Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity

Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce

BRNO 22. května 2006

Barbora Kamencová

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním.

Brno, 2006

....................... Barbora Kamencová

Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, kteří mi s prací pomohli, hlavně mému vedoucímu panu RNDr. Janu Osičkovi, CSc. a panu doc. RNDr. Josefu Kalasovi, CSc. .

Obsah Úvod

2

1 Vlastnosti trojúhelníku a označení 1.1 Teoretická příprava ke kapitole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5 7

2 Podobnost trojúhelníků 2.1 Teoretická příprava ke kapitole 2 . . . . . . 2.1.1 Podobnost obecných trojúhelníků . . 2.1.2 Podobnost pravoúhlých trojúhelníků 2.1.3 Shodnost trojúhelníků . . . . . . . . 2.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8 8 8 8 8 9 10

3 Goniometrické funkce 11 3.1 Teoretická příprava ke kapitole 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Řešení pravoúhlého trojúhelníku 15 4.1 Teoretická příprava ke kapitole 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Řešení obecného trojúhelníku 20 5.1 Teoretická příprava ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3 Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Literatura

24

1

Úvod Svoji bakalářskou práci jsem pojala jako sbírku příkladů z oblasti trigonometrie určenou pro střední školy. Příklady jsou složitější, na úrovni matematiky gymnázií nebo přijímacích zkoušek na vysokou školu. Sbírka je rozčleněna do pěti kapitol. V první kapitole jsem zavedla označení a základní vztahy platné v každém trojúhelníku. Druhá kapitola je věnována podobnosti pravoúhlých a obecných trojúhelníků a shodnosti trojúhelníků. Ve třetí jsou pak definovány goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a uvedeny nejčastěji používané goniometrické vzorce. V posledních dvou kapitolách se konečně dostávám k samotnému řešení trojúhelníku, v kapitole čtvrté trojúhelníku pravoúhlého, v páté obecného. Každá kapitola je rozdělena do třech částí. V první objasňuji teorii nutnou k pochopení látky a počítání následujích řešených i neřešených příkladů, tedy dalších dvou částí kapitol. Pod každým z neřešných příkladů je uveden výsledek, popř. stručně naznačen postup výpočtu. Ráda bych, aby moje sbírka byla pro případné studenty zabývající se problematikou trigonometrie nápomocná, proto jsem se snažila postupovat systematicky od jednoduššího ke složitějšímu (první tři kapitoly jako příprava ke kapitolám 4 a 5), uvedla ke každé kapitole dva až tři řešené příklady, které typově pokrývají obsah dané kapitoly, a dále dostatečné množství příkladů neřešených, sloužících k dalšímu procvičení dané látky.

2

Kapitola 1 Vlastnosti trojúhelníku a označení 1.1

Teoretická příprava ke kapitole 1

Označení V celé práci je užíváno těchto označení: 4ABC a, b, c SAB , SBC , SCA α, β, γ ta , tb , tc va , vb , vc Pa , Pb , Pc ρ r

trojúhelník, jehož vrcholy jsou body A, B, C strany 4ABC, a = BC, b = AC, c = AB středy stran c, a, b vnitřní úhly 4ABC při vrcholech A, B a C těžnice na strany a, b , c výšky na strany a, b, c paty výšek va , vb , vc poloměr kružnice trojúhelníku vepsané poloměr kružnice trojúhelníku opsané

Obrázek 1.1: Označení

Cyklická záměna: (A, a, α) → (B, b, β) → (C, c, γ) 3

(CZ)

KAPITOLA 1. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU A OZNAČENÍ

4

Základní charakteristiky trojúhelníku jako geometrického obrazce Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku α + β + γ = 180◦

(1.1)

|a − b| < c < a + b

(1.2)

1 S = ava 2

(1.3)

Trojúhelníková nerovnost

Obsah trojúhelníku

Heronův vzorec S=

p s(s − a)(s − b)(s − c),

1 s = (a + b + c) 2

(1.4)

Poloměr kružnice opsané r=

abc bc = 4S 2va

Poloměr kružnice vepsané r S (s − a)(s − b)(s − c) ρ= = , s s

(1.5)

1 s = (a + b + c) 2

U vzorců (1.2), (1.3) a (1.5) můžeme použít cyklickou záměnu (CZ). Klasifikace trojúhelníků • podle velikosti stran – rovnoramenný

a = b, α = β

– rovnostranný

a = b = c, α = β = γ = 60◦

• podle velikosti úhlů – ostroúhlý

α , β , γ jsou ostré, tedy < 90◦

– pravoúhlý

α + β = 90◦ , γ = 90◦

– tupoúhlý

jeden tupý úhel, ostatní ostré

(1.6)


1.2

5

Řešené příklady

Příklad 1.1. Dokažte, že v každém trojúhelníku ABC platí: 3 o < ta + tb + tc < o, kde o je obvod 4ABC. 4 Řešení. Užitím vlastnosti těžnic (|AT | = 23 ta , kde T je těžiště) a trojúhelníkové nerovnosti postupně pro trojúhelníky 4ABT , 4BCT a 4AT C dostaneme nerovnice: 2 2 ta + tb , 3 3 2 2 b < ta + tc , 3 3 2 2 a < tb + tc . 3 3 c <

Sečtením nerovnic (1.7), (1.8) a (1.9) dostaneme: a+b+c < 2

2 2 2 ta + 2 tb + 2 tc , 3 3 3

4 (ta + tb + tc ), 3 4 (ta + tb + tc ), o < 3

a+b+c <

3 o < t a + tb + tc , 4

což je levá strana nerovnosti, kterou máme dokazovat.

Obrázek 1.2: Příklad 1.1 Doplníme 4ABC na rovnoběžníky AXBC, ABYC a ABCZ (viz obrázek (1.2)).

(1.7) (1.8) (1.9)

6


Užitím trojúhelníkové nerovnosti postupně pro trojúhelníky 4AXC, 4ABY , 4ABZ dostaneme nerovnice: a + b > 2tc , b + c > 2ta , a + c > 2tb . Sečteme tyto tři nerovnice a upravujeme: 2a + 2b + 2c > 2ta + 2tb + 2tc , a + b + c > t a + tb + tc , o > t a + tb + tc , což je levá strana nerovnosti, kterou chceme dokázat. Spojením obou dosažených nerovností získáme vztah: 3 o < ta + tb + tc < o, 4 což jsme měli dokázat. Příklad 1.2. Mějme 4ABC, který má obsah S = 1890 a poměr délek stran je a : b : c = = 17 : 25 : 28. Určete délky stran a, b, c. Řešení. Daný poměr a : b : c = 17 : 25 : 28 můžeme rozepsat a strany 4ABC potom vyjádřit pomocí strany a: a,

b=

25 a, 17

c=

28 a. 17

Dále využijeme vzorce (1.4) pro výpočet obsahu trojúhelníku: p S = s (s − a)(s − b)(s − c).

Vyjádříme s pomocí a:

1 1 25 28 (a + b + c) = (a + a+ a) = 2 2 17 17 1 25 28 35 = a( + + )= a. 2 34 34 17

s =

Dosadíme: r p 35 35 35 25 35 28 S = s (s − a)(s − b)(s − c) = a ( − 1) a ( − ) a ( − ) a = 17 17 17 17 17 17 r 2 35 18 10 7 4 a = a = 210 2 . 17 17 17 17 17 Pak tedy: S = 210

a2 172

⇒

1890 = 210

a2 172

⇒

a2 = 2601

⇒

a = 51.


7

Dosazením do zadaného poměru vypočítáme ostatní strany 4ABC: 25 25 a= 51 = 75, 17 17 28 28 c = a= 51 = 84. 17 17

b =

Strany 4ABC jsou: a = 51, b = 75, c = 84.

1.3

Neřešené příklady

Příklad 1.3. Průsečík os úhlů α, β v 4ABC označme O. Dokažte: |∠AOB| = 90◦ + 12 γ. Řešení. Pomocí vlastnosti, že součet vnitřích úhlů v 4 je 180◦ . Příklad 1.4. Vypočítejte úhly, které svírají výšky va , vb a vc v rovnostranném trojúhelníku ABC. Řešení. Výšky svírají úhel 120◦ . Příklad 1.5. Dokažte, že v každém ostroúhlém trojúhelníku je každá z výšek menší než polovina obvodu. Řešení. Užitím 4 nerovnosti pro 4APc C. Podobně pro ostatní výšky. Příklad 1.6. Urči výšku va rovnostranného trojúhelníku ABC, jehož obsah je trojnásobkem obvodu. Řešení. va = 6. Příklad 1.7. V 4ABC platí: a = 130, b = 140, c = 150. Určete velikost výšky v b . Řešení. Pomocí vzorce (1.4), vb = 120. Příklad 1.8. Vnitřní úhly 4ABC α, β, γ jsou v poměru 2 : 3 : 5. Určete jeho vnější úhly α0 , β 0 , γ 0 . Řešení. α0 = 144◦ ; β 0 = 126◦ ; γ 0 = 90◦ .

Kapitola 2 Podobnost trojúhelníků 2.1 2.1.1

Teoretická příprava ke kapitole 2 Podobnost obecných trojúhelníků

Definice 2.1. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže úhly jednoho jsou stejně velké jako úhly druhého. Značíme: 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 . Věta 2.2. 4ABC a 4A0 B 0 C 0 jsou podobné, právě když: 1. shodují se ve dvou úhlech

úú

2. shodují se v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném

sús

3. shodují se v poměru dvou stran a úhlu proti větší z nich

Ssú

Věta 2.3. a, b, c a a0 , b0 , c0 jsou odpovídající si strany dvou podobných trojúhelníků, pak platí: a : b : c = a0 : b0 : c0 . Věta platí i obráceně.

2.1.2

Podobnost pravoúhlých trojúhelníků

Věta 2.4. Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, jestliže mají kromě pravého úhlu jeden úhel shodné velikosti. Poznámka. Věta (2.3) platí samozřejmě i pro pravoúhlé trojúhelníky.

2.1.3

Shodnost trojúhelníků

Věta 2.5. 4ABC a 4A0 B 0 C 0 jsou shodné, právě když se shodují: 1. ve všech stranách

sss

2. ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném

sús

3. ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich

Ssú

4. v jedné straně a úhlech k ní přilehlých Značíme pak: 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 .

úsú

8

KAPITOLA 2. PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ

2.2

9


Příklad 2.1. Dokažte vztahy (níže uvedené jako Euklidovy věty): vc2 = ca · cb , a2 = c · ca , b2 = c · cb .

Obrázek 2.1: Příklad 2.1

Řešení. Budeme si všímat 4ABC, 4ACPc a 4CBPc , které vzniknou rozdělením 4ABC výškou vc (Pc je pata kolmice). Podle věty úú jsou 4ACPc a 4CBPc podobné (oba trojúhelníky jsou pravoúhlé, přičemž |∠BCPc | = 90◦ − (90◦ − |∠CAPc |) = |∠CAPc |). Platí tedy: ca vc = vc cb

⇒

vc2 = ca · cb .

Pro důkaz dalšího vztahu a2 = c · ca je důležité, že 4ABC a 4ACPc jsou podle věty uu podobné (oba jsou pravoúhlé a je patrné, že |∠Pc BC| = |∠ABC| ). Proto: a c = ca a

⇒

a2 = c · ca .

Analogicky pak dokážeme i vztah: b2 = c · cb . Příklad 2.2. Mějme dva podobné trojúhelníky, 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 . Jeden z nich má obvod o = 48, strany druhého jsou po řadě o 6, 8 a 10 větší než strany prvního. Vypočítejte délky stran obou trojúhelníků. Řešení. Ze zadání víme, že: OABC = a + b + c = 48 a a0 = a + 6, b0 = b + 8, c0 = c + 10. Pak tedy: OA0 B 0 C 0 = a0 + b0 + c0 = (a + 6) + (b + 8) + (c + 10) = = (a + b + c) + (6 + 8 + 10) = OABC + 24 = 48 + 24 = 72. Z podobnosti 4ABC a 4A0 B 0 C 0 plyne poměr podobnosti: OA0 B 0 C 0 OABC

=

72 3 = . 48 2

10

KAPITOLA 2. PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ

Pro a pak platí: a0 3 = a 2

⇒

a+6 3 = a 2

⇒

a = 12.

Dosazením do zadaného vztahu: a0 = a + 6 = 12 + 6 = 18. Analogickým postupem se dopracujeme k b, c, b0 , c0 : b = 16, b0 = 24, c = 20, c0 = 30. Strany 4ABC jsou: a = 12, b = 16 a c = 20, Strany 4A0 B 0 C 0 jsou: a0 = 18, b0 = 24 a c0 = 30.

2.3


Příklad 2.3. Je dán pravoúlhý trojúhelník ABC, kde a = 4, b = 3. Vypočítejte poloměr kružnice k, která má střed na přeponě c, prochází bodem A a dotýká se přímky BC. Řešení. r =

15 . 8

Příklad 2.4. V libovolném trojúhelníku ABC označme M průsečík osy úhlu BCA (γ) se stranou AB. Označme |AM | = x, |M B| = y. Dokažte, že: xy = ab . Řešení. Využitím: 4Pb M C ∼ = 4Pa M C. Příklad 2.5. Bodem M ležícím uvnitř 4ABC jsou vedeny tři přímky rovnoběžné s jeho stranami. Tyto přímky rozdělují 4ABC na šest částí, z nichž tři jsou trojúhelníky. Jejich √ √ √ 2 obsahy označme postupně P1 , P2 a P3 . Dokažte, že platí: P = ( P1 + P2 + P3 ) , kde P je obsah 4ABC. √

p1 Řešení. Uvažované trojúhelníky jsou podobné s 4ABC, proto platí: √PP1 = |AB| , kde p1 je první z úseků, který vytínají rovnoběžky se stranami BC a CA na straně AB. Podobně pro další dva 4 a vzniklé rovnice sečteme.

Příklad 2.6. Mějme dva podobné trojúhelníky 4ABC a 4A0 B 0 C 0 . Jeden z nich má obvod o = 100, strany druhého jsou po řadě o 8, 14 a 18 větší než strany prvního. Vypočítejte délky stran prvního i druhého. Řešení. 4ABC: a = 20; b = 35; c = 45. 4A0 B 0 C 0 : a0 = 28; b0 = 49; c0 = 63. Příklad 2.7. Vypočtěte výšku továrního komína, jehož stín je 45 m dlouhý. Na tovární dvůr, kam stín padá, vrhá současně svislá tyč délky 1, 5 m stín dlouhý 1, 1 m. Řešení. Výška továrního komína je asi 67, 5 m. Příklad 2.8. Do rovnostranného trojúhelníku o straně a je vepsán čtverec. Vypočítejte délku strany čtverce. √ Řešení. Strana čtverce je: x = a(2 3 − 3).

Kapitola 3 Goniometrické funkce 3.1


V úlohách na řešení trojúhelníků bude často využíváno goniometrických funkcí a vztahů mezi nimi, proto je nutné je zavést. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou goniometrické funkce úhlu α definovány takto: sin α = ac ,

cos α = cb ,

tg α = ab ,

cot α = ab ,

kde a je odvěsna protilehlá úhlu α, b přilehlá odvěsna k úhlu α a c je přepona v 4ABC. Tabulka hodnot goniometrických funkcí pro při často užívané hodnoty α: α sin α cos α tg α cotg α

0◦ 0 1 0 -

30◦ 1 √2 3 √2 3 √3

3

◦ 45 √

◦ 60 √

1 1

√ 3 3

2 √2 2 2

3 2 1 √2

3

90◦ 1 0 0

180◦ 0 1 0 -

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - goniometrické vzorce Základní vzorce sin α = tg α, cos α sin2 α + cos2 α = 1.

(3.1) (3.2)

Vzorce pro dvojnásobný argument sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α − sin2 α, 2 tg α tg 2α = . 1 − tg2 α 11

(3.3) (3.4) (3.5)

12

KAPITOLA 3. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Součtové vzorce sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β, tg α + tg β tg(α ± β) = . 1 − tg α tg β

(3.6) (3.7) (3.8)

Součty goniometrických funkcí α±β α∓β cos , 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos cos , 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin sin . 2 2 sin α ± sin β = 2 sin

3.2

(3.9) (3.10) (3.11)


Příklad 3.1. Určete zbývající dva úhly pravoúhlého trojúhelníku, v němž je jedna odvěsna aritmetickým průměrem druhé odvěsny a přepony. Řešení. Ze zadání plyne, že: 1 b = (a + c) 2

⇒

2b = a + c.

(3.12)

Dále víme, že v ∀ pravoúhlém 4ABC, kde a, b jsou odvěsny a c je přepona, platí: a c b cos α = c sin α =

⇒

a = c sin α

(3.13)

⇒

b = c cos α.

(3.14)

Do (3.12) dosadíme (3.13) a (3.14) a upravíme: 2c cos α = c sin α + c 2 cos α = sin α + 1. Užitím vztahu (3.2) získáme rovnici: p 2 1 − sin2 α = sin α + 1 5sin2 α + 2 sin α − 3 = 0. Řešením kvadratické rovnice dostáváme kořeny: sin α1 = 53 , sin α2 = −1. Druhý kořen nevyhovuje, neboť hodnoty úhlu α musejí splňovat podmínku: α ∈ (0, 90◦ ). sin α =

3 5

⇒

. α = 37◦

13


Součet úhlů v 4 je 180◦ , pro β tedy platí:

. β = 180◦ − (α + γ) = 53◦ .

. . Řešením je tedy 4ABC, kde α = 37◦ , β = 53◦ , γ = 90◦ .

Příklad 3.2. Dokažte, že pro vnitřní úhly v trojúhelníku platí: sin α + sin β + sin γ = 4 cos 21 α cos 12 β cos 21 γ. Řešení. K důkazu využijeme následující vztahy, platné pro úhly v trojúhelníku: α + β + γ = 180◦ sin

α+β γ = cos 2 2

1 (α + β + γ) = 90◦ 2 γ sin (α + β) = sin 2

a postupně tyto goniometrické vzorce: (3.9), (3.3) a (3.7). Pak tedy: sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin (α + β) = α+β α−β α+β α+β = 2 sin cos + 2 sin cos = 2 2 2 2 α−β α+β α+β (cos + cos )= = 2 sin 2 2 2 γ α β α β = 2 cos [cos ( − ) + cos ( + )] = 2 2 2 2 2 γ α β α β α β α β = 2cos [(cos cos + sin sin ) + (cos cos − sin sin )] = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α β α β γ γ = 2 cos 2 cos cos = 4 cos cos cos , 2 2 2 2 2 2 což jsme chtěli dokázat.

3.3


Příklad 3.3. Určete ostatní úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže je dáno: a = = 12, q = 5, 4, kde a je jedna odvěsna a q je kolmý průmět druhé odvěsny na přeponu c. . . Řešení. α = 53◦ 80 ; β = 36◦ 520 . Příklad 3.4. O pravoúhlém 4ABC víme, že mezi přeponou c a odvěsnou a je vztah: c − a = 9 a β = 35◦ . Určete délku strany c. . Řešení. c = 50. Příklad 3.5. Vyjádřete výraz sin 3α pomocí jednoduchého argumentu. Řešení. sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α.


Příklad 3.6. Dokažte:

1 1+tan2 α

+

1 1+cot2 α

14

= 1.

Řešení. Pomocí vzorců (3.1), (3.2). Příklad 3.7. Zjednodušte:

1−cos 2α sin 2α

+

sin 2α . 1+cos 2α

Řešení. Pomocí vzorců (3.2), (3.3), (3.4) zjednodušíme na: 2 tg α. Příklad 3.8. Určete další úhly pravoúhlého 4ABC, platí-li mezi jeho stranami a, b, c: 4a2 − 8ac + 3c2 = 0. Řešení. α = 30◦ , β = 60◦ .

Kapitola 4 Řešení pravoúhlého trojúhelníku 4.1


Věty využívané při výpočtech příkladů kapitoly 4 Věta 4.1. (Pythagorova věta) Pro každý pravoúhlý 4ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, platí: c 2 = a2 + b2 .

Věta 4.2. (Euklidova věta o výšce) Pro každý pravoúhlý 4ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, c a = |BPc |, cb = |Pc A|, platí: vc2 = ca · cb .

Věta 4.3. (Euklidova věta o přeponě) Pro každý pravoúhlý 4ABC, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny, c a = |BPc |, cb = |Pc A|, platí: a2 = c · ca , b2 = c · cb .

4.2


Příklad 4.1. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, √ kde a, b jsou odvěsny a c je přepona. Vypočtěte délky stran, jestliže: ta = 10, tb = 4 10. Řešení. Z vlastností těžnic víme: |BSa | = |SBC C| = 12 b, |CSCA | = |SAB A| = 12 a. Pomocí věty (4.1) pro 4BCSCA a 4SBC CA získáme rovnice: 1 a2 + ( b)2 = t2b 2 1 2 ( a) + b2 = t2a 2

⇒

b2 = 4(t2b − a2 )

(4.1)

⇒

a2 + 4b2 = 4t2a .

(4.2)

Dosazením (4.1) do (4.2) získáváme vztah: a2 + 16(t2b − a2 ) = 4t2a .

(4.3)

Dále dosadíme za ta a tb a řešíme rovnici: a2 + 16(160 − a2 ) = 400. 15

(4.4)

KAPITOLA 4. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU

16


Platný je pouze kořen a = 12, protože a > 0. Dosazením a do rovnice (4.1): p √ 4(160 − 144) = 64 = 8. b = Délku přepony c dopočítáme pomocí věty (4.1): √ √ c = a2 + b2 = 4 13. √ 4ABC má tedy strany: a = 12, b = 8 a c = 4 13.

Příklad 4.2. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, znáte-li úhel α = 28◦ a poloměr kružnice vepsané ρ = 2, 5. Řešení. Součet úhlů v 4 je 180◦ , pak tedy: β = 180◦ − (α + γ) = 62◦ .



17

Z obrázku (4.2) vidíme, že pro stranu b platí: |CA| = |CX|+|XA| = |XA|+ρ, přičemž |∠XAS1 | = 12 |∠CAB| = 14◦ . Z 4XAS: cotg |∠XAS1 | = |AC| = |AC| =

|AC| = . |AC| =

|CA| − ρ ρ ρ cotg |∠XAS1 | + ρ 1 ρ cotg( |∠CAB|) + ρ 2 2, 5(cotg 14◦ + 1) 12, 53.

Z 4ABC: |BC| |CA| |BC| = |CA| tg 28◦ . |BC| = 6, 7.

tg |∠CAB| =

Z věty (4.1) pak: p . |AB| = |BC|2 + |AC|2 = 14, 2. . . . Trojúhelník ABC je tedy: a = 6, 7, b = 12, 53 a c = 14, 2. Příklad 4.3. Vypočítejte obsah pravidelného třináctiúhelníku, znáte-li poloměr kružnice vepsané ρ = 72. Řešení. Vrcholy třináctiúhelníku označme A1 ...A13 , S jeho střed, a jeho stranu, Pa patu kolmice ρ k a.

Obrázek 4.3: Příklad 4.3 Z obrázku (4.3) vidíme, že: 1 1 360◦ . ) = 27◦ 420 . |∠A1 SPa | = |∠A1 SA2 | = ( 2 2 13


18

Z 4SPa A1 : a/2 ρ a = 2ρ tg |∠A2 SPa | . a = 35, 5.

tg |∠A1 SPa | =

Vzorec pro výpočet pravidelného šestiúhelníku je: 1 S13 = 13 · S4 = 13 · (aρ). 2 Dosazením: P13 =

13 . · 35, 5 · 72 = 16614. 2

Obsah daného třináctiúhelníku je 16614.

4.3


Příklad 4.4. Řešte pravoúhlý trojúhelník, víte-li, že poloměr kružnice vepsané ρ = 2 a opsané r = 5. Řešení. 4ABC: a = 8; b = 6; c = 10. Příklad 4.5. Na vrcholu kopce je rozhledna o výšce v = 25m. Z bodu B v údolí pod kopcem jsme pod úhlem α1 = 27◦ 300 zaměřili její vrchol a pod úhlem α2 = 29◦ 300 její patu. Vypočítejte výšku kopce. Řešení. Výška kopce je 288 m. Příklad 4.6. Řešte pravúhlý trojúhelník, jestliže znáte jeho obvod o = 176 a poloměr kružnice vepsané ρ = 12. . . . Řešení. a = 69, 7; b = 30, 3; c = 76. Příklad 4.7. Určete obsah a obvod pravidelného pětiúhelníku o úhlopříčce u = 8. . . Řešení. o = 24, 72; S = 42, 1. Příklad 4.8. Dvě kola o poloměrech r1 = 38, r2 = 14, jejichž středy mají vzdálenost s = 90, jsou spojena zkříženým řemenem. Určete jeho délku d. . Řešení. d = 373, 62. Příklad 4.9. Tři shodné kružnice k1 , k2 , k3 o poloměru r se vzájemně dotýkají. Vypočítejte poloměr kružnice, která se dotýká všech tří kružnic k1 , k2 , k3 . √ Řešení. Poloměr kružnice je 13 r (2 3 ± 3).


19

Příklad 4.10. Do čtverce ABCD, jehož strana má délku a, je vepsán rovnostranný trojúhelník tak, že jeden jeho vrchol leží ve vrcholu C tohoto čtverce. Určete délku strany trojúhelníka. √ √ Řešení. Délka strany trojúhelníku je a ( 6 − 2). Příklad 4.11. Určete stranu pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru r = 12, 95. Řešení. Délka strany pětiúhelníku je asi 15, 22. Příklad 4.12. Úsečka S1 S2 spojující střed kružnic k1 (S1 ; r1 = 7), k2 (S2 ; r2 = 12) má délku 15. Vypočítejte délku úsečky s pojující průsečíky obou kružnic a její vzdálenosti od středů obou kružnic. Řešení. Délka úsečky je 11, vzdálenosti kružnic jsou

32 13 , 3. 3

Kapitola 5 Řešení obecného trojúhelníku 5.1


Pro výpočet příkladů budeme používat následující vztahy a věty: Věta 5.1. (sinová věta) V každém 4ABC platí: sina α =

b sin β

=

c sin γ

= 2r.

Věta 5.2. (kosinová věta) V každém 4ABC platí: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α (CZ).

Věta 5.3. (tangentová věta) V každém 4ABC platí:

a−b a+b

=

tg tg

α−β 2 α+β 2

.

Věta 5.4. (Mollweidovy vzorce) V každém 4ABC platí:

5.2

a+b c

=

cos α−β 2 sin γ2

,

a−b c

=

sin α−β 2 cos γ2

.


Příklad 5.1. Z pozorovatelny 15 metrů vysoké a vzdálené od břehu řeky 30 metrů se šířka řeky jeví v úhlu 15◦ . Určete šířku řeky. Řešení. K výpočtu užijeme vztah z věty (5.1) pro 4B1 B2 V ve tvaru: |B1 B2 | = Z věty (4.1) pro 4P B1 V : |B1 V | =

|V B1 | · sin |∠B1 V B2 | . sin |∠B1 B2 V |

p √ |P B1 |2 + |V P |2 = 15 5.

Dále budeme potřebovat |∠B1 B2 V |, pro jehož výpočet musíme nejprve určit |∠P B1 V |: |V P | 15 = |P B1 | 30 ◦ 0 |∠P B1 V | = 26 30 .

tg |∠P B1 V | =

20

21

KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU

Obrázek 5.1: Příklad 5.1 Využitím trojúhelníkové nerovnosti postupně pro 4P B2 V , 4P B1 V a vlastnosti |∠B2 V P | = |∠B2 V B1 | + |∠B1 V P | vypočítáme |∠B1 B2 V |: |∠B1 B2 V | = = = =

180◦ − (|∠V P B1 | + |∠B2 V P |) = 180◦ − 90◦ − |∠B2 V P | = 90◦ − (|∠B2 V B1 | + |∠B1 V P |) = 90◦ − (|∠B2 V B1 | + (180◦ − (|∠V P B1 | + |P B1 V |))) = 90◦ − (15◦ + (180◦ − (90◦ + 26◦ 300 ))) = 11◦ 300 .

Dosadíme do upraveného vztahu z věty (5.1) a vypočítáme: √ 15 5 · sin 15◦ |B1 B2 | = sin 11◦ 300 . |B1 B2 | = 43. Řeka je asi 43 metrů široká. Příklad 5.2. Řešte 4ABC s danými stranami a, b v němž platí: vzroste-li úhel sevřený stranami a a b o 30◦ , zvětší se obsah SABC o 24. Řešení. Spojením vztahů platných v 4ABC : SABC = 12 ava a sin γ = SABC = 12 ab sin γ. Zapíšeme pro naše zadání a s užitím vzorce (3.9) upravujeme:

va b

dostáváme:

1 ab sin (γ + 30◦ ) 2 1 1 ab sin γ + 24 = ab sin (γ + 30◦ ) 2 2 1 24 = ab[sin (γ + 30◦ ) − sin γ] 2 1 24 = ab[2 cos (γ + 15◦ ) sin 15◦ ] 2 24 cos (γ + 15◦ ) = . ab sin 15◦ Pak můžeme stanovit úhel γ a trojúhelník dále řešit větou kosinovou nebo tangentovou. SABC + 24 =


22

Příklad 5.3. Řešte 4ABC, znáte-li: va = 75, 2, vb = 46, 3, γ = 54◦ .


Řešení. Použijeme vztahy pro funkci sin α platné v každém pravoúhlém trojúhelníku: Nejprve pro 4CPb B: vb a vb a = sin γ 46, 3 a = sin 54◦ . a = 57, 23.

sin γ =

Podobně pro 4APa C:

va sin γ = b . b = 92, 95.

Pak jednoduše dopočítáme c pomocí vztahu z věty (5.2): c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ p c = 5661, 49 . c = 75, 24. 4ABC je pak: a = 57, 23, b = 92, 95 a c = 75, 24.

5.3


Příklad 5.4. V 4ABC je dáno: c = 44, α = 54◦ 70 4800 a osa úhlu α o = 20. Řešte 4ABC. Řešení. Pomocí tangentové věty: β = 18◦ 540 2900 ; γ = 107◦ 570 4300 ; a = 37; b = 16.


23

√ Příklad 5.5. Řešte 4ABC, známe-li úhel α = 60◦ a plochu SABC = 50 3, součet stran (b + c) je třikrát větší než poloměr kružnice opsané. √ Řešení. a = 10 3; b = 20; c = 10, β = 90◦ , γ = 30◦ . Příklad 5.6. Tři kružnice k1 = 1, k2 = 2 a k3 = 3 se vzájemně dotýkají vně. Určete obsah plochy ležící mezi kružnicemi. . Řešení. S = 0, 464. Příklad 5.7. Od paty vysílací věže F stojící na kopci byla ve směru dolů po svahu změřena vzdálenost |F B| = 56 m a dále za bod B ve stejném směru vzdálenost |BA| = 38 m. Vrchol vysílací věže H byl postupně z bodů A, B (z vodorovné polohy) zaměřen v úhlech α = 22 ◦ , β = 32◦ . Určete výšku věže i úhel sklonu kopce. Řešení. Výška je 30, 5 m, úhel sklonu 4◦ 300 5000 . Příklad 5.8. Stanovte největší úhel 4ABC, jehož strany tvoří aritmetickou posloupnost a jehož plocha je o 35 trojúhelníku rovnostranného o stejném obvodu. Řešení. Největší úhel 4ABC je γ = 120◦ . Příklad 5.9. Řešte trojúhelník, jehož plocha je P a jehož vrcholy dělí obvod kružnice opsané v poměru 2 : 3 : 4. q 2P sin α Řešení. α = 40◦ ; β = 60◦ ; γ = 80◦ ; a = sin . β sin γ Příklad 5.10. Určete délky stran b, c trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 28, 2, ta = 18, 4 a vb = 26, 8. . . Řešení. b = 17, c = 37, 2. Příklad 5.11. V 4ABC je dáno: a + b + c = 71, 5, α = 43◦ 240 , β = 55◦ 100 . Určete strany a, b, c. . . . Řešení. 4ABC: a = 19, 7; b = 23, 5; c = 28, 3. Příklad 5.12. Určete poloměr kružnice k procházející body B, C a středem kružnice 4ABC vepsané O, znáte-li a = |BC| a α = |∠CAB|. Řešení. Poloměr kružnice k je

a 2 cos

α 2

.

Literatura [1] Benda, P. - Skála, J.: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, Státní pedadogické nakladatelství, 1979 [2] Čermák, M. - Kamarýt, A. - Kořínková, H.: Sbírka úloh z matematiky, Nakladatelství technické literatury, 1967 [3] Herman, J. - Kučera, R. - Šimša, J.: Seminář ze středoškolské matematiky, Masarykova univerzita, Brno, 2005 [4] Kubát, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, 2004 [5] Maška, O.: Matematika v úlohách II, Nakladatelství Barvič & Novotný, 1948 [6] Petáková, J.: Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, 1998 [7] Vejsada, F. - Talafous, F.: Sbírka úloh z matematiky, Státní pedagogické nakladatelství, 1969

24

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Recommend Documents