co je pood osou x otoˇc´ıme“ nad osu x. ” Graf:

. 2. Nakreslete graf funkce y = 2x−3 x−1 Uvnitˇr absolutn´ı hodnoty je lomená funkce a grafem je hyperbola. Nejdˇr´ıv mus´ıme urˇcit souˇradnice stˇredu a poté zpracovat absolutn´ı hodnotu. → souˇradnice stˇredu jsou S [1; 2]. y = 2x−3 x−1 Dopoˇc´ıtáme souˇradnice dalˇs´ıch bod˚ u (v bl´ızkosti stˇredu). x (lib.) 0 2 x 0 2 → y y 3 1 Dalˇs´ı body, kterými parabola procház´ı, jsou: Py [0; 3], [2; 1]. Pokud bychom dopoˇc´ıtali pr˚ useˇc´ık 3 s osou x (dosad´ıme y = 0 a vyˇreˇs´ıme rovnici), je Px 2 ; 0 Nakresl´ıme graf a vˇse, co je pood osou x otoˇc´ıme“ nad osu x. ” Graf:

18



3. Nakreslete graf funkce y = cotg(−x). Nejdˇr´ıve nakresl´ıme graf funkce cotg x a potom ho otoˇc´ıme“ podle osy y. ” Graf:

4. Nakreslete graf funkce y = e−x − 2. Nejdˇr´ıve nakresl´ıme graf funkce ex , otoˇc´ıme“ ho podle osy y a posuneme o dvˇe jednotky ” dol˚ u (2 ↓). Graf:

→

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ ymi osami. (a) y = x (b) y = −x (c) y = 3x (e) y = 2x − 1 (f) y = −x + 3 (d) y = 12 x (g) y = −4x (h) y = 0, 3x − 1 (i) y = 5 2 −1 x+1 x2 −x−6 (j*) y = x+1 (k*) y = x+2 (l*) y = xx−1 2. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ ymi osami. (a) y = x2 (b) y = −x2 (c) y = 2x2 (d) y = 12 x2 (e) y = x2 − 1 (f) y = −x2 + 2 (g) y = (x + 1)2 (h) y = (x − 3)2 (i) y = −(x + 2)2 2 2 (j) y = (x − 1) + 3 (k) y = (x + 3) − 2 (l) y = −(x + 2)2 − 1 3. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky (a) y = x2 − 2x + 1 (b) y = x2 + 6x + 9 (d) y = x2 − 4x + 4 (e) y = x2 − 4x + 1 (g) y = x2 − 2x − 3 (h) y = x2 + 6x + 7 (j) y = x2 − 4x + 2 (k*) y = 3x2 − 12x + 10 19

se souˇradn´ ymi osami. (c) y = x2 + 6x + 10 (f) y = x2 − 2x + 4 (i) y = x2 − 2x + 2 (l*) y = 2x2 + 2x − 1



4. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ ymi osami. (b) y = − x1 (c) y = x5 (a) y = x1 1 1 (e) y = x+2 (f) y = x1 + 2 (d) y = 5x 1 1 (g) y = − x−3 (h) y = x+1 −3 (i) y = 2 − x1 1 1 2 +3 (k) y = x+3 −2 (l) y = x−2 −1 (j) y = x−1 5. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ ymi osami. −3x−2 2x−1 (b) y = (c) y = (a) y = 2x+1 x x+1 x 3x−1 −2x−5 3−x (d) y = x−1 (e) y = x+3 (f) y = x−2 x−2 4x+1 1−4x (g) y = x+3 (h) y = 2x−6 (i) y = 2x−6 2x−1 (j) y = 6x−4 (k) y = 8x+20 (l) y = 4x+4 3x−3 4x+8 6. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce a urˇcete pr˚ useˇc´ıky x−2 x (a) y = e (b) y = e − 2 (d) y = e−x − 2 (e) y = ex+1 − 3 (g) y = 1 − ex (h) y = 1 − ex+3 x+1 −3 (k) y = e−x+2 − 1 (j) y = 1e

se souˇradn´ ymi osami. (c) y = −ex − 2 (f) y = ex−1 + 2 (i) y = 2x−3 + 1 (l) y = ex+3 − 2

7. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce: (a) y = ln (x − 2) (b) y = ln x − 2 (d) y = ln (−x) − 2 (e) y = ln (x + 1) − 3 (g) y = 1 − ln x (h) y = 1 − ln (x + 3) (j) y = ln (−x − 1) − 3 (k) y = log (x − 3) + 1

(c) y = − ln x − 2 (f) y = ln (x − 1) + 2 (i) y = log2 (x − 3) + 1 (l) y = log (x + 3) − 2

8. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce, urˇcete nejmenˇs´ı periodu: (a) y = sin(x − π4 ) (b) y = cos x − 1 (c) y = − sin x + 2 π (d) y = cos(x + 3 ) (e) y = sin(−x) (f) y = cos x − 43 π − 1 (g) y = sin(2x − π3 ) (h) y = tg(x + π4 ) (i) y = | cotg x − 1| 5 2 (j) y = sin x − 3 π − 2 (k) y = 2 cos x + 6 π (l) y = 3 sin(x + π) − 1 9. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce: (a) y = |2x − 4| (b) y = |x| + 2 2 (d) y = |x − 4| (e) y = |x2 − 4x + 3| 2x−1 (h) y = |ex+1 − 2| (g) y = x+3 (j) y = |2 sin x − 1| (k) y = sin x − π2

(c) y = (x − 1)2 − 3 1 (f) y = x−2 + 1 (i) y = |ln(x − 2)| (l) y = |tg x|

10. Nakreslete následuj´ıc´ı funkce: (a) y = −2x − 4 (b) y = − (x − 1)2 − 3 (d) y = e−x (e) y = −ex (g) y = ln(−x + 2) (h) y = − ln(x + 2) (j) y = sin(−x) (k) y = tg (−x)

(c) y = −x2 + 3 (f) y = −e−x (i) y = ln(−x − 2) (l) y = tg −x − π4

20



V´ ysledky: 1a)

1b)

1c)

y=x

y = -x

y = 3x

4

y 4

y 2

1. –4

2

0

–2

6

4

y

2

x

4

–4

2

0

–2

–2

–2

–4

–4

2

x

4

–4

0

–2

2

–2

x

4

–4

1d)

1e)

1f)

y = 1/2 x

y = 2x - 1

y = -x + 3

4

4

y

y 2

0

–2

4

y 2

–4

–6

2

x

4

–4

2

0

–2

2

x

4

–4

0

–2

–2

–2

–2

–4

–4

–4

1g)

1h)

1i)

y = –4x

y = 0,3x - 1

y=5

2

x

4

7 4

4

y

6

y 2

5

2

y4 –4

0

–2

2

x

4

–4

0

–2

–2

–2

–4

–4

2

x

4

3 2 1 –4

1j)

0

–2

1k)

y = (x+1) / (x+1)

1.5 –4

y

4 y

2

–2

2

x

2

4

1 –4

–2

0.5

4

y = (x^2 - 1) / (x - 1)

4 y

x

1l)

y = (x^2 - x - 6) / (x+2)

2

2

–2

0

2

x

4

–2 –4

–4

–2

2

x

–4

4 –6

–0.5

2a)

2b) –4

–3

–2

–1

2c) 1

x 2

3

4

0 6

6 –2

2.

y4

y4 y –4

2

2 –6

–4

–3

–2

–1 0

1

2 x

3

4

–4

21

–3

–2

–1 0

1

2 x

3

4


2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı 2d)

2e)

2f) 2 –4

6

6

–3

–2

–1

1

x 2

3

4

1

2

1

2

0

y4

y 4

–2

2

y –4

2 –6 –4 –4

–3

–2

–1 0

1

2 x

3

–3

–2

–1

1

2 x

4

2g)

3

4

2h)

2i) –5

–4

–3

x

–2

–1 0

6

6

y4

y4

–2

–4 y 2

2 –6

–4

–3

–2

–1 0

1

2 x

3

4

0

–2

2

2j)

x

4

6

2k)

2l) –5

–4

–3

x

–2

–1 0

8

6

6

4 y

4

2

–2 y

2

–4

–3

–2

–1

–6 1

2 x

3

–5

–4

–3 x

–2

–1

–4 y

1

–6

2

–2

4

3a)

3b)

3c)

3d)

3e)

3f)

3.

22


2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı 3g)

3h)

3i)

3j)

3k)

3l)

4a)

4b)

4c)

4

4

y

4

y 2

y 2

2

4. –4

0

–2

2

x

4

–4

–2

0

2

x

4

–4

–2

0

–2

–2

–2

–4

–4

–4

4e)

4f)

4h)

4i)

4d) 4 y 2

–4

–2

0

2

x

4

–2 –4

4g)

23

2

x

4



4j)

4k)

4l)

5a)

5b)

5c)

5d)

5e)

5f)

5g)

5h)

5i)

5j)

5k)

5l)

5.

24



6a)

6b)

6c)

6d)

6e)

6f)

6g)

6h)

6i)

6j)

6k)

6l)

6a)

6b)

6c)

6.

7.

25


2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı 6d)

6e)

6f)

6g)

6h)

6i)

6j)

6k)

6l)

8a) p = 2π

8b) p = 2π

8c) p = 2π

1.5 y

1

1 –6

0.5

8. –6

–4

0

–2 –0.5

2

x

4

–4

–2

3 2

x

4

6

0

y2

–1

1

6 y

–1

–2

–6

–1.5

8d) p = 2π

8e) p = 2π

1.5 y

–4

–2

0 –0.5

–2

0

2

x

4

6

8f) p = 2π

1.5

1

y

0.5 –6

–4

1

1 –6

0.5 2

x

4

6

–6

–4

–2

0 –0.5

–4

–2

2 0

2

x

4

6 –1 y

–1

–1

–1.5

–1.5

–2

26

x

4

6


2.7 Dalˇs´ı typy funkc´ı 8g) p = π

8h) p = π

8i) p = π

8k) p = 2π

8l) p = 2π

1.5 1

y

0.5 –6

–4

–2

0

2

–0.5

x

4

6

–1 –1.5

8j) p = 2π

4 1 –6

–4

–2

2 2

x

4

6

1

0 –1

y

y

–6

–4

–2

0

y –2

–1

–3

–2

2

x

4

6

–6

–4

–2

2

0 –2 –4

9a)

9b)

9c)

9d)

9e)

9f)

9g)

9h)

9i)

9.

27

2

x

4

6



9j)

9k)

9l)

10a)

10b)

10c)

10d)

10e)

10f)

10g)

10h)

10i)

10j)

10k)

10l)

10.

28

ˇ ˇ ˇ 3 GRAFY KRIVEK (KUZELOSE CEK)

3

Grafy kˇ rivek (kuˇ zeloseˇ cek)

V této kapitole ˇreˇs´ıme pouze grafy kuˇzeloseˇcek nebo jejich ˇcást´ı. Kuˇzeloseˇckou (tj. rovinn´ ym ˇrezem kuˇzelové plochy) je kruˇznice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Speciáln´ı pˇr´ıpady, kdy je ˇrezem jediná pˇr´ımka, r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky nebo bod, nerozeb´ıráme. Student mus´ı znát klasifikaci kuˇzeloseˇcek a jejich stˇredové (kruˇznice, elipsa, hyperbola, resp. vrcholové (parabola) rovnice. Téˇz mus´ı umˇet tzv. u ´pravu na ˇctverec“. ” ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Nakreslete graf funkce y =

√ x + 2 − 1.

Typ kuˇzeloseˇcky m˚ uˇzeme zjistit z jej´ı vrcholové resp. stˇredové rovnice a to tak, ˇze pˇredpis funkce umocn´ıme (zbav´ıme se odmocniny). √ y = √x + 2 − 1 y+1 = x+2 /2 (y + 1)2 = x + 2 Jedná se o parabolu s osou o k x a vrcholem V [−2; −1]. Protoˇz√ e parabola je zadaná jako funkce (pomoc´ı odmocniny) a tato odmocnina je kladn´ a, y = + x + 2 − 1, jedná se o horn´ı ˇcást paraboly. Lze si i udˇelat tabulku s dalˇs´ımi nˇekolika body paraboly. x −1 √ 0 → Px [−1; 0] , Py [0; 0, 4] y 0 2−1 . = 0, 4 Graf:

q 2. Nakreslete graf funkce y = − 1 −

x2 9

+ 2.

Typ kuˇzeloseˇcky m˚ uˇzeme zjistit z jej´ı vrcholové resp. stˇredové rovnice a to tak, ˇze pˇredpis funkce umocn´ıme (zbav´ıme se odmocniny). q 2 y = − 1 − x9 + 2 q 2 y − 2 = − 1 − x9 /2 (y − 2)2 = 1 − 2 x + (y − 2)2 = 1 9 x2 (y − 2)2 + = 1 9 1

x2 9

29


Jedná se o elipsu se stˇredem S [0; 2], délkou hlavn´ı poloosy a = 3 a délkou vedlejˇs´ı poloosy b = 1. Protoˇzq e elipsa je zadaná jako funkce (pomoc´ı odmocniny) a tato odmocnina je záporn´ a, y=−

1−x2 9

+ 2, jedná se o doln´ı ˇcást elipsy.

Graf:

3. (Sloˇzitˇejˇs´ı) Nakreslete graf kˇrivky x2 − 16y 2 + 4x + 96y − 124 = 0. Typ kuˇzeloseˇcky zjist´ıme z jej´ı stˇredové rovnice. Tu z´ıskáme u ´pravou na ˇctverec“. ” x2 − 16y 2 + 4x + 96y − 124 = 0 x2 + 4x−16y 2 + 96y − 124 = 0 (x + 2)2 − 4−16 [y 2 − 6y] − 124 = 0 (x + 2)2 − 4−16 [(y − 3)2 − 9] − 124 = 0 (x + 2)2 − 4−16(y − 3)2 + 144 − 124 = 0 (x + 2)2 − 16(y − 3)2 + 16 = 0 (x + 2)2 − 16(y − 3)2 = −16 / : (−16) 2 2 (y − 3) (x + 2) + = 1 − 16 1 Jedná se o hyperbolu s hlavn´ı osou o k y, stˇredem S [−2; 3], délkami a = 4, b = 1. Graf:

30


Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Naˇcrtnˇete graf funkce. (a) y = x2 + 4x (b) y = x2 − 4x + 4 (d) y = x2 − 5x + 2 (e) y = x2 + 3x (g) y = 2x2 − 4x − 1 (h) y = 3x2 + 12x + 7 2. Nakreslete √ graf funkce. √ (a) y = x − 1 (b) y = 1 − x √ √ (d) y = − 2 − x (e) y = − x − 1

√ (c) y = − 3 + x √ (f) y = 2x − 4

3. Nakreslete √ √ graf funkce. (b) y = x2 + 9 (a) y = 4 − x2 √ √ (d) y = − 16 − x2 (e) y = x2 − 1 √ √ (h) y = 1 − 4x2 (g) y = 9 − x2 − 2 4. Nakreslete graf funkce. q 2 (a) y = 1 − x9 √ 16 − x2 (c) y = − 4 √ (e) y = −x2 + 4x − 3

(c) y = x2 − 6x + 10 (f) y = x2 + 8x + 16 (i) y = 12 x2 + 4x + 10

√ (c) y = − 9 − x2 √ (f) y = −x2 + 1 √ (i) y = − 9x2 − 9

√ x2 − 4 (b) y = 2 √ (d) y = −x2 − 6x √ (f) y = − 3 − x2 − 2x + 1

5. Naˇcrtnˇete kˇrivku, která má rovnici (urˇcete stˇred, popˇr. vrchol kuˇzeloseˇcky): (a) x2 − y 2 − 4 = 0 (b) y 2 − 4y − x − 2 = 0 (c) 9x2 + 4y 2 − 36 = 0 (d) 9x2 − 4y 2 − 36 = 0 (e) 9x2 − 4y 2 + 36 = 0 (f) x2 − 4y 2 − 2x − 15 = 0 (g) 4x2 + y 2 + 24x − 2y + 33 = 0 (h) x2 − 16y 2 + 8x + 96y − 112 = 0 (i) 25x2 + 9y 2 − 100x + 72y + 19 = 0 6. Rozhodnˇete, o jak´ y typ kuˇzeloseˇcky k se jedná (urˇcete stˇred, popˇr. vrchol kuˇzeloseˇcky). (a) k : y = x2 − 2x

[parabola]

2

(b) k : y − x + 4y + 5 = 0 (c) k : (d) k :

(x−1)2 16 (x−1)2 16 2

+

y2

−

y2

4 4

[parabola]

=1

[elipsa]

=1

[hyperbola]

(e) k : −x + y 2 = 1 √ (f) k : y = −x + 2

[hyperbola]] [parabola]

(g) k : x2 + 2x − y − 1 = 0

[parabola]

31


V´ ysledky: 1a)

1b)

1a

1c)

1b

1c

4.8 10.0 4.0

8

3.2 7.5 6

2.4 1.6

1.

5.0

4

0.8 0.0 −5

−4

−3

−2

−1

0

x

−0.8

2.5

2

1

−1.6

0

0.0

−1

−2.4

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

x

4

5

6

x

−3.2 −4.0

1d)

1e)

1f)

1d

1e

1f

4.8 4.0

6

8

3.2 2.4

6

4

1.6

4

0.8 0.0 −0.8

2 0

1

2

3

4

5

2

x

−1.6

0

0 −2.4

−4

−3

−3.2

−2

−1

0

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

1

x

x −2

−4.0

1g)

1h)

1i)

1g

1h

1i

6

20

15

5 15

4

10

3

10 5

2

5

1

0 −2

0

2

0

4 −4 −2 0

x

x

0 −7

−5

−6

−4

−5

−3

−2

−1

x

2a)

2b)

2c)

2a

2b

2c

2

x

2

−4

2.

−2

0

2

1 0 2

0

4

6

−1

8 −4

x

−2

0

2

x

−2

2d)

2e)

2f)

2d

2e

2f

x −1

x −4

−2

0

2

0

1

2

3

4

5

6

3 2

0

0

1 −1

−1

0 0

−2

2

4 x

−2 −3

32

6

8

ˇ ˇ ˇ 3 GRAFY KRIVEK (KUZELOSE CEK) 3a)

3b)

3c)

3a

3b

3c

3.6

2.0

3.2

x

2.8

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

2.4

0

3.

2.0

1.0

1.6

−1

0.5

1.2 0.8

0.0 −2

−1

1

0

2

−2

0.4

x

0.0 −2

−1

0

1

−3

2

x

3d)

3e)

3f)

3d

3e

3f

1.0

x −2

−4

0

2

4

2

0.75 0.5

−1

1 0.25

−2 0 −2

−3

−1

0

1

−1.0

2

−0.5

0.0

0.5

1.0

x

x −4

3g)

3h)

3i)

3g

–3

3g 1 1 −2

–1

0.8

x −3

–2

−1

0

1

2

3h 0

1 x 2

3

–2

3

0

0.6

−1

0.4

−2

0.2

–4

–6

–8 –0.6

–0.4

–0.2

0

0.2 x 0.4

0.6

4a)

4b)

4c)

4a

4b

4c

x

1

0

1

4.

0 −2

0

2

−4

−2

x

0

2

−1

4

x

4d)

4e)

4f)

4d

4e

4f

3 1.0 2

x 0.5

−3

0 0 −5

−4

−3

−2

−1

0.5 −1

0

1 0.0

1

−6

−2

1

2 x

0

3

−0.5

−1.0

x

33

ˇ ˇ ˇ 3 GRAFY KRIVEK (KUZELOSE CEK) 5a)

5b)

5a

5b

5c) 5c

10

3.0

3

2 5

2.5

0

2.0

1

5. −10

−5

0

5

0

10

−1

−2

0

1

2

−1 −5

1.5 −2

−3

1.0

−10

−6.0 −5.75 −5.5 −5.25 −5.0

5d)

5e)

5f)

5d

5e

5f

20 10 10

10 5

5 0

0 −10

0

−5

−5

10

5

0 0

5

−20

−10

0

10

20

−5 −5 −10

−10 −10

−20

5g)

5h)

5g

5h

5i) 5i

3 −1 0.0 2 6 −2.5 4 1 2

−5.0

0 0 −4.0

−3.5

−3.0

−10

−5

0

−2.5 −2.0

5 −7.5

−1

34

0

1

2

3

4

5

´ VYRAZY ´ 4 ALGEBRAICKE

4

Algebraick´ e v´ yrazy

Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u se u ´prava v´ yraz˚ u ˇreˇs´ı seˇcten´ım zlomk˚ u, rozloˇzen´ım na souˇcin a krácen´ım zlomk˚ u. U podm´ınek ˇreˇsitelnosti se vycház´ı z pˇredpoklad˚ u, ˇze ve jmenovateli zlomku nesm´ı b´ yt nula (výraz 6= 0), u sloˇzitˇejˇs´ıch v´ yraz˚ u se dále pod odmocninou m˚ uˇze vyskytnout pouze kladné ˇc´ıslo nebo nula (výraz ≥ 0), v logaritmech ˇc´ıslo kladné (výraz > 0). V drtivé vˇetˇsinˇe stˇredoˇskolsk´ ych pˇr´ıklad˚ u podm´ınky ˇreˇsitelnosti urˇcujeme z kombinace tˇechto tˇr´ı postup˚ u. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech samozˇrejmˇe téˇz vycház´ıme z definiˇcn´ıch obor˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych funkc´ı.

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Zjednoduˇste sloˇzen´ y zlomek a udejte podm´ınky ˇreˇsitelnosti

1 . 2 + 3+1 1 x

Postupnˇe pˇr´ısluˇsné zlomky ve jmenovatel´ıch sˇc´ıtáme. 1 1 1 1 1 3x + 1 = = = 6x+2+x = 7x+2 = x 1 1 2 + 3x+1 7x + 2 2 + 3+ 1 2 + 3x+1 3x+1 3x+1 x

x

Podm´ınky ˇreˇsitelnosti: x 6= 0 3x + 1 3x x

jmenovatele v pr˚ ubˇehu celého 6= 0 7x + 2 6= −1 / : 3 7x 1 6= − 3 x

výpoˇctu mus´ı být nenulové. 6= 0 6= −2 / : 7 6= − 72

Výraz je ˇreˇsitelný pro x 6= 0, x 6= − 31 , x 6= − 27 . 2. Zjednoduˇste v´ yraz a udejte podm´ ınky ˇreˇsitelnosti. 6 x+3 x+1 10 + 2 − : 2 2x − 2 2x − 2 2x + 2 4x − 4 Ve jmenovatel´ıch se snaˇz´ıme pˇr´ısluˇsné výrazy maximálnˇe rozloˇzit na souˇcin a poté pˇrevést na spoleˇcný jmenovatel. x+1 6 x+3 10 x+1 6 x+3 : 4(x10 + − : = + − 2 −1) = 2x−2 2x2 −2 2x+2 4x2 −4 2(x−1) 2(x2 −1) 2(x+1) x+1 6 x+3 5 + 2(x−1)(x+1) − 2(x+1) : 2(x25−1) = (x+1)(x+1)+6−(x+3)(x−1) : 2(x−1)(x+1) = 2(x−1) 2(x−1)(x+1) (x+1)(x+1)+3·2−(x+3)(x−1) 2(x−1)(x+1) · 2(x−1)(x+1) 5 10 1 = 1 ·5 =2

=

x2 +2x+1+6−(x2 −x+3x−3) 1 ·5 1

=

x2 +2x+1+6−x2 +x−3x+3 1 ·5 1

=

Podm´ınky ˇreˇsitelnosti: vˇsechny jmenovatele mus´ı být nenulové. x − 1 6= 0 x + 1 6= 0 x 6= 1 x 6= −1 Výraz je ˇreˇsitelný pro x 6= ±1. √ √ 3 x · x2 · x3 3. Zjednoduˇste v´ yraz a udejte podm´ınky ˇreˇsitelnosti √ . 6 x5 · x−2 Vˇsechny odmocniny pˇrevedeme na mocniny a seˇcteme (mocniny z ˇcitatel˚ u) resp. odeˇcteme (mocniny ze jmenovatel˚ u). 1 2 √ x 2 · x 3 · x3 3+4−5 1 2 5 2 1 1 = x 2 + 3 +3− 6 −(−2) = x 6 +5 = x 6 +5 = x5+ 3 = x5 · x 3 = x5 · 3 x 5 −2 x6 · x 35


Podm´ınky ˇreˇsitelnosti: x 6= 0 (jmenovatel), x ≥ 0 (sudé odmocniny). Výraz je ˇreˇsitelný pro x > 0. Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Zkrat’te zlomky a udejte podm´ınky ˇreˇsitelnosti: (a)

a2 −ab a2 +ab

(b)

2xy+y 2 y2

(c)

a2 −ab b2 −ab

[− ab ; a 6= b, b 6= 0]

(d)

2a2 −4ab 3ab−6b2

[ 2a ; a 6= 2b, b 6= 0] 3b

(e)

a2 +3ab a2 b+3ab2

(f)

2x2 y+2xy 2 −2xyz 3yz 2 −3y 2 z−3xyz

[− 2x ; x 6= −y + z, y 6= 0, z 6= 0] 3z

(g)

2ac−4bc 5a3 c−20ab2 c

2 [ 5a(a+2b) ; a 6= 0, a 6= ±2b, c 6= 0]

(h)

x3 −2x2 2x3 y 2 −x4 y

a−b [ a+b ; a 6= 0, a 6= −b]

[ 2x+y ; y 6= 0] y

[ 1b ; a 6= 0, a 6= −3b, b 6= 0 ]

x−2 [ xy(2y−x) ; x 6= 0, x 6= 2y, y 6= 0]

2. Zjednoduˇste a udejte podm´ınky ˇreˇsitelnosti: (a)

a2 −b2 a2 +2ab+b2

(b)

a3 −b3 a2 −b2

(c)

a4 −b4 a2 +b2

[a2 − b2 ; a 6= 0 ∧ b 6= 0]

(d)

a4 −b4 a3 −b3

+b ) [ (a+b)(a ; a 6= b] a2 +ab+b2

(e)

(a+b)2 −c2 a+b+c

[ a−b ; a 6= −b] a+b 2 +ab+b2

[a

a+b

2

; a 6= ±b]

2

[a + b − c; a 6= −b − c]

3. Seˇctˇete zlomky: (a) (b) (c) (d)

3+2x 2−x 7 2x−4

−

1 x−2a 2a−1 2a

+

2−3x + x(16−x) 2+x x2 −4 3 12 − x2 −4 x+2

−

1 x+2a 2a 2a−1

−

+ −

1 [ x+2 ; x 6= ±2] 1 [ 2x−4 ; x 6= ±2]

8a2 4a2 x−x3 1 2a−4a2

[ x2 ; x 6= 0, x 6= ±2a] [− a1 ; a 6= 0, a 6= 12 ]

4. Upravte: (a)

x2 −xy x2 +xy

·

x2 y+xy 2 xy

(b)

a2 −b2 (a+b)2

·

3a+3b 4a−4b

(c)

ax+ay x2 −2xy+y 2

·

[ 43 ; a 6= ±b]

2x+2y ax2 +2axy+ay 2

4

2

[x − y; x 6= 0, x 6= −y, y 6= 0]

3

2 [ (x−y) 2 ; a 6= 0, x 6= ±y]

4

(d) ( xy2 )2 · ( yz3 )3 · ( xz 4 )3 · ( xy3 )2

[y 2 ; x, y, z 6= 0]

5. Zjednoduˇste: (a)

xy (x x2 −y 2 y

− xy )

[1; x 6= 0, x 6= ±y, y 6= 0]

m2

[− m ; m 6= 0, m 6= n, n 6= 0] n

(b) ( m1 − n1 ) · (c) (1 −

m−n

2 x2 )( y2x−x2 y2

[1; x 6= ±y, y 6= 0]

+ 1) 36

´ VYRAZY ´ 4 ALGEBRAICKE 1 (d) ( a+1 −

2a )( 1 − 1) a2 −1 a x 3x )(x − x+1 ) x−1

x−1 (e) ( x−2 −

6 a+3 − 2a+2 ) 2a2 −2 1 1 1)( x−1 − x+1 −

[ a1 ; a 6= 0, a 6= ±1] [ x2x−1 ; x 6= ±1, x 6= 2] 4a2 −4 3

a+1 + (f) ( 2a−2

·

(g) (x2 −

1)

a x

(h) (1 +

a2 )(1 x2

+

− xa ) ·

[ 20 ; a 6= ±1] 3 [3 − x2 ; x 6= ±1]

x3 a3 −x3

[−1; x 6= 0, x 6= a]

6. Vypoˇctˇete: (a)

p−q p+q

(b)

1 k2 −k

(c)

3m2 −3n2

q−p q+p

:

:

[−1; p 6= ±q]

1 k2 −k3

m2 +mp

:

[−k; k 6= 0, k 6= 1]

6m−6n m+p

[ m+n ; m 6= 0, m 6= n, m 6= −p] 2m

2

[− x y−y ; x 6= ±y, y 6= 0] 2

(d)

(x+y)2 xy−y 2

(e)

2a+2b 3a−3b

(f)

am2 −an2 m2 +2mn+n2

2

xy+y : [− (x−y) 2]

:

6a+6b 5a−5b

:

2

[ 95 ; a 6= ±b] am2 −2amn+an2 3m+3n

3 [ m−n ; a 6= 0, m 6= ±n]

7. Upravte: x ) 1−x

(a) (1 +

:

1+x 1−x

(b) (a3 − b3 ) : (a + b − (c) ( a2 +ab 2

2 a+b

+

1 [ 1+x ; x 6= ±1] b2 ) a+b a ) b2 +ab

(d) ( xy2 + xy ) : ( yx2 −

1 y

[a2 − b2 ; a 6= −b] : ( ab − 2 + ab )

1 [ a+b ; a 6= 0, a 6= ±b, b 6= 0]

+ x1 )

2a 6a (e) ( a+2 + 6−3a + a28a−4 ) : a−4 a−2 2 2 h 1 1 (f) x +y + y : + · x x2 y2

[x + y; x 6= 0, y 6= 0] [0; a 6= ±2, a 6= 4] i 3

x3 −y x2 +y 2

2

xy [ x−y ; x 6= 0, y 6= 0, x 6= y]

8. Zjednoduˇste: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

1 1−

[2 − x, x 6= 1, x 6= 2]

1 1 1− x−1

[ 2(2x+5) , x 6= −1,x 6= − 25 , x 6= − 14 ] 5x+14 5

2 3−

1 3 2+ x+1

1 2+

3 3 1− x−2

4−

2 1 1+ x

5+

1 3 2− x+1

1−

3 3 1+ 2x−1

x−5 [ 5x−16 , x 6= 2, x 6= 5, x 6=

16 ] 5

x+1 [ 2x+4 , x 6= 0, x 6= −1, x 6= −2]

1

1

2x−1 [ 11x−4 , x 6= −1, x 6= 12 , x 6=

1

4 ] 11

[ 2x+2 , x 6= 12 , x 6= −1, x 6= 54 ] 5−4x

9. Zjednoduˇste: (a) (b)

1+ ab

a+b [ a−b ; a 6= 0, a 6= b]

1− ab y− y1

[y − 1; y 6= −1, y 6= 0]

1 +1 y 2

(c)

1− a2

[x + a; x 6= 0, x 6= a]

x 1 − a2 x x

37


(d)

1 1 − 2x x 1 1 − x2 2x2

[x; x 6= 0]

2

(e)

a− xa

[− xa ; a 6= 0, x 6= ±a, x 6= 0]

2

x− ax

(f)

a b + a−b a+b b a − a+b a−b

[1; a 6= ±b]

(g)

1 1 + 1+x 1−x 1 1 − 1+x 1−x

[ x1 ; x 6= ±1, x 6= 0]

(h)

x − x+1 x−1 x x−1 x − x+1 x

[ x+1 ; x 6= ±1, x 6= 0] x−1

(i)

a+b a−b (a+b)2 a2 −b2

(j) 1 + (k)

[1; a 6= ±b] ; x 6= − 13 , x 6= − 72 , x 6= 0] [ 10x+3 7x+2

1 2+

1 1 3+ x

a2 +b2 +2a b 1 1 + b a

2

+

2b− a +b a 1 − a1 b

2

[a2 + b2 ; a 6= 0, a 6= ±b, b 6= 0]

10. Zjednoduˇste: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

√ √ 4 3 x3 · x5√ · x4 √ 6 4 x· x· x √ √ 6 −2 x · x· x5 √ 3 4 √ 3 x· x · x √ √ x· 4 x· x √ x−2 ·x0 · 3 x √ √ 6 5 x−3√ ·x· x5 · x4 √ 3 2 x · x·x √ √ √ 3 4 3 x · x4 · x5 √ 6 5 √ x · x·x2 √ 3 x ·x−2 ·x0 x √ √ 3 7 √ 5 x · x ·6x

[x3 ·

√

12

x5 , x > 0]

[ x4 ·1√x , x > 0] √ 12 [x3 · x5 , x > 0] 1√ , x > 0] [ x2 · 15 x8 √ 4 [ x3 , x > 0]

[ x3 ·1√x , x > 0]

38

5 SOUSTAVY ROVNIC

5

Soustavy rovnic

Jednoduché soustavy lineárn´ıch rovnic vˇetˇsinou ˇreˇs´ıme sˇc´ıtac´ı nebo dosazovac´ı metodou (soustavy tˇrech a v´ıce rovnic m˚ uˇzeme pˇrehlednˇeji ˇreˇsit také pomoc´ı matic). Soustavy rovnic, z nichˇz alespoˇ n jedna nen´ı lineárn´ı, ˇcasto ˇreˇs´ıme dosazovac´ı metodou. Speciáln´ı kategori´ı jsou soustavy rovnic, které se ˇreˇs´ı zaveden´ım vhodné substituce (3. pˇr´ıklad). ´ ÍCH rovnic mus´ıme vˇedˇet, ˇze mohou nastat pouze tˇri Pro poˇcet ˇreˇsen´ı soustav LINEARN pˇr´ıpady: soustava lineárn´ıch rovnic má jediné ˇreˇsen´ı, ˇza´dné ˇreˇsen´ı, nebo nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Jiné pˇr´ıpady NEMOHOU nastat. Pokud má soustava rovnic nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, m˚ uˇzeme je napsat jako uspoˇrádanou dvojici (trojici,. . . ), která vˇsak závis´ı na nˇejakém parametru. Soustavy rovnic obvykle ˇreˇs´ıme elementárn´ımi u ´pravami (sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı ˇc´ıslem nebo nenulov´ ym v´ yrazem), proto nen´ı nutné dˇelat zkouˇsku. (Pˇresto by si kaˇzd´ y student mˇel v´ ysledek ovˇeˇrit.) U rovnic, v nichˇz se vyskytne zlomek, odmocnina, logaritmus,. . . , je zkouˇska nutná. (M˚ uˇzeme téˇz uvést podm´ınky ˇreˇsitelnosti a v´ ysledek potvrdit nebo vylouˇcit.)

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: ˇ ste soustavu rovnic. V pˇr´ıpadˇe, ˇze má soustava rovnic nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı urˇcete 1. Reˇ tˇri libovolná konkrétn´ı ˇreˇsen´ı. 3 2 = x − 2y 2x − y 4x − 2y =1 3(x − 2y)

Nejdˇr´ıve si soustavu rovnic uprav´ıme do základn´ıho tvaru a poté ji vyˇreˇs´ıme, v naˇsem pˇr´ıpadˇe je ˇreˇsená sˇc´ıtac´ı metodou. 3 2 = / · (x − 2y)(2x − y) x − 2y 2x − y 4x − 2y = 1 / · 3(x − 2y) 3(x − 2y) 2(2x − y) = 3(x − 2y) 4x − 2y = 3(x − 2y) 4x − 2y = 3x − 6y 4x − 2y = 3x − 6y x + 4y = 0 x + 4y = 0 / · (−1) sˇc´ıtac´ı metoda x + 4y = 0 −x − 4y = 0 0x + 0y = 0 0 = 0 → nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı Vzhledem k výraz˚ um ve jmenovatel´ıch je vhodné urˇcit podm´ınky ˇreˇsitelnosti: x 6= 2y, y 6= 2x. Soustava rovnic má tedy nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, které m˚ uˇzeme vyjádˇrit z jedné z rovnic. x + 4y = 0 x = −4y

39

5 SOUSTAVY ROVNIC ˇ sen´ım je uspoˇrádaná dvojice [x; y] = [−4y; y], y ∈ R, vzhledem k podm´ınkám mus´ıme Reˇ dodat [x; y] 6= [0; 0]. Dále máme urˇcit tˇri libovolná konkrétn´ı ˇreˇsen´ı, které dostaneme tak, ˇze za y vol´ıme libovolné hodnoty. V naˇsem pˇr´ıpadˇe napˇr. y1 = 1, y2 = 2, y3 = −5: [−4; 1], [−8; 2], [20; −5]. ˇ ste následuj´ıc´ı soustavu rovnic. 2. Reˇ x−y+1=0 3x2 + 3y 2 − 26x − 16y + 61 = 0. Tuto soustavu rovnic ˇreˇs´ıme dosazovac´ı metodou, kde si z prvn´ı rovnice vyjádˇr´ıme jednu neznámou napˇr. y a dosad´ıme do druhé rovnice. x−y+1=0 ⇒ y =x+1 3x2 + 3y 2 − 26x − 16y + 61 = 0 3x2 + 3(x + 1)2 − 26x − 16(x + 1) + 61 = 0 3x2 + 3(x2 + 2x + 1) − 26x − 16x − 16 + 61 = 0 3x2 + 3x2 + 6x + 3 − 26x − 16x − 16 + 61 = 0 6x2 − 36x + 48 = 0 /:6 2 x − 6x + 8 = 0 /m˚ uˇzeme ˇreˇsit rozkladem (x − 4)(x − 2) = 0 x1 = 4 y 1 = x1 + 1 y1 = 5

x2 = 2 y2 = x 2 + 1 y2 = 3

ˇ sen´ı soustavy rovnic jsou dvˇe a m˚ Reˇ uˇzeme je zapsat jako mnoˇzinu uspoˇrádaných dvojic [x; y] ∈ {[2; 3] , [4; 5]} Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ˇ ste soustavu rovnic: 1. Reˇ (a) x + 4y = 37 2x + 5y = 53

[[9; 7]]

(b) 2x + 3y = 2 3x − 7y = 3

[[1; 0]]

(c) 3x − 5y = 14 6x − 10y = 6

[∅]

(d) 3x − 5y = 11 6x − 10y = 22 [nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru [x; 35 x −

11 ], x 5

∈ R]

(e) 7x + 3y = 100 6y = 200 − 14x [nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru [x; 100 − 73 x], x ∈ R] 3 (f) (x + 4)(y − 2) = (x − 5)(y + 4) (x + 6)(y − 1) = (x − 1)(y + 2)

[[8; 4]]

(g) (x + 5)(y − 2) = (x + 2)(y − 1) (x − 4)(y + 7) = (x − 3)(y + 4)

[[7; 5]] 40

5 SOUSTAVY ROVNIC ˇ ste soustavu rovnic: 2. Reˇ (a) (b) (c) (d) (e)

x+y + y5 = −2 5 2x−y − 3x = 23 3 4 2x+1 − 3y+2 = 2y − x 5 7 7y+2 3x−1 + 6 = 2x − y 4 3x−2y + 5x−3y =x+1 5 3 2x−3y 4x−3y + 3 =y 3 2x−3 9 − 3y+1 = 10 2 5 3−x + 2−y = 65 3 6 4 7 = 9x+2y x−3y 3 9 = x−y+1 2x+y

[[−2; −4]] [[7; 4]] [[3; 2]] [[2; −1]] [[1; −1]]

(f) (3x − 4) : (3y + 4) = 1 : 2 (2x − y) : (2x + y) = 1 : 4

[[5; 6]]

ˇ ste soustavu rovnic: 3. Reˇ (a) (b)

1 x+y 1 x+y

+ −

1 1−x+y 1 1−x−y

1 x−y 1 x−y

+ −

= =

3 2 1 2

1 1−x−y 1 1−x+y

[[ 32 ; − 12 ]] = 32 = − 43

[[2; 2]]

ˇ ste soustavu rovnic: 4. Reˇ (a) x − y = 3 x2 + 2y 2 = 9

[[3; 0], [1; −2]]

(b) x + y = 3 2x2 − y 2 = 7

[[−8; 11], [2; 1]]

(c) 3x + 2y = 4 x2 − 2y 2 = 2

[[ 10 ; − 17 ], [2; −1]] 7

(d) 3x + 4y = 50 x2 + y 2 = 100

[[6; 8]]

(e) x + 2y = 4 x2 + y 2 − 4 = 0

[[0; 2], [ 85 ; 56 ]]

(f) 5x − 3y + 6 = 0 5x2 + 3y 2 = 192

[[3; 7], [− 29 ; − 11 ]] 2

(g) 4y − 5x = 10 16y 2 − 40xy + 25x2 = 0

[∅]

(h) 2x − 3y = 2 x2 − 5y 2 = −4

4 10 [ − 11 ; − 11 , [4; 2]]

ˇ ste soustavu rovnic: 5. Reˇ (a) xy = 2 x2 + y 2 = 4 (b)

+ xy = xy = 20 x y

√ √ √ √ [[ 2; 2], [− 2; − 2]]

41 20

[[±4; ±5], [±5; ±4]] 41

5 SOUSTAVY ROVNIC (c) x2 − y 2 = 60 xy = 224

[[±16; ±14]]

(d) 4x2 − 4y 2 = 15 xy = 1

[[±2; ± 12 ]]

(e) 4x2 − 5y 2 = −320 3x2 + 2y 2 = 588

[[10; ±12], [−10; ±12]]

42

6 NEROVNICE

6

Nerovnice

Pokud nerovnici n´ asob´ıme z´ aporn´ ym ˇ c´ıslem, mˇ en´ı se vˇ sechna znam´ enka, vˇcetnˇe porovnávac´ıho (>, <, ≥, ≤). Máme-li v nerovnici zlomek, jehoˇz jmenovatelem je v´ yraz, je problematické nerovnici t´ımto jmenovatelem vynásobit. V´ yraz pro nˇekteré hodnoty m˚ uˇze b´ yt kladn´ y, pro jiné záporn´ y, proto je nen9 jednoduché v´ yrazem násobit. (Samozˇrejmˇe to jde, pokud rozebereme moˇznosti, kdy je násoben´ y v´ yraz kladn´ y a kdy záporn´ y. Je to vˇsak mnohem pracnˇejˇs´ı.) Jednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem je vˇ se pˇ rev´ est na jednu stranu (abychom porovnávali s nulou), urˇcit si tzv. nulové body”nerovnice ” (hodnoty, které vynuluj´ı ˇcitatel a jmenovatel). Ty nám mnoˇzinu vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel rozdˇel´ı na jednotlivé intervaly, na nichˇz má v´ yraz stejné znaménko. Zda je na intervalu v´ yraz kladn´ y nebo záporn´ y zjist´ıme t´ım, ˇze dosad´ıme libovolné ˇc´ıslo z pˇr´ısluˇsného intervalu (kromˇe nulov´ ych bod˚ u). Ovˇeˇr´ıme nerovnost a podm´ınky ˇreˇsitelnosti pro nulové body. V´ ysledek nap´ıˇseme jako sjednocen´ı vˇsech interval˚ u, pro které je nerovnost splnˇena. Pokud nen´ı psáno jinak, nerovnice ˇreˇs´ıme v mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel R. Kvadratické nerovnice (3. pˇr´ıklad) ˇreˇs´ıme podobn´ ym zp˚ usobem. Vˇse pˇrevedeme na jednu stranu a v´ yraz porovnáváme s nulou. Pomoc´ı rozkladu na souˇcin (rozklad na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u) urˇc´ıme nulové body. Dále postupujeme stejnˇe: reálnou osu si pomoc´ı nulov´ ych bod˚ u rozdˇel´ıme na jednotlivé intervaly, zjist´ıme si na nich znaménko v´ yrazu a sjednot´ıme vˇsechna ˇreˇsen´ı. 4. a 5. pˇr´ıklad je spojen´ım pˇredchoz´ıho. Tzn. pokud je v nerovnici ve jmenovateli zlomku v´ yraz, vˇse pˇrevedeme na jednu stranu, seˇcteme resp. odeˇcteme a vytvoˇr´ıme jedin´ y zlomek. Urˇc´ıme nulové body, jimi rozdˇel´ıme reálnou osu, urˇc´ıme znaménko v´ yrazu na jednotliv´ ych intervalech a do v´ ysledku nap´ıˇseme sjednocen´ı d´ılˇc´ıch ˇreˇsen´ı. 6. pˇr´ıklad je vˇenovan´ y definiˇcn´ım obr˚ um zadan´ ych funkc´ı, které m˚ uˇzeme ˇreˇsit právˇe pomoc´ı nerovnic. V posledn´ı ˇradˇe mus´ıme znát rozd´ıl mezi uzavˇren´ ymi a otevˇren´ ymi intervaly, tzn. kdy krajn´ı hodnota patˇr´ı do intervalu (uzavˇren´ y interval, hranatá závorka”: h”resp. i”), nebo krajn´ı ” ” ” hodnota do intervalu nepatˇr´ı (otevˇren´ y interval, kulatá závorka”: (”resp. )”). Symbolicky ” ” ” m˚ uˇzeme krajn´ı hodnoty zakreslovat do reálné osy pomoc´ı standardizovan´ ych znaˇcek pln´ ych”a ” prázdn´ ych”punt´ık˚ u. ”

43

6 NEROVNICE ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Na zadané mnoˇzinˇe ˇreˇste nerovnici. 2 − 3x x 2 + x 3 − 2x − ≤ − + 4x 2 3 6 2 Je-li • x ∈ R, • x ∈ N, • x ∈ Z− . Nerovnici ˇreˇs´ıme elementárn´ımi u ´pravami jako napˇr. vynásoben´ı ˇc´ıslem 6 (zbaven´ı se zlomk˚ u), pˇriˇcten´ı/odeˇcten´ı ˇc´ısla/výrazu (pˇreveden´ı na levou/pravou stranu). 2 + x 3 − 2x − 2 3 3(2 + x) − 2(3 − 2x) 6 + 3x − 6 + 4x −11x x

2 − 3x x − + 4x / · 6 6 2 ≤ 2 − 3x − 3x + 24x ≤ 2 + 18x ≤ 2 / : (−11) 2 ≥ − 11 2 • Má-li b´ yt x ∈ R, v´ ysledek zap´ıˇseme: x ∈ h− 11 ;∞ . ≤

• Má-li b´ yt x ∈ N, vybereme z v´ ysledného ˇreˇsen´ı taková pˇrirozená ˇc´ısla, která odpov´ıdaj´ı v´ ysledku. V naˇsem pˇr´ıkladu v´ ysledek m˚ uˇzeme zapsat: x ∈ {1; 2; 3; . . .} nebo také x ∈ N. • Má-li b´ yt x ∈ Z− , vybereme z v´ ysledného ˇreˇsen´ı taková celá záporná ˇc´ısla, která odpov´ıdaj´ı v´ ysledku. V naˇsem pˇr´ıkladu v´ ysledek m˚ uˇzeme zapsat: x ∈ ∅ nebo také x ∈ {}. 2. V mnoˇzinˇe R ˇreˇste nerovnici

x2

7 9 + ≤ −1. − 5x + 6 x − 3

Vˇse pˇrevedeme na jednu stranu, zlomky seˇcteme/odeˇcteme, ˇcitatel i jmenovatel výsledného zlomku rozloˇz´ıme na souˇcin. 7 9 + ≤ −1 2 x − 5x + 6 x − 3 9 7 + +1 ≤ 0 (x − 2)(x − 3) x − 3 7 + 9(x − 2) + (x − 2)(x − 3) ≤ 0 (x − 2)(x − 3) 7 + 9x − 18 + x2 − 5x + 6 ≤ 0 (x − 2)(x − 3) x2 + 4x − 5 ≤ 0 (x − 2)(x − 3) (x + 5)(x − 1) ≤ 0 (x − 2)(x − 3) Nulové body nerovnice: x01 = −5, x02 = 1, x03 = 2, x04 = 3. Naneseme je na reálnou osu, zjist´ıme znaménko intervalu a vybereme správný výsledek. Na reálné ose je plnými a prázdnými koleˇcky vyznaˇceno, které z bod˚ u (ne)budou souˇcást´ı výsledku.

44

6 NEROVNICE

x ∈ h−5; 1i ∪ (2; 3) 3. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f : y = log 1 +

5 . x−3

Argument logaritmu ( vnitˇrek“ logaritmu) mus´ı být kladný, proto mus´ıme vyˇreˇsit následuj´ıc´ı ” nerovnici (podm´ınku). 5 > 0 x−3 x−3+5 > 0 x−3 x+2 > 0 x−3

1+

x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; ∞) Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Na dané mnoˇzinˇe vyˇreˇste nerovnice. (a) (b)

2x−3 + 3x−2 3 2 2x−17 8−x − 2 4 2

≥ 61 , x ∈ R

[h1; ∞)]

− 2 ≤ x − 4 + x8 , x ∈ R 2

2

(c) (x − 3) + (x + 1) < 2x − 6x + 13, x ∈ R (d) (e)

3x−1 4 4x−3 5

(f) 3x + (g) (h) (i)

− − 2 7

5−6x 2 3x−4 2

≤ 8 + 23 x, x ∈ N +

2x−5 3

[(−∞; 23 )] [{1; 2; 3; 4}]

< 0, x ∈ Z

[{−7; −6; −5; . . .}]

> 1 − x, x ∈ Z−

3−x − 9+7x + x ≥ 7−x − x+3 ,x 2 8 6 4 3−2x + + x ≥ −1, x ∈ R 3 x+3 − x−2 − 5 < x−1 , x ∈ R− 2 3 2

[h−50; ∞)]

[∅] ∈ Z+

[Z+ ] [R+ ] [(−7; 0)]

2. V mnoˇzinˇe R ˇreˇste nerovnici. (a) (b) (c) (d) (e)

2x ≤ −1 x−2 2x−1 ≥1 x−3 2x−4 >1 3x−6 3x−5 ≤2 5x−3 3x−5 ≥1 2x+3

[h 23 ; 2)] [(−∞; −2i ∪ (3; ∞)] [∅] [(−∞; 71 i ∪ ( 35 ; ∞)] [(−∞; − 32 ) ∪ h8; ∞)] 45

6 NEROVNICE

(f) (g)

2x+3 x 5x−1 x+2

(h) 3 − (i)

> <

1 2 3 4

2+x x−4

1−x 5x+10

<

[(−∞; −2) ∪ (0; ∞)]

<

[(−2; 10 )] 17 ] [ 4; 17 2

2 3

3 5

[(−∞; −2) ∪ (− 54 ; ∞)]

3. V mnoˇzinˇe R ˇreˇste nerovnici. (a) x2 − 5x + 6 ≥ 0

[(−∞; 2i ∪ h3; ∞)]

(b) x2 − 8x + 7 ≤ 0

[h1; 7i]

(c) 11x2 + 22x + 11 ≤ 0

[−1]

(d) x2 − 3x + 2 < 0

[(1; 2)]

2

[R]

2

[∅]

(e) x − 2x + 6 ≥ 0 (f) x − 3x + 7 ≤ 0 (g) 2x2 + 5x − 3 > 0

[(−∞; −3) ∪ ( 21 ; ∞)]

(h) 6x2 + x − 35 > 0

[(−∞; − 25 ) ∪ ( 73 ; ∞)]

(i) x2 + 4x + 5 > 0

[R]

(j) x2 + 3x + 12 ≤ 0

[∅]

(k) (2x − 1)2 + (x + 2)3 < x3 + 2x − (3x − 2)2

[∅]

4. V mnoˇzinˇe R ˇreˇste nerovnici. (a)

(x+3)2 (x−1) (x2 −16)(5x+6)

(b)

(1−x2 )(x2 −4) x3 −x

(c)

2x(x−5)(25−x2 ) x2 +7x+10

(d)

x2 −6x+9 (x2 −1)(x2 −4)

(e)

x2 −5x+6 x2 +x+1

<0

[(2; 3)]

(f)

x2 +2x−3 x2 +1

<0

[(−3; 1)]

(g)

x2 +4x+4 2x2 −x−1

>0

[(−∞; −2) ∪ (−2; − 21 ) ∪ (1; ∞)]

(h)

x2 −7x+12 2x2 +4x+5

[(−∞; −4) ∪ {−3} ∪ (− 56 ; 1i ∪ (4; ∞)]

≥0

[(−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (2; ∞)]

<0 ≥0

[(−2; 0i ∪ {5}]

≥0

[(−∞; −2) ∪ (−1; 1) ∪ (2; ∞)]

[(−∞; 3) ∪ (4; ∞)]

>0

5. V mnoˇzinˇe R ˇreˇste nerovnici.

(e)

2x ≤ −1 x2 +1 2 < x3 x−1 x−1 > x+3 x+2 x−2 x+1 3 > x−2 − x−2 x−1 + x−2 ≤ x−2 x−1

(f)

1+x3 x2 −4

(g)

7 (x−2)(x−3)

(a) (b) (c) (d)

(h) 2 −

[−1] [(0; 1) ∪ (3; ∞)] [(−∞; −2) ∪ (− 12 ; 2)] 1 2 5 2

[R\{2}] [(−∞; 0i ∪ (1; 2) ∪ h3; ∞)] [(−∞; −2) ∪ (− 14 ; 2)]

<x

x−3 x−2

+

≥

9 x−3

[(−5; 1) ∪ (2; 3)]

+1<0

x−2 x−1

[(1; 32 i ∪ (2; ∞)] 46

6 NEROVNICE

(i) (j)

x−1 x+1 x4 x+2

+ −

x+1 x−1 x4 x−3

> <

10 3

[(−2; −1) ∪ (1; 2)]

(6−10x)x2

[(−∞; −2) ∪ (3; ∞)]

x2 −x−6

6. Urˇcete definiˇcn´ı obor následuj´ıc´ıch funkc´ı. (a) f : y = (b) f : y =

13 x2 −3x+2

q

[R\{1; 2}]

x+3 5−x

[h−3; 5)]

√ x2 − 5x + 6 √ (d) f : y = x2 + x + 11 q 5 (e) f : y = 1 + x−3 q 2 (f) f : y = xx2−7x+12 −2x−3

[(−∞; 2i ∪ h3; ∞)]

(c) f : y =

(g) f : y = log2

[R] [(−∞; −2i ∪ (3; ∞)] [(−∞; −1) ∪ h4; ∞)]

x−2 x+2

[(−∞; −2) ∪ (2; ∞)]

7. Urˇcete definiˇcn´ı obor následuj´ıc´ıch funkc´ı. q 2 (a) f : y = x x−3x+2 2 −16 √ (b) f : y = ln (x2 − 10x) + x − 6 x+2 x−3

2

+ ln (2x − 4x) q 3x 2 (d) f : y = ln (11x − x ) − x−7 (c) f : y =

[(−∞; −4) ∪ h1; 2i ∪ (4; ∞)] [(10; ∞)] [(−∞; 0) ∪ (2; 3) ∪ (3; ∞)] [(7; 11)]

(e) f : y = log (9 − x2 ) + 2x3x−6 2 +4x √ x2 −16 (f) f : y = −2x2 + x + 3 − x2 +10x+25 q 2 +5x−3 (g) f : y = 2x49−x 2 − 2 (h) f : y = log x+3 x−2 q (i) f : y = 2x−1 −1 3x+4

[(−3; 3)\{0; 2}] [h−1; 32 i] [(−7; −3i ∪ h 12 ; 7 ] [(2; 7)] [h−5; − 34 ]

√

(j) f : y =

x+5 ln(9−x)

[h−5; 8) ∪ (8; 9)]

47

´ ROVNICE 7 GONIOMETRICKE

7

Goniometrick´ e rovnice

ˇ sen´ı goniometrick´ Reˇ ych rovnic m˚ uˇzeme vyjádˇrit v radiánech (oblouková m´ıra) nebo ve stupn´ıch (´ uhlová m´ıra). V tomto textu je vˇse uvedeno v obloukové m´ıˇre pomoc´ı násobk˚ u Ludolfova ˇc´ısla π. Goniometrické funkce jsou periodické, proto ˇreˇsen´ı goniometrick´ ych rovnic je nekoneˇcnˇe mnoho (v obecn´ ych pˇr´ıpadech) a k základn´ımu v´ ysledku se pˇriˇc´ıtá celoˇc´ıseln´ y násobek periody. (Uvˇedomme si, ˇze i po pˇriˇcten´ı celoˇc´ıselného násobku periody s v´ yrazy m˚ uˇzeme provádˇet elementárn´ı u ´pravy.) Nemˇeli bychom zapomenout, ˇze goniometrické rovnice mohou m´ıt dvˇe nezávislá ˇreˇsen´ı. (Pozor pˇri v´ ypoˇctech na kalkulaˇcce, která uvede pouze jedno!) Pˇr´ıklad 1. a 2. je na procviˇcen´ı základn´ıch u ´loh, které rovnou plynou z tabulky hodnot goniometrick´ ych funkc´ı pro základn´ı u ´hly. Hodnoty m˚ uˇzeme téˇz vyˇc´ıst z jednotkové kruˇznice nebo grafu. Ve 3. a 4. pˇr´ıkladu je potˇreba rovnici upravit podle vztah˚ u goniometrick´ ych v´ yraz˚ u, aby se v rovnici vyskytoval jeden druh goniometrické funkce (napˇr. pouze sin x). Rovnici dál ˇreˇs´ıme zaveden´ım vhodné substituce a pˇreveden´ım zejména na kvadratickou rovnici. Nakonec se vrát´ıme k substituci a p˚ uvodn´ı promˇenné. 5. pˇr´ıklad se m˚ uˇze ˇreˇsit pomoc´ı goniometrické funkce tg x (resp. cotg x) tak, ˇze rovnici vydˇel´ıme v´ yrazem cos x (resp. sin x). Mus´ıme si ovˇsem dát pozor, abychom nedˇelili nulov´ ym v´ yrazem. ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnici 2 sin( 1 x − π) = −2. 1. Reˇ 2 Vyjádˇr´ıme si sin x. Potom pomoc´ı jednotkové kruˇznice, tabulky hodnot nebo grafu funkce sin x, zjist´ıme ˇreˇsen´ı a vyjádˇr´ıme si x. 2 sin( 21 x − π) = −2 / : 2 sin( 21 x − π) = −1 1 x 2

− π = 32 π + 2kπ

1 x 2

= 52 π + 2kπ

x = 5π + 4kπ po u ´pravˇe x = π + 4kπ, k ∈ Z ˇ ste v R rovnici 2 cos 2. Reˇ

2 x 3

+

π 2

= 1.

Vyjádˇr´ıme si cos x. Potom pomoc´ı jednotkové kruˇznice, tabulky hodnot nebo grafu funkce cos x, zjist´ıme ˇreˇsen´ı a vyjádˇr´ıme si x. 2 cos 32 x + π2 = 1 / : 2 cos 23 x + π2 = 21 2 x 3 1 2 x 3 1

+

π 2

= 13 π + 2kπ / −

= − π6 + 2kπ

x1 = − π4 + 3kπ

/·

3 2

π 2

2 x 3 2 2 x 3 2

+ =

x2 =

48

π = 53 π + 2kπ 2 7 π + 2kπ 6 7 π + 3kπ, k ∈ 4

/− /· Z

3 2

π 2

´ ROVNICE 7 GONIOMETRICKE ˇ ste v R rovnici 3 cos x + 3 = 2 sin2 x. 3. Reˇ Rovnici uprav´ıme tak, aby se v n´ı kromˇe konstant vyskytoval pouze výraz cos x, poté zavedeme substituci a vyˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici. Nakonec se vrát´ıme k p˚ uvodn´ı promˇenné. 2 3 cos x + 3 = 2(1 − cos x) 3 cos x + 3 = 2 − 2 cos2 x 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0 / subs.: cos x = t 2t2 + 3t + 1 √ =0 ( −3+1 = − 21 −3 ± 1 −3 ± 1 4 = = −3−1 t1,2 = 4 4 = −1 4 t1 = − 12 cos x = − 12

t2 = −1 cos x = −1

x1,2 = ± 32 π + 2kπ

x3 = π + 2kπ, k ∈ Z

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnice: 1. Reˇ (a) cos(2x + π2 ) = 1

[− π4 + kπ, k ∈ Z]

(b) sin( x2 + π2 ) = −1

[2π + 4kπ, k ∈ Z] [k π2 , k ∈ Z]

(c) sin(2x + π) = 0 (d) cos(2x + π3 ) = − 12 (e) cos(4x + 35 π) = − (f)

√1 5

cos(2x + π3 ) =

[− π2 + kπ;

√

3 2 √ − 55

π 6

+ kπ, k ∈ Z]

5 [− 58 π + k π2 ; − 24 π + k π2 , k ∈ Z]

[ π3 + kπ, k ∈ Z]

ˇ ste v R rovnice: 2. Reˇ (a) tg(3x − π4 ) = 1 (b) cotg(2x − π) =

√

[ π6 + k π3 , k ∈ Z] π [ 12 + k π2 , k ∈ Z]

3

(c) tg(2x + π6 ) = 0 (d) cotg(π − x) = −1 √ (e) 3tg( x2 + π3 ) = 3 (f)

√2 tg 3

π [− 12 + k π2 , k ∈ Z]

[ 34 π + kπ, k ∈ Z] [− π3 + 2kπ, k ∈ Z]

√

( x2 + π4 ) = − 2 3 3

[π + 2kπ, k ∈ Z]

(g) 3cotg( 32 π − x) = 0

[ π6 + kπ, k ∈ Z]

ˇ ste v R rovnice: 3. Reˇ (a) 2 sin2 x − sin x = 0

[kπ;

(b) sin2 x + 2 sin x − 3 = 0

π 6

+ 2kπ; 56 π + 2kπ, k ∈ Z] [ π2 + 2kπ, k ∈ Z]

(c) sin2 x − 3 sin x − 10 = 0

[∅] [ π3

(d) cos x(2 cos x + 1) = 1 √ √ (e) 3tg2 x + 2tg x − 3 = 0 √ √ (f) tg2 x + 3tg x−tg x − 3 = 0 49

+ 2kπ;

5 π + 2kπ; π + 2kπ, 3 [ π6 + kπ; 23 π + kπ, [− π3 + kπ; π4 + kπ,

k ∈ Z] k ∈ Z] k ∈ Z]

´ ROVNICE 7 GONIOMETRICKE [ π2 + kπ;

(g) cotg3 x = cotg x

π 4

+ k π2 , k ∈ Z]

ˇ ste v R rovnice: 4. Reˇ (a) 6 sin2 x − 7 cos x − 1 = 0

[± π3 + 2kπ, k ∈ Z] [ π6 + 2kπ; 56 π + 2kπ, k ∈ Z]

(b) 3 sin x = 2 cos2 x √ (c) 2 3 sin2 x = cos x

[± π6 + 2kπ, k ∈ Z]

(d) sin2 x + cos x + 1 = 0

[π + 2kπ]

(e) 3 cos2 x − 4 cos x − sin2 x − 2 = 0

[± 32 π + 2kπ, k ∈ Z] [ π2 + 2kπ; 76 π + 2kπ;

(f) cos 2x + sin x = 0 (g) cos2 x − cos 2x − sin x =

[ 76 π + 2kπ;

3 4

11 π 6 11 π 6

+ 2kπ, k ∈ Z] + 2kπ, k ∈ Z]

ˇ ste v R rovnice: 5. Reˇ [ π4 + kπ, k ∈ Z]

(a) sin x = cos x √ (b) sin x + 3 cos x = 0

[− π3 + kπ, k ∈ Z]

50

´ VYRAZY ´ 8 GONIOMETRICKE

8

Goniometrick´ e v´ yrazy

Goniometrické v´ yrazy zjednoduˇsujeme pomoc´ı pravidel pro ˇreˇsen´ı algebraick´ ych v´ yraz˚ u (mocnˇen´ı, rozklady na souˇcin,. . . ) a dále vztahy mezi goniometrick´ ymi funkcemi. Pokud máme goniometrick´ y v´ yraz ve tvaru zlomku, zpravidla se ho snaˇz´ıme zkrátit. U podm´ınek ˇreˇsitelnosti se, stejnˇe jako u algebraick´ ych v´ yraz˚ u, vycház´ı z pˇredpoklad˚ u, ˇze ve jmenovateli zlomku nesm´ı b´ yt nula, v´ yraz pod odmocninou mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı nebo roven nule. Mohou nastat i dalˇs´ı pˇr´ıpady, ale ty jsou naprosto ojedinˇelé. Pokud porovnáváme s nulou, ˇreˇs´ıme vlastnˇe jednoduché goniometrické rovnice respektive nerovnice. Nesm´ıme zapomenout na vˇsechna ˇreˇsen´ı, tzn. pˇriˇc´ıst celoˇc´ıseln´ y násobek periody, kter´ y vˇetˇsinou oznaˇcujeme k. Ve v´ ysledku by se samozˇrejmˇe mˇelo objevit k ∈ Z. ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Upravte v´ yraz

sin 2x . 1 + cos 2x

Vyuˇzijeme vztahy mezi goniometrickými funkcemi a vhodné vzoreˇcky. 2 sin x cos x sin 2x 2 sin x cos x = = = 2 2 2 1 + cos 2x 1 + cos x − sin x cos x + sin2 x + cos2 x − sin2 x 2 sin x cos x sin x = = = tg x 2 2 cos x cos x Podm´ınky ˇreˇsitelnosti: Jmenovatelé mus´ı být nenulové. cos x 6= 0 ⇒ x 6= π2 + kπ, k ∈ Z Dále bychom si mohli vyjádˇrit podm´ınku (vzhledem k tomu, ˇze jsme ve výrazu krátili pouze cos x, mus´ı vyj´ıt stejnˇe jako pˇredchoz´ı podm´ınky ˇreˇsitelnosti). 1 + cos 2x 6= 0 cos 2x 6= −1 2x 6= π + 2kπ /:2 x 6= π2 + kπ, k ∈ Z 2. Upravte v´ yraz sin4 x − cos4 x + cos2 x. Vyuˇzijeme vztahy mezi goniometrickými funkcemi a vhodné vzoreˇcky. sin4 x − cos4 x + cos2 x = (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x) + cos2 x = = sin2 x − cos2 x + cos2 x = sin2 x

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Zjednoduˇste v´ yrazy a udejte podm´ınky ˇreˇsitelnosti: (a) sin2 x cos x + cos3 x

[cos x]

(b) (1 + sin x)(1 − sin x)

[cos2 x] [2 sin x; x 6=

(c) sin x + cos x tg x

π 2

+ kπ, k ∈ Z]

[1; x 6= k π2 , k ∈ Z]

(d) sin x cos x(tg x+ cotg x) (e) (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2

[2] 51

´ VYRAZY ´ 8 GONIOMETRICKE

2. Upravte: (a) cos4 x − sin4 x 4

[cos 2x]

2

[4 sin2 x]

(b) 4 sin x + sin 2x (c)

1 4

sin2 2x

[sin2 x cos2 x]

3. Zjednoduˇste: (a) (b)

cos2 x−1 2 sin2 x+2 cos2 x 1 −1 cos2 x

[− 12 sin2 x] [tg2 x; x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z]

(c)

1−sin2

x 1−cos2 x

[cotg 2 x; x 6= kπ, k ∈ Z]

(d)

cos2 x 1+sin x

[1 − sin x; x 6= − π2 + 2kπ, k ∈ Z]

(e)

sin2 πx 1+cos πx

(f)

sin x 1+cos x

[1 − cos πx; x 6= 1 + 2k, k ∈ Z]

+

sin x 1−cos x

[ sin2 x ; x 6= kπ, k ∈ Z]

(g) cotg x +

sin x 1+cos x

[ sin1 x ; x 6= kπ, k ∈ Z]]

(h)

sin x cos 2x cos x sin 2x

(i)

cos2 2x−1 sin2 2x−1

[ 12 (1− tg2 x); x 6= k π2 , k ∈ Z] [tg2 2x; x 6=

π 4

+ k π2 , k ∈ Z]

4. Upravte: (a)

1 1+tg 2 x

(b)

1−tg x 1+tg x

(c)

cos 2x sin x+cos x

(d)

sin x−cos x 1−tg x

(e)

+

1 1+cotg2 x

[1; x 6= k π2 , k ∈ Z] cos x−sin x [ cos ; x 6= x+sin x

π 2

+ kπ, x 6= − π4 + kπ, k ∈ Z]

[cos x − sin x; x 6= − π4 + kπ, k ∈ Z] + kπ, x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z]

1−sin 2x cos x−sin x

[cos x − sin x; x 6=

π 4

+ kπ, k ∈ Z]

(f)

1−2 sin2 x sin x−cos x

[− cos x − sin x; x 6=

π 4

+ kπ, k ∈ Z]

(g)

cos 2x 1+sin 2x

(h)

1+sin 2x (sin x+cos x)2

(i)

[− cos x; x 6=

π 4

x−sin x [ cos ; x 6= 43 π + kπ, k ∈ Z] cos x+sin x

[1; x 6= 34 π + kπ, k ∈ Z]

tg x+sin x 2 cos2 x2

[tg x; x 6=

π 2

+ kπ, x 6= π + 2kπ, k ∈ Z]

5. Upravte: (a)

cos x+cotg x cotg x

(b)

tg x tg x+cotg x

[sin2 x; x 6= k π2 , k ∈ Z]

(c)

2cotg x 1+cotg2 x

[sin 2x; x 6= kπ, k ∈ Z]

(d)

1−cos 2x+sin 2x 1+cos 2x+sin 2x

(e) (f)

2 sin 2x−sin 4x 2 sin 2x+sin 4x 1 1+ tg x tg 2x

(g)

1 cos2 x

(h)

1−cos 2x sin 2x

−

[1 + sin x; x 6= k π2 , k ∈ Z]

[tg x; x 6= − π4 + kπ, x 6=

+ kπ, k ∈ Z]

[tg2 x; x 6= k π2 , k ∈ Z] + k π2 , x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z]

[tg x; x 6= − π4 + kπ, x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z]

[cos 2x; x 6=

sin3 x+cos3 x sin x cos2 x+cos3 x

+

π 2

sin 2x 1+cos 2x

π 4

[2tg x; x 6= k π2 , k ∈ Z]

52

´ Í ROVNICE 9 EXPONENCIALN

9

Exponenci´ aln´ı rovnice

Exponenciáln´ı rovnice si m˚ uˇzeme rozdˇelit na tˇri základn´ı typy: 1. typ – na levé i pravé stranˇe rovnice máme pouze jeden exponenciáln´ı ˇclen, nebo na tento tvar m˚ uˇzeme rovnici pˇrevést (tzn. vˇse mezi sebou násob´ıme nebo dˇel´ıme). (Pˇr´ıklad 1., 2.) Rovnice ˇreˇs´ıme tak, ˇze jednotlivé v´ yrazy pˇrevedeme, aby mˇely stejn´ y základ. Plat´ı vˇeta, ˇze pokud se rovnaj´ı základy exponenciáln´ıch v´ yraz˚ u, rovnaj´ı se i mocniny. Jejich porovnán´ım exponenciáln´ı rovnici pˇrevedeme na nˇejakou jednoduˇsˇs´ı (napˇr. lineárn´ı, kvadratickou,. . . ). 2. typ – V rovnici je v´ıce ˇclen˚ u, které mezi sebou sˇc´ıtáme nebo odˇc´ıtáme. Vˇsechny v´ yrazy s mocninou maj´ı stejn´ y základ, nebo jdou pˇrevést na v´ yrazy se stejn´ ym základem. (Pˇr´ıklad 3., 4., 5.) Zvol´ıme vhodnou substituci. T´ım exponenciáln´ı rovnici pˇrevedeme na nˇejakou jednoduˇsˇs´ı (lineárn´ı, kvadratickou,. . . ) a vyˇreˇs´ıme ji. Nakonec se vrát´ıme k p˚ uvodn´ı promˇenné a pˇr´ıklad doˇreˇs´ıme jako rovnici 1. nebo 3. typu. 3. a 4. pˇr´ıklad m˚ uˇzeme ˇreˇsit i vytknut´ım v´ yrazu s mocninou, jeho osamostatnˇen´ım a pˇreveden´ım na 1. typ (resp. na 3. typ). 3. typ – exponenciáln´ı v´ yrazy nemaj´ı stejn´ y základ. Rovnici je potˇreba zlogaritmovat. ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnici 27 · 272x−3 = 813x−5 . 1. Reˇ Vˇsechny základy exponenciáln´ıch výraz˚ u lze pˇrevést na mocninu ˇc´ısla 3. 33 · 33·(2x−3) = 34·(3x−5) 33+3·(2x−3) = 34·(3x−5) 3 + 3 · (2x − 3) = 4 · (3x − 5) − 6x = −14 7 x= 3 ˇ ste v R rovnici 4 · 3x+1 − 72 = 3x+2 + 3x−1 . 2. Reˇ Výrazy s exponenty pˇrevedeme na levou stranu, ˇc´ıslo 72 na pravou. Ze vˇsech tˇr´ı ˇclen˚ u na x levé stranˇe vytkneme spoleˇcný výraz 3 a osamostatn´ıme. Nakonec porovnáme mocniny. 4 · 3x+1 − 3x+2 − 3x−1 = 72 4 · 3x · 31 − 3x · 32 − 3x · 3−1 = 72 3x (4 · 31 − 32 − 3−1 ) = 72 3x (12 − 9 − 31 ) = 72 3x ( 38 ) = 72 3x = 27 x=3

53

´ Í ROVNICE 9 EXPONENCIALN ˇ ste v R rovnici 3. Reˇ

8 3

· 3x−1 + 1 = 9x−1 .

Mocniny si uprav´ıme, zavedeme substituci a exponenciáln´ı rovnici pˇrevedeme na kvadratickou. Nakonec se vrát´ıme k substituci a p˚ uvodn´ı promˇenné. 8 x −1 2x −2 x ·3 ·3 +1=3 ·3 /substituce 3 = t 3 · t · 13 + 1 = t2 · 91 − 19 t2 + 89 t + 1 = 0 / · (−9) t2 − 8t − 9 = 0 (t − 9)(t + 1) = 0 8 3

t2 = −1 3x = −1 nemá ˇreˇsen´ı

t1 = 9 3x = 9 x=2

Jediným ˇreˇsen´ım je x = 2.

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnice: 1. Reˇ (a) 26x · 2−(9+x) = 23x−5 √ 5 2 (b) 2x −6x− 2 = 16 2

[−1; 7]

(c) 33 · 272x−3 = 813x−5

[ 73 ]

(d) 2x · 5x = 0, 1 · (10x−1 )5

[ 32 ]

x+5

[2]

x+17

(e) 32 x−7 = 0, 25 · 128 x−3 (f) 16

x x+3

√

x

= 4 · ( 28 )

[10]

1 2x+5

[− 73 ; 3]

√

= 64 · 2 x+1 √ √ √ 3 (h) 4 · 25−7x = 2 · 43−5x (g) 4

x+1

[35] [12]

ˇ ste v R rovnice: 2. Reˇ (a) ( 73 )3x+7 = ( 73 )7x−2

[− 12 ]

2x+1

(b) ( 58 ) x−1 = ( 512 )3−x 125 2

[ 23 ; 4] 3

(c) (1 − 59 ) 3−2x = ( 94 ) x−5 (d) ( 23 )x · ( 98 )x =

[− 14 ]

27 64

(e) ( 49 )x · ( 27 )x−1 = 8 1

(f) ( 43 )x−1 · ( 34 ) x =

[3] 2 3 9 16

9 2x (g) ( 25 ) · ( 125 )x−1 = 27

(h) ( 49 )x · ( 27 )x−1 = 8

[2] √ [ 3±2 13 ] log 8 log 32

[−2]

log 4 log 8

[2]

ˇ ste v R rovnice: 3. Reˇ (a) 2x+2 − 2x = 96

[5]

(b) 3x+2 + 3x−1 = 28

[1]

(c) 5x+1 − 5x−1 = 24

[1] 54

´ Í ROVNICE 9 EXPONENCIALN (d) 3 · 2x − 20 = 2x−1 x

(e) 3 + 3

x+2

=

[3]

10 3

[−1]

(f) 5x + 3 · 5x−2 = 140

[3]

(g) 3x+2 − 3x − 24 = 0

[1]

ˇ ste v R rovnice: 4. Reˇ (a) 32x−1 + 32x−2 − 32x−4 = 315

[3]

(b) 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 = 448

[9]

(c) 2x+1 + 3 · 2x−1 − 5 · 2x + 6 = 0

[2]

(d) 10 · 22x−1 − 7 · 0, 5−2x = −22x+2 + 16 (e) 1, 5 · 0, 2x+1 + 0, 8 · 0, 2x−1 = 0, 172 (f)

2x ·3x+2 67−x ·8x−4

(g)

2x+3 ·3x+2 67−x ·8x−1

=

1 3

=

9x−2

[1, 5] [2]

· 9x−2

[5] [−1]

3

ˇ ste v R rovnice: 5. Reˇ (a) 6x+1 + 61−x = 37 2x+1

(b) 4

x−1

= 65 · 4

[±1] −1

[−2; 1]

(c) 32x−1 + 3 · 3x − 12 = 0 (d)

1 2

[1]

· 2x−1 = 4x−1

[0]

(e) 3x+1 + 9x = 108

[2]

(f) 72x + 7x − 686 = 36 · 7x

[2]

(g)

1 5x

(h) 25

+ 5x = 2x

26 5 x

[±1] [ 21 ]

− 3 · 25 = 10

(i) 24x − 13 · 22x − 48 = 0

[2]

55

´ ROVNICE 10 LOGARITMICKE

10

Logaritmick´ e rovnice

Logaritmické rovnice m˚ uˇzeme rozdˇelit na tˇri základn´ı typy: 1. typ – v rovnici je pouze jeden logaritmick´ y v´ yraz na jedné stranˇe a ˇc´ıslo resp. v´ yraz na druhé, nebo rovnici takto m˚ uˇzeme upravit (1. pˇr´ıklad). Rovnice se ˇreˇs´ı pˇr´ım´ ym dosazen´ım do vztahu loga r = s ⇔ as = r. Logaritmické rovnice se tak pˇrevede na lineárn´ı, kvadratickou, exponenciáln´ı,. . . . 2. typ – v rovnici je v´ıce logaritmick´ ych v´ yraz˚ u nebo ˇc´ısel. Logaritmy maj´ı stejn´ y základ a jsou lineárn´ı (2. – 5. pˇr´ıklad). Logaritmické v´ yrazy uprav´ıme pomoc´ı vzorc˚ u pro souˇcet, rozd´ıl logaritm˚ u nebo násoben´ı logaritmu konstantou. Na levé i pravé stranˇe dostaneme po u ´pravách jedin´ y logaritmick´ y v´ yraz. Plat´ı vˇeta, ˇze pokud se rovnaj´ı logaritmy stejn´ ych základ˚ u, rovnaj´ı se i argumenty: loga (výraz 1) = loga (výraz 2) ⇔ výraz 1 = výraz 2. Rovnici tedy odlogaritmujeme“, t´ım ” ji zjednoduˇs´ıme napˇr. na lineárn´ı, kvadratickou,. . . . 3. typ – v rovnici jsou logaritmické v´ yrazy stejn´ ych základ˚ u, logaritmy jsou vyˇsˇs´ıch mocnin (6. pˇr´ıklad). Zavedeme substituci a logaritmickou rovnici ˇreˇs´ıme nejˇcastˇeji jako kvadratickou. Poté se vrát´ıme k substituci a p˚ uvodn´ı promˇenné. U logaritmick´ ych rovnic mus´ıme dbát na podm´ınky ˇreˇsitelnosti nebo provést zkouˇsku. Tzv. ˇ odlogaritmován´ı“ rovnice nen´ı elementárn´ı u ´prava, proto se doporuˇcuje VZDY zkouˇskou ovˇeˇrit, ” zda pro dan´ y v´ ysledek je rovnice splnˇena.

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnici log5 (2x + 9) + log5 (4 − 3x) = 2 + log5 (4 + x). 1. Reˇ Levou stranu uprav´ıme podle vztahu pro souˇcet logaritm˚ u, na pravé stranˇe pˇrevedeme ˇc´ıslo 2 na logaritmus o základu 5 a souˇcet logaritm˚ u také vyjádˇr´ıme jako logaritmus souˇcinu. Po odlogaritmován´ı“ ˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici. ” log5 [(2x + 9)(4 − 3x)] = log5 52 + log5 (4 + x) log5 (8x + 36 − 6x2 − 27x) = log5 [25(4 + x)] 8x + 36 − 6x2 − 27x = 100 + 25x 6x2 + 44x + 64 / : 2 3x2 + 22x + 32√= 0 ( −22+10 = −2 −22 ± 10 −22 ± 100 6 = = −22−10 x1,2 = 6 6 = − 16 6 3 Zkouˇska: L1 = log5 [2 · (−2) + 9] + log5 [4 − 3 · (−2)] = = log5 5 + log5 10 = 1 + log5 (2 · 5) = = 1 + log5 2 + log5 5 = 2 + log5 2

    

L1 = P1

   

P1 = 2 + log5 (4 − 2) = 2 + log5 2

L2 = log5 [2 · (− 16 ) + 9] + log5 [4 − 3 · (− 16 )] = log5 (− 35 ) + . . . nelze ˇreˇsit 3 3 Jediným ˇreˇsen´ım rovnice je tedy x = −2. 56


ˇ ste v R rovnici log x2 + 3 = 2. Reˇ

2 . log x

Nejdˇr´ıv se zbav´ıme zlomku, potom zavedeme substituci a vyˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici. 2 log x2 + 3 = / · log x log x 2 log2 x + 3 log x = 2 / subs.: log x = t 2t2 + 3t − 2 √ =0 ( −3+5 = 12 −3 ± 25 −3 ± 5 4 t1,2 = = = −3−5 4 4 = −2 4 t1 = 12 log x1 =

1 2

1

x1 = 10√2 x1 = 10

t2 = −2 log x2 = −2 x2 = 10−2 x2 = 0, 01

Zkouˇska:  √ 1  L1 = 2 log 10 + 3 = 2 · + 3 = 4   2 2 2   √ = 1 = 4 P1 =  log 10 2  L2 = 2 log 0, 01 + 3 = −4 + 3 = −1  2 2  P2 = = = −1 log 0, 01 −2 √ ˇ sen´ım rovnice je x ∈ {0, 01; 10}. Reˇ

L1 = P1

L2 = P2

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: ˇ ste v R rovnice: 1. Reˇ (a) log(3x + 1) = 2

[33]

(b) log5 [(x + 2)2 + 9] = 2

[−6; 2]

(c) log 1 (x2 + 5x + 9) = −2

[−5; 0]

3

[3 + e2 ]

(d) ln(x − 3) = 2 (e) ln[(x − 1)2 + 4] = 0

[∅]

(f) log 0, 01 = x

[−2]

(g) log3 27 = x − 6

[9]

(h) log0,5 8 = 2x + 5

[−4]

(i) ln 1 = (x + 2)2 + 2(x − 7) − 6

[−8; 2] √ [1 + 3]

(j) logx−1 3 = 2 (k) log5−x (x2 − 2x + 65) = 2

[−5] √ [1 + 2]

(l) logx−2 (x3 − 14) = 3 ˇ ste v R rovnice: 2. Reˇ

[ 89 ]

(a) log(x + 2) − log(x − 1) = 2 − log 4 57


(b) log(x + 1) + log(x − 1) − log(x − 2) = log 8

[3; 5]

(c) log(x − 3) − log(2 − 3x) = 1

[∅]

(d) log(x − 13) − log(x − 3) = 1 − log 2

[∅]

(e)

log(2x+10) 2

= log(x + 1)

[3]

(f) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x)

[3]

ˇ ste v R rovnice: 3. Reˇ (a) log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1

[0]

(b) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8 (c) 2 log2 (x − 2) + log2 (x − 4)2 = 0

[5] √ [3; 3 + 2]

(d) log 1 (x + 10) + log 1 (7 − 2x) = −4

[−5, 5; −1]

3

3

(e) 2 log2

x−7 x−1

+ log2

x−1 x+1

=1

[−17] 2

(f) log 1 (2x + 5) = log 1 (16 − x ) + 1 5

[−1]

5

ˇ ste v R rovnice: 4. Reˇ √ (a) log x + log x2 = 5 3

[100]

2

(b) log x + log x = −10 √ (c) log x + 2 + log(x + 2) = 3 √ (d) log x − 1 + log(x − 1)2 = 5 √ (e) log 3 x + log x2 = 7 √ (f) log2 x3 − log2 x + 10 = 0

[0, 01] [98] [101] [1000] 1 ] [ 16

1 x

+ 3 log 1 x − log 1 x4 = 4 5 5 √ 3 1 2 2 (h) 3 log3 x − 2 log3 x + 2 log3 x12 = 1 √ (i) ln x2 − 3 ln 3 x − 2 ln x13 = 14 (g) log 1

5

[25] √ [ 5 27] [e2 ]

ˇ ste v R rovnice: 5. Reˇ √ (a) log(x − 9) + 2 log 2x − 1 = 2 √ √ (b) log x − 5 + log 2x − 3 + 1 = log 30 √ (c) 21 log(x − 9) + log 2x − 1 = 1 √ √ √ (d) log 1 + x + 3 log 1 − x = log 1 − x2 + 2 √ √ √ (e) log 3x − 5 + log 7x − 3 = 1 + log 0, 11

[13] [6] [13] [∅] [2]

ˇ ste v R rovnice: 6. Reˇ (a) log2 x − log x − 6 = 0

[0, 01; 1000]

2

[10−6 ; 10−2 ]

(b) log x + 8 log x + 12 = 0

[103 ; 105 ]

(c) log x(8 − log x) = 15 (d) log x +

1 log x

=2

(e) 1 + log x3 =

[10] 5

[10−2 ; 10 3 ]

10 log x

1

=3

[10− 3 ; 10]

√ (g) 4 − log x = 3 log x

[10]

(f)

1 1+log x

+

5 3−log x

58

´ GEOMETRIE 11 ANALYTICKA

11

Analytick´ a geometrie

Tato kapitola je zredukovaná pouze na vyjádˇren´ı pˇr´ımek v rovinˇe. Je potˇreba znát pojmy obecná rovnice pˇr´ımky, parametrická rovnice pˇr´ımky, smˇernicov´ y tvar rovnice pˇr´ımky, smˇerov´ y a normálov´ y vektor, smˇernice pˇr´ımky, stˇred u ´seˇcky a délky u ´seˇcky. Vˇetˇsina pˇr´ıklad˚ u je na urˇcen´ı nˇekterého typu rovnice pˇr´ımky. Posledn´ı pˇr´ıklad (pˇr´ıklad 12. – urˇcen´ı pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek) se ˇreˇs´ı jako soustava lineárn´ıch rovnic. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek v rovinˇe m˚ uˇze b´ yt bud’ jedin´ y (pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzné), ˇzádn´ y (rovnobˇeˇzné pˇr´ımky), nebo jich m˚ uˇze b´ yt nekoneˇcnˇe mnoho (pˇr´ımky jsou totoˇzné).

ˇ sen´ Reˇ e pˇ r´ıklady: 1. Urˇcete smˇernici, parametrickou rovnici a obecnou rovnici pˇr´ımky, která procház´ı poˇca´tkem soustavy souˇradnic a je kolmá k pˇr´ımce q : 2x − 3y + 5 = 0. Výslednou pˇr´ımku si oznaˇc´ıme p. Z obecné rovnice pˇr´ımky q dostaneme jej´ı norm´ alový − − nq = → sp = (2; −3). vektor. Plat´ı → − M˚ uˇzeme napsat parametrickou rovnici pˇr´ımky p : X = A + t · → s , t ∈ R. p : x = 3t, y = 2t, t ∈ R. Obecnou rovnici ax + by + c = 0; a, b, c ∈ R si m˚ uˇzeme vyjádˇrit napˇr. z parametrické tak, ˇze se zbav´ıme parametru a m´ısto dvou rovnic budeme m´ıt jenom jednu: x = 3t / · (2) y = 2t / · (−3) 2x = 6t −3y = −6t 2x − 3y = 0 p : 2x − 3y = 0 Smˇernici m˚ uˇzeme urˇcit napˇr. ze smˇernicového tvaru rovnice pˇr´ımky y = kx + q; k, q ∈ R, kde smˇernice je k. 2x − 3y + 5 = 0 / − 2x − 5 −3y = −2x − 5 / : (−3) y = 32 x + 53 Smˇernice: k = 23 .

59


2. Urˇcete pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek p, q: p : x = 1 − 2t, y = 5t, t ∈ R,

q : x = 1 + 5s, y = 3 + 2s, s ∈ R.

Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek p, q oznaˇc´ıme P . Protoˇze je to spoleˇcný bod obou pˇr´ımek, jeho souˇradnice m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z následuj´ıc´ı soustavy rovnic. xp = xq yp = yq 1 − 2t = 1 + 5s /·5 5t = 3 + 2s /·2 5 − 10t = 5 + 25s 10t = 6 + 4s 5 = 11 + 29s 6 s = − 29 Vyˇslo nám jedno ˇreˇsen´ı, tzn. pˇr´ımky maj´ı spoleˇcný jeden bod a jsou tud´ıˇz r˚ uznobˇeˇzné. Souˇradnice pr˚ useˇc´ıku P dostaneme po dosazen´ı s do parametrické rovnice pˇr´ımky q. 30 1 xP = 1 − 29 = − 29 yP = 3 −

12 29

=

75 29

1 75 P = − 29 ; 29

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady: 1. Napiˇste obecnou rovnici pˇr´ımky r, která procház´ı bodem M [−3; 5] a je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou: (a) a : 5x + 2y − 8 = 0

[5x + 2y + 5 = 0]

(b) b : −2x + 3y + 6 = 0

[2x − 3y − 21 = 0]

(c) c : x = 3 − 2t, y = t, t ∈ R

[x + 2y − 7 = 0]

(d) d : x = 8 − 4t, y = 5t, t ∈ R

[5x + 4y − 5 = 0]

(e) e : x = 2, y = 1 − t, t ∈ R

[x + 3 = 0]

(f) f : y = 2x − 3 (g) g : y =

− 12 x

[2x − y + 11 = 0] [x + 2y − 7 = 0]

+2

2. Napiˇste obecnou rovnici pˇr´ımky k, která je kolmá na pˇr´ımku s a procház´ı bodem A, jestliˇze (a) A[−3; 3], s : 2x − y − 1 = 0

[x + 2y − 3 = 0]

(b) A[0; −3], s : x + 2y + 3 = 0

[2x − y − 3 = 0]

(c) A[1; 4], s : x = 3 + 2t, y = −4 + 5t, t ∈ R (d) A[1; 2], s : x = 3 − t, y = 5, t ∈ R (e) A[2; −5], s :

x 3

+

(f) A[−3; 5], s : y =

[2x + 5y − 22 = 0] [x − 1 = 0]

y =1 4 2 x+5 3

[3x − 4y − 26 = 0] [3x + 2y − 1 = 0]

3. Napiˇste rovnici pˇr´ımky p, která procház´ı poˇcátkem souˇradné soustavy a je kolmá k pˇr´ımce q : x − 1 = 0. [y = 0] 60


4. Urˇcete smˇernici a napiˇste parametrickou rovnici pˇr´ımky p, která procház´ı poˇca´tkem souˇradné soustavy a je kolmá k pˇr´ımce q : x − 2y − 1 = 0. [−2; x = t, y = −2t, t ∈ R] 5. Urˇcete smˇernici pˇr´ımky p, která procház´ı poˇca´tkem souˇradné soustavy a je kolmá k pˇr´ımce q : 3x + y − 8 = 0. [ 13 ] 6. Urˇcete smˇernici pˇr´ımky p, která procház´ı body A[2; 2] a B[4; 1]. Dále urˇcete zb´ yvaj´ıc´ı souˇradnice bod˚ u X[x; 0] a Y [0; y] leˇz´ıc´ıch na této pˇr´ımce. [− 12 , X[6; 0],Y [0; 3]] 7. Napiˇste parametrickou, obecnou a smˇernicov´ y tvar rovnice pˇr´ımky, která procház´ı body A[3; −4] a B[2; 1]. [x = 3 − t, y = −4 + 5t, t ∈ R; 5x + y − 11 = 0; y = −5x + 11] 8. Napiˇste parametrickou, obecnou a smˇernicov´ y tvar rovnice pˇr´ımky p, která procház´ı bodem M [3; 4] a je kolmá k pˇr´ımce q : x + 2y − 1 = 0. [x = 3 + t, y = 4 + 2t, t ∈ R; 2x − y − 2 = 0; y = 2x − 2] 9. Napiˇste parametrické vyjádˇren´ı pˇr´ımky, která procház´ı bodem A[3; −1] a je rovnobˇeˇzná: (a) s osou x

[x = 3 + t, y = −1, t ∈ R]

(b) s osou y

[x = 3, y = −1 + t, t ∈ R] [x = 3 + t, y = −1 + t, t ∈ R]

(c) s osou I. a III. kvadrantu

10. Napiˇste obecnou rovnici, parametrické vyjádˇren´ı a smˇernicov´ y tvar osy u ´seˇcky AB, jestliˇze A[5; 4], B[−1; 8]. [3x − 2y + 6 = 0; x = 2 + 2t, y = 6 + 3t, t ∈ R; y = 23 x + 3] 11. Napiˇste obecnou rovnici pˇr´ımky procházej´ıc´ı body A[3; 1], B[−1; 4] a vypoˇc´ıtejte délku u ´seˇcky AB. [3x + 4y − 13 = 0; 5] 12. Urˇcete pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek (a) p : 3x − 5y + 12 = 0; q : 5x + 2y − 42 = 0

[[6; 6]]

(b) p : 4x + 7y − 18 = 0; q : 6x + 5y − 38 = 0

[[8; −2]]

(c) p : −x + 4y − 8 = 0; q : y − 5 = 0

[[12; 5]]

(d) p : 2x + 3y − 7 = 0; q : x = 3 + 2t, y = 5 + t, t ∈ R

[[−1; 3]]

(e) p : x = 3 − t, y = 2 − 5t, t ∈ R; q : 7x − 2y − 26 = 0

[[0; −13]]

(f) p : 3x − 2y − 2 = 0; q : x = 2 + 2t, y = 2 + 3t, t ∈ R [p ≡ q, tzn. [2 + 2t; 2 + 3t], t ∈ R] (g) p : x = 12 + 3t, y = 5 − t; q : x = 4s, y = −2 + 6s, t, s ∈ R [[6; 7]] (h) p : x = 3 + t, y = 4 − 4t; q : x = 0, y = s, t, s ∈ R

[[0; 16]]

(i) p : x = 3t, y = 7; q : x = 6, y = 4s, t, s ∈ R

[[6; 7]]

(j) p : y = 5x − 6; q : x = 3 − t, y = −1 + 5t, t ∈ R

[[2; 4]]

(k) p : x = 8 − 4t, y = 2 + 31 t, t ∈ R; q : y = 2x + 11

[[−4; 3]]

(l) p : y = 6x − 20y + 12, q : 3x − 10y + 12 = 0

61

[p k q, tzn.[∅]]

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

Recommend Documents