UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPEN 20 februari ’03
HYSTERESIS Practicum 2de Kandidatuur Burgerlijk Ingenieur
Auteurs:
WERBROUCK, WILLEMS,
Steven Tom
Inhoudstafel 1. Situering……………………………………………………………………………….
2
1.1. Augusto Righi…………………………………………………………………….
2
1.2. Ferromagnetisme………………………………………………………………….
2
1.3. Hysterese………………………………………………………………………….
4
1.4. Magnetisatie………………………………………………………………………
6
2. Doelstelling……………………………………………………………………………
9
3. Meetopstelling en materiaal…………………………………………………………...
10
4. Werkwijze…………………………………………………………………………….
11
5. Meetresultaten………………………………………………………………………...
12
6. Bespreking……………………………………………………………………………
18
7. Besluit………………………………………………………………………………...
22
8. Referenties…………………………………………………………………………….
23
1
1. Situering 1.1 Augusto Righi In 1880 ontdekte de Italiaan Augusto Righi (1850-1920) het bestaan van magnetische hysterese (zie figuur 1-1). Later zouden onderzoekers dit effect gebruiken bij de magnetische detectie van elektromagnetische golven. Marconi’s succesvolle magnetische detector maakte gebruik van het hysterese-effect in ijzer. Hoewel Righi dit verschijnsel al eerder had beschreven, was het proffesor Emil Gabriel Warburg (18461931) van de Universiteit van Freiburg aan wie een paar maanden later de ontdekking werd toegeschreven. Experimenten met ferromagnetische materialen, onderworpen aan herhaalde perioden van magnetisatie, leidden hem tot een theorie en verklaring over hysterese.
Fig. 1-1: Augusto Righi (1850 – 1920)
1.2 Ferromagnetisme Alleen ijzer en nog enkele andere materialen, zoals kobalt, nikkel en gadolinium, vertonen sterk magnetische effecten. Zulke materialen worden ferromagnetisch genoemd (ontleend aan het Latijnse woord ferrum voor ijzer). Alle overige stoffen vertonen slechts een heel zwak magnetisch effect, dat alleen met zeer gevoelige instrumenten kan worden waargenomen. Een staafmagneet heeft als uiteinden tegengestelde polen, en lijkt in dat opzicht op een elektrische dipool (waarvan de uiteinden immers tegengesteld zijn geladen). Daarom wordt een staafmagneet soms een ‘magnetische dipool’ genoemd. De polen liggen op enige afstand van elkaar, en de magnetische veldlijnen van een staafmagneet vormen een patroon dat erg veel lijkt op de veldlijnenconfiguratie rond een elektrische dipool. Een belangrijk verschil is echter dat we wel een positieve of negatieve lading kunnen isoleren, maar dat het tot nu toe nooit is gelukt een magnetische pool te isoleren. Wanneer een staafmagneet doormidden wordt gezaagd, krijgen we niet een geïsoleerde noord- en een geïsoleerde zuidpool, maar ontstaan er twee nieuwe magneten. Naarmate we de magneet in kleinere stukjes zagen, krijgen we steeds meer kleine magneetjes met elk zowel een noord- als een zuidpool. Natuurkundigen hebben op diverse manieren getracht een magnetische pool (een zogenaamde monopool) te isoleren, en het onderzoek in die richting wordt nog steeds voortgezet, want bepaalde theorieën voorspellen het bestaan van magnetische monopolen. Maar tot dusver is daarvoor geen overtuigend experimenteel bewijs gevonden. Microscopisch onderzoek toont aan dat een magneet in feite uit kleine gebiedjes is opgebouwd die domeinen of Weissgebieden worden genoemd, en ongeveer 1 mm (of minder) lang of breed zijn. De omslagzones noemt men Blochwanden. Elk domein gedraagt zich als een zeer klein magneetje met een noord- en een zuidpool. In een stuk ijzer dat niet gemagnetiseerd is, hebben de domeinen willekeurige magnetisatierichtingen. Daardoor heffen de velden van de domeinen elkaar op, zodat zo’n stuk ijzer geen magneet is.
2
Fig. 1-2: (a) Niet gemagnetiseerde stukken ijzer zijn opgebouwd uit domeinen die willekeurige richtingen hebben. (b) In een magneet hebben de domeinen een voorkeursrichting. (De pijlen wijzen met hun punt naar de noordpool van het domein, en de lengte van een pijl is evenredig aan het magnetische moment van het domein).
In een magneet hebben de domeinen een voorkeursrichting, zoals afgebeeld in het rechter deel van figuur 1-2. Van een ongemagnetiseerd stuk ijzer kan een magneet worden gemaakt door dat stuk ijzer aan een sterk magnetisch veld bloot te stellen. Uit nauwkeurige waarnemingen is gebleken dat de domeinen in zo’n geval soms werkelijk enigszins kunnen draaien, zodat de hoek tussen het uitwendige veld en de magnetisatierichting van het domein verkleind wordt. Wat vaker gebeurt is dat de wanden van de domeinen zich verplaatsen, en wel op zo’n manier, dat die domeinen waarvan de magnetische oriëntatie evenwijdig is met het uitwendige veld zich uitbreiden ten koste van andere domeinen. U kunt dit zien door de twee bovenstaande figuren met elkaar te vergelijken. We kunnen nu begrijpen hoe het mogelijk is dat een magneet niet-gemagnetiseerde voorwerpjes van ijzer, zoals paperclips en punaises, aantrekt. Onder invloed van het uitwendige magnetische veld worden de domeinen in het nietgemagnetiseerde voorwerp enigszins gericht. Daardoor wordt het voorwerp tijdelijk een magneetje met een noordpool aan de kant van de zuidpool van de permanente magneet (of andersom), zodat de permanente magneet en het voorwerp elkaar aantrekken. Hetzelfde mechanisme verklaart ook het verschijnsel dat deeltjes ijzervijlsel zich in een magnetisch veld als kompasnaaldjes gedragen, zodat we de vorm van het magnetische veld met ijzervijlsel zichtbaar kunnen maken. Een magneet van ijzer kan zijn magnetisatie lange tijd behouden en wordt daarom ‘een permanente magneet’ genoemd. Wanneer we een magneet op de grond laten vallen of er met een hamer een klap op geven, worden de domeinrichtingen verstrooid en kan de magneet zijn magnetisatie geheel of gedeeltelijk verliezen. De magnetisatie kan ook geheel of ten dele verloren gaan als we de magneet verhitten. Wanneer de temperatuur stijgt, wordt de willekeurige thermische beweging van de atomen sterker en daardoor kunnen de domeinen hun oorspronkelijke magnetisatierichting verliezen. Boven een bepaalde temperatuur, die de Curietemperatuur wordt genoemd en die afhankelijk is van het materiaal (de Curietemperatuur voor ijzer bedraagt 1043 K), is het onmogelijk het materiaal te magnetiseren. Nikkel, ijzer, kobalt, gadolinium en bepaalde legeringen zijn ferromagnetisch bij kamertemperatuur. Diverse andere elementen en legeringen hebben een lagere Curietemperatuur, en zijn dus alleen bij lage temperaturen ferromagnetisch. De treffende overeenkomst tussen het veld van een staafmagneet en het veld van een elektrische stroom suggereert dat het magnetische veld dat door een stroom wordt opgewekt wellicht ook iets te maken heeft met ferromagnetisme, een gedachte die in de negentiende eeuw naar voren werd gebracht door Ampère.
3
Volgens de moderne atoomtheorie mogen we ons de atomen van elk willekeurig element ongeveer voorstellen als een centrale kern met in wijde banen daarom elektronen. Daar de elektronen een lading hebben en om de atoomkern bewegen, vormen ze een elektrische stroom, zodat er een magnetisch veld wordt opgewekt. Maar als er geen uitwendig magnetisch veld is, zijn de elektronenbanen in elk atoom anders georiënteerd, zodat de magnetische veldjes, die het gevolg zijn van de baanbeweging van de elektronen in de atomen van het materiaal, elkaar opheffen. De elektronen veroorzaken echter ook nog een ander magnetisch veld – ze hebben een eigen magnetisch moment dat het magnetische spinmoment wordt genoemd. In het geval van ferromagnetisme ontstaat het magnetische veld door evenwijdige oriëntatie van elektronenspins. In de meeste materialen hebben de magnetische veldjes van de elektronenspins willekeurige richtingen, zodat ze elkaar opheffen. Maar in ijzer en in andere ferromagnetische materialen doet er zich een ‘koppeling’ van elektronenspins voor, een gecompliceerde vorm van interactie tussen de elektronenspins van naburige atomen. Deze interactie heeft tot gevolg dat de elektronen die bijdragen aan het ferromagnetisme in een domein, in dezelfde richting ‘rondtollen’. Daardoor heffen de zeer zwakke magnetische veldjes van de afzonderlijke elektronen elkaar niet op, maar vormen samen het magnetische veld van een domein. Worden de domeinen gericht, dan ontstaat er een permanente magneet. De magnetische inductie die op atomaire schaal verantwoordelijk is voor de alignering bedraagt typisch 7 Tesla. Deze inductie oefent een enorm sterk richtend koppel uit op de magnetische momenten dat het thermisch ontrichtend effect ver overtreft. Deze inductie wordt de Weiss atomaire inductie genoemd Tegenwoordig is men van mening dat elk magnetisch veld een gevolg van elektrische stromen is, en dat zou verklaren waarom het maar niet wil lukken een afzonderlijke magnetische pool (een monopool) te vinden. Het is immers onmogelijk een stroom op te delen om aldus een magnetische monopool te verkrijgen. Zou er ooit toch een afzonderlijke pool worden ontdekt, dan zal men het idee dat elke magnetisch veld door een elektrische stroom wordt veroorzaakt natuurlijk moeten bijstellen.
1.3 Hysterese De sterkte van het veld binnen een solenoïde of toroïde is direct evenredig aan de stroomsterkte: B = µ0n I Hierbij stelt n het aantal windingen per eenheid van lengte van de solenoïde voor. Brengen we een staaf van ijzer (of van een ander ferromagnetisch materiaal) in een solenoïde of toroïde, dan wordt het magnetisch veld dikwijls honderden of duizenden malen sterker, doordat de domeinen in het ijzer door het uitwendige veld worden gericht. Het resulterende magnetische veld is het veld dat door de stroom wordt veroorzaakt plus het veld van de ijzeren staaf. In zulke gevallen is het soms handig de totale veldsterkte als de som van twee termen te schrijven: B = B0 + BM B0 in deze vergelijking is het magnetische veld dat uitsluitend door de stroom in de windingen wordt veroorzaakt (‘het uitwendig veld’), en is dus het veld dat ook zonder het ferromagnetische materiaal zou ontstaan. De tweede term, BM, is het extra veld dat door het ferromagnetische materiaal wordt veroorzaakt, en dikwijls is BM >> B0. Voor de kwantitatieve bepaling van het verband tussen B0, BM en B wordt er meestal een toroïde gebruikt die gevuld is met een ijzeren kern. De veldlijnen van B liggen dan immers vrijwel
4
volledig binnen de ijzerkern van de toroïde en hoeven dan nergens door een met lucht gevuld hiaat te lopen, hetgeen de situatie slechts nodeloos zou compliceren. De eerst vermelde formule moet nu aangepast worden. Men noemt de verhouding tussen de sterkte van het totale veld, B, en de sterkte van het uitwendige veld, B0, de relatieve permeabiliteit, µr: µ r = B B0 We kunnen nu ook de zogenaamde magnetische permeabiliteit µ definiëren: µ = µ0 µr Het totale magnetische veld binnen de toroïde wordt dan: B = µ0 µr n I = µ n I Voor materialen die niet ferromagnetisch zijn, zijn µ en µr constanten, zolang B0 niet al te groot is en µ slechts weinig van µ0 verschilt, zodat µr vrijwel 1 is. In het geval van ferromagnetische materialen kan µ veel groter zijn dan µ0 (en kan dus µr >> 1). Bovendien zijn voor ferromagnetische materialen µ en µr geen constanten: ze hangen in dit geval af van de sterkte van het uitwendige veld, B0. Stel dat de ijzerkern niet gemagnetiseerd is en dat we de stroomsterkte I in de toroïde, die aanvankelijk nul is, langzaam groter laten worden. Het magnetische veld van de stroom, B0, neemt daarbij recht evenredig aan I toe. De sterkte van het totale veld, B, neemt eveneens toe, maar volgt de gebogen lijn 1 die in figuur 1-3 hieronder is getekend: Fig. 1-3: Naarmate de stroomsterkte groter wordt, stijgt ook het magnetisch veld volgens de kromme 1. De domeinen hebben aanvankelijk (punt 0) willekeurige richtingen, totdat in punt T de verzadigingsmagnetisatie wordt bereikt. Laten we de stroomsterkte opnieuw afnemen, dan verdwijnt de magnetisatie niet onmiddellijk. Wanneer we de stroom in tegengestelde richting laten toenemen, krijgen we opnieuw een verzadiging in punt T’.
Aanvankelijk (punt 0) hebben de domeinen in de ijzerkern willekeurige richtingen, maar naarmate B0 toeneemt, krijgen steeds meer domeinen de richting van het uitwendige veld, totdat in punt T vrijwel alle domeinen evenwijdig met het veld zijn. Het ijzer nadert daarbij langzaam tot de verzadigingsmagnetisatie. Punt T ligt gewoonlijk op zo’n 70 procent van de verzadigingsmagnetisatie; de kromme blijft zeer langzaam verder stijgen en bereikt pas wanneer B0 duizendmaal de waarde heeft die B0 in punt T had, 98 procent van de verzadigingswaarde; de laatste paar domeinen laten zich dus heel moeilijk richten. Stel nu dat we het uitwendige veld B0 vervolgens laten afnemen door de stroomsterkte in de toroïde te verminderen. Wanneer de stroomsterkte is teruggebracht tot nul (punt Br in figuur 1-3), zijn de domeinen nog steeds enigszins gericht, en is de permanente magnetisatie dus niet helemaal verdwenen.
5
Laten we de stroom nu in tegengestelde richting weer toenemen, dan keren er zoveel domeinrichtingen om, dat B = 0 wordt (punt Hc). Neemt de omgekeerde stroom nog verder toe, dan nadert het ijzer opnieuw tot verzadiging, maar nu in de omgekeerde richting (punt T’). Wanneer we de stroomsterkte ten slotte weer tot nul laten toenemen, gaat de totale veldsterkte via het traject 3 opnieuw naar het punt T dat dicht bij de verzadigingsmagnetisatie ligt. Merk op dat de veldsterkte tijdens deze cyclus niet door de oorsprong (punt 0) ging. Het verschijnsel dat de krommen zich niet langs hetzelfde traject herhalen wordt nu hysterese genoemd, en het volledige traject heet een hystereselus. Tijdens zo’n cyclus gaat er veel energie verloren aan (wrijvings)warmte doordat de domeinen zich alsmaar bijrichten. Er kan worden aangetoond dat de hoeveelheid energie die er op deze manier in warmte wordt omgezet, evenredig is aan de oppervlakte van de hystereselus. In twee punten van figuur 1-3 is de stroomsterkte nul, terwijl de ijzerkern daar toch gemagnetiseerd is. In deze punten is de ijzerkern dus een permanente magneet. Elk ferromagnetisch materiaal heeft zijn eigen karakteristieke hystereselus. Bij zogenaamde magnetisch ‘zachte’ materialen (zoals weekijzer, permalloy, mu-metaal) is de lus smal en klein van oppervlak. Bij de ‘harde’ materialen (zoals hard koolstofstaal, ticonal) is de lus wijd en heeft ze een groot oppervlak. In elektromagneten worden er bij voorkeur magnetisch ‘zachte’ materialen gebruikt, omdat het veld in dat geval gemakkelijker kan worden uitgeschakeld, en de richting van het veld dan zonder energieverlies kan worden omgekeerd. Men kan zich afvragen hoe een materiaal gedemagnetiseerd kan worden – dat wil zeggen, hoe we het materiaal van zijn magnetisatie kunnen ontdoen. We kunnen dat doen door het gemagnetiseerde materiaal bloot te stellen aan het magnetische veld van een wisselstroom met een amplitude die in de tijd afneemt. Bij zo’n bewerking ontstaat de onderstaande hystereselus. Als uw horloge gemagnetiseerd raakt, kunt u het dus demagnetiseren door het in een stroomspoel te leggen waardoor een wisselstroom gaat en het horloge er dan langzaam weer uit te trekken.
1.4 Magnetisatie Indien een metaal eerst gepolijst wordt en daarna geëtst in een zuur, dan zijn onder een microscoop bij matige vergroting of zelfs met het blote oog kristallen zichtbaar. Figuur 1-4 geeft een typisch uitzicht van zulk een ijzeroppervlak: de lijnen zijn grenzen (boundaries) tussen aanliggende kristallen.
Figuur 1-4: Uitzicht van een ijzeroppervlak
Figuur 1-5: Kristalrooster van ijzer
6
In eenzelfde kristal zijn de ijzeratomen gerangschikt volgens een regelmatig driedimensionaal patroon (figuur 1-5), dat een kristalrooster wordt genoemd. De onderbroken lijnen stellen de kleinste eenheid van het rooster voor: de eenheidscel. Deze cel is voor ijzer kubisch, d.w.z. op ieder hoekpunt van de kubus bevindt zich een atoom. Zonder uitwendig veld is de totale macroscopische inductie nul. Een uitwendig magnetisch veld vergroot de geïnduceerde inductie door verschuiven van de Blochwanden: de Weissgebiedjes waarvan de magnetische momenten een componente in de richting van het uitwendig veld bezitten, groeien ten koste van Weissgebiedjes waarvan de magnetische momenten een tegengestelde componente bezitten. De beweging van de Blochwanden gebeurt niet op een continue manier: imperfecties pinnen de Blochwanden vast op bepaalde plaatsen, zodat de kracht een drempelwaarde moet overschrijden om de wand sprongsgewijs te verplaatsen. Dit wordt het Barkhaus-effect genoemd.
Figuur 1-6: Magnetisatie M als functie van het aangelegde magnetische veld H Figuur 1-6 stelt de magnetisatie M voor als functie van het aangelegde magnetische veld H. Verschillende gebieden zijn te onderscheiden, elk gekoppeld aan een verschillend fysisch proces. Voor lage H-waarden is de kracht op de Blochwanden kleiner dan de drempelwaarde. De wanden bewegen, maar het effect is reversibel. Bij het wegnemen van het H-veld neemt de wand zijn oorspronkelijke positie opnieuw in. Dit komt schijnbaar met paramagnetisch gedrag overeen, zij het met een relatieve permeabiliteit die veel groter is dan 1. Bij toenemende sterkte van het H-veld schuiven de wanden sprongsgewijs en irreversibel waardoor “gunstig” georiënteerde gebieden groeien ten koste van “ongunstig” georiënteerde gebieden. Bij afname van het H-veld komen de wanden niet naar hun oorspronkelijke positie terug, maar naar een intermediaire plaats. Dit geeft aanleiding tot een residuele magnetisatie die de fysische verklaring is voor hysterese. Dit effect gaat zolang door tot alle gebiedjes met een magnetisatiecomponente tegengesteld aan H verdwenen zijn. De magnetisatie van het specimen bedraagt dan M s 2 , waar Ms de magnetisatie van een enkel Weissgebiedje is. De magnetisaties van alle afzonderlijke domeintjes wijzen in de richting van H en staan onder 45° met de Blochwand. 7
Wil men de magnetische momenten nog verder richten, dan moeten deze gedraaid worden tot loodrechte stand met de Blochwand, wat aanzienlijk grotere waarden van H vereist. In de eindtoestand is de Blochwand verdwenen. Het polykristallijne kristal is een enkel Weissgebied geworden en is maximaal gesatureerd. Verdere toename van H is zonder effect op de magnetisatie M die de saturatiewaarde Ms blijft behouden.
8
2. Doelstelling In dit practicum is het de bedoeling om de normale magnetisatiekromme en de hysteresislus te bepalen. In figuur 2-1 hiernaast stelt tak 1 het verloop voor tot een zekere hoogste waarde Bmax overeenstemmend met de hoogste waarde die men voor I heeft opgenomen. Dit is de zogenaamde “maagdelijke kromme”. Nadat het veld daarna verzwakt wordt tot nul en van richting wordt verandert, verkrijgt men tak 2. Ten slotte is het de bedoeling om, na ompolen, opnieuw het veld te laten aangroeien in de aanvankelijke richting via een symmetrische tak 3 tot een volledige hysteresislus. In de praktijk zal, vertrekkende uit de ongemagnetiseerde toestand, bij een eerste cyclus de lus niet geheel symmetrisch verlopen. Bij herhaling echter komt de lus geleidelijk tot een gesloten gedaante die bij verdere cycli stabiel gehouden blijft. Bij trapsgewijze verandering van het veld tussen dezelfde uiterste waarden, blijft de lus ook behouden. We zullen de lus proberen stabiel te houden door de stroom Imax een tiental malen achter elkaar om te polen. Het is duidelijk dat bij elke waarde van Imax een verschillende hysteresislus hoort. Figuur 2-2 toont een aantal van deze symmetrisch om de oorsprong gelegen lussen. De kromme door de toppen van de lussen wordt de normale magnetisatiekromme genoemd en valt praktisch samen met de maagdelijke kromme. In de proef worden ten slotte ook de magnetische eigenschappen van de staalsoort experimenteel bepaald. We onderzoeken m.a.w. bijvoorbeeld de relatieve permeabiliteit van de staalsoort.
9
Fig. 2-1: Maagdelijke kromme
Fig. 2-2: Normale magnetisatiekromme
3. Meetopstelling en materiaal Het opmeten van de magnetische eigenschappen gebeurt met de schakeling van onderstaande figuur 3-1. De stroom in de primaire spoel wordt geleverd door een gelijkspanningsvoeding. De stroom kan gevarieerd worden door de voedingsspanning te variëren. Ompolen gebeurt met een ompoolschakelaar S. De stroomsterkte wordt gemeten met de digitale ampèremeter van de spanningsbron A. We mogen aannemen dat de diameter van de secundaire spoel gelijk is aan deze van de doorsnede van de ijzeren ring T.
Fig. 3-1: Meetopstelling van de proef De fluxverandering ∆Φ in de secundaire spoel wordt gemeten met een digitale fluxmeter F, die werkt op netspanning. De fluxmeter is van het model MIF-1 van Magnetech. De aflezing gebeurt digitaal (LED) en de aanduiding van de fluxverandering wordt rechtstreeks weergegeven in milliweber x winding (afgekort: mWb.wind). Er zijn drie in te stellen meetbereiken: a) van 0 tot 200 mWb.wind b) van 0 tot 20 mWb.wind c) van 0 tot 2 mWb.wind Is men bij fluxmetingen niet zeker over de te verwachten grootte-orde, dan begint men steeds met het minst gevoelig meetbereik en schakelt men dan over, indien mogelijk, naar de optimale meetgevoeligheid. Met de kiesschakelaar bovenaan links op het toestel kan men drie verschillende modes instellen: a) OFF: de fluxmeter is afgeschakeld van het net b) ON: het elektronische gedeelte van de fluxmeter staat onder werkspanning, doch is niet verbonden met de meetingang; m.a.w. dit is de stand-by stand van het toestel c) INT: het elektronische gedeelte van de fluxmeter staat onder spanning en is wel verbonden met de meetingang. Dit is de meetstand. Men kan de drift (het verlopen van de digitale weergave) van de fluxmeter regelen met de knop onder de digitale weergave. De regeling van de drift gebeurt uiteraard bij actieve ingang, i.e. als de kiesschakelaar in de stand INT staat. 10
4. Werkwijze We maken de schakeling zoals die op vorige pagina staat aangegeven en schakelen de netspanning aan bij de voeding en bij de fluxmeter. We stellen R zo in dat over een spanning van 30 V een stroom van 1,5 A gaat. Het aanschakelen van de netspanning over de fluxmeter gebeurt door de meter in de stand ON te plaatsen (stand-by stand). Eerst bepalen we de normale magnetisatiekromme. We plaatsen daartoe een minimale stroom van 10 mA door het voltageverschil te laten variëren. Om onnodige metingen met de fluxmeter te vermijden, laten we de kiesschakelaar bij de fluxmeter in de stand ON staan. We polen de stroom met de schakelaar S een 10-tal keer om. De stalen ring bevindt zich nu in een stabiele hysteresecyclus. We plaatsen vervolgens de kiesschakelaar bij de fluxmeter in de meetstand INT en polen de schakelaar S om. Nu kunnen we de ∆Φ aflezen die optreedt bij overgang van top A naar top A’ (zoals op figuur 2-2 is te zien). We doen een viertal metingen en berekenen daar het gemiddelde van. Ten slotte plaatsen we de schakelaar van de fluxmeter terug op ON. Nu kiezen we de volgende waarde voor de stroom en polen opnieuw 10 maal om. Dezelfde meting kan dan gebeuren. Door zoals hiervoren beschreven verschillende I-waarden in te stellen (tot Imax bereikt wordt) en de corresponderende ∆Φ’s te bepalen bekomt men een Φ-Igrafiek. In een Φ-I-grafiek zijn de halve ∆Φ-waarden de ordinaten van de punten van de normale magnetisatiekromme. Een goede grafiek bekomt men door I in stappen van 10 mA te laten toenemen tot 100 mA, in stappen van 50 mA tot 800 mA en stappen van 100 mA tot de maximale stroomsterkte. Nu bepalen we de hysteresislus. De stalen ring bevindt zich in de “maximale” stabiele hysteresislus en wel in één van de toppen (bv. T in figuur 2-2) overeenkomend met een stroomsterkte van 800 mA. We brengen de fluxmeter in de meetstand en regelen de drift voor een zo stabiel mogelijke aflezing. De meetpunten ontstaan door de voedingsspanning trapsgewijze te verkleinen tot de laatste stap de stroom op zijn kleinste waarde brengt. Het ompolen van de stroom geeft het eerste punt met negatieve abscis. Het nu opnieuw trapsgewijze vergroten van de voedingsspanning brengt ons in de top T’ van de lus. De andere tak van de lus zou op analoge wijze kunnen verkregen worden, maar wegens symmetrie t.o.v. de oorsprong voeren we de meting niet uit. We brengen ten slotte de fluxmeter opnieuw in de stand-by stand. Een goede stapgrootte is ongeveer 50 mA. Als men gedurende de metingen een fout begaat, is men uit de stabiele lus en moet men opnieuw beginnen. Bij het einde van de metingen leggen we eerst de fluxmeter af, daarna de voeding.
11
5. Meetresultaten We bepalen eerst de normale magnetisatiekromme. Daartoe doen we vier metingen voor het fluxverschil en bepalen het gemiddelde. TABEL 1: Bepalen van de normale magnetisatiekromme Experimenteel gevonden waarden
Gem.
I [mA] ∆Φ 1 [mWb] ∆Φ 2 [mWb] ∆Φ 3 [mWb] ∆Φ 4 [mWb] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
0,031 0,070 0,117 0,174 0,240 0,319 0,397 0,485 0,592 0,678 3,08 6,52 8,58 9,9 11,0 12,0 12,7 13,3 13,9 14,2 14,7 15,0 15,2 15,5 16,0 16,3 16,6 16,9 17,2 17,3 17,5
0,033 0,072 0,118 0,172 0,241 0,317 0,399 0,483 0,593 0,709 3,10 6,35 8,55 10,3 11,4 12,3 13,0 13,7 14,2 14,6 14,9 15,3 15,5 15,8 16,2 16,6 17,0 17,2 17,4 17,6 17,7
0,031 0,071 0,116 0,175 0,241 0,319 0,397 0,485 0,592 0,703 3,04 6,50 8,59 9,9 11,1 12,0 12,7 13,3 13,8 14,3 14,7 15,0 15,3 15,5 16,0 16,3 16,6 16,9 17,2 17,3 17,5
0,032 0,070 0,120 0,175 0,239 0,320 0,398 0,486 0,593 0,700 3,06 6,41 8,54 10,3 11,4 12,3 13,0 13,6 14,1 14,6 14,9 15,3 15,5 15,8 16,3 16,6 16,9 17,2 17,4 17,6 17,8
Waarden in SI-eenheden
<∆Φ> [mWb]
I [A]
<∆Φ>/2 [Wb]
0,032 0,071 0,12 0,17 0,24 0,32 0,40 0,48 0,59 0,698 3,07 6,45 8,57 10,1 11,2 12,2 12,9 13,5 14,0 14,4 14,8 15,2 15,4 15,7 16,1 16,5 16,8 17,1 17,3 17,5 17,6
0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,900 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400 1,500
1,6E-05 3,5E-05 5,9E-05 8,7E-05 1,2E-04 1,6E-04 2,0E-04 2,4E-04 3,0E-04 3,49E-04 1,54E-03 3,22E-03 4,28E-03 5,05E-03 5,61E-03 6,08E-03 6,43E-03 6,74E-03 7,00E-03 7,21E-03 7,40E-03 7,58E-03 7,69E-03 7,83E-03 8,06E-03 8,23E-03 8,39E-03 8,53E-03 8,65E-03 8,73E-03 8,81E-03
De laatste twee kolommen leveren de gevraagde grafiek voor de normale magnetisatiekromme.
12
Normale magnetisatiekromme 1,0E-02 9,0E-03 8,0E-03 7,0E-03 Φ [Wb]
6,0E-03 5,0E-03 4,0E-03 3,0E-03 2,0E-03 1,0E-03 0,0E+00 0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
1,400
1,600
I [A]
De tweede tabel werd bekomen door gebruik te maken van de metingen uit de eerste proef (het bepalen van de normale magnetisatiekromme). We krijgen gegeven dat de toroïdale spoel 655 windingen heeft en de tweede spoel 75 windingen. De diameter van de hartlijn is 13 cm. Daaruit kunnen we de lengte van de hartlijn bepalen (2 x R x π). Om H te bepalen maken we gebruik van de formule: N H= I l De magnetische inductie B vinden we via de formule: Φ = nOB waarbij O voor het oppervlak van een dwarse doorsnede van de toroïde staat. Dit kan dus berekend worden via de diameter die opgegeven wordt. Vervolgens stellen we de volgende verhouding voorop: B ( Hµ 0 ) wat ons de relatieve permeabiliteit geeft. De grafiek levert dan een absoluut maximum. TABEL 2: Bepaling van de B/H-grafiek N [windingen]
I [A]
<∆Φ> [Wb]
H [A/m]
B [T]
B/(H*µ0)
655
0,010
0,000032
16,04
0,0027
1,3E+02
n [windingen]
0,020
0,000071
32,08
0,0060
1,5E+02
75
0,030
0,00012
48,11
0,010
1,7E+02
lengte [m]
0,040
0,00017
64,15
0,015
1,8E+02
0,408
0,050
0,00024
80,19
0,020
2,0E+02
13
diameter [m]
0,060
0,00032
96,23
0,027
2,2E+02
0,0100
0,070
0,00040
112,27
0,034
2,4E+02
µ0
0,080
0,00048
128,30
0,041
2,6E+02
1,26E-06
0,090 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,900 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400 1,500
0,00059 0,000698 0,00307 0,00645 0,00857 0,0101 0,0112 0,0122 0,0129 0,0135 0,0140 0,0144 0,0148 0,0152 0,0154 0,0157 0,0161 0,0165 0,0168 0,0171 0,0173 0,0175 0,0176
144,34 160,38 240,57 320,76 400,95 481,14 561,33 641,52 721,71 801,90 882,09 962,28 1042,46 1122,65 1202,84 1283,03 1443,41 1603,79 1764,17 1924,55 2084,93 2245,31 2405,69
0,050 0,0592 0,261 0,547 0,727 0,857 0,953 1,03 1,09 1,14 1,19 1,22 1,26 1,29 1,31 1,33 1,37 1,40 1,42 1,45 1,47 1,48 1,50
2,8E+02 2,94E+02 8,62E+02 1,36E+03 1,443E+03 1,42E+03 1,35E+03 1,28E+03 1,20E+03 1,14E+03 1,07E+03 1,01E+03 9,59E+02 9,12E+02 8,63E+02 8,24E+02 7,55E+02 6,93E+02 6,42E+02 5,98E+02 5,61E+02 5,25E+02 4,95E+02
B/H-grafiek 1,6000 1,4000 1,2000
B [T]
1,0000 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0,0000 0,00
500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 H [A/m]
14
B/(µ0*H) ifv H 1,6E+03 1,4E+03 1,2E+03
B/(µ0*H)
1,0E+03 8,0E+02 6,0E+02 4,0E+02 2,0E+02 0,0E+00 0,00
500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 H [A/m]
De derde tabel levert de resultaten uit de tweede proef, waaruit we de dalende tak van de hystereselus kunnen bepalen. Om deze tak voor te stellen in een grafiek gebruiken we uiteraard SI-eenheden. TABEL 3: Bepalen van de dalende tak van de hystereselus Gegevens N [windingen] 655 n [windingen] 75 lengte [m] 0,408 diameter [m] 0,0100 µ0 1,26E-06 Φmax [Wb] 0,007825
Experimenteel gevonden waarden
Berekende waarden in SI-eenheden
I [mA]
∆Φ [mWb]
Φ [Wb]
I [A]
∆Φ [Wb]
H [A/m]
B [T]
800
0,00
0,00783
0,800
0,00000
1284
1,33
750
0,03
0,00780
0,750
0,00003
1203
1,32
700
0,07
0,00776
0,700
0,00007
1123
1,32
650
0,09
0,00774
0,650
0,00009
1043
1,31
600
0,13
0,00770
0,600
0,00013
963
1,31
550
0,18
0,00765
0,550
0,00018
883
1,30
500
0,24
0,00759
0,500
0,00024
802
1,29
450
0,29
0,00754
0,450
0,00029
722
1,28
400
0,37
0,00746
0,400
0,00037
642
1,27
350
0,46
0,00737
0,350
0,00046
562
1,25
300 250 200 150 100
0,56 0,70 0,85 1,05 1,38
0,00727 0,00713 0,00698 0,00678 0,00645
0,300 0,250 0,200 0,150 0,100
0,00056 0,00070 0,00085 0,00105 0,00138
481 401 321 241 160
1,23 1,21 1,18 1,15 1,09
15
50 0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800
1,68 2,01 2,52 3,94 7,52 10,79 12,20 12,90 13,35 13,80 14,15 14,44 14,73 14,88 15,05 15,19 15,32 15,45
0,00615 0,00582 0,00531 0,00389 0,00031 -0,00297 -0,00438 -0,00508 -0,00553 -0,00598 -0,00633 -0,00662 -0,00691 -0,00706 -0,00723 -0,00737 -0,00750 -0,00763
0,050 0,000 -0,050 -0,100 -0,150 -0,200 -0,250 -0,300 -0,350 -0,400 -0,450 -0,500 -0,550 -0,600 -0,650 -0,700 -0,750 -0,800
0,00168 0,00201 0,00252 0,00394 0,00752 0,01079 0,01220 0,01290 0,01335 0,01380 0,01415 0,01444 0,01473 0,01488 0,01505 0,01519 0,01532 0,01545
80 0 -80 -160 -241 -321 -401 -481 -562 -642 -722 -802 -883 -963 -1043 -1123 -1203 -1284
1,04 0,99 0,90 0,66 0,05 -0,50 -0,74 -0,86 -0,94 -1,01 -1,07 -1,12 -1,17 -1,20 -1,23 -1,25 -1,27 -1,29
De twee volgende grafieken leveren respectievelijk de dalende tak van de hystereselus en de verhouding B/H van de dalende tak: Dalende tak van de hystereselus 0,01000 0,00800 0,00600 0,00400
Φ [Wb]
0,00200
-1,000
-0,500
0,00000 0,000 -0,00200 -0,00400 -0,00600 -0,00800 -0,01000 I [A]
16
0,500
1,000
B/H van de dalende tak 1,50
1,00
B [T]
0,50
0,00 -1500
-1000
-500
0 -0,50
-1,00
-1,50 H [A/m]
17
500
1000
1500
6. Bespreking De dalende tak van de hystereselus kan benaderd worden door een bepaalde functie. A.d.h.v. het programma Tablecurve proberen we een goed passende kromme te construeren. Daarbij worden de waarden van de onbekende parameters die in de vergelijking voorkomen zo goed mogelijk geschat. We benaderen de punten door de grafiek: Y = a ∗ TANH (b ∗ X + c) + d ∗ X + e Deze grafiek werd bekomen door een tanh op te tellen met de eerste bissectrice. De oriëntatie van de punten in de grafiek deden ons de grafiek van tanh vermoeden. Doch verschilt de grafiek van tanh hierin dat de uiteinden te snel asymptotisch convergeren. Om dit effect te veranderen tellen we de eerste bissectrice hierbij op, zodanig dat de grafiek naar de uiteinden toe wat trager uitdeint. Ten slotte tellen we nog een constante op om een verticale verschuiving teweeg te brengen. Het resultaat is de grafiek hieronder:
Dalende hystereselus Eqn 8001 (a,b,c,d,e)
1
1
B [T]
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1 -1.5 -1500
1.5
-1
-500
H [A/m]
500
-1.5 1500
Aan de hand van het symbolisch wiskundepakket Maple 7.0, Waterloo Inc. kunnen we nu enkele karakteristieken van de normale magnetisatiekromme en de dalende tak van de hystereselus bepalen. Daarbij maken we gebruik van de benaderende functie die we hierboven gevonden hebben via Tablecurve.
18
B [T]
1.5
a=1.0010813 b=0.006681512 c=1.6848983 d=0.00024830296 e=0.076330147
De dalende tak van de hystereselus vinden we in Maple via de volgende instructies : > a:=1.0010813: b:= 0.006681512: c:=1.6848983: d:=0.00024830296: e:=0.076330147: > f:=x->a*tanh(b*x+c)+d*x+e; f(x); f := x → a tanh( b x + c ) + d x + e 1.0010813 tanh( .006681512 x + 1.6848983 ) + .00024830296 x + .076330147
Dit levert ons de grafiek:
Vooreerst bepalen we de remanente inductie Br en het coërcitief veld H0. Br kunnen we vinden door het snijpunt met de Y-as (B = 0) te berekenen. H0 vinden we dan via het snijpunt met de X-as (H = 0). Rekenen we dit uit met Maple dan krijgen we: H0 = -254.1503550 A/m Br = 1.010833840 T
De maximale relatieve permeabiliteit µr wordt gegeven door de verhouding B (µ 0 H ) . Deze is uiteraard variabel aangezien we werken met een ferromagnetische materiaal. We kunnen van de gevonden grafiek het maximum bepalen. Kijken we in de tabel dan krijgen we de volgende waarde: µ r = 1443 Dit is een benadering voor het maximum. De benaderende kromme uit Tablecurve afleiden, levert een exacter resultaat. De waarde van µr bij maximale H is : µ r = 495 Het materiaal komt bij deze maximale H in de buurt van verzadigingsmagnetisatie.
19
Via tabel 4 controleren we ook of B benaderd wordt door µ0.M. We zien dat deze benadering vrij goed is voor de meeste meetwaarden. Ook de magnetische susceptibiliteit werd berekend. De maximale waarde is 1442, wat verwacht werd wegens de formule: χ m = µr − 1 TABEL 4: Benadering van B door µ0.M Gegevens
Experimentele waarden
Afgeleide berekeningen
µ0
H [A/m]
B [T]
M [A/m]
µ0.M [T]
µ0.(M+H) [T]
Ms [A/m]
χm
1,26E-06
16,04 32,08 48,11 64,15 80,19 96,23 112,27 128,30 144,34 160,38 240,57 320,76 400,95 481,14 561,33 641,52 721,71 801,90 882,09 962,28 1042,46 1122,65 1202,84 1283,03 1443,41 1603,79 1764,17 1924,55 2084,93 2245,31 2405,69
0,0027 0,0060 0,010 0,015 0,020 0,027 0,034 0,041 0,050 0,0592 0,261 0,547 0,727 0,857 0,953 1,03 1,09 1,14 1,19 1,22 1,26 1,29 1,31 1,33 1,37 1,40 1,42 1,45 1,47 1,48 1,50
2,13E+03 4,75E+03 7,91E+03 1,17E+04 1,61E+04 2,14E+04 2,68E+04 3,26E+04 3,99E+04 4,70E+04 2,07E+05 4,35E+05 5,78E+05 6,82E+05 7,58E+05 8,20E+05 8,67E+05 9,09E+05 9,45E+05 9,73E+05 9,99E+05 1,02E+06 1,04E+06 1,06E+06 1,09E+06 1,11E+06 1,13E+06 1,15E+06 1,17E+06 1,18E+06 1,19E+06
0,0027 0,0060 0,010 0,015 0,020 0,027 0,034 0,041 0,050 0,0590 0,260 0,547 0,727 0,857 0,952 1,03 1,09 1,14 1,19 1,22 1,25 1,28 1,30 1,33 1,37 1,39 1,42 1,44 1,47 1,48 1,49
0,0027 0,0060 0,010 0,015 0,020 0,027 0,034 0,041 0,050 0,0592 0,261 0,547 0,727 0,857 0,953 1,03 1,09 1,14 1,19 1,22 1,26 1,29 1,31 1,33 1,37 1,40 1,42 1,45 1,47 1,48 1,50
3,01E+03 6,71E+03 1,12E+04 1,65E+04 2,28E+04 3,03E+04 3,78E+04 4,61E+04 5,64E+04 6,64E+04 2,93E+05 6,15E+05 8,18E+05 9,64E+05 1,07E+06 1,16E+06 1,23E+06 1,29E+06 1,34E+06 1,38E+06 1,41E+06 1,45E+06 1,47E+06 1,49E+06 1,54E+06 1,57E+06 1,60E+06 1,63E+06 1,65E+06 1,66E+06 1,68E+06
133 148 164 182 201 223 238 254 276 293 861 1356 1442 1417 1350 1278 1202 1134 1071 1012 958 911 862 823 754 692 641 597 560 524 494
In deze tabel vinden we ook een ruwe schatting van de maximale magnetisatiebijdrage van één Weissgebiedje Ms bij een gegeven veld : Ms = 2 M Nu we de karakteristieken van de normale magnetisatiekromme en hystereselus berekend hebben zijn we ook nog geïntereseerd in het energieverlies van de hysterelus. Daarvoor hebben we stijgende tak van de lus nodig. Om deze te berekenen, hoeven we niet de hele proef te herhalen. A.d.h.v. enkele wiskundige bewerkingen op de vergelijking van de dalende tak construeren we de stijgende hysteresetak. Dit gebeurt uiteraard opnieuw met Maple.
20
Om de dalende tak te verkrijgen moeten we spiegelen rond de 1ste bissectrice. Dit is equivalent met een spiegeling rond de X-as en één rond de Y-as : > g:=x->-(a*tanh(-b*x+c)-d*x-e); g := x → −a tanh( −b x + c ) + d x + e Het resultaat is terug te vinden in de onderstaande grafiek; de rode lijn is de eerder gevonden dalende tak, terwijl de blauwe lijn de berekende stijgende tak weergeeft.
Om het energieverlies te kennen, moeten we de oppervlakte bepalen tussen deze twee takken. Met Maple vormt dit weer geen probleem, omdat we toch al twee vergelijkingen hebben voor de takken. Het resultaat is: W = 1009,783342 J Er is dus een beduidend energieverlies, wat zich manifesteert onder de vorm van warmteontwikkeling.
21
7. Besluit In dit practicum was het de bedoeling om het fenomeen hysterese dieper te bestuderen. Daarbij stelden we experimenteel een normale magnetisatiekromme op. Ook de dalende tak van de hystereselus werd bepaald; we maakten gebruik van symmetrie-eigenschappen om de stijgende tak te construeren. De dalende hysteresetak werd benaderd door gebruik te maken van Tablecurve. Op deze wijze konden we de remanente inductie en het coërcitief veld berekenen via Maple. A.d.h.v. de meetresultaten van de tweede proef vonden we een experimentele waarde voor het maximum van de relatieve permeabiliteit µr. Deze relatieve permeabiliteit is geen constante. Voor ferromagnetische materialen hangen µ en µr af van de sterkte van het uitwendige veld, B0. Deze theoretische stelling werd door ons experiment bevestigd. Tot slot bepaalden we ook nog het energieverlies dat met het hystereseverschijnsel onlosmakelijk verbonden is. Hoewel onze resultaten steeds de theorie bevestigden, zijn we genoodzaakt om toch enkele randopmerkingen te formuleren. De benadering van de hysteresetak was relatief nauwkeurig, maar het blijft een benadering. Een betere voorsteloplossing is steeds mogelijk. Ook leek het ons nodig tijdens het bepalen van de hysteresetak een tweede meting uit te voeren. Dit was nodig om een correctie te realiseren. We merkten immers dat de corresponderende grafiek niet vloeiend was in de buurt van de Y-as. Dit was hoogstwaarschijnlijk te wijten aan het feit dat men hier moest ompolen. Nauwkeurige en nauwgezette aflezing was in deze vereist. Ondanks bovenvermelde moeilijkheden kwamen we toch tot correcte conclusies en betrouwbaar resultaat overeenkomstig de theoretische beschouwingen. Het practicum kan dus als geslaagd beschouwd worden.
22
8. Referenties • • • • • •
GIANCOLI Douglas C., Natuurkunde voor wetenschap en techniek: elektrostatica en magnetisme – Ill., copyright © 1996 Prentice Hall Int.; Academic Service http://www.veron.nl/afdeling/woerden/bulls/980412wn.txt Nota’s vrijgegeven tijdens het practicum Maple 7.0, copyright © 1981-2001 by Waterloo Maple Inc. Microsoft ® Excel 2000 (9.0.2720), copyright © 1985-1999 by Microsoft Corporation Tablecurve
23
