EFFECT SIZE PADA PENGUJIAN HIPOTESIS. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains. Program Studi Matematika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

EFFECT SIZE PADA PENGUJIAN HIPOTESIS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Reynaldo Kurnia Gazali NIM: 133114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i


EFFECT SIZE ON HYPOTHESIS TESTING

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains in Mathematics

By: Reynaldo Kurnia Gazali Student Number: 133114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017 ii


iii


iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku hingga saat ini, Papa, Mama, kedua Adik tercinta yang selalu mendukungku.

v


vi


ABSTRAK Pengujian hipotesis seringkali digunakan dalam studi ataupun penelitian untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan apakah ada perbedaan rata-rata populasi maupun apakah ada hubungan antar variabel. Pengujian hipotesis tidak memberikan makna yang lebih dari ada atau tidaknya perbedaan maupun hubungan tersebut. Oleh karena itu, penulis membahas effect size pada pengujian hipotesis, khususnya pada perbedaan rata-rata populasi. Effect size sangat penting untuk dipublikasikan pada penelitian/studi untuk melengkapi informasi pada pengujian hipotesis. Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis. Tujuan metaanalisis adalah untuk memperoleh estimasi effect size dari penggabungan beberapa/banyak studi. Penulis melakukan meta-analisis uji beda pada 5 skripsi di program studi Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma, khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data hipotetik untuk sampel independen. Analisis data dilakukan dengan program R pada tingkat kepercayaan 95%. Hasil akhir meta-analisis pada data berpasangan menunjukkan bahwa penggabungan 5 sampel skripsi memiliki perbedaan rata-rata distandardisasi sebesar 0.769. Hal ini berarti bahwa rata-rata pendapatan usaha kecil dan menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769 kali lebih besar dari rata-rata pendapatan sebelum mendapatkan kredit. Nilai keseluruhan effect size pada data independen menunjukkan bahwa nilai perbedaan-rata distandardisasi yang diperoleh adalah 0.348. Hal ini berarti bahwa rata-rata kelompok eksperimen 0.348 kali lebih besar daripada rata-rata kelompok kontrol. Kata kunci: pengujian hipotesis, perbedaan rata-rata yang distandardisasi, Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, meta-analisis

vii


ABSTRACT Null hypothesis significance testing is often used in studies or research to get answers to the question of whether there is a difference in the population average and whether there is a relationship between variables. Null significance hypothesis testing doesn’t give more meaning rather than there is or no difference in the average population or relationship between variables. Therefore, the authors discuss the effect sizes on hypothesis testing, especially on the difference in the population average. The effect size is very important to be published in research/study to complete the information on hypothesis testing. The use of effect sizes is found in the meta-analysis. The purpose of metaanalysis is to obtain an estimate of the effect size of the combination of many studies. The authors perform meta-analysis of mean differences on 5 thesis in Economics and Accounting Education study program of Sanata Dharma University, especially for paired samples and 5 hypothetical data for independent sample. Data analysis was done with R program at 95% confidence intervals. The final result of meta-analysis on paired data shows that the merging of 5 thesis samples has a standardized mean difference of 0.769. This means that the average income of small and medium businesses after obtaining credit is 0.769 times greater that the average income before getting credit. The final result of meta-analysis (summary effect) on independent data shows that the standardized mean difference obtained value is 0.348. This means that the experimental group average is 0.348 times greater than the control group average. Keywords: hypothesis testing, standardized mean difference (SMD), Cohen’s d, Hedges’s g, meta-analysis

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih karunia-Nya sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan dan hambatan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.

Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2.

Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Prodi Matematika.

3.

Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4.

Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Skripsi.

5.

Romo, Bapak, dan Ibu Dosen yang telah banyak memberikan pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

6.

Kedua orang tua dan kedua adik yang telah mendukung saya selama proses pengerjaan skripsi.

7.

Teman-teman Matematika 2013: Wahyu, Indra, Dion, Agung, Andre, Kristo, Ambar, Inge, Bintang, Lia, Tia, Yuni, Yui, Melisa, Sorta, Sisca, Natali, Yola, Sari, Dita, Ezra yang telah memberi masukan, kebahagiaan dan motivasi.

8.

Kakak kos seperjuangan, khususnya Engger Zheng yang telah memberi kritik dan saran selama penulisan.

9.

Kakak-kakak, teman-teman, adik kelas dan pihak lainnya yang telah membantu penulis dalam proses penulisan skripsi ini.

ix


x


xi


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL……………………………………………………………....i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………….iii HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iv HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………………………………v HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………….vi ABSTRAK……………………………………………………………………….vii ABSTRACT………………………………………………………………………viii KATA PENGANTAR……………………………………………………………ix LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…….………………xi DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………..…..1 A. Latar Belakang….…………………………………………………………1 B. Rumusan Masalah......…………………………………………………..…4 C. Tujuan Penulisan……......……………………………………………..…..4 D. Manfaat Penulisan…………...………………………………………….....4 E. Metode Penulisan……………...………………………………………..…4 F. Sistematika Penulisan…………………….……………………….……….5 BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA..………………………...6 A. Statistika Inferensial…………………………………………………...…..6 B. Distribusi Sampling……………………………………………………....16 C. Pendugaan Parameter……………………………………………..……...32 1. Selang Kepercayaan……………………………………………….....33 2. Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasi…………….39 3. Observasi Berpasangan……………………………………………....48 D. Hipotesis Statistik………………………………………………………..51 1. Konsep Umum Hipotesis Statistik…………………………………...51 2. Pengujian Hipotesis Statistik………………………………………...55 3. Nilai 𝑃 dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesis……..62 xii


E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi…………..…………………..…....73 1. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar………….73 2. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil………….80 F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi………………………….………...83 1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansi………………………83 2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi Diketahui…………...…………………….…………………………..85 3. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua Populasi Tidak Diketahui tetapi Sama Besar…………...…………....86 4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua Populasi Tidak Diketahui dan Variansi Tidak Sama...........................88 5. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi untuk Sampel Berpasangan….89 BAB III EFFECT SIZE COHEN………….…….………...………..…………...90 A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Size………………………………………90 B. Jenis Effect Size..........................................................................................97 C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasi……………..……………….101 1. Cohen’s 𝑑………….………………………………………………..102 2. Selang Kepercayaan pada Effect Size 𝑑.............................................113 D. Meta-Analisis pada 𝑑...............................................................................116 1. Model Meta-Analisis………………………………………………..116 2. Perhitungan Meta-Analisis pada 𝑑.....................................................123 3. Analisis Sensitifitas…………………………………………………125 Bab IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN..127 A. Meta-Analisis pada Data Berpasangan………………………………...127 B. Meta-Analisis pada Data Independen………………………………….140 BAB V KESIMPULAN………………………………………………………..156 A. Kesimpulan……………………………………………………………..156 B. Saran……………………………………………………………………157 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii


DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkat…………………..44 Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemak……………50 Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistik………….60 Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independen……………..105 Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan Sesudah Percobaan………….………………………………………112 Tabel 4.1 Nilai 𝑃 pada Data Berpasangan dengan Uji Kolgomorov-Smirnov..128 Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap...............133 Tabel 4.3 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Tetap…………………………………………………….…………..134 Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acak….……...137 Tabel 4.5 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Acak………………………………………….……………………..138 Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne…….……………...141 Tabel 4.7 Uji 𝑡 dengan Tingkat Signifikansi 0.05…………………………….142 Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetap……….…147 Tabel 4.9 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap.......149 Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acak…………151 Tabel 4.11 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Acak……………………………………………...………………..153 xiv


DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1

Kriteria Keputusan untuk Menguji Hipotesis dengan Rata-rata Tertentu………………………………...………………………...56

Gambar 2.2

Kurva Kemungkinan Hasil Data Kedua Jenis Pohon dari Populasi yang Memiliki Dua Rata-rata Berbeda…………………65

Gambar 2.3

Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif Dua Arah………...……75

Gambar 2.4

Nilai 𝑃 untuk Contoh 2.5.1………………………………………76

Gambar 3.1

Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia Studi Lucky dan Noluck dengan Selang Kepercayaan 95%...................................................91

Gambar 3.2

Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck dan Kombinasi Meta-analisis (MA)…..…...……………………117

Gambar 3.3

Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acak……...…....…….125

Gambar 4.1

Gambar Funnel Plot Meta-analisis Data Berpasangan…...…….139

Gambar 4.2

Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap dan Model Efek Acak………………………...…………………………….140

Gambar 4.3

Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap.……….154

Gambar 4.4

Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acak….….….154

Gambar 4.5

Funnel Plot Meta-analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok Eksperimen dengan Kelompok Kontrol…..................................155

xv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Ketika kita membaca tentang penelitian empiris, pertanyaan yang muncul pertama kali adalah seberapa penting efek yang dihasilkan. Dalam statistik, informasi tentang kekuatan efek tersebut dikenal dengan istilah effect size. Istilah effect size pertama kali diungkapkan oleh Gene Glass (1976) di San Fransisco. Glass menyebut istilah effect size sebagai suatu nilai standar yang dapat diberlakukan operasi hitung dan dapat dibandingkan antara pengaruh variabel satu dengan lainnya. Istilah ini muncul saat Glass menemukan kesalahan penelitian psikoterapi yang dilakukan H.J Eysenck. Eysenck mengklaim bahwa psikoterapi tidak efektif dan tidak ada data evaluatif untuk membuktikan sebaliknya. Glass membuktikan kesalahan tersebut dengan kemampuan statistik. Glass menghitung effect size berdasarkan 375 studi untuk efek terapi: “ada perbedaan rata-rata pada variabel hasil antara subjek perlakuan dan tanpa perlakuan dibagi dengan standar deviasi kelompok”. Effect size inilah yang dikenal dengan Cohen’s 𝑑. Pada tahun 1999, istilah effect size mulai dikembangkan oleh American Psychological Association (APA) sebagai ukuran kekuatan hubungan antara dua variabel pada populasi statistik atau sampel berbasis perkiraan kuantitas. Olejnik dan Algina (2003) dalam jurnalnya menyatakan bahwa effect size merupakan ukuran mengenai besarnya efek suatu variabel pada variabel lain, besarnya perbedaan maupun hubungan yang bebas dari pengaruh besarnya sampel. Hunt (1997) melaporkan bahwa Glass mendeskripsikan hasil penelitian dalam langkahlangkah yang besar, yaitu penelitian tidak hanya berbicara tentang pengaruh terhadap subjek, melainkan seberapa besar pengaruh tersebut. Hal inilah yang merupakan tujuan penggunaan effect size.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Pengujian hipotesis dengan menggunakan teknik analisis statistik sering digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh terhadap subjek pada penelitian. Ada beberapa pertimbangan dalam memilih teknik analisis statistik univariat (teknik analisis yang hanya melibatkan satu variabel) yaitu: a.

Berdasarkan masalah yang diuji, yaitu masalah rata-rata satu populasi, dua populasi dan lebih dari dua populasi, masalah asosiasi/relasi antar variabel yang skalanya sama/tidak sama.

b.

Berdasarkan jenis sampel, yaitu pengambilan sampel independen dan pengambilan sampel berpasangan.

c.

Berdasarkan pemenuhan asumsi, yaitu asumsi-asumsi tentang distribusi variabel populasi dipenuhi (statistika parametrik) dan tidak ada asumsi spesifik tentang distribusi variabel dalam populasi (statistika non parametrik). Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi digunakan untuk mengetahui

apakah ada perbedaan atau tidak ada perbedaan rata-rata kedua populasi. Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi menggunakan distribusi sampling dari 𝑡 yang dikenal dengan distribusi 𝑡. Distribusi ini menggunakan pendekatan distribusi Normal Standar. Kedua distribusi ini bergantung pada ukuran sampel. Oleh karena itu, pengujian hipotesis juga akan selalu bergantung pada ukuran sampel. Ini merupakan suatu kelemahan dalam uji hipotesis. Penelitian empiris secara konsisten menunjukkan bahwa banyak peneliti tidak sepenuhnya memahami analisis data statistik untuk pengujian hipotesis (Schwab, 2011). Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan uji signifikansi hipotesis nol tanpa memperhatikan metode statistik. Beberapa peneliti sering menginterpretasikan keputusan berupa hasil signifikansi secara statistik sebagai hasil yang penting. Padahal, signifikan di sini tidak dapat diartikan sebagai hasil yang penting, besar dan berguna bagi penelitian. Jika peneliti ingin mencari tahu seberapa besar pengaruh dan perbedaan yang dihasilkan pada penelitian, maka peneliti dapat menambahkan informasi tambahan pada pengujian


hipotesis. Informasi tersebut dapat berupa pengukuran terhadap besarnya efek atau dikenal dengan effect size. Effect size sangat penting karena memungkinkan untuk membandingkan besarnya efek penelitian pada pengujian hipotesis dari penelitian yang satu ke yang lainnya. Menurut Kirk (1996), pengukuran terhadap besarnya efek belum banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti di bidang pendidikan, psikologi dan ilmu sosial. Oleh karena itu, penulis membahas pengukuran besarnya efek pada pengujian hipotesis dengan menggunakan effect size. Effect size bergantung pada jenis parameter yang akan diuji di dalam pengujian hipotesis. Jika parameter itu adalah perbedaan rata-rata populasi maka effect size menunjukkan seberapa besar perbedaan itu. Effect size 𝑑 merupakan pengukuran effect size yang umum digunakan pada parameter tersebut. Permasalahan yang terkait dengan pengukuran besar kecilnya penggunaan effect size 𝑑 adalah tidak adanya standar yang tetap. Hedges (1988) menemukan bias pada pengukuran effect size 𝑑. Pada skripsi ini akan dilihat seberapa besar pengaruh bias tersebut pada 𝑑. Selain itu, selang kepercayaan diketahui dapat memberikan informasi tambahan bagi pengujian hipotesis. Dengan kata lain, adanya hubungan antara pengujian hipotesis dengan selang kepercayaan. Hubungan ini akan dilihat juga pada pembentukan selang kepercayaan bagi effect size 𝑑. Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis, khususnya Cohen’s 𝑑. Larry Hedges (1987) menjelaskan meta-analisis sebagai teknik analisis statistik yang menggabungkan hasil dari penelitian berbeda untuk memberikan estimasi tunggal terbaik dengan selang kepercayaan di dalamnya. Meta-analisis menggunakan beberapa estimasi effect size karena pengukuran effect size tidak dipengaruhi oleh ukuran sampel. Pada skripsi ini akan dilakukan meta-analisis untuk sampel berpasangan pada 5 skripsi di program studi Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma dan 5 data hipotetik untuk sampel independen.


B. Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan effect size? 2. Bagaimana membentuk selang kepercayaan pada effect size 𝑑? 3. Bagaimana deskripsi effect size 𝑑 pada 5 skripsi di program studi Pendidikan Ekonomi, Akuntansi dan 5 data hipotetik?

C. Batasan Masalah Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Efek statistik yang dibahas pada pengukuran effect size adalah effect size d. 2. Pengkajian effect size pada pengujian hipotesis untuk data yang dipilih secara acak dan kontinu (data yang merupakan hasil pengukuran).

D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui seberapa besar effect size yang dihasilkan pada 5 skripsi di program studi Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi, khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data hipotetik untuk sampel independen.

E. Manfaat Penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memberi informasi kegunaan pelaporan effect size pada pengujian hipotesis.

F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca atau mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan effect size, uji hipotesis, meta-analisis dan selang kepercayaan.


G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA A. Statistika Inferensial B. Distribusi Sampling C. Pendugaan Parameter D. Hipotesis Statistik E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi BAB III EFFECT SIZE COHEN A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Size B. Jenis Effect Size C. Selang Kepercayaan pada 𝑑 D. Meta-Analisis pada 𝑑 BAB IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN A. Meta-Analisis pada Data Independen B. Meta-Analisis pada Data Berpasangan BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN


BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA

A. Statistika Inferensial Berdasarkan aktivitas yang dilakukan, statistika terbagi menjadi dua yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Pada bab ini akan dibahas tentang statistika inferensial yang berperan penting pada pengujian hipotesis dan pendugaan parameter. Statistikawan menggunakan hukum dasar probabilitas dan statistika inferensial untuk menarik kesimpulan tentang sistem ilmiah. Informasi dikumpulkan

dalam

bentuk

sampel

atau

koleksi

pengamatan.

Sampel

dikumpulkan dari populasi, yang merupakan kumpulan semua individu atau masing-masing item dari jenis tertentu. Suatu konstanta yang merupakan karakteristik populasi dinamakan parameter.

Definisi 2.1.1. Ruang sampel adalah himpunan yang terdiri dari semua kemungkinan titik sampel dalam suatu proses pengamatan.

Definisi 2.1.2. Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel.

Fungsi tertentu dari variabel acak yang diamati dalam sampel digunakan untuk menduga atau membuat keputusan tentang parameter populasi yang tidak diketahui. Misalnya, pendugaan rata-rata populasi 𝜇 dilakukan dengan mengambil sampel acak 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dari variabel acak 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 dan rata-rata sampelnya 𝑥̅ = (1/𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 .

6


Variabel acak 𝑥̅ adalah fungsi dari variabel acak 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 dan sampel berukuran 𝑛. Dengan kata lain, rata-rata sampel, yaitu 𝑥̅ adalah contoh statistik.

Definisi 2.1.3. Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diamati dalam sampel.

Sebagai contoh, dalam sebuah percobaan obat, sampel pasien diambil dan masing-masing diberi obat spesifik untuk mengurangi tekanan darah. Percobaan ini difokuskan pada penarikan kesimpulan tentang populasi pasien yang menderita hipertensi. Jadi, tujuan dari statistika inferensial adalah informasi yang terdapat dalam sampel digunakan untuk membuat kesimpulan tentang populasi di mana sampel diambil.

Definisi 2.1.4. Statistika inferensial adalah teknik analisis statistik yang terdiri dari beberapa metode statistik untuk dapat membuat kesimpulan atau generalisasi tentang populasi.

Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi densitas probabilitas untuk variabel acak kontinu 𝑋, jika 1) 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. ∞

2) ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1.

Fungsi Pembangkit Momen Pada subbab ini akan dijelaskan fungsi pembangkit momen yang berkaitan dengan Teorema dalam distribusi sampling.


Definisi 2.1.6. Momen ke-𝑘 variabel acak 𝑋 diberikan oleh ∑ 𝑥 𝑘 𝑓(𝑥) , 𝜇′𝑘 = 𝐸(𝑋

𝑘)

=

∞

{

jika 𝑋 diskrit,

𝑥

∫ 𝑥 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ,

jika 𝑋 kontinu.

−∞

Berdasarkan definisi 2.1.5, rata-rata dan variansi variabel acak 𝑋 adalah 𝜇′1 = 𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝜇′2 − 𝜇 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2 = 𝜎 2 .

Definisi 2.1.7. Fungsi pembangkit momen dari variabel 𝑋 diberikan oleh 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 ) dan dinotasikan oleh 𝑚𝑋 (𝑡). Dengan kata lain, ∑ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) , 𝑚𝑋 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 ) =

∞

jika 𝑋 diskrit,

𝑥

∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , { −∞

jika 𝑋 kontinu.

Teorema 2.1.1. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑚𝑋 (𝑡). Didefinisikan 𝑑𝑘 𝑚 (𝑡)|𝑡=0 = 𝜇′𝑘 . 𝑑𝑡𝑘 𝑋 Bukti: Misalkan 𝑚𝑋 (𝑡) adalah fungsi pembangkit momen yang variabel acak 𝑋 terdiferensial 𝑘 kali. 𝑑𝑘 𝑑 𝑘 ∞ 𝑡𝑥 (𝑡) 𝑚 = 𝑘 ∫ 𝑒 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑘 𝑋 𝑑𝑡 −∞ ∞

𝑑 𝑘 𝑡𝑥 = ∫ ( 𝑘 𝑒 ) 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 −∞ 𝑑𝑡


∞

= ∫ (𝑥 𝑘 𝑒 𝑡𝑥 )𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 −∞

= 𝐸(𝑋 𝑘 )𝑒 𝑡𝑥 . Dengan demikian, 𝑑𝑘 𝑚 (𝑡)|𝑡=0 = 𝐸(𝑋 𝑘 )𝑒 𝑡𝑥 |𝑡=0 = 𝐸(𝑋 𝑘 ) = 𝜇′𝑘 . ∎ 𝑑𝑡𝑘 𝑋

Contoh 2.1.1. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan ratarata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Tentukan fungsi pembangkit momen untuk 𝑋.

Penyelesaian: Fungsi probabilitas Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 adalah 𝑓(𝑥) =

1

1 exp [− ( 2 ) (𝑥 − 𝜇)2 ] , −∞ < 𝑥 < ∞ 2𝜎 𝜎√2𝜋

Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah ∞ exp[−(𝑥 − 𝜇)2 /2𝜎 2 ] 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ) = ∫ 𝑒 𝑡𝑥 ( ) 𝑑𝑥. 𝜎√2𝜋 −∞

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, maka 𝑥 = 𝑢 + 𝜇, 𝑚(𝑡) =

=

=

1 𝜎√2𝜋

∞

∫ 𝑒 𝑡(𝑢+𝜇) 𝑒 −𝑢

1 𝜎√2𝜋 1 𝜎√2𝜋

2 /(2𝜎 2 )

𝑑𝑢

−∞ ∞

∫ exp [(𝑢 + 𝜇)𝑡 − −∞ ∞

∫ exp [ −∞

𝑢2 ] 𝑑𝑢 2𝜎 2

−𝑢2 + 2𝜎 2 (𝑢 + 𝜇)𝑡 ] 𝑑𝑢 2𝜎 2


/𝑒 𝑡

2 𝜎 2 /2

𝑚(𝑡) = 𝑒 𝜇𝑡 𝑒 𝑡

2 𝜎 2 /2

Kalikan dengan 𝑒 𝑡

2 𝜎 2 /2

=𝑒

dan melengkapkan kuadrat, ∞

exp[−(1/2𝜎 2 )(𝑢2 − 2𝜎 2 𝑡𝑢 + 𝜎 4 𝑡 2 )]

−∞

𝜎√2𝜋

∫

𝜇𝑡+(𝑡 2 𝜎2 /2)

∞

exp[−(𝑢 − 𝜎 2 𝑡)2 /2𝜎 2 ]

−∞

𝜎√2𝜋

∫

𝑑𝑢

𝑑𝑢.

Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Normal dengan rata-rata 𝜎 2 𝑡 dan variansi 𝜎 2 , maka integral tersebut bernilai 1. Jadi, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑚(𝑡) = 𝑒 𝜇𝑡+(𝑡

2 𝜎 2 /2)

.

Definisi 2.1.8. Variabel acak 𝑋 didefinisikan berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas 𝑋 adalah −

𝑥

𝑥 𝛼−1 𝑒 𝛽 𝑓(𝑥) = { 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) , 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞ 0, selainnya, dengan ∞

Γ(𝛼) = ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥. 0

Definisi 2.1.9. Misalkan 𝑣 adalah bilangan bulat positif. Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 jika dan hanya jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 = 𝑣/2 dan 𝛽 = 2.

Contoh 2.1.2. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan rata-rata 𝑣 dan variansi 2𝑣. Tentukan fungsi pembangkit momen untuk 𝑋.


Penyelesaian: Fungsi probabilitas Chi-Square dengan rata-rata 𝑣 dan variansi 2𝑣 adalah 𝑥 (𝑣/2)−1 𝑒 −𝑥/2 𝑓(𝑥) = 𝑣/2 ,𝑥 > 0 2 Γ(𝑣/2) Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah ∞

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒

𝑡𝑥 )

=∫ 𝑒 0

=

𝑡𝑥

𝑥 (𝑣/2)−1 𝑒 −𝑥/2 𝑑𝑥 2𝑣/2 Γ(𝑣/2)

∞ (1−2𝑡)𝑥 𝑥 (𝑣/2) 1 − 2 ∫ 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 2𝑣/2 Γ(𝑣/2) 0

1

Misalkan 𝑡 < 2, 𝑢 = (1 − 2𝑡)𝑥 𝑑𝑢 = (1 − 2𝑡)𝑑𝑥 𝑚(𝑡) =

∞ 𝑣/2 1 𝑢 1 𝑢 − 2 ( ∫ 𝑒 ) ( ) 𝑑𝑢 1 − 2𝑡 𝑢 2𝑣/2 Γ(𝑣/2) 0

= (1 − 2𝑡)

𝑢

𝑒 − 2 𝑢(𝑣/2)−1 ∫ 𝑑𝑢 𝑣/2 Γ(𝑣/2) 0 2 ∞

−𝑣/2

Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Gamma dengan parameter 𝛼 = 𝑣/2 dan 𝛽 = 2, maka menurut definisi fungsi probabilitas (definisi 2.1.5), integral bersebut bernilai 1. Jadi, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑚(𝑡) = (1 − 2𝑡)−𝑣/2 .


Teorema 2.1.2. Teorema Ketunggalan: Misalkan 𝑚𝑋 (𝑡) dan 𝑚𝑌 (𝑡) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan 𝑚𝑋 (𝑡) = 𝑚𝑌 (𝑡), untuk setiap nilai 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Bukti dapat dilihat pada skripsi Julie, Hongkie (1999) yang berjudul Teorema Limit Pusat dan Terapannya.

Contoh 2.1.3. Misalkan 𝑍 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan ratarata 0 dan variansi 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk menemukan distribusi probabilitas dari 𝑍 2 . Penyelesaian: Fungsi pembangkit momen dari 𝑍 2 adalah 𝑚𝑍 2 (𝑡) = 𝐸(𝑒

𝑡𝑍 2

∞

)=∫ 𝑒

𝑡𝑧 2

∞

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = ∫ 𝑒

−∞ ∞

=∫

𝑡𝑧 2

−∞

1

−∞ √2𝜋

𝑒 −(𝑧

2 /2)(1−2𝑡)

𝑒 −𝑧

2 /2

√2𝜋

𝑑𝑧

𝑑𝑧.

Jika (1 − 2𝑡) > 0 (𝑡 < 1/2), integrand dari 𝑧2

exp[− ( 2 ) (1 − 2𝑡)] √2𝜋

𝑧2

=

exp [− ( 2 )⁄(1 − 2𝑡)−1 ] √2𝜋

identik dengan fungsi probabilitas variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan variansi (1 − 2𝑡)−1 . Untuk membuat integralnya sama dengan 1, kalikan dengan standar deviasinya, yaitu (1 − 2𝑡)−1/2, sehingga ∞ 1 1 𝑧2 𝑚𝑍 2 (𝑡) = ∫ exp [− ( )⁄(1 − 2𝑡)−1 ] 𝑑𝑧. (1 − 2𝑡)1/2 −∞ √2𝜋(1 − 2𝑡)−1/2 2

Karena integral di atas sama dengan 1, untuk 𝑡 < 1/2, maka


𝑚𝑍 2 (𝑡) =

1 = (1 − 2𝑡)−1/2 . 1/2 (1 − 2𝑡)

Oleh karena fungsi pembangkit momen untuk 𝑍 2 identik dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel acak Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 = 1 (contoh 2.1.2), maka menurut Teorema Ketunggalan, 𝑍 2 berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1. Dengan demikian, fungsi probabilitas untuk 𝑈 = 𝑍 2 adalah 𝑢−1/2 𝑒 −𝑢/2 𝑓𝑈 (𝑢) = { Γ(1/2)√2 0,

,

𝑢≥0 selainnya.

Contoh 2.1.4. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan ratarata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Tunjukkan bahwa 𝑍=

𝑋−𝜇 𝜎

berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1. Penyelesaian: Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑒 𝜇𝑡+(𝑡

2 𝜎 2 /2)

.

Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 − 𝜇 adalah 𝑒 𝑡

2 𝜎 2 /2

,

sehingga 𝑡 2 2 2 𝑚𝑍 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑍 ) = 𝐸(𝑒 (𝑡/𝜎)(𝑋−𝜇) ) = 𝑚𝑋−𝜇 ( ) = 𝑒 (𝑡/𝜎) 𝜎 /2 = 𝑒 𝑡 /2 . 𝜎 Oleh karena 𝑚𝑍 (𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari variabel acak Normal Standar, maka 𝑍 berdistribusi Normal Standar dengan 𝐸(𝑍) = 0 dan 𝑉(𝑍) = 1.


Teorema 2.1.3. Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen 𝑚𝑋1 (𝑡), 𝑚𝑋2 (𝑡),…, 𝑚𝑋𝑛 (𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 , maka 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝑚𝑋1 (𝑡) x 𝑚𝑋2 (𝑡) x … x 𝑚𝑋𝑛 (𝑡). Bukti: Karena variabel acak 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 saling bebas, maka 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡(𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋𝑛) ) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋1 𝑒 𝑡𝑋2 … 𝑒 𝑡𝑋𝑛 ) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋1 ) x 𝐸(𝑒 𝑡𝑋2 ) x … x 𝐸(𝑒 𝑡𝑋𝑛 ). Dengan definisi fungsi pembangkit momen, 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝑚𝑋1 (𝑡) x 𝑚𝑋2 (𝑡) x … x 𝑚𝑋𝑛 (𝑡).

∎

Teorema 2.1.4. Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak saling bebas yang berdistribusi Normal dengan 𝐸(𝑋𝑖 ) = 𝜇𝑖 , 𝑉(𝑋𝑖 ) = 𝜎𝑖 2 , untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑎1 , 𝑎2 ,…, 𝑎𝑛 adalah konstanta. Jika 𝑛

𝑈 = ∑ 𝑎𝑖 𝑋𝑖 = 𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 , 𝑖=1

maka U adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan 𝑛

𝐸(𝑈) = ∑ 𝑎𝑖 𝜇𝑖 = 𝑎1 𝜇1 + 𝑎2 𝜇2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜇𝑛 𝑖=1

dan 𝑛

𝑉(𝑈) = ∑ 𝑎𝑖 2 𝜎𝑖 2 = 𝑎1 2 𝜎1 2 + 𝑎2 2 𝜎2 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 2 𝜎𝑛 2 . 𝑖=1


Bukti: Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑒 𝜇𝑡+(𝑡

2 𝜎 2 /2)

.

Karena 𝑋𝑖 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇𝑖 dan variansi 𝜎𝑖 2 , maka fungsi pembangkit momen dari 𝑋𝑖 adalah 𝑚𝑋𝑖 (𝑡) = exp (𝜇𝑖 𝑡 +

𝜎𝑖 2 𝑡 2 ). 2

Fungsi pembangkit momen dari 𝑎𝑖 𝑋𝑖 adalah 2

𝑚𝑎𝑖 𝑋𝑖 (𝑡) = 𝐸(𝑒

𝑡𝑎𝑖 𝑋𝑖 )

𝑎𝑖 2 𝜎𝑖 𝑡 2 = 𝑚𝑋𝑖 (𝑎𝑖 𝑡) = exp (𝜇𝑖 𝑎𝑖 𝑡 + ). 2

Karena variabel acak 𝑋𝑖 saling bebas dan 𝑎𝑖 𝑋𝑖 saling bebas, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka menurut teorema 2.1.3, 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝑚𝑎1 𝑋1 (𝑡) x 𝑚𝑎2 𝑋2 (𝑡) x … x 𝑚𝑎𝑛𝑋𝑛 (𝑡) 2

2

𝑎1 2 𝜎1 𝑡 2 𝑎𝑛 2 𝜎𝑛 𝑡 2 = exp (𝜇1 𝑎1 𝑡 + ) x … x exp (𝜇𝑛 𝑎𝑛 𝑡 + ) 2 2 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑡2 = exp (𝑡 ∑ 𝑎𝑖 𝜇𝑖 + ∑ 𝑎𝑖 2 𝜎𝑖 2 ). 2 Oleh karena 𝑚𝑈 (𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, 𝑈 mempunyai distribusi Normal dengan rata-rata ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝜇𝑖 dan variansi ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 2 𝜎𝑖 2 . ∎


B. Distribusi Sampling Fokus utama statistika inferensial berkaitan dengan generalisasi dan prediksi. Sebagai contoh, mesin minuman ringan dirancang untuk mengeluarkan minuman dengan rata-rata 240 mililiter per minuman. Perusahaan minuman tersebut menghitung rata-rata 40 minuman dan diperoleh rata-ratanya 𝑥̅ = 236 mililiter. Berdasarkan nilai tersebut, perusahaan memutuskan bahwa mesin masih mengeluarkan minuman dengan rata-rata 𝜇 = 240 mililiter. Empat puluh minuman mewakili sampel dari populasi tak hingga minuman yang akan dikeluarkan mesin. Dari contoh di atas, statistik dihitung dari sampel yang dipilih dari populasi. Statistik juga menghasilkan berbagai pernyataan yang dibuat mengenai nilai-nilai parameter populasi yang mungkin atau mungkin tidak benar. Perusahaan minuman tersebut membuat keputusan bahwa minuman ringan mengeluarkan minuman dengan rata-rata 240 mililiter, meskipun rata-rata sampelnya 236 mililiter. Perusahaan tersebut membuat keputusan itu berdasarkan teori sampling. Karena statistik adalah variabel acak yang bergantung hanya pada sampel yang diamati, maka statistik harus memiliki distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas dari statistik inilah yang dinamakan distribusi sampling. Distribusi sampling dari statistik tergantung pada distribusi populasi, ukuran sampel dan metode pemilihan sampel. Distribusi sampling 𝑋̅ dinamakan distribusi sampling dari rata-rata. Distribusi sampling 𝑋̅ dengan ukuran sampel 𝑛 adalah distribusi yang terjadi ketika percobaan dilakukan berulang dan banyak nilai-nilai hasil 𝑋̅. Distribusi sampling 𝑋̅ menggambarkan variabilitas rata-rata sampel sekitar rata-rata populasi 𝜇. Pada kasus mesin minuman ringan, pengetahuan tentang distribusi sampling 𝑋̅ memberikan perbedaan yang khas antara nilai 𝑥̅ yang diamati dan nilai rata-rata (𝜇) sebenarnya. Prinsip yang sama juga berlaku pada distribusi 𝑆 2 . Distribusi sampling ini menghasilkan nilai-nilai variabilitas variansi sampel 𝑠 2 di sekitar variansi populasi 𝜎 2 , khususnya dalam percobaan berulang.


Teorema 2.2.1. Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak saling bebas berukuran 𝑛 dari distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Statistik 𝑛

1 𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1

akan berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇𝑋̅ = 𝜇 dan variansi 𝜎𝑋̅ 2 = 𝜎 2 /𝑛.

Bukti: Karena 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak dari distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇, variansi 𝜎 2 dan 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 juga saling bebas dengan 𝐸(𝑋𝑖 ) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋𝑖 ) = 𝜎 2 , maka 𝑛

1 1 1 1 𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖 = (𝑋1 ) + (𝑋2 ) + ⋯ + (𝑋𝑛 ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1

1

= 𝑎1 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 , di mana 𝑎𝑖 = 𝑛 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Menurut teorema 2.1.4, karena 𝑋̅ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 , maka 𝑋̅ berdistribusi Normal dengan 𝜇𝑋̅ = 𝐸(𝑋̅) = 𝐸[𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 ] = 𝑎1 𝐸(𝑋1 ) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐸(𝑋𝑛 ) =

1 1 1 (𝜇) + ⋯ + (𝜇) = (𝑛𝜇) = 𝜇 𝑛 𝑛 𝑛

dan 𝜎𝑋̅ 2 = 𝑉(𝑋̅) = 𝑉[𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 ] = 𝑎1 𝑉(𝑋1 ) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑉(𝑋𝑛 ) 1 2 1 2 1 𝜎2 2 = 2 (𝜎 ) + ⋯ + 2 (𝜎 ) = 2 (𝑛𝜎 ) = . 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

∎


Contoh 2.2.1. Sebuah mesin pengisi botol minuman dapat diatur sehingga debit rata-ratanya 𝜇 ons per botol. Telah diamati bahwa jumlah isian tiap botol berdistribusi Normal dengan standar deviasi 𝜎 = 1 ons. Sampel pengisian botol berukuran 𝑛 = 9 dipilih secara acak dari keluaran mesin pada hari tertentu (semua botol dengan pengaturan mesin yang sama) dan masing-masing botol diukur debitnya. Tentukan probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3 ons rata-rata sebenarnya 𝜇 untuk pengaturan mesin yang dipilih.

Penyelesaian: Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah banyaknya botol yang akan diamati debitnya dan 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,9 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 = 1. Berdasarkan teorema 2.2.1, 𝑋̅ memiliki distribusi sampling yang Normal dengan rata-rata 𝜇𝑋̅ = 𝜇 dan variansi 𝜎𝑋̅ 2 =

𝜎2 𝑛

= 1/9.

𝑃(|𝑋̅ − 𝜇| ≤ 0.3) = 𝑃[−0.3 ≤ 𝑋̅ − 𝜇 ≤ 0.3] −0.3

= 𝑃 (𝜎/

√𝑛

𝑋̅ −𝜇

≤ 𝜎/

√𝑛

0.3

≤ 𝜎/ 𝑛). √

Karena (𝑋̅ − 𝜇𝑋̅ )/𝜎𝑋̅ = (𝑋̅ − 𝜇)/(𝜎/√𝑛) berdistribusi Normal Standar, maka 𝑃(|𝑋̅ − 𝜇| ≤ 0.3) = 𝑃 (

−0.3 1/√9

≤𝑍≤

0.3

) 1/√9

= 𝑃(−0.9 ≤ 𝑍 ≤ 0.9) = 1 − 2𝑃(𝑍 > 0.9) = 1 − 2(0.1841) = 0.6318. Dengan demikian, probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3 ons dari rata-rata populasi sebenarnya hanyalah 0.6318.


Teorema 2.2.2. Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,… adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) dan 𝑚1 (𝑡), 𝑚2 (𝑡), 𝑚3 (𝑡),…, 𝑚𝑛 (𝑡). Jika lim 𝑚𝑛 (𝑡) = 𝑚(𝑡) , ∀𝑡 ∈ ℝ

𝑛→∞

maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋. Bukti dapat dilihat pada buku Probability with Martingales karangan Williams, David (1991) halaman 185.

Teorema 2.2.3. Teorema Limit Pusat: Jika 𝑋̅ adalah rata-rata sampel acak berukuran 𝑛 yang diambil dari populasi dengan rata-rata 𝜇 dan variansi berhingga 𝜎 2 , maka bentuk limit dari distribusi 𝑍=

𝑋̅ − 𝜇 𝜎/√𝑛

,

konvergen ke fungsi distribusi Normal Standar 𝑛(𝑧; 0,1), ketika 𝑛 → ∞. Bukti: Misalkan 𝑋̅ − 𝜇

𝑛

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 − 𝑛𝜇 1 𝑈𝑛 = = ( )= ∑ 𝑍𝑖 , 𝜎 𝜎/√𝑛 √𝑛 √𝑛 𝑖=1 1

dengan 𝑍𝑖 =

𝑋𝑖 − 𝜇 . 𝜎

Karena variabel acak 𝑋𝑖 saling bebas dan berdistribusi Normal, maka menurut contoh 2.1.4, 𝑍𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 juga saling bebas dan berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝐸(𝑍𝑖 ) = 0 dan variansi 𝑉(𝑍𝑖 ) = 1.


Karena fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak yang saling bebas adalah hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momennya, maka 𝑚∑ 𝑍𝑖 (𝑡) = 𝑚𝑍1 (𝑡) x 𝑚𝑍2 (𝑡) x … x 𝑚𝑍𝑛 (𝑡) = [𝑚𝑍1 (𝑡)]

𝑛

dan 𝑡 𝑡 𝑛 𝑚𝑈𝑛 (𝑡) = 𝑚∑ 𝑍𝑖 ( ) = [𝑚𝑍1 ( )] . √𝑛 √𝑛 Oleh karena deret Taylor di sekitar 0 dengan suku sisa bentuk Lagrange adalah 𝑚𝑍1 (𝑡) = 𝑚𝑍1 (0) + 𝑚′𝑍1 (0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1 (𝜉)

𝑡2 ,0 < 𝜉 < 𝑡 2

dan karena 𝑚𝑍1 (0) = 𝐸(𝑒 0𝑍1 ) = 𝐸(1) = 1 dan 𝑚′𝑍1 (0) = 𝐸(𝑍1 ) = 0, 𝑚𝑍1 (𝑡) = 1 + 𝑚′′𝑍1 (𝜉)

𝑡2 2

sehingga 𝑚′′ 𝑍1 (𝜉𝑛 ) 𝑡 2 𝑚𝑈𝑛 (𝑡) = [1 + ( ) ] 2 √𝑛

𝑛

𝑛

𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 )𝑡 2 /2 𝑡 = [1 + ] , 0 < 𝜉𝑛 < . 𝑛 √𝑛 Ketika 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0, maka 𝑚′′ 𝑍1 (𝜉𝑛 )𝑡 2 /2 → 𝑚′′ 𝑍1 (0)𝑡 2 /2 = 𝐸(𝑍1 2 )𝑡 2 /2 = 𝑡 2 /2, dengan 𝐸(𝑍1 2 ) = 𝑉(𝑍1 ) = 1. Dipandang lim 𝑏𝑛 = 𝑏, maka 𝑛→∞

lim (1 +

𝑛→∞

𝑏𝑛 𝑛 𝑛

) = 𝑒𝑏.

(2.1)


Berdasarkan persamaan (𝟐. 𝟏) diperoleh 𝑛

𝑚′′𝑍1 (𝜉𝑛 )𝑡 2 /2 2 lim 𝑚𝑈𝑛 (𝑡) = lim (1 + ) = 𝑒 𝑡 /2 . 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛 Dari contoh 2.1.4, 𝑒 𝑡

2 /2

identik dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel

acak Normal Standar. Jadi, menurut teorema 2.2.2, fungsi distribusi 𝑈𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal Standar. ∎

Pendekatan distribusi Normal untuk 𝑋̅ akan bagus secara umum untuk ukuran sampel 𝑛 ≥ 30. Jika 𝑛 < 30, pendekatan baik hanya jika populasinya tidak terlalu berbeda dari distribusi Normal. Jika populasinya diketahui Normal, maka distribusi sampling dari 𝑋̅ akan mengikuti distribusi Normal persis, tidak peduli seberapa kecil ukuran sampel. Ukuran sampel 𝑛 = 30 adalah pedoman untuk menggunakan teorema 2.2.3 (Teorema Limit Pusat).

Contoh 2.2.2. Firma listrik memproduksi bola lampu yang memiliki waktu hidupnya mendekati distribusi Normal, dengan rata-rata sebesar 800 jam dan standar deviasi 40 jam. Tentukan probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu akan memiliki rata-rata hidup kurang dari 775 jam.

Penyelesaian: Misalkan 𝑋̅ adalah lamanya hidup bola lampu yang berdistribusi Normal dengan 𝜇𝑋̅ = 800 dan 𝜎𝑋̅ =

40 √16

= 10.

Probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu akan memiliki rata-rata hidup kurang dari 775 jam adalah


𝑃(𝑋̅ < 775) = 𝑃 (

𝑋̅ − 800 40/√16

<

775 − 800 ) = 𝑃(𝑍 < −2.5) = 0.0062. 10

Gagasan umum distribusi sampling dan Teorema Limit Pusat sering digunakan untuk menghasilkan bukti tentang beberapa aspek penting dari distribusi, seperti parameter dari distribusi. Pada Teorema Limit Pusat, parameter yang menarik adalah rata-rata populasi 𝜇. Selain itu, penentuan nilai wajar dari rata-rata populasi 𝜇 adalah salah satu aplikasi yang paling penting dari Teorema Limit Pusat. Topik seperti pengujian hipotesis, pendugaan selang, kualitas kontrol dan lainnya memanfaatkan Teorema Limit Pusat. Contoh berikut menggambarkan penggunaan Teorema Limit Pusat yang berkaitan dengan rata-rata populasi serta penarikan kesimpulan menggunakan distribusi sampling dari 𝑋̅.

Contoh 2.2.3. Suatu proses manufaktur menghasilkan komponen silinder suku cadang untuk industri otomotif. Dalam proses tersebut diproduksi komponen yang memiliki diameter rata-rata 5 milimeter. Insinyur menduga bahwa rata-rata populasinya adalah 5 milimeter. Sebuah percobaan dilakukan pada 100 komponen yang dihasilkan oleh proses secara acak dan masing-masing komponen diukur diameternya. Diketahui bahwa standar deviasi populasi 𝜎 = 0.1 milimeter. Hasil percobaan menunjukkan diameter rata-rata sampel 𝑥̅ = 5.027 milimeter. Apakah informasi sampel ini muncul untuk mendukung atau menyangkal dugaan insinyur?

Penyelesaian: Contoh ini merefleksikan berbagai masalah yang sering diajukan dan diselesaikan dengan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis sendiri akan dibahas pada subbab selanjutnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, prinsip distribusi sampling dan logika digunakan. Jika probabilitas data menunjukkan bahwa nilai 𝑥̅ = 5.027 berbeda jauh dari rata-rata populasi (probabilitas mendekati 1), maka dugaan insinyur tersebut


tidak terbantahkan. Sebaliknya, jika probabilitas cukup kecil, maka data tidak mendukung dugaan bahwa 𝜇 = 5. Dengan kata lain, jika rata-rata populasi 𝜇 = 5, berapa probabilitas bahwa rata-rata sampel 𝑋̅ akan menyimpang sebanyak 0.027 milimeter? Dengan Teorema Limit Pusat, probabilitasnya adalah 𝑃(|𝑋̅ − 5| ≥ 0.027) = 𝑃(𝑋̅ − 5 ≥ 0.027) + 𝑃(𝑋̅ − 5 ≤ −0.027) = 2𝑃 (

𝑋̅ −5 0.1 √100

≥ 2.7) = 2𝑃(𝑍 ≥ 2.7)

= 2(0.0035) = 0.007. Oleh karena itu, percobaan tersebut dengan 𝑥̅ = 5.027 tidak memberikan bukti pendukung untuk berspekulasi bahwa 𝜇 = 5. Jadi, dugaan insinyur tersebut dapat dibantah.

Teorema 2.2.4. Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak yang berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 , maka statistik 𝑛

(𝑛 − 1)𝑆 2 1 𝑊= = 2 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 2 𝜎 𝜎 𝑖=1

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas (𝑛 − 1). Dengan demikian, 𝑋̅ dan 𝑆 2 adalah variabel acak saling bebas.

Bukti: Pembuktian akan dilakukan secara khusus, yaitu untuk 𝑛 = 2. Untuk kasus 𝑛 = 2, 𝑋̅ = (1/2)(𝑋1 + 𝑋2 ) dan


2

1 𝑆 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 2−1 2

𝑖=1

2

1

1

= [𝑋1 − (2) (𝑋1 + 𝑋2 )] + [𝑋2 − (2) (𝑋1 + 𝑋2 )] 2

1

1

= [2 (𝑋1 − 𝑋2 )] + [2 (𝑋2 − 𝑋1 )] 2

1

= 2 [2 (𝑋1 − 𝑋2 )] =

2

2

(𝑋1 −𝑋2 )2 2

Dengan demikian, untuk 𝑛 = 2, 𝑊=

(𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑋1 − 𝑋2 )2 𝑋1 − 𝑋2 2 = = ( ) . 𝜎2 2𝜎 2 √2𝜎 2

Menurut teorema 2.1.4, karena 𝑋1 − 𝑋2 adalah kombinasi linear yang saling bebas, maka variabel acak 𝑋1 − 𝑋2 berdistribusi Normal (𝑋1 − 𝑋2 = 𝑎1 𝑋1+𝑎2 𝑋2, dengan 𝑎1 = 1 dan 𝑎2 = −1) dengan rata-rata 1𝜇 − 1𝜇 = 0 dan variansi (1)2 𝜎 2 + (−1)2 𝜎 2 = 2𝜎 2 . Oleh karena 𝑍=

𝑋1 − 𝑋2 √2𝜎 2

berdistribusi Normal Standar, maka menurut Teorema Ketunggalan (lihat contoh 2.1.3), untuk 𝑛 = 2, 𝑊=

(𝑛 − 1)𝑆 2 𝑋1 − 𝑋2 2 = ( ) = 𝑍2 2 𝜎2 √2𝜎

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.


Untuk membuktikan 𝑋̅ dan 𝑆 2 adalah variabel acak saling bebas, maka misalkan 𝑈1 = (𝑋1 + 𝑋2 )/𝜎 dan 𝑈2 = (𝑋1 − 𝑋2 )/𝜎 adalah variabel acak saling bebas, sehingga 2

2

(𝑋 −𝑋 ) (𝜎𝑈 ) 𝑋 +𝑋 𝜎𝑈 𝑋̅ = 1 2 2 = 2 1 dan 𝑆 2 = 1 2 2 = 22 .

Karena 𝑋̅ adalah fungsi dari 𝑈1 dan 𝑆 2 adalah fungsi dari 𝑈2 , maka bebas 𝑈1 dan 𝑈2 mengakibatkan 𝑋̅ dan 𝑆 2 saling bebas. ∎

Asumsi pada Teorema Limit Pusat dan distribusi Normal adalah standar deviasi (𝜎) diketahui. Asumsi ini mungkin tidak masuk akal dalam situasi praktis. Namun, dalam banyak skenario percobaan, pengetahuan 𝜎 tentu tidak lebih masuk akal dari pengetahuan tentang rata-rata populasi 𝜇. Seringkali, pada kenyataannya, pendugaan 𝜎 harus diberikan oleh informasi sampel yang sama dalam menghasilkan rata-rata sampel 𝑥̅ . Akibatnya, statistik yang digunakan untuk menarik kesimpulan pada 𝜇 adalah 𝑇=

𝑋̅ − 𝜇 𝑆/√𝑛

.

Definisi 2.2.1. Misalkan 𝑍 adalah variabel acak berdistribusi Normal Standar dan 𝑊 adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣. Jika 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka distribusi dari variabel acak 𝑇, dengan 𝑇=

𝑍 √𝑊/𝑣

adalah distribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.


Teorema 2.2.5. Jika 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 merupakan sampel acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇, variansi 𝜎 2 dan 1 1 𝑋̅ = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 dan 𝑆 2 = 𝑛−1 ∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 ,

maka variabel acak 𝑇 =

𝑋̅ −𝜇 𝑆/√𝑛

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.

Bukti: Misalkan 𝑍=

𝑋̅ − 𝜇 𝜎/√𝑛

berdistribusi Normal Standar dan 𝑊=

(𝑛 − 1)𝑆 2 𝜎2

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1. Karena 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka menurut teorema 2.2.4, 𝑋̅ dan 𝑆 2 juga saling bebas. Jadi, dengan definisi 2.2.1 diperoleh 𝑇=

𝑍 √𝑊/𝑣

=

(𝑋̅ − 𝜇)/(𝜎/√𝑛) √[(𝑛 − 1)𝑆 2 /𝜎 2 ]/(𝑛 − 1)

=

𝑋̅ − 𝜇 𝑆/√𝑛

,

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas n-1. ∎

Jika ukuran sampel kecil, nilai-nilai 𝑆 2 berfluktuasi dari sampel ke sampel dan distribusi 𝑇 cukup menyimpang dari distribusi Normal Standar. Jika ukuran sampel cukup besar (𝑛 ≥ 30), maka distribusi 𝑇 tidak berbeda jauh dari distribusi Normal Standar. Namun, untuk 𝑛 < 30, penggunaan distribusi 𝑇 akan lebih akurat daripada distribusi Normal Standar.


Contoh 2.2.4. Seorang ahli kimia mengklaim bahwa rata-rata populasi hasil proses batch tertentu adalah 500 gram per mililiter bahan baku. Untuk memeriksa klaim ini, ahli tersebut mengambil sampel sebanyak 25 batch setiap bulan. Jika nilai 𝑡 jatuh antara −𝑡0.05 dan 𝑡0.05 , ahli tersebut puas dengan klaimnya. Kesimpulan apa yang ia tarik dari sampel yang memiliki rata-rata 𝑥̅ = 518 gram per mililiter dan standar deviasi sampel 𝑠 = 40 gram? Asumsikan distribusi hasil mendekati Normal.

Penyelesaian: Dari tabel distribusi 𝑡 diperoleh 𝑡0.05 = 1.711 dengan derajat bebas 24. Ahli tersebut dapat puas dengan klaimnya jika sampel 25 batch menghasilkan nilai 𝑡 antara -1.711 dan 1.711. Jika 𝜇 = 500, maka 𝑡=

518 − 500 40/√25

= 2.25,

nilai tersebut di atas 1.711. Probabilitas nilai 𝑡, dengan 𝑣 = 24, sama atau lebih besar dari 2.25 adalah sekitar 0.02. Jika 𝜇 > 500, maka nilai 𝑡 yang dihitung dari sampel akan lebih masuk akal. Oleh karena itu, ahli tersebut cenderung menyimpulkan bahwa proses batch menghasilkan produk yang lebih baik daripada klaimnya.

Distribusi Sampling Perbedaan antara Dua Rata-Rata Pada contoh sebelumnya, distribusi sampling hanya berpusat pada rata-rata tunggal 𝜇, khususnya untuk sampel berukuran besar (𝑛 ≥ 30) maupun sampel berukuran kecil (𝑛 < 30). Lebih jauh lagi, distribusi sampling tidak hanya berpusat pada rata-rata satu populasi, tetapi melibatkan dua populasi. Peneliti akan lebih tertarik dalam membandingkan percobaan yang melibatkan dua metode perbandingan. Dasar untuk perbandingannya adalah 𝜇1 − 𝜇2 , perbedaan pada ratarata populasi.


Misalkan ada dua populasi, populasi pertama dengan rata-rata 𝜇1 dan variansi 𝜎1 2 , populasi kedua dengan rata-rata 𝜇2 dan variansi 𝜎2 2 . Statistik 𝑋̅1 merepresentasikan rata-rata dari sampel acak berukuran 𝑛1 yang dipilih dari populasi pertama. Statistik 𝑋̅2 merepresentasikan rata-rata dari sampel acak berukuran 𝑛2 yang dipilih dari populasi kedua dan saling bebas dengan sampel dari populasi pertama. Menurut Teorema Limit Pusat, variabel 𝑋̅1 mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 dan variansi 𝜎1 2 /𝑛1 serta variabel 𝑋̅2 mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇2 dan variansi 𝜎2 2 /𝑛2 . Oleh karena 𝑋̅1 dan 𝑋̅2 saling bebas, maka 𝑋̅1 − 𝑋̅2 = 𝑎1 𝑋̅1 + 𝑎2 𝑋̅2,

dengan 𝑎1 = 1 dan 𝑎2 = −1

mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇𝑋̅1 −𝑋̅2 = 𝜇𝑋̅1 − 𝜇𝑋̅2 = 𝜇1 − 𝜇2 dan variansi 𝜎𝑋̅1 −𝑋̅2 2 = 𝜎𝑋̅1 2 + 𝜎𝑋̅2 2 =

𝜎1 2 𝜎2 2 + . 𝑛1 𝑛2

Teorema 2.2.6. Jika sampel berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 yang saling bebas dan dipilih secara acak dari dua populasi dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 dan variansi 𝜎1 2 , 𝜎2 2 , maka distribusi sampling dari perbedaan rata-rata 𝑋̅1 − 𝑋̅2 mendekati distribusi Normal dengan rata-rata dan variansi diberikan oleh 𝜇𝑋̅1 −𝑋̅2 = 𝜇1 − 𝜇2 dan 𝜎𝑋̅1 −𝑋̅2 2 =

𝜎1 2 𝑛1

+

𝜎2 2 𝑛2

.


Dengan kata lain, 𝑍=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 )

mendekati distribusi Normal Standar.

Bukti: Misalkan 𝑋11, 𝑋12,…, 𝑋1𝑛1 adalah sampel acak saling bebas dari populasi dengan rata-rata 𝜇1 , variansi 𝜎1 2 dan 𝑋21 , 𝑋22,…, 𝑋2𝑛2 adalah sampel acak saling bebas dari populasi dengan rata-rata 𝜇2 , variansi 𝜎2 2 . Dipandang rata-rata sampel 𝑛2

𝑛1

∑ 𝑋1𝑖 ̅2 = ∑𝑖=1 𝑋2𝑖. 𝑋̅1 = 𝑖=1 dan 𝑋 𝑛 𝑛 1

2

Fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋̅1 adalah 𝑛1

𝑚𝑋̅1 (𝑡) = 𝐸 (𝑒

∑ 𝑋1𝑖 𝑡 𝑖=1 𝑛1

) = 𝐸 (𝑒

𝑡𝑋11 𝑛1

𝑒

𝑡𝑋12 𝑛1

…𝑒

𝑡𝑋1𝑛1 𝑛1

),

menurut teorema 2.1.3, 𝑡 𝑡 𝑡 𝑚𝑋̅1 (𝑡) = 𝑚𝑋11 ( ) x 𝑚𝑋12 ( ) x … x 𝑚𝑋1𝑛1 ( ) 𝑛1 𝑛1 𝑛1 = (𝑒

=𝑒

𝜇1 (

𝑡 1 𝑡 2 )+ 𝜎2 1 ( ) 𝑛1 2 𝑛1

𝜇1 𝑡+

1𝜎1 2 2 𝑡 2 𝑛1

𝑛1

)

.

Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋̅2 adalah 𝑚𝑋̅2 (𝑡) = 𝑒

𝜇2 𝑡+

Dengan demikian, menurut teorema 2.1.3,

1𝜎2 2 2 𝑡 2 𝑛2

.


𝑚𝑋̅1 −𝑋̅2 (𝑡) = 𝑚𝑋̅1 (𝑡)𝑚𝑋̅2 (−𝑡) =𝑒

𝜇1 𝑡+

=𝑒

1𝜎1 2 2 𝑡 2 𝑛1

𝑒

−𝜇2 𝑡+

1𝜎2 2 (−𝑡)2 2 𝑛2

1 𝜎 2 𝜎 2 (𝜇1 −𝜇2 )𝑡+ ( 1 + 2 )𝑡 2 2 𝑛1

𝑛2

.

Oleh karena 𝑚𝑋̅1 −𝑋̅2 (𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, 𝑋̅1 − 𝑋̅2 mempunyai distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 −𝜇2 dan variansi

𝜎1 2 𝑛1

+

𝜎2 2 𝑛2

.∎

Jika 𝑛1 dan 𝑛2 lebih besar/sama dengan 30, maka pendekatan distribusi Normal untuk distribusi 𝑋̅1 − 𝑋̅2 adalah baik ketika distribusi yang mendasarinya tidak terlalu jauh dari Normal. Bahkan, ketika 𝑛1 dan 𝑛2 kurang dari 30, pendekatan distribusi Normal juga cukup bagus, kecuali populasinya jelas tidak Normal. Jika populasinya Normal, maka distribusi 𝑋̅1 − 𝑋̅2 akan berdistribusi Normal, tidak peduli berapapun ukuran sampel 𝑛1 dan 𝑛2 .

Contoh 2.2.5. Dua percobaan independen (saling bebas) dijalankan untuk membandingkan dua jenis cat. Delapan belas spesimen dicat menggunakan cat jenis A dan waktu pengeringan direkam dalam jam. Hal yang sama juga dilakukan pada cat jenis B. Standar deviasi populasi keduanya adalah 1. Asumsikan rata-rata waktu pengeringan cat adalah sama untuk kedua jenis cat. Tentukan 𝑃(𝑋̅𝐴 − 𝑋̅𝐵 > 1), dengan 𝑋̅𝐴 dan 𝑋̅𝐵 adalah rata-rata waktu pengeringan untuk sampel berukuran 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 18.

Penyelesaian: Distribusi sampling 𝑋̅𝐴 − 𝑋̅𝐵 mendekati Normal dengan rata-rata 𝜇𝑋̅𝐴−𝑋̅𝐵 = 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0.


dan variansi 𝜎𝑋̅𝐴−𝑋̅𝐵

2

𝜎𝐴 2 𝜎𝐵 2 1 1 1 = + = + = . 𝑛𝐴 𝑛𝐵 18 18 9

𝑃(𝑋̅𝐴 − 𝑋̅𝐵 > 1) diberikan oleh 𝑋̅𝐴 − 𝑋̅𝐵 − 0

𝑃(𝑋̅𝐴 − 𝑋̅𝐵 > 1) = 𝑃

>3

1

√

(

9

)

= 𝑃(𝑍 > 3) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3) = 1 − 0.9987 = 0.0013. Mesin dalam perhitungan di atas didasarkan pada anggapan bahwa 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 . Percobaan sebenarnya dilakukan untuk tujuan menggambarkan kesimpulan tentang kesetaraan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵 , rata-rata waktu dua populasi pengeringan cat. Jika dua rata-rata berbeda sebanyak 1 jam (atau lebih), maka ini jelas merupakan bukti yang digunakan untuk menyimpulkan rata-rata populasi pengeringan cat tidak sama untuk kedua jenis cat.

Definisi 2.2.2. Distribusi non-sentral 𝑡 adalah distribusi sampling dari 𝑡 yang tidak terdistribusi di sekitar 0, tetapi di sekitar titik lain. Titik lain inilah yang dinamakan parameter non-sentral Δ. Parameter non-sentral Δ dapat dihitung sebagai Δ=

𝜇1 − 𝜇 𝜎/√𝑛

.

Dengan kata lain, distribusi non-sentral 𝑡 adalah distribusi sampling dari 𝑡 yang muncul ketika 𝜇1 benar dan variansi populasi (𝜎) diasumsikan tidak diketahui.


C. Pendugaan Parameter Statistika inferensial dibagi atas dua bagian utama, yaitu pengujian hipotesis dan pendugaan parameter. Contoh berikut ini akan menjelaskan mengenai pendugaan parameter dan subbab berikutnya menjelaskan pengujian hipotesis. Seorang kandidat bupati ingin memperkirakan proporsi sebenarnya dari pemilih yang akan memilihnya dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai kandidat tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi sebenarnya. Masalah ini jatuh di wilayah pendugaan.

Definisi 2.3.1. Suatu pendugaan titik dari beberapa parameter populasi 𝜃 adalah nilai tunggal 𝜃̂ dari statistik 𝛩̂. Nilai 𝑥̅ dari statistik 𝑋̅ yang dihitung dari sampel berukuran 𝑛 adalah penduga titik dari parameter populasi 𝜇.

Definisi 2.3.2. Misalkan 𝜃̂ adalah penduga titik untuk parameter 𝜃. Jika 𝐸(𝜃̂) = 𝜃, maka 𝜃̂ adalah penduga tak bias dan jika 𝐸(𝜃̂) ≠ 𝜃, maka 𝜃̂ dikatakan bias. Bias dari penduga titik 𝜃̂ diberikan oleh 𝐵(𝜃̂ ) = 𝐸(𝜃̂) − 𝜃.

Definisi 2.3.3. Suatu pendugaan selang dari parameter populasi θ adalah selang dalam bentuk 𝜃̂𝐿 < θ < 𝜃̂𝑈 , dengan 𝜃̂𝐿 (batas kepercayaan bawah) dan 𝜃̂𝑈 (batas kepercayaan atas) bergantung pada nilai dari statistik 𝛩̂ untuk sampel tertentu dan distribusi sampling 𝛩̂.

Berdasarkan metode pendugaan klasik, pendugaan parameter terbagi menjadi dua bagian, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Contoh berikut ini akan menjelaskan tentang pendugaan titik dan pendugaan selang. Misalnya,


ilmuwan ingin memperkirakan jumlah rata-rata merkuri (µ) yang dapat dipisahkan dari 1 ons batuan cinnabar diperoleh pada lokasi geografis. Pendugaan ini dapat dilakukan dengan dua bentuk yang berbeda. Pertama, 0.13 ons adalah penduga yang dekat dengan rata-rata populasi (µ) yang tidak diketahui. Jenis pendugaan ini adalah pendugaan titik karena nilainya tunggal. Kedua, rata-rata merkuri (µ) akan jatuh antara dua angka, misalnya, antara 0.07 dan 0.19 ons. Jenis pendugaan ini adalah pendugaan selang. Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi sehingga digunakan pendugaan dalam bentuk selang (pendugan selang). Informasi dalam sampel dapat digunakan untuk menghitung nilai pendugaan titik, pendugaan selang atau keduanya. Dalam kasus apapun, pendugaan yang sebenarnya dilakukan dengan menggunakan estimator (penduga) untuk parameter sasaran. Jadi, penduga adalah aturan yang dinyatakan sebagai rumus untuk menghitung nilai dugaan yang didasarkan pada pengukuran sampel.

1.

Selang Kepercayaan Penduga selang biasanya disebut selang kepercayaan. Titik ujung atas dan

bawah dari selang kepercayaan masing-masing dinamakan batas atas dan bawah kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan (acak) akan memuat 𝜃 (kuantitas yang tetap) disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis, koefisien kepercayaan menunjukkan proporsi, khususnya dalam pengambilan sampel berulang, selang yang dibentuk akan memuat parameter sasaran 𝜃. Misalkan 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝑈 adalah batas bawah dan atas kepercayaan yang dipilih secara acak untuk parameter 𝜃. Jika 𝑃(𝜃̂𝐿 ≤ θ ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼, maka probabilitas 1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan. Hasil dari selang kepercayaan yang diberikan oleh [𝜃̂𝐿 , 𝜃̂𝑈 ] dinamakan selang kepercayaan dua sisi.


Bentuk selang kepercayaan satu sisi bagian bawah diberikan oleh 𝑃(𝜃̂𝐿 ≤ θ) = 1 − 𝛼. Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah [𝜃̂𝐿 , ∞). Selang kepercayaan satu sisi bagian atas dapat dibentuk menjadi 𝑃(𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼. Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah (−∞, 𝜃̂𝑈 ]. Salah satu metode untuk mencari selang kepercayaan dinamakan metode Pivot. Metode ini bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot serta mempunyai dua karakteristik, yaitu a. Kuantitas Pivot merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang tidak diketahui. b. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝜃.

Contoh 2.3.1. Misalkan variabel acak 𝑋 adalah observasi dari distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 yang tidak diketahui dan variansi 1. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝜇.

Penyelesaian: Fungsi probabilitas bagi 𝜇 diberikan oleh 𝑓(𝑥) =

1

1 exp [− ( 2 ) (𝑥 − 𝜇)2 ] , −∞ < 𝑥 < ∞ 2𝜎 𝜎√2𝜋

Oleh karena 𝜇 tidak diketahui dan variansi 1, maka fungsi probabilitas dari 𝑈 = 𝑋−𝜇 𝜎

adalah


𝑓𝑈 (𝑢) =

1

1 exp [− 𝑢2 ] , −∞ < 𝑢 < ∞ 2 √2𝜋

Jelas bahwa 𝑈 berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1. Karena 𝑈 adalah fungsi dari 𝑋 dan 𝜇, dan distribusi dari 𝑈 tidak bergantung pada 𝜇, maka 𝑈 dapat digunakan sebagai Pivot. Koefisien kepercayaan adalah 1 − 𝛼 = 0.95, sehingga 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96. Selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 dapat dicari sebagai berikut, 𝑃(−1.96 < 𝑈 < 1.96) = 0.95 𝑃 (−1.96 <

𝑋−𝜇 < 1.96) = 0.95, 𝜎

𝜎=1

𝑃(𝑋 − 1.96 < 𝜇 < 𝑋 + 1.96) = 0.95 Jadi, selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 adalah 𝑋 − 1.96 < 𝜇 < 𝑋 + 1.96.

Jika ukuran sampel besar, parameter sasaran 𝜃 adalah 𝜇 atau 𝜇1 − 𝜇2 dan 𝜃̂ adalah penduga tak bias bagi 𝜃, maka untuk 𝑛 → ∞, Teorema Limit Pusat menjamin bahwa 𝜃̂ berdistribusi Normal dengan 𝐸(𝜃̂) = 𝜃 dan standar error 𝜎𝜃̂ . Akibatnya, 𝑍=

𝜃̂ − 𝜃 𝜎𝜃̂

akan berdistribusi Normal Standar dan 𝑍 dapat digunakan sebagai Pivot. Dengan demikian, 𝑃(−𝑧𝛼/2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼. ≡ 𝑃 (−𝑧𝛼/2 ≤

𝜃̂ − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼. 𝜎𝜃̂


≡ 𝑃(−𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ≤ 𝜃̂ − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼. ≡ 𝑃(−𝜃̂ − 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ≤ −𝜃 ≤ −𝜃̂ + 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼. ≡ 𝑃(𝜃̂ − 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂ + 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ ) = 1 − 𝛼. Titik ujung untuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜃 diberikan oleh 𝜃̂𝐿 = 𝜃̂ − 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ dan 𝜃̂𝑈 = 𝜃̂ + 𝑧𝛼/2 𝜎𝜃̂ , dengan kata lain, 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝑈 adalah batas bawah dan batas atas selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜃.

Diberikan sampel acak 𝑛 (𝑛 ≥ 30) dari suatu populasi dengan rata-rata 𝜇 yang tidak diketahui dan variansi 𝜎 2 . Oleh karena rata-rata populasi tidak diketahui, maka 𝑥̅ (rata-rata sampel) adalah penduga bagi 𝜇. Selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 diberikan oleh 𝑥̅ − 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ +𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

.

Statistik 𝜎/√𝑛 seringkali disebut standar error pendugaan 𝜇. Jika standar deviasi (𝜎) tidak diketahui, maka 𝑠 (standar deviasi sampel) adalah penduga bagi 𝜎.

Contoh 2.3.2. Nilai matematika di suatu negara dikumpulkan dengan cara mengambil sampel acak 500 sekolah. Masing-masing rata-rata sampel dan standar deviasinya adalah 501 dan 112. Tentukan selang kepercayaan 99% pada rata-rata nilai matematika tersebut. Penyelesaian: Karena ukuran sampel besar, ini sangat memungkinkan untuk menggunakan pendekatan distribusi Normal. Misalkan 𝜇 adalah rata-rata nilai matematika di negara tersebut, sehingga 𝑥̅ adalah rata-rata sampelnya.


Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika (𝜇) diberikan oleh 𝑥̅ − 𝑧𝛼/2

𝑠 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ +𝑧𝛼/2

≡ 𝑥̅ ± 𝑧𝛼/2

𝑠 √𝑛

.

𝑠 √𝑛

Karena 1 − 𝛼 = 0.99, maka 𝛼 = 0.01. Dengan demikian, 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.005 = 2.575. Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika adalah 501 ± 2.575

112 √500

= 501 ± 12.9,

yang mengimplikasikan 488.1 < 𝜇 < 513.9. Selang 488.1 hingga 513.9 menunjukkan dapat dipercaya 99% memuat rata-rata nilai matematika yang sebenarnya.

Dipandang variabel acak di bawah ini 𝑇=

𝑋̅ − 𝜇 𝑆/√𝑛

,

dengan 𝑛 adalah sampel berukuran kecil (𝑛 < 30), maka menurut teorema 2.2.5, variabel acak 𝑇 akan berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1. Dari sifat-sifat distribusi 𝑡 yang menyerupai distribusi Normal untuk ukuran sampel yang besar, maka penggunaan distribusi 𝑡 dalam pembentukan selang kepercayaan bagi 𝜇 adalah a. distribusi dari populasi mendekati Normal dengan standar deviasi dari populasi tidak diketahui. b. ukuran sampel kecil.


Variabel 𝑇 tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi rata-rata populasi (𝜇) sebagai berikut 𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼. 𝑋̅ −𝜇

. ≡ 𝑃 (−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑆/ ≡ 𝑃 (𝑋̅ − 𝑡𝛼/2

√𝑛

≤ 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼.

𝑆 √

≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑡𝛼/2 𝑛

𝑆 √𝑛

) = 1 − 𝛼.

Jadi, jika 𝑥̅ dan 𝑠 adalah rata-rata dan standar deviasi sampel acak dari populasi berdistribusi Normal dengan variansi (𝜎 2 ) tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 adalah 𝑥̅ − 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑡𝛼/2

𝑠

.

√𝑛

atau dapat ditulis menjadi 𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

,

dengan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 yang memiliki derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1 (𝑛 < 30). Dengan demikian, 𝑥̅ − 𝑡𝛼 (𝑠/√𝑛) adalah batas bawah kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 dan 𝑥̅ + 𝑡𝛼 (𝑠/√𝑛) adalah batas atas kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇.

Contoh 2.3.3. Sebuah pabrik mesiu telah mengembangkan bubuk baru, yang diuji di delapan komponen. Hasil pengujian kecepatan meriam (dalam satuan ft/detik) diberikan sebagai berikut: 3005 2925 2935 2965 2995 3005 2937 2905 Tentukan selang kepercayaan 95% untuk kecepatan rata-rata sebenarnya (𝜇) dari komponen tersebut. Asumsikan kecepatan meriam mendekati distribusi Normal.


Penyelesaian: Misalkan kecepatan meriam 𝑋𝑖 berdistribusi mendekati Normal. Selang kepercayaan 99% bagi kecepatan rata-rata meriam (𝜇) diberikan oleh 𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

.

Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.365, untuk derajat bebas (𝑣) 7. Dari perhitungan, diperoleh

𝑥̅ =

∑8𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛

2

8

∑ (𝑋𝑖 −𝑥̅ ) = 2959, 𝑠 = √ 𝑖=1𝑛−1 = 39.1 dan 𝑣 = 𝑛 − 1 = 7.

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi rata-rata kecepatan meriam adalah 2959 ± 2.365

39.1 √8

atau 2959 ± 32.7,

yang mengimplikasikan 2926.3 < 𝜇 < 2991.7. Selang 2926.3 hingga 2991.7 menunjukkan dapat dipercaya 95% memuat rata-rata kecepatan meriam yang sebenarnya.

2.

Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasi

Diketahui dua populasi dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 dan variansi 𝜎1 2 , 𝜎2 2 . Penduga titik pada perbedaan antara 𝜇1 dan 𝜇2 diberikan oleh statistik 𝑋̅1 − 𝑋̅2. Untuk mendapatkan penduga titik dari 𝜇1 − 𝜇2 , maka dua sampel yang saling bebas berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 dipilih secara acak dari populasi dan perbedaan rata-rata 𝑥̅1 − 𝑥̅ 2 dihitung. Berdasarkan teorema 2.2.6, distribusi sampling dari 𝑋̅1 − 𝑋̅2 akan mendekati distribusi Normal Standar dengan rata-rata 𝜇𝑋̅1 −𝑋̅2 = 𝜇1 − 𝜇2 dan standar deviasi 𝜎𝑋̅1 −𝑋̅2 2 = √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 ). Akibatnya, variabel Normal Standar


𝑍=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 )

akan jatuh antara −𝑧𝛼/2 dan 𝑧𝛼/2 , serta 𝑍 dapat digunakan sebagai Pivot. Jika 𝑥̅1 dan 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel independen berukuran 𝑛1 , 𝑛2 yang dipilih secara acak dari populasi dengan variansi 𝜎1 2 , 𝜎2 2 diketahui, maka pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑍 sebagai Pivot adalah 𝑃(−𝑧𝛼/2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 ≡ 𝑃 (−𝑧𝛼/2 ≤

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 )

≤ 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼.

Jadi, selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑧𝛼/2 √

𝜎1 2 𝜎2 2 𝜎1 2 𝜎2 2 √ (𝑥̅ ) + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 1 − 𝑥̅2 + 𝑧𝛼/2 + , 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2

dengan 𝑧𝛼/2 adalah nilai 𝑧 di sebelah kanan daerah 𝛼/2.

Contoh 2.3.4. Sebuah penelitian dilakukan untuk membandingkan dua jenis mesin A dan B. Angka konsumsi bensin diukur dalam mil per galon. Lima puluh percobaan dilakukan menggunakan mesin jenis A dan 75 percobaan dilakukan dengan mesin jenis B. Bensin yang digunakan dan kondisi lainnya tetap konstan. Angka rata-rata konsumsi bensin untuk mesin jenis A adalah 36 mil per galon dan 42 mil per galon untuk mesin jenis B. Tentukan selang kepercayaan 96% untuk 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 , dengan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵 adalah angka rata-rata populasi bensin yang dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B. Asumsikan standar deviasi populasi untuk mesin jenis A dan B adalah 6 dan 8.


Penyelesaian: Misalkan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵 adalah angka rata-rata populasi bensin yang dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B, sehingga 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah perbedaan ratarata konsumsi bensin untuk mesin jenis B dengan mesin jenis A. Penduga titik dari 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah 𝑥̅𝐵 − 𝑥̅𝐴 = 42 − 36 = 6. Karena 1 − 𝛼 = 0.96, maka 𝛼 = 0.04. Dengan demikian, 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.02 = 2.05. Jadi, selang kepercayaan 96% untuk 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah

6 − 2.05√

64 36 64 36 + ≤ 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 ≤ 6 + 2.05√ + , 75 50 75 50

atau dapat ditulis sebagai 3.43 ≤ 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 ≤ 8.57. Selang 3.43 hingga 8.57 menunjukkan dapat dipercaya 96% memuat perbedaan rata-rata konsumsi bensin untuk mesin jenis B dan A yang sebenarnya.

Jika variansi tidak diketahui dan dua distribusi di dalamnya dianggap mendekati Normal, maka distribusi 𝑡 akan berperan penting bagi selang kepercayaan pada perbedaan dua rata-rata. Hal tersebut juga berlaku bagi sampel tunggal. Jika salah satu dari distribusinya dianggap tidak mendekati Normal dan sampelnya berukuran besar, maka standar deviasi sampel 𝑠1 dan 𝑠2 akan menggantikan standar deviasi populasi 𝜎1 dan 𝜎2 . Dengan kata lain, 𝑠1 ≈ 𝜎1 dan 𝑠2 ≈ 𝜎2 . Akan dicari penduga selang bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan variansi populasi 𝜎1 2 , 𝜎2 2 tidak diketahui dan 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = 𝜎 2 sebagai berikut, Dibentuk variabel acak yang berdistribusi Normal Standar, yaitu 𝑍=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √𝜎 2 [(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )]


Dibentuk pula variabel acak lainnya yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑛1 − 1 dan 𝑛2 − 1, yaitu (𝑛1 −1)𝑆 2 𝜎2

dan

(𝑛2 −1)𝑆 2 𝜎2

.

Karena sampel acaknya dipilih secara independen, maka variabel Chi-Squarenya juga independen. Akibatnya, (𝑛1 − 1)𝑆 2 (𝑛2 − 1)𝑆 2 (𝑛1 − 1)𝑆 2 + (𝑛2 − 1)𝑆 2 𝑊= + = 𝜎2 𝜎2 𝜎2 berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2. Karena 𝑍 dan 𝑊 adalah variabel yang saling independen, maka menurut definisi 2.2.1, statistik

𝑇=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √𝜎 2 [(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )]

/√

(𝑛1 − 1)𝑆 2 + (𝑛2 − 1)𝑆 2 . 𝜎 2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2)

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2. Penduga titik dari variansi 𝜎 2 yang tidak diketahui dapat diperoleh dengan menggabungkan variansi sampel, dinotasikan dengan penduga gabungan (pooled estimator), yaitu 𝑆𝑝

2

(𝑛1 − 1)𝑆1 2 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 = . 𝑛1 + 𝑛2 − 2

(2.2)

Substitusikan 𝑆𝑝 2 ke dalam statistik 𝑇, 𝑇=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

.

Dengan demikian, statistik 𝑇 tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 .


Jika 𝑥̅1 dan 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel independen berukuran 𝑛1 , 𝑛2 yang dipilih secara acak dari populasi dengan variansi yang tidak diketahui, tetapi 𝜎1 2 = 𝜎2 2 , maka pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑇 sebagai Pivot adalah 𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼

≡ 𝑃 (−𝑡𝛼/2 ≤

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

≤ 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼.

Selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah 1 1 1 1 (𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑡𝛼/2 𝑆𝑝 √ + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (𝑥̅1 − 𝑥̅ 2 ) + 𝑡𝛼/2 𝑆𝑝 √ + , (2.3) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 dengan 𝑆𝑝 adalah penduga gabungan dari standar deviasi populasi dan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2, di sebelah kanan daerah 𝛼/2.

Contoh 2.3.5. Untuk mencapai efisiensi maksimum dalam melakukan operasi perakitan di pabrik, karyawan baru membutuhkan periode pelatihan sekitar 1 bulan. Metode baru pelatihan disarankan dan tes dilakukan untuk membandingkan metode baru dengan prosedur standar. Dua kelompok dari sembilan karyawan dilatih selama 3 minggu, satu kelompok menggunakan metode baru dan lainnya mengikuti prosedur pelatihan standar. Lamanya waktu untuk merakit perangkat tercatat pada akhir periode. Pengukuran yang dihasilkan seperti ditunjukkan oleh tabel 2.1. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi perbedaan rata-rata metode standar dengan metode baru. Asumsikan waktu perakitan mendekati Normal, variansi kedua metode sama dan kedua sampel independen.


Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkat Prosedur

Pengukuran

Standar

32 37 35 28 41 44 35 31 34

Baru

35 31 29 25 34 40 27 32 31

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata waktu yang dibutuhkan karyawan untuk merakit perangkat dengan metode pelatihan standar dan 𝜇2 adalah rata-rata waktu yang dibutuhkan karyawan untuk merakit perangkat dengan metode pelatihan baru. Penduga titik dari 𝑥̅1 − 𝑥̅ 2 adalah 3.66. Perhitungan: 𝑥̅1 = 2

2

𝑠1 =

∑9𝑖=1(𝑋𝑖 −𝑥̅ )

𝑠𝑝 2 =

𝑛1 −1

=


195.56 8

= 35.22, 𝑥̅2 =


= 31.56, 2

2

= 24.445, 𝑠2 =

∑9𝑖=1(𝑋𝑖 −𝑥̅ ) 𝑛2 −1

=

160.22 8

= 20.027.

(𝑛1 − 1)𝑠1 2 + (𝑛2 − 1)𝑠2 2 8(24.445) + 8(20.027) = = 22.236. 𝑛1 + 𝑛2 − 2 9+9−2 𝑠𝑝 = √𝑠𝑝 2 = 4.716.

Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.12. Jadi, selang kepercayaan 95% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah 1 1 1 1 3.66 − (2.12)(4.716)√ + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 3.66 + (2.12)(4.716)√ + , 9 9 9 9 atau dapat ditulis sebagai −1.05 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 8.37. Jika selang 𝜇1 − 𝜇2 memuat nilai positif, 𝜇1 > 𝜇2 , maka prosedur pelatihan standar diharapkan mempunyai waktu yang baik daripada metode baru. Jika selang 𝜇1 − 𝜇2 memuat nilai negatif, maka keadaan sebaliknya berlaku. Namun, karena selang kepercayaan memuat


nilai negatif dan positif, maka kedua metode pelatihan tidak dapat dikatakan memiliki waktu yang berbeda dengan yang lain.

Misalkan dicari penduga selang bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan populasi variansi yang tidak diketahui serta keduanya tidak sama. Statistik yang akan digunakan sebagai Pivot dalam pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 adalah 𝑇′ =

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆1 2

√(

𝑛1

𝑆2 2

,

) + (𝑛 ) 2

yang berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣,

𝑣=

𝑆 2

𝑆2 2

1

𝑛2

( 𝑛1 + 𝑆1

2

2

2

) 𝑆2 2

.

2

[( 𝑛 ) /(𝑛1 − 1)] + [( 𝑛 ) /(𝑛2 − 1)] 1

2

Karena 𝑣 sangat jarang merupakan bilangan bulat, maka pembulatan bawah ke bilangan terdekat sangat diperlukan. Pendugaan derajat bebas tersebut dinamakan pendekatan Satterthwaite. Jika 𝑥̅1, 𝑥̅ 2, 𝑠1 2 , 𝑠2 2 berturut-turut adalah rata-rata sampel dan variansi sampel independen berukuran 𝑛1 , 𝑛2 yang dipilih secara acak dari populasi dengan variansi yang tidak diketahui dan 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 , maka pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑇′ sebagai Pivot adalah 𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇′ ≤ 𝑡𝛼/2 ) ≈ 1 − 𝛼

≡ 𝑃 −𝑡𝛼/2 ≤ (

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √(

𝑆1 2 𝑛1

)+(

𝑆2 2 𝑛2

)

≤ 𝑡𝛼/2

≈ 1 − 𝛼. )


Jadi, selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah 𝑠1 2 𝑠2 2 𝑠1 2 𝑠2 2 (𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑡𝛼/2 √ + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) + 𝑡𝛼/2 √ + , 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2

dengan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 𝑣, 𝑠 2

𝑣=

( 𝑛1 + 1

𝑠 2 2 [( 𝑛1 ) /(𝑛1 1

− 1)] +

2 𝑠2 2 ) 𝑛2 𝑠 2 2 [( 𝑛2 ) /(𝑛2 1

. − 1)]

Bentuk umum selang kepercayaan untuk 𝜇1 − 𝜇2 maupun rata-rata satu populasi 𝜇 adalah penduga titik ± 𝑡𝛼/2 s.̂e.(penduga titik) atau penduga titik ± 𝑧𝛼/2 s.e.(penduga titik), dengan s.e adalah standar error dari penduga titik. Sebagai contoh, pada kasus di mana 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎, standar error dari 𝑥̅1 − 𝑥̅2 diduga oleh 𝑠𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 ). Untuk kasus di mana 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 , standar errornya adalah

s.̂e. (𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) = √

𝑠1 2 𝑠2 2 + . 𝑛1 𝑛2

Contoh 2.3.6. Sebuah penelitian dilakukan oleh Departemen Zoologi di Virginia untuk memperkirakan perbedaan dalam jumlah senyawa kimia ortho-fosfor yang diukur pada dua stasiun berbeda di Sungai James. Ortho-fosfor diukur dalam miligram/liter. Lima belas sampel dikumpulkan dari stasiun 1 dan 12 sampel dari stasiun 2. Lima belas sampel dari stasiun 1 mempunyai rata-rata kandungan ortho-


fosfor sebesar 3.84 miligram/liter dan standar deviasi 3.07 miligram/liter. Dua belas sampel dari stasiun 2 mempunyai rata-rata kandungan ortho-fosfor sebesar 1.49 miligram/liter dan standar deviasi 0.8 miligram/liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor sebenarnya pada dua jenis stasiun, dengan asumsi kedua populasi berdistribusi Normal dengan variansi berbeda.

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 1 dan 𝜇2 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 2, sehingga 𝜇1 − 𝜇2 adalah perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor pada dua jenis stasiun. Ratarata sampel, standar deviasi sampel dan ukurannya diberikan sebagai berikut, untuk stasiun 1, 𝑥̅1 = 3.84, 𝑠1 = 3.07 dan 𝑛1 = 15, untuk stasiun 2, 𝑥̅2 = 1.49, 𝑠2 = 0.8 dan 𝑛2 = 12. Karena populasi variansi diasumsikan berbeda, maka selang kepercayaan 95% bagi 𝜇1 − 𝜇2 didasarkan pada distribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣, 3.072

(

𝑣= [(

3.072 15

15

2

+

0.82

2

) 12 0.82 2

= 16.3 ≈ 16.

) /(14)] + [( 12 ) /11]

Penduga titik dari 𝜇1 − 𝜇2 adalah 𝑥̅1 − 𝑥̅2 = 3.84 − 1.49 = 2.35. Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.120, untuk derajat bebas (𝑣) 16. Selang kepercayaan 95% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah 3.072 0.82 3.072 0.82 √ √ 2.35 − 2.12 + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 2.35 + 2.12 + , 15 12 15 12


atau dapat ditulis sebagai 0.6 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 4.1. Jadi, selang kepercayaan dari 0.6 hingga 4.1 dapat dipercaya 95% memuat perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor untuk dua stasiun.

3.

Observasi Berpasangan Ada kondisi percobaan yang sangat istimewa, yaitu pendugaan untuk

perbedaan dua rata-rata ketika sampel tidak independen dan variansi dari dua populasi belum tentu sama. Situasi seperti ini dinamakan observasi berpasangan. Tak hanya situasi seperti itu, kondisi kedua populasi tidak ditentukan secara acak untuk satuan percobaan. Setiap unit percobaan yang sama/homogen menerima kedua kondisi populasi, sebagai hasilnya, setiap unit percobaan memiliki sepasang pengamatan, satu untuk setiap populasi. Misalnya, jika dilakukan pengujian pada percobaan diet menggunakan 15 individu, bobot sebelum dan setelah terjadi diet akan membentuk informasi bagi kedua sampel. Kedua populasinya adalah “sebelum” dan “sesudah” diet, sedangkan unit percobaan adalah individu. Untuk menentukan apakah diet efektif, perlu ditentukan perbedaan 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 pada observasi berpasangan. Perbedaan tersebut adalah nilai sampel acak 𝐷1 , 𝐷2 , … , 𝐷𝑛 dari populasi yang diasumsikan berdistribusi Normal dengan variansi 𝜎𝐷 2 dan rata-rata 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2 . Penduga dari variansi 𝜎𝐷 2 adalah variansi dari perbedaan sampel, 𝑆𝑑 2 . Penduga titik bagi 𝜇𝐷 adalah 𝑑̅ . Observasi berpasangan dalam percobaan adalah strategi yang dapat digunakan di berbagai bidang aplikasi. Salah satu hal yang berhubungan dengan observasi berpasangan adalah pengujian hipotesis yang akan dibahas pada subbab selanjutnya. Pemilihan unit percobaan yang relatif homogen akan memungkinkan setiap unit mengurangi error variansi pada kedua populasi. Perbedaan pasangan ke-i diberikan oleh 𝐷𝑖 = 𝑋1𝑖 − 𝑋2𝑖 .


Karena kedua observasi diambil dari unit percobaan sampel yang tidak independen, maka Var(𝐷𝑖 ) = Var(𝑋1𝑖 − 𝑋2𝑖 ) = 𝜎 21 + 𝜎 2 2 − 2Cov(𝑋1𝑖 , 𝑋2𝑖 ), dengan Cov(𝑋1𝑖 , 𝑋2𝑖 ) adalah kovarian perbedaan dua observasi/ukuran hubungan dua observasi yang berbeda. Secara intuitif, 𝜎𝐷 2 harus dikurangi karena kesalahan yang sama dalam dua observasi. Pada pembentukan selang kepercayaan, nantinya akan bergantung pada standar error 𝑑̅ , yaitu 𝜎𝐷 /√𝑛, dengan 𝑛 adalah jumlah pasangan. Jika 𝑑̅ dan 𝑠𝑑 adalah rata-rata dan standar deviasi sampel pasangan acak 𝑛 yang perbedaan populasinya berdistribusi Normal. Pembentukan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑇=

̅ − 𝜇𝐷 𝐷 𝑆𝑑 /√𝑛

sebagai Pivot adalah 𝑃(−𝑡𝛼/2 < 𝑇 < 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼, 𝑃 (−𝑡𝛼/2 <

̅ − 𝜇𝐷 𝐷 𝑆𝑑 /√𝑛

< 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼.

Dengan demikian, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2 adalah 𝑑̅ − 𝑡𝛼/2

𝑠𝑑 √𝑛

< 𝜇𝐷 < 𝑑̅ + 𝑡𝛼/2

𝑠𝑑 √𝑛

,

dengan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1, di sebelah kanan 𝛼/2.

Contoh 2.3.7. Suatu penelitian dilakukan di Chemosphere untuk melaporkan tingkat TCDD dioxin dari 20 veteran Vietnam yang mungkin terpapar Agen Oranye. Tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak diberikan pada tabel


2.2. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝜇1 − 𝜇2 , dengan 𝜇1 , 𝜇2 adalah ratarata tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak. Asumsikan distribusi dari perbedaan mendekati Normal. Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemak. TCDD

TCDD

(plasma)

(jar.lemak)

1

2.5

4.9

-2.4

2

3.1

5.9

-2.8

3

2.1

4.4

-2.3

4

3.5

6.9

-3.4

5

3.1

7.0

-3.9

6

1.8

4.2

-2.4

7

6.0

10.0

-4.0

8

3.0

5.5

-2.5

9

36.0

41.0

-5.0

10

4.7

4.4

0.3

11

6.9

7.0

-0.1

12

3.3

2.9

0.4

13

4.6

4.6

0.0

14

1.6

1.4

0.2

15

7.2

7.7

-0.5

16

1.8

1.1

0.7

17

20.0

11.0

9.0

18

2.0

2.5

-0.5

19

2.5

2.3

0.2

20

4.1

2.5

1.6

Veteran

d(i)


Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata tingkat TCDD dalam plasma dan 𝜇2 adalah rata-rata tingkat TCDD dalam jaringan lemak. Karena observasi berpasangan, maka 𝜇1 − 𝜇2 = 𝜇𝐷 . Penduga titik bagi 𝜇𝐷 adalah 𝑑̅ = −0.87. Standar deviasi dari perbedaan sampel adalah 𝑛

1 168.4220 2 𝑠𝑑 = √ ∑(𝑑𝑖 − 𝑑̅ ) = √ = 2.9773. 𝑛−1 19 𝑖=1

Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.093, untuk derajat bebas (𝑣) 19. Selang kepercayaan 95% untuk 𝜇𝐷 adalah 2.9773 2.9773 −0.87 − (2.093) ( ) < 𝜇𝐷 < −0.87 − (2.093) ( ), √20 √20 atau dapat ditulis sebagai −2.2634 < 𝜇𝐷 < 0.5234. Kesimpulannya adalah tidak ada perbedaan antara tingkat rata-rata TCDD dalam plasma dan tingkat TCDD dalam jaringan lemak.

D. Hipotesis Statistik Pada subbab ini akan dibahas konsep umum hipotesis statistik, pengujian hipotesis statistik dan nilai 𝑃 sebagai pembuat keputusan dalam pengujian hipotesis. 1.

Konsep Umum Hipotesis Statistik Seringkali masalah yang dialami oleh ilmuwan atau insinyur berpusat pada

pembentukan prosedur keputusan berbasis data. Rangkaian prosedur keputusan tersebut dapat menghasilkan kesimpulan tentang sistem ilmiah. Misalnya, seorang


peneliti medis dapat memutuskan atas dasar bukti eksperimental apakah minum temulawak meningkatkan kadar kolestrol jahat pada darah, seorang insinyur dapat memutuskan atas dasar data sampel apakah ada perbedaan antara kestabilan dua jenis gearbox pada motor balap. Pada masing-masing kasus, ilmuwan atau insinyur membuat pendugaan tentang sistem yang diteliti. Selain itu, ilmuwan atau insinyur harus menggunakan data eksperimental dan membuat keputusan berdasarkan data. Oleh karena dugaan yang telah dirumuskan mengarahkan kepada suatu keputusan, maka dugaan tersebut dapat dimasukkan ke dalam hipotesis statistik.

Definisi 2.4.1. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan yang berkaitan dengan satu atau lebih parameter populasi

Kebenaran atau kesalahan dari hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan pasti, kecuali keseluruhan populasi diperiksa. Hal ini tentunya akan tidak efisien dalam kebanyakan situasi. Oleh karena itu, ambil sampel acak dari populasi dan gunakan data yang terdapat dalam sampel untuk dapat memberikan bukti mendukung atau tidak mendukung hipotesis. Bukti dari sampel yang tidak konsisten dengan hipotesis menyatakan penolakan hipotesis. Ketidakpastian penarikan keputusan hipotesis statistik (benar atau salah) dapat menimbulkan risiko. Besar kecilnya risiko dapat dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Pernyataan resmi dari hipotesis sering dipengaruhi oleh struktur kemungkinan dari kesimpulan yang salah. Jika peneliti medis ingin menunjukkan bukti kuat yang mendukung anggapan bahwa minum temulawak dapat meningkatkan kadar kolestrol jahat dalam darah, maka hipotesis diuji harus dalam bentuk “tidak ada peningkatan kadar kolestrol jahat yang dihasilkan oleh minum temulawak”. Akibatnya, anggapan tersebut tercapai melalui penolakan. Demikian pula, untuk mendukung klaim tentang satu jenis gear box lebih stabil daripada


yang lain, insinyur menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan dalam kestabilan dari dua jenis gear box motor balap. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketika peneliti atau insinyur mengolah data dan meresmikan bukti eksperimental atas dasar pengujian hipotesis, pernyataan resmi dari hipotesis sangatlah penting.

Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif Struktur pengujan hipotesis akan dirumuskan dengan penggunaan istilah hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Hipotesis nol mengacu pada hipotesis yang ingin diuji dan dinotasikan oleh 𝐻0 . Penolakan hipotesis nol mengarah pada penerimaan hipotesis alternatif, dilambangkan dengan 𝐻1 . Hipotesis alternatif biasanya mewakili pertanyaan yang harus dijawab atau teori yang akan diuji. Hipotesis nol menentang hipotesis alternatif dan seringkali hipotesis nol dianggap komplemen logis untuk hipotesis alternatif. Salah satu dari dua kesimpulan yang dapat diperoleh pada pengujian hipotesis statistik, di antaranya: a. Menolak 𝐻0 , yang berarti bahwa mendukung 𝐻1 karena adanya bukti yang cukup dalam data. b. Gagal untuk menolak 𝐻0 karena tidak cukup bukti dalam data. Penggunaan istilah “menerima 𝐻0 ” tidak dilibatkan dalam salah satu dari dua kesimpulan di atas. Pernyataan tentang 𝐻0 sering bertentangan dengan ide baru, dugaan dan begitu juga 𝐻1 . Oleh karena itu, kegagalan untuk menolak 𝐻0 mewakili kesimpulan yang tepat.

Contoh 2.4.1. Suatu food processor ingin memeriksa apakah jumlah rata-rata kopi yang masuk ke dalam tabung 4 onsnya adalah memang benar 4 ons. Food processor tersebut tidak boleh menempatkan kurang dari 4 ons ke setiap tabung dan juga tidak boleh menempatkan lebih dari 4 ons ke setiap tabung. Hal ini


terjadi untuk mencegah kehilangan pelanggan dan keuntungannya. Oleh karena itu, hipotesis alternatifnya adalah 𝐻1 : 𝜇 ≠ 4. Hipotesis nol adalah 𝐻0 : 𝜇 = 4.

Meskipun aplikasi pengujian hipotesis telah banyak diterapkan di bidang ilmiah dan pekerjaan rekayasa, ilustrasi yang lebih baik untuk memahami hipotesis terletak pada keadaan pengadilan.

Contoh 2.4.2. Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya berupa: 𝐻0 : terdakwa tidak bersalah, 𝐻1 : terdakwa bersalah. Pada kasus di atas, hipotesis nol (𝐻0 ) berada dalam oposisi terhadap hipotesis alternatif (𝐻1 ) dan hipotesis nol dipertahankan (diasumsikan benar), kecuali 𝐻1 didukung oleh bukti “tanpa keraguan”. Namun, kegagalan hakim untuk menolak 𝐻0 bukan berarti bahwa terdakwa tidak bersalah. Melainkan, kegagalan hakim untuk menolak 𝐻0 menyatakan bahwa bukti itu tidak cukup untuk menghukum terdakwa. Jadi, hakim tidak selalu menerima 𝐻0 tetapi gagal untuk menolak 𝐻0 . Oleh karena itu, penggunaan istilah “menerima 𝐻0 ” memiliki makna yang kurang tepat.


2.

Pengujian Hipotesis Statistik Pengujian hipotesis statistik menghasilkan suatu keputusan apakah hipotesis

nol ditolak ataupun tidak ditolak. Ada dua hal yang terkait dengan keputusan pengujian hipotesis, yaitu statistik uji dan daerah penolakan hipotesis nol. Statistik uji adalah fungsi pengukuran sampel yang mendasari keputusan statistik. Statistik uji merupakan fungsi dari data dan 𝜃0 . Statistik uji dipilih untuk membedakan 𝐻0 dan 𝐻1 . Umumnya, statistik uji memuat penduga dari 𝜃. Statistik uji yang dikenal antara lain 𝑍, 𝑇, 𝜒 2 . Dalam menentukan statistik uji perlu dilakukan pemenuhan asumsi di antaranya, populasi berdistribusi Normal atau tidak, serta variansi diketahui. Untuk membuat keputusan bahwa hipotesis nol ditolak, maka harus ditentukan terlebih dahulu daerah penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan hipotesis nol dinamakan daerah kritis. Nomor terakhir yang diamati melewati daerah kritis disebut nilai kritis. Sedangkan untuk membuat keputusan bahwa bukti yang ada mendukung hipotesis nol, maka harus ditentukan daerah kegagalan penolakan hipotesis nol. Nilai kritis membagi daerah penolakan hipotesis nol dengan daerah kegagalan penolakan hipotesis nol. Suatu ilustrasi akan dijelaskan untuk menggambarkan konsep yang digunakan dalam pengujian hipotesis statistik tentang parameter populasi, sebagai berikut:

Contoh 2.4.3. Suatu sekolah ingin memeriksa apakah rata-rata nilai siswa kelas 9 adalah 74. Misalkan standar deviasi populasi nilai siswa adalah 𝜎 = 4.9 dan sampel random berukuran 𝑛 = 49 akan menjadi 𝑋̅, penduga paling baik bagi 𝜇. Hipotesis nol diuji dengan pernyataan “tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9”. Hipotesis alternatifnya adalah “ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9”. Oleh karena 𝑋̅ adalah penduga paling baik bagi 𝜇, maka pengujian ini dapat


dimodelkan menggunakan pendekatan distribusi Normal dengan standar deviasi 𝜎𝑋̅ =

𝜎 √𝑛

=

4.9 √49

= 0.7.

Pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut 𝐻0 : 𝜇 = 74, 𝐻1 : 𝜇 ≠ 74. Hipotesis alternatif memiliki dua kemungkinan nilai yaitu, 𝜇 < 74 atau 𝜇 > 74. Rata-rata sampel yang jatuh mendekati konstanta yang dihipotesiskan yaitu, 74, akan mempunyai bukti yang cukup untuk mendukung 𝐻0 . Di sisi lain, ratarata sampel yang kurang atau lebih dari 74 akan menjadi bukti yang tidak konsisten dengan 𝐻0 dan mendukung 𝐻1 . Rata-rata sampel adalah statistik uji pada kasus ini. Daerah kritis untuk statistik uji ini adalah 𝑥̅ < 73 dan 𝑥̅ > 75. Daerah kegagalan untuk menolak 𝐻0 adalah 73 ≤ 𝑥̅ ≤ 75. Jadi, jika 𝑥̅ < 73 dan 𝑥̅ > 75, maka 𝐻0 ditolak dan jika 73 ≤ 𝑥̅ ≤ 75, maka gagal untuk menolak 𝐻0 . Kriteria keputusan dapat dilihat pada gambar 2.1. Menolak 𝐻0

Tidak menolak 𝐻0

Menolak 𝐻0

(𝜇 ≠ 74)

(𝜇 = 74)

(𝜇 ≠ 74)

73

74

75

𝑥̅

Gambar 2.1 Kriteria Keputusan untuk Menguji 𝜇 = 74 Versus 𝜇 ≠ 74.

a.

Peluang Kesalahan Uji Hipotesis Proses penarikan keputusan dapat menyebabkan salah satu dari dua

kesimpulan yang salah. Misalnya, pada contoh 2.4.3 tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9 (𝐻0 benar). Namun, kesimpulan yang diperoleh adalah ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Kesimpulan tersebut jelas adalah suatu


kesalahan (menolak 𝐻0 dan mendukung 𝐻1 ), pada kenyataannya 𝐻0 benar. Kesalahan tersebut dinamakan kesalahan tipe I.

Definisi 2.4.2. Penolakan terhadap hipotesis nol (𝐻0 ) ketika hipotesis yang diuji ternyata benar dinamakan kesalahan tipe I. Probabilitas untuk melakukan kesalahan tipe ini dinamakan tingkat signifikansi (𝛼) ataupun 𝛼 = 𝑃(kesalahan tipe I) = 𝑃 (𝐻0 ditolak | 𝐻0 benar ).

Contoh 2.4.4. Pada contoh 2.4.3 sebelumnya, kesalahan tipe I akan terjadi ketika rata-rata nilai siswa kelas 9 kurang dari 73 atau lebih besar dari 75. Kemudian, peneliti menyimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9, padahal sebenarnya ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Peluang dalam melakukan kesalahan tipe I adalah 𝛼

= 𝑃(𝑋̅ < 73 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑋̅ > 75 | 𝜇 = 74) 73−74

75−74

= 𝑃(𝑍 < 4.9/√49 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 > 4.9/√49 | 𝜇 = 74 ) = 𝑃(𝑍 < −1.428) + 𝑃(𝑍 > 1.428) = 2𝑃(𝑍 < −1.428) = 2 ∗ 0.0764 = 0.1528. Jadi, semua sampel berukuran 49 akan menghasilkan keputusan penolakan 𝜇 = 74 pada tingkat signifikansi 15.28%, ketika sebenarnya hipotesis nol benar.

Untuk mengurangi 𝛼 dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran sampel ataupun dengan cara melebarkan daerah kesalahan penolakan hipotesis. Pengurangan 𝛼 dengan cara meningkatkan ukuran sampel dapat dilihat pada contoh 2.4.5.


Contoh 2.4.5. Pada contoh 2.4.3, jika ukuran sampel ditingkatkan menjadi 𝑛 = 100, maka 𝜎𝑋̅ =

4.9 10

= 0.49. Dengan demikian, peluang kesalahan tipe I (𝛼) akan

menjadi 𝛼

= 𝑃(𝑋̅ < 73 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑋̅ > 75 | 𝜇 = 74) 73−74

75−74

= 𝑃(𝑍 < 4.9/√100 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 > 4.9/√100 | 𝜇 = 74 ) = 𝑃(𝑍 < −2.04) + 𝑃(𝑍 > 2.04) = 2𝑃(𝑍 < −2.04) = 2 ∗ 0.0207 = 0.0414. Pengurangan nilai 𝛼 tidak cukup menjamin bahwa pengujian hipotesis telah baik prosedurnya. Perlu dilakukan perhitungan kesalahan lain terhadap hipotesis alternatif. Jenis kedua dari kesalahan proses penarikan keputusan ini adalah jika rata-rata nilai siswa berada pada interval 73 ≤ 𝑥̅ ≤ 75 maka tidak dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Padahal, tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9 (𝐻1 benar). Dalam kasus ini diperoleh kegagalan untuk menolak 𝐻0 , padahal 𝐻0 salah. Inilah yang dinamakan kesalahan tipe II.

Definisi 2.4.3. Kegagalan untuk menolak hipotesis nol (𝐻0 ) ketika hipotesis yang diuji ternyata salah dinamakan kesalahan tipe II. Probabilitas untuk melakukan kesalahan tipe ini diberi simbol 𝛽, 𝛽 = 𝑃(kesalahan tipe II) = 𝑃 (Gagal untuk menolak 𝐻0 | 𝐻0 salah).

Contoh 2.4.6. Pada contoh 2.4.3, jika sangat penting untuk menolak 𝐻0 ketika 𝑛 = 100 dan rata-rata sebenarnya adalah suatu nilai 𝜇 ≥ 76 atau 𝜇 ≤ 72, maka


peluang melakukan kesalahan tipe II dapat dihitung untuk hipotesis alternatif 𝜇 = 76 dan 𝜇 = 72. Jadi, peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu 𝜇 = 74 ketika hipotesis alternatif 𝜇 = 76 benar adalah 𝛽 = 𝑃(73 ≤ 𝑋̅ ≤ 75| 𝜇 = 76) 73−76

75−76

= 𝑃 (4.9/√100 < 𝑍 < 4.9/√100) = 𝑃(−6.12 < 𝑍 < −2.04) = 𝑃(𝑍 < −2.04) − 𝑃(𝑍 < −6.12) = 0.0207 − 0 = 0.0207. Nilai dari 𝛽 menunjukkan probabilitas yang cukup kecil, ketika 𝑛 = 100, untuk tidak menolak hipotesis nol, ketika 𝐻0 salah.

Peluang melakukan kesalahan tipe II (𝛽) meningkat secara cepat ketika nilai dari 𝜇 didekati, tapi nilai tersebut tidak sama dengan konstanta yang dihipotesiskan. Misalnya, jika hipotesis alternatif 𝜇 = 74.5 adalah benar, maka sangat mungkin untuk tidak menolak hipotesis nol. Peluang kesalahan tipe II adalah 𝛽 = 𝑃(73 ≤ 𝑋̅ ≤ 75| 𝜇 = 74.5) 73−74.5

75−74.5

= 𝑃 (4.9/√100 < 𝑍 < 4.9/√100) = 𝑃(−3.06 < 𝑍 < 1.02) = 𝑃(𝑍 < 1.02) − 𝑃(𝑍 < −3.06) = 0.8461 − 0.0011 = 0.845.


Secara umum, ada empat kemungkinan situasi untuk menentukan apakah keputusan hasil pengujian hipotesis statistik itu benar atau terdapat kesalahan. Empat kemungkinan tersebut dijelaskan pada tabel 2.3. Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistik 𝑯𝟎 benar Gagal untuk Menolak 𝑯𝟎 Tolak 𝑯𝟎

b.

𝑯𝟎 salah

Keputusan yang benar

Kesalahan tipe II

Kesalahan tipe I

Keputusan yang benar

Peranan 𝜶, 𝜷 dan Ukuran Sampel Pada contoh 2.4.4 telah diperoleh nilai 𝛼 = 0.1528 dan perhitungan pada 𝛽

menghasilkan nilai 𝛽 = 0.0764. Nilai 𝛼 = 0.1528 ingin diperkecil mendekati nol dengan cara meningkatkan ukuran dari daerah kritis. Misalnya, nilai kritis adalah 73.5 sehingga daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑥̅ < 72.5 dan 𝑥̅ > 74.5 dan daerah kegagalan penolakan 𝐻0 adalah 73.5 ≤ 𝑥̅ ≤ 74.5. Dalam pengujian 𝐻0 : 𝜇 = 74 dan 𝐻1 : 𝜇 ≠ 74 ditemukan bahwa 𝛼

= 𝑃(𝑋̅ < 72.5 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑋̅ > 75.5 | 𝜇 = 74) = 𝑃(𝑍 <

72.5−74 4.9/√49

| 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 >

75.5−74

| 𝜇 = 74 )

4.9/√49

= 𝑃(𝑍 < −2.14) + 𝑃(𝑍 > 2.14) = 2𝑃(𝑍 < −2.14) = 2 ∗ 0.0162 = 0.0324, Peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu 𝜇 = 74 ketika hipotesis alternatif 𝜇 = 76 benar adalah 𝛽 = 𝑃(72.5 ≤ 𝑋̅ ≤ 75.5| 𝜇 = 76) 72.5−76

= 𝑃 ( 4.9/√49 < 𝑍 <

75.5−76 4.9/√49

) = 𝑃(−5 < 𝑍 < −0.71)


= 𝑃(𝑍 < −0.71) − 𝑃(𝑍 < −5) = 0.2389 − 0 = 0.2389. Dengan prosedur keputusan yang baru terlihat bahwa probabilitas kesalahan tipe II (𝛽) telah berkurang, namun probabilitas melakukan kesalahan tipe I (𝛼) menjadi meningkat dari sebelumnya. Jadi, untuk ukuran sampel tetap, penurunan probabilitas satu kesalahan akan mengakibatkan peningkatan probabilitas kesalahan lainnya. Kemungkinan melakukan kedua jenis kesalahan dapat dikurangi dengan meningkatkan ukuran sampel. Dari contoh 2.4.4 terlihat bahwa ukuran sampel 𝑛 = 49 akan menghasilkan 𝛼 = 0.1528. Namun, jika ukuran sampel diperbesar menjadi 𝑛 = 100, maka contoh 2.4.5 menunjukkan bahwa terjadinya penurunan nilai 𝛼 menjadi 𝛼 = 0.0414. Dengan perhitungan yang sama, ukuran sampel 𝑛 = 49 akan menghasilkan 𝛽 = 0.0764 dan contoh 2.4.6 menunjukkan bahwa peningkatan ukuran sampel menjadi 𝑛 = 100 akan menghasilkan 𝛽 = 0.0207. Dengan demikian, peningkatan ukuran sampel 𝑛 akan mengurangi 𝛼 dan 𝛽 secara bersamaan. Secara garis besar, dapat disimpulkan bahwa peranan 𝛼, 𝛽 dan ukuran sampel pada pengujian hipotesis, yaitu a. Kesalahan tipe I dan tipe II saling berkaitan. Penurunan probabilitas yang satu biasanya menghasilkan peningkatan probabilitas yang lain. b. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I selalu dapat dikurangi dengan penyesuaian nilai kritis. c. Peningkatan ukuran sampel 𝑛 akan mengurangi 𝛼 dan 𝛽 secara bersamaan. d. Jika hipotesis nol salah, maka 𝛽 akan maksimum ketika nilai sebenarnya dari parameter mendekati nilai hipotesis. Semakin besar jarak antara nilai sebenarnya dengan nilai hipotesis, maka nilai 𝛽 semakin kecil.

Salah satu konsep penting yang berhubungan dengan probabilitas kesalahan uji hipotesis adalah kuasa uji.


Definisi 2.4.4. Kuasa uji adalah probabilitas untuk menolak 𝐻0 ketika hipotesis alternatifnya benar. Kuasa uji dapat dihitung sebagai 1 − 𝛽.

Kuasa uji akan sangat berguna dalam menilai sensitivitas uji. Misalnya, pada contoh 2.4.5 uji hipotesisnya adalah: 𝐻0 : 𝜇 = 74, 𝐻1 : 𝜇 ≠ 74. Dalam pengujian hipotesis di atas, 𝐻0 tidak ditolak jika 73 ≤ 𝑥̅ ≤ 75. Akan dilihat kapabilitas tes untuk menolak 𝐻0 ketika 𝜇 = 74.5. Probabilitas dari kesalahan tipe II diberikan oleh 𝛽 = 0.845. Dengan demikian, kuasa ujinya adalah 1 − 𝛽 = 1 − 0.845 = 0.155. Hal ini berarti pengujian akan benar menolak hipotesis nol hanya 15.5%.

3.

Nilai P dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesis Nilai 𝛼 dapat ditetapkan sendiri dalam memutuskan apakah data yang

diamati harus menyebabkan penolakan hipotesis nol. Nilai 𝛼 yang terlalu besar dapat dikurangi dengan membuat penyesuaian nilai kritis. Penurunan nilai 𝛼 yang terjadi dalam kuasa uji juga dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran sampel. Penentuan nilai 𝛼 akan sangat berpengaruh terhadap keputusan pengujian hipotesis. Meskipun nilai 𝛼 sering direkomendasikan, nilai sebenarnya dari 𝛼 yang digunakan dalam analisis, penetapannya agak bebas. Satu eksperimen dapat memilih untuk menerapkan uji dengan 𝛼 = 0.05 sedangkan eksperimen lain


mungkin lebih suka 𝛼 = 0.01. Hal ini dimungkinkan untuk dua orang yang menganalisis data yang sama dan mencapai kesimpulan yang berlawanan. Kesimpulan pertama adalah hipotesis nol harus ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 dan lainnya memutuskan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan 𝛼 = 0.01. Sebagai konsekuensinya, perlu adanya pelaporan nilai 𝑃 atau tingkat signifikansi nyata yang berhubungan dengan uji.

Definisi 2.4.5. Jika 𝑊 adalah statistik uji, maka nilai 𝑃 didefinisikan sebagai tingkat signifikansi 𝛼 terkecil berdasarkan data yang diamati yang menunjukkan bahwa hipotesis nol harus ditolak. Dengan kata lain, nilai 𝑃 adalah kesalahan tipe I “nyata” yang dihitung dari sampel.

Pengujian hipotesis diberikan sebagai 𝐻0 : 𝜇 = 15, 𝐻1 : 𝜇 ≠ 15. Pengujian hipotesis di atas ditetapkan pada tingkat signifikansi (𝛼) 0.05. Jika data pengujian berdistribusi Normal Standar, maka statistik uji yang digunakan adalah 𝑍=

𝑥̅ − 𝜇0 𝜎/√𝑛

,

dengan 𝜇0 = 15 dan daerah kritisnya adalah 𝑧 > 1.96 atau 𝑧 < −1.96. Nilai 1.96 dapat ditemukan pada tabel luas daerah di bawah kurva Normal dengan 𝑧0.05 . Nilai 𝑧 yang jatuh di daerah kritisnya menghasilkan kesimpulan bahwa 2

statistik uji signifikan. Jadi, kesimpulan yang diperoleh adalah ada perbedaan ratarata yang signifikan dari nilai 15.


Risiko maksimum melakukan kesalahan tipe I harus dikontrol dengan praseleksi nilai 𝛼. Pendekatan ini tidak memperhitungkan nilai dari statistik uji yang dekat dengan daerah kritis. Pada contoh pengujian hipotesis di atas, jika nilai 𝑧 = 1.88 dengan 𝛼 = 0.05, maka nilai 𝑧 tidak signifikan. Namun, risiko melakukan kesalahan tipe I tidak terlalu parah. Risikonya dapat dihitung dengan 𝑃 = 2𝑃(𝑍 > 1.88 | 𝜇 = 15) = 2(0.0301) = 0.0602. Dalam hal ini, peluang untuk melakukan kesalahan tipe I (tolak 𝐻0 | 𝐻0 benar) kecil. Hal ini disebabkan oleh penolakan hipotesis nol dengan nilai 𝑃 = 0.0602 kurang dari 0.05 sangat kecil. Artinya, bukti tersebut tidak sekuat dengan apa yang diperoleh dari penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 0.05. Namun, informasi tersebut akan sangat berguna dalam pengujian hipotesis.

Pendekatan nilai 𝑃 dapat memberikan kemungkinan lain dalam proses pembuat keputusan uji hipotesis. Perhitungan nilai 𝑃 memberikan informasi penting bagi nilai 𝑧. Sebagai contoh, jika 𝑧 = 2.73, maka 𝑃 = 2𝑃(𝑍 > 2.73 | 𝜇 = 15) = 2(0.0032) = 0.0064. Jelas bahwa nilai 𝑧 signifikan pada tingkat signifikansi lebih kecil dari 0.05. Namun, nilai 𝑧 = 2.73 adalah peristiwa yang sangat langka. Di bawah kondisi 𝐻0 , nilai tersebut hanya dapat ditemukan 64 kali dalam 10,000 percobaan.

a.

Interpretasi Nilai 𝑷 Secara Grafis Penjelasan nilai 𝑃 secara grafis dapat dilakukan dengan mempertimbangkan

dua sampel yang berbeda. Misalnya, dua jenis pohon efektif untuk mencegah terjadinya abrasi sungai. Dua jenis pohon tersebut diberi label pohon 1 dan pohon 2. Banyaknya sampel adalah 𝑛1 = 𝑛2 = 10 dan abrasi diukur dalam persentase luas permukaan yang terkikis air. Sampel yang diambil berasal dari distribusi


umum dengan rata-rata tinggi pohon 𝜇 = 8. Asumsikan bahwa variansi populasi adalah 1. Hipotesis nolnya adalah 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 = 8.

Gambar 2.2 Kurva kemungkinan hasil data kedua jenis pohon dari populasi yang memiliki dua rata-rata berbeda.

Pada gambar 2.2, data kedua jenis pohon ditempatkan pada distribusi yang dinyatakan oleh hipotesis nol. Simbol ‘x’ pada gambar di atas menunjukkan jenis pohon 1 dan simbol ‘o’ menunjukkan jenis pohon 2. Dari gambar 2.2 terlihat jelas bahwa kedua simbol berada pada daerah penolakan hipotesis nol. Peranan nilai 𝑃 dapat dilihat hanya sebagai probabilitas kedua simbol, mengingat bahwa kedua sampel berasal dari distribusi yang sama. Kedua simbol yang berada di ujung kiri dan kanan kurva memiliki probabilitas yang sangat kecil (mendekati nol) terhadap 𝜇. Dengan kata lain, probabilitas kedua data berada jauh dari 𝜇 = 8 ketika hipotesis nol benar sangatlah kecil. Jadi, nilai 𝑃 yang kecil dapat menolak hipotesis nol dan kesimpulannya adalah rata-rata populasi berbeda secara signifikan. Jika nilai 𝑃 digunakan sebagai pembuat keputusan, maka laporkan nilai eksak 𝑃 tersebut. Misalnya, penulisan nilai 𝑃 = 0.09 atau 𝑃 = 0.016 memberikan


informasi yang mendukung bagi keputusan pengujian daripada penulisan nilai 𝑃 < 0.05 yang dapat memuat segala kemungkinan nilai 𝑃. APA Manual (2010) juga menyatakan ketika melaporkan nilai 𝑃, laporkan nilai eksak 𝑃 (misal, 𝑃 = 0.031), bukan nilai relatif (𝑃 < 0.01). Jika ingin menguji 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 , dengan 𝜇 adalah rata-rata populasi dari suatu distribusi Normal (n ≥ 30) dengan standar deviasi (𝜎) diketahui, 𝜇0 adalah nilai yang akan diuji, 𝑥̅ adalah penduga dari 𝜇 dan diketahui nilai Z dari statistik uji yang dikaji adalah: 𝑥̅ −𝜇0

Z = 𝜎/

√𝑛

=

𝑥̅ −𝜇0 𝑆𝐸𝑥̅

,

(2.4)

maka nilai 𝑃 dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: a. bila 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 maka nilai 𝑃 = P(Z ≥ z) b. bila 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 maka nilai 𝑃 = P(Z ≤ z) c. bila 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 maka nilai 𝑃 = 2P(Z ≥ z) untuk z ≥ 0, nilai 𝑃 = 2P(Z ≤ z) untuk z < 0.

Contoh 2.4.7. Standar yang ditetapkan oleh instansi pemerintah menunjukkan bahwa orang Amerika tidak boleh melebihi asupan sodium harian dengan rata-rata 3300 mg dan standar deviasi 1100 mg. Untuk mencari tahu apakah orang Amerika melebihi batasan ini, maka diambil sampel berjumlah 100 orang Amerika dan dihasilkan rata-rata asupan sodium hariannya 3400 mg. Tentukan nilai 𝑃. Penyelesaian: Pengujian hipotesisnya adalah 𝐻0 : 𝜇 = 3300,


𝐻1 : 𝜇 > 3300, dengan 𝜇 adalah rata-rata asupan sodium harian orang Amerika. Karena statistik uji yang digunakan adalah 𝑥̅ −𝜇

Z = 𝜎/ 𝑛0, √

maka nilai 𝑃 didefinisikan sebagai P(Z > z |𝐻0 benar). Dengan demikian diperoleh, 3400−3300

𝑧 = 1100/√100 = 0.91, dengan 𝑃 = P(Z > 0.91|𝜇 = 3300 ) = 1 - 0.8186 = 0.1814.

Suatu kesalahan umum yang sering dijumpai adalah mendeskripsikan bahwa nilai 𝑃 adalah probabilitas menolak 𝐻0 ketika 𝐻0 benar menjadi probabilitas 𝐻0 benar. Dengan kata lain, 𝑃 = 𝑃(menolak 𝐻0 |𝐻0 benar) ≠ 𝑃(𝐻0 benar). Nilai 𝑃 adalah probabilitas bersyarat yang mudah untuk dihitung jika asumsinya adalah hipotesis nol benar. Contoh di bawah ini akan menjelaskan bahwa data tidak memberikan bukti bahwa 𝐻0 benar.

Contoh 2.4.8. Pandang uji hipotesis 𝐻0 : 𝜇 = 100, 𝐻1 : 𝜇 ≠ 100,


dengan 𝜇 adalah rata-rata populasi berdasarkan sampel berukuran 1 dari distribusi 𝑁(0, 202 ). Misalkan nilai 𝜇 yang sebenarnya adalah 𝜇 = 105 dan rata-rata 𝑥̅ −𝜇0

sampel adalah 101. Jika Z = 𝜎/

√𝑛

adalah statistik uji yang dipakai, maka tentukan

nilai 𝑃.

Penyelesaian: Nilai 𝑃 didefinisikan sebagai 2P(Z > z |𝐻0 benar). Dengan demikian diperoleh, 𝑧=

101−100 20

= 0.05,

dengan nilai 𝑃 = 2P(Z > 0.05| H0 ) = 2(1 - 0.5199) = 0.9602. Perhatikan bahwa nilai 𝑃 besar namun data tidak memberikan bukti bahwa 𝐻0 benar. Keputusan yang dihasilkan oleh nilai 𝑃 mengakibatkan hipotesis nol gagal untuk ditolak. Hal ini kontradiksi dengan asumsi nilai rata-rata populasi 𝜇 yang bernilai 105. Oleh karena itu, hipotesis nol tidak pernah benar.

b.

Bentuk Uji Hipotesis Statistik dan Langkah-Langkah Pengujiannya

Macam-macam bentuk uji hipotesis, yaitu a. Hipotesis satu arah (one-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik yang hipotesis alternatifnya satu sisi, baik berupa sisi kanannya berbentuk 𝐻0 : 𝜃 ≤ 𝜃0 , 𝐻1 : 𝜃 > 𝜃0 ataupun sisi kirinya 𝐻0 : 𝜃 ≥ 𝜃0 , 𝐻1 : 𝜃 < 𝜃0


dengan 𝜃 adalah parameter yang diuji dan 𝜃0 adalah konstanta yang dihipotesiskan. Hipotesis nol dalam uji satu arah ini dapat juga berbentuk 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 . Daerah kritis untuk hipotesis alternatif 𝐻1 : 𝜃 > 𝜃0 terletak di sisi kanan distribusi statistik uji. Sedangkan daerah kritis untuk hipotesis alternatif 𝐻1 : 𝜃 < 𝜃0 terletak sepenuhnya di sisi kiri distribusi statistik uji. Contoh hipotesis satu arah: Jika ingin menguji apakah rata-rata waktu operasi di rumah sakit A lebih lama daripada rumah sakit B, maka hipotesis alternatifnya berbentuk 𝐻1 : 𝜇𝐴 > 𝜇𝐵 .

b. Hipotesis dua arah (two-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik yang hipotesis alternatifnya dua sisi, seperti 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 , 𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃0 . dengan 𝜃 adalah parameter yang diuji dan 𝜃0 adalah konstanta yang dihipotesiskan. Hipotesis alternatif 𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃0 menyatakan bahwa 𝜃 < 𝜃0 atau 𝜃 > 𝜃0 . Oleh karena itu, daerah kritis untuk hipotesis alternatifnya dibagi menjadi dua bagian dan sering memiliki probabilitas yang sama di setiap sisi distribusi statistik uji. Contoh hipotesis dua arah: Jika ingin menguji apakah ada perbedaan rata-rata lamanya waktu penyembuhan flu pada pemberian obat A dengan pemberian obat B, maka hipotesis alternatifnya berbentuk 𝐻1 : 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵 .


Penentuan daerah kritis hanya dapat ditentukan setelah hipotesis alternatif ditetapkan terlebih dahulu. Oleh karena itu, dalam kasus uji hipotesis satu arah, hipotesis alternatif menjadi pertimbangan yang sangat penting.

Contoh 2.4.9. Sebuah perusahaan keju olahan mengklaim bahwa rata-rata kandungan lemak jenuh produknya tidak melebihi 1.8 gram per sajian. Tetapkan hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan lokasi daerah kritisnya.

Penyelesaian: Klaim perusahaan akan ditolak jika rata-rata kandungan lemak (𝜇) lebih besar dari 1.8 gram dan tidak boleh ditolak jika rata-rata kandungan lemak (𝜇) kurang dari atau sama dengan 1.8 gram. Uji hipotesisnya adalah 𝐻0 : 𝜇 = 1.8, 𝐻1 : 𝜇 > 1.8. Daerah kegagalan untuk menolak 𝐻0 tidak mengesampingkan nilai-nilai yang kurang dari 1.8 gram. Bentuk pengujian hipotesisnya adalah hipotesis satu arah. Oleh karena itu, simbol “lebih besar dari” menunjukkan bahwa daerah kritisnya terletak di sisi sebelah kanan distribusi statistik uji 𝑋̅.

Contoh 2.4.10. Suatu pabrik cat mengklaim bahwa kaleng cat yang diproduksi memiliki rata-rata berat kotor 1.2 kg/kaleng. Untuk menguji klaim ini, sejumlah sampel diambil dan rata-rata berat kotornya dicatat sebagai statistik uji. Tetapkan hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan lokasi daerah kritisnya.


Penyelesaian: Klaim pabrik cat akan ditolak jika statistik uji lebih tinggi atau lebih rendah dari rata-rata 𝜇 = 1.2. Uji hipotesisnya adalah 𝐻0 : 𝜇 = 1.2, 𝐻1 : 𝜇 ≠ 1.2. Hipotesis alternatif menunjukkan bahwa bentuk hipotesisnya adalah dua arah. Oleh karena itu, daerah kritisnya dibagi rata di kedua sisi distribusi statistik uji 𝑋̅.

Pengujian hipotesis berperan penting di berbagai penelitian sosial, pendidikan dan bidang lainnya. Untuk melakukan suatu penelitian diperlukan proses penelitian yang akan diolah secara runtut. Sebelum proses tersebut dilakukan, peneliti harus menemukan teori

yang berhubungan dengan

penelitiannya dan teori itu saling berkaitan dengan fakta/fenomena yang terjadi. Berbagai teori dan fakta tersebut diharapkan mampu menemukan pertanyaan yang belum terjawab. Dari sekumpulan pertanyaan itu dibentuk perumusan masalah yang akan diteliti lebih lanjut pada penelitian. Dugaan yang ada pada rumusan masalah itu akan diuji kebenarannya dalam proses pengujian hipotesis. Setelah dugaan tersebut diuji kebenarannya, peneliti membentuk rancangan penelitian untuk

menentukan

arah

penelitian.

Selanjutnya,

peneliti

melakukan

observasi/eksperimen untuk memperoleh data yang diperlukan. Proses yang paling penting adalah melakukan analisis data yang telah diperoleh serta menarik kesimpulan dari hasil analisis. Pengujian hipotesis didasarkan pada beberapa masalah yang akan diuji kebenarannya, misalnya untuk mengetahui masalah rata-rata populasi dan mengetahui relasi/asosiasi antar variabel. Seringkali dalam studi empiris, peneliti salah menginterpretasikan hasil dari pengujian hipotesis. Untuk itu diperlukan pemenuhan asumsi dan pengambilan jenis sampel yang tepat bagi pengujian


hipotesis. Pemenuhan asumsi berupa populasi berdistribusi Normal (jumlah sampel lebih dari 30) ataupun tidak, sangatlah penting untuk menentukan uji statistik yang akan digunakan. Pengambilan jenis sampel juga akan berpengaruh pada uji statistik yang akan digunakan.

Berikut adalah langkah-langkah dalam pengujian hipotesis: 1. Tetapkan hipotesis nol (𝐻0 ) dan hipotesis alternatif (𝐻1 ) 2. Tetapkan tingkat signifikansi (𝛼) Pilihan tingkat signifikansi yang umum digunakan adalah 0.05 dan 0.01. Nilai 𝛼 yang kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu penelitian. Nilai 𝛼 juga menunjukkan seberapa ekstrim suatu data yang dapat menunjukkan adanya perbedaan dengan data lain. 3. Tentukan statistik uji 4. Tentukan daerah penolakan hipotesis nol (daerah kritis) Biasanya dirumuskan dengan pernyataan “H0 ditolak bila…”. Ukuran daerah kritis bergantung pada tingkat signifikansi (𝛼) dari statistik uji yang dilakukan. 5. Perhitungan statistik uji 6. Kesimpulan Hasil pengujian hipotesis akan menghasilkan dua kemungkinan yaitu menolak hipotesis nol atau gagal menolak hipotesis nol. Kesimpulan akhir dari hasil pengujian hipotesis dapat diperoleh dari dua pendekatan, yaitu pendekatan klasik dan pendekatan probabilistik.

a. Pendekatan klasik Pendekatan ini dapat dilakukan dengan perbandingan nilai yang didapat pada perhitungan statistik uji dengan daerah kritis. Jika statistik uji berada dalam daerah kritis, maka hipotesis nol (𝐻0 ) ditolak.


Namun, jika statistik uji tidak berada dalam daerah kritis, maka gagal untuk menolak 𝐻0 . b. Pendekatan probabilistik Dalam uji statistik melalui program statistik pada komputer, akan ada keluaran hasil uji statistik berupa nilai 𝑃 (p-value). Untuk memperoleh kesimpulan uji hipotesis melalui pendekatan ini, dapat dilakukan dengan cara membandingkan nilai 𝑃 dengan taraf signifikansi (𝛼). Ketentuan perbandingan tersebut adalah bila nilai 𝑃 kurang dari nilai 𝛼, maka keputusannya adalah 𝐻0 ditolak. Sedangkan bila nilai 𝑃 lebih dari nilai 𝛼, maka keputusannya adalah gagal untuk menolak 𝐻0 .

Pengertian 𝐻0 ditolak di sini memberikan kesimpulan yang menyatakan hasil uji hipotesis signifikan secara statistik. Jika 𝐻0 gagal ditolak, maka berikan kesimpulan yang menyatakan hasil uji hipotesis tidak signifikan secara statistik. Pendekatan klasik dan pendekatan probabilitas (nilai 𝑃) akan lebih baik jika keduanya dicantumkan dalam penarikan kesimpulan.

E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi Pada subbab ini akan dibahas pengujian hipotesis rata-rata satu populasi untuk sampel besar dan sampel kecil.

1.

Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar

Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel random dari distribusi dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 > 0. Pengujian hipotesis diberikan sebagai berikut: 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0


dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇. Berdasarkan teorema 2.2.1, distribusi sampling dari variabel random 𝑋̅ mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 /𝑛 ketika 𝑛 besar (𝑛 ≥ 30). Jadi, 𝜇𝑋̅ = 𝜇 dan 𝜎𝑋̅ 2 = 𝜎 2 /𝑛. Jumlah standar deviasi ketika 𝑋̅ terletak di sebelah kiri atau kanan 𝜇0 dapat diukur menggunakan statistik uji standar, 𝑍=

𝑋̅ − 𝜇0 𝜎/√𝑛

yang memiliki pendekatan distribusi Normal Standar ketika 𝐻0 benar dan 𝜇 = 𝜇0 . Pada pengujian hipotesis di atas, peluang untuk hipotesis nol tidak ditolak (jatuh di luar daerah kritis) dapat ditulis sebagai 𝑃 (−𝑧𝛼 < 2

𝑋̅ −𝜇0 𝜎/√𝑛

< 𝑧𝛼 ) = 1 − 𝛼. 2

Diberikan rata-rata sampel 𝑥̅ dan statistik uji 𝑧 yang dihitung jatuh pada daerah kritis, sehingga 𝐻0 ditolak ketika 𝑥̅ −𝜇0

𝑧 = 𝜎/

√𝑛

𝑥̅ −𝜇0

> 𝑧𝛼/2 atau 𝑧 = 𝜎/

√𝑛

< -𝑧𝛼/2 .

Sedangkan jika -𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2 , jangan tolak 𝐻0 . Penolakan 𝐻0 mengakibatkan penerimaan hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 𝜇0 . Hipotesis alternatif (𝐻1 ) mengimplikasikan bahwa 𝜇 > 𝜇0 atau 𝜇 < 𝜇0 . Nilai rata-rata sampel 𝑥̅ yang terlalu besar atau terlalu kecil jaraknya dari 𝜇0 ditempatkan di daerah penolakan hipotesis nol. Nilai kritis dari statistik uji 𝑧 yang memisahkan daerah penolakan hipotesis nol dan daerah penerimaan akan berubah sesuai dengan penentuan tingkat signifikansi (𝛼). Oleh karena itu, daerah kritis dirancang untuk mengontrol 𝛼, peluang kesalahan tipe I.


Daerah kritis untuk pengujian hipotesis rata-rata sampel 𝑥̅ dapat ditulis sebagai tolak 𝐻0 jika 𝑥̅ < 𝑎 atau 𝑥̅ > 𝑏 dengan 𝑎 = 𝜇0 − 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

, 𝑏 = 𝜇0 + 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

.

Untuk tingkat signifikansi 𝛼 tertentu, nilai kritis akan terletak di sebelah kiri 𝑎 dan kanan 𝑏. Nilai kritis dari variabel random 𝑥̅ dan 𝑧 tampak pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif 𝜇 ≠ 𝜇0 .

Contoh 2.5.1. Hasil harian untuk pabrik kimia lokal memiliki rata-rata populasi 880 ton dan standar deviasi 21 ton selama beberapa tahun terakhir. Manajer kualitas kontrol ingin mengetahui apakah rata-rata produksi telah berubah dalam beberapa bulan terakhir. Manajer tersebut memilih secara acak 50 hari dari data komputer dan mendapatkan rata-rata 𝑥̅ = 871 ton. Ujilah hipotesis tersebut dengan tingkat signifikansi 0.05. Penyelesaian: 1. 𝐻0 : 𝜇 = 880. 2. 𝐻1 : 𝜇 ≠ 880.


3. 𝛼 = 0.05. 4. Statistik uji: Penduga titik bagi 𝜇 adalah 𝑥̅ , maka statistik ujinya 𝑧=

𝑥̅ −𝜇0 𝜎/√𝑛

.

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑧 < −1.96 atau 𝑧 > 1.96. 6. Perhitungan: 𝑥̅ = 871, 𝑛 = 50 dan 𝑧 =

𝑥̅ −𝜇0 𝜎/√𝑛

=

871−880 21/√50

= −3.03.

7. Kesimpulan: Karena uji pada contoh ini adalah hipotesis dua arah, maka nilai 𝑃 adalah dua kali luas daerah yang diarsir di sebelah kiri 𝑧 = −3.03 (Gambar 2.4).

Gambar 2.4 Nilai 𝑃 untuk Contoh 2.5.1. Nilai 𝑃 adalah 𝑃 = 𝑃(|𝑍| > 3.03) = 2𝑃(𝑍 < −3.03) = 0.0024. Jelas bahwa 𝑃 = 0.0024 < 0.05, sehingga 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi kurang dari 0.05 dan karena 𝑧 = −3.03, perhitungan 𝑧 jatuh pada daerah kritis, maka manajer dapat menyimpulkan bahwa rata-rata produksi telah berubah dalam beberapa bulan terakhir (𝜇 ≠ 880).

Pengujian hipotesis satu arah pada rata-rata satu populasi melibatkan statistik yang sama dengan hipotesis dua arah. Perbedaannya terletak pada daerah kritis yang hanya satu sisi berdistribusi Normal Standar.


Jika dilakukan pengujian hipotesis 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 , maka daerah kritisnya/penolakan 𝐻0 akan dihasilkan ketika 𝑧 > 𝑧𝛼 . Sedangkan jika hipotesis alternatif 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 , maka daerah kritis akan terletak sepenuhnya di sisi lebih rendah dan penolakan dihasilkan dari 𝑧 < −𝑧𝛼 . Pada bentuk pengujian hipotesis satu arah, hipotesis nol dapat ditulis sebagai 𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0 ataupun 𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0 . Namun, dalam kasus pengujian hipotesis rata-rata satu populasi biasanya ditulis sebagai 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 .

Contoh 2.5.2. Suatu perusahaan truk curiga terhadap klaim bahwa rata-rata umur ban merk tertentu adalah setidaknya 28000 mil dan standar deviasi 1348 mil. Untuk menguji klaim ini, perusahaan mencoba 40 ban tersebut pada truknya dan mendapatkan rata-rata umur ban 27463 mil. Apa yang dapat disimpulkan jika taraf signifikansinya 0.01?

Penyelesaian: Dalam kasus ini, peluang kesalahan tipe I maksimal ketika 𝜇 = 28000 mil sehingga pengujian hipotesisnya adalah 1. 𝐻0 : 𝜇 = 28000. 2. 𝐻1 : 𝜇 < 28000. 3. 𝛼 = 0.01. 4. Statistik uji: 𝑧=

𝑥̅ − 𝜇0 𝜎/√𝑛

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑧 < −2.33.


6. Perhitungan: 𝑥̅ = 27463, 𝑛 = 40, 𝑧=

𝑥̅ −𝜇0 𝜎/√𝑛

=

27463−28000 1348/√40

= −2.52.

7. Kesimpulan: Karena 𝑧 = −2.52 kurang dari -2.33, maka hipotesis nol harus ditolak pada tingkat signifikansi 0.01 dan dapat disimpulkan bahwa rata-rata umur ban merk tertentu kurang dari 28000 mil. Perhitungan nilai 𝑃 adalah 𝑃 = 𝑃(𝑍 < −2.52) = 0.0059. Karena nilai 𝑃 = 0.0059 < 0.01, maka 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.01 dan memperkuat kesimpulan di atas.

Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar dengan Selang Kepercayaan Untuk kasus rata-rata (𝜇) populasi tunggal dengan 𝜎 2 diketahui, struktur dari kedua pengujian hipotesis dan estimasi selang kepercayaan didasarkan pada variabel random 𝑍=

𝑋̅ −𝜇 𝜎/√𝑛

.

Pengujian 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 terhadap 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 pada tingkat signifikansi 𝛼 ekivalen dengan perhitungan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% pada 𝜇. Jika 𝜇0 terletak di luar selang kepercayaan, maka 𝐻0 ditolak. Sedangkan jika 𝜇0 terletak di dalam selang kepercayaan, maka 𝐻0 tidak ditolak. Ekivalensi ini sangat intuitif dan cukup sederhana untuk digambarkan. Dalam bentuk nilai 𝑥̅ yang diamati, kegagalan untuk menolak 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 mengakibatkan bahwa |

𝑥̅ − 𝜇0 𝜎/√𝑛

| ≤ 𝑧𝛼/2 .

(2.5)


Daerah kegagalan penolakan 𝐻0 pada pertidaksamaan (2.5) ekivalen dengan 𝑥̅ − 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

≤ 𝜇0 ≤ 𝑥̅ + 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

.

Selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇 memberikan informasi yang lebih bagi pengujian hipotesis yaitu hipotesis nol ditolak ataupun tidak ditolak.

Contoh 2.5.3. Suatu sampel random berukuran 𝑛 = 100 diambil dari populasi dengan 𝜎 = 5.1. Diketahui rata-rata sampel 𝑥̅ = 21.6 dan selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 adalah 𝑥̅ − 𝑧0.05/2

21.6 − 1.96

𝜎 √𝑛

5.1 √100

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑧0.05/2

𝜎 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 21.6 + 1.96

5.1 √100

20.6 ≤ 𝜇 ≤ 22.6 Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 untuk menguji hipotesis nol 𝜇 = 21.5 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 21.5. Ujilah juga hipotesis nol 𝜇 = 19 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 19.

Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol 𝜇 = 21.5 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 21.5 tidak akan menolak 𝐻0 pada tingkat 5%, karena 𝜇 = 21.5 berada pada selang kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, 𝜇 = 19 tidak berada pada selang kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.


2.

Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil

Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak berukuran 𝑛 (𝑛 < 30) dari distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 yang tidak diketahui, sehingga variabel acak (𝑋̅ − 𝜇)/(𝑆/√𝑛) berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Nilai dari standar deviasi populasi (𝜎) dari statistik uji, nantinya digantikan oleh penduga 𝑆 dan distribusi Normal Standar digantikan oleh distribusi 𝑡. Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi di atas diberikan sebagai berikut: 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 , dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇. Hipotesis nol (𝐻0 ) ditolak pada tingkat signifikansi (𝛼) jika nilai statistik uji 𝑡=

𝑥̅ − 𝜇0 𝑠/√𝑛

melebihi 𝑡𝛼/2 atau kurang dari −𝑡𝛼/2 dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Untuk kasus hipotesis satu arah, jika 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 , maka daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑡 > 𝑡𝛼 dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Jika 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 , maka daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑡 < −𝑡𝛼 dengan derajat bebas 𝑛 − 1.

Contoh 2.5.4. Institut Listrik Edison mempublikasikan angka pada jumlah kilowat jam yang digunakan oleh berbagai peralatan rumah. Institusi tersebut mengklaim bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata sebesar 45 kilowat jam/tahun. Jika 12 sampel rumah termasuk dalam penelitian yang direncanakan mengindikasikan pembersih debu menggunakan rata-rata 42 kilowat jam/tahun dan standar deviasi 11.9 kilowat jam/tahun. Apakah ini mengindikasikan pada


tingkat signifikansi 0.05 bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata kurang dari 46 kilowat jam/tahun? Asumsikan populasinya mendekati Normal.

Penyelesaian: Misalkan 𝜇 adalah rata-rata penggunaan pembersih debu dalam kilowat jam/tahun. Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1. 𝐻0 : 𝜇 = 46 kilowat jam. 2. 𝐻1 : 𝜇 < 46 kilowat jam. 3. 𝛼 = 0.05. 4. Statistik uji: 𝑡=

𝑥̅ − 𝜇0 𝑠/√𝑛

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑡 < −1.796, dengan derajat bebas 11. 6. Perhitungan: 𝑥̅ = 42, 𝑛 = 12, 𝑠 = 11.9, 𝑡=

𝑥̅ −𝜇0 𝑠/√𝑛

42−46

= 11.9/√12 = −1.16 dan 𝑃 = 𝑃(𝑇 < −1.16) ≈ 0.135.

7. Kesimpulan: Karena 𝑡 = −1.16 lebih dari -1.796 dan nilai 𝑃 = 0.135 lebih dari 𝛼 = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa rata-rata kilowat jam yang digunakan oleh pembersih debu rumah tidak signifikan kurang dari 46 kilowat jam.

Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil dengan Selang Kepercayaan Misalkan 𝑥̅ adalah rata-rata sampel yang dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 tidak diketahui. Oleh karena variansi populasi tidak diketahui, maka penduga dari variansi adalah standar deviasi sampel (𝑠).


Selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇 adalah 𝑥̅ − 𝑡𝛼/2

𝑠

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑡𝛼/2

√𝑛

𝑠 √𝑛

.

Selang kepercayaan tersebut berhubungan dengan pengujian hipotesis rata-rata satu populasi pada tingkat signifikansi 𝛼. Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi diberikan sebagai berikut: 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 , dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇. Daerah penolakan 𝐻0 (daerah kritis) adalah |

𝑥̅ − 𝜇0 𝑠/√𝑛

| = |𝑡| ≥ 𝑡𝛼/2 .

Dalam bentuk nilai 𝑥̅ , 𝑠 yang diamati, kegagalan untuk menolak 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 mengakibatkan bahwa 𝑥̅ −𝜇0

| 𝑠/

√𝑛

| < 𝑡𝛼/2.

(2.6)

Daerah kegagalan penolakan 𝐻0 pada pertidaksamaan (2.6) ekivalen dengan 𝑥̅ − 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

≤ 𝜇0 ≤ 𝑥̅ + 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

.

Secara umum, jika 𝜇0 terletak di luar selang kepercayaan, maka 𝐻0 ditolak. Sedangkan jika 𝜇0 terletak di dalam selang kepercayaan, maka 𝐻0 tidak ditolak.


Contoh 2.5.5. Rata-rata penurunan berat dari 16 bola penggilingan di pabrik bubur setelah jangka waktu tertentu adalah 3.42 gram dengan standar deviasi 0.68 gram. Selang kepercayaan 95% bagi rata-rata penurunan berat dari bola penggilingan adalah 𝑥̅ − 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

≤ 𝜇0 ≤ 𝑥̅ + 𝑡𝛼/2

𝑠 √𝑛

atau 3.06 ≤ 𝜇 ≤ 3.78.

Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 untuk menguji hipotesis nol 𝜇 = 3.7 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 3.7. Ujilah juga hipotesis nol 𝜇 = 3 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 3. Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol 𝜇 = 3.7 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 3.7 tidak akan menolak 𝐻0 pada tingkat 5%, karena 𝜇 = 3.7 berada pada selang kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, 𝜇 = 3 tidak berada pada selang kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05.

F.

Uji Hipotesis Rata-Rata Dua Populasi

Pada subbab ini akan dibahas prasyarat pengujian hipotesis rata-rata dua populasi, yaitu uji Normalitas dan uji homogenitas variansi, pengujian hipotesis rata-rata dua populasi jika variansi diketahui, variansi tidak diketahui tetapi sama, variansi tidak diketahui dan tidak sama dan sampel berpasangan. Dalam banyak studi dan kasus, hal yang umum terjadi adalah variansi tidak diketahui dan homogen. 1.

Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansi Uji Normalitas diperlukan untuk menguji asumsi kedua populasi

berdistribusi Normal atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi. Uji Normalitas dilakukan sebagai berikut 1. 𝐻0 : Distribusi kedua populasi Normal. 2. 𝐻1 : Distribusi kedua populasi tidak Normal.


3. Tentukan nilai 𝛼. 4. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menguji normalitas adalah Kolgomorov-Smirnov, Shapiro Wilk atau Lilliefors. Statistik uji berupa deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan distribusi kumulatif normal. 5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 𝛼. 6. Perhitungan 7. Kesimpulan a. Jika nilai 𝑃 < 𝛼, maka distribusi kedua populasi tidak Normal. b. Jika nilai 𝑃 > 𝛼, maka distribusi kedua populasi Normal.

Uji homogenitas variansi diperlukan untuk menguji asumsi variansi kedua populasi sama atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi. Pengujian kesamaan variansi dilakukan sebagai berikut 1. 𝐻0 : 𝜎1 2 = 𝜎2 2 . 2. 𝐻1 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 . 3. Tentukan nilai 𝛼. 4. Statistik uji 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =

𝑆𝑚𝑎𝑥 2 𝑆𝑚𝑖𝑛 2

,

dengan 𝑆 2 adalah variansi sampel. 5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝑣1 , 𝑣2 ) atau nilai 𝑃 < 𝛼, dengan 𝑣1 = 𝑛1 − 1 dan 𝑣2 = 𝑛2 − 1. 6. Kesimpulan: a. Jika nilai 𝑃 < 𝛼 atau 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝑣1 , 𝑣2 ), maka kedua variansi populasi tidak sama. b. Jika nilai 𝑃 > 𝛼 atau 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝑣1 , 𝑣2 ), maka kedua variansi populasi sama.


2.

Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi Diketahui

Misalkan dua sampel independen berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 dipilih secara acak dari populasi dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 dan variansi 𝜎1 2 , 𝜎2 2 . Variabel acak 𝑍=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 )

berdistribusi Normal Standar. Asumsinya adalah kedua sampel berukuran cukup besar sehingga Teorema Limit Pusat dapat diterapkan. Jika kedua populasinya Normal, maka statistik di atas berdistribusi Normal Standar, meskipun kedua sampel berukuran kecil. Namun, jika asumsinya adalah 𝜎1 adalah sama dengan 𝜎2 , maka statistik 𝑍 dapat diubah menjadi 𝑍=

(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝜎√(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

.

Kedua statistik tersebut merupakan dasar bagi pengujian hipotesis rata-rata dua populasi. Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi diberikan oleh 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0 , 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0 , dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇1 − 𝜇2 . Distribusi yang digunakan adalah distribusi dari statistik uji terhadap 𝐻0 . Jika diketahui kedua rata-rata sampel adalah 𝑥̅1 , 𝑥̅2 dan variansi sampelnya adalah 𝜎1 , 𝜎2 , maka statistik ujinya adalah 𝑧=

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑑0 √(𝜎1 2 /𝑛1 ) + (𝜎2 2 /𝑛2 )

.


Daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑧 > 𝑧𝛼/2 atau 𝑧 < −𝑧𝛼/2 . Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0 , daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑧 < −𝑧𝛼 . Sedangkan jika 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0 , maka daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑧 > 𝑧𝛼 .

3.

Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi Tidak Diketahui tetapi Sama Besar

Jika 𝑥̅1 , 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 dan standar deviasi tidak diketahui (𝜎1 = 𝜎2 ), maka pengujian hipotesis rata-rata dua populasi dinamakan uji 𝑡 dua sampel. Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0 , 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0 , dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇1 − 𝜇2 . Daerah penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 adalah jika statistik uji 𝑡=

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑑0 𝑠𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

,

(2.7)

dengan 𝑠𝑝 2 =

𝑠1 2 (𝑛1 − 1) + 𝑠2 2 (𝑛2 − 1) 𝑛1 + 𝑛2 − 2

(2.8)

melebihi 𝑡𝛼/2 ataupun kurang dari −𝑡𝛼/2 , derajat bebas 𝑛1 + 𝑛2 − 2. Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0 , daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 < −𝑡𝛼 . Sedangkan jika 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0 , maka daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 > 𝑡𝛼 .


Contoh 2.6.1. Sebuah percobaan dijalankan untuk membandingkan keausan abrasif dari dua bahan laminasi yang berbeda. Dua belas bagian material 1 diuji dengan mengekspos setiap bagian ke dalam mesin pengukur. Sepuluh bagian material 2 juga diuji serupa dengan material 1. Pada masing-masing kasus, kedalaman material diamati. Sampel dari material 1 memberikan rata-rata sebesar 85 dengan standar deviasi sampel 4 dan material 2 memberikan rata-rata sebesar 81 dengan standar deviasi 5. Dapatkah disimpulkan pada tingkat signifikansi 0.05 bahwa perbedaan rata-rata keausan material 1 dan material 2 lebih dari 2 unit? Asumsikan populasi mendekati Normal dengan variansi sama. Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 dan 𝜇2 adalah rata-rata populasi keausan abrasif untuk material 1 dan material 2. Langkah-langkah pengujian hipotesisnya adalah 1. 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 2. 2. 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > 2. 3. 𝛼 = 0.05. 4. Statistik uji: 𝑡=

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑑0 𝑠𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

, 𝑠𝑝 2 =

𝑠1 2 (𝑛1 − 1) + 𝑠2 2 (𝑛2 − 1) , 𝑛1 + 𝑛2 − 2

dengan derajat bebas 𝑣 = 20. 5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak jika 𝑡 > 1.725, derajat bebas 20. 6. Perhitungan: 𝑥̅1 = 85, 𝑠1 = 4, 𝑛1 = 12, 𝑥̅2 = 81, 𝑠2 = 4, 𝑛2 = 10. 𝑠𝑝 = √ 𝑡=

(11)(16) + (9)(25) = 4.478, 12 + 10 − 2 (85 − 81) − 2

4.478√(1/12) + (1/10)

= 1.04,

𝑃 = 𝑃(𝑇 > 1.04) ≈ 0.16.


7. Kesimpulan: Karena 𝑡 = 1.04 kurang dari 1.725 dan nilai 𝑃 = 0.16 lebih dari 𝛼 = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa perbedaan rata-rata keausan material 1 dan material 2 tidak melebihi 2 unit.

4.

Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua Populasi Tidak Diketahui dan Tidak Sama

Misalkan 𝑥̅1 , 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 dan standar deviasi tidak diketahui (𝜎1 ≠ 𝜎2 ). Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0 , 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0 , dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇1 − 𝜇2 . Jika populasi Normal, maka statistik uji 𝑡′ =

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑑0 𝑠1 2

𝑠2 2

1

2

,

√( 𝑛 ) + ( 𝑛 ) berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣,

𝑣=

𝑠 2

𝑠2 2

1

𝑛2

( 𝑛1 + 𝑠 2 2 [( 𝑛1 ) /(𝑛1 1

2

) 𝑠2 2 2

.

− 1)] + [( 𝑛 ) /(𝑛2 − 1)] 2

Daerah penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 adalah jika statistik uji 𝑡 ′ < −𝑡𝛼/2 ataupun 𝑡 ′ > 𝑡𝛼/2.


Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0 , daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡′ < −𝑡𝛼 . Sedangkan jika 𝐻1 : 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0 , maka daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡′ > 𝑡𝛼 .

5.

Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi pada Sampel Berpasangan

Misalkan 𝑥̅1 , 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel berukuran 𝑛 yang tidak independen serta dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 . Oleh karena sampel tidak independen, maka sampel tersebut dinamakan sampel berpasangan. Perbedaan rata-rata antara kedua sampel berpasangan diberi simbol 𝑑̅ dan perbedaan standar deviasi kedua sampel berpasangan diberi simbol 𝑠𝑑 . Pengujian hipotesis sampel berpasangan dinamakan uji 𝑡 berpasangan. Perbedaan rata-rata berpasangan dapat ditulis sebagai 𝜇1 − 𝜇2 = 𝜇𝐷 . Pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 𝑑0 , 𝐻1 : 𝜇𝐷 ≠ 𝑑0 , dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇𝐷 . Daerah penolakan hipotesis nol (𝐻0 ) adalah jika statistik uji 𝑡=

𝑑̅ − 𝑑0 𝑠𝑑 /√𝑛

,

(2.9)

melebihi 𝑡𝛼/2 atau kurang dari −𝑡𝛼/2 , derajat bebas 𝑛 − 1. Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1 : 𝜇𝐷 < 𝑑0 , daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 < −𝑡𝛼 . Sedangkan jika 𝐻1 : 𝜇𝐷 > 𝑑0, maka daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 > 𝑡𝛼 .


BAB III EFFECT SIZE COHEN Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa kritik mengenai uji signifikansi hipotesis nol. Kritikan itulah yang mengakibatkan harus adanya tambahan informasi serta interpretasi lebih lanjut pada hasil penarikan kesimpulan. Selain itu, pada bab ini juga akan dibahas mengenai pengertian effect size, macam-macam effect size, effect size pada perbedaan rata-rata populasi dan selang kepercayaan pada effect size perbedaan rata-rata populasi.

A. Dari Uji Signifikansi Hipotesis Nol ke Effect Size Pengujian hipotesis statistik atau dikenal dengan uji signifikansi hipotesis nol selalu berhubungan dengan proses penarikan kesimpulan yang hasilnya diberlakukan untuk populasi. Pada bab II telah dibahas proses penarikan kesimpulan dengan menggunakan uji signifikansi hipotesis nol. Proses penarikan kesimpulan yang merupakan tujuan utama statistika inferensial juga telah dibahas pada bab II. Ada dua sisi pendekatan statistika inferensial, yaitu negatif dan positif. Negatifnya adalah kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol dan positifnya adalah keuntungan dalam pendugaan statistik. Kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol pada suatu kasus berikut: Cumming (2012) mengevaluasi dua studi yang dilakukan oleh Lucky dan Noluck di mana keduanya menguji percobaan efektivitas terapi baru dan terapi lama pada penyakit insomnia. Lucky menggunakan dua kelompok independen yang masingmasing berukuran 𝑛 = 22 dan Noluck menggunakan dua kelompok yang berbeda dari Lucky dengan ukuran sampel masing-masing kelompok adalah 𝑛 = 18. Masing-masing studi melaporkan perbedaan antara rata-rata untuk percobaan baru dan percobaan lama. Lucky menemukan bahwa percobaan baru menunjukkan hasil yang signifikan secara statistik dibanding percobaan lama. Hasil yang

90


didapatkan Lucky adalah 𝑥̅ (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 3.61, 𝑆𝐷 (standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 6.97, statistik uji 𝑡 dengan derajat bebas 42 atau ditulis 𝑡(42) = 2.43 dan nilai 𝑃 = 0.02. Noluck menemukan tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan secara statistik antara dua rata-rata percobaan dengan 𝑥̅ (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 2.23, 𝑆𝐷 (standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 7.59, statistik uji 𝑡 dengan derajat bebas 34 atau ditulis 𝑡(34) = 1.25 dan nilai 𝑃 = 0.22. Dari kasus di atas, uji signifikansi hipotesis nol memberikan hasil yang inkonsisten. Studi yang dilakukan Lucky menunjukkan ada perbedaan yang signifikan sedangkan Noluck tidak. Hal ini menunjukkan adanya konflik antara Lucky dan Noluck, sehingga tidak dapat disimpulkan apakah percobaan baru efektif atau tidak. Perlu adanya pemeriksaan lebih lanjut untuk mencari tahu mengapa efek ditemukan pada satu studi dan lainnya tidak. Dengan kata lain, penelitian lebih lanjut dibutuhkan untuk menginvestigasi mengapa percobaan bekerja di beberapa kasus, tetapi tidak dengan kasus yang lain. Hasil studi yang dilakukan Lucky dan Noluck dapat dilihat pada gambar 3.1. Gambar 3.1 dapat dibentuk dengan menggunakan selang kepercayaan 95% pada pertidaksamaan (2.3) dan notasi 𝑥̅ sebagai perbedaan rata-rata percobaan. Kedua hasil berada pada daerah yang sama dan ukuran perbedaan rata-rata cukup serupa dalam dua studi (Lucky dan Noluck). Kedua hasil juga menyediakan bukti yang cukup kuat bahwa percobaan efektif. Terlebih, perbedaan rata-rata yang positif mengindikasikan keuntungan bagi percobaan baru. Lucky Noluck -2

0

2 2.23

3.61 4

6

8

𝑥̅

Gambar 3.1 Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia (Percobaan Baru Dikurangi Percobaan Lama) Studi Lucky dan Noluck dengan Selang Kepercayaan 95%.


Selang kepercayaan menunjukkan rentang nilai yang masuk akal untuk parameter populasi yang diperkirakan. Nilai-nilai di luar selang kepercayaan relatif tidak masuk akal bagi parameter populasi yang diperkirakan. Setiap nilai dalam selang kepercayaan cukup bisa menjadi nilai sebenarnya, sehingga selang kepercayaan yang lebih pendek memberikan nilai lebih baik. Pada bab II telah dibahas hubungan yang erat antara uji signifikansi hipotesis nol dengan selang kepercayaan. Jika nol berada di dalam selang kepercayaan, maka nol adalah nilai yang menunjukkan adanya perbedaan rata-rata percobaan. Sebaliknya, jika nol di luar selang kepercayaan, maka tidak ada ratarata percobaan. Pada gambar 3.1 terlihat bahwa selang kepercayaan Lucky tidak memuat nol. Hal ini mengindikasikan hasil percobaan yang signifikan secara statistik. Selang kepercayaan Noluck yang memuat nol mengindikasikan hasil percobaan tidak signifikan secara statistik. Jadi, selang kepercayaan dapat dengan mudah diterapkan dalam uji signifikansi hipotesis nol.

Kritikan Cumming (2012) terhadap kasus Lucky dan Noluck juga memperlihatkan bahwa uji signifikansi hipotesis nol memiliki keterbatasan pada hasil pengujiannya. Kirk (1996) menyatakan keterbatasan uji signifikansi hipotesis nol adalah sebagai berikut: a. Uji signifikansi hipotesis nol tidak cukup menjawab pertanyaan penelitian. b. Uji signifikansi hipotesis nol bergantung pada ukuran sampel. Seringkali dalam suatu penelitian, peneliti tidak hanya melihat apakah ada perbedaan atau korelasi di populasi (signifikan atau tidak), tetapi peneliti ingin mendapat informasi mengenai apakah korelasi yang diperoleh itu besar ataupun perbedaan rata-rata antar kelompok kecil. Misalnya, peneliti ingin melakukan evaluasi efek audio kaset pada peningkatan minat belajar siswa dengan pre-test dan post-test. Skor rata-rata pre-test dari 100 siswa adalah 84 dan skor rata-rata post-test adalah 85. Meskipun perbedaan skor secara statistik signifikan, perbedaannya sangat kecil dan tidak dapat dipastikan adanya peningkatan minat


belajar yang berarti. Hal ini adalah salah satu contoh pernyataan Kirk (1996) butir (a). Pernyataan Kirk (1996) butir (b) diperjelas oleh Field dan Hole (2003) yang menyatakan

bahwa

perbedaan

trivial

dapat

menjadi

signifikan

(dan

diinterpretasikan penting) jika sampel cukup besar, konversnya, besar dan pentingnya perbedaan dapat menjadi tidak signifikan (dan diinterpretasikan trivial) pada sampel kecil. Hal tersebut diperlihatkan pada kasus Lucky dengan sampel kedua grupnya berukuran 44 dan perbedaan rata-rata kedua sampel adalah 3.61 sedangkan Noluck dengan sampel untuk kedua grupnya berukuran 36 dan perbedaan rata-rata sampel adalah 2.23. Lucky menemukan hasil studi yang signifikan sedangkan Noluck tidak. Jelas bahwa ukuran sampel mempengaruhi hasil percobaan pada studi yang sama. Penentuan nilai 𝑃 dengan tingkat 𝛼 = 0.05 mengarahkan peneliti pada kesimpulan berbeda dari efek percobaan yang sama (Kirk,1996). Peneliti yang menemukan efek percobaan yaitu tidak signifikan dengan menggunakan sampel acak 100 orang, mungkin juga menemukan efek signifikan secara statistik dengan menambahkan sampel lebih dari 100 orang. Meskipun efek percobaan relatif identik, penambahan jumlah sampel dapat mempengaruhi hasil uji signifikansi hipotesis nol. Ada beberapa hal yang dapat dan tidak dapat disimpulkan dari uji signifikansi statistik, yaitu a. Pentingnya efek. Pengujian hipotesis melibatkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif, menyesuaikan model statistik untuk data serta menarik kesimpulan berdasarkan statistik uji. Jika probabilitas nilai statistik uji kurang dari 0.05, maka hipotesis alternatif diterima. Ini berarti bahwa ada efek di populasi ataupun dengan kata lain “ada perbedaan yang signifikan dari…”. Pengertian signifikan di sini bukan berarti bahwa efek tersebut penting. Pentingnya efek menandakan bahwa seberapa besar perbedaan yang


dihasilkan pada percobaan. Efek yang sangat kecil dan tidak penting dapat berubah menjadi signifikan hanya karena sejumlah besar sampel telah digunakan dalam percobaan. b. Uji signifikansi tidak logis Uji signifikansi hipotesis nol didasarkan pada penalaran probabilistik yang sangat

membatasi

apa

yang

ingin

disimpulkan.

Cohen

(1994)

menunjukkan bahwa penalaran formal bergantung pada pernyataan awal dari fakta, diikuti oleh pernyataan tentang keadaan sekarang dan penarikan kesimpulan. Silogisme dari Field (2005) menggambarkan pernyataan Cohen: Premis 1:

Jika seorang pria tidak mempunyai lengan, maka dia tidak dapat bermain gitar.

Premis 2:

Pria tersebut bermain gitar.

Kesimpulan: Pria tersebut mempunyai lengan. Silogisme dimulai dengan pernyataan fakta yang memungkinkan kesimpulan akhir yang dicapai. Bagaimanapun, hipotesis nol tidak direpresentasikan dengan cara seperti itu karena hipotesis didasarkan pada probabilitas. Silogisme yang sebanding dengan hipotesis nol adalah: Premis 1:

Jika hipotesis nol benar, maka nilai statistik uji ini 𝑡= tidak terjadi.

Premis 2:

Nilai statistik uji terjadi.

Kesimpulan: Hipotesis nol salah.

𝑥̅ − 𝜇 𝑠/√𝑛


Field (2005) mengambil contoh gitar untuk silogisme yang sebanding dengan hipotesis nol: Premis 1:

Jika seorang pria bermain gitar, maka dia mungkin tidak bermain untuk band Fugazi.

Premis 2:

Guy Picciotto bermain untuk band Fugazi.

Kesimpulan: Guy Picciotto mungkin tidak bermain gitar. Silogisme di atas jelas tidak logis karena kesimpulannya salah, jika faktanya adalah Guy Picciotto bermain gitar. Hal ini menggambarkan suatu kekeliruan umum yang terjadi dalam pengujian hipotesis. Bahkan, dengan uji signifikansi tidak banyak yang dapat dikatakan tentang hipotesis nol. Saat ini, tidak ada pengganti yang jelas untuk uji signifikansi hipotesis nol. Keterbatasan uji signifikansi hipotesis nol serta tidak adanya pengganti yang jelas sehingga perlu adanya tambahan informasi bagi pengujian. Wilkinson Task Force (1999) merekomendasikan penggunaan effect size sebagai tambahan untuk uji signifikansi hipotesis nol.

Definisi 3.1.1. Effect size merupakan ukuran signifikansi praktis hasil penelitian yang berupa ukuran besarnya korelasi/perbedaan/efek dari suatu variabel pada variabel lain.

Perlu dipahami bahwa effect size bukanlah uji signifikansi dan uji signifikansi bukanlah effect size. Meskipun effect size dapat diturunkan dari hasil uji signifikansi dan besarnya effect size mempengaruhi kemungkinan menemukan hasil yang signifikan, keduanya perlu dibedakan. Ketika hasil uji signifikansi hipotesis nol menyatakan ada suatu perbedaan signifikan secara statistik, hal ini


tidak berarti bahwa perbedaan itu besar, penting atau bermakna dalam membuat keputusan. Untuk mengetahui suatu perbedaan tidak hanya bermakna secara statistik tetapi juga penting/berarti, dibutuhkan perhitungan effect size. Nilai P pada uji signifikansi dapat menginformasikan apakah ada efek atau tidak, tetapi nilai P tidak akan mengungkapkan besarnya efek tersebut. Effect size yang akan menginformasikan apakah perbedaan rata-rata antar kelompok besar atau kecil. Hal ini diperjelas dengan pernyataan Snyder & Lawson (1993), effect size memperkirakan besarnya efek ataupun hubungan antara dua atau lebih variabel. Baik effect size maupun uji signifikansi akan sangat berguna bagi informasi penelitian. Oleh karena itu, dalam pelaporan dan menafsirkan penelitian, effect size dan uji signifikansi (nilai P) adalah hasil yang penting untuk dilaporkan. Dengan kata lain, effect size menjadi pelengkap statistik inferensial seperti nilai P pada uji signifikansi. Konsep effect size telah terlihat dalam bahasa sehari-hari. Misalnya, suatu program penurunan berat badan menyatakan bahwa program tersebut dapat mengurangi berat badan rata-rata 25 pon. Pada kasus ini, 25 pon adalah indikator tuntutan effect size. Contoh lainnya adalah suatu program bimbingan belajar yang menyatakan dapat meningkatkan prestasi sekolah satu peringkat. Peningkatan peringkat ini adalah tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan “effect size mutlak”, perbedaan antara hasil rata-rata dua kelompok tanpa memperhatikan variabilitas/penyebaran dalam satu kelompok. Oleh karena ketiadaan variabilitas ini, pendugaan effect size perlu dilakukan. Seorang peneliti menyatakan bahwa penyembuhan kanker hipertiroid stadium akhir dengan iodium radioaktif dikenal 30% lebih efektif daripada metode lainnya. Indikator 30% tersebut merupakan tuntutan effect size. Suatu lembaga survei menyatakan bahwa 60% penduduk Jakarta lebih memilih menghabiskan waktu akhir pekannya di mall. Indikator 60% tersebut juga merupakan tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan penentuan effect size dalam hal perbedaan proporsi populasi.


Pendugaan effect size sering dibutuhkan sebelum memulai penelitian, misalnya untuk menghitung jumlah subjek penelitian yang mungkin diperlukan agar menghindari kesalahan tipe II. Dengan kata lain, peneliti harus menentukan apakah jumlah subjek penelitian akan cukup untuk memastikan bahwa penelitiannya memiliki kekuatan yang dapat diterima dalam mendukung hipotesis nol. Artinya, jika ada perbedaan yang ditemukan antara kelompok, maka ini merupakan temuan yang benar.

B. Jenis Effect Size Effect size dihitung untuk menggambarkan data dalam sampel dan berpotensi menduga parameter populasi yang sesuai. Jika parameter itu adalah perbedaan rata-rata dua populasi, maka effect size ditentukan oleh seberapa besar perbedaan rata-rata itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan rata-rata konsumsi bensin yang dikeluarkan oleh mesin jenis A dan jenis B. Contoh lainnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan rata-rata kandungan senyawa ortho-fosfor pada lokasi 1 dan lokasi 2. Jika parameternya adalah perbedaan proporsi dua populasi maka effect size ditentukan oleh seberapa besar perbedaan proporsi itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi pemilih kota dan daerah sekitarnya yang menyetujui dibangunnya pabrik kimia. Contoh lainnya adalah untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi kejadian kanker payudara di kota dan desa. Jika parameternya adalah koefisien korelasi maka effect size ditentukan oleh seberapa besar perbedaan itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar kecilnya korelasi/hubungan antara berat dan ukuran dada bayi saat lahir. Jadi, apabila peneliti ingin menjelaskan tentang besarnya perbedaan rata-rata,


proporsi ataupun koefisien korelasi maka istilah yang tepat adalah effect size dan bukan lagi tingkat signifikansi. Menurut Ferguson (2009), effect size dapat dibagi menjadi empat kategori umum: a. Indeks kelompok yang berbeda. Perkiraan ini biasanya mencatat besarnya perbedaan antara dua atau lebih kelompok. Effect size yang umum digunakan adalah Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, Glass’s ∆. b. Indeks kekuatan hubungan. Perkiraan ini biasanya memeriksa besarnya variansi antara dua atau lebih variabel. Effect size yang umum digunakan adalah Pearson 𝑟, 𝑅, 𝑟 parsial, Spearman’s 𝜌, koefisien regresi yang distandarkan (β), 𝑟 2 , Kendall’s tau, Eta-kuadrat (𝜂2 ). c. Perkiraan yang dikoreksi. Effect size yang umum digunakan adalah adjusted 𝑅 2 , Hay’s 𝜔2 , 𝜀 2 . d. Perkiraan risiko. Pengukuran ini membandingkan risiko relatif untuk hasil tertentu antara dua atau lebih kelompok. Pengukuran ini lebih banyak digunakan pada hasil penelitian medis. Effect size yang umum digunakan adalah relative risk (RR) dan odds ratio (OR).

Estimasi yang paling mendasar dan jelas dari effect size adalah ketika menentukan apakah dua kelompok data berbeda. Jika banyak artikel yang melaporkan rata-rata dan perbedaannya, maka effect size mudah untuk dihitung. Perbedaan antara ratarata dalam populasi cukup untuk mengukur effect size dan dapat memberikan estimasi yang berguna dari effect size ketika langkah-langkah yang terlibat bermakna. Pada skripsi ini, pembahasan mengenai efek akan fokus hanya pada perbedaan rata-rata dalam populasi dan ini akan lebih mudah untuk membandingkan efek suatu variabel dari penelitian-penelitian yang menggunakan skala pengukuran berbeda.


Perbedaan Rata-rata Baku Sebelum masuk pada pembahasan indeks kelompok yang berbeda atau lebih dikenal dengan perbedaan rata-rata yang distandardisasi, terlebih dahulu dibahas mengenai perbedaan rata-rata baku. Perbedaan rata-rata baku adalah indeks yang berguna ketika ukuran tersebut bermakna. Dalam hal apapun, perbedaan rata-rata baku dipilih hanya jika perbandingan antar hasil-hasil penelitian menggunakan skala yang sama. Jika perbandingan penelitian yang satu dengan lainnya menggunakan instrumen yang berbeda (seperti tes psikologi), maka untuk menilai hasilnya, skala pengukuran akan berbeda dari penelitian ke penelitian lainnya dan itu tidak akan bermakna untuk menggabungkan rata-rata baku. Misalkan suatu penelitian melaporkan rata-rata untuk dua kelompok, yaitu kelompok kontrol dan kelompok eksperimen. Kelompok kontrol adalah kelompok yang tidak diberi perlakuan saat penelitian. Kelompok eksperimen adalah kelompok yang diberi perlakuan berupa variabel bebas. Rata-rata populasi untuk kedua kelompok, yaitu 𝜇1 dan 𝜇2 . Perbedaan rata-rata populasi diberikan oleh ⊿ = 𝜇1 − 𝜇2 . Misalkan 𝑋̅1 dan 𝑋̅2 adalah rata-rata sampel dari dua kelompok yang berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 . Pendugaan untuk ⊿ adalah perbedaan pada rata-rata sampelnya, yaitu 𝐷 = 𝑋̅1 − 𝑋̅2 . Perlu diketahui bahwa simbol 𝐷 digunakan untuk perbedaan rata-rata baku, sedangkan simbol 𝑑 digunakan untuk perbedaan rata-rata yang distandardisasi. Perbedaan rata-rata yang distandardisasi akan dibahas pada subbab berikutnya. Standar deviasi sampel untuk kedua kelompok adalah 𝑆1 dan 𝑆2 . Jika kedua standar deviasi populasi diasumsikan sama, 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎, maka variansi 𝐷 adalah 𝑉𝐷 =

𝑛1 + 𝑛2 2 𝑆 , 𝑛1 𝑛2 𝑝


dengan 𝑆𝑝 merupakan standar deviasi sampel gabungan yang diperoleh pada persamaan (2.2), (𝑛1 − 1)𝑆1 2 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑆𝑝 = √ . 𝑛1 + 𝑛2 − 2 Jika standar deviasi kedua populasi diasumsikan tidak sama, maka variansi 𝐷 adalah 𝑉𝐷 =

𝑆1 2 𝑆2 2 + . 𝑛1 𝑛2

Pada semua kasus, standar error 𝐷 diberikan oleh 𝑆𝐸𝐷 = √𝑉𝐷 . Sebagai contoh, misalkan suatu penelitian mempunyai rata-rata sampel 𝑋̅1 = 103, 𝑋̅2 = 100, standar deviasi sampel 𝑆1 = 5.5, 𝑆2 = 4.5 dan ukuran kedua sampel adalah 50. Perbedaan rata-rata baku adalah 𝐷 = 103 − 100 = 3. Jika diasumsikan 𝜎1 = 𝜎2 , maka standar deviasi gabungan dalam kelompok adalah

𝑆𝑝 = √

(50 − 1)(5.5)2 + (50 − 1)(4.5)2 = 5.0249. 50 + 50 − 2

Variansi dan standar error diberikan oleh 𝑉𝐷 =

50 + 50 (5.0249)2 = 1.01 (50)(50)

dan 𝑆𝐸𝐷 = √1.01 = 1.005.


Jika asumsinya adalah kedua standar deviasi populasi tidak sama, maka variansi dan standar error 𝐷 diberikan oleh 𝑉𝐷 =

5.52 4.52 + = 1.01 50 50

dan 𝑆𝐸𝐷 = √1.01 = 1.005. Terlihat bahwa rumus untuk kedua variansi 𝐷, baik untuk standar deviasi kedua populasinya sama ataupun keduanya tidak sama, memberikan hasil yang sama pada contoh di atas. Hal ini terjadi hanya jika ukuran sampel dan/atau estimasi variansi adalah sama pada kedua kelompok.

C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasi Perbedaan rata-rata baku menjadi dasar bagi effect size, khususnya indeks perbedaan kelompok. Jika perbandingan penelitian yang satu dengan lainnya dilakukan dengan menggunakan skala pengukuran yang berbeda, maka perbedaan rata-rata baku perlu distandardisasi menggunakan penyebut yang tidak dipengaruhi oleh besarnya ukuran sampel, yaitu standar deviasi populasi. Ini dilakukan untuk membuat indeks yang akan sebanding di penelitian. Indeks inilah yang dinamakan perbedaan rata-rata yang distandardisasi. Perbedaan rata-rata yang distandardisasi adalah ukuran yang melengkapi distribusi. Hal ini berarti bahwa perbedaan rata-rata yang distandarkan mencerminkan perbedaan antara distribusi dalam dua kelompok dan bagaimana masing-masing kelompok mewakili cluster yang berbeda dari nilai, meskipun tidak mengukur persis hasil yang sama. Keluarga indeks perbedaan rata-rata yang distandarkan merepresentasikan besarnya perbedaan antara rata-rata dua kelompok sebagai fungsi dari standar deviasi kelompok. Santoso (2010) mengutip pernyataan Olejnic dan Algina, yaitu perbedaan rata-rata yang distandardisasi dilambangkan dengan simbol 𝑑 untuk analisis univariat dan 𝐷 (akar dari


Mahalanobis 𝐷 2 ) untuk analisis multivariat atau dilambangkan secara umum dengan simbol 𝛿. Ada tiga indeks yang umum digunakan pada perbedaan rata-rata yang distandardisasi, yaitu Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, dan indeks Glass. Pada skripsi ini hanya akan dibahas indeks Cohen’s 𝑑 yang secara umum lebih baik.

1. Cohen’s 𝒅 Cohen’s 𝑑 adalah ekspresi statistik yang cukup sederhana, yaitu perbedaan antara dua hasil kelompok dibagi standar deviasi populasi. Kegunaan Cohen’s 𝑑 adalah dapat terbantunya peneliti untuk menghitung, menafsirkan dan menghargai effect size. Sebagai contoh, peneliti menemukan latihan berhitung yang dapat meningkatkan nilai rata-rata di SD A sebesar 5 poin pada saat diadakannya tes. Ini memungkinkan bahwa orang tertentu saja yang dapat memahami apa artinya 5 poin. Peningkatan 5 poin tersebut sulit untuk diinterpretasikan karena maknanya terlalu luas. Jika ada tabel konversi yang dilengkapi bersama hasil tes, maka lima poin dapat diterjemahkan dengan mudah. Oleh karena itu, peneliti dapat melakukan standardisasi pada perbedaan nilai rata-rata tes tersebut. Perubahan pada tes tersebut dapat diamati sebagai 𝑑 = 15/5 = 0.33 atau sepertiga dari standar deviasi. Ada berbagai pendekatan untuk menginterpretasikan nilai 𝑑 = 0.33. Salah satunya adalah nilai 𝑑 tersebut dibandingkan dengan nilai referensi yang diberikan Cohen (1988), yaitu a. 0 < 𝑑 ≤ 0.2. (efek kecil) b. 0.2 < 𝑑 ≤ 0.5. (efek sedang) c. 0.5 < 𝑑 ≤ 0.8. (efek besar) d. 𝑑 > 0.8. (efek sangat besar) Jika effect size besar, maka ini berarti perbedaan rata-rata antar kelompok besar. Jika effect size sedang, maka ini berarti perbedaan rata-rata antara kelompok satu dengan lainnya tidak besar, tidak juga kecil. Nilai besar kecil tersebut tergantung


pada peneliti untuk membuat penilaiannya sendiri dengan mempertimbangkan semua keadaan, termasuk melihat selang kepercayaan pada penduga titik. Nilai yang dipakai untuk standardisasi atau penstandar (standardizer) pada Cohen’s 𝑑 adalah standar deviasi yang terpilih sebagai unit pengukuran 𝑑. Bagilah effect size di satuan asli (perbedaan rata-rata baku) oleh penstandar untuk mendapatkan 𝑑. Hal ini penting untuk memahami 𝑑 sebagai rasio dari efek yang diamati dibagi dengan standar deviasi. Pembilang dan penyebut dinyatakan dalam satuan asli dan keduanya membutuhkan perhatian interpretatif. Nilai 𝑑 jelas sensitif terhadap pembilang tetapi nilai 𝑑 juga sangat sensitif terhadap penyebutnya, yaitu standar deviasi yang digunakan sebagai penstandar (standardizer). Pada suatu penelitian, penggunaan referensi Cohen’s 𝑑 yang berlebihan dapat menyebabkan peneliti menganggap efek yang besar itu penting sedangkan efek yang kecil tidaklah penting. Oleh karena itu, peneliti dapat menjadikan acuan penelitian sebelumnya untuk menghindari kesalahan penilaian hasil penelitian. Sangat disayangkan juga bahwa nilai 𝑑 kadang-kadang dilaporkan tapi nilai tersebut tidak dijelaskan lebih lanjut. Sangat penting untuk melaporkan 𝑑, menjelaskan standardizer dan interpretasikan nilai 𝑑 tersebut. Sebelum dibahas Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi maupun dua populasi, terlebih dahulu didefinisikan 𝛿 sebagai effect size populasi dan 𝑑 sebagai effect size sampel untuk menduga 𝛿. Misalkan suatu studi menggunakan dua kelompok independen yang ingin membandingkan rata-rata keduanya. Rata-rata dan standar deviasi populasi kelompok pertama adalah 𝜇1 dan 𝜎1 . Rata-rata dan standar deviasi populasi kelompok lainnya adalah 𝜇2 dan 𝜎2 . Jika standar deviasi kedua populasi adalah sama, maka parameter perbedaan rata-rata populasi yang distandardisasi adalah 𝛿=

𝜇1 − 𝜇2 . 𝜎


Simbol 𝛿 dapat juga dipandang sebagai parameter effect size untuk analisis multivariat. Penduga titik untuk parameter 𝛿 didefinisikan sebagai 𝑑=

𝑥̅2 − 𝑥̅1 . 𝑠

dengan 𝑥̅1 dan 𝑥̅ 2 adalah rata-rata sampel kelompok 1 dan 2, 𝑠 adalah standar deviasi sampel.

a.

Effect Size Cohen’s d pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Satu Populasi

Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi adalah 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 , dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇. Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji 𝑡 sampel tunggal yang statistik uji adalah 𝑡=

𝑥̅ − 𝜇0 𝑠/√𝑛

,

dengan 𝑥̅ adalah rata-rata sampel, 𝑠 adalah standar deviasi sampel dan 𝑛 adalah ukuran sampel. Standar deviasi (𝑠) yang digunakan untuk menghitung statistik uji merupakan standardizer yang dipilih untuk menghitung effect size 𝑑, dengan 𝑑=

𝑡 √𝑛

.

Akibatnya, rumus umum Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi di bawah ini mirip dengan nilai 𝑧, 𝑑=

𝑥̅ − 𝜇0 . 𝑠


Ada hubungan yang berkaitan antara statistik uji dan rumus Cohen’s 𝑑. Statistik uji mengukur seberapa jauh 𝑥̅ dari 𝜇0 dalam satuan standar error 𝑠/√𝑛, sedangkan 𝑑 mengukur seberapa jauh 𝑥̅ dari 𝜇0 dalam satuan standar deviasi 𝑠. Dengan kata lain, 𝑑 ternyata memiliki distribusi yang sama dengan 𝑡.

Contoh 3.2.1. Tabel 3.1 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 20 siswa dipilih secara acak. Siswa yang ditugaskan untuk menghabiskan waktu siang harinya dengan membaca buku di perpustakaan diberi nama kondisi Kontrol, sedangkan siswa yang membaca buku di kebun botani diberi nama kondisi Eksperimen. Asumsikan cuaca dalam keadaan cerah dan sore harinya masing-masing siswa menyelesaikan ukuran kenyamanan yang dirasakannya. Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independen Kontrol (K)

Eksperimen (E)

34

66

54

38

33

35

44

55

45

48

53

39

37

65

26

32

38

57

58

41

Rata-rata

𝑥̅𝐾 = 42.2

𝑥̅𝐸 = 47.6

SD

𝑠𝐾 = 10.41

𝑠𝐸 = 12.46

Sd gabungan

𝑠𝑝 = 11.48


Contoh ini adalah eksperimen dua kelompok, tetapi contoh ini hanya mempertimbangkan kelompok kontrol. Percobaan ini dilakukan untuk menguji apakah ukuran kenyamanan yang digunakan adalah skala dengan rata-rata 40 orang di suatu negara, sehingga 𝜇0 = 40. Effect size pada percobaan kelompok kontrol adalah 𝑑=

42.2 − 40 = 0.21. 10.41

Jika percobaan ini melaporkan standar deviasi populasi dalam referensi yang tepat, maka standar deviasi (𝜎) yang akan digunakan. Namun, pada contoh ini, nilai seperti itu tidak ada sehingga standar deviasi sampel dari kelompok kontrol yang digunakan sebagai standardizer. Oleh karena jumlah sampel yang digunakan hanya 10, maka standar deviasi sampel menunjukkan pendugaan yang tidak tepat. Akibatnya, perhitungan selang kepercayaan pada 𝑑 diperlukan untuk menemukan seberapa tidak tepat pendugaan tersebut. Effect size 𝑑 sebesar 0.21 menunjukkan bahwa rata-rata kelompok kontrol, 42.2, hanya berbeda sedikit dari rata-rata populasi yang bernilai 40.

b.

Effect Size Cohen’s 𝒅 pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi

Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 . Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji 𝑡 yang mengasumsikan homogenitas variansi (kedua variansi populasi sama) serta statistik ujinya adalah 𝑡=

𝑥̅2 − 𝑥̅1 1

1

𝑠𝑝 √𝑛 + 𝑛 1

dengan

2

,


(𝑛1 − 1)𝑠1 2 + (𝑛2 − 1)𝑠2 2 √ 𝑠𝑝 = , 𝑛1 + 𝑛2 − 2

(3.1)

dan 𝑥̅1 dan 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel kedua kelompok, 𝑠𝑝 adalah standar deviasi sampel gabungan pada persamaan (2.2), 𝑛1 dan 𝑛2 adalah ukuran sampel masing-masing kelompok. Secara umum, Keppel dan Wickens (2004) menyatakan bahwa standar deviasi 𝑘 sampel yang digabungkan adalah 𝑘

𝑠𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 = √∑ 𝑖=1

(𝑛𝑗 − 1)𝑠 2𝑗 (𝑛𝑗 − 1)

.

Asumsikan 𝑠𝑝 = 𝑠 (standar deviasi sampel gabungan), maka standardizer yang dipilih untuk menghitung effect size 𝑑 adalah standar deviasi sampel yang digabungkan (𝑠𝑝 ), sehingga

𝑑 = 𝑡√

1 1 + . 𝑛1 𝑛2

(3.2)

Akibatnya, rumus umum Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah 𝑑=

𝑥̅2 − 𝑥̅1 , 𝑠

dengan (𝑛1 − 1)𝑠1 2 + (𝑛2 − 1)𝑠2 2 𝑠=√ , 𝑛1 + 𝑛2 Terkadang 𝑥̅1 − 𝑥̅2 digunakan daripada 𝑥̅2 − 𝑥̅1 , tetapi ini tergantung pilihan peneliti. Peneliti harus konsisten dan menandai perbedaan arah rata-rata kedua


kelompok sebagai nilai yang positif dari 𝑑. Misalnya, kelompok kontrol vs eksperimen sebagai grup 1 dan 2. Oleh karena distribusi sampling dari 𝑡 adalah distribusi non-sentral 𝑡 dan 𝑑 dapat dinyatakan pada persamaan (3.2), maka berdasarkan definisi 2.2.2 effect size 𝑑 juga berdistribusi non-sentral 𝑡. Inilah hubungan yang erat antara 𝑑 dan 𝑡. Hubungan yang erat tersebut juga tak lepas dari pengaruh standardizer. Standardizer akan berperan penting untuk memberikan estimasi yang akurat. Terlebih, jika kelompok kontrol dan eksperimen memiliki variansi populasi yang sama (asumsi homogenitas variansi dipenuhi), maka 𝑠𝑝 adalah pilihan terbaik bagi standardizer. Cumming (2012) menyatakan bahwa pilihan yang paling umum sebagai standardizer adalah 𝑠𝑝 dan ini dapat dijadikan rekomendasi, kecuali ada alasan yang baik untuk memilih beberapa pilihan lain. Dalam jurnalnya, Santoso (2010) menyatakan bahwa jika asumsi homogenitas

variansi

tidak

dipenuhi,

maka

perbedaan

rata-rata

yang

distandardisasi tidak dihitung menggunakan 𝑠𝑝 , melainkan beberapa alternatif lain yaitu: a. Standar deviasi salah satu kelompok yang dapat dianggap sebagai acuan. Dalam penelitian eksperimental, biasanya kelompok kontrol yang dianggap sebagai acuan. b. Standar deviasi gabungan (𝑠𝑝 ) dari kelompok yang sedang dibandingkan, bukan dari semua kelompok dalam penelitian.

Pada contoh 3.2.1, jika diasumsikan kedua kelompok memiliki variansi populasi yang sama, maka effect size 𝑑 adalah 𝑑=

𝑥̅𝐸 − 𝑥̅𝐾 47.6 − 42.2 = = 0.47. 𝑠𝑝 11.48

Nilai 𝑑 tersebut menunjukkan bahwa kunjungan ke kebun botani mendorong peningkatan ukuran kenyamanan dengan efek sedang. Sebagai perbandingan,


standar deviasi kelompok kontrol (𝑠𝐾 ) dipilih sebagai standardizer, sehingga effect size 𝑑 adalah 𝑑=

𝑥̅𝐸 − 𝑥̅𝐾 47.6 − 42.2 = = 0.52. 𝑠𝐾 10.41

Kedua nilai 𝑑 yang dihitung menggunakan effect size yang sama memperlihatkan perbedaan pada standardizernya. Pada kasus ini, pemilihan 𝑠𝑝 adalah pendugaan yang tepat bagi standar deviasi populasi. Hal ini terjadi karena 𝑠𝑝 memiliki derajat bebas lebih besar daripada 𝑠𝐾 . Pada tabel 3.1, 𝑠𝑝 didasarkan pada derajat bebas 𝑑𝑓 = 𝑛𝐾 + 𝑛𝐸 − 2 = 18, sedangkan 𝑠𝐾 didasarkan pada derajat bebas 𝑑𝑓 = 𝑛𝐾 − 1 = 9, dengan 𝑛𝐾 dan 𝑛𝐸 adalah ukuran sampel kedua kelompok.

Hedges dan Olkin (1985) mengembangkan effect size 𝑑𝑢𝑛𝑏 (Hedges’s 𝑔) untuk memperbaiki effect size 𝑑. Effect size 𝑑𝑢𝑛𝑏 tersebut adalah 𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑,

(3.3)

dengan 𝐽=1−

3 4𝑑𝑓 − 1

(3.4)

adalah faktor koreksi 𝑑, effect size 𝑑 adalah perbedaan rata-rata yang penstandarnya (𝑠𝑝 ) merupakan sampel gabungan (persamaan 3.1) dan 𝑑𝑓 adalah derajat bebas 𝑛1 + 𝑛2 − 2. Variansi dan standar error dari 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah 𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽2 x 𝑉𝑑 ,


𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏 = √𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 , dengan 𝐽 adalah faktor koreksi pada persamaan (3.4) dan 𝑉𝑑 =

c.

𝑛1 + 𝑛2 𝑑2 + . 𝑛1 𝑛2 2(𝑛1 + 𝑛2 )

(3.5)

Effect Size Cohen’s 𝒅 pada Observasi Berpasangan

Misalkan 𝑥̅1 , 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel berukuran 𝑛 yang tidak independen serta dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 , 𝜇2 . Jika perbedaan rata-rata sampel berpasangan (lihat bab II.F.5) adalah 𝑥̅1 − 𝑥̅ 2 = 𝑑̅ , maka pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0, 𝐻1 : 𝜇𝐷 ≠ 0, dengan 𝜇𝐷 adalah perbedaan rata-rata populasi berpasangan. Pada persamaan (2.9), statistik uji pada pengujian hipotesis sampel berpasangan adalah 𝑡=

𝑑̅ 𝑠𝑑 /√𝑛

,

dengan 𝑑̅ adalah perbedaan rata-rata sampel berpasangan, 𝑠𝑑 adalah standar deviasi sampel berpasangan dan 𝑛 adalah ukuran sampel yang tidak independen. Jika 𝑑̅ dapat dinyatakan sebagai selisih antara rata-rata Posttest dengan Pretest, maka ada beberapa pilihan standar deviasi yang akan digunakan sebagai standardizer, yaitu a. Standar deviasi pretest (𝑠𝑝𝑟𝑒 ). Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai


𝑑=

𝑑̅ 𝑠𝑝𝑟𝑒

.

b. Standar deviasi dari rata-rata antara 𝑠𝑝𝑟𝑒 dan 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 yang diberikan oleh 𝑠𝑎𝑣

𝑠𝑝𝑟𝑒 2 + 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 2 √ = . 2

(3.6)

Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai 𝑑=

𝑑̅ . 𝑠𝑎𝑣

(3.7)

c. Standar deviasi dari selisih antara Posttest dengan Pretest (𝑠𝐷 ). Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai 𝑑=

𝑑̅ . 𝑠𝑑

Cumming (2012) menyatakan bahwa pendugaan standar deviasi terbaik untuk desain berpasangan dan juga sebagai pilihan standardizer terbaik adalah 𝑠𝑎𝑣 . Penggunaan 𝑠𝑎𝑣 untuk 𝑑, daripada 𝑠𝑑 menggambarkan bahwa effect size 𝑑 sebanding dengan 𝑑 yang dihitung pada pengujian satu kelompok atau dua kelompok independen. Dengan kata lain, 𝑠𝑑 diperlukan untuk uji 𝑡 sampel berpasangan, tetapi 𝑠𝑎𝑣 akan berguna bagi effect size 𝑑. Penggunaan dua standar deviasi yang berbeda untuk dua tujuan berarti bahwa tidak ada hubungan antara 𝑑 dan uji 𝑡 dalam desain berpasangan.

Contoh 3.2.2. Tabel 3.2 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 10 siswa dipilih secara acak dengan 𝑑̅ adalah rata-rata Posttest-Pretest dan 𝑠𝑑 adalah standar deviasi nilai Posttest-Pretest. Nilai kenyamanan siswa diukur sebelum membaca buku di kebun botani sebagai data Pretest. Nilai kenyamanan siswa juga diukur setelah membaca buku sebagai data Posttest.


Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan Sesudah Percobaan Selisih Peserta

Pretest

Posttest (Post-Pre)

1

43

51

8

2

28

33

5

3

54

58

4

4

36

42

6

5

31

39

8

6

48

45

-3

7

50

54

4

8

69

68

-1

9

29

35

6

10

40

44

4

Rata-rata

𝑥̅ 𝑝𝑟𝑒 = 42.8

𝑥̅𝑝𝑜𝑠𝑡 = 46.9

𝑑̅ = 4.1

SD

𝑠𝑝𝑟𝑒 = 12.88

𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 = 10.9

𝑠𝑑 = 3.57

𝑠𝑎𝑣 = 11.93

Salah satu pilihan terbaik untuk mengestimasi variabilitas nilai kenyamanan di populasi adalah 𝑠𝑝𝑟𝑒 , sehingga effect size 𝑑 adalah 𝑑=

𝑑̅ 4.1 = = 0.32. 𝑠𝑝𝑟𝑒 12.88

Jika percobaan diharapkan dapat meningkatkan standar deviasi, mungkin lebih baik untuk menganggap kondisi pretest sebagai dasar dan memilih 𝑠𝑝𝑟𝑒 sebagai standardizer. Namun, 𝑠𝑎𝑣 adalah pilihan yang lebih baik, sehingga


𝑑=

𝑑̅ 4.1 = = 0.34. 𝑠𝑎𝑣 11.93

Pemilihan 𝑠𝑑 sebagai standardizer sangat tidak disarankan karena terlalu sensitif, perhitungan effect size 𝑑 pada contoh ini adalah 𝑑=

𝑑̅ 4.1 = = 1.15. 𝑠𝑑 3.57

2. Selang Kepercayaan pada Effect Size 𝒅 Misalkan pengujian hipotesis adalah 𝐻0 : 𝛿 = 0, 𝐻0 : 𝛿 ≠ 0, dengan 𝛿 adalah parameter perbedaan rata-rata yang distandardisasi. Statistik uji yang digunakan untuk melakukan uji signifikansi adalah 𝑍=

𝑑−𝛿 , 𝑆𝐸𝑑

dengan 𝑑 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi dan 𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑 , 𝑉𝑑 adalah variansi 𝑑 pada persamaan (3.5). Hipotesis nol ditolak jika |𝑍| melebihi 𝑧𝛼/2 . Statistik uji 𝑍 dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿. Oleh karena itu, pembentukan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿 diberikan oleh 𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑍 < 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼. 𝑃 (−𝑧𝛼/2 <

𝑑−𝛿 < 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼. 𝑆𝐸𝑑


𝑃(𝑑 − 𝑧𝛼/2 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2 𝑆𝐸𝑑 ) = 1 − 𝛼. Jadi, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿 adalah 𝑑 − 𝑧𝛼/2 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2 𝑆𝐸𝑑 . Menurut

Hedges

(1985),

aproksimasi

selang

(3.8) kepercayaan

pada

pertidaksamaan (3.8) akan bagus ketika ukuran sampel besar (𝑛 > 10). Oleh karena itu, untuk sampel kecil, selang kepercayaan eksak bagi 𝛿 diperoleh dengan menggunakan definisi 2.2.2. Dengan demikian, berdasarkan definisi 2.2.2, distribusi dari 𝑑 mengikuti distribusi non-sentral 𝑡 dengan parameter non-sentral 𝜇2 − 𝜇1

Δ=

1

.

1

𝜎 √𝑛 + 𝑛 1

2

Hubungan antara 𝛿 dan Δ harus ditentukan terlebih dahulu dan hubungan tersebut akan menjadi statistik uji untuk membentuk selang kepercayaan bagi 𝛿. Oleh karena 𝛿=

𝜇2 − 𝜇1 , 𝜎

maka hubungan antara 𝛿 dan Δ adalah Δ=

𝛿 1

1

.

(3.9)

√𝑛 + 𝑛 1

2

Dengan demikian, statistik uji Δ pada persamaan (3.9) dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿. Pembentukan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿 diberikan oleh 𝑃(−𝑡 ∗ α/2 < Δ < 𝑡 ∗ α/2 ) = 1 − 𝛼.


𝛿

𝑃 −𝑡 ∗ α/2 <

1

1

√𝑛 + 𝑛

(

1

< 𝑡 ∗ α/2

2

= 1 − 𝛼. )

1 1 1 1 𝑃 (−𝑡 ∗ α/2 √ + < 𝛿 < 𝑡 ∗ α/2 √ + ) = 1 − 𝛼. 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 Jadi, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿 adalah 1 1 1 1 −𝑡 ∗ α/2 √ + < 𝛿 < 𝑡 ∗ α/2 √ + , 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 dengan 𝑡 ∗ α/2 adalah parameter non-sentral Δ. Dengan cara yang sama, selang kepercayaan bagi 𝛿=

𝜇1 − 𝜇0 , 𝜎

adalah −𝑡 ∗ α/2 √𝑛 < 𝛿 < 𝑡 ∗ α/2 √𝑛. Selang kepercayaan eksak tersebut berlaku jika ukuran sampel kecil (𝑛 < 10) dan jika ukuran sampel besar, maka aproksimasi selang kepercayaan bagi 𝛿 adalah 𝑑 − 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

< 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2

𝜎 √𝑛

.

(3.10)

Cumming (2012) menjelaskan bahwa penduga selang terbaik untuk 𝛿 adalah selang kepercayaan pada 𝑑. Penduga selang ini berlaku untuk pengujian hipotesis rata-rata satu populasi dan dua populasi.


Nilai 𝑑 dan selang kepercayaan dalam 𝑑 penting untuk dilaporkan dalam penelitian.

Cumming

(2012)

menyatakan

bahwa

Publication

Manual

memberikan contoh dalam pelaporan 𝑑 dan selang kepercayaannya bersamaan dengan hasil uji signifikansi, misalnya “𝑡(177)= 3.51, 𝑃 < 0.001, 𝑑 = 0.65, 95% CI [0.35,0.95]”, dengan 𝑡(177) adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 177, nilai 𝑃 adalah probabilitas menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol benar, CI [0.35,0.95] menunjukkan bahwa ada perbedaan rata-rata yang signifikan. Ketika peneliti ingin melaporkan nilai 𝑑, jangan lupa untuk menjelaskan bagaimana proses perhitungan nilai 𝑑 tersebut.

D. Meta-Analisis pada 𝒅 Pada subbab ini akan dibahas model meta-analisis berupa model efek tetap dan model efek acak, serta perhitungan meta-analisis pada 𝑑. 1.

Model Meta-Analisis Meta-analisis merupakan suatu teknik statistika untuk menggabungkan hasil

2 atau lebih penelitian sejenis sehingga diperoleh paduan data secara kuantitatif. Saat ini meta-analisis paling banyak digunakan untuk uji klinis. Dengan kata lain, meta-analisis merupakan gabungan effect size masing-masing studi yang dilakukan dengan teknik statistika tertentu. Dengan melakukan studi metaanalisis, peneliti dapat mengetahui letak perbedaan hasil masing-masing studi dengan studi lainnya. Meta-analisis dilakukan sebagai upaya untuk mendapatkan sebuah hasil studi yang mempunyai keabsahan yang lebih tinggi secara empiris dan statistik dibandingkan dengan hanya melihat hasil satu penelitian saja. Nindrea (2016) menjelaskan tujuan meta-analisis tidak berbeda dengan jenis penelitian klinis lainnya, yaitu: a. Untuk memperoleh estimasi effect size, yaitu kekuatan hubungan ataupun besarnya perbedaan antar-variabel.


b. Melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi, baik dengan uji hipotesis (nilai 𝑃) maupun estimasi (selang kepercayaan). c. Melakukan kontrol terhadap variabel yang potensial bersifat sebagai perancu agar tidak mengganggu kemaknaan statistik dari hubungan atau perbedaan. Nindrea (2016) juga menjelaskan manfaat studi meta-analisis, yaitu: a. Hasil studi dapat dilakukan generalisasi (inferensial). b. Perbedaan hasil-hasil penelitian terdahulu dapat dikonformasi dan diberikan keputusan mana hasil yang tepat atau lebih kuat. c. Ketepatan hasil studi semakin meningkat dengan semakin banyaknya data atau studi yang masuk ke dalam analisis. Lucky (𝑁 = 44) Noluck (𝑁 = 36) MA

-2

0

2

4

6

8

Perbedaan antara Rata-rata Gambar 3.2 Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck dan Kombinasi Meta-Analisis (MA)

Definisi 3.3.1. Meta-analisis adalah sekumpulan teknik kuantitatif untuk menggabungkan bukti dari sejumlah studi terkait. Bukti sejumlah studi tersebut dan meta-analisis digambarkan melalui gambaran selang kepercayaan yang dinamakan forest plot (Gambar 3.2).


Dalam melakukan meta-analisis, khususnya untuk setiap studi, perlu memasukkan nama studi, rata-rata, standar deviasi dan ukuran sampel. Metaanalisis biasanya juga memberi bobot pada studi yang terkait, yaitu dengan invers dari variansi effect size. Bobot yang besar akan menghasilkan standar deviasi yang kecil, ukuran sampel (𝑛) yang besar dan direpresentasikan oleh kotak besar pada forest plot. Selang kepercayaan yang pendek menunjukkan bahwa bobot yang dihasilkan besar dan sebaliknya, selang kepercayaan yang panjang menunjukkan bobot yang dihasilkan kecil. Penggunaan yang lebih luas dari meta-analisis dapat menggantikan penggunaan uji signifikansi. Keputusan publikasi yang didasarkan pada nilai 𝑃 dalam uji

signifikansi

cenderung mendistorsi

literatur penelitian

yang

dipublikasikan dan menghasilkan bias pada meta-analisis. Dengan kata lain, kemungkinan bahwa hasil uji signifikansi yang tidak signifikan secara statistik yang cenderung tidak dipublikasikan akan mengakibatkan bias pada meta-analisis.

a.

Model Efek Tetap (Fixed Effect Model)

Model meta-analisis yang pertama adalah model efek tetap. Model efek tetap mengasumsikan bahwa ada parameter tunggal dari populasi, misalnya 𝛿, dan semua studi bertujuan mengestimasi 𝛿. Semua faktor yang terlibat dalam effect size adalah sama (homogen) di semua studi. Dengan kata lain, semua studi yang termuat dalam analisis memiliki fungsi yang identik. Tujuan penggunaan model ini adalah mengidentifikasi populasi, bukan menggeneralisasinya ke populasi lain. Karena semua studi berbagi efek yang sama, maka effect size yang diobservasi bervariasi dari studi ke studi. Hal ini disebabkan oleh galat acak yang ada di setiap studi (𝜀𝑖 ). Secara umum, efek 𝑌𝑖 yang diobservasi untuk setiap studi diberikan oleh effect size populasi (𝛿) ditambah sampling error studi tersebut.


Jadi, model efek tetap adalah 𝑌𝑖 = 𝛿 + 𝜀𝑖 , dengan 𝜀𝑖 diasumsikan berdistribusi 𝑁(0, 𝜎̂𝑖 2 ). Rata-rata terbobot perlu dihitung untuk mendapatkan estimasi yang paling tepat dari efek populasi (untuk meminimumkan variansi). Bobot pada masingmasing studi dalam model efek tetap adalah 𝑊𝑖 =

1 , 𝑉𝑌𝑖

(3.11)

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i. Rata-rata terbobot (keseluruhan effect size) dapat dihitung dengan 𝑀=

∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 , ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖

(3.12)

dengan 𝑌𝑖 adalah effect size pada studi ke-i dan 𝑊𝑖 adalah bobot ke-i. Variansi dari keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah bobotnya, atau 𝑉𝑀 =

1

, ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖

(3.13)

dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah 𝑆𝐸𝑀 = √𝑉𝑀 .

(3.14)

Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk estimasi keseluruhan effect size adalah 𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀 ,

(3.15)

𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀 .

(3.16)


Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol yang rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai 𝑍=

𝑀 . 𝑆𝐸𝑀

(3.17)

Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh 𝑃 = 1 − 𝛷(±|𝑍|), dengan tanda ‘+’ digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan, tanda ‘−‘ sebaliknya. Sedangkan nilai 𝑃 untuk uji hipotesis dua arah diberikan oleh 𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)],

(3.18)

dengan 𝛷(|𝑍|) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.

b.

Model Efek Acak (Random Effects Model)

Misalkan studi ke-i mengestimasi 𝛿𝑖 . Model efek acak (random effects model) mengasumsikan bahwa ada parameter populasi 𝛿𝑖 dan setiap studi mengestimasi 𝛿𝑖 berdasarkan sampel secara acak. Model ini juga mengasumsikan bahwa 𝛿𝑖 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝛿 dan standar deviasi 𝜏. Oleh karena itu, parameter 𝜏 2 adalah variansi dari parameter effect size di seluruh populasi studi. Jika 𝜏 2 = 0, maka semua 𝛿𝑖 akan sama dengan 𝛿 dan model meta-analisisnya adalah model efek tetap. Secara umum, tujuan meta-analisis menggunakan model efek acak adalah untuk mengestimasi rata-rata dari distribusi 𝛿𝑖 . Dengan kata lain, tujuan analisis ini adalah untuk menggeneralisasi populasi ke berbagai skenario. Cumming (2012) menyatakan bahwa model efek tetap seharusnya menjadi pilihan rutin, di samping asumsi yang kuat pada modelnya. Jika faktor yang terlibat dalam effect


size adalah homogen di semua studi, maka model ini memberikan hasil yang sama dengan model efek tetap. Efek observasi 𝑌𝑖 untuk model efek acak diberikan oleh 𝑌𝑖 = 𝛿 + 𝑣𝑖 + 𝜀𝑖 , dengan 𝛿 adalah effect size populasi, 𝑣𝑖 ~ 𝑁(0, 𝜏 2 ) adalah jarak antara 𝛿 dengan 𝛿𝑖 dan 𝜀𝑖 adalah sampling errornya. Dengan kata lain, 𝑌𝑖 ~ 𝑁(𝛿, 𝜎𝑖 2 + 𝜏 2 ). Salah satu metode untuk mengestimasi 𝜏 2 adalah metode DerSimonian dan Laird. Penduga dari parameter 𝜏 2 adalah 𝑇2 =

𝑄 − 𝑑𝑓 , 𝐶

(3.19)

untuk 𝑄 > 𝑑𝑓 dengan 𝑘

2

(∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 ) 𝑄 = ∑ 𝑊𝑖 𝑌𝑖 − , ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2

(3.20)

𝑖=1 𝑘

∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2 𝐶 = ∑ 𝑊𝑖 − 𝑘 , ∑𝑖=1 𝑊𝑖

(3.21)

𝑖=1

𝑑𝑓 = 𝑘 − 1.

(3.22)

Catatan: 𝑄 adalah variabilitas antara rata-rata studi (ukuran heterogenitas) dan 𝑘 adalah jumlah studi. Bukti bahwa penduga 𝜏 2 adalah 𝑇 2 dapat dilihat pada buku karangan Chen, D. G dan Peace, K. E (2013) yang berjudul Applied MetaAnalysis with R halaman 53. Statistik 𝑄 digunakan untuk menguji heterogenitas pada uji signifikansi di seluruh studi. Nilai 𝑄 > 𝑑𝑓 mengindikasikan bahwa 𝑇 2 besar, akibatnya, studi heterogen, pendugaan terhadap 𝜏 2 besar dan model efek acak digunakan. Nilai 𝑄 yang dekat dengan 𝑑𝑓 adalah konsisten dengan homogenitas dan model efek tetap. Dengan demikian, heterogenitas berhubungan dengan model efek acak.


Nilai 𝑇 2 tidak dapat menjadi negatif meskipun 𝑄 < 𝑑𝑓. Hal ini disebabkan oleh 𝑇 2 adalah variansi yang harus ditetapkan menjadi nol jika 𝑄 < 𝑑𝑓. Metode lain untuk mengukur heterogenitas adalah perhitungan 𝐼 2 yang diberikan oleh 𝐼2 =

𝑄 − 𝑑𝑓 x 100%. 𝑄

(3.23)

Di sini, 𝐼 2 adalah persentase variabilitas total dari rata-rata studi yang merefleksikan perbedaan populasi di 𝛿𝑖 . Persentase 𝐼 2 yang besar menunjukkan bahwa heterogenitas besar dan 𝐼 2 yang dekat dengan nol menunjukkan homogenitas. Perbedaan antara model efek tetap dan model efek acak adalah pada faktor bobot kedua model. Bobot pada masing-masing studi dalam model efek acak adalah 𝑊𝑖𝑅 =

1 , 𝑉𝑌𝑖𝑅

(3.24)

dengan 𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇 2 ,

(3.25)

dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i dan 𝑇 2 adalah estimasi sampel dari 𝜏 2 . Rata-rata terbobot (keseluruhan effect size) dapat dihitung sebagai 𝑀𝑅 =

∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖𝑅 𝑌𝑖 . ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

(3.26)

Variansi dari keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah bobotnya, atau 𝑉𝑀𝑅 =

1

, ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

(3.27)


dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah 𝑆𝐸𝑀𝑅 = √𝑉𝑀𝑅 .

(3.28)

Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size diestimasi sebagai 𝐿𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 − 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 ,

(3.29)

𝑈𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 + 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 .

(3.30)

Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol yang rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai 𝑍𝑅 =

𝑀𝑅 . 𝑆𝐸𝑀𝑅

(3.31)

Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh 𝑃𝑅 = 1 − 𝛷(±|𝑍𝑅 |), dengan tanda ‘+’ digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan, tanda ‘−‘ sebaliknya. Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis dua arah diberikan oleh 𝑃𝑅 = 2[1 − 𝛷(|𝑍𝑅 |)],

(3.32)

dengan 𝛷(|𝑍𝑅 |) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.

2.

Perhitungan Meta-Analisis pada 𝒅

Ketika melakukan meta-analisis dengan pengukuran effect size yang berbeda, informasi tambahan yang dibutuhkan adalah rumus untuk variansi effect size.


Rumus variansi effect size dideskripsikan sebagai berikut: Misalkan 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah effect size pada persamaan (3.3), maka untuk satu populasi, variansi 𝑑 adalah 1 𝑑𝑖 2 𝑉𝑖 = + , 𝑛𝑖 2𝑛𝑖

(3.33)

dengan 𝑑𝑖 , 𝑛𝑖 , 𝑉𝑖 adalah effect size, ukuran sampel dan variansi 𝑑 untuk studi ke-i. Borenstein et.al. (2009) menyatakan bahwa variansi dari 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk satu populasi independen dan desain berpasangan adalah 𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖 ,

(3.34)

dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi 𝑑 pada persamaan (3.4) dan 𝑉𝑖′ adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i. Berdasarkan persamaan (3.5), variansi 𝑑 untuk dua populasi independen adalah 𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖 𝑑𝑖 2 𝑉𝑖 = + , 𝑛1𝑖 𝑛2𝑖 2(𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖 )

(3.35)

dengan 𝑛1𝑖 dan 𝑛2𝑖 adalah kedua ukuran sampel untuk studi ke-i. Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk dua populasi independen adalah 𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖 ,

(3.36)

dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi 𝑑 ke 𝑑𝑢𝑛𝑏 dan 𝑉𝑖′ adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i.


3. Analisis Sensitifitas Peneliti harus menentukan apakah meta-analisis hanya dilakukan terhadap laporan penelitian yang telah dipublikasi ataukah mencakup pula data yang tidak dipublikasi. Bila meta-analisis hanya dilakukan terhadap laporan penelitian yang telah dipublikasi, mungkin hasilnya tidak optimal, karena terdapatnya bias publikasi. Bias publikasi muncul ketika studi yang termasuk dalam analisis berbeda secara sistematis dari semua penelitian yang seharusnya disertakan. Untuk mengetahui adanya bias publikasi penelitian, maka peneliti dapat membuat grafik funnel plot. Funnel plot adalah plot standar error (SE) studi (sumbu Y) terhadap effect size studi (sumbu X). Studi dengan ukuran sampel yang besar muncul di bagian atas grafik dan umumnya berada di sekitar rata-rata efek. Studi dengan ukuran sampel yang kecil muncul di bagian bawah grafik dan cenderung menyebar di berbagai nilai. Bias publikasi ditandai dengan funnel plot yang bersifat asimetris (Gambar 3.3).

Gambar 3.3 Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acak


Nindrea (2016) menjelaskan bahwa analisis sensitifitas perlu dilakukan untuk menilai apakah satu hasil meta-analisis robust (relatif stabil terhadap perubahan). Beberapa cara untuk melakukan analisis sensitifitas, yaitu a. Membuat perbandingan hasil meta-analisis yang menggunakan model efek acak dan model efek tetap. Jika hasil kedua model sama atau hampir sama, maka kesimpulannya adalah variasi antar-penelitian tidak begitu penting pada set data tersebut. b. Diidentifikasi terdapatnya bias publikasi. Jika memang ada bias publikasi, maka penelitian dengan ukuran sampel terbesar akan memberikan effect size terkecil. Jika hal ini terjadi, maka penelitian dengan ukuran sampel terkecil dicoba untuk tidak diikutsertakan dalam analisis. Bila hasil akhirnya tetap sama atau identik, maka bias publikasi tidak berperan cukup besar dalam meta-analisis.


BAB IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN A. Meta-Analisis pada Data Berpasangan Meta-analisis dilakukan untuk memperoleh estimasi effect size dan melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi. Pada skripsi ini, masalah yang ingin dijawab adalah seberapa besar perbedaan pendapatan pada usaha mikro, kecil dan menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Oleh karena itu, meta-analisis dilakukan pada 5 skripsi jurusan Akuntansi dan Ilmu Pengetahuan Sosial, khususnya untuk data berpasangan yang berjudul: 1. Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil Masyarakat, Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM Kube “Sejahtera” Kecamatan Pundak Kabupaten Bantul. (Prastiwi, 2013) 2. Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro. (Indriastuti, 2012) 3. Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja, Biaya Produksi, dan Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan Menengah di kota Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari Lembaga Keuangan Koperasi. (Adi, 2012) 4. Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi Pengembangan Usaha Kecil di Pedesaan. (Setyawan, 2000) 5. Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi Pendapatan Usaha Kecil. (Sekararum, 2008) Dari kelima skripsi tersebut, pengujian hipotesis dilakukan pada tingkat signifikansi 0.05 dengan tujuan mencari tahu apakah ada perbedaan atau tidak ada perbedaan pendapatan yang signifikan sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Estimasi effect size diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada kelima skripsi. Penggabungan tersebut menggunakan model efek tetap dan model efek acak. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi 3.3.2 (Listing program terdapat pada Lampiran 1 dan 2).

127


1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Selisih Pendapatan Pengujian hipotesis rata-rata selisih pendapatan memiliki syarat normalitas data (lihat bab II.F.1 halaman 70). Langkah-langkah uji Normalitas dengan menggunakan Kolgomorov-Smirnov sebagai berikut 1.

𝐻0 : Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah dan sebelum mendapatkan kredit Normal.

2. 𝐻1 : Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah dan sebelum mendapatkan kredit tidak Normal. 3. 𝛼 = 0.05. 4. Statistik uji berupa deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan distribusi kumulatif Normal. 5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 𝛼. 6. Nilai 𝑃 pada masing-masing skripsi diperlihatkan pada tabel di bawah ini Tabel 4.1 Nilai 𝑃 pada Data Berpasangan dengan Uji KolgomorovSmirnov Skripsi

Nilai 𝑃

1

0.0644 > 𝛼

2

0.3907 > 𝛼

3

0.4683 > 𝛼

4

0.1053 > 𝛼

5

0.3331 > 𝛼

7. Kesimpulan Pada tabel 4.1, nilai 𝑃 pada lima skripsi selalu lebih besar dari 𝛼. Oleh karena itu, kesimpulannya adalah gagal untuk menolak hipotesis nol, artinya, kelima skripsi memiliki rata-rata selisih pendapatan sesudah dan sebelum mendapatkan kredit yang berdistribusi Normal.


Dari lima skripsi yang ada, hipotesis nol dan hipotesis alternatif adalah 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0, 𝐻1 : 𝜇𝐷 ≠ 0, dengan 𝜇𝐷 adalah rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.

2. Meta-Analisis 𝒅 pada Data Berpasangan Misalkan 𝛿 adalah perbedaan rata-rata pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Untuk sampel berpasangan, effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑) dapat dihitung menggunakan persamaan (3.7) dan (3.6), yaitu 𝑑=

𝑑̅ , 𝑠𝑎𝑣

dengan 𝑑̅ adalah rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dengan sebelum mendapatkan kredit dan

𝑠𝑎𝑣 = √

𝑠𝑝𝑟𝑒 2 + 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 2 , 2

(4.1)

𝑠𝑝𝑟𝑒 2 adalah variansi pendapatan sebelum mendapatkan kredit, 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 2 adalah variansi pendapatan sesudah mendapatkan kredit. Standar deviasi pendapatan sebelum (𝑠𝑝𝑟𝑒 ) dan sesudah mendapatkan kredit (𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 ) adalah

𝑠=√

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) , 𝑛−1

(4.2)


dengan 𝑥𝑖 adalah pendapatan ke-i sebelum dan sesudah mendapatkan kredit, 𝑥̅ adalah rata-rata pendapatan dan 𝑛 adalah jumlah sampel pada data sebelum/sesudah mendapatkan kredit. Berdasarkan persamaan (4.2), standar deviasi pendapatan sebelum mendapatkan kredit pada lima skripsi (𝑠𝑝𝑟𝑒 ) berturut-turut adalah (1). 11130089.69 (2). 84767.43 (3). 1845472.6 (4). 180716.29 (5). 1348294.8. Dengan cara yang sama, standar deviasi pendapatan sesudah mendapatkan kredit pada lima skripsi (𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 ) berturut-turut adalah (1). 12536833.55 (2). 143723.47 (3). 2145787.35 (4). 220116.9 (5). 1571168.81. Berdasarkan persamaan (4.1), standar deviasi dari rata-rata antara 𝑠𝑝𝑟𝑒 dan 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 (𝑠𝑎𝑣 ) pada lima skripsi adalah (1). 11854347.1 (2). 117987.1 (3). 2001271.1 (4). 201382.5 (5). 1463979.23. Rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dan sebelum mendapatkan kredit, yaitu 𝑑̅ berturut-turut adalah (1). 1456666.7

(2). 340666.667

(3). 1244285.7

(4). 80700

(5). 753000.

Berdasarkan persamaan (3.7), effect size 𝑑 pada kelima skripsi adalah (1). 0.122880379 (2). 2.8873191 (3). 0.6217477 (4). 0.4007299 (5). 0.5143516. Karena 𝑑 adalah penduga yang bias bagi 𝛿, maka faktor pengoreksi pada persamaan (3.4), yaitu 𝐽 =1−

3 , 4𝑑𝑓 − 1

dengan 𝑑𝑓 = 𝑛 − 1, pada kelima skripsi nilai 𝐽 berturut-turut adalah (1). 0.973913043 (2). 0.973913 (3). 0.962025 (4). 0.9846154 (5). 0.9846154.


Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi 𝛿, yaitu 𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑, pada kelima skripsi nilai 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah (1). 0.119674804 (2). 2.8119977 (3). 0.598137 (4). 0.394564 (5). 0.5064385. Selang kepercayaan 95% bagi 𝛿 dapat dihitung dengan menggunakan pertidaksamaan (3.8), yaitu 𝑑 − 1.96 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 1.96 𝑆𝐸𝑑 , dengan 𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑 . Dengan menggunakan persamaan (3.34) dan (3.33), variansi dari penduga tak bias bagi 𝛿 adalah 𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽2 x 𝑉𝑑𝑖 , dengan 1 𝑑𝑖 2 𝑉𝑑𝑖 = + , 𝑖 = 1,2 … ,5. 𝑛𝑖 2𝑛𝑖 Variansi 𝑑 pada masing-masing skripsi adalah (1). 0.0335849 (2). 0.1722768 (3). 0.0568231 (4). 0.0216058

(5). 0.0226455.

Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 pada masing-masing skripsi adalah (1). 0.0318555 (2). 0.16340574 (3). 0.0525893 (4). 0.02094616 (5). 0.0219541. Standar error (𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏 ) pada masing-masing skripsi adalah (1). 0.1784813 (2). 0.4042348

(3). 0.2293237 (4). 0.1447279 (5). 0.1481693.


Dengan demikian, pada masing-masing skripsi, selang kepercayaan 95 % bagi 𝛿 adalah (1). [-0.2363133 0.4820741] (2). [2.0737966 3.7008415] (3). [0.1545308 1.0889646] (4). [0.1126309 0.6888289] (5). [0.2194020 0.8093011].

a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Berpasangan Misalkan 𝑌𝑖 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑𝑢𝑛𝑏 ). Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam model efek tetap adalah 𝑊𝑖 =

1 , 𝑉𝑌𝑖

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i = 1,2,…,5. Untuk skripsi 1, 𝑊1 =

1 = 31.391666. 0.03185559

Untuk skripsi 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.2. Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai berikut 𝑊𝑖

Relatif.w = ∑𝑛

𝑖=1 𝑊𝑖

x 100%,

𝑖 = 1,2, … ,5.


Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masingmasing skripsi adalah (1) 20.95

(2) 4.08

(3) 12.69

(4) 31.87

(5) 30.40.

Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap Skripsi

Prastiwi

Effect Size

Variansi

Bobot

𝑌𝑖

𝑉𝑌𝑖

𝑊𝑖

Perhitungan 𝑊𝑖 𝑌𝑖

𝑊𝑖 𝑌𝑖 2

𝑊𝑖 2

0.119674804 0.03186 31.3917 3.75679 0.44959 985.437

Indriastuti

2.8119977

0.16341 6.11974 17.2087 48.3908 37.4512

Adi

0.598137

0.05259 19.0153 11.3737 6.80305

Setyawan

0.3945648

0.02095 47.7414 18.8371 7.43245 2279.25

Sekararum

0.5064385

0.02195 45.5495

Jumlah

23.068

361.58

11.6825 2074.75

149.818 74.2443 74.7584 5738.47

Berdasarkan perhitungan pada tabel 4.2 dan persamaan (3.12), rata-rata terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung sebagai ∑5𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 74.2443 𝑀= 5 = = 0.4955647, 149.8176 ∑𝑖=1 𝑊𝑖 dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah

𝑆𝐸𝑀 = √

1 ∑5𝑖=1 𝑊𝑖

=√

1 = 0.08169935. 149.8176

Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.16), batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap diestimasi sebagai


𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀 , 𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀 . Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah [0.335434 0.6556954] Dengan menggunakan persamaan (3.17), nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑍=

𝑀 0.4955647 = = 6.065711. 𝑆𝐸𝑀 0.08169935

Nilai 𝑃 pada persamaan (3.18) untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|6.065|)] = 1.313708𝑒 − 09.

Tabel 4.3 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Tetap Data

Bobot (%)

SMD Tetap 95% CI

1

20.95%

0.12 [-0.24,0.48]

2

4.08%

2.812 [2.07,3.7]

3

12.69%

0.598 [0.15,1.09]

4

31.87%

0.395 [0.11,0.69]

5

30.40%

0.506 [0.22,0.81]

Total SMD

0.495

95% CI

[0.335,0.656]

Nilai 𝑃

1.3 x 10−9


Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.495 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.335,0.656]. Oleh karena nilai 𝑃 = 1.313708𝑒 − 09 < 𝛼 = 0.05, maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Untuk melihat apakah model penggabungan effect size dengan model efek tetap sudah tepat atau belum, maka pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai heterogenitas antar-skripsi.

b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Berpasangan Misalkan 𝑌𝑖 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑𝑢𝑛𝑏 ). Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu, metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar studi 𝜏 2 . Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari 𝜏 2 adalah 𝑇2 =


berdasarkan tabel 4.2, perhitungan 𝑄 dan 𝐶 adalah 𝑘

2

(∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 ) 74.24432 𝑄 = ∑ 𝑊𝑖 𝑌𝑖 − = 74.7584 − ( ) = 37.96554, 149.818 ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2

𝑖=1

𝑘

𝐶 = ∑ 𝑊𝑖 − 𝑖=1

∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2 = 111.5145, ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖

𝑑𝑓 = 5 − 1 = 4. Dengan demikian, nilai variansi antar studi (𝑇 2 ) digunakan untuk semua studi, dengan


𝑇2 =

37.96554 − 4 = 0.304584. 111.5145

Oleh karena nilai 𝑄 > 𝑑𝑓, maka pendugaan terhadap 𝜏 2 besar dan studi heterogen sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang sama, heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23), yaitu 𝐼2 =

𝑄 − 𝑑𝑓 37.96554 − 4 x 100% = x 100% = 89.5%. 𝑄 37.96554

Persentase 𝐼 2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar studi sebanyak 89.5% (studi heterogen). Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot masing-masing studi dalam model efek acak adalah 𝑊𝑖𝑅 =


dengan 𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇 2 , dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i =1,2,…,5 dan 𝑇 2 adalah estimasi sampel dari 𝜏 2 . Untuk skripsi 1, 𝑊1𝑅 =

1 1 = = 2.9723. 𝑉𝑌1𝑅 0.33643959

Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.4. Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut Relatif.wR = ∑5

𝑊𝑖𝑅

𝑖=1 𝑊𝑖 𝑅

x 100%,

𝑖 = 1,2, … ,5.


Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masingmasing skripsi adalah (1). 21.2

(2). 15.2

(3). 19.9

(4). 21.9

(5). 21.8.

Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acak

Effect Size

Variansi

Variansi antar Studi

𝑌𝑖𝑅

𝑉𝑌𝑖

𝑇2

𝑉𝑌𝑖 + 𝑇 2

𝑊𝑖𝑅

0.30458

0.33643959

2.9723

0.35571

0.16341

0.30458

0.46798974

2.1368

6.00867

Adi

0.59814 0.05259

0.30458

0.35717336 2.79976 1.67464

Setyawan

0.39456 0.02095

0.30458

0.32553016 3.07191 1.21207

Sekararum 0.50644 0.02195

0.30458

0.32653815 3.06243 1.55093

Skripsi

Prastiwi Indriastuti

0.11967 0.03186 2.812

Jumlah

Total Variansi

Bobot

14.0432

𝑊𝑖𝑅 𝑌𝑖𝑅

10.802

Berdasarkan tabel 4.4 dan persamaan (3.26), rata-rata terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai 𝑀𝑅 =

∑5𝑖=1 𝑊𝑖𝑅 𝑌𝑖𝑅 10.802 = = 0.769199, 5 14.0432 ∑𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

dengan perkiraan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28) adalah 1 1 𝑆𝐸𝑀𝑅 = √ 5 =√ = 0.26685. 14.0432 ∑𝑖=1 𝑊𝑖𝑅 Berdasarkan persamaan (3.29) dan (3.30), batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak diestimasi sebagai


𝐿𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 − 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 , 𝑈𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 + 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 . Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah [0.2461738 1.292225] Dengan menggunakan persamaan (3.31), nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑍𝑅 =

𝑀𝑅 0.769199 = = 2.882518. 𝑆𝐸𝑀𝑅 0.26685

Nilai 𝑃 pada persamaan (3.32) untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|2.882518|)] = 0.003945102.

Tabel 4.5 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Acak Data

Bobot (%)

SMD Tetap 95% CI

1

21.2%

0.12 [-0.24,0.48]

2

15.2%

2.812 [2.07,3.7]

3

19.9%

0.598 [0.15,1.09]

4

21.9%

0.395 [0.11,0.69]

5

21.8%

0.506 [0.22,0.81]

Total SMD

0.769

95% CI

[0.246,1.292]

Heterogenitas

< 0.0001

Nilai 𝑃

0.003945102


Tabel 4.5 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.769 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.246, 1.292]. Oleh karena nilai 𝑃 = 0.0039 < 𝛼 = 0.05, maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek besar pada perbedaan rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Variasi antar-data adalah heterogen, hal ini dapat dilihat dari nilai 𝑃 pada uji heterogenitas adalah 0, lebih kecil daripada 0.05. Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot, yang dapat dilihat pada gambar 4.1.

Gambar 4.1 Funnel Plot Meta-Analisis Data Berpasangan

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa variasi data skripsi yang heterogen (kelima data tidak simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias publikasi berperan penting dalam meta-analisis ini. Hasil meta-analisis untuk data berpasangan ditampilkan pada forest plot, yang dapat dilihat pada gambar 4.2.


Gambar 4.2 Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap (sebelah kiri) dan Model Efek Acak (sebelah kanan)

B. Meta-Analisis pada Data Independen Pengambilan data dilakukan secara hipotetik, yaitu data berdistribusi Normal dibangkitkan secara acak dengan rata-rata populasi 120, standar deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55. Data dapat dilihat pada Lampiran 3. Meta-analisis dilakukan untuk mengestimasi effect size yang diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada kelima data tersebut. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi 3.3.2 (Listing program ada pada Lampiran 4 dan 5).

1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Kelompok Eksperimen dan Kontrol Misalkan 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,5 adalah sampel kelompok eksperimen yang dibangkitkan secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55.


Sedangkan 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,5 adalah sampel kelompok kontrol yang dibangkitkan secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55. Data ke-i adalah data sampel 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, … ,5 yang akan dilihat effect sizenya.

Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne Uji homogenitas variansi dilakukan untuk memenuhi asumsi pengujian hipotesis dengan uji 𝑡, yaitu variansi kedua populasi sama besar. Langkah-langkah pengujian sebagai berikut: 1. 𝐻0 : 𝜎𝑥𝑖 2 = 𝜎𝑦𝑖 2 , 𝑖 = 1,2, … ,5. 2. 𝐻1 : 𝜎𝑥𝑖 2 ≠ 𝜎𝑦𝑖 2 , 𝑖 = 1,2, … ,5. 3. 𝛼 = 0.05. 4. Statistik uji: Uji F 5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 0.05, 6. Perhitungan Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne Data

Nilai 𝑃

1

0.4858 > 𝛼

2

0.4454 > 𝛼

3

0.4776 > 𝛼

4

0.8247 > 𝛼

5

0.6193 > 𝛼


7. Kesimpulan Pada tabel 4.6, nilai 𝑃 > 𝛼, maka hipotesis nol gagal untuk ditolak, artinya kedua variansi populasi sama besar.

Dari lima data yang ada, pengujian hipotesis rata-rata dua populasi dilakukan sebagai berikut 1. Hipotesis nol dan hipotesis alternatif 𝐻0 : 𝜇𝑥𝑖 = 𝜇𝑦𝑖 , 𝐻1 : 𝜇𝑥𝑖 ≠ 𝜇𝑦𝑖 , dengan 𝜇𝑥𝑖 , 𝜇𝑦𝑖 adalah rata-rata populasi untuk data ke- 𝑖 = 1,2, … ,5. 2. 𝛼 = 0.05 3. Dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8), statistik uji untuk pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah 𝑡=

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − 𝑑0 𝑠𝑝 √(1/𝑛1 ) + (1/𝑛2 )

, 𝑠𝑝 2 =

𝑠1 2 (𝑛1 − 1) + 𝑠2 2 (𝑛2 − 1) , 𝑛1 + 𝑛2 − 2

dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2. 4. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak jika |𝑡| > 𝑡0.025 (𝑣) 5. Perhitungan: Tabel 4.7 Uji 𝑡 dengan Tingkat Signifikansi 0.05 Data

𝑡

𝑣

𝑡𝛼 (𝑣)

1

2.9109

68

2

2

2.2271

78

2

3

2.1205

98

1.99

4

-1.6137

48

2.021

5

2.3612

108

1.99


6. Kesimpulan: Pada tabel 4.7, nilai |𝑡| untuk data ke-1,2,3 dan 5 selalu lebih besar dari 𝑡0.025 (𝑣). Oleh karena itu, hipotesis nol ditolak dan ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 , dengan 𝑖 = 1,2,3,5. Sementara itu, nilai |𝑡| untuk data ke-4 kurang dari 𝑡0.025 (𝑣) sehingga tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥4 dan 𝑦4 .

Dengan menggunakan pertidaksamaan (2.3), selang kepercayaan bagi 𝜇𝑥𝑖 − 𝜇𝑦𝑖 adalah (1). [3.205576 17.181073] (2). [0.678295 12.108489] (3). [0.3609533 10.8953272] (4). [-14.992311 1.642124] (5). [0.9622474 11.0261580]. Oleh karena selang kepercayaan bagi 𝜇𝑥4 − 𝜇𝑦4 memuat nilai 0, maka kesimpulan uji hipotesis perbedaan rata-rata dua populasi adalah tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥4 dan 𝑦4 . Selain itu, selang kepercayaan pada nomor (1), (2), (3) dan (5) tidak memuat nilai 0, sehingga kesimpulannya adalah ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 , dengan 𝑖 = 1,2,3,5.

2. Meta-analisis 𝒅 pada Data Independen Pemenuhan asumsi homogenitas variansi yang terpenuhi mengakibatkan bahwa standardizer yang dipilih pada kasus ini adalah standar deviasi sampel


gabungan (𝑠𝑝 ). Misalkan 𝛿 adalah perbedaan rata-rata populasi antara kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk sampel independen, effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑) dapat dihitung menggunakan 𝑑=

𝑥̅2 − 𝑥̅1 , 𝑠𝑝

(4.3)

dengan 𝑥̅2 adalah rata-rata sampel kelompok eksperimen 𝑥𝑖 , 𝑥̅1 adalah rata-rata sampel kelompok kontrol 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,5, dan

𝑠𝑝 = √

(𝑛1 − 1)𝑠1 2 + (𝑛2 − 1)𝑠2 2 . 𝑛1 + 𝑛2 − 2

(4.4)

Berdasarkan persamaan (4.4), hasil perhitungan standar deviasi sampel gabungan adalah (1). 14.64911 (2). 12.83810 (3). 13.27103 (4). 14.62513 (5). 13.31256.

Nilai dari 𝑥̅2 − 𝑥̅1 dapat dihitung sebagai selisih rata-rata antara sampel kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Nilai dari 𝑥̅2 − 𝑥̅1 berturut-turut adalah (1). 10.193325 (2). 6.393391 (3). 5.628140 (4). -6.675093 (5). 5.994202. Dengan menggunakan persamaan (4.3), effect size 𝑑 pada kelima skripsi adalah (1). 0.6958322 (2). 0.4980014 (3). 0.4240921 (4). -0.4564124 (5). 0.4502668.

Karena 𝑑 adalah penduga yang bias bagi 𝛿, maka faktor pengoreksi pada persamaan (3.4), yaitu 𝐽 =1−

3 , 4𝑑𝑓 − 1


dengan 𝑑𝑓 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2, pada kelima data nilai 𝐽 berturut-turut adalah (1). 0.9889299 (2). 0.9903537 (3). 0.9923274 (4). 0.9842932 (5). 0.9930394.

Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi 𝛿, yaitu 𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑, pada kelima data nilai 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah (1). 0.6881293 (2). 0.4931976 (3). 0.4208382 (4). -0.4492436 (5). 0.4471327.

Selang kepercayaan 95% bagi 𝛿 dapat dihitung dengan menggunakan pertidaksamaan (3.8), yaitu 𝑑 − 1.96 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 1.96 𝑆𝐸𝑑 , dengan 𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑 . Dengan menggunakan persamaan (3.35), variansi 𝑑 adalah 𝑉𝑖 =

𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖 𝑑𝑖 2 + , 𝑛1𝑖 𝑛2𝑖 2(𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖 )

dengan 𝑛1𝑖 dan 𝑛2𝑖 adalah kedua ukuran sampel untuk data ke-i =1,2,…,5. Dengan menggunakan persamaan (3.36), variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk dua populasi independen adalah 𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖 ,


dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi 𝑑 ke 𝑑𝑢𝑛𝑏 dan 𝑉𝑖′ adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk data ke-i. Variansi 𝑑 (𝑉𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,5) pada masing-masing data adalah (1). 0.0606013 (2). 0.05155003 (3). 0.04089927 (4). 0.08208312 (5). 0.03728518. Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 pada masing-masing data adalah (1). 0.059267 (2). 0.0505603 (3). 0.04027407 (4). 0.07952485 (5). 0.03676794. Standar error (𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏 ) pada masing-masing data adalah (1). 0.2434482 (2). 0.2248562 (3). 0.2006840 (4). 0.2820015 (5). 0.1917497. Dengan demikian, pada masing-masing data, selang kepercayaan 95% bagi 𝛿 adalah (1). [0.21333253 1.1783319] (2). [0.05299063 0.9430122] (3). [0.02771013 0.820474] (4). [-1.0179554 0.1051306] (5). [0.07180313 0.8287305].

a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Independen Misalkan 𝑌𝑖 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑𝑢𝑛𝑏 ). Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam model efek tetap adalah 𝑊𝑖 =

1 , 𝑉𝑌𝑖

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk data ke-i = 1,2,…,5.


Untuk data 1, 𝑊1 =

1 = 16.87279. 0.059267

Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.8. Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai berikut 𝑊𝑖

Relatif.w = ∑5

𝑖=1 𝑊𝑖

x 100%,

𝑖 = 1,2, … ,5.

(4.5)

Berdasarkan persamaan (4.5), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing data adalah (1). 16.7

(2). 19.5

(3). 24.5

(4). 12.4

(5). 26.9.

Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetap Data

Effect Size

Variansi

Bobot

𝑌𝑖

𝑉𝑌𝑖

𝑊𝑖

Perhitungan 𝑊𝑖 𝑌𝑖

𝑊𝑖 𝑌𝑖 2

𝑊𝑖 2

1

0.688129

0.059267 16.8728 11.6107

7.99

284.69

2

0.493197

0.050560 19.7784 9.75464

4.81

391.18

3

0.420838

0.040274 24.8299 10.4494

4.40

616.52

4

-0.449243

0.079524 12.5747 -5.6491

2.54

158.12

5

0.447132

0.036767 27.1976 12.1609

5.44

739.71

101.253 38.3265

25.17

2190.23

Jumlah


Berdasarkan tabel 4.8 dan persamaan (3.12), rata-rata terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung sebagai 𝑀=

∑5𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 38.3265 = = 0.378521, 101.253 ∑5𝑖=1 𝑊𝑖

dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah 1 1 𝑆𝐸𝑀 = √ 5 =√ = 0.09937918. 101.253 ∑𝑖=1 𝑊𝑖 Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.16), batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek tetap diestimasi sebagai 𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀 , 𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀 . Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek tetap adalah [0.1837378 0.5733041] Dengan menggunakan persamaan (3.17), nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑍=

𝑀 0.378521 = = 3.808856. 𝑆𝐸𝑀 0.09937918.



Tabel 4.9 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap Data

Bobot (%)

SMD Tetap 95% CI

1

16.70%

0.688 [0.21,1.17]

2

19.50%

0.493 [0.05,0.94]

3

24.50%

0.421 [0.02,0.82]

4

12.40%

-0.449 [-1.01,0.11]

5

26.90%

0.447 [0.07,0.83]

Total SMD

0.379

95% CI

[0.184,0.573]

Nilai 𝑃

0.000139

Tabel 4.9 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan nilai gabungan SMD sebesar 0.379 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.184,0.573]. Oleh karena nilai 𝑃 = 0.000139 < 𝛼 = 0.05, maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk melihat apakah model penggabungan effect size dengan model efek tetap sudah tepat atau belum, maka pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai heterogenitas antar-data.


b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Independen Misalkan 𝑌𝑖 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑𝑢𝑛𝑏 ). Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu, metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar studi 𝜏 2 . Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari 𝜏 2 adalah 𝑇2 =


berdasarkan tabel 4.8, perhitungan 𝑄 dan 𝐶 adalah 𝑘

2

(∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 𝑌𝑖 ) 38.32652 𝑄 = ∑ 𝑊𝑖 𝑌𝑖 − = 25.17347 − ( ) = 10.66608, 101.253 ∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2

𝑖=1

𝑘

∑𝑘𝑖=1 𝑊𝑖 2 𝐶 = ∑ 𝑊𝑖 − 𝑘 = 79.62214, ∑𝑖=1 𝑊𝑖 𝑖=1

𝑑𝑓 = 5 − 1 = 4. Dengan demikian, nilai variansi antar studi (𝑇 2 ) digunakan untuk semua studi, dengan 𝑇2 =

10.66608 − 4 = 0.0837. 79.62214

Oleh karena nilai 𝑄 > 𝑑𝑓, maka pendugaan terhadap 𝜏 2 cukup besar dan data heterogen sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang sama, heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23), 𝐼2 =

𝑄 − 𝑑𝑓 10.66608 − 4 x 100% = x 100% = 62.5%. 𝑄 10.66608

Persentase 𝐼 2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar studi sebanyak 62.5% (studi heterogen).


Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot pada masing-masing data dalam model efek acak adalah 𝑊𝑖𝑅 =


dengan 𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇 2 , dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk data ke-i =1,2,…,5 dan 𝑇 2 adalah estimasi sampel dari 𝜏 2 . Untuk data 1, 𝑊1𝑅 =

1 1 = = 6.993571. 𝑉𝑌1𝑅 0.1405

Untuk data 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.10.

Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acak

Variansi

Variansi antar Studi

Total Variansi

Bobot

𝑌𝑖𝑅

𝑉𝑌𝑖

𝑇2

𝑉𝑌𝑖 + 𝑇 2

𝑊𝑖𝑅

1

0.688

0.0593

0.0837

0.143

6.9936

4.812

2

0.4931

0.0506

0.0837

0.1343

7.4470

3.673

3

0.4208

0.0403

0.0837

0.124

8.0648

3.394

4

-0.4492

0.0795

0.0837

0.1632

6.1257

-2.752

5

0.44713

0.0368

0.0837

0.1205

8.299

3.711

36.9306

12.838

Data

Jumlah

Effect Size

𝑊𝑖𝑅 𝑌𝑖𝑅


Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut Relatif.wR = ∑5

𝑊𝑖𝑅

𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

x 100%,

𝑖 = 1,2, … ,5.

(4.6)

Berdasarkan persamaan (4.6), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing data adalah (1). 18.9

(2). 20.2

(3). 21.8

(4). 16.6

(5). 22.5.

Berdasarkan tabel 4.10 dan persamaan (3.26), rata-rata terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai 𝑀𝑅 =

∑5𝑖=1 𝑊𝑖𝑅 𝑌𝑖𝑅 12.83835 = = 0.3476344, 36.9306 ∑5𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

dengan penduga standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28) adalah

𝑆𝐸𝑀𝑅 = √

1 ∑5𝑖=1 𝑊𝑖𝑅

1 =√ = 0.1645534. 36.9306

Berdasarkan persamaan (3.29) dan (3.30), batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak diestimasi sebagai 𝐿𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 − 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 , 𝑈𝐿𝑀𝑅 = 𝑀𝑅 + 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅 . Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak adalah [0.02510981 0.670159]


Dengan menggunakan persamaan (3.31), nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol adalah 𝑍𝑅 =

𝑀𝑅 0.3476344 = = 2.112594. 𝑆𝐸𝑀𝑅 0.1645534


Tabel 4.11 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Acak Data

Bobot (%)

SMD Acak 95% CI

1

18.90%

0.688 [0.21,1.17]

2

20.20%

0.493 [0.05,0.94]

3

21.80%

0.421 [0.02,0.82]

4

16.60%

0.449 [-1.01,0.11]

5

22.50%

0.447 [0.07,0.83]

Total SMD

0.348

95% CI

[0.025,0.67]

Heterogenitas

0.0347

Nilai 𝑃

0.000139

Tabel 4.11 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan nilai gabungan SMD sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.025, 0.67]. Oleh karena nilai 𝑃 = 0.000139 < 𝛼 = 0.05,


maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Variasi antar-data adalah heterogen, hal ini dapat dilihat dari nilai 𝑃 pada uji heterogenitas adalah 0.03, lebih kecil daripada 0.05. Forest plot untuk kedua model dapat dilihat pada gambar 4.3 dan gambar 4.4.

Gambar 4.3 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap

Gambar 4.4 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acak


Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot, yang dapat dilihat pada gambar 4.5.

Gambar 4.5 Funnel Plot Meta-Analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok Eksperimen dengan Kelompok Kontrol.

Gambar 4.5 menunjukkan bahwa variasi data yang heterogen (kelima data tidak simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias publikasi berperan penting dalam meta-analisis ini.


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan Penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian bersamaan dengan pengujian signifikansi statistik merupakan pertimbangan penting, salah satunya dalam dunia sosial. Hasil penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian dirangkum dalam dua model meta-analisis, yaitu model efek tetap dan model efek acak. Model efek acak lebih cocok diterapkan pada studi yang bersifat heterogen. Hal ini disebabkan oleh tujuan penggunaan model efek acak adalah generalisasi. Pemilihan model meta-analisis tidak boleh hanya didasarkan pada nilai heterogenitas, namun perlu memperhatikan tujuan utama penelitian dan sumber penggabungan penelitian. Penulis memberikan contoh hasil meta-analisis yang diterapkan pada data berpasangan dengan penstandarnya adalah standar deviasi rata-rata sampel (𝑠𝑎𝑣 ) dan data independen yang penstandarnya adalah deviasi sampel gabungan (𝑠𝑝 ). Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada data berpasangan ditunjukkan oleh nilai rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.769 dengan selang kepercayaan 95% [0.2461738 1.292225] dan nilai 𝑃 = 0.0039 kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa penggabungan 5 skripsi memiliki perbedaan rata-rata yang distandardisasi sebesar 0.769. Jika ditelusuri lebih lanjut, rata-rata pendapatan usaha kecil dan menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769 kali lebih besar daripada rata-rata pendapatan sebelum mendapatkan kredit. Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada kelima data berdistribusi Normal yang dibangkitkan secara hipotetik ditunjukkan oleh nilai rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan 95% [0.025, 0.67] dan nilai 𝑃 = 0.000139 kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa penggabungan 5 data memiliki perbedaan rata-rata yang distandardisasi 0.348. Jika ditelusuri lebih lanjut, rata-rata kelompok eksperimen 0.348 kali lebih besar daripada rata-rata kelompok kontrol.

156


Analisis sensitifitas dengan funnel plot menunjukkan bahwa hasil metaanalisis memiliki bias publikasi. Artinya, apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Bias publikasi ini dapat dikurangi dengan membatasi sumber penelitian yang dikumpulkan dan jenis penggabungan penelitian. Pelaporan nilai effect size pada suatu penelitian dapat memfasilitasi peneliti untuk melakukan meta-analisis berikutnya dan membantu peneliti di masa depan untuk merumuskan hasil dari penelitian sejenis serta lebih memahami bagaimana temuan penelitian sesuai dengan literatur penelitian yang ada.

B. Saran Hasil penelitian yang melibatkan pengujian hipotesis harus disertai dengan pelaporan nilai effect size di dalamnya. Lebih lanjut, tanpa memperhatikan metode statistik yang digunakan, Cohen’s 𝑑 seharusnya dipresentasikan dalam hasil penelitian. Hasil penelitian tidak hanya mengacu pada kriteria Cohen, namun penginterpretasian hasil juga harus mempertimbangkan penelitian sebelumnya. Pada contoh hasil meta-analisis, sampel yang digunakan hanya berasal dari skripsi di program studi Akuntansi dan Pendidikan Ekonomi. Meta-analisis berikutnya perlu memperluas sampel dengan menyertai penelitian lain yang ada di jurnal untuk meningkatkan kualitas penelitian.


DAFTAR PUSTAKA

Adi, A. R. S. A. (2012). Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja, Biaya Produksi, dan Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan Menengah di Kota Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari Lembaga Keuangan Koperasi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

American Psychological Association Task Force on Statistical Inference. (1999). Publication manual of the American Psychological Association (Fifth Edition). Washington, DC: Author.

Borenstein, M., et al. (2009). Introduction to Meta-Analysis. Chichester: Wiley.

Chen, D. G. dan Peace, K. E. (2013). Applied Meta-analysis with R. Boca Raton: CRC Press.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (Second Edition). Hillsdale, N.J: Erlbaum.

Cohen, J. (1994). The earth is round (p < .05). American Psychologist, 49: 9971003.

Cumming, G. (2012). Understanding The New Statistics Effect Sizes, Confidence Intervals, and Meta-Analysis. New York: Routledge.

Ferguson, C. J. (2009). An Effect Size Primer: A Guide for Clinicians and Researchers. Professional Psychology, 40(5): 532-538.

Field, A., Hole, G. (2003). How to design and report experiments. London: Sage.


Field, A. (2005). Discovering statistics using SPSS (Second Edition). London: Sage.

Glass, G. V. (1976). Primary, Secondary and Meta-analysis of Research. Educational Researcher, 5(10): 3-8.

Hedges, L. V. dan Olkin, I. (1985). Statistical methods for meta-analysis. Orlando, FL: Academic Press.

Hunt, M. (1997). How science takes stock: The story of meta-analysis. New York: Russell Sage Foundation.

Indriastuti, Novia. (2012). Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Johnson, R. A., Miller, I., Freund, J. (2005). Probability and Statistics for Engineers (Seventh Edition). New Jersey: Pearson-Prentice Hall.

Julie, Hongkie. (1999). Teorema Limit Pusat dan Terapannya. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Keppel, G. dan Wickens, T. D. (2004). Design and Analysis: a Researcher’s Handbook. Upper Saddle River, NJ: Pearson-Prentice Hall.

Kirk, R. (1996). Practical significance: A concept whose time has come. Educational and Psychological Measurements, 56: 746-759.

Mendenhal, W., Beaver, R. J., Beaver. B. M. (2009). Introduction to Probability & Statistics (Thirteenth Edition). Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.


Nakagawa, S. dan Cuthill, I. C. (2007). Effect size, confidence interval and statistical significance: a practical guide for biologists. Biological Reviews, 82: 591-605.

Nindrea, R. D. (2016). Pengantar Langkah-langkah Praktis Studi Meta-Analisis. Yogyakarta: Gosyen Publishing.

Olejnic, S. dan Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics: Measures of effect size for some common research designs. Psychological Methods, 8(4): 434-447.

Prastiwi, Hanun. (2013). Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil Masyarakat, Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM-Kube “Sejahtera” Kecamatan Pandak Kabupaten Bantul. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Santoso, A. (2010). Studi Deskriptif Effect Size Penelitian-penelitian di Fakultas Psikologi Universitas Sanata Dharma. Jurnal Penelitian, 14(1): 1-17.

Schwab, A., et al. (2011). Researchers Should Make Thoughtful Assessments Instead of Null-Hypothesis Significance Tests. Organization Science, 22 (4): 1105-1120.

Sekararum, Maria. (2008). Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi Pendapatan Usaha Kecil. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Setyawan, S. E. (2000). Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi Pengembangan Usaha Kecil di Pedesaan. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.


Snyder, P. dan Lawson, S. (1993). Evaluating results using corrected and uncorrected effect size estimates. Journal of Experimental Education, 61: 334-349.

Thompson, B. (1998). Statistical Significance and Effect Size Reporting: Portrait of a Possible Future. Research In The Schools, 5(2): 33-38.

Wackerly, D. D., Mendenhall, W., Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (Seventh Edition). Belmont, CA: Brooks/Cole.

Walpole, R. E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists (Ninth Edition). Boston: Pearson-Prentice Hall.

Wilkinson & Task Force on Statistical Inference. (1999). Statistical methods in psychological journals: Guidelines and explanations. American Psychologist, 54: 594-604.

Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge University Press.


LAMPIRAN Lampiran 1 Berikut ini merupakan data kelima skripsi di Program Studi Akuntansi dan Pendidikan Ekonomi Universitas Sanata Dharma yang diakses melalui database library.usd.ac.id. Data diinput dalam Microsoft Office Excel 2007 (.csv).

1. Data Skripsi Prastiwi (2013) Diff adalah rata-rata selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dengan pendapatan sebelum mendapatkan kredit. 𝑛

Sebelum

Sesudah

Diff

1

6.000.000

7.000.000

1.000.000

2

5.000.000

5.000.000

0

3

3.500.000

4.000.000

500.000

4

30.000.000

32.000.000

2.000.000

5

3.800.000

3.800.000

0

6

1.500.000

1.800.000

300.000

7

1.000.000

1.800.000

800.000

8

1.000.000

1.300.000

300.000

9

2.600.000

3.000.000

400.000

10

1.500.000

2.000.000

500.000

11

13.000.000

15.000.000

2.000.000

12

800.000

1.000.000

200.000

13

13.000.000

14.000.000

1.000.000

14

700.000

900.000

200.000

15

3.000.000

3.900.000

900.000

16

10.000.000

12.000.000

2.000.000

17

50.000.000

56.000.000

6.000.000

18

6.500.000

8.000.000

1.500.000


19

6.000.000

9.000.000

3.000.000

20

2.500.000

4.500.000

2.000.000

21

3.000.000

5.000.000

2.000.000

22

20.000.000

24.000.000

4.000.000

23

3.000.000

4.500.000

1.500.000

24

1.000.000

1.000.000

0

25

2.500.000

3.000.000

500.000

26

8.000.000

10.000.000

2.000.000

27

1.200.000

1.800.000

600.000

28

30.000.000

37.000.000

7.000.000

29

1.500.000

2.000.000

500.000

30

12.000.000

13.000.000

1.000.000

2. Data Skripsi Indriastuti (2012) 𝑛

Sebelum

Sesudah

Diff

1

420.000

750.000

330.000

2

375.000

575.000

200.000

3

460.000

700.000

240.000

4

550.000

800.000

250.000

5

460.000

650.000

190.000

6

550.000

1.000.000

450.000

7

600.000

900.000

300.000

8

700.000

1.000.000

300.000

9

500.000

1.000.000

500.000

10

500.000

850.000

350.000

11

375.000

775.000

400.000

12

450.000

850.000

400.000


3.

13

450.000

1.000.000

550.000

14

450.000

800.000

350.000

15

550.000

1.100.000

550.000

16

625.000

975.000

350.000

17

460.000

710.000

250.000

18

500.000

825.000

325.000

19

625.000

945.000

320.000

20

375.000

875.000

500.000

21

375.000

580.000

205.000

22

450.000

750.000

300.000

23

450.000

800.000

350.000

24

500.000

750.000

250.000

25

550.000

1.000.000

450.000

26

500.000

820.000

320.000

27

375.000

700.000

325.000

28

500.000

700.000

200.000

29

625.000

1.100.000

475.000

30

460.000

700.000

240.000

Data Skripsi Adi (2012) 𝑛

Sebelum

1

8.550.000

10.200.000 1.650.000

2

9.100.000

11.600.000 2.500.000

3

4.250.000

5.900.000

1.650.000

4

6.000.000

7.690.000

1.690.000

5

5.750.000

6.500.000

750.000

6

4.150.000

4.750.000

600.000

Sesudah

Diff


7

8.300.000

9.600.000

1.300.000

8

7.350.000

9.120.000

1.770.000

9

3.740.000

5.700.000

1.960.000

10

4.500.000

5.250.000

750.000

11

5.230.000

6.300.000

1.070.000

12

5.600.000

6.400.000

800.000

13

6.700.000

7.600.000

900.000

14

7.350.000

8.600.000

1.250.000

15

6.000.000

6.750.000

750.000

16

8.120.000

9.970.000

1.850.000

17

4.250.000

5.900.000

1.650.000

18

3.410.000

4.260.000

850.000

19

3.150.000

4.100.000

950.000

20

3.410.000

4.200.000

790.000

21

6.100.000

6.750.000

650.000

4. Data Skripsi Setyawan (2000) 𝑛

Sebelum

Sesudah

Diff

1

250.000

350.000

100.000

2

100.000

200.000

100.000

3

100.000

125.000

25.000

4

175.000

225.000

50.000

5

220.000

250.000

30.000

6

100.000

110.000

10.000

7

150.000

180.000

30.000

8

200.000

250.000

50.000

9

150.000

175.000

25.000


10

130.000

225.000

95.000

11

125.000

160.000

35.000

12

150.000

180.000

30.000

13

100.000

130.000

30.000

14

200.000

250.000

50.000

15

130.000

150.000

20.000

16

120.000

140.000

20.000

17

110.000

125.000

15.000

18

200.000

240.000

40.000

19

500.000

600.000

100.000

20

300.000

350.000

50.000

21

300.000

350.000

50.000

22

350.000

400.000

50.000

23

350.000

425.000

75.000

24

300.000

360.000

60.000

25

370.000

430.000

60.000

26

325.000

450.000

125.000

27

500.000

700.000

200.000

28

300.000

425.000

125.000

29

300.000

500.000

200.000

30

600.000

700.000

100.000

31

350.000

500.000

150.000

32

450.000

600.000

150.000

33

330.000

410.000

80.000

34

380.000

525.000

145.000

35

700.000

900.000

200.000

36

350.000

450.000

100.000


37

300.000

400.000

100.000

38

545.000

650.000

105.000

39

700.000

930.000

230.000

40

600.000

750.000

150.000

41

750.000

900.000

150.000

42

550.000

625.000

75.000

43

550.000

600.000

50.000

44

550.000

625.000

75.000

45

270.000

300.000

30.000

46

280.000

300.000

20.000

47

300.000

350.000

50.000

48

450.000

550.000

100.000

49

625.000

675.000

50.000

50

400.000

475.000

75.000

5. Data Skripsi Sekararum (2008) 𝑛

Sebelum

Sesudah

Diff

1

4.500.000

6.000.000

1.500.000

2

1.500.000

1.950.000

450.000

3

3.900.000

4.950.000

1.050.000

4

900.000

1.950.000

1.050.000

5

1.200.000

1.500.000

300.000

6

1.200.000

1.800.000

600.000

7

1.500.000

2.400.000

900.000

8

1.050.000

1.500.000

450.000

9

1.500.000

1.950.000

450.000

10

1.200.000

1.500.000

300.000


11

1.200.000

1.950.000

750.000

12

1.950.000

3.000.000

1.050.000

13

3.900.000

4.800.000

900.000

14

1.350.000

1.800.000

450.000

15

3.000.000

3.900.000

900.000

16

900.000

1.800.000

900.000

17

900.000

1.200.000

300.000

18

1.200.000

1.500.000

300.000

19

1.350.000

1.950.000

600.000

20

900.000

1.650.000

750.000

21

1.200.000

1.650.000

450.000

22

3.600.000

4.800.000

1.200.000

23

4.800.000

6.000.000

1.200.000

24

1.050.000

1.950.000

900.000

25

1.500.000

1.950.000

450.000

26

4.500.000

6.000.000

1.500.000

27

4.500.000

6.000.000

1.500.000

28

2.100.000

3.000.000

900.000

29

3.450.000

4.200.000

750.000

30

1.200.000

1.800.000

600.000

31

1.500.000

1.950.000

450.000

32

1.650.000

2.550.000

900.000

33

1.950.000

2.700.000

750.000

34

1.200.000

1.650.000

450.000

35

3.000.000

3.900.000

900.000

36

2.250.000

3.000.000

750.000

37

2.550.000

3.000.000

450.000


38

4.950.000

6.000.000

1.050.000

39

1.650.000

2.400.000

750.000

40

900.000

1.500.000

600.000

41

4.950.000

6.000.000

1.050.000

42

4.200.000

4.800.000

600.000

43

1.200.000

1.800.000

600.000

44

1.950.000

2.400.000

450.000

45

2.400.000

3.000.000

600.000

46

1.950.000

3.000.000

1.050.000

47

3.900.000

4.800.000

900.000

48

1.500.000

2.250.000

750.000

49

900.000

1.350.000

450.000

50

4.800.000

5.550.000

750.000

6. Buka Data Microsoft Office Excel yang Telah Diinput di program R versi 3.3.2 > Prastiwi=read.csv(file.choose(),header=T) > Indriastuti=read.csv(file.choose(),header=T) > Adi=read.csv(file.choose(),header=T) > Setyawan=read.csv(file.choose(),header=T) > Sekararum=read.csv(file.choose(),header=T)


Lampiran 2 Berikut ini merupakan kode program R untuk uji normalitas, penyajian data, perhitungan effect size pada data kelima skripsi dan hasil perhitungan metaanalisis dengan menggunakan model efek tetap dan model efek acak.

1. Uji Normalitas dengan Kolgomorov-Smirnov > ks.test(Prastiwi$Diff,pnorm,mean(Prastiwi$Diff),sd(Prastiwi$Diff)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: Prastiwi$Diff D = 0.23927, p-value = 0.06444 alternative hypothesis: two-sided > ks.test(Indriastuti$Diff,pnorm,mean(Indriastuti$Diff),sd(Indriastuti$Diff)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: Indriastuti$Diff D = 0.16459, p-value = 0.3907 alternative hypothesis: two-sided > ks.test(Adi$Diff,pnorm,mean(Adi$Diff),sd(Adi$Diff)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: Adi$Diff D = 0.18506, p-value = 0.4683 alternative hypothesis: two-sided > ks.test(Setyawan$Diff,pnorm,mean(Setyawan$Diff),sd(Setyawan$Diff)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: Setyawan$Diff D = 0.17159, p-value = 0.1053 alternative hypothesis: two-sided > ks.test(Sekararum$Diff,pnorm,mean(Sekararum$Diff),sd(Sekararum$Diff))


One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: Sekararum$Diff D = 0.1337, p-value = 0.3331 alternative hypothesis: two-sided

2. Penyajian Data dengan Program R versi 3.3.2 > Prastiwi=c(mean(Prastiwi$Sebelum),sd(Prastiwi$Sebelum),mean(Prastiwi$Sesud ah),sd(Prastiwi$Sesudah),30,mean(Prastiwi$Diff)) > Indriastuti=c(mean(Indriastuti$Sebelum),sd(Indriastuti$Sebelum),mean(Indriastut i$Sesudah),sd(Indriastuti$Sesudah),30,mean(Indriastuti$Diff)) > Adi=c(mean(Adi$Sebelum),sd(Adi$Sebelum),mean(Adi$Sesudah),sd(Adi$Sesud ah),21,mean(Adi$Diff)) > Setyawan=c(mean(Setyawan$Sebelum),sd(Setyawan$Sebelum),mean(Setyawan$ Sesudah),sd(Setyawan$Sesudah),50,mean(Setyawan$Diff)) > Sekararum=c(mean(Sekararum$Sebelum),sd(Sekararum$Sebelum),mean(Sekarar um$Sesudah),sd(Sekararum$Sesudah),50,mean(Sekararum$Diff)) > dat = as.data.frame(rbind(Prastiwi,Indriastuti,Adi,Setyawan,Sekararum)) > colnames(dat) = c("m.Pre","sd.Pre","m.Post","sd.Post","n.Pairs","m.Diff") > dat m.Pre Prastiwi Indriastuti Adi Setyawan

sd.Pre

m.Post

sd.Post

8120000 11130089.69 9576666.7 12536833.5 492000 5762381 332700

84767.43

n.Pairs

m.Diff

30

1456666.7

832666.7

143723.5

30

340666.7

1845472.58 7006666.7

2145787.3

21

1244285.7

180716.29

413400

220116.9

50

80700

Sekararum 2247000 1348294.84

3000000

1571168.8

50

753000


> sd.av = sqrt(((dat$sd.Pre^2)+(dat$sd.Post^2))/2) > sd.av [1] 11854347.1 117987.2 2001271.1 201382.5 1463979.2 > n=5 > N = dat$n.Pairs > J = 1- 3/(4*N-5) > d = dat$m.Diff/sd.av >d [1] 0.1228804 2.8873191 0.6217477 0.4007299 0.5143516 > dunb= J*d > dunb [1] 0.1196748 2.8119977 0.5981370 0.3945648 0.5064385 > var.d=(1/dat$n.Pairs)+(d^2/(2*dat$n.Pairs)) > var.dunb = (J^2)*var.d > lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d) > upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d) > cbind(lowCI.d,dunb,upCI.d) lowCI.d

dunb

upCI.d

[1,] -0.2363133

0.1196748

0.4820741

[2,] 2.0737966

2.8119977 3.7008415

[3,] 0.1545308

0.5981370 1.0889646

[4,] 0.1126309

0.3945648 0.6888289

[5,] 0.2194020

0.5064385 0.8093011

3. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Tetap > w = 1/var.dunb


> tot.w = sum(w) > rel.w = w/tot.w > M = sum(rel.w*dunb) >M [1] 0.4955647 > var.M = 1/tot.w > se.M = sqrt(var.M) > lowCI.M = M-1.96*se.M > lowCI.M [1] 0.335434 > upCI.M = M+1.96*se.M > upCI.M [1] 0.6556954 > z = M/se.M >z [1] 6.065711 > pval = 2*(1-pnorm(abs(z))) > pval [1] 1.313708e-09 > library(metafor) > model.FE<- rma(dunb, var.dunb, method="FE", measure="SMD") > summary(model.FE)

Fixed-Effects Model (k = 5) logLik

deviance

AIC

BIC

AICc

-15.6335 37.9655 33.2670 32.8765 34.6004


Test for Heterogeneity: Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001 Model Results: estimate

se

zval

pval

ci.lb

ci.ub

0.4956 0.0817 6.0657 <.0001 0.3354 0.6557

***

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > forest(model.FE)

4. Heterogenitas Effect Size > Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w > df= n-1 > C = tot.w - sum(w^2)/tot.w > tau2 = (Q-df)/C > tau2 [1] 0.304584

5. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Acak > wR = 1/(var.dunb+tau2)


> tot.wR = sum(wR) > rel.wR = wR/tot.wR > MR = sum(rel.wR*dunb) > MR [1] 0.7691995 > var.MR = 1/tot.wR > se.MR = sqrt(var.MR) > se.MR [1] 0.2668498 > lowCI.MR = MR - 1.96*se.MR > lowCI.MR [1] 0.2461738 > upCI.MR = MR + 1.96*se.MR > upCI.MR [1] 1.292225 > zR = MR/se.MR > zR [1] 2.882518 > pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR))) > pval.R [1] 0.003945102 > sumTab = data.frame(SMD = round(dunb,4),lowCI = round(lowCI.d,4),upperCI = round(upCI.d,4),pctW.fixed = round(rel.w*100,2),pctW.random = round(rel.wR*100,2)) > rownames(sumTab) = rownames(dat)


> sumTab SMD Prastiwi

lowCI

0.1197 -0.2363

upperCI pctW.fixed

pctW.random

0.4821

20.95

21.17

Indriastuti 2.8120

2.0738

3.7008

4.08

15.22

Adi

0.5981

0.1545

1.0890

12.69

19.94

Setyawan

0.3946

0.1126

0.6888

31.87

21.87

Sekararum 0.5064

0.2194

0.8093

30.40

21.81

> library(metafor) > model.RE<- rma(dunb, var.dunb, method="DL", measure="SMD") > summary(model.RE) Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL) logLik deviance

AIC

BIC

AICc

-7.4825 21.6636 18.9651 18.1840 24.9651

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.3046 (SE = 0.2665) tau (square root of estimated tau^2 value):

0.5519

I^2 (total heterogeneity / total variability):

89.46%

H^2 (total variability / sampling variability):

9.49

Test for Heterogeneity: Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001

Model Results: estimate

se

zval

pval

ci.lb

ci.ub

0.7692 0.2668 2.8825 0.0039 0.2462 1.2922

**

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


> forest(model.RE)

> funnel(model.RE)


Lampiran 3 Berikut ini merupakan data independen berdistribusi Normal yang dibangkitkan secara hipotetik melalui program R versi 3.3.2. Pengujian hipotesis pada keempat data diasumsikan signifikan dan satu data tidak signifikan. Metaanalisis dilakukan untuk mengestimasi effect size dari kelima data tersebut.

1. Data Berdistribusi Normal yang Dibangkitkan Secara Hipotetik > x1=rnorm(35,120,14) > x1 [1] 142.73180 133.64160 137.91543 127.04481 134.93512 163.23808 111.99330 [8] 129.58068 115.25493 143.80132 148.52458 122.05689 136.91831 129.23504 [15] 123.02598 119.60322 122.74415 119.93836 118.18762 103.91416 149.41061 [22] 116.51850 131.99683 121.67993 99.51958 131.27712 148.02795 126.21861 [29] 111.88403 116.37566 106.76355 127.73487 93.44861 94.05003 123.06455 > y1=rnorm(35,120,14) > y1 [1] 103.23966 127.56010 124.61971 100.75458 87.71961 110.69320 140.73139 [8] 101.22746 109.25053 109.14670 126.01070 99.34998 110.43253 120.33634 [15] 124.71073 97.49233 120.90670 119.96740 144.25814 112.29892 106.77433 [22] 95.11539 113.40566 140.03133 126.46819 111.09344 123.28663 104.34525 [29] 115.33178 114.62363 102.35177 109.04503 118.44353 135.14818 119.31859 > x2=rnorm(40,120,14) > x2 [1] 112.77828 124.76272 144.87365 117.51560 113.92556 140.76362 117.47837 [8] 106.70953 117.53519 134.82065 146.98314 120.97548 122.17958 129.51306 [15] 95.50349 127.92651 129.47762 118.90719 124.22097 117.27563 130.49162


[22] 120.29240 123.64791 144.99219 123.43910 136.75767 117.20200 118.34045 [29] 143.47702 114.25877 129.13256 112.65260 139.67688 111.72512 131.19996 [36] 111.35765 145.89593 126.76714 135.99436 110.73329 > y2=rnorm(40,120,14) > y2 [1] 131.28719 120.36768 105.77885 129.98784 109.31418 112.44139 137.87768 [8] 117.27134 141.45105 120.99906 123.18585 115.49620 110.16687 121.72994 [15] 128.96870 118.54851 103.18574 133.95222 134.16183 130.15568 121.38602 [22] 131.98998 120.68631 102.94306 126.76292 122.21475 129.68937 115.60235 [29] 102.30001 114.59890 96.08491 97.54549 106.98162 95.13663 104.44225 [36] 138.37219 91.21682 107.73668 141.34078 123.06597 > x3=rnorm(50,120,14) > x3 [1] 131.63652 122.91643 145.45729 116.56031 132.31744 107.76710 112.29348 [8] 146.52895 132.89130 128.58778 112.43440 126.44310 121.19138 138.86838 [15] 136.67056 124.85554 126.64458 110.24736 126.88454 109.73845 125.88560 [22] 150.56983 125.62915 91.61998 133.91093 123.98028 136.23216 140.46058 [29] 111.94976 109.76050 106.95594 136.57587 138.21150 100.18272 127.40883 [36] 120.18239 117.85640 100.71999 115.48983 130.82044 117.12016 118.13394 [43] 136.79475 115.56626 98.29371 144.53219 145.32230 109.04295 132.78666 [50] 119.03332 > y3=rnorm(50,120,14)


> y3 [1] 147.83840 92.67358 121.54238 132.68769 123.53382 104.65769 130.47874 [8] 125.84043 115.26361 112.49331 105.16432 109.21466 127.16679 135.23832 [15] 98.53706 109.09693 117.63656 114.96338 130.37183 105.11275 131.80506 [22] 110.94184 113.41095 86.27831 135.17717 109.21646 112.41014 110.83375 [29] 110.07676 122.34413 121.99011 102.64644 132.45225 127.92542 129.41484 [36] 114.68198 91.10790 117.70676 123.40856 138.02540 128.57602 116.55264 [43] 112.76810 111.43605 125.68357 115.37092 131.87023 115.87505 119.54974 [50] 131.50800 > x4=rnorm(25,120,14) > x4 [1] 113.35733 125.14672 102.85252 110.98206 105.48052 140.58821 119.54112 [8] 116.70304 135.57994 112.54513 135.14843 130.95545 134.10345 109.45547 [15] 131.25337 104.24832 112.43259 134.48479 108.52405 128.56785 117.74898 [22] 96.81778 104.02075 131.04960 92.76292 > y4=rnorm(25,120,14) > y4 [1] 147.96881 120.39546 128.69081 137.27654 98.99308 92.41842 139.67673 [8] 128.94645 142.55636 122.62621 139.71258 117.17080 116.83343 130.68958 [15] 131.89502 122.53569 146.59078 118.63567 120.05133 92.62113 136.39825 [22] 138.50727 118.25646 104.42617 127.35469 > x5=rnorm(55,120,14)


> x5 [1] 106.76597 120.03006 114.11598 129.81369 131.88848 128.11385 103.37962 [8] 137.50936 123.47789 126.96299 130.45159 105.32659 125.47219 141.67309 [15] 162.96198 127.94145 129.29061 134.64428 119.58000 128.66220 110.68570 [22] 97.14506 115.52528 122.19081 122.06410 117.21028 138.14851 132.98823 [29] 131.77800 125.86892 125.82018 131.64150 112.00750 134.71850 109.85498 [36] 137.44785 142.38577 119.27231 99.55225 129.22558 133.95633 121.60594 [43] 113.19061 113.30490 109.38754 124.88095 132.40154 104.33827 134.30362 [50] 141.09523 114.46723 154.31160 108.44182 129.37758 121.86789 > y5=rnorm(55,120,14) > y5 [1] 107.29819 114.49790 125.58829 130.36368 141.52269 98.88041 110.57453 [8] 145.86932 104.60350 112.03059 142.84126 104.44202 128.20357 130.11938 [15] 120.65445 128.22006 117.06278 122.90797 115.98615 107.34458 116.93099 [22] 97.13816 106.11089 118.78050 119.60689 126.44957 106.65153 130.26875 [29] 129.70956 109.96984 128.93101 104.94438 98.97440 112.41212 104.92901 [36] 97.69217 128.74121 109.75359 145.48902 149.74951 125.04031 133.12686 [43] 124.23704 123.70587 124.27825 123.79799 99.56769 133.40300 116.15075 [50] 96.49465 111.30195 113.75085 98.98993 116.40738 118.34617


Lampiran 4 Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk uji homogenitas variansi, uji 𝑡 dan penyajian data.

1. Uji Homogenitas Variansi > library(Rcmdr) > sampel1=c(x1,y1) > sampel2=c(x2,y2) > sampel3=c(x3,y3) > sampel4=c(x4,y4) > sampel5=c(x5,y5) > group1=as.factor(c(rep(1,length(x1)),rep(2,length(y1)))) > group2=as.factor(c(rep(1,length(x2)),rep(2,length(y2)))) > group3=as.factor(c(rep(1,length(x3)),rep(2,length(y3)))) > group4=as.factor(c(rep(1,length(x4)),rep(2,length(y4)))) > group5=as.factor(c(rep(1,length(x5)),rep(2,length(y5)))) > levene.test(sampel1,group1) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 1

0.4912

0.4858

68 > levene.test(sampel2,group2) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 1 78

0.5883 0.4454


> levene.test(sampel3,group3) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 1

0.5083

0.4776

98 > levene.test(sampel4,group4) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 1

0.0496

0.8247

48 > levene.test(sampel5,group5) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group 1

0.2482

0.6193

108

2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Uji 𝒕 > dat1=cbind(sampel1,group1) > dat2=cbind(sampel2,group2) > dat3=cbind(sampel3,group3) > dat4=cbind(sampel4,group4) > dat5=cbind(sampel5,group5) > t.test(sampel1~group1, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d ata=dat1)


Two Sample t-test data: sampel1 by group1 t = 2.9109, df = 68, p-value = 0.004869 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 3.205576 17.181073 sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 125.2073

115.0140

> t.test(sampel2~group2, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d ata=dat2) Two Sample t-test data: sampel2 by group2 t = 2.2271, df = 78, p-value = 0.02882 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.678295 12.108489 sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 124.8040

118.4106

> t.test(sampel3~group3, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d ata=dat3) Two Sample t-test data: sampel3 by group3 t = 2.1205, df = 98, p-value = 0.03649


alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.3609533 10.8953272 sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 123.8393

118.2111

> t.test(sampel4~group4, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d ata=dat4) Two Sample t-test data: sampel4 by group4 t = -1.6137, df = 48, p-value = 0.1132 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -14.992311 1.642124 sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 118.1740

124.8491

> t.test(sampel5~group5, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d ata=dat5) Two Sample t-test data: sampel5 by group5 t = 2.3612, df = 108, p-value = 0.02001 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.9622474 11.0261580


sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 124.3732

118.3790

3. Penyajian Data > Data1=c(mean(x1),sd(x1),35,mean(y1),sd(y1),35) > Data2=c(mean(x2),sd(x2),40,mean(y2),sd(y2),40) > Data3=c(mean(x3),sd(x3),50,mean(y3),sd(y3),50) > Data4=c(mean(x4),sd(x4),25,mean(y4),sd(y4),25) > Data5=c(mean(x5),sd(x5),55,mean(y5),sd(y5),55) > dat = as.data.frame(rbind(Data1,Data2,Data3,Data4,Data5)) > colnames(dat)=c("m.Eksperimen","sd.Eksperimen","n.Eksperimen","m.Kontrol"," sd.Kontrol","n.Kontrol") > dat m.Eksperimen sd.Eksperimen n.Eksperimen m.Kontrol sd.Kontrol n.Kontrol Data1

125.2073

15.83617

35

115.0140 13.35698

35

Data2

124.8040

12.13542

40

118.4106 13.50426

40

Data3

123.8393

13.80511

50

118.2111 12.71455

50

Data4

118.1740

13.65497

25

124.8491 15.53483

25

Data5

124.3732

13.12314

55

118.3790 13.49931

55


Lampiran 5 Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk perhitungan effect size dan perhitungan meta-analisis dengan menggunakan model efek tetap dan model efek acak.

1. Perhitungan Effect Size 𝒅 > pooled.sd = sqrt(((dat$n.Eksperimen-1)*dat$sd.Eksperimen^2+(dat$n.Kontrol1)*dat$sd.Kontrol^2)/(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol-2)) > n=5 > N = dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol > J = 1- 3/(4*N-9) > d = (dat$m.Eksperimen-dat$m.Kontrol)/pooled.sd >d [1] 0.6958322 0.4980014 0.4240921 -0.4564124 0.4502668 > var.d=(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol)/(dat$n.Eksperimen*dat$n.Kontrol)+(d^ 2/(2*(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol))) > dunb= J*d > dunb [1] 0.6881293 0.4931976 0.4208382 -0.4492436 0.4471327 > var.dunb=(J^2)*var.d > lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d) > upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d) > cbind(lowCI.d, dunb, upCI.d) lowCI.d

dunb

upCI.d

[1,] 0.21333253

0.6881293 1.1783319

[2,] 0.05299063

0.4931976 0.9430122

[3,] 0.02771013

0.4208382 0.820474


[4,] -1.01795540 -0.4492436 [5,] 0.07180313

0.1051306

0.4471327 0.8287305

2. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Tetap > w = 1/var.dunb > tot.w = sum(w) > rel.w = w/tot.w > rel.w [1] 0.1666394 0.1953355 0.2452253 0.1241904 0.2686095 > M = sum(rel.w*dunb) >M [1] 0.378521 > var.M = 1/tot.w > se.M = sqrt(var.M) > lowCI.M = M-1.96*se.M > upCI.M = M+1.96*se.M > z = M/se.M >z [1] 3.808856 > pval = 2*(1-pnorm(abs(z))) > pval [1] 0.0001396111 > library(metafor) > result.smdf <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen, sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "FE", measure = "SMD",data = dat)


> result.smdf Fixed-Effects Model (k = 5) Test for Heterogeneity: Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347 Model Results: estimate

se

zval

pval

ci.lb

ci.ub

0.3798 0.1003 3.7866 0.0002 0.1832 0.5763

***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > forest(result.smdf)

3. Heterogenitas Effect Size > Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w >Q [1] 10.66608 > df= n-1 > df [1] 4 > C = tot.w - sum(w^2)/tot.w


> tau2 = (Q-df)/C > tau2 [1] 0.0813

4. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Acak > wR = 1/(var.dunb+tau2) > tot.wR = sum(wR) > rel.wR = wR/tot.wR > rel.wR [1] 0.1893706 0.2016492 0.2183773 0.1658709 0.2247319 > MR = sum(rel.wR*dunb) > MR [1] 0.3476344 > var.MR = 1/tot.wR > se.MR = sqrt(var.MR) > lowCI.MR=MR-1.96*se.MR > upCI.MR=MR+1.96*se.MR > zR = MR/se.MR > zR [1] 2.112594 > pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR))) > pval.R [1] 0.03463556 > library(metafor) > result.smdr <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen, sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "DL", measure = "SMD",data = dat)


> result.smdr Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL)

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.0814 (SE = 0.0948) tau (square root of estimated tau^2 value):

0.2854

I^2 (total heterogeneity / total variability):

61.40%

H^2 (total variability / sampling variability):

2.59

Test for Heterogeneity: Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347

Model Results:

estimate

se

zval

pval

ci.lb

ci.ub

0.3491 0.1638 2.1315 0.0330 0.0281 0.6701

*

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


> forest(result.smdr)

> funnel(result.smdr)


Lampiran 6 Tabel Z (Tabel Probabilitas Normal Standar di Sisi Kiri Kurva Normal) Z

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

-3

0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011

-2.9

0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015

-2.8

0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021

-2.7

0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028

-2.6

0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038

-2.5

0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051

-2.4

0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068

-2.3

0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089

-2.2

0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116

-2.1

0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150

-2

0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192

-1.9

0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244

-1.8

0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307

-1.7

0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384

-1.6

0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475

-1.5

0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582

-1.4

0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708

-1.3

0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853

-1.2

0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020

-1.1

0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210

-1

0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423

-0.9

0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660

-0.8

0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922

-0.7

0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206


-0.6

0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514

-0.5

0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843

-0.4

0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192

-0.3

0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557

-0.2

0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936

-0.1

0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325

0

0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721

0.1

0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675

0.2

0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064

0.3

0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443

0.4

0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808

0.5

0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157

0.6

0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486

0.7

0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794

0.8

0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078

0.9

0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340

1

0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577

1.1

0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790

1.2

0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980

1.3

0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147

1.4

0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292

1.5

0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418

1.6

0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525

1.7

0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616

1.8

0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

1.9

0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

2

0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808


2.1

0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850

2.2

0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884

2.3

0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911

2.4

0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

2.5

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

2.6

0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962

2.7

0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972

2.8

0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979

2.9

0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985

3

0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989


Lampiran 7 Tabel Probabilitas Distribusi 𝑡 𝑡.1

𝑡.05

𝑡.025

𝑡.01

𝑡.005

𝑑𝑓

3.078

6.314

12.706

31.821

63.657

1

1.886

2.920

4.303

6.965

9.925

2

1.638

2.353

3.182

4.541

5.841

3

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

4

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

5

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

6

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

7

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

8

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

9

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

10

1.363

1.796

2.201

2.718

3.106

11

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

12

1.350

1.771

2.160

2.650

3.012

13

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

14

1.341

1.753

2.131

2.602

2.947

15

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

16

1.333

1.740

2.110

2.567

2.898

17

1.330

1.734

2.101

2.552

2.878

18

1.328

1.729

2.093

2.539

2.861

19

1.325

1.725

2.086

2.528

2.845

20

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

21

1.321

1.717

2.074

2.508

2.819

22

1.319

1.714

2.069

2.500

2.807

23

1.318

1.711

2.064

2.492

2.797

24


1.316

1.708

2.060

2.485

2.787

25

1.315

1.706

2.056

2.479

2.779

26

1.314

1.703

2.052

2.473

2.771

27

1.313

1.701

2.048

2.467

2.763

28

1.311

1.699

2.045

2.462

2.756

29

1.282

1.645

1.960

2.326

2.576

inf.

EFFECT SIZE PADA PENGUJIAN HIPOTESIS. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains. Program Studi Matematika

Recommend Documents