SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika. Oleh :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS MENGGUNAKAN METODE GOLDEN SECTION SEARCH YANG DIKOMBINASIKAN DENGAN KONSEP ALJABAR DAN GEOMETRI

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas NIM : 131414039

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017


NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS MENGGUNAKAN METODE GOLDEN SECTION SEARCH YANG DIKOMBINASIKAN DENGAN KONSEP ALJABAR DAN GEOMETRI

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas NIM : 131414039

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

i




HALAMAN PERSEMBAHAN “A great discovery solves a great problem but there is a grain of discovery in the solution of any problem. Your problem may be modest, but if it challenges your curiosity and brings into play your inventive faculties, and if you solve it by own means you may experience the tension and enjoy the triumph of discovery” George Polya “Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur.” Filipi 4:6 Karya ini kupersembahkan untuk : Keluarga kecilku : Petrus Sunardi, Lucia Purwanti dan Ch. Lucky A. Barnabas Kresna R. Sahabat seperjuangan : Fransiska Dian R., Rosalia Widi L., Paskalia K., Valentina Retno P., Reska D., Lusia Widya K. Keluarga Van Lith Angkatan 20 Seluruh teman-teman seperjuangan mahasiswa Pendidikan Matematika 2013

iv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 29 Mei 2017 Penulis

Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas

v


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK Yang bertanda tangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama

: Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas

NIM

: 131414039

Demi perkembangan ilmu pengetahuan saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul : NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS MENGGUNAKAN METODE GOLDEN SECTION SEARCH YANG DIKOMBINASIKAN DENGAN KONSEP ALJABAR DAN GEOMETRI Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpusatkaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademik tanpa perlu meminta izin kepada saya atau memberikan royalti pada saya selama masih tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 29 Mei 2017 Yang menyatakan

Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas

vi


ABSTRAK Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas, 2017. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Yang Simetris Menggunakan Metode Golden Section Search Yang Dikombinasikan Dengan Konsep Aljabar Dan Geometri. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Latar belakang dari penelitian ini adalah pengembangan dari penelitian terdahulu yang membahas tentang menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep aljabar dan geometri. Pada penelitian ini, metode yang digunakan untuk mencari nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 adalah metode numerik yang dikombinasikan dengan konsep aljabar dan geometri. Objek yang diteliti adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Metode numerik yang digunakan adalah metode Golden Section Search. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris sehingga fungsi unimodal pada selang tersebut dan menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menggunakan metode Golden Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep aljabar dan geometri. Langkah awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menguji kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5, ( ) . Jika fungsi merupakan fungsi yang simetris maka proses dilanjutkan ke langkah selanjutnya. Fungsi merupakan fungsi yang simetris jika fungsi memiliki pusat simetri di , dengan pusat simetri berupa titik simetri putar ( ( )). Langkah selanjutnya adalah melakukan translasi pada fungsi g dengan menggeser titik simetri putarnya ke O(0,0). Hasil translasi tersebut diperoleh suatu fungsi ganjil, yaitu fungsi . Proses selanjutnya adalah menentukan pembuat nol dari fungsi dan menganalisis banyaknya nilai ekstrem yang dimiliki oleh fungsi berdasarkan banyaknya pembuat nol real dari fungsi . Hasil analisis tersebut menunjukkan ada 7 kasus berbeda yang menggambarkan kemungkinan dari nilai ekstrem lokal fungsi . Dari hasil analisis tersebut juga diperoleh selang sedemikian sehingga fungsi unimodal pada selang tersebut. Selang tersebut terbentuk dari dua pembuat nol real dari fungsi . Setelah diperoleh selang tersebut, nilai ekstrem lokal dari fungsi ditentukan dengan menggunakan metode Golden Section Search. Proses akhir dari penelitian ini adalah menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi dengan cara mentranslasikan kembali dari fungsi ke fungsi . Setiap proses yang dilakukan dalam penelitian ini disimulasikan menggunakan komputer dan dituliskan menjadi sebuah program yang diaplikasikan pada MATLAB. Kata Kunci : Fungsi Polinomial Berderajat 5, Golden Section Search, Nilai Ekstrem, Polinomial, Unimodal. vii


ABSTRACT Cresentia Carina Ardianti Ayuningtyas, 2017. Extreme Relative Value of Symmetric Fifth Degree Polynomial Function Use Golden Section Search Method which is Combined with Algebraic and Geometry Concept. Thesis. Mathematics Education Studi Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher and Traingin and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The background of this research is the development from the previous research that discuss about extreme value of fifth degree polynomial function without derivative concepts, but with algebraic and geometry concepts. In this research, numerical method which is combined with algebraic and geometry concepts are used to determine extreme value of fifth degree polynomial function. The object of this research is symmetric fifth degree polynomial function. Golden Section Search method, one of numerical methods, is used in this research. This research aims to determine characteristic of symmetric fifth degree polynomial function, determine interval such that symmetric fifth degree polynomial function is unimodal in that interval and determine extreme relative value of symmetric fifth degree polynomial function with Golden Section Search that is combined with algebraic and geometry concepts. The first step is to do the symmetry test of fifth degree polynomial function, ( ) . If is a symmetric function, then the process will be continued. Function g is symmetric if has symmetry center at the center symmetry is rotational symmetry point ( ( )). The next step is to translate function by moving its rotational symmetry point to origin O(0,0). From the result of the translation, an odd function, which is called function , is obtained. The next step is to determine the zeros of and analyzing how many has extreme relative value based on the zeros of which it has. The result of this analysis indicates that there are 7 different cases that illustrate the possibility of extreme relative value . Besides, the analysis’s result finds interval such that function is unimodal in this interval. The interval is formed of two zeros-real, which are adjacent, of . After the interval is found, extreme relative value of is determined by Golden Section Search method. The last process is to determine extreme relative value of by translating to . Every process in this research are simulated by computer and written into program that can be applied in MATLAB. of

Keyword : Fifth Degree Polynomial Function, Golden Section Search, Extreme Value, Polynomial, Unimodal.

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan berkatNya, penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris Menggunakan Metode Golden Section Search yang Dikombinasikan dengan Konsep Aljabar dan Geometri” dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Banyak tantangan dan hambatan dalam proses penulisan skripsi ini, namun berkat dukungan, doa dan motivasi dari semua pihak, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan kali ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada beberapa pihak, di antaranya : 1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma. 3. Bapak Febi Sanjaya, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah berkenan meluangkan waktu, tenaga serta pikiran untuk membimbing penulis sekaligus memberikan banyak masukan dan nasihat kepada penulis selama menyusun skripsi. 4. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang telah banyak membimbing, memberikan nasihat dan motivasi kepada penulis selama berlangsungnya perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah membimbing, mendidik dan memberi nasihat kepada penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

ix


6. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif dan Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan kesekretariatan selama ini. 7. Kedua orangtuaku, Bapak Petrus Sunardi dan Ibu Lucia Purwanti, serta kakakku Christophorus Lucky Ardi Pratama, yang senantiasa memberikan motivasi, dukungan, semangat dan doa untuk penulis. 8. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013, yang sudah berproses bersama selama empat tahun ini. 9. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Semoga tulisan ini dapat memberi manfaat dan wawasan kepada setiap pembaca.

Yogyakarta, 29 Mei 2017

Penulis

x


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL........................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. ii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... iv HALAMAN KEASLIAN KARYA .................................................................... v HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ...................................... vi ABSTRAK .......................................................................................................... vii ABSTRACT ..........................................................................................................viii KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix DAFTAR ISI ....................................................................................................... xi DAFTAR SIMBOL.............................................................................................xiv DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv DAFTAR TABEL .......................................................................................... xviii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. xix BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1 A. Latar Belakang ........................................................................................1 B. Rumusan Masalah ...................................................................................6 C. Pembatasan Masalah ...............................................................................6 D. Batasan Istilah .........................................................................................6 E. Tujuan Penelitian.....................................................................................8 F. Manfaat Penelitian...................................................................................8

xi


G. Metode Penelitian ....................................................................................9 H. Sistematika Penulisan..............................................................................10 BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................12 A. Polinomial ...............................................................................................12 B. Fungsi Polinomial ...................................................................................13 C. Pembuat Nol Fungsi Polinomial .............................................................24 D. Diskiriminan ............................................................................................37 E. Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial ............................................................39 F. Translasi ..................................................................................................43 G. Optimasi ..................................................................................................45 H. Golden Section ........................................................................................47 I. Metode Golden Section Search ...............................................................50 J. Penelitian yang Relevan ..........................................................................60 BAB III FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5.........................................64 A. Fungsi Polinomial Berderajat 5 ...............................................................64 B. Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris ........................................69 C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Menggunakan Golden Section ........................................................................................78 D. Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris ......................................................................89 E. Uji Simetris Fungsi Polinomial Berderajat 5 ..........................................95 F. Proses Translasi Fungsi Polinomial Berderajat 5 ....................................96

xii


BAB IV NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS ................................................................99 A. Pembuat Nol dari Fungsi Polinomial

..................................................99

B. Titik Ekstrem Lokal Fungsi Polinoimal Ditinjau dari Pembuat Nol Fungsi ...................................................................................................106 C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial

Menggunakan Metode

Golden Section Search ............................................................................169 D. Nilai Ekstrem Fungsi Awal .....................................................................175 E. Analisis Kesalahan ..................................................................................177 BAB V PENUTUP ..............................................................................................182 A. Kesimpulan..............................................................................................182 B. Saran ........................................................................................................188 DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................189 LAMPIRAN ........................................................................................................191

xiii


DAFTAR SIMBOL

: Himpunan semua bilangan real. : Himpunan semua bilangan kompleks. : Notasi tak hingga. : Notasi bentuk ekuivalen atau bentuk biimplikasi. : Notasi implikasi. ̅ ∑

:

, konjugat dari bilangan kompleks

: Sigma atau notasi jumlahan suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret.

⃗⃗⃗⃗⃗

: Vektor atau garis berarah dari titik A ke titik B.

̅̅̅̅

: Segmen garis yang menghubungkan titik A dan titik B. : Tanda akhir pembuktian.

QED

: Quod Erat Demonstrandum, artinya sudah terbukti.

xiv


DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap (Even Function) .......................................... 16 Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil (Odd Function) ............................................ 16 Gambar 2.3 Grafik Fungsi ( )

.... 17

Gambar 2.4 Grafik Fungsi ( )

.................... 17

Gambar 2.5 (a) Fungsi Naik, (b) Fungsi Turun, (c) Fungsi Konstan ................ 18 Gambar 2.6 Grafik Fungsi yang Mulus dan Kontinu (Smooth and Continous Curve)......................................................................... 19 Gambar 2.7 Grafik Fungsi yang Tidak Kontinu ................................................ 19 Gambar 2.8 Grafik Fungsi yang Tidak Mulus ................................................... 20 Gambar 2.9 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk

bilangan ganjil . 23

Gambar 2.10 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk

bilangan genap 23

Gambar 2.11(a)Akar Ganda-Dua,(b)Akar Ganda-Tiga,(c)Akar Ganda-Empat 26 Gambar 2.12 Titik – Titik Puncak dari Fungsi Polinomial ............................... 39 Gambar 2.13 Nilai Ekstrem Lokal dan Nilai Ekstrem Global ........................... 41 Gambar 2.14 Pergeseran Grafik Fungsi

secara Vertikal dan Horisontal ....... 45

Gambar 2.15 Ilustrasi Golden Ratio .................................................................. 48 Gambar 2.16 Kondisi ketika ( )

( )..................................................... 51

Gambar 2.17 Kondisi ketika ( )

( )..................................................... 52

Gambar 2.18 Kondisi ketika ( )

( ) ..................................................... 52

Gambar 2.19 (a) Kondisi ketika ( ) ( )

( ), (b) Kondisi ketika

( ) ........................................................................ 54

Gambar 2.20 Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( )

( )

untuk Kasus Minimum ................................................................ 54 Gambar 2.21 Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( )

( )

untuk Kasus Minimum ................................................................ 55 Gambar 2.22 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( )

( ) untuk Kasus Minimum ....................................... 55

Gambar 2.23 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Langsung Jika ( )

( ) untuk Kasus Minimum ....................................... 55

xv


Gambar 2.24 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Golden Section Search Jika ( )

( ) untuk Kasus Minimum................................ 57

Gambar 2.25 Ilustrasi Pereduksian Selang Metode Golden Section Search Jika ( )

( ) untuk Kasus Minimum................................ 57

Gambar 3.1 (a), (b), (c), (d) Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Polinomial Berderajat 5 ............................................................... 66 (e), (f), (g), (h) Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Polinomial Berderajat 5 ............................................................... 67 Gambar 3.2 Grafik Fungsi ( )

. 74

Gambar 3.3 Translasi Grafik Fungsi .............................................................. 75 Gambar 3.4 Grafik Fungsi ( )

............... 76

Gambar 3.5 Translasi Grafik Fungsi .............................................................. 78 Gambar 3.6 Grafik Fungsi

( )

... 80

Gambar 3.7 Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk

......... 93

Gambar 3.8 Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk Gambar 4.1 Grafik Fungsi ( )

(

)(

......... 94

) .................................... 107


(

)(

) ........................... 107


(

)(

) ................................. 113

Gambar 4.4 Grafik Fungsi

( )

(

Gambar 4.5 Kemungkinan Grafik Fungsi

)(

) ............................. 113

yang Memiliki 2 nilai

Ekstrem Lokal pada [ √ ] ......................................................... 115 Gambar 4.6 Grafik Fungsi ( )

(

)(

).............................. 122


(

)(

).............................. 122


(

) ................................................ 130


(

) ........................................ 130


(

) ............................................ 143


( )

(


) .......................................... 143 ...................................... 150

xvi


( )

................................ 150


...................................... 150


..................................... 151


Gambar 4.16 (a) Grafik Fungsi

dan

..................................................... 152

(b) Pergerakan garis

sebesar

dengan Grafik Fungsi

dan Titik Potongnya

.......................................................... 153

Gambar 4.17 Kemungkinan bentuk grafik jika ada 2 titik potong antara dan Gambar 4.18 Grafik fungsi

( )................................................................. 157 dan

................................................................. 157

Gambar 4.19 Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar Gambar 4.20 Grafik fungsi

............................... 159

dan ................................................................... 159

Gambar 4.21 Kemungkinan bentuk grafik jika terdapat 3 titik potong dan

( )................................................................. 161

Gambar 4.22 Grafik fungsi

dan ................................................................... 162

Gambar 4.23 Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar Gambar 4.24 Grafik fungsi

............................... 163

dan ................................................................... 163

Gambar 2.25 Ilustrasi kesalahan metode numerik karena kebergantungan nilai

pada kasus 6 ..................................................................... 179

Gambar 4.26 Ilustrasi keterbatasan iterasi dan kebergantungan nilai metode numerik pada kasus 6...................................................... 180

xvii


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Penamaan Beberapa Fungsi Polinomial .............................................. 13 Tabel 2.2 Sifat The End Behavior of Polynomials .............................................. 22 Tabel 3.1 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di

............ 82

Tabel 3.2 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di

................ 84

Tabel 3.3 Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di

.......... 87

Tabel 3.4 Hasil Iterasi Menentukan Nliai Maksimum Lokal di

.......... 89

Tabel 5.1 Kemungkinan Banyaknya Nilai Pembuat Nol Real dari Fungsi ....184 Tabel 5.2 Kemungkinan Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Berdasarkan Pembuat Nol dari Fungsi ..........................................185

xviii


DAFTAR LAMPIRAN

1. Code Program MATLAB ............................................................................ 192 2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1 ............................................ 217 3. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 2 ............................................ 219 4. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 3 ............................................ 221 5. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 4 ............................................ 222 6. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 5 ............................................ 224 7. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 6 ............................................ 225

xix


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah optimasi merupakan permasalahan yang berkaitan dengan mencari nilai ekstrem dari suatu fungsi. Nilai ekstrem fungsi identik dengan nilai dari suatu variabel bebas yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi. Konsep turunan sering digunakan untuk mencari nilai ekstrem dari sebuah fungsi, salah satunya adalah fungsi polinomial atau suku banyak. Pencarian nilai ekstrem dari fungsi polinomial menggunakan konsep turunan dapat dilakukan dengan mencari akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial. Konsep turunan dapat mudah digunakan untuk mencari nilai ekstrem pada fungsi polinomial yang sederhana, seperti fungsi kuadrat dan fungsi kubik. Sebab, hasil turunan pertama dari fungsi kuadrat dan fungsi kubik dapat dengan mudah dicari akar-akar persamaannya. Masalah seringkali muncul apabila konsep turunan digunakan untuk mencari nilai ekstrem dari beberapa fungsi polinomial berderajat tinggi, seperti polinomial berderajat 4, 5, dan seterusnya. Permasalahan yang muncul adalah metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial berderajat tinggi secara analitik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah metode Horner. Namun, metode Horner tidak dapat digunakan dengan mudah untuk mencari

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

seluruh akar-akar persamaan dari turunan pertama fungsi polinomial berderajat tinggi. Berbagai penelitian muncul untuk menyelidiki metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai ekstrem dari fungsi polinomial tanpa menggunakan konsep turunan. Taylor dan Hansen (2008) dalam artikel “Optimization Cubic Function without Calculus” menunjukkan hasil penelitian tentang pencarian nilai ekstrem pada fungsi polinomial berderajat 3 atau fungsi kubik tanpa menggunakan konsep turunan tetapi menggunakan konsep sederhana aljabar dan geometri. Penelitian tersebut menghasilkan suatu formula mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 3, yang hasilnya sama dengan formula akhir jika menggunakan turunan. Ayuningtyas, Setyarini dan Retnosari (2016) dalam artikel “Permasalahan Optimasi Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan”, mencoba mengembangkan penelitian dari Taylor dan Hansen, pada fungsi polinomial yang berorde lebih tinggi, yaitu fungsi polinomial berderajat 5. Penelitian yang dilakukan tetap menggunakan ide dasar yang sama yaitu melibatkan konsep sederhana aljabar dan geometri. Hasil penelitian pengembangan tersebut masih menunjukkan permasalahan dalam mencari

nilai

ekstrem

fungsi

polinomial berderajat 5 dengan mengunakan konsep aljabar dan geometri dan meninggalkan sistem persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara eksak.


Permasalahan yang masih ditinggalkan dalam hasil penelitian Ayuningtyas, Setyarini dan Retnosari, melatarbelakangi penelitian ini untuk meninjau lebih jauh metode yang dapat digunakan dalam mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 tanpa menggunakan konsep turunan. Pada penelitian ini penyelesaian dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 menggunakan metode numerik, yaitu sebuah teknik penyelesaian secara sistematis dengan menggunakan operasi hitung atau aritmetika dan dilakukan secara iteratif baik manual atau dengan bantuan komputer. Metode numerik menggunakan pendekatan atau aproksimasi untuk mencari solusi dan sifatnya bersifat hampiran, yang artinya terdapat galat atau error. Menurut Priswanto (2005), secara numeris terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel, yaitu metode Golden Section Search, metode Fibonacci, metode Biseksi dan metode Newton-Raphson. Metode Biseksi dan Newton-Raphson menggunakan teknik yang melibatkan turunan pertama dan kedua dari fungsi. Sedangkan, metode Golden Section Search dan metode Fibonacci menggunakan teknik evaluasi nilai fungsi dan penyempitan selang. Jika ditinjau dari nilai awalan, metode Golden Section Search dan Fibonacci merupakan metode tertutup, dan metode Biseksi dan metode Newton-Raphson merupakan metode terbuka. Metode Golden Section Search dan metode Fibonacci keduanya tidak menggunakan konsep


turunan dalam menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel tanpa kendala. Kedua metode tersebut menggunakan penyempitan atau pereduksian selang awal yang diketahui. Namun, yang menjadi pembeda dari kedua metode tersebut adalah konstanta yang digunakan untuk melakukan eliminasi atau reduksi selang. Pada metode Golden Section Search, konstanta yang digunakan untuk mengeliminasi selang selalu tetap atau konstan untuk setiap iterasi. Sedangkan pada metode Fibonacci, konstanta yang digunakan untuk mengeliminasi selang berbeda untuk setiap iterasi. Konstanta yang digunakan pada metode Fibonacci menggunakan suku-suku barisan Fibonacci tertentu di setiap iterasi yang disesuaikan dengan formula pada algoritmanya. Jika ditinjau dari penentuan konstanta, metode Golden Section Search lebih sederhana daripada metode Fibonacci, karena konstanta yang digunakan tetap untuk setiap iterasi. Pada metode Fibonacci, setiap iterasi konstanta bergantung pada suku-suku barisan Fibonacci tertentu, yang artinya diperlukan proses untuk mencari suku tertentu atau suku yang diminta di setiap iterasi. Oleh karena itu, peneliti memilih metode Golden Section Search sebagai metode yang tepat pada penelitian ini untuk mencari nilai ekstrem fungsi polinomial dengan satu variabel, sebab algoritma yang digunakan tidak menggunakan konsep turunan dan konstanta yang digunakan untuk mereduksi selang selalu konstan untuk setiap iterasi.


Tugas akhir ini akan mencoba untuk menggabungkan ide dasar pada penelitian-penelitian yang sudah ada dengan salah satu metode numerik, yaitu metode Golden Section Search. Metode Golden Section Search hanya dapat digunakan pada fungsi yang unimodal pada selang tertentu, yang artinya fungsi hanya memiliki satu maksimum atau minimum pada selang tersebut. Metode Golden Section Search merupakan metode tertutup (bracketing method), artinya perlu diketahui selang yang mempunyai nilai batas atas dan batas bawah sedemikian sehingga ada satu nilai ekstrem yang termuat dalam selang tersebut. Penggunaan metode Golden Section Search biasanya menggunakan selang yang sudah diketahui terlebih dahulu, yang menjamin bahwa fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut. Namun, pada penelitian ini akan diteliti bagaimana mencari selang yang sedemikian sehingga fungsi, khususnya fungsi polinomial berderajat 5, bersifat unimodal pada selang tersebut. Penelitian ini akan difokuskan pada fungsi polinomial berderajat 5 yang bersifat simetris atau memiliki titik simetri putar (rotational symmetry). Penggabungan kedua metode tersebut akan menjadi menarik untuk diteliti karena hasil algoritma dari kedua metode tersebut akan disimulasikan secara numeris menggunakan komputer dan dituangkan menjadi sebuah program yang dapat diaplikasikan pada software pemrograman seperti MATLAB.


B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, peneliti dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimana karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris? 2. Bagaimana cara menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut? 3. Bagaimana cara menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan Metode Golden Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep aljabar dan geometri?

C. Pembatasan Masalah Pembatasan masalah pada penelitian ini adalah fungsi polinomial yang digunakan dibatasi pada fungsi polinomal berderajat 5 dalam satu variabel yang mempunyai titik simetri putar (rotational symmetry) dan pencarian nilai ekstrem fungsi polinomial tanpa menggunakan konsep turunan.

D. Batasan Istilah Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman dalam memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah sebagai berikut.


1. Nilai maksimum dari suatu fungsi fungsi

pada himpunan

adalah nilai

terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan

, dimana

adalah daerah asal dari . 2. Nilai minimum dari suatu fungsi fungsi

pada himpunan

adalah nilai

terkecil yang dicapai pada keseluruhan himpunan

, dimana

adalah daerah asal dari . 3. Nilai maksimum lokal dari fungsi fungsi

pada interval terbuka adalah nilai

yang terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan

interval terbuka tersebut. 4. Nilai minimum lokal dari fungsi fungsi

pada interval terbuka adalah nilai

yang terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan

interval terbuka tersebut. 5. Nilai ekstrem global adalah nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi. 6. Nilai ekstrem lokal adalah nilai maksimum atau minimum lokal dari sebuah fungsi. 7. Nilai ekstrem adalah nilai ekstrem global atau lokal dari sebuah fungsi. 8. Titik simetri putar (rotational symmetry point) adalah titik yang menjadi pusat simetri putar pada sebuah bangun atau kurva. 9. Fungsi bersifat unimodal pada suatu selang jika pada selang tersebut fungsi hanya memuat satu nilai maksimum atau minimum lokal.


E. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk : 1. Mengetahui karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. 2. Menentukan selang pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut. 3. Menentukan algoritma dalam mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan Metode Golden Section Search yang dikombinasikan dengan menggunakan konsep aljabar dan geometri.

F. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah : 1. Bagi Pembaca Pembaca dapat menambah pengetahuan tentang karakteristik fungsi polinomial berderajat yang simetris dan metode Golden Section Search yang dimodifikasi untuk mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris tanpa menggunakan konsep turunan. Selain itu, pembaca dapat menggunakan algoritma dan program yang terdapat di tugas akhir ini untuk menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menggunakan MATLAB atau software yang sejenis.


2. Bagi Penulis Penulis dapat menambah pengetahuan dan pengalaman dalam melakukan penelitian tentang metode Golden Section Search yang dimodifikasi untuk mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris tanpa menggunakan konsep turunan. 3. Bagi Universitas Universitas dapat menambah hasil penelitian yang dapat digunakan untuk penelitian-penelitian selanjutnya yang memiliki kaitan dengan penelitian ini.

G. Metode Penelitian Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode studi literatur atau studi pustaka dan simulasi numeris dengan komputer. Metode studi pustaka yang dilakukan adalah dengan mempelajari buku, literatur, jurnal dan hasil penelitian yang berkaitan dengan metode Golden Section Search, optimasi fungsi polinomial berderajat 5 dan karakteristik fungsi polinomial berderajat 5. Buku, jurnal dan hasil penelitian tersebut berperan sebagai data sekaligus sumber data yang menjadi acuan dalam proses penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Mencari dan membaca berbagai referensi terkait topik nilai ekstrem fungsi polinomial, fungsi polinomial berderajat 5, metode Golden


Section Search melalui buku, jurnal ilmiah, penelitian yang relevan, dan data di internet. 2. Mempelajari konsep nilai ekstrem pada fungsi polinomial, fungsi polinomial berderajat 5, konsep dan algoritma metode Golden Section Search. 3. Mengeksplorasi

pengetahuan

dengan

melakukan

uji

coba

menggunakan metode Golden Section Search dalam mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 dengan bantuan aplikasi Microsoft Excel, Geogebra dan Matlab. 4. Menyusun program metode Golden Section Search untuk proses optimasi fungsi polinomial berderajat 5 di aplikasi Matlab. 5. Menyusun seluruh materi dan hasil penelitian secara runtut agar mudah dipahami oleh pembaca.

H. Sistematika Penulisan Bab pertama merupakan bagian pendahuluan. Bagian pendahuluan ini berisi mengenai latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, batasan istilah, tujuan, manfaat, metode penelitian dan sistematika penulisan. Bab dua berisi penjelasan tentang definisi polinomial, fungsi polinomial diskriminan

satu

variabel,

persamaan

akar-akar

kuadrat,

dari

metode

persamaan yang

polinomial,

digunakan

untuk

menentukan akar-akar persamaan polinomial, nilai ekstrem pada fungsi


polinomial, definisi fungsi naik dan fungsi turun, definisi fungsi ganjil dan fungsi genap, definsi translasi, permasalahan optimasi dan metode Golden Section Search yang akan menjadi dasar teori dari penelitian ini. Selain itu, bab dua juga berisikan penelitian yang relevan terkait dengan penulisan skripsi ini. Bab tiga berisi karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dan gambaran secara umum tentang langkah-langkah dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Setiap langkah dalam menentukan nilai ekstrem dituangkan dalam program yang disimulasikan menggunakan software MATLAB. Pada bab tiga juga berisikan program yang telah disusun sesuai dengan langkah yang sedang dibahas. Bab empat berisi pembahasan lebih lanjut tentang proses pencarian nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yaitu khususnya tentang mencari selang pada fungsi polinomial yang simetris, sehingga fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut. Setelah ditemukan selang yang membuat fungsi bersifat unimodal, proses menentukan nilai ekstrem dilanjutkan dengan menggunakan metode Golden Section Search. Bab empat juga berisikan program yang telah disusun yang disesuaikan dengan langkah atau proses yang sedang dibahas pada bab empat. Bab lima yang merupakan bab terakhir dalam skripsi ini, berisikan kesimpulan hasil penelitian dan saran-saran yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.


BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisikan landasan teori yang digunakan dalam tugas akhir. Landasan teori yang digunakan meliputi polinomial, fungsi polinomial, akar-akar dari persamaan polinomial, diskriminan, titik ekstrem lokal pada fungsi polinomial, translasi, optimasi, Golden Section, Metode Golden Section dan penelitian yang relevan. A. Polinomial Aufmann dalam buku “College Algebra” menyatakan bahwa monomial adalah sebuah konstanta atau sebuah variabel atau hasil kali dari konstanta dan satu atau lebih variabel, dengan variabel yang memiliki eksponen bilangan bulat nonnegatif. Derajat dari monomial adalah jumlah eskponen pada variabel. Jumlahan berhingga dari bermacam-macam monomial disebut polinomial. Setiap monomial pada polinomial disebut suku dari polinomial. Definisi 2.1 (Aufmann, 1990:26) Bentuk umum dari polinomial satu variabel ( ) adalah :

dengan

(

atau kompleks, Koefisien

) adalah konstanta yang merupakan bilangan real dan

adalah bilangan bulat nonnegatif.

disebut sebagai leading coefficient dan

disebut

sebagai leading term. Dari definisi di atas, setiap polinomial dapat dinyatakan sebagai jumlahan berhingga dari suku-suku monomial yang

12


berbentuk

dengan variabel yang dipangkatkan oleh bilangan bulat

tidak negatif. Pangkat terbesar dari suku-suku di dalam polinomial adalah derajat dari polinomial. E.J Barbeau (2003) menyatakan bahwa dalam kasus banyak atau polinomial dituliskan

dikatakan polinomial berderajat

, suku dapat

. Berikut adalah penamaan beberapa fungsi

polinomial berderajat tertentu menurut E.J. Barbeau. Tabel 2.1 Penamaan Beberapa Fungsi Polinomial Degree of Polynomial

Type of Polynomial

1

Linear

2

Quadratic

3

Cubic

4

Quartic

5

Quintic

B. Fungsi Polinomial Relasi f dari himpunan D ke himpunan R adalah fungsi jika dan hanya jika setiap anggota himpunan D memiliki tepat satu pasangan dengan anggota di R oleh relasi f. Himpunan D disebut domain dari f dan himpunan R yang menjadi bayangan dari anggota himpunan D disebut range dari f. Fungsi

dilambangkan dengan : (Prayudi, 2006: 33)


Misal

*

diketahui

( )

( )

+ maka fungsi

+

dan

*

disebut fungsi real dan dapat dilambangkan

dengan : (Clapham, 1990: 148)

Penyajian fungsi dapat berupa himpunan pasangan terurut, rumus fungsi, diagram panah atau grafik fungsi (Aufmann, 1990: 148). Fungsi dapat diklasifikasikan menjadi fungsi ganjil (odd function), fungsi genap (even function), atau bukan keduanya. Definisi 2.2 (Aufmann,190:150) Fungsi

adalah fungsi genap jika (

)

( ) untuk setiap

anggota

( ) untuk setiap

anggota

domain . Fungsi

adalah fungsi ganjil jika (

)

domain . Contoh 2.1 : 1.

( ) Diperhatikan bahwa : (

)

(

)

(

)

( ) Fungsi genap.

memenuhi

(

)

( ), maka fungsi

adalah fungsi


2.


)

(

)

(

)

(

(

)

) ( )

Fungsi

memenuhi

(

)

( ), maka fungsi

adalah fungsi

ganjil. 3.


)

(

)

(

)

Pada bentuk di atas, fungsi dan

(

)

tidak memenuhi bentuk (

( ), maka fungsi

)

( )

bukan fungsi genap dan bukan

fungsi genap. Ciri geometris dari fungsi genap adalah grafik fungsinya simetris terhadap sumbu Y. Sumbu Y menjadi sumbu simetri dari grafik fungsi genap. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk secara

keseluruhan

dapat

digambarkan

secara

maka grafik mudah

dengan

mencerminkan terhadap sumbu Y. Sedangkan, ciri geometris dari fungsi ganjil adalah grafik fungsinya simetris terhadap titik asal O(0,0). Titik O(0,0) merupakan titik simetri putar (rotational symmetry) dari grafik fungsi ganjil. Artinya, jika grafik fungsi telah diperoleh untuk

maka


grafik secara keseluruhan dapat diperoleh dengan merotasikan sebesar dengan pusat rotasi titik O(0,0). (Stewart, 2009: 28) Menurut Carico (1984:123), jika dilihat secara grafik, fungsi genap simetris terhadap sumbu Y. Grafik fungsi artinya jika titik (

simetris terhadap sumbu Y

) termuat dalam grafik maka (

) juga termuat

dalam grafik. Sedangkan fungsi ganjil simetris terhadap titik O(0,0), atau yang sering disebut titik asal (origin). Grafk fungsi titik O(0,0) artinya jika titik ( (

simetris terhadap

) termuat dalam grafik maka titik

) juga termuat dalam grafik.

𝑦

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Genap (Even Function)

𝑦

𝑦

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Ganjil (Odd Function) Sumber : Calculus (Stewart, 2009:27)


Pada beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi genap tetapi sumbu simetrinya bukan sumbu Y. Ada pula beberapa grafik fungsi polinomial terlihat seperti fungsi ganjil tetapi titik simetrinya bukan pada O(0,0) (Goehle dan Kobayasi, 2013).

Gambar 2.3 Grafik fungsi 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4𝑥

Gambar 2.4 Grafik fungsi 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Pada gambar 2.3, grafik fungsi (

di (

terlihat simetris dengan titik simetri putar

)). Sedangkan pada gambar 2.4, grafik fungsi

simetris dengan sumbu simetri

terlihat

.

Goehle dan Kobayasi (2013) mendefinisikan fungsi polinomial berderajat

adalah fungsi ganjil di

putar di (

( )) untuk

jika fungsi

memiliki titik simetri

bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi untuk

genap di

jika fungsi

memiliki sumbu simetri di

Selanjutnya,

disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi

memiliki pusat simetri berupa sumbu simetri

bilangan genap.

artinya jika titik


(

) termuat dalam grafik maka titik (

grafik. Sedangkan, fungsi putar (

), dengan

) juga termuat dalam

memiliki pusat simetri berupa titik simetri

adalah nilai fungsi

termuat dalam grafik maka titik (

dari , artinya jika titik (

)

) juga termuat dalam

grafik. Grafik sebuah fungsi dapat berupa garis lurus ataupun kurva lengkung. Salah satu hal yang penting dalam membuat sketsa grafik fungsi adalah mengetahui fungsi naik atau fungsi turun atau fungsi konstan. Aufmann (1990:157) menjelaskan tentang fungsi naik (increasing function), fungsi turun (decreasing function) dan fungsi konstan (constant function) sebagai berikut : Definisi 2.3 (Aufmann,1990:157) Jika a dan b adalah anggota dalam interval I (baik interval tertutup ataupun terbuka) yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi , maka : (i) fungsi

naik pada I jika ( )

(ii) fungsi

turun pada I jika ( )

(iii) fungsi

konstan pada I jika

( ) untuk setiap ( ) untuk setiap ( )

( ) untuk setiap

dan

anggota I.

Gambar 2.5(a) Fungsi Naik

Gambar 2.5(b). Fungsi Turun

Gambar 2.5(c). Fungsi Konstan


Definisi 2.4 (Suryawan, 2016: 55) Fungsi polinomial adalah sebuah fungsi P:

dalam variabel

yang

berbentuk : ( ) dengan

adalah konstanta, yang disebut koefisien

polinomal,

dan


Domain atau daerah asal untuk semua fungsi polinomial real adalah

. Fungsi polinomial merupakan fungsi yang terdefinisi dan

kontinu untuk semua nilai

(Stewart, 2009: 40). Selain itu, setiap

fungsi polinomial memiliki grafik fungsi yang berbentuk kurva mulus dan kontinu (smooth continuous curves). Sebuah kurva mulus adalah kurva yang tidak memiliki ujung yang lancip. Sedangkan, kurva yang kontinu artinya kurva tidak memiliki lubang atau lompatan. (Swokowski dan Cole, 2004: 248)

Gambar 2.6 Grafik fungsi yang mulus dan kontinu (smooth continuous curve)

Gambar 2.7 Grafik fungsi yang tidak kontinu


Gambar 2.8 Grafik fungsi yang tidak mulus Sumber : courses.lumenlearning.com Grafik fungsi polinomial berderajat 0 atau fungsi konstan berbentuk garis lurus horisontal. Sedangkan grafik fungsi polinomial berderajat 1 atau fungsi linear berbentuk garis lurus atau linear dengan kemiringan tidak nol. Grafik dari fungsi polinomial berderajat 2 atau fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola (James Stewart, 2009: 40).

Definisi 2.5 (Swokowski dan Cole, 2004: 260) Sebuah polinomial

( ) dibagi oleh polinomial

( ) artinya dapat ditemukan polinomial

( ), dengan

( ) dan

( )

( ) sedemikian

sehingga : ( ) dengan

( ) kurang dari

( ) ( ).

( )

( )

( ) disebut sebagai pembagi dan

( ) adalah sisa. Definisi 2.5 sering disebut sebagai definisi dari algoritma pembagian pada polinomial atau division algorithm for polynomials.


Teorema 2.1 (Spitzbart & Bardell, 1958: 75) Jika sebuah polinomial

( ) dibagi dengan

, dengan

bilangan

sembarang hingga sisanya berupa konstanta, maka sisanya adalah ( ). Bukti : Misalkan hasil bagi ( ) oleh (

) adalah ( ) dan sisa pembagiannya

adalah konstanta , akan ditunjukkan bahwa ( )

.

Berdasarkan definisi 2.3, maka bentuk fungsi polinomial

dapat

dituliskan menjadi :

Untuk

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

, maka :

Teorema 2.1 terbukti.

QED

Menurut Aufmann (1990), bentuk grafik dari fungsi polinomial dapat diperkirakan dengan leading term test atau sering disebut dengan sifat the end behavior, yaitu dengan mengetahui sejauh mana nilai fungsi bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan. Jika diketahui fungsi berderajat

maka

disebut leading term dan

fungsi

,

( )

polinomial

, disebut leading coefficient dari

. Leading term test atau sifat dari the end behavior dapat

memperkirakan nilai fungsi

hanya dengan melihat leading term dan

leading coefficient dari fungsi . Leading term adalah suku yang memuat


pangkat tertinggi dari fungsi polinomial fungsi maka

. Diperhatikan bahwa untuk

, artinya dengan

mendominasi yang semakin besar,

juga akan bertambah semakin besar. Oleh karena itu, grafik

fungsi polinomial

dengan

sebagai leading term memiliki sifat

sebagai berikut :

Tabel 2.2 Sifat The End Behavior of Polynomials (Aufmann, 1990) bilangan genap

bilangan ganjil

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Grafik fungsi

semakin naik ke Grafik fungsi

semakin turun ke

kiri dan semakin naik ke kanan kiri dan semakin naik ke kanan (up to left and up to right).

(down to left and up to right).

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Jika

maka ( )

Grafik fungsi

semakin turun ke Grafik fungsi

semakin naik ke

kiri dan semakin turun ke kanan kiri dan semakin turun ke kanan (down to left and down to right).

(up to left and down to right).


Berikut adalah gambar yang mengilustrasikan sifat the end behavior of polynomials : 𝒏 bilangan ganjil

Up to left

Up to right

Down to right

Down to left

𝒂𝒏

𝟎

𝒂𝒏

𝟎

Gambar 2.9 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk 𝑛 bilangan ganjil

𝒏 bilangan genap

Up to right

Up to left

Down to right

Down to left

𝒂𝒏

𝟎

𝒂𝒏

𝟎

Gambar 2.10 Sifat The End Behavior of Polynomials untuk 𝑛 bilangan genap


C. Pembuat Nol Fungsi Polinomial Pembuat nol dari fungsi polinomial dari persamaan polinomial

( )

disebut juga solusi atau akar

. Menurut Departemen Pendidikan

dan Kebudayaan (1995), persamaan polinomial adalah polinomial satu variabel atau lebih yang sama dengan 0. Bentuk umum dari persamaan polinomial satu variabel dalam

dengan

(

dapat dituliskan :

) adalah konstanta yang merupakan bilangan real

atau kompleks,

dan


Definisi 2.6 (Aufmaan,1990:225) Jika

( ) adalah sebuah fungsi polinomial, maka nilai dari

membuat

( ) bernilai 0 disebut pembuat nol dari

dari persamaan ( )

yang

( ) atau akar-akar

.

Teorema 2.2 (Spitzbart & Bardell, 1958:76) Sebuah fungsi polinomial ( ) mempunyai faktor jika ( )

jika dan hanya

.

Bukti : 1. Misal fungsi

mempunyai faktor

Berdasarkan asumsi bahwa

. Akan ditunjukkan ( )

.

adalah faktor dari fungsi

dapat

) ( )

(2.1)

dituliskan : ( )

(

untuk suatu polinomial ( ).


Misal R adalah sisa pembagian dari persamaan (2.1) diperoleh

( ) oleh

, maka dari

dibagi oleh

, maka sisa

.

Berdasarakan teorema 2.1, jika fungsi

pembagiannya adalah ( ) Oleh karena itu, ( ) 2. Misal ( ) Asumsi ( )

. Akan ditunjukkan

. (terbukti)

adalah faktor dari fungsi .

, berdasarkan teorema 2.1 maka : ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

(2.2)

untuk suatu polinomial ( ). Dari persamaan (2.2) jelas bahwa (

) adalah faktor dari fungsi

polinomial . Dari 1 dan 2, teorema 2.2 terbukti.

QED

Pembuat nol dari fungsi polinomial dapat berupa bilangan yang kembar dan diulang untuk beberapa kali pembuat nol kembar atau disebut multiple zero. Sedangkan, akar-akar dari persamaan polinomial yang diulang untuk beberapa kali disebut akar-akar ganda atau multiple roots. Aufmann dalam buku “College Algebra” juga mengungkapkan definisi dari multiple zero of polynomial. Definisi 2.7 (Aufmann, 1990:226) Jika fungsi polinomial kali, maka polinomial .

memiliki (

) sebagai faktor untuk

disebut sebagai pembuat nol yang kembar sebanyak

dari


Sebagai contoh, misal diketahui )(

)(

)(

( )

(

)(

4). Pada fungsi polinomial P, untuk nilai

)( adalah :

5 sebagai pembuat nol kembar-dua atau zero of multiplicity 2 -2 sebagai pembuat nol kembar-tiga atau zero of multiplicity 3 -4 sebagai pembuat nol tunggal atau zero of multiplicity 1 (simple zero) Chapra dan Canale (1989) menyatakan bahwa jika akar-akar dari persamaan polinomial diulang sebanyak

kali, dengan

adalah bilangan

ganjil maka grafik fungsi polinomial akan memotong sumbu X di titik pembuat nol tersebut. Sedangkan untuk

bilangan genap, maka grafik

fungsi polinomial akan menyinggung sumbu X di titik pembuat nol tersebut.

Gambar 2.11(c). Akar Gambar 2.11(a). Akar Gambar 2.11(b). Akar ganda-empat ganda-dua ganda-tiga th Sumber : Numerical Method for Engineers 6 Edition

Teorema 2.3 (Loveless, 2011) Bilangan (

adalah pembuat nol dari fungsi polinomial ( ) berderajat

) jika dan hanya jika ( ) ( ) berderajat

.

(

) ( ) untuk suatu polinomial


Bukti : Misal fungsi polinomial ( ) berderajat (i)

( )

Asumsi berderajat

(

dengan

.


. Akan ditunjukkan

( )

adalah pembuat nol dari

fungsi . ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(2.3)

Berdasarkan definisi 2.4, persamaan (2.3) menunjukkan bahwa adalah pembuat nol dari fungsi . (terbukti) (ii)

Asumsi ( )

adalah pembuat nol dari fungsi (

. Akan ditunjukkan


( ) berderajat

. ( ) ( )

, ∑

Berdasarkan definisi 2.4 dan asumsi fungsi , maka ( ) ( )

( )


. ( )

( )

∑

∑

∑

(

)

24


Suku dengan

(

dieliminasi karena

)

(

)

. Oleh karena itu, fungsi ( )

)

Misalkan

(

)(

( )

(

( dengan

∑

(

)

maka bentuk (

Karena (

pada persamaan (2.4) dapat menjadi :

) dapat difaktorkan menjadi : ) ) maka

)

) ( )

(

(2.5)

( ) adalah fungsi polinomial dengan derajat

.

Persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) menjadi : ( )

) ( )

∑

(

(

)∑

(

) ( )

( )

Perhatikan bahwa : ( )

Suku

∑

( )

∑

(

terjadi satu kali disaat

adalah polinomial dengan derajat

)

dan

. Jadi,

( )

. (terbukti)

Dari (i) dan (ii), maka teorema 2.2 terbukti.

QED


Teorema 2.4 (Meserve, 1959:139) Setiap fungsi polinomial berderajat

memiliki

pembuat nol bilangan

kompleks yang tidak harus berbeda. Bukti : Pembuktian teorema ini menggunakan kontradiksi. Kasus 1 : Diketahui fungsi polinomial

berderajat 0. Misal

adalah pembuat nol

dari fungsi . Berdasarkan definisi 2.4 yaitu tentang definisi fungsi polinomial, fungsi polinomial

merupakan fungsi konstan dengan konstanta bukan nol,

sehigga fungsi

dapat dituliskan dalam bentuk : ( ) ( ) ( )

dengan

.

Diperhatikan dari bentuk fungsi ( )

. Artinya fungsi

kata lain fungsi

bahwa untuk semua nilai

, berlaku

tidak memiliki pembuat nol fungsi atau dengan

memiliki 0 pembuat nol. Hal ini bersifat kontradiksi

dengan asumsi yang dimiliki yaitu fungsi

memiliki 1 pembuat nol yaitu

. Kasus 2 : Misal

diketahui

fungsi

polinomial

( )

berderajat

adalah pembuat nol dari ( ) yang berjumlah

,

dan .


Berdasarkan teorema 2.1 dan 2.2, maka : ( )

(

)

( ) untuk suatu polinomial ( ) dan

kurangnya dari derajat misal

.

( )

(

)(

)

( ) mempunyai nilai pembuat nol,

( ) untuk suatu polinomial

derajatnya 2 kurangnya dari derajat pembuat nol, misal ( )

(

( ) yang derajatnya 1

( ) dan

( ) yang

( ) mempunyai nilai

.

)(

)(

)

( ) untuk satu polinomial

derajatnya 3 kurangnya dari derajat pembuat nol, misal

( ) dan

( ) yang

( ) mempunyai nilai

.

. . . ( )

(

)

(

)(

)(

( ) yang derajatnya

polinomial

)

( )

untuk

suatu

kurangnya dari derajat

( ) dan

( ) mempunyai nilai pembuat nol, misal ( )

Jika

(

maka

.

)

. Oleh karena itu haruslah

( ) adalah fungsi konstan. Misal

( )

.

Asumsi yang sudah dibuat adalah masih ada pembuat nol fungsi .

juga merupakan pembuat nol dari

( ), maka :

Persamaan tersebut dapat terjadi jika dan hanya jika mengakibatkan ( )

(

yaitu )

.

, yang

. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ( )

adalah polinomial berderajat

.


Jadi, fungsi polinomial berderajat

memiliki

bilangan real pembuat nol

fungsi. Jadi, teorema 2.4 terbukti.

QED

Teorema 2.5 (Aufmann, 1990:234) (

Jika polinomial

) adalah pembuat nol dari fungsi

√

( ) dengan koefisien bilangan real, maka konjugatnya yaitu

juga merupakan pembuat nol dari fungsi polinomial ( ) Bukti : Misal

( )

adalah pembuat nol dari fungsi P atau

. Akan

adalah pembuat nol juga atau ( ̅)

ditunjukkan ̅ ( ) dengan

(

(2.6) ) adalah bilangan real.

Karena bilangan kompleks yang ada di ruas kiri sama dengan bilangan kompleks di ruas kanan pada persamaan (2.6), maka berlaku juga untuk konjugatnya. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅

̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅

(sifat ̅̅̅̅̅̅̅

̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅ ̅

̅̅̅

(sifat ̅̅̅̅̅

̅ ̅)

(sifat ̅̅̅

̅ dan konjugat

̅

̅

̅

̅)

dari bilangan real adalah bilangan itu sendiri) ̅

̅

̅

Dari persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai ( ̅) Teorema 2.5 terbukti.

(2.7) . QED


Teorema 2.6 (Loveless, 2011) Setiap fungsi polinomial berderajat n memiliki paling banyak

pembuat

nol bilangan real. Bukti : Pembuktian teorema ini menggunakan induksi matematika. Misalkan

adalah fungsi polinomial berderajat

dalam variabel .

(i) Langkah Dasar : Jika

, maka fungsi

2.4, maka fungsi

adalah fungsi konstan. Berdasarkan definisi

dengan

dapat dinyatakan dalam bentuk : ( ) ( ) ( )

dengan

.

Jelas bahwa nilai ( )

untuk sembarang nilai , sehingga fungsi

tidak mempunyai nilai pembuat nol. Jadi, untuk

tidak ada

nilai pembuat nol dari fungsi . (ii) Diasumsikan benar untuk memiliki paling banyak bilangan bulat

dengan

(iii) Akan dibuktikan untuk berderajat bilangan real.

bahwa setiap polinomial berderajat pembuat nol bilangan real untuk suatu . berlaku fungsi polinomial

mempunyai paling banyak

pembuat nol


Misalkan fungsi

berderajat

. Jika fungsi f tidak memiliki

pembuat nol, maka jelas 0 Jika fungsi

.

memiliki paling tidak satu pembuat nol, misalkan a

adalah pembuat nol dari fungsi f, maka berdasarkan teorema 2.3 dapat dituliskan ( )

(

) ( )

dengan ( ) adalah suatu polinomial yang berderajat . Berdasarkan asumsi untuk banyak

, artinya fungsi

memiliki paling

pembuat nol bilangan real. Sedangkan, a adalah pembuat nol

dari fungsi f. Jadi,

( )

(

) ( ) memiliki paling banyak

pembuat

nol bilangan real. Dari (i),(ii),(iii) maka dapat disimpulkan untuk setiap polinomial berderajat

memiliki paling banyak

Teorema 2.6 terbukti.

pembual nol bilangan real. QED

Pembuat nol fungsi polinomial atau akar-akar dari persamaan polinomial dapat berupa bilangan kompleks atau bilangan real. Teorema 2.4 menunjukkan jika fungsi polinomial mempunyai akar kompleks, maka akar tersebut selalu berpasangan dengan konjugatnya, sehingga setiap fungsi polinomial memiliki akar-akar kompleks yang berpasangan. Pembuat nol real dapat menentukan apakah grafik fungsi polinomial memotong atau menyinggung sumbu X. Sedangkan pembuat nol yang


memuat bilangan imajiner tidak membuat grafik fungsi memotong dan meyinggung sumbu X. (Splitzbart dan Bardell, 1958:160). Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari pembuat nol dari fungsi polinomial atau akar-akar persamaan polinomial. Berdasarkan teorema 2.4, fungsi linear atau fungsi polinomial berderajat 1 memiliki 1 nilai pembuat nol real. Operasi aljabar sederhana dapat digunakan untuk menentukan akar dari fungsi linear. Contoh 2.2 : ( ) Pembuat nol dari

dapat ditentukan dengan cara : ( )

Fungsi kuadrat atau fungsi polinomial berderajat 2 memiliki 2 nilai pembuat nol. Metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat adalah metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna atau metode abc (metode dengan formula fungsi kuadrat). Metode abc atau menggunakan formula kuadratik dapat diselesaikan dengan formula berikut. (Swokowski dan Cole, 2004: 84) Jika

maka : √

(2.8)


Contoh 2.3 : ( ) Penentuan pembuat nol dari

dapat dilakukan dengan cara :

1. Metode Pemfaktoran ( )

(

)(

)

atau 2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna ( )

4 (

4

)

4 √

atau atau

4


3. Metode abc atau menggunakan formula kuadrat (Quadratic Formula) ( )

√

4

(

)

√

√(

) ( )

4( )(

)

4

√

atau atau Pembuat nol dari fungsi polinomial berderajat 3 atau yang lebih tinggi lagi dapat ditentukan dengan metode Horner dan beberapa metode secara numerik. Metode Horner merupakan metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar fungsi polinomial secara analitis. Metode Horner menggunakan konsep pembagian fungsi polinomial dengan nilainilai yang diduga sebagai faktornya. Namun, tidak semua bentuk fungsi polinomial dapat diselesaikan dengan mudah oleh metode Horner. Oleh karena itu, ada beberapa metode yang dapat digunakan secara numerik untuk menentukan akar-akar dari fungsi polinomial.


D. Diskriminan Persamaan kuadrat memiliki nilai diskriminan (discriminant). Nilai diskriminan menentukan banyaknya pembuat nol fungsi kuadrat yang real atau akar real dari persamaan kuadrat. Formula kuadrat (The Quadratic Formula) untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat berbentuk : √

4

Bentuk

4

disebut sebagai diskriminan dari formula kuadrat

(Quadratic Formula). Diskriminan sering dilambangkan dengan notasi

.

(Swokowski dan Cole, 2004: 85) Teorema 2.7 (Swokowski dan Cole, 2004: 85) Diketahui persamaan kuadrat 4 .

diskriminan (i) Jika

mempunyai

, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang

berbeda. (ii) Jika

, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang

kembar, artinya persamaan kuadrat hanya memiliki 1 akar real. (iii) Jika

, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar kompoleks yang

berbeda. Bukti : Dari persamaan (2.8) dan definisi diskriminan maka persamaan 2.8 dapat dituliskan menjadi : √

(2.9)


(i) Misal

, maka persamaan (2.9) menjadi : √

√

√

dan

diperoleh 2 nilai (ii) Misal

, maka √

karena

real yang berbeda. (terbukti)


dan dan diperoleh 2 nilai (iii) Misal

yang sama, yaitu

. (terbukti)


karena √(

)

dan

√(

, maka √

)

diperoleh 2 nilai x yang merupakan bilangan kompleks. (terbukti) Dari (i), (ii), (iii) maka teorema 2.7 terbukti.

QED

Berdasarkan teorema 2.7 yang berkaitan dengan diskriminan, berakibat bahwa nilai diskriminan menentukan kedudukan akar-akar persamaan kuadrat terhadap sumbu X dalam grafik fungsi kuadrat. Jika

, maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di 2 titik.

Jika

, maka grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di 1 titik.

Jika

, maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X.


E. Nilai Ekstrem Fungsi Polinomial Swokowski dan Cole 2004:249 dalam buku “Fundamentals of College Algebra” menyatakan bahwa meningkatnya derajat (degree) pada fungsi polinomial maka grafik fungsinya biasanya menjadi lebih rumit. Grafik fungsi polinomial berderajat tinggi berbentuk kurva mulus yang memiliki beberapa titik puncak (high points and low points), seperti titik P, Q, R dan S pada gambar 2.12. Keempat titik tersebut dapat disebut sebagai titik balik atau turning points pada grafik. Y

X

Gambar 2.12 Titik-Titik Puncak dari Fungsi Polinomial Setiap ordinat dari titik balik disebut nilai ekstrem lokal (extremum) dari fungsi polinomial. Pada setiap titik ekstrem lokal, fungsi mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun, atau sebaliknya.


Teorema 2.8 (Swokowski dan Cole, 2004: 249) Sebuah fungsi polinomial berderajat

memiliki paling banyak

titik

balik. Nilai ekstrem pada fungsi polinomial dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Nilai ekstrem juga terbagi menjadi nilai ekstrem global (absolut) atau lokal (relatif). Titik balik (turning points) pada fungsi polinomial sering disebut juga titik ekstrem lokal. (Carico, 1984: 117)

Definisi 2.8 (Stewart, 2009: 318) Sebuah fungsi

memiliki sebuah maksimum global atau ekstrem

maksimum global di dimana

( )

jika

( ) untuk semua

adalah daerah asal dari . Nilai maksimum dari

Begitu pula, fungsi minimum global di

dalam

,

adalah ( ).

memiliki sebuah minimum global atau ekstrem jika ( )

( ) untuk semua

D adalah daerah asal dari . Nilai minimum dari

dalam D, dimana

adalah ( )

Definisi 2.9 (Stewart, 2009: 319) Sebuah fungsi di jika ( )

memiliki maksimum lokal atau ekstrem maksimum relatif ( ) ketika

dekat

atau di selang terbuka yang memuat

. Begitu pula, jika ( )

memiliki minimum lokal atau ekstrem minimum relatif di ( ) ketika

dekat

atau di selang terbuka yang memuat .


Fungsi

memiliki ekstrem global di c jika ( ) adalah nilai maksimum

atau minimum global. Sedangkan, fungsi

memiliki ekstrem lokal di

jika ( ) adalah maksimum atau minimum lokal. Pada gambar 2.12 menunjukkan bahwa di titik P dan R terdapat nilai maksimum lokal. Sedangkan di titik Q dan S terdapat nilai minimum lokal. Fungsi pada gambar 2.12, tidak memiliki nilai maksimum dan minimum global karena di kanan titik S, fungsi naik tanpa batas dan di kiri titik P, fungsi turun tanpa batas. Sedangkan, jika diperhatikan pada gambar 2.13, fungsi memiliki nilai maksimum lokal yang terletak di titik A dan C, dan memiliki nilai minimum lokal di titik B. Titik A merupakan titik maksimum lokal sekaligus titik maksimum global, karena pada titik A nilai fungsinya tertinggi untuk setiap

pada domain fungsi. Fungsi pada

gambar 2.13 tidak memiliki nilai minimum global karena di kiri titik A dan di kanan titik C, nilai fungsi turun tanpa batas.

Gambar 2.13. Nilai ekstrem lokal dan nilai ekstrem global


Teorema 2.9 Diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial atau 2 akar real persamaan polinomial terdapat minimal 1 titik balik. Bukti : Pembuktian dari teorema ini akan menggunakan kontradiksi. Asumsikan diantara 2 nilai pembuat nol dari fungsi polinomial tidak ada titik balik. Misal

dan

adalah pembuat nol dari fungsi polinomial

artinya ( )

dan ( )

tidak memiliki titik balik diantara

, artinya tidak terjadi perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi

turun atau sebaliknya pada selang ,

-.

Kasus 1 : Fungsi naik pada selang ,

-.

Dari definisi fungsi naik, maka berlaku ,

- dengan

- maka berlaku ( )

bahwa

dan

( )

- dan

, karena fungsi naik pada

( ). Hal tersebut kontradiksi dengan fakta

adalah pembuat nol dari fungsi

. Oleh karena itu,

( )

-.

Dari definisi fungsi konstan, maka berlaku -.

, yang artinya

memiliki minimal 1 titik balik.

Kasus 2 : Fungsi konstan pada selang ,

,

( ) untuk setiap

( )

.

merupakan anggota ,

dan ,

,

.

Dari asumsi yang dipunyai, fungsi dan

dengan

( )

( ) untuk setiap


Diperhatikan bahwa ( ) maka untuk setiap apabila fungsi

,

( )

. Jika fungsi ( )

- berlaku

konstan pada ,

-,

. Hal terserbut terjadi

memiliki leading coefficient 0 dan koefisien dari setiap

suku adalah 0. Hal tersebut kontradiksi dengan definisi fungsi polinomial yang memberikan syarat bahwa fungsi polinomial berderajat , koefisien yang memuat suku berpangkat fungsi konstan pada selang ,

tidak sama dengan 0. Oleh karena itu, - tidak berlaku.

Kasus 3 : Fungsi turun pada selang ,

-.

Dari definisi fungsi turun, maka berlaku , dan ,

- dengan

bahwa ( )

dan

- dan

, karena fungsi naik pada

( ). Hal tersebut kontradiksi dengan fakta


. Oleh karena itu,

( ) untuk setiap

.

merupakan anggota ,

- maka berlaku ( )

( )

, yang artinya

( )

memiliki minimal 1 titik balik.

Jadi, diantara 2 nilai pembuat nol real dari fungsi polinomial terdapat minimal 1 titik balik. Teorema 2.9 terbukti.

QED

F. Translasi Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi tanpa merubah bentuk objek. Menurut Mathematics Forum (2010), translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah suatu translasi dapat dilambangkan dengan garis berarah atau vektor, misalnya ⃗⃗⃗⃗⃗

. /. Misalkan titik


(

) ditranslasi atau digeser berdasarkan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ (

pergeserannya adalah ( dengan (

)→

. /, maka hasil

) atau dapat dituliskan menjadi :

. /

(

)

(

)

) adalah koordinat titik awal dan (

) adalah koordinat titik

hasil translasi atau pergeseran. Translasi juga dapat dikenakan pada grafik fungsi. Pergeseran pada grafik fungsi dapat menghasilkan grafik fungsi yang baru yang tentunya akan menghasil fungsi yang baru. Secara umum, apabila diketahui fungsi ditranslasikan oleh suatu vektor ⃗⃗⃗⃗⃗

. / maka :

jika diambil sembarang koordinat (

) di

berlaku :

( )………………………………………… 2 10)

……………………………………… 2 11)

……………………………………… 2 12) Persamaan (2.11) dan (2.12) disubstitusi ke (2.10) menjadi : ( (

) )

……………………………… 2 13)

Persamaan (2.13) menunjukkan hasil translasi fungsi f oleh vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ .


Translasi pada grafik fungsi dapat dilakukan dengan menggeser secara vertikal dan horizontal. Aufmann menjelaskan tentang translasi secara vertikal dan horizontal sebagai berikut. Jika

adalah fungsi dan c > 0, maka :

( )

yaitu grafik dari

( ) digeser naik sebanyak c satuan.

( )

yaitu grafik dari

( ) digeser turun sebanyak c satuan.

(

) yaitu grafik dari

(

) yaitu grafik dari

( ) digeser ke kiri sebanyak c satuan. ( ) digeser ke kanan sebanyak c

satuan.

Gambar 2.14. Pergeseran grafik fungsi 𝑓 secara vertikal dan horisontal Sumber : Calculus (James Stewart, 2009:53) G. Optimasi Priswanto

(2005:1)

menyatakan

bahwa

masalah

optimasi

merupakan masalah untuk menentukan nilai ekstrem suatu fungsi. Masalah dalam ekstrem fungsi adalah masalah menemukan nilai dari suatu variabel bebas,

(

) pada suatu fungsi dari

memaksimumkan atau meminimumkan

( ), yang

( ). Dalam masalah optimasi,


berdasarkan jumlah variabelnya dibedakan menjadi optimasi fungsi satu variabel dan optimasi fungsi

variabel, dengan

. Berdasarkan

kendala yang menyertainya, masalah optimasi terbagi menjadi optimasi fungsi dengan kendala dan optimasi fungsi tanpa kendala. Menurut jenis fungsi yang diberikan, masalah optimasi dibedakan menjadi optimasi fungsi linear dan optimasi fungsi non-linear. Sedangkan menurut cara atau metode penyelesaiannya, terbagi menjadi metode analitis dan metode numeris. Penyelesaian

optimasi

fungsi

non-linear

secara

analitis

menghasilkan nilai yang eksak. Sedangkan penyelesaian dengan menggunakan metode numeris akan menghasilkan nilai pendekatan atau hampiran dengan suatu ketelitian tertentu. Penentuan ekstrem fungsi secara analitis terkadang ditemukan kesulitan di dalam prosesnya. Metode numeris merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada pada proses metode analitis. Metode numeris yang dapat digunakan untuk menentukan ekstrem fungsi satu variabel tanpa kendala adalah metode langsung metode Golden Section Search, metode Fibonacci, metode biseksi dan metode NewtonRaphson. (Priswanto, 2005) Metode Golden Section Search dan metode Fibonacci termasuk metode langsung, yaitu teknik yang digunakan hanya meliputi penggunaan nilai fungsi. Metode Biseksi adalah metode yang tekniknya meliputi penggunaan turunan pertama. Sedangkan, metode Newton-Raphson adalah metode yang tekniknya meliputi penggunaan


turunan kedua. Selain ditinjau dari teknik yang digunakan, metode-metode tersebut dapat terbagi berdasarkan nilai awal yang diberikan. Metode Golden Section Search dan metode Fibonacci merupakan metode tertutup (bracketing method), karena dalam penggunaannya perlu diketahui selang yang memuat satu nilai maksimum atau minimum. Sedangkan metode Biseksi dan metode Newton-Raphson termasuk metode terbuka (open method), karena dalam penggunaannya tidak perlu diketahui selang tetapi hanya menggunakan satu atau dua nilai tebakan awal saja. Menurut Chapra dan Canale, metode tertutup menghasilkan nilai yang bergerak semakin dekat ke nilai yang sebenarnya selama berlangsungnya komputasi. Hal ini disebut dengan konvergen. Sedangkan, metode terbuka terkadang hasilnya divergen atau menjauhi nilai yang sebenarnya selama berlangsungnya komputasi. Namun, jika metode terbuka

hasilnya

konvergen

maka

metode

terbuka

lebih

cepat

dibandingkan dengan metode tertutup untuk mendekati nilai yang sebenarnya. H. Golden Section Golden Ratio didefinisikan pertama oleh Euclid of Alexandria sekitar 300 tahun sebelum masehi. Luca Paccioli, Matematikawan di tahun 1500, menulis buku, dimana Da Vinci mengilustrasikan De Divine Proportione. (Hvidsten, 2005: 8)


“Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras, the other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel ” Euclid mendefinisikan sebuah perbadingan dari pembagian sederhana sebuah garis yang disebut dengan “extreme and mean ratio”

Definisi 2.10 (Livio, 2003: 3) “A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to greater segment, so is the greater to the lesser.”

Gambar 2.15. Ilustrasi Golden Ratio

Kalimat Euclid tersebut dapat diilustrasikan dengan gambar 2.15. Jika diperhatikan pada gambar 2.15, segmen garis ̅̅̅̅ jelas lebih panjang dari pada segmen garis ̅̅̅̅ . Di saat yang sama, segmen garis ̅̅̅̅ lebih panjang daripada ̅̅̅̅. Jika perbandingan dari panjang ̅̅̅̅ terhadap ̅̅̅̅ sama dengan perbandingan dari panjang ̅̅̅̅ terhadap ̅̅̅̅ , maka garis tersebut dipotong dalam “extreme and mean ratio” atau dipotong dalam Perbandingan Emas atau Golden Ratio. Jika panjang ̅̅̅̅ adalah 1 dan panjang ̅̅̅̅ adalah perbandingan yang dimaksudkan adalah : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

, maka


√

Persamaan kuadrat diatas mempunyai 2 akar yaitu √

persamaan kuadrat tersebut adalah

√

Perhatikan bahwa diperoleh ̅̅̅̅

. Akar positif dari

atau 0,6180339… , maka ̅̅̅̅

√

. Oleh karena

itu, perbandingan senilai dari segmen-segmen garis tersebut dapat diperoleh dengan : (Livio, 2003) 1. Cara 1 : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

√

√

√ 2. Cara 2 : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

√ √ Selanjutnya,

bilangan dan

√

√ yang

diperoleh

dari

rasio

tersebut

yaitu

disebut sebagai Golden Number. Pada

abad kelima sebelum masehi, ahli matematika Yunani menetapkan


bilangan tersebut disebut bilangan Golden Ratio yang bukan merupakan bilangan bulat ataupun bilangan rasional. Menurut R.Knoot dalam situsnya, simbol untuk Golden Ratio menggunakan

huruf

Yunani

yaitu

phi( )

untuk

dan Phi( ) untuk melambangkan beberapa ahli Yunani sering menggunakan lambang

melambangkan Namun,

(alpha) atau (tau).

Pada perkembangannya, istilah Golden Ratio juga dikenal dengan nama Golden Section. Definisi yang dikemukakan oleh Euclid dan bilangan Golden Section tersebut kemudian dikembangkan dalam perkembangan geometri Yunani (www.maths.surrey.ac.uk). I. Metode Golden Section Search Metode Golden Section Search sering disebut juga dengan metode Irisan Emas. Metode Golden Section Search adalah metode tertutup yang bertujuan untuk menentukan nilai ekstrem, baik maksimum atau minimum dari suatu fungsi non linear satu variabel tanpa kendala, dengan teknik yang sederhana (Chapra dan Canale, 2010). Dalam penggunaan metode Golden Section Search perlu diketahui selang yang memuat satu titik maksimum atau minimum lokal. Kondisi dimana fungsi memiliki satu titik maksimum atau minimum lokal pada selang tertentu disebut fungsi bersifat unimodal pada selang tersebut. Definisi 2.11 (Priswanto, 2005:5) Suatu fungsi

bersifat unimodal pada ,

maksimum lokal pada ,

- maka :

- artinya jika

adalah titik


adalah fungsi naik pada interval , pada interval ,

- dan

adalah fungsi turun

-.

Pada kasus minimum, definisi di atas berlaku sebaliknya, yaitu fungsi turun pada interval , ,

- dengan

- dan

adalah

adalah fungsi naik pada interval

adalah titik minimum lokal pada ,

-.

Salah satu syarat dalam algoritma metode Golden Section Search adalah fungsi harus bersifat unimodal pada ,

-. Menurut Fitriani (2013),

konsep dasar yang digunakan dalam Golden Section Search adalah mempersempit selang daerah asal hingga mencapai titik optimal. Sebelum mempersempit selang, ada beberapa kasus sifat fungsi untuk selang yang lebih sempit daripada , di dalam ,

-. Berikut adalah beberapa kasus untuk ,

-

- dan kasus mencari nilai maksimum.

1. Kasus 1 : ( ) Fungsi

( )

naik pada sebagian ,

optimal bukan pada ,

- dan unimodal. Titik

- tetapi pada ,

-.

Gambar 2.16. Kondisi ketika 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) Sumber. http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id


( )

turun pada sebagian ,

optimal bukan pada ,

- tetapi pada ,

- dan unimodal. Titik -.


Gambar 2.17. Kondisi ketika 𝑓(𝑥 )

𝑓(𝑥 )

Sumber. http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id


( )

turun pada sebagian ,

optimalnya tidak akan lebih dari optimal terletak pada ,

- dan unimodal. Nilai , oleh karena itu nilai

-.

Gambar 2.18. Kondisi ketika 𝑓(𝑥 )

𝑓(𝑥 )

Sumber. http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id

Sedangkan untuk kasus mencari nilai minimum, sifat fungsi diatas juga berlaku sebaliknya. Sifat fungsi pada ketiga kasus di atas akan membantu dalam proses eliminasi selang yang dilakukan pada metode Golden Section Search. Berdasarkan tekniknya, metode Golden Section Search termasuk metode langsung yaitu metode yang tekniknya menggunakan evaluasi nilai fungsi di dua titik yang berbeda pada selang awal yang diduga memuat


nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi dari dua titik tersebut akan dibandingkan dan hasilnya akan digunakan sebagai dasar penyempitan selang sehingga terbentuk selang yang baru. Berikut adalah algoritma penentuan titik dan penyempitan selang pada metode langsung. 1. Misalkan pada kasus minimum, diketahui fungsi

adalah

fungsi non-linear satu variabel dan bersifat unimodal pada ,

-. Artinya, pada ,

- termuat satu nilai minimum

fungsi . 2. Pada iterasi pertama dipilih titik antara dengan

dan

. Kondisi bahwa fungsi

unimodal pada ,

, misal

dan

adalah fungsi

- menjamin bahwa ( ) dan ( ) lebih

kecil dari ( ) dan ( ) 3. Selanjutnya, dilakukan evaluasi nilai fungsi

( ) dan

( )

untuk menentukan kasus yang terjadi (lihat sifat kasus untuk selang yang lebih sempit yang sudah dijelaskan sebelumnya). Setelah mengetahui jenis kasus yang terjadi, maka dapat ditentukan interval baru, yaitu : Jika ( )

( ), maka pembuat minimum berada di [

].

Jika ( )

( ), maka pembuat minimum berada di [

].


(b)

(a)

Gambar 2.19.(a) Kondisi ketika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 )

Gambar 2.19.(b) Kondisi ketika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 )

Sumber : Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi n-Variabel Tanpa Kendala (Priswanto,2005)

4. Apabila yang terjadi adalah kasus dimana artinya dari selang ,

- menjadi ,

( )

( ),

-. Panjang interval

baru menjadi lebih kecil daripada panjang interval lama, atau dapat dituliskan menjadi : (

𝒂𝟎

𝒂𝟏

𝒂𝟎

𝒂𝟏

) dengan Interval

𝒃𝟏 𝒃𝟏

𝒃𝟎 awal Interval baru

Gambar 2.20. Pereduksian selang pada metode langsung jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Begitu juga apabila yang terjadi adalah kasus dimana ( )

( ), artinya dari selang ,

- menjadi ,

-. Hal

yang sama terjadi adalah panjang interval baru menjadi lebih kecil dari panjang interval yang lama.


Interval awal 𝒂𝟎

𝒂𝟏

𝒃𝟏

Interval baru 𝒂𝟏

𝒃𝟎 𝒃𝟎

𝒃𝟏

Gambar 2.21. Pereduksian selang pada metode langsung jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

5. Pada metode langsung, dipilih nilai

agar pereduksian dalam

selang menjadi simetrik. Untuk mempermudah perhitungan, tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang interval ,

- adalah 1 atau dapat ditulis 𝒃𝟎

𝒂𝟎

.

𝟏

𝒑

𝟏

𝒂𝟎 𝒂𝟏

𝒃𝟐

𝒂𝟎

Iterasi 1

𝒃𝟏

𝒂𝟏 𝒂𝟐

𝒑

𝒃𝟎 Iterasi 2

𝒂𝟏

𝒃𝟏

Gambar 2.22. Ilustrasi pereduksian selang jika 𝑓(𝑎 ) untuk kasus minimum 𝒃𝟎

𝒂𝟎

𝟏

𝒑 Iterasi 1

𝒂𝟎

𝟏

𝒂𝟏 Iterasi 2

𝒂𝟏

𝒃𝟏

𝒑

𝒃𝟎

𝒃𝟏 𝒂𝟐

𝑓(𝑏 )

𝒃𝟐

𝒃𝟏

𝒃𝟎

Gambar 2.23. Ilustrasi pereduksian selang pada metode langsung jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum

Jika diperhatikan pada gambar 2.22 dan 2.23, pereduksian yang dilakukan bertujuan agar reduksi selang simetris sedemikan sehingga :


( dengan

)

suatu konstanta dan

Pereduksian selang tersebut dilakukan hingga panjang interval memenuhi panjang interval akhir yang sudah ditentukan. Algoritma di atas merupakan algoritma dari metode langsung untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi non-linear satu variabel tanpa kendala. Pada metode Golden Section Search algoritma yang digunakan sama namun konstanta

diharapkan konstan atau tetap untuk setiap iterasi

dalam pereduksian selang. Pada iterasi ke-k, misal interval perkiraan adalah , dapat ditemukan dua titik baru

dan

-, maka

dengan :

(

)

(

)(

)

(2.14)

(

)

(

)(

)

(2.15)

dimana sedemikan sehingga ,

- dan ,

- simetris yaitu : (

Nilai

)

diharapkan konstan untuk setiap iterasi. Langkah

selanjutnya, salah satu dari titik akan digunakan sebagai titik interior pada selang yang baru, sementara titik yang lain akan menjadi batas pada selang baru. Kemudian, dalam setiap iterasi hanya akan dicari satu titik dan hanya satu evaluasi yang akan dilakukan.


𝒃𝟎

𝒂𝟎

𝟏

𝒑

𝟏

Iterasi 1

𝒂𝟎 𝒂𝟏

𝒑

𝒂𝟏 𝒂𝟎

𝒃𝟐

𝒂𝟐

𝒃𝟏

𝒃𝟎 Iterasi 2

𝒂𝟏

𝒃𝟏

Gambar 2.24. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum Perhatikan gambar 2.24, jika (

)

(

) dan hanya satu

evaluasi fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :

dari (2.14) dan (2.15) diperoleh : (

)

(

)( (

) )

√ 𝒃𝟎

𝒂𝟎

𝟏

𝒑 Iterasi 1

𝒂𝟎

𝟏

𝒂𝟏 Iterasi 2

𝒂𝟏

𝒃𝟎

𝒃𝟏 𝒂𝟐

𝒑

𝒃𝟏

𝒃𝟐

𝒃𝟏

𝒃𝟎

Gambar 2.25. Ilustrasi pereduksian selang metode Golden Section Search jika 𝑓(𝑎 ) 𝑓(𝑏 ) untuk kasus minimum


Demikian pula jika

(

)

(

) dan hanya satu evaluasi

fungsi yang akan dilakukan, maka rasio antara subinterval pada interval awal harus sama dengan panjang sub interval yang baru, yaitu :

dari (2.14) dan (2.15) diperoleh : (

)

(

)(

)

(

)

√

Dari dua kemungkinan di atas maka diperoleh suatu rasio √

, karena nilai

di dalam interval (

) maka dipilih

√

.

Konstanta rasio tersebut sering disebut golden ratio untuk menyusutkan selang pada metode Golden Section Search. Secara singkat, pada iterasi ke–k, (2.14) dan (2.15) dengan perkiraan disusutkan dengan faktor

dan

√

dipilih berdasarkan kemudian interval

. Iterasi pertama memerlukan dua

evaluasi fungsi dan pada iterasi selanjutnya hanya diperlukan satu evaluasi. Pada iterasi ke- panjang interval adalah (

) (

).


Misalkan

adalah panjang interval akhir yang diinginkan, maka

harus

dipilih sedemikan hingga : (

) (

)

(

)

(

(2.16)

)

Berikut adalah algoritma Golden Section Search : a. Langkah Awal bersifat unimodal pada ,

Misalkan diketahui fungsi

-. Interval

yang telah diberikan di awal menjadi interval awal dalam algoritma. Tentukan panjang interval akhir yang diinginkan dengan Tentukan

jumlah

iterasi

yang

akan

menggunakan rumus (2.16) yaitu (

dikerjakan )

(

( )

. dengan

.

)

b. Langkah Utama 1. Hitung nilai

dan

dengan menggunakan bentuk

persamaan (2.14) dan (2.15), yaitu : (

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

√

dengan

dan

2. Hitung nilai fungsi dari

dan

.

a. Kasus Maksimum (i) Jika ,

(

)

(

- dan dipilih

) maka dipilih interval baru .


(ii) Jika

(

,

)

(

- dan dipilih

) maka dipilih interval baru .

b. Kasus Minimum (i) Jika

(

, (ii) Jika

)

(

- dan dipilih (

,

)

(

- dan dipilih

3. Ulangi 1 dan 2 hingga

) maka dipilih interval baru . ) maka dipilih interval baru . dan hingga selisih interval akhir

sudah sesuai yang diharapkan. 4. Jika proses telah sampai pada iterasi terakhir, maka dipilih nilai paling minimum (dalam kasus minimum) atau maksimum (dalam kasus maksimum) dari 2 titik interior di dalam selang atau interval terakhir. J. Penelitian yang Relevan Dalam penelitian ini, penulis memaparkan penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan dalam menentukan nilai ekstrem pada fungsi polinomial tanpa mengunakan konsep turunan dan simetri pada grafik fungsi polinomial. Taylor, R.D dan Hansen, R (2008) memaparkan penyelesaian masalah dalam menentukan nilai ekstrem pada fungsi polinomial berderajat 3 (fungsi kubik) tanpa menggunakan konsep turunan dalam jurnal “Optimization of Cubic Polynomial Function without Calculus” Taylor dan Hansen pada jurnal tersebut menggunakan konsep dasar aljabar


dan geometri dalam menentukan nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 3. Acuan yang digunakan dalam penelitian tersebut berasal dari penelitian sebelumnya oleh de Villiers (2004) yang mengungkapkan bahwa setiap fungsi polinomial berderajat 3 mempunyai titik simetri putar (rotational symmetry point). Ide dasar pada penelitian Taylor dan Hansen adalah membawa sembarang fungsi polinomial berderajat 3 menjadi fungsi ganjil dengan menggunakan konsep translasi, yaitu dengan memindahkan titik simetris yang dimiliki oleh fungsi polinomial berderajat 3 ke titik origin O(0,0). Proses translasi tersebut menghasilkan fungsi baru yang simetris terhadap titik origin O(0,0) atau juga disebut fungsi ganjil. Tahap selanjutnya masih menggunakan translasi dan manipulasi aljabar. Salah satu titik ekstrem dari fungsi ganjil tersebut ditranslasi sedemikian sehingga titik ekstrem tersebut menyinggung sumbu X. Proses translasi yang kedua ini menghasilkan fungsi baru dimana titik ekstrem fungsi sekaligus menjadi akar atau pembuat nol dari fungsi yang baru. Proses selanjutnya menggunakan manipulasi aljabar sehingga diperoleh formula titik ekstrem pada fungsi yang baru. Penentuan nilai ekstrem dari fungsi awal juga menggunakan translasi, yaitu dengan menggeser fungsi akhir kembali ke posisi fungsi awal. Beberapa proses translasi dan manipulasi aljabar tersebut dapat menghasilkan solusi (solusi dalam bentuk formula) yang sama dengan solusi menggunakan konsep turunan.


Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari (2016) memaparkan hasil penelitian dimana penelitian tersebut pengembangan dari penelitian Taylor dan Hansen, dalam “Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi Tanpa Melibatkan Konsep Turunan” Penelitian tersebut memaparkan proses mencari nilai ekstrem fungsi polinomial berderajat 5 tanpa menggunakan konsep turunan, tetapi menggunakan konsep dasar aljabar dan geometri seperti yang dilakukan oleh Taylor dan Hansen. Meskipun langkah-langkah yang digunakan pada penelitian tersebut hampir sama dengan penelitian Taylor dan Hansen, namun ada yang menjadi perbedaan dalam proses penelitian. Apabila setiap fungsi polinomial berderajat 3 selalu simetris atau memiliki

titik simetri putar (rotational symmetry point), lain halnya

dengan fungsi polinomial berderajat 5. Penelitian tersebut memaparkan bahwa tidak semua fungsi polinomial berderajat 5 simetris atau memiliki titik simetri putar (rotational symmetry point). Goehle dan Kobayasi (2013) medefinisikan bahwa fungsi polinomial fungsi ganjil di , jika fungsi untuk

Selanjutnya,

merupakan

memiliki titik simetri putar di (

bilangan ganjil. Sedangkan, fungsi

, jika fungsi

berderajat

( )),

merupakan fungsi genap di

mempunyai sumbu simetri

, untuk

genap.

disebut sebagai pusat simetri dari fungsi polinomial. Fungsi

polinomial yang simetris adalah fungsi yang memiliki titik simetri putar atau sumbu simetri.


Menurut Goehle dan Kobayasi, jika didefinisikan dengan fungsi

dan fungsi

memiliki titik simetri putar dengan absis

( ) simetris, maka

. Hasil penelitian

dari Goehle dan Kobayasi dikembangkan lebih lanjut oleh Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari yaitu menentukan sifat dari fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggunakan konsep fungsi ganjil. Fungsi

merupakan fungsi yang simetris apabila memenuhi persamaan : (2.17) Hasil penelitian dari Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari

meninggalkan

permasalahan

sebab

pada

langkah

translasi

yang

memindahkan titik ekstrem lokal menjadi bersinggungan dengan sumbu X, menghasilkan sistem persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara eksak.


BAB III FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5

Pada bab ini akan dibahas tentang sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi polinomial berderajat 5, baik secara umum dan fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, hasil eksplorasi peneliti dalam menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 menggunakan metode Golden Section Search dengan bantuan Geogebra dan Microsoft Excel. Selain itu, pada bab ini akan dibahas tentang langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti untuk menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris secara garis besar. Pada bab ini juga akan dibahas secara khusus langkah uji simetris pada fungsi polinomial berderajat 5 dan proses translasi yang dilakukan pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menjadi fungsi ganjil. A. Fungsi Polinomial Berderajat 5 Berdasarkan definisi fungsi polinomial secara umum, bentuk umum dari fungsi polinomial berderajat 5 adalah : ( ) dengan

dan

adalah konstanta.

Fungsi polinomial berderajat 5 adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika konstanta dari

bernilai 0.

Misal sembarang fungsi polinomial berderajat 5, dengan fungsi

64

( )

adalah fungsi ganjil.


Berdasarkan definisi 2.2, fungsi memenuhi persamaan ( (

)

(

)

adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika

) (

( ). (

)

)

(

)

(

) (3.1)

( )

(

) (3.2)

Untuk memenuhi definisi fungsi ganjil maka persamaan (3.1) harus sama dengan (3.2). Sedangkan agar (3.1) ekuivalen dengan (3.2) haruslah . Misal sembarang fungsi polinomial berderajat 5, dengan

( )

.

( ) (

)

(

)

(

(

)

(

)

) ( )

Karena memenuhi persamaan

(

)

( ) maka fungsi

adalah

fungsi ganjil. Jadi, terbukti bahwa fungsi polinomial berderajat 5 adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika konstanta dari

bernilai 0

Berdasarkan sifat titik balik (turning points) pada fungsi polinomial, fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 4 titik balik (turning points). Selain itu, fungsi polinomial berderajat 5 memiliki 5


pembuat nol baik bilangan real atau bilangan kompleks. Fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 5 pembuat nol bilangan real. Hal tersebut berakibat grafik fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 5 titik yang memotong atau menyinggung sumbu X. Grafik fungsi polinomial berderajat 5 tidak memiliki bentuk yang sama untuk setiap fungsi. Berbeda dengan fungsi linear dan kuadrat yang memiliki bentuk grafik yang sama, yaitu fungsi linear selalu berbentuk garis lurus dan fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola.

(a)

(c)

(b)

(d)


(e)

(f)

(g)

(h) Gambar 3.1. Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Polinomial Berderajat 5

Berdasarkan sifat the end behavior pada fungsi polinomial, grafik fungsi

polinomial berderajat 5, ( )

memiliki karakteristik sebagai berikut : 1. Jika koefisien dari suku yang memuat pangkat 5 atau leading coeficient adalah bilangan positif, artinya

maka


maka nilai ( ) maka nilai ( ) Artinya untuk

yang semakin bertambah besar atau bilangan

positif yang besar, nilai

( ) juga bertambah semakin besar.

Hal yang sama juga berlaku untuk

yang semakin berkurang

atau semakin ke arah bilangan negatif yang besar, nilai

( )

juga berkurang ke arah bilangan negatif yang besar. Jika dilihat dari grafik, fungsi

semakin naik ke arah kanan

dan semakin turun ke arah kiri. 2. Jika koefisien dari suku yang memuat pangkat 5 atau leading coeficient adalah bilangan negatif, artinya

maka

maka nilai ( ) maka nilai ( ) Pada kasus ini berlawanan dengan kasus sebelumnya yaitu kasus untuk

. Pada kasus

, berlaku untuk

yang

semakin bertambah besar atau bilangan positif yang besar, nilai ( ) semakin berkurang ke arah bilangan negatif yang besar. Hal yang sama juga berlaku untuk

yang semakin berkurang

atau semakin ke arah bilangan negatif yang besar, nilai

( )

bertambah semkain besar ke arah bilangan positif yang besar. Jika dilihat secara grafik, fungsi dan semakin naik ke arah kiri.

semakin turun ke arah kanan


Dari karakteristik di atas, fungsi polinomial berderajat 5 tidak memiliki nilai maksimum global, karena fungsi kanan untuk

atau fungsi

semakin naik ke arah

semakin naik ke arah kiri untuk

.

Fungsi polinomial berderajat 5 juga tidak memiliki nilai minimum global, karena fungsi

semakin turun ke arah kiri untuk

semakin turun ke arah kanan untuk

atau fungsi

.

B. Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris Berdasarkan definisi 2.2, fungsi ganjil memiliki karakteristik yaitu grafik fungsinya simetris terhadap titik O(0,0). Sedangkan, grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu Y atau garis (2013) mendefinisikan bahwa fungsi fungsi genap di

. Goehle dan Kobayasi

polinomial berderajat

jika fungsi tersebut memiliki sumbu simetri

adalah bilangan genap. Sedangkan, fungsi

merupakan untuk

merupakan fungsi ganjil di

jika fungsi tersebut memiliki titik simetri putar (rotational symmetry) di (

( )) untuk

adalah bilangan ganjil. Absis dari titik simetri putar atau

garis dari sumbu simetri tersebut, yaitu

disebut sebagai pusat simetri

(center symmetry). Oleh karena itu, pusat simetri pada fungsi polinomial dapat berupa sumbu simetri atau titik simetri putar. Dalam menentukan nilai , Goehle dan Kobayasi menggunakan dugaan bahwa nilai

ditentukan oleh 2 koefisien pertama pada fungsi

polinomial. Dugaan tersebut diawali dengan mengamati fungsi polinomial berderajat rendah, yaitu berderajat 0, 1, 2 dan 3. Fungsi polinomial


berderajat 0, atau fungsi konstan merupakan fungsi genap di setiap nilai manapun karena setiap titik pada

dapat menjadi sumbu simetri. Fungsi

polinomial berderajat 1, atau fungsi linear dengan kemiringan garis tidak sama dengan 0, merupakan fungsi ganjil di setiap nilai setiap

manapun, karena

dapat menjadi absis dari titik semetri putar. Fungsi polinomial

berderajat 2 atau fungsi kuadrat,

( )

memiliki bentuk

grafik fungsi berbentuk parabola yang mempunyai sumbu simetri, dengan sumbu simetri

. Oleh karena itu, fungsi

merupakan fungsi genap di

. Berdasarkan hasil penelitian de

Villiers, setiap fungsi polinomial berderajat 3, memiliki titik simetri putar di ( fungsi

polinomial berderajat 2

( )

( )*. Oleh karena itu, setiap

polinomial berderajat 3 merupakan fungsi ganjil di

. Dari

pengamatan karakteristik beberapa fungsi polinomial tersebut, Goehle dan Kobayasi menduga fungsi polinomial berderajat

:

( ) memiliki pusat simetris (center symmetry) di

. Namun, ternyata

dalam proses penelitian, Goehle dan Kobayasi menemukan bahwa tidak semua fungsi polinomial berderajat tinggi, yaitu berderajat 4,5 dan seterusnya, memiliki pusat simetri (sumbu simetri atau titik simetri putar). Goehle dan Kobayasi mengatakan untuk memastikan apakah fungsi polinomial berderajat

mempunyai pusat simetri, dapat dilakukan dengan


cara mentranslasikan fungsi polinomial dengan menggeser absis

ke

untuk

bilangan genap, atau menggeser titik (

(

))

ke titik origin O(0,0). Setelah melakukan translasi, kemudian dilakukan pengecekan menggunakan definisi fungsi ganjil dan fungsi genap untuk menentukan fungsi termasuk fungsi genap, fungsi ganjil atau bukan keduanya. Berdasarkan hasil penelitian Goehle dan Kobayasi, jika fungsi polinomial berderajat 5, ( )

adalah

fungsi yang simetris, maka pusat simetrinya terletak di

.

Ayuningtyas, Setyorini dan Retnosari (2016) mengembangkan penelitian dari Goehle dan Kobayasi, yaitu menentukan karakteristik fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Misal

fungsi

,

( )

mempunyai titik semetri putar di ( Jika fungsi (

dan

ditranslasikan dengan menggeser titik (

terhadap (

( ).

) ke titik origin

) . Misalkan fungsi baru yang terbentuk adalah

fungsi , maka fungsi

dapat dituliskan dalam bentuk : ( )

(

) dengan

) maka akan terbentuk fungsi baru yang diperoleh dari translasi

fungsi

( )

,

)

(

)

(

( )

) (

)

(

)

( )


(

) ) )

(

)

( (

(

(

)

)

(

)

(

)

Fungsi

(

)

merupakan hasil translasi fungsi

menggeser titik simetri putar fungsi

(3.1)

yang diperoleh dengan

ke titik O(0,0), sehingga fungsi

memiliki titik simetri putar di O(0,0). Artinya fungsi ganjil. Oleh karena itu, koefisien dari

dan

merupakan fungsi

pada persamaan (3.1)

haruslah bernilai 0. Koefisien

adalah

, maka :

(3.2) Koefisien

adalah

, maka :

(3.3) Jika persamaan (3.2) disubstitusikan ke persamaan (3.3), maka (

*

(

*

(

*


(3.4) Jika koefisien dari ( )

dan

bernilai 0, maka persamaan (3.1) menjadi :

(

)

(

)

(3.5)

Dari perhitungan di atas, fungsi

merupakan fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris jika memenuhi persamaan (3.4), dengan pusat simetri di

. Oleh karena itu, fungsi

simetri putar di (

(

yang simetris memiliki titik

)*.

Contoh 3.1 1.

( ) Misal : Perhatikan nilai dari

pada fungsi (

)( ) ( )

(

) ( )

Dari perhitungan di atas, diperoleh bahwa fungsi persamaan (3.4), maka fungsi

memenuhi

adalah fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris dengan pusat simetris di

( )


Untuk lebih memastikan hal tersebut, akan dilakukan pengecekan dengan melihat grafik fungsi . Misalkan fungsi

memiliki titik simetri putar di titik

simetri putar dari fungsi

Gambar 3.2. Grafik fungsi 𝑔(𝑥)

(

)

(

)

( (

(

)

(

)).

𝑥

𝑥

)

(

)

𝑥

𝑥

)

(

) ke titik

) menjadi fungsi baru yaitu fungsi , maka: ( )

( ) ( )

(

)

(

)

)

( )

ditranslasikan dengan menggeser titik (

Jika fungsi (

𝑥

)

(

(

adalah

, maka titik

( )→

( )

(

) (

)

(

)


(

)

Gambar 3.3. Translasi Grafik Fungsi 𝑔 Setelah ditranslasikan, fungsi

adalah fungsi ganjil baik secara grafik

fungsi dan rumus fungsi, karena fungsi

hanya memuat suku-suku

yang pangkatnya ganjil. Jadi, fungsi

adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris

dengan titik simetri putar di ( 2.

).

( ) Misal : Perhatikan nilai dari

pada fungsi ( )( ) ( ) (

( ) ( )

) ( )

(

(

)

)


Dari perhitungan di atas, diperoleh bahwa fungsi persamaan (3.4), maka fungsi

tidak memenuhi

bukan fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris. Untuk lebih memastikan hal tersebut, akan dilakukan pengecekan dengan melihat grafik fungsi . Menurut Goehle dan Kobayasi, jika fungsi

adalah fungsi polinomial

berderajat 5 yang simetris, maka pusat simetrisnya di :

( )

Gambar 3.4. Grafik fungsi (𝑥) Misalkan fungsi

(

*

(

𝑥

𝑥

𝑥

mempunyai titik simetri putar di

*

(

*

(

*

(

*

𝑥

𝑥

(

( )*.

(

*


Jika fungsi titik (

)

( )→

(

*

(

( )

(

(

*

( ) *

(

(

*

*

( )

*

merupakan fungsi ganjil. Fungsi

fungsi ganjil jika memenuhi persamaan (

)

(

*

Uji apakah fungsi

(

) ke

) menjadi fungsi , maka :

(

( )

(

ditranslasikan dengan menggeser titik

(

)

(

)

(

(

)

( ).

(

)

*

Dari perhitungan di atas, fungsi karena tidak memenuhi (

)

merupakan

)

bukan merupakan fungsi ganjil

( ).


Gambar 3.5. Translasi fungsi

Setelah ditranslasikan, fungsi

adalah bukan fungsi ganjil baik secara

grafik fungsi dan rumus fungsi, karena fungsi

tidak memenuhi

definisi fungsi ganjil. Jadi, dapat disimpulkan fungsi

bukan fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris.

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 Menggunakan Golden Section Metode Golden Section Search adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrem dari fungsi nonlinear satu variabel. Fungsi polinomial berderajat 5 merupakan salah satu macam fungsi nonlinear dalam satu variabel. Pada subbab ini akan diberikan


contoh penggunaan metode Golden Section Search untuk menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5. Dalam menentukan nilai ekstrem dari sebuah fungsi nonlinear satu variabel menggunakan Golden Section Search perlu diketahui selang yang menjamin bahwa fungsi tersebut unimodal pada selang tersebut, yang artinya pada selang tersebut hanya memuat satu nilai ekstrem lokal saja. Proses yang dilakukan dalam metode Golden Section Search adalah penyempitan selang, dimulai dari selang yang diketahui awal (iterasi 0), dengan menggunakan konstanta yang tetap pada setiap iterasi, yaitu √

…

Contoh 3.2 Tentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi di bawah ini menggunakan metode Golden Section Search dengan panjang interval akhir ( ) Penyelesaian : Berdasarkan algoritma metode Golden Section Search perlu diketahui selang yang menjamin fungsi unimodal pada selang tersebut. Untuk mengetahui selang tersebut, diperlukan bantuan menggunakan grafik fungsi .


Gambar 3.6. Grafik fungsi 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

Dari gambar grafik fungsi , terlihat bahwa fungsi titik maksimum lokal dan 2 titik minimum lokal. Fungsi maksimum lokal pada selang lokal pada selang

dan

dan

𝑥 memiliki 2 memuat nilai

dan nilai minimum

.

Iterasi yang harus dilakukan pada metode Golden Section dapat ditentukan sesuai dengan panjang interval akhir yang diinginkan atau ditentukan.

Pemilihan

banyaknya

iterasi

yang

dilakukan

dapat

menggunakan rumus pada (2.7). 1. Kasus 1 : Menentukan nilai minimum lokal Pada kasus ini akan dicari nilai minimum lokal pada fungsi . Fungsi f memiliki 2 nilai minimum lokal yang termuat pada selang dan

.

a. Nilai minimum lokal pada selang


(i) Langkah awal : menentukan banyak iterasi (

)

(

(

)

(

(

(

))

)

(

)

, karena (

Jadi, dipilih

)

)

(ii) Langkah utama Iterasi 1 Dicari 2 titik baru di dalam selang Pemilihan titik

dan

, misal

dan

.

berdasarkan (2.5) dan (2.6)

(

)

(

)

(

)

(

)

Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari ( ) dan ( ) (

)

(

) dan ( )

Karena yaitu

( ) maka dipilih interval baru .

Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang dan

, misalkan

. (

)


( yang

)

merupakan

titik

merupakan titik

interior

dalam

selang

. Oleh karena itu, hanya

perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. (

)

(

)

( )

(

) dan (

Karena

)

( ) maka dipilih interval baru

yaitu Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Tabel 3.1. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di Iterasi ( )

Batas bawah selang ( )

( )

(

)

(

)

Batas atas selang ( )

(

)

0

-3

2

-2.61803

0.618034

-2.381966

0.742646

-2

2

1

-3

2

-2.76393

0.913216

-2.618034

0.618034

-2.381966

0.742646

2

-2.763932

0.913216

-2.61803

0.618034

-2.527864

0.582982

-2.381966

0.742646

3

-2.618034

0.618034

-2.52786

0.582982

-2.472136

0.61422

-2.381966

0.742646

4

-2.618034

0.618034

-2.56231

0.583532

-2.527864

0.582982

-2.472136

0.61422

5

-2.562306

0.583532

-2.52786

0.582982

-2.506578

0.590321

-2.472136

0.61422

6

-2.562306

0.583532

-2.54102

0.581358

-2.527864

0.582982

-2.506578

0.590321

7

-2.562306

0.583532

-2.54915

0.581483

-2.54102

0.581358

-2.527864

0.582982

8

-2.54915

0.581483

-2.54102

0.581358

-2.535995

0.581713

-2.527864

0.582982

9

-2.54915

0.581483

-2.54413

0.581304

-2.54102

0.581358

-2.535995

0.581713

10

-2.54915

0.581483

-2.54604

0.581333

-2.544125

0.581304

-2.54102

0.581358

11

-2.546045

0.581333

-2.54413

0.581304

-2.542939

0.58131

-2.54102

0.581358

12

-2.546045

0.581333

-2.54486

0.581309

-2.544125

0.581304

-2.542939

0.58131

13

-2.544858

0.581309

-2.54413

0.581304

-2.543672

0.581304

-2.542939

0.58131

14

-2.544858

0.581309

-2.54441

0.581305

-2.544125

0.581304

-2.543672

0.581304

15

-2.54441

0.581305

-2.544125

0.581304

-2.543952

0.581303

-2.543672

0.581304

Jadi, minimum lokal fungsi dengan nilai fungsi

diperkirakan berada di .


b. Nilai minimum lokal pada selang


)

(

(

)

(

(

)

(

)

, karena (

Jadi, dipilih

)

(

))

)


dan

(

)

(

)

, misal

dan

.

berdasarkan (2.5) dan (2.6) (

) (

)

Dilakukan evaluasi nilai fungsi dari ( ) dan ( ) ( )

(

( )

( (

Karena yaitu

) ) dan ( )



Iterasi 2 Dipilih 2 titik di dalam selang

, misalkan

dan

. (

) (

)

yang merupakan titik interior dalam selang merupakan titik

.

. Oleh karena itu, hanya perlu evaluasi nilai

fungsi pada satu titik baru. ( )

(

)

(

(

)

)

dan (

Karena

)


yaitu

.

Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Tabel 3.2. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Minimum Lokal di Itera si ( )


( )

(

)

(

)


(

)

0

-1

2

-0.61803

-0.62808

-0.38197

-1.61803

0

2

1

-0.61803

-0.62808

-0.38197

-1.61803

-0.23607

-1.30935

0

2

2

-0.61803

-0.62808

-0.47214

-1.39578

-0.38197

-1.61803

-0.23607

-1.30935

3

-0.47214

-1.39578

-0.38197

-1.61803

-0.32624

-1.61384

-0.23607

-1.30935

4

-0.47214

-1.39578

-0.41641

-1.56299

-0.38197

-1.61803

-0.32624

-1.61384

5

-0.41641

-1.56299

-0.38197

-1.61803

-0.36068

-1.63092

-0.32624

-1.61384

6

-0.38197

-1.61803

-0.36068

-1.63092

-0.34752

-1.63014

-0.32624

-1.61384

7

-0.38197

-1.61803

-0.36881

-1.62801

-0.36068

-1.63092

-0.34752

-1.63014

8

-0.36881

-1.62801

-0.36068

-1.63092

-0.35565

-1.63143

-0.34752

-1.63014

9

-0.36068

-1.63092

-0.35565

-1.63143

-0.35255

-1.63125

-0.34752

-1.63014

10

-0.36068

-1.63092

-0.35757

-1.63135

-0.35565

-1.63143

-0.35255

-1.63125

11

-0.35757

-1.63135

-0.35565

-1.63143

-0.35447

-1.63141

-0.35255

-1.63125


12

-0.35757

-1.63135

-0.35639

-1.63142

-0.35565

-1.63143

-0.35447

-1.63141

13

-0.35639

-1.63142

-0.35565

-1.63143

-0.3552

-1.63143

-0.35447

-1.63141

14

-0.35639

-1.63142

-0.35593

-1.63143

-0.35565

-1.63143

-0.3552

-1.63143

15

-0.35593

-1.63143

-0.35565

-1.63143

-0.35548

-1.63143

-0.3552

-1.63143

Jadi, minimum lokal fungsi dengan nilai fungsi


2. Kasus 2 : Menentukan maksimum lokal Pada kasus ini akan dicari nilai maksimum lokal pada fungsi . Fungsi memiliki 2 nilai maksimum lokal yang termuat pada selang dan

.

a. Nilai maksimum lokal pada selang


)

(

)

(

)

(

(

))

)

( Jadi, dipilih

(

)

, karena (

)


dan

, misal


dan

.


(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

( )

(

) dan ( )

Karena yaitu



, misalkan

. (

)

( yang

)

merupakan

titik

merupakan titik

interior

dalam

selang


perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. ( )

(

)

(

(

)

)

Karena yaitu

dan (

)


Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel.


Tabel 3.3. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di Iterasi ( )


( )

(

)

(


)

(

)

0

-4

2

-3.61803

5.618034

-3.381966

4.628084

-3

2

1

-4

2

-3.76393

5.309351

-3.618034

5.618034

-3.381966

4.628084

2

-3.763932

5.309351

-3.61803

5.618034

-3.527864

5.395779

-3.381966

4.628084

3

-3.763932

5.309351

-3.67376

5.613837

-3.618034

5.618034

-3.527864

5.395779

4

-3.673762

5.613837

-3.61803

5.618034

-3.583592

5.562987

-3.527864

5.395779

5

-3.673762

5.613837

-3.63932

5.630918

-3.618034

5.618034

-3.583592

5.562987

6

-3.673762

5.613837

-3.65248

5.63014

-3.63932

5.630918

-3.618034

5.618034

7

-3.652476

5.63014

-3.63932

5.630918

-3.63119

5.62801

-3.618034

5.618034

8

-3.652476

5.63014

-3.64435

5.631432

-3.63932

5.630918

-3.63119

5.62801

9

-3.652476

5.63014

-3.64745

5.631251

-3.644345

5.631432

-3.63932

5.630918

10

-3.647451

5.631251

-3.64435

5.631432

-3.642426

5.631353

-3.63932

5.630918

11

-3.647451

5.631251

-3.64553

5.631408

-3.644345

5.631432

-3.642426

5.631353

12

-3.645531

5.631408

-3.64435

5.631432

-3.643612

5.631419

-3.642426

5.631353

13

-3.645531

5.631408

-3.6448

5.63143

-3.644345

5.631432

-3.643612

5.631419

14

-3.644798

5.63143

-3.64435

5.631432

-3.644065

5.63143

-3.643612

5.631419

15

-3.644798

5.63143

-3.64452

5.631432

-3.644345

5.631432

-3.644065

5.63143

Jadi, maksimum lokal fungsi dengan nilai fungsi

diperkirakan di

.

b. Nilai maksimum lokal pada selang


)

(

(

)

(

( )

)

(

))


(

)

, karena (

Jadi, dipilih

)


dan

, misal

dan

.


(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

( )

(

) dan ( )

Karena yaitu



, misalkan

. (

) (

yang

merupakan

) titik

. merupakan titik

interior

(

)

selang


perlu evaluasi nilai fungsi pada satu titik baru. ( )

dalam


(

)

(

) dan (

Karena

)


yaitu

.

Iterasi selanjutnya menggunakan bantuan tabel dan Microsoft Excel. Tabel 3.4. Hasil Iterasi Menentukan Nilai Maksimum Lokal di

Itera si ( )


( )

(

)

(


)

(

)

0

-2

2

-1.61803

3.257354

-1.38197

3.381966

-1

2

1

-1.61803

3.257354

-1.38197

3.381966

-1.23607

3.086784

-1

2

2

-1.61803

3.257354

-1.47214

3.417018

-1.38197

3.381966

-1.23607

3.086784

3

-1.61803

3.257354

-1.52786

3.38578

-1.47214

3.417018

-1.38197

3.381966

4

-1.52786

3.38578

-1.47214

3.417018

-1.43769

3.416468

-1.38197

3.381966

5

-1.52786

3.38578

-1.49342

3.409679

-1.47214

3.417018

-1.43769

3.416468

6

-1.49342

3.409679

-1.47214

3.417018

-1.45898

3.418642

-1.43769

3.416468

7

-1.47214

3.417018

-1.45898

3.418642

-1.45085

3.418517

-1.43769

3.416468

8

-1.47214

3.417018

-1.46401

3.418287

-1.45898

3.418642

-1.45085

3.418517

9

-1.46401

3.418287

-1.45898

3.418642

-1.45587

3.418696

-1.45085

3.418517

10

-1.45898

3.418642

-1.45587

3.418696

-1.45396

3.418667

-1.45085

3.418517

12

-1.45898

3.418642

-1.45706

3.41869

-1.45587

3.418696

-1.45396

3.418667

12

-1.45706

3.41869

-1.45587

3.418696

-1.45514

3.418691

-1.45396

3.418667

13

-1.45706

3.41869

-1.45633

3.418696

-1.45587

3.418696

-1.45514

3.418691

14

-1.45633

3.418696

-1.45587

3.418696

-1.45559

3.418695

-1.45514

3.418691

15

-1.45633

3.418696

-1.45605

3.418697

-1.45587

3.418696

-1.45559

3.418695

Jadi, maksimum lokal fungsi dengan nilai fungsi

D. Proses

Menentukan


Nilai

Ekstrem

Lokal

Fungsi

Polinomial

Berderajat 5 yang Simetris Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan memadukan metode


Golden Section Search dan konsep aljabar dan geometris seperti yang dilakukan oleh Ronald dan Hansen. Pada sub bab ini berisi tentang langkah-langkah atau proses secara garis besar dalam menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan memadukan kedua metode tersebut. Berikut adalah algoritma proses yang akan dilakukan dalam penelitian ini. 1. Langkah awal Langkah awal yang akan dilakukan adalah inisiasi atau proses input koefisien-koefisien dari fungsi polinomial berderajat 5. Fungsi awal yang diinputkan diberikan nama fungsi . Selanjutnya dilakukan pengujian kesimetrisan fungsi

. Pengujian kesimetrisan fungsi

dilakukan dengan cara yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya. Jika fungsi

adalah fungsi yang simetris, maka proses dilanjutkan.

Sedangkan jika fungsi

bukan merupakan fungsi yang simetris, maka

proses dihentikan. 2. Langkah Utama Jika fungsi

adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris,

maka proses dilanjutkan ke tahap langkah utama. a. Fungsi

yang simetris akan ditranslasikan dengan menggeser

titik simetri putar ke titik origin O(0,0). Hasil translasi tersebut akan menghasilkan fungsi baru yang merupakan fungsi ganjil, dimana fungsi yang baru merupakan fungsi polinomial berderajat 5 yang hanya memuat suku-suku dengan pangkat


bilangan ganjil. Hasil translasi tersebut diberikan nama fungsi . b. Mencari pembuat nol dari fungsi

, dengan cara membantuk

persamaan polinomial berderajat 4, yang hanya memuat suku ,

dan konstanta. Persamaan polinomial berderajat 4

tersebut kemudian dimanipulasi menjadi bentuk persamaan kuadrat, dengan memisalkan

,sehingga

.

c. Melakukan analisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi fungsi

berdasarkan banyaknya pembuat nol real

dan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat dalam

variabel . 1) Jika fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal dan

diskriminan dari persamaan kuadrat yang terbentuk bernilai lebih besar sama dengan 0, maka dari nilai-nilai pembuat nol real fungsi menjamin fungsi

dapat dibentuk interval yang

bersifat unimodal pada interval

tersebut. Interval dibentuk menggunakan 2 nilai pembuat nol fungsi

yang berdekatan.

2) Jika nilai diskriminan dari persamaan kuadrat yang terbentuk bernilai negatif, maka dilakukan pengecekan apakah fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal. Cara yang

dilakukan adalah menggerakan garis

ke atas

sebesar , selanjutnya diperiksa banyaknya titik potong


antara grafik fungsi

dengan garis

. Apabila

terdapat lebih dari 1 titik potong, maka fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan absis dari 2 titik potong yang berdekatan dapat dibentuk interval yang menjamin fungsi


terserbut. Jika hanya terdapat 1 titik potong, maka garis akan digerakkan kembali ke atas dengan pergerakan konstanta yang sama, yaitu

. Proses

pergerakan garis tersebut dilakukan hingga terdapat lebih dari 1 titik potong dan memenuhi banyaknya iterasi yang ditentukan. d. Selanjutnya, akan diuji apakah di antara selang atau interval yang terbentuk memuat nilai maksimum atau minimum lokal. Hal ini bertujuan untuk menentukan algoritma metode Golden Section dalam kasus maksimum atau minimum. e. Mencari nilai ekstrem lokal dari fungsi

dengan metode

Golden Section. 3. Langkah Akhir Setelah mendapat nilai ekstrem lokal dari fungsi

, maka akan

dilakukan translasi kembali ke fungsi awal. Nilai ekstrem lokal dari fungsi

dapat ditentukan dengan menggeser fungsi

ke fungsi

,

yaitu dengan menggeser dari titik O(0,0) ke titik simetri putar fungsi .


1. Proses insiasi koefisien fungsi polinomial berderajat 5 : fungsi 𝑔.

4. Mencari pembuat nol dari fungsi , yang merupakan fungsi hasil translasi.

5. Menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal dari nilai pembuat nol fungsi dan diskriminan (𝐷) dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

8. Menggunakan metode Golden Section sesuai dengan kasus yang sesuai (kasus maksimum atau minimum).

2. Uji kesimetrisan fungsi 𝑔

3. Proses translasi fungsi 𝑔 yang simetris.

6. Jika 𝐷 ≥ , maka interval dibentuk dari 2 pembuat nol real fungsi yang bedekatan. Fungsi bersifat unimodal pada interval tersebut.

7. Memeriksa nilai ekstrem lokal maksimum atau minimum yang termuat dalam selang tersebut.

9. Melakukan translasi kembali ke fungsi 𝑔.

Gambar 3.7. Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk 𝐷 ≥


1. Proses Insiasi Koefisien Fungsi Polinomial Berderajat 5 : Fungsi 𝑔

2. Uji Kesimetrisan Fungsi 𝑔

4. Mencari pembuat nol dari fungsi h, yang merupakan fungsi hasil translasi

3. Proses Translasi Fungsi 𝑔 yang Simetris

5. Menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal dari nilai pembuat nol fungsi dan diskriminan (𝐷) dari persamaan kuadrat yang terbentuk

8. a. Jika terdapat 1 titik potong, garis 𝑦 𝑘 digerakkan ke atas sebesar 𝑘. Proses pada langkah 6 diulang hingga terdapat lebih dari 1 titik potong dan banyaknya perulangan sesuai dengan banyaknya iterasi yang sudah ditentukan.

10. Menggunakan metode Golden Section sesuai dengan kasus yang sesuai (kasus maksimum atau minimum)

6. Jika 𝐷 , garis 𝑦 digerakkan ke atas sebesar 𝑘, sehingga menjadi 𝑦 𝑘

7. Memeriksa banyaknya titik potong antara grafik fungsi dengan 𝑦 𝑘

8. a. Jika terdapat lebih dari 1 titik potong, maka interval dibentuk dari absis 2 titik potong yang berderkatan.

9. Memeriksa nilai ekstrem lokal maksimum atau minimum yang termuat dalam selang tersebut

11. Melakukan translasi kembali ke fungsi 𝑔

Gambar 3.8. Diagram Proses Menentukan Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Berderajat 5 yang Simetris untuk 𝐷


E. Uji Simetris Fungsi Polinomial Berderajat 5 Pengujian kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5 dilakukan dengan menguji apakah fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan memenuhi persamaan (3.4). Jika fungsi polinomial berderajat 5 tidak memenuhi persamaan (3.4) maka proses akan dihentikan. Sedangkan, jika fungsi polinomial berderajat 5 memenuhi persamaan (3.4), maka proses akan dilanjutkan. Sebelum uji kesimetrisan dilakukan, terlebih dahulu dilakukan inisiasi atau proses input koefisien-koefisien dari fungsi polinomial berderajat 5. Proses inisiasi dan uji simetris fungsi polinomial berderajat 5 dituliskan dalam program pada MATLAB ditulis dalam M-File dan dipanggil di Command Windows dengan nama inisiasi_dan_uji_simetris. Berikut ini adalah program inisiasi dan uji simetris fungsi polinomial berderajat 5. %Proses Inisasi Fungsi Polinomial Berderajat 5 clear all close all %input koefisien Polinomial disp('------------------------------------'); disp('Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5'); disp('------------------------------------'); a=input('masukkan koefisien x^5 : '); b=input('masukkan koefisien x^4 : '); c=input('masukkan koefisien x^3 : '); d=input('masukkan koefisien x^2 : '); e=input('masukkan koefisien x : '); f=input('masukkan konstanta : '); disp(' '); disp(['g(x)= ',num2str(a),'*x^5 + (',num2str(b),')*x^4 + (',num2str(c),')*x^3 + (',num2str(d),')*x^2 + (',num2str(e),')*x + (',num2str(f),')'])


G=[a b c d e f] %Matriks yg berisi Koefisien Polinomial disp(' '); %Proses Uji Simetris Grafik Fungsi disp('------------------------------'); disp('Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi'); disp('------------------------------'); m= -b/(5*a); n=polyval(G,m); disp(['Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) %Pengujian Fungsi g simetris di titik (m,n) S= (((4*(b^3))/(25*(a^2))))-((3*b*c)/(5*a))+d

if S==0 disp(['Fungsi polinomial tersebut simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) disp('Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses') disp('==============================================='); else disp('Fungsi polinomial tersebut tidak simetris dan program tidak dapat dilanjutkan. Program selesai.') disp('================================================='); end disp(' ');

Setelah dilakukan proses inisiasi dan pengujian, pengguna program diberikan informasi atau keterangan tentang hasil pengujian. Jika fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan tidak simetris, maka proses berhenti. Sedangkan, jika fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan simetris, maka fungsi polinomial berderajat simetris di titik tertentu dan proses akan dilanjutkan dengan memanggil M-file lanjut_translasi pada Command Windows. F. Proses Translasi Fungsi Polinomial Berderajat 5 Setelah dilakukan uji kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5, maka proses selanjutnya hanya akan dilakukan pada fungsi polinomial


berderajat 5 yang simetris. Proses yang selanjutnya adalah melakukan translasi fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggeser titik simetri putarnya ke titik origin O(0,0). Pada subbab sebelumnya, telah dilakukan perhitungan secara aljabar untuk hasil translasi fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dengan menggeser titik simetri putarnya ke titik origin O(0,0) dan hasilnya adalah rumus fungsi baru (3.5). Misalkan fungsi awal polinomial berderajat 5 yang simetris adalah fungsi , ( )

dan hasil translasinya

merupakan fungsi , dengan ( ) , maka berdasarkan (3.5) :

sehingga fungsi ( )

( (

menjadi : ) )

(3.6) (3.7)

Pada proses sebelumnya, program yang telah dikerjakan adalah program untuk mengenali fungsi polinomial berderajat 5 dan uji simetris fungsi polinomial berderajat 5. Jika fungsi polinomial berderajat 5 yang


diberikan bukan merupakan fungsi yang simetris, maka program akan memberikan informasi yang sesuai dan proses berhenti. Sedangkan, jika fungsi polinomial berderajat 5 yang diberikan adalah fungsi yang simetris, maka program akan memberikan informasi yang sesuai dan meminta pengguna program untuk memanggil M-File dengan nama lanjut_translasi. M-file dengan nama lanjut_translasi berisikan program lanjutan yang memuat algoritma dari proses translasi fungsi polinomial berderajat 5. Berikut adalah program dari proses translasi fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris yang termuat dalam M-file lanjut_translasi : disp('----------------------------------------------'); disp('Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-m,-n)'); disp('----------------------------------------------') %Translasi fungsi g dengan menggeser titik (m,n) ke (0,0) a1=a; b1=0; c1=10*a*(m^2) + 4*b*m + c d1=0; e1=5*a*(m^4) + 4*b*(m^3) + 3*c*(m^2) + 2*d*m + e; f1=0; %Perhitungan diperoleh dari proses translasi polinomial secara umum %Peta dari fungsi g setelah ditranslasi oleh vektor (-m,-n) menjadi fungsi h H=[a1 b1 c1 d1 e1 f1] %Matriks koefisien dari peta fungsi g setelah ditranslasi


BAB IV NILAI EKSTREM LOKAL FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT 5 YANG SIMETRIS Pada bab ini akan dibahas proses lanjutan dari pencarian nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yang sudah dibahas pada bab sebelumnya. Bab sebelumnya telah dijelaskan tentang uji simetris fungsi polinomial berderajat 5, yaitu fungsi hasil translasi fungsi

, dan

yang simetris menjadi fungsi

perhitungan bentuk fungsi dari fungsi dengan

,

(

( )

adalah ) dan

. Berdasarkan proses

(

) Bab ini membahas tentang nilai pembuat nol dari fungsi hasil translasi atau akar-akar persamaan polinomial dari fungsi hasil translasi yaitu fungsi

,

nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris dan analisis kesalahan. A. Pembuat Nol dari Fungsi Proses menentukan nilai ekstrem lokal fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yang telah dibahas pada bab sebelumnya adalah proses inisiasi koefisien polinomial berderajat 5, uji kesimetrisan fungsi polinomial berderajat 5 dan proses translasi fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Translasi yang dilakukan pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris menghasilkan fungsi baru, yang merupakan fungsi ganjil. Rumus fungsi (3.7) menunjukkan rumus fungsi baru, dimisalkan dengan

99


fungsi

, yang merupakan hasil translasi fungsi polinomial berderajat 5

yang simetris dengan menggeser titik simetri putarnya ke titik O(0,0). Setelah mendapat fungsi baru dari hasil translasi, proses selanjutnya adalah menentukan nilai pembuat nol dari fungsi pembuat nol pada fungsi

. Nilai

ditentukan dengan langkah sebagai berikut. ( )

(

) atau atau

(4.1)

Bentuk pada (4.1) menunjukkan salah satu pembuat nol dari fungsi adalah 0 dan muncul bentuk persamaan polinomial berderajat 4, dimana nilai pembuat nol dari fungsi

merupakan akar-akar dari persamaan

polinomial berderajat 4 tersebut. Misal polinomial

( )

, perhatikan bahwa persamaan

merupakan persamaan polinomial berderajat 4 hanya memuat

suku-suku yang pangkatnya bilangan genap. Misalkan untuk setiap

,

dan

(

)

maka :

, artinya


(4.2) Bentuk (4.2) menunjukkan bahwa persamaan polinomal dalam

berderajat 4

yang muncul pada (4.1) dapat diubah ke bentuk persamaan

kuadrat dalam variabel . Misalkan ( ) kuadrat

, maka akar-akar dari persamaan

dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat pada

(2.8), sehingga : √( )

√

√

√

dan

(4.3)

Dari perhitungan di atas, akar-akar persamaan kuadrat nilai diskriminan (

( )

) dan koefisien

kemungkinan akar-akar persamaan kuadrat

bergantung pada . Berikut adalah

ditinjau dari nilai

diskriminannya. 1. Kasus Jika nilai

, maka

. Dalam kasus

beberapa kemungkinan juga untuk nilai a. Kasus 1 :

dan

keduanya positif (

Perhatikan bahwa Diketahui √

, dimana dan

, maka :

dan

, terdapat

. dan

untuk setiap

) .


√ Jadi, persamaan polinomial

memiliki 4 akar real yang berbeda.

Jika persamaan polinomial

memiliki 4 akar real yang berbeda,

maka fungsi

memiliki 5 nilai pembuat nol real yang berbeda

yaitu √ , √ , √ , √ b. Kasus 2 :

dan

dan .

keduanya berlainan tanda

Kemungkinan yang terjadi pada kasus 2 adalah nilai

dan

keduanya berlainan tanda, artinya salah satunya nilai dari

atau

bernilai positif dan lainnya bernilai negatif. Pada kasus

Perhatikan bahwa

berlaku √

sehingga :

√

√

√

√

√

(

√ )

(

√ )

(

√

√ (

√ )

√ , maka : √

√

(

)

√ √ )

(

√ ) (4.4)

Jadi, pada kasus nilai terjadi adalah Diketahui

dan dan

dan

berlainan tanda, kondisi yang karena

, maka :

.


√

,

√ , Jadi, persamaan polinomial




maka fungsi

memiliki 3 nilai pembuat nol real yang berbeda

yaitu √ , √

dan .

c. Kasus 3 :

dan

Diketahui

dan

√

, maka :

,

√ , Jadi, persamaan polinomial

memiliki 0 akar real yang berbeda

karena akar-akar persamaan polinomialnya merupakan bilangan kompleks. Jika persamaan polinomial fungsi

memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu .

2. Kasus Jika nilai

memiliki 0 akar real, maka

, maka : √

√


Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh bahwa

.

Jika diperhatikan untuk kasus

, akar-akar persamaan kuadrat

hanya bergantung pada nilai

. Pada kasus ini terdapat 2

kemungkinan nilai dari akar-akar persamaan kuadrat . Misalkan a. Kasus 4 : Diketahui √

, maka √(

),

Jadi, persamaan polinomial




maka fungsi yaitu √(

memiliki 3 nilai pembuat nol real yang berbeda ), √(

) dan .

b. Kasus 5 : Diketahui √

, maka √(

),

Jadi, persamaan polinomial polinomial

memiliki 0 akar real. Jika persamaan

memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi

memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu .


3. Kasus Kasus 6 : Jika nilai

, maka

.

dan

merupakan bilangan

kompleks, karena memuat bilangan imajiner. Jadi, persamaan polinomial polinomial

memiliki 0 akar real. Jika persamaan

memiliki 0 akar real yang berbeda, maka fungsi

memiliki 1 nilai pembuat nol real yaitu . Proses menentukan pembuat nol dari fungsi

juga dilakukan

dengan menggunakan bantuan program MATLAB. Program yang digunakan untuk menentukan pembuat nol dari fungsi

merupakan

program lanjutan dari proses yang sebelumnya sudah dilakukan yaitu proses inisiasi, uji simetris dan proses translasi fungsi

menjadi fungsi .

Hasil perhitungan dari program yang sudah dijalankan sebelumnya, pada M-file

inisiasi_dan_uji_simetris,

masih

menentukan pembuat nol dari fungsi mencari pembuat nol dari fungsi

digunakan

dalam

proses

. Berikut adalah algoritma dalam

yang merupakan program lanjutan yang

masih termuat dalam M_file lanjut_translasi : %Pencarian pembuat nol dari fungsi h selain x=0 Disk=(c1^2)-(4*a1*e1) %c1,a1 dan e1 telah didefinisikan pada proses sebelumnya %Akar-akar dari persamaan r p1=(-c1+sqrt(Disk))/(2*a1); p2=(-c1-sqrt(Disk))/(2*a1); %Pembuat nol dari fungsi h selain 0 K=[1 0 -p1]; L=[1 0 -p2]; %Pengurutan nilai pembuat nol dari fungsi h akar1=sort(roots(K)) akar2=sort(roots(L))


B. Titik Ekstrem Lokal Fungsi Polinomial Ditinjau dari Pembuat Nol Fungsi Setelah menentukan nilai pembuat nol dari fungsi

, proses

selanjutnya adalah menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal yang dimiliki fungsi

, berdasarkan banyaknya nilai pembuat nol real dari

fungsi . Fungsi

merupakan fungsi polinomial berderajat 5, maka fungsi

memiliki paling banyak 4 nilai ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik balik (turning points). Fungsi grafik fungsi

merupakan fungsi ganjil, yang artinya

simetris terhadap titik O(0,0). Berdasarkan sifat simetris

pada fungsi ganjil, banyaknya nilai ekstrem lokal pada

) sama dengan

banyaknya nilai ekstrem lokal pada (

. Analisis banyaknya nilai

ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi

ditinjau dari 6 kasus yang

menggambarkan kemungkinan-kemungkinan nilai pembuat nol fungsi yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya. 1. Kasus a. Kasus 1 : Pada kasus 1, diskriminan dari persamaan kuadrat positif dan fungsi

memiliki 5 nilai pembuat nol real yang

berbeda yaitu √ , √ , √ , √ ,

,

dan

. Perhatikan bahwa

, maka nilai-nilai pembuat nol tersebut

dapat diurutkan menjadi : √

bernilai

√

√

√


Dari kelima pembuat nol real tersebut dapat dibuat selang atau interval dengan menggunakan batas atas dan batas bawah dari selang adalah 2 pembuat nol yang berdekatan. Oleh karena itu, selang yang terbentuk dari 2 pembuat nol yang berdekatan adalah [ √

√ ], [ √

], [ √ ], dan [√

√ ].

Berdasarkan percobaan yang dilakukan pada beberapa contoh fungsi

yang memenuhi kondisi untuk kasus 1, dengan melihat

grafik fungsi, pada [ √ [√

√ ], [ √

], [ √ ], dan

√ ] memuat 1 nilai ekstrem lokal saja. Berikut adalah

grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi

yang memenuhi kasus 1 :

Gambar 4.1. Grafik fungsi (𝑥) 𝑥(𝑥 )(𝑥 )

Berdasarkan [ √


hasil

√ ], [ √

percobaan ], [ √ ],

di dan

memuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi

atas, [√

diduga

pada

√ ]

hanya

. Hal tersebut akan

dibuktikan secara matematis dengan uraian di bawah ini :


Akan dibuktikan setiap selang yang terbentuk dari 2 nilai pembuat nol fungsi

yang berdekatan, yaitu hanya terdapat 1 nilai ekstrem

lokal. Bukti : Pembuktian menggunakan kontradiksi. 1) Asumsi [ √

:

ada

diantara

√ ], [ √

selang

yang

terbentuk

], [ √ ], dan [√

yaitu

√ ], tidak

memuat nilai ekstrem lokal. Hal ini tentu bersifat kontradiksi dengan teorema yang telah dibuktian pada teorema (2.9) yang mengatakan bahwa diantara 2 pembuat nol fungsi polinomial terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal atau 1 titik balik. Jadi, setiap selang yang terbentuk [√

yaitu

[ √

√ ], [ √

], [ √ ],

dan

terbentuk

yaitu

√ ] memuat nilai ekstrem lokal.

2) Asumsi [ √

:

ada

diantara

√ ], [ √

selang

yang

], [ √ ], dan [√

√ ], memuat

lebih dari 1 nilai ekstrem lokal. Artinya, terdapat lebih dari 4 nilai ekstrem lokal yang dimiliki fungsi

. Hal ini kontradiksi dengan sifat fungsi

polinomial, yaitu fungsi

memiliki paling banyak 4 nilai

ekstrem lokal atau paling banyak 4 titik balik.


Jadi, [ √

setiap √ ], [ √

selang

yang

], [ √ ]

terbentuk [√

dan

yaitu

√ ]

hanya

memuat 1 nilai ekstrem lokal. Oleh karena itu, fungsi ekstrem lokal [ √

yang masing-masing terletak pada selang

√ ] [ √

] [ √ ] dan [√

bersifat unimodal pada [ √ [√

, pada kasus 1, memiliki 4 nilai

√ ] [ √

√ ]. Jadi, fungsi ] [ √ ] dan

√ ]

b. Kasus 2 : Pada kasus 2, diskriminan dari persamaan kuadrat positif dan fungsi √ ,

berbeda yaitu

bernilai

memiliki 3 nilai pembuat nol real yang dan √ . Nilai-nilai pembuat nol tersebut

dapat diurutkan menjadi : √

√

Dari ketiga pembuat nol tersebut dapat dibuat 2 selang yaitu [ √

] dan [ √ ]. Berdasarkan teroema (2.9), diantara 2

pembuat nol terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Artinya, setiap selang yang terbentuk yaitu [ √

] dan [ √ ]

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Perhatikan bahwa fungsi

pada kasus 2 dapat dituliskan

dalam bentuk : ( )

(

)(

)

(4.5)


dengan

dan

. pada [ √

Akan dilakukan evaluasi nilai fungsi [ √ ] untuk memudahkan ilustrasi fungsi 1) Nilai fungsi

pada [ √

untuk kasus 2.

]

[ √

Ambil sembarang

], artinya √

.

√ √ (

)

(√ )

(4.5) Perhatikan bahwa

, sedangkan diketahui bahwa

maka dengan menggunakan sifat transitif diperoleh :

(4.6) Akibatnya, ( Untuk

Untuk

)(

)

)(

)

(4.7)

)(

)

(4.8)

, berlaku : ( , berlaku : (

] dan


Jika bentuk (4.7) dikalikan dengan , perhatikan bahwa √

, maka : (

)(

)

( )

(4.9)

Jika bentuk (4.8) dikalikan dengan , perhatikan bahwa √

, maka : (

)(

)

( )

(4.10)

Jadi, diperoleh : 1.

[ √

], ( )

untuk

.

2.

[ √

], ( )

untuk

.

2) Nilai fungsi

pada [ √ ]

Ambil sembarang

[ √ ], artinya

√ .

√ ( )

(√ )

(4.11) Perhatikan bahwa

, sedangkan diketahui bahwa

maka dengan menggunakan sifat transitif diperoleh :

(4.12)


Akibatnya, ( Untuk

)

)(

)

(4.13)

)(

)

(4.14)

, berlaku : (

Untuk

)(

, berlaku : (

Jika bentuk (4.13) dikalikan dengan , perhatikan bahwa √ , maka : (

)(

)

( )

(4.15)

Jika bentuk (4.14) dikalikan dengan , perhatikan bahwa √ , , maka : (

)(

)

( )

(4.16)

Jadi diperoleh : 1.

[ √ ], ( )

untuk

.

2.

[ √ ], ( )

untuk

.


yang memenuhi kondisi untuk kasus 2, pada [ √

]

dan [ √ ] hanya memuat 1 nilai ekstrem lokal saja. Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi





Dugaan yang ditemukan adalah setiap selang yang terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan dari fungsi [ √

, yaitu

] dan [ √ ] memiliki 1 nilai ekstrem lokal.

Fungsi

merupakan fungsi ganjil, akibatnya banyaknya nilai

ekstrem lokal pada sumbu X positif sama dengan banyaknya nilai ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Oleh karena itu, analisis banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi

cukup dilakukan pada

sumbu X positif saja. Akan ditunjukkan fungsi

memiliki 1 nilai

ekstrem lokal pada [ √ ]. Hal ini akan dibuktikan dengan kontradiksi melalui ilustrasi. Bukti : Kontradiksi dari pernyataan yang akan dibuktikan adalah fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada [ √ ] dan

fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal lebih dari 1 pada [ √ ]


1) Asumsi : fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada

[ √ ]. Diperhatikan bahwa √

dan 0 adalah pembuat nol real dari

fungsi . Oleh karena itu, asumsi bahwa fungsi

tidak memiliki

nilai ekstrem lokal pada [ √ ], kontradiksi dengan teorema (2.9) yang menyatakan bahwa diantara 2 pembuat nol terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. 2) Asumsi : fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal lebih dari 1

pada [ √ ]. Asumsi pernyataan di atas akan dibagi menjadi 2 kasus yaitu, fungsi

memiliki 2 nilai ekstrem lokal pada [ √ ] dan fungsi

memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem lokal pada [ √ ] a) Kasus : fungsi

memiliki 2 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ]. Diperhatikan bahwa

dan √

fungsi . Jika fungsi



[ √ ], maka kemungkinan bentuk grafik fungsi adalah :


Gambar 4.5. Kemungkinan grafik fungsi

yang memiliki 2

nilai ekstrem lokal pada [ √𝑝 ] Misal : [ √ ] memuat 2 nilai ekstrem lokal dari fungsi seperti pada bentuk gambar 4.5. Ilustrasi yang digambarkan pada gambar 4.5. menunjukkan bahwa fungsi

memiliki 2 nilai ekstrem

lokal pada [ √ ] dengan salah satu nilai ekstremnya terjadi di √ , yaitu salah satu pembuat nol real dari fungsi . Jika nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi di salah

satu pembuat nol real, maka grafik fungsi menyinggung sumbu X di √ . Sedangkan berdasarkan sifat pembuat nol kembar pada fungsi polinomial (multiplicity zeros), kondisi tersebut terjadi apabila


fungsi

memiliki pembuat nol kembar yang diulang

sebanyak

, dengan

bilangan genap. Hal ini

kontradiksi dengan bentuk dari fungsi

pada kasus 2

yaitu : ( ) dengan

( dan

)(

)

(4.18)

.

Pada bentuk (4.18) menunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki pembuat nol kembar yang diulang sebanyak , dengan b) Kasus : fungsi

bilangan genap.

memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem lokal

pada [ √ ]. Perhatikan bahwa [ √ ] terletak pada sumbu X positif. Asumsi bahwa fungsi

memiliki lebih dari 2 nilai ekstrem

lokal pada [ √ ], berakibat juga fungsi

memiliki lebih

dari 2 nilai ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Artinya, fungsi

memiliki lebih dari 4 nilai ekstrem lokal. Hal ini

kontradiksi dengan sifat pada teorema (2.9), yaitu fungsi polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak 4 nilai ekstrem lokal. Berdasarkan pembuktian yang dilakukan dengan kontradiksi pada 1) dan 2), maka terbukti bahwa fungsi

memiliki 1 nilai


ekstrem lokal pada [ √ ]. Akibatnya, fungsi nilai ekstrem lokal pada [ √

juga memiliki 1

].

Hasil dari pembuktian di atas menunjukkan terdapat 2 nilai ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi terletak pada [ √ ] dan [ √ untuk beberapa contoh fungsi bahwa fungsi

yang masing-masing

]. Berdasarkan percobaan pada kasus 2, ditemukan juga

pada kasus 2 hanya memiliki 2 nilai ekstrem

lokal. Oleh karena itu, hal tersebut akan ditunjukkan secara matematis. Akan dibuktikan bahwa fungsi

tidak memiliki nilai

ekstrem lokal pada (

).

√

] dan √

Akan ditunjukkan : (1) Fungsi

naik pada (

(2) Fungsi

turun pada (

(3) Fungsi

naik pada √

(4) Fungsi

turun pada √

] untuk

√ √

] untuk

) untuk ) untuk

Bukti : (1) Diketahui Ambil

, sembarang

sehingga

dan (

, maka diperoleh : √

, maka maka

√

]

sedemikian


(

)

(

)

(4.19) (4.20) Perhatikan bahwa

,

dan

, maka :

dan

(4.21)

√

Perhatikan bahwa

√

dan

√

maka :

√

(√ )

(

)

(

(√ )

)

diperoleh dan

(4.22)

Akibat dari (4.21) dan (4.22) adalah berlaku : ( (

)( (

)( )(

)(

)

(

)( )

)(

( (

)

)(

)(

) (

(

)

)( )

) )(

) (4.23) (4.24)


Fungsi

merupakan fungsi ganjil maka bentuk (4.24)

menjadi : ( )

( )

( )

( )

Jadi, diperoleh fungsi (

√

(2) Untuk (

] untuk

menunjukkan √

adalah fungsi naik pada

bahwa

] dengan

fungsi

turun

pada

, dapat dilakukan dengan cara

yang sama pada langkah 1) untuk

. Namun, bentuk

dari (4.23) menjadi : (

)(

)(

)

(

( karena

)

. Fungsi

)(

)( (

)

) (4.25) (4.26)

merupakan fungsi ganjil maka

bentuk (4.26) menjadi : ( )

( )

( )

( )


√

(3) Diketahui

adalah fungsi turun pada

] untuk ,

dan

Ambil sembarang

√

, maka diperoleh : √

) sedemikian sehingga



,

dan

, maka :

dan

(4.29)

Perhatikan bahwa √

dan √

√

maka : √

( )

(√ )

( )

(√ )

diperoleh dan

(4.30)

Akibat dari (4.29) dan (4.30) adalah berlaku : ( ( )( ( )(

)( )(

)

)(

(

)

)

√

) untuk

)(

)

( )(

)(

) (4.31)

( )

(4.32)

adalah fungsi naik pada .

(4) Untuk menunjukkan bahwa fungsi dengan

)

( )(

( ) Jadi, diperoleh fungsi

)(

turun pada √

)

, dapat dilakukan dengan cara yang sama


pada langkah 3) untuk

. Namun, bentuk dari (4.31)

menjadi : ( )(

)(

) ( )

)

( )

(4.33) (4.34) )

adalah fungsi turun pada √

Jadi, diperoleh fungsi untuk

)(

( )(

.

Berdasarkan pembuktian di atas, diperoleh bahwa pada (

] dan

√

) fungsi

√

tidak mengalami

perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya karena fungsi (

] dan √

√

) untuk

fungsi turun pada (

adalah

) untuk


] dan [√

√

dan fungsi

] dan √

√

Akibatnya, fungsi (


ekstrem lokal pada (

) Jadi, fungsi

memiliki 2 nilai

).

c. Kasus 3 : Pada kasus 3, diskriminan dari persamaan kuadrat positif dan kemungkinan untuk nilai sehingga fungsi

dan

adalah

bernilai dan

hanya memiliki 1 nilai pembuat nol

yaitu . Berdasarkan kondisi tersebut, fungsi

dapat dituliskan ke

dalam bentuk : ( )

(

)(

)

(4.35)


dengan

dan


yang memenuhi kondisi untuk kasus 3, dengan melihat

grafik fungsi, ditemukan fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem

lokal. Berikut adalah grafik fungsi dari contoh dari hasil percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi

yang memenuhi

kasus 3 :

Gambar 4.7. Grafik fungsi


(𝑥)

𝑥(𝑥

)(𝑥

Dugaan dari hasil percobaan di atas yaitu fungsi

)

tidak

memiliki nilai ekstrem lokal akan dibuktikan secara matematis dengan uraian di bawah ini : Akan dibuktikan bahwa fungsi lokal artinya fungsi

tidak memiliki titik ekstrem

tidak memiliki titik balik (turning point).

Hal tersebut juga mengandung makna bahwa fungsi

tidak

mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun


ataupun sebaliknya sehingga fungsi

adalah fungsi naik atau

fungsi turun untuk semua anggota dalam domain fungsi . Untuk membuktikan hal di atas artinya akan ditunjukkan : 1)

( )

( ) untuk

2)

( )

( ) untuk

Bukti : 1) Diketahui

,

,

dan

a) Akan ditunjukkan fungsi

merupakan fungsi naik pada

). Ambil sembarang bilangan nonegatif sehingga

sedemikian

.

( )

( ) (4.36) (4.37)

Perhatikan bahwa

,

,

dan

maka :

dan

(4.38)

dan

(4.39)

Akibat dari (4.38) dan (4.39) adalah berlaku : ( (

)( )(

(

) )

)(

(

)(

( )

)( (

) )

)(

)

(4.40)


( )

( )

Jadi, diperoleh fungsi


). b) Akan ditunjukkan fungsi (


.

(1) Kasus I : Ambil sembarang bilangan negatif sehingga

sedemikan

.

, maka maka

(

)

(

)


,

,

dan

maka : dan

(4.43)

dan

(4.44)

Akibat dari (4.43) dan (4.44) adalah berlaku : (

)(

)

(

)(

)


( (

)(

)(

)( )(

) (

Fungsi

)

)

(

(

)(

(

)(

)( )(

)

) ) (4.45) (4.46)


menjadi : ( )

( )

( ) (2) Kasus II :

( )

(4.47)

dan

Ambil sembarang bilangan negatif

. Diketahui

. Karena

adalah sembarang bilangan negatif dan

maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk

, diperoleh bahwa : (lihat 4.47) ( )

diperhatikan fungsi

dan

( ) adalah pembuat nol dari

maka dapat diperoleh ( )

Jadi, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh fungsi fungsi naik pada ( Jadi, fungsi .

merupakan

.

merupakan fungsi naik pada (

) untuk


2) Diketahui

,

,

dan


merupakan fungsi turun pada


sedemikan

.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi untuk

turun pada

)

, dapat dilakukan dengan cara yang sama pada

langkah sebelumnya yaitu langkah 1) sub a) untuk

.

Namun, bentuk dari (4.40) menjadi : ( )(

)(

) ( )

( )( ( )

Jadi, diperoleh fungsi untuk

) (4.48) (4.49)


)

.

b) Akan ditunjukkan fungsi (

)(


.

(1) Kasus I :

dan keduanya bilangan real negatif

Ambil sembarang bilangan negatif sehingga

.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi (

sedemikan

) untuk

turun pada


yang sama pada langkah sebelumnya yaitu langkah 1)


sub b) bagian (1) untuk

. Namun, bentuk dari

(4.45) menjadi : (

)(

)(

)

(

( karena

)

(

. Fungsi

)(

)( )

) (4.50) (4.51)


bentuk (4.51) menjadi : ( )

( )

( )

( )


) untuk

(2) Kasus 2 :

(4.52) adalah fungsi turun pada

. dan


. Diketahui

. Karena


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk

, diperoleh bahwa : (lihat 4.52) ( )

diperhatikan fungsi

dan

( ) adalah pembuat nol dari

maka dapat diperoleh ( )


Jadi, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh fungsi fungsi turun pada ( Jadi, fungsi

merupakan

.

merupakan fungsi turun pada (

) untuk

. Berdasarkan pembuktian di atas, maka terbukti bahwa pada kasus 3 untuk Sedangkan, (

naik pada selang (

, fungsi

untuk

fungsi

) Oleh karena itu, fungsi

turun

pada

). selang

adalah fungsi naik atau fungsi

turun untuk semua anggota dalam domain fungsi . Akibatnya, fungsi

tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi

fungsi turun atau sebaliknya. Jadi, pada kasus 3 fungsi

tidak

memiliki titik ekstrem lokal. d. Kasus 4 : Pada kasus 4, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat dan akar persamaan dari dengan

merupakan akar kembar real yaitu

. Hal ini berakibat bahwa fungsi

pembuat nol real yang berbeda yaitu fungsi

adalah 0

√

memiliki 3 nilai

dan √ . Oleh karena itu,

dapat dituliskan dalam bentuk : ( )

(

)(

( )

(

)

( )

[(

√ )(

( )

(

√ ) (

,

) (4.53) √ )] √ )

(4.54)


Bentuk (4.54) menunjukkan bahwa ada 2 pembuat nol kembar (multiplicity zero), yaitu √

diulang 2 kali dan

√

yang juga

diulang 2 kali. Berdasarkan sifat pembuat nol kembar, grafik fungsi menyinggung sumbu X di √ dan

√ dan

√ karena pembuat nol

√ diulang sebanyak 2, yang merupakan bilangan genap.

Dari ketiga pembuat nol real tersebut dapat dibuat selang yaitu ( √

) dan ( √ ). Menurut teorema (2.9), diantara 2 pembuat nol

terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Oleh karena itu, pada ( √ dan [ √ ) termuat minimal 1 nilai ekstrem lokal pada setiap selang. Berdasarkan percobaan yang dilakukan pada beberapa contoh fungsi

dalam kasus 4, ditemukan bahwa pada setiap ( √

[ √ ) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi juga terjadi di √ dan

ekstrem lokal fungsi ditemukan bahwa fungsi (

√ ) dan (√

).

dan

dan nilai

√ . Selain itu,



Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi




(𝑥)

(𝑥)

𝑥(𝑥

)

𝑥(𝑥

)

Dugaan yang ditemukan dari hasil percobaan tersebut akan dibuktikan secara matematis dalam uraian di bawah ini. Akan dibuktikan :


1) Fungsi (√

tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada ( ) Artinya, fungsi

√ ) dan

tidak mengalami perubahan dari fungsi

naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya, pada selang tersebut. pada kasus 4 terjadi di √ dan

2) Nilai ekstrem lokal dari fungsi

√ . Artinya akan ditunjukkan bahwa nilai fungsi √ dan

√

adalah nilai maksimum atau minimum lokal dari fungsi . 3) Pada ( √

dan [ √ ) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal

dari fungsi . Bukti : 1) Akan ditunjukkan bahwa : a) Fungsi

naik pada (

√ ) dan (√

) untuk

Bukti : (1) Fungsi

pada (

√ ) (

Ambil sembarang

√ ) sedemikian sehingga

, maka diperoleh : √ , maka maka

(

)

(

)


√ dan

Perhatikan bahwa

√ maka :

√

√ (

(√ )

)

(

(√ )

)

diperoleh : dan

(4.55)

Akibatnya, ( (

) )

)( (

( (

(

)

)

)(

)

)( (

Fungsi

)

(

)( )

)

(4.56) (4.57)


menjadi : ( ) ( )

( ) ( )


√ ) untuk

(2) Fungsi

pada (√


)

Ambil sembarang , maka diperoleh :

(√

)

sedemikian sehingga


√

Perhatikan bahwa √

dan √

( )

(√ )

maka : ( )

(√ )

diperoleh : dan

(4.58)

Akibatnya, (

)

(

)

(

) ( )

Jadi, diperoleh fungsi

(

) (

) (

)

(4.59)

( ) adalah fungsi naik pada (√

)

untuk Jadi,

diperoleh

√ ) dan (√

pada( b) Fungsi

bahwa

turun pada (

fungsi ) untuk

√ ) dan (√

Bukti : (1) Fungsi

pada (

adalah

√ )

fungsi

. ) untuk

naik


(

Ambil sembarang

√ ) sedemikian sehingga

. Untuk (

menunjukkan

bahwa

√ ) dengan

fungsi

turun

pada


yang sama pada langkah a) sub (1) untuk

. Namun,

bentuk dari (4.56) menjadi : (

)(

)(

) (

karena

( )

. Fungsi

)(

)( (

)

) (4.60) (4.61)


bentuk (4.61) menjadi : ( ) ( )

( ) ( )


√ ) untuk

(2) Fungsi

pada (√


) (√

Ambil sembarang

)

Untuk menunjukkan bahwa fungsi dengan

sedemikian sehingga

turun pada (√

)


pada langkah a) sub (2) untuk


(4.59) menjadi : (

)

(

)

(4.62)


( ) Jadi, diperoleh fungsi untuk

( ) adalah fungsi turun pada (√

.

Jadi, diperoleh bahwa fungsi (

)

√ ) dan (√


) untuk

.

Hasil pembuktian di atas menunjukkan bahwa fungsi tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun ataupun sebaliknya pada (

√ ) dan (√

adalah fungsi naik pada (

karena fungsi (√

) untuk

(

√ ) dan (√

dan fungsi ) untuk

. Artinya, fungsi √ ) dan

).

2) Perhatikan bahwa 0, √ dan , maka ( )

(√ )

√ adalah pembuat nol dari fungsi

( √ )

. Dari ketiga pembuat nol

real tersebut dapat dibuat selang yaitu ( √ Berikut akan dilakukan evaluasi nilai fungsi ( √

√ ) dan


tidak memiliki nilai ekstrem lokal pada ( (√

)

) dan ( √ ). pada selang

) dan ( √ ).

a) Nilai fungsi

pada ( √

Ambil sembarang

( √

) ), artinya √

.


Diperhatikan bahwa

, maka

.

√ √ (

)

(√ )

(

)

( Untuk

)

)(

, berlaku : (

)

)( (

Fungsi

)

(4.63)

adalah fungsi ganjil maka bentuk (4.63) dapat

dituliskan menjadi : ( ) ( ) Untuk

, berlaku : (

)

)( (

Fungsi

)

(4.64)


dituliskan menjadi : ( ) ( )



( √

) ( )

untuk

2.

( √

) ( )

untuk

b) Nilai fungsi

pada ( √ )

Ambil sembarang

( √ ), artinya

√ .

√ ( )

(√ )

(

) (

Untuk

)

, berlaku : (

)

( ) Untuk

(4.65)

, berlaku : (

)

( )

(4.66)


( √ ) ( )

untuk

2.

( √ ) ( )

untuk

Pada proses sebelumnya telah ditunjukkan bahwa fungsi memiliki nilai ekstrem lokal pada (

√ ) dan (√

tidak ).


Langkah pembuktian selanjutnya adalah memeriksa nilai fungsi pada (

√ ) dan (√

c) Nilai fungsi

).

pada (

√ ) (

Ambil sembarang

√ ), artinya

√

.

, maka √ √ ( )

(√ )

(

)

( Untuk

)(

(4.67)

, berlaku : (

)

)( (

Fungsi

)

)

(4.68)


dituliskan menjadi : ( ) ( ) Untuk

(4.69)

, berlaku : (

)

)( (

)

(4.70)


Fungsi


dituliskan menjadi : ( ) ( )

(4.71)


(

√ ) ( )

untuk

2.

(

√ ) ( )

untuk

d) Nilai fungsi

pada (√

)

(√

Ambil sembarang

), artinya

√

.

√

(

) (

Untuk

)

, berlaku : (

)

( ) Untuk

(4.72)

, berlaku : (

)

( )

(4.73)


(√

)

( )

untuk


(√

2.

( )

)

untuk

Berdasarkan evaluasi nilai fungsi di atas, perhatikan untuk interval (

) dan ( )

Di lain sisi

, berlaku : pada ( √ ) dan ( )

(√ )

. Artinya nilai fungsi

yang terkecil untuk interval ( lokal pada ( (

pada (√

)

pada √ adalah

). Jadi nilai ekstrem minimum

) terjadi pada √ . Sedangkan untuk

pada

) berlaku : ( )

pada ( √ ) dan ( )

Artinya nilai fungsi interval (

pada √

pada (√

)

adalah yang terbesar untuk

). Jadi nilai ekstrem maksimum lokal pada (

)

terjadi pada √ Perhatikan untuk interval ( ( )

√ ) dan ( )

pada (

Di lain sisi ( √ )

) dan

. Artinya nilai fungsi

yang terbesar untuk interval ( maksimum lokal pada ( untuk untuk ( )

pada ( pada (

, berlaku : pada ( √ pada

)

√ adalah

). Jadi nilai ekstrem

) terjadi pada

√ . Sedangkan

) berlaku : √ ) dan ( )

pada ( √

)


Artinya nilai fungsi interval ( terjadi pada

pada

√

adalah yang terkecil untuk

). Jadi nilai ekstrem minimum lokal pada (

)

√ .

Jadi, dapat diperoleh bahwa nilai ekstrem lokal dari fungsi terjadi pada

√ dan √ .

3) Akan ditunjukkan bahwa pada ( √

dan [ √ )

hanya

termuat 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Fungsi

merupakan fungsi ganjil, akibatnya banyaknya

nilai ekstrem lokal pada sumbu X positif sama dengan banyaknya nilai ekstrem lokal pada sumbu X negatif. Oleh karena itu, analisis banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi dilakukan pada sumbu X positif saja ( akan ditunjukkan fungsi

cukup

) Oleh karena itu


[ √ ). Pembuktian hal terserbut akan menggunakan kontradiksi. a) Asumsi : fungsi


[ √ ). Perhatikan bahwa

dan √ adalah pembuat nol dari fungsi .

Berdasarkan teorema 2.9, diantara 2 pembuat nol dari fungsi polinomial terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal. Oleh karena itu, diantara

dan √ terdapat minimial 1 pembuat nol. Hal ini

kontradiksi dengan asumsi yang dimiliki. Jadi, fungsi memiliki nilai ekstrem lokal pada [ √ ).


b) Asumsi : fungsi

memiliki lebih dari 1 nilai ekstrem lokal

pada [ √ ). Jika fungsi

memiliki lebih dari 1 nilai ekstrem lokal pada

[ √ ), maka fungsi

juga memiliki lebih dari 1 nilai

ekstrem lokal pada ( √ fungsi

. Hal terserbut berlaku karena

merupakan fungsi ganjil.

Perhatikan pada langkah 2) telah ditunjukkan bahwa ada 2 nilai ekstrem lokal dari fungsi √ . Akibatnya, fungsi

yang terjadi pada

√ dan

memiliki nilai ekstrem lokal lebih

dari 4. Sedangkan, hal ini kontradiksi dengan sifat yang dimiliki oleh yang memiliki nilai ekstrem lokal paling banyak 4. Berdasarkan pembuktian di atas, maka fungsi

memiliki 1 nilai

ekstrem lokal pada [ √ ), yang artinya fungsi

juga memiliki 1

nilai ekstrem lokal pada pada ( √

.

Hasil dari pembuktian di atas menunjukkan bahwa fungsi fungsi yang unimodal pada ( √ menunjukkan pula bahwa fungsi terjadi pada ( √

[ √ ),

adalah

dan [ √ ). Selain itu

memiliki 4 nilai ekstrem lokal yang √ dan √ .


e. Kasus 5 : Pada kasus 5, nilai diskriminan dari persamaan kuadrat dan akar persamaan dari dengan

merupakan akar kembar real yaitu

. Hal ini berakibat fungsi

real yaitu . Dalam kasus 5, fungsi ( ) dengan

adalah 0

(

,

memiliki 1 nilai pembuat nol

dapat dituliskan dalam bentuk : )

(4.74)

.


yang memenuhi kondisi untuk kasus 5, ditemukan bahwa

fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Berikut adalah grafik

fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi yang memenuhi kasus 5 :

Gambar 4.10. Grafik fungsi (𝑥)

𝑥(𝑥

)

Gambar 4.11. Grafik fungsi (𝑥) ) 𝑥(𝑥


Dugaan dari hasil percobaan terserbut adalah fungsi

pada kasus 5

tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Hal ini akan dibuktikan secara matematis. Fungsi

tidak memiliki titik ekstrem lokal artinya fungsi

tidak memiliki titik balik (turning point). Akibat dari hal ini adalah fungsi

tidak mengalami perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi

turun ataupun sebaliknya. Oleh karena itu, fungsi

adalah fungsi naik

atau fungsi turun untuk semua anggota dalam domain fungsi . Akan ditunjukkan : ( )

1)

( ) untuk

( )

2)

( ) untuk

Bukti : 1) Diketahui

,

dan

a) Akan ditunjukkan : fungsi



sedemikan

.

( )

( )

Perhatikan bahwa

,

dan

dan Akibatnya, (

)

(

)

maka :


(

)

(

)

(

( )

( )

Jadi, fungsi

(

) (4.75) (4.76)


b) Akan ditunjukkan fungsi (

)

).


.

(1) Kasus I : dan keduanya bilangan real negatif Ambil sembarang bilangan negatif sehingga

sedemikian

.

,

dan

maka :

dan

( )

( )

Perhatikan bahwa

,

dan

maka :

dan Akibatnya, (

)

( (

(

)

( )

)( (

) ) (

)

(

)( )

)

(4.77) (4.78)


Fungsi

adalah fungsi ganjil maka bentuk pada (4.78)

dapat diubah menjadi : ( ) ( )

( ) ( )

(4.79)


Jadi, fungsi (2) Kasus 2 :

).

dan


. Diketahui

. Karena


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk , diperoleh bahwa : (lihat 4.79) ( ) diperhatikan

dan

( )


maka dapat diperoleh ( ) Jadi, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh fungsi fungsi naik pada ( Jadi, fungsi .

merupakan

.


) untuk


2) Diketahui

,

dan




sedemikan

.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi

) dengan

turun pada

, dapat dilakukan dengan cara yang sama pada langkah 1) sub a) untuk ( )(

. Namun, bentuk dari (4.76) menjadi :

)(

)

( )(

( ) Jadi, diperoleh fungsi

)(

) (4.80)

( )

(4.81)


) untuk

. b) Akan ditunjukkan fungsi (


).

(1) Kasus I :

dan keduanya bilangan real negatif

Ambil sembarang bilangan negatif sehingga

.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi dengan

sedemikan

turun pada (


pada langkah 1) sub b) untuk


(4.77) menjadi : (

)(

)

)(

) (

)

(

)(

(

)

)(

) (4.82) (4.83)


karena

. Fungsi


bentuk (4.83) menjadi : ( ) ( )

( ) ( )

(4.84)


Jadi, fungsi (2) Kasus II :

).

dan


. Diketahui

. Karena


maka :

Berdasarkan langkah sebelumnya telah dibuktikan untuk , diperoleh bahwa : (lihat 4.84) ( ) diperhatikan

( )

dan


maka dapat diperoleh ( ) Jadi, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh fungsi fungsi turun pada ( Jadi, fungsi

merupakan

.


) untuk

. Berdasarkan pembuktian di atas, maka terbukti bahwa pada kasus 5 untuk

, fungsi

naik pada selang (

). Sedangkan,


untuk

fungsi

fungsi

turun pada selang (

). Oleh karena itu,

adalah fungsi naik atau fungsi turun untuk semua anggota

dalam domain fungsi

. Akibatnya, fungsi

tidak mengalami

perubahan dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya. Jadi, pada kasus 5 fungsi

tidak memiliki titik balik atau titik

ekstrem lokal. f. Kasus 6 : Pada kasus 6, diskriminan dari persamaan kuadrat negatif dan akar-akar persamaan kuadrat

bernilai

bukan merupakan bilangan

real, tetapi bilangan kompleks yang memuat bilangan imajiner. Akibatnya, fungsi

hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu 0.


yang memenuhi kondisi untuk kasus 6, ditemukan bahwa ada

fungsi

yang memiliki titik ekstrem lokal dan ada fungsi

yang tidak

memiliki titik ekstrem lokal. Dari percobaan yang dilakukan beberapa contoh, fungsi

untuk kondisi kasus 6, yang memiliki titik ekstrem,

selalu memiliki 4 titik ekstrem lokal, dengan 2 titik ekstrem lokal terletak di sumbu X positif dan 2 titik ekstrem lokal terletak di sumbu X negatif. Oleh karena itu, kasus 6 akan dipecah menjadi 2 kasus yaitu kasus 6.a untuk fungsi 6.b untuk fungsi

yang memiliki titik ekstrem lokal dan kasus

yang tidak memiliki titik ekstrem lokal.

Berikut adalah grafik fungsi dari hasil dari percobaan yang dilakukan, yaitu grafik fungsi





(𝑥)

(𝑥)


(𝑥)

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

8𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥



(𝑥)

𝑥

𝑥

Cara yang dilakukan untuk mengetahui apakah fungsi

𝑥 termasuk

kasus 6.a atau kasus 6.b adalah dengan menggunakan metode numerik yang dikerjakan dalam program MATLAB. Ide dasar yang digunakan adalah konsep translasi dengan menggerakkan garis

atau sumbu

X ke atas dan ke bawah sebesar konstanta ( ) yang sudah ditentukan, sehingga persamaan garis menjadi atas) atau

(jika sumbu X digerakkan ke

(jika sumbu X digerakkan ke bawah). Selanjutnya,

proses yang dilakukan adalah mencari titik potong fungsi

dengan

Jika banyaknya titik potong hanya terdapat 1, maka proses

translasi kembali dikerjakan dengan menggeser garis konstanta yang sama sehingga persamaan garis menjadi

sebesar .

Proses translasi atau pergerakan dari garis tersebut terus dilakukan hingga mencapai kondisi terdapat lebih dari 1 titik potong. Namun,


pergerakan sumbu X dilakukan dengan jumlah iterasi yang dibatasi dalam program. Batasan iterasi perlu digunakan karena ada kemungkinan fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem lokal, sehingga

jika tidak dibatasi jumlah iterasi maka bisa terjadi perulangan atau pergerakan terus berjalan tanpa henti karena belum mencapai kondisi stop. Oleh karena itu, penentuan apakah fungsi

merupakan kondisi

kasus 6.a atau 6.b sangat bergantung pada konstanta pergerakan yang digunakan dan batasan iterasi yang ditentukan dalam program. Berikut adalah ilustrasi pergerakan garis terhadap garis

dan titik potong grafik

:

Gambar 4.16 (a). Grafik fungsi

dan 𝑦


Gambar 4.16 (b). Pergerakan garis 𝑦 sebesar 𝑘 dan titik potongnya dengan grafik fungsi Proses translasi dengan menggerakan sumbu X ke atas, akan menghasilkan fungsi baru, yaitu : ( )

( )

Jika diperhatikan, penyelesaian dari mencari titik potong antara garis dan fungsi

identik dengan mencari akar-akar dari persamaan

polinomial . Misal : Persamaan polinomial dapat dibentuk dari fungsi , yaitu : ( ) ( ) ( ) dan potong antara garis

;

(4.85)

. Penyelesaian untuk menentukan titik dan fungsi ( )

dilakukan dengan cara :


( )

(4.86)

Jika dilihat dari bentuk (4.85), penyelesaian dari titik potong antara garis

dan fungsi

adalah akar-akar real dari persamaan

polinomial . Dengan cara yang sama, jika sumbu X digerakkan ke bawah sebesar , maka dapat diperoleh fungsi baru yaitu : ( )

( )

Artinya titik-titik potong antara garis garis

dan fungsi

ekuivalen dengan akar-akar real persamaan polinomial . Proses pengujian fungsi

pada kasus 6 dapat dituliskan dalam

algoritma di bawah ini : 1) Tentukan banyak iterasi ( ) dan konstanta pergeseran ( ). 2) Definisikan ke- dan

dan

( ),

pada iterasi

.

3) Cek banyaknya titik potong antara 4) Misal

adalah nilai

dan

( ).

adalah banyaknya titik potong antara ( ). Jika

dan

maka proses berhenti. Namun, jika

maka proses diulang kembali ke langkah 2). 5) Jika proses telah sampai pada iterasi ke-

dan hasilnya

maka proses dihentikan. Algoritma di atas dapat digunakan untuk proses pergerakkan garis , baik bergerak ke atas ataupun ke bawah. Namun dalam proses ini cukup dilakukan dengan menggeser

ke atas, karena fungsi


merupakan fungsi ganjil, yaitu fungsi yang simetris terhadap titik O(0,0). Artinya jika banyaknya titik potong antara

dan fungsi

adalah

, maka banyaknya titik potong antara

dan fungsi

adalah

.

Jika proses pengujian fungsi

untuk kasus 6 telah sampai langkah

5), maka tidak dapat disimpulkan bahwa fungsi

tidak memiliki nilai

ekstrem lokal karena proses tersebut dibatasi oleh banyaknya iterasi dan konstanta pergeseran dari garis

. Artinya, terdapat 3

kemungkinan yang terjadi, yaitu titik ekstrem lokal fungsi terlewati karena konstanta ekstrem lokal fungsi

sudah

yang digunakan terlalu besar atau titik

belum terlewati sampai iterasi ke- atau fungsi

memang tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Sedangkan, jika proses pengujian dari fungsi

untuk kasus 6 dapat ditemukan suatu

sedemikian sehingga banyaknya titik potong antara ( ) lebih dari 1 maka dapat diduga fungsi

dan

memiliki nilai

ekstrem lokal. Sebelum membuktikan dugaan tersebut, dilakukan pengamatan pada banyaknya titik potong yang mungkin terjadi antara dan

( ). Berdasarkan pengamatan tersebut, ada 3

kemungkinan banyaknya titik potong yaitu terdapat 1 titik potong, 2 titik potong atau 3 titik potong. Berikut ini akan dibuktikan jika titik potong antara ( ) lebih dari 1 tetapi tidak lebih dari 3, maka fungsi nilai ekstrem lokal.

dan memiliki


Bukti : Asumsi : banyaknya titik potong antara

( ) lebih

dan

dari 1 tetapi tidak lebih dari 3. Fungsi

merupakan fungsi ganjil artinya fungsi

simetris

terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat lebih dari 1 titik potong antara ( ) maka terdapat pula lebih dari 1 titik potong

dan antara antara

dan

Misalkan ( ) antara

( )

( ). , maka penyelesaian dari titik potong ( ) adalah akar-akar real dari persamaan

dan

polinomial . Banyaknya titik potong antara

dan

( )

lebih dari 1 artinya persamaan polinomial memiliki lebih dari 1 akar real. Misalkan ( ) antara

( )

, maka penyelesaian dari titik potong ( ) adalah akar-akar real dari persamaan

dan

polinomial . Banyaknya titik potong antara

dan

( )

lebih dari 1 artinya persamaan polinomial memiliki lebih dari 1 akar real. Berikut akan diberikan ilustrasi kemungkinan banyaknya titik potong antara

dan

( ):

1) Kemungkinan 1 : terdapat 2 titik potong antara ( )

dan


Fungsi

pada kasus 6 hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu

0 sehingga jika terdapat 2 titik potong antara

dan

( ), maka kemungkinan grafiknya adalah : 𝑌

𝑋

Gambar 4.17. Kemungkinan bentuk grafik jika ada 2 titik potong antara 𝑦 𝑘𝑖 dan 𝑦 (𝑥) Misalkan

dan

adalah titik potong antara

( ). Oleh karena itu

dan

dan

adalah akar-akar real dari

persamaaan polinomial . 𝑌

𝑋


dan 𝑙


Berdasarkan ilustrasi yang diberikan di atas, fungsi menyinggung sumbu X di nol kembar dari fungsi

yang artinya

merupakan pembuat

yang diulang sebanyak

, dengan

bilangan genap. Jika diperhatikan kondisi fungsi

pada

kemungkinan ini terdapat kesamaan dengan kondisi fungsi

pada

kasus 4. Artinya nilai ekstrem lokal dari fungsi dan

terjadi pada

.

adalah pembuat nol real dari fungsi polinomial , maka

pada (

) memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi .

Perhatikan bahwa fungsi

diperoleh dari translasi fungsi

bawah. Di lain sisi, diketahui bahwa pada (

ke

) memuat

minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi dan nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi di

. Sedangkan, proses translasi tidak

mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka pada ( minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi fungsi

juga terjadi di

Fungsi

) juga memuat

dan nilai ekstrem lokal

.


simetris

terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat 2 titik potong antara dan

( ) maka terdapat pula 2 titik potong antara antara dan

( ).


𝑌

𝑋

Gambar 4.19. Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar 𝑘 Karena fungsi

adalah fungsi yang simetris terhadap O(0,0)

maka diperoleh titik potong dan

. Oleh karena itu,

( ) terletak di

dan dan


persamaaan polinomial . 𝑌

𝑋


dan 𝑗


Berdasarkan ilustrasi yang diberikan di atas, fungsi menyinggung sumbu X di

yang artinya

pembuat nol kembar dari fungsi dengan

merupakan

yang diulang sebanyak

,

bilangan genap. Artinya nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi pada

.

dan

adalah pembuat nol real dari

fungsi polinomial , maka pada (

) memuat minimal 1

nilai ekstrem lokal dari fungsi . Perhatikan bahwa fungsi


atas. Di lain sisi, diketahui bahwa pada (

ke

) memuat

minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi dan nilai ekstrem lokal dari fungsi

terjadi di

. Sedangkan, proses translasi tidak

mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka pada ( minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi fungsi

juga terjadi di

) juga memuat dan nilai ekstrem lokal

.

Jadi, terbukti bahwa fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal.

Berdasarkan pembuktian di atas, ditemukan bahwa nilai ekstrem lokal dari fungsi (

terjadi pada

) dan (

Jika pada (

dan

. Selain itu, pada

) memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal. )

dan (

ekstrem lokal, artinya fungsi

) memuat lebih dari 1 nilai memiliki lebih dari 4 nilai ekstrem

lokal. Hal tersebut tentu kontradiksi dengan sifat fungsi

yang

memiliki nilai ekstrem lokal paling banyak 4. Oleh karena itu,


pada (

) dan (

) hanya termuat 1 nilai ekstrem lokal

pada setiap selangnya. 2) Kemungkinan : terdapat 3 titik potong antara Fungsi

dan

( )

pada kasus 6 hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu 0

sehingga jika terdapat 3 titik potong antara

dan

( ),

maka kemungkinan grafiknya adalah :

Gambar 4.21. Kemungkinan bentuk grafik jika terdapat 3 titik potong 𝑦 𝑘𝑖 dan 𝑦 (𝑥) Misalkan

,

dan

( ). Oleh karena itu persamaaan polinomial .

adalah titik potong antara ,

dan

dan




dan 𝑙

Berdasarkan ilustrasi di atas diperoleh bahwa

,

dan

adalah pembuat nol real dari fungsi polinomial , maka pada dan

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari

fungsi . Perhatikan bahwa fungsi


bawah. Di lain sisi, diketahui bahwa pada

ke

dan

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Sedangkan, proses translasi tidak mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka pada

dan

juga memuat minimal 1 nilai ekstrem

lokal dari fungsi . Fungsi


simetris

terhadap O(0,0). Artinya, jika terdapat 3 titik potong antara


( ) maka terdapat pula 3 titik potong antara antara

dan

( ).

dan

Gambar 4.23. Sumbu X (y=0) digeser ke bawah sebesar 𝑘

Karena fungsi

adalah fungsi yang simetris terhadap

O(0,0) maka diperoleh titik potong

dan

di

,

,

dan

. Oleh karena itu,

akar-akar real dari persamaaan polinomial .


dan 𝑗

( ) terletak dan

adalah


Berdasarkan teorema (2.9), pada

dan

terdapat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi polinomial . Perhatikan bahwa fungsi diperoleh dari translasi fungsi Di lain sisi, diketahui bahwa pada

ke atas.

dan

memuat minimal 1 nilai ekstrem lokal dari fungsi . Sedangkan, proses translasi tidak mengubah bentuk grafik fungsi dan pergeseran yang terjadi hanya pergeseran secara vertikal, maka pada

dan

juga memuat minimal 1 nilai

ekstrem lokal dari fungsi . Jadi, terbukti bahwa fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal.

Dari hasil pembuktian di atas menunjukkan bahwa pada ,

dan

nilai ekstrem lokal dari fungsi

memuat minimal 1

. Apabila ada di antara selang

tersebut memuat nilai ekstrem lokal fungsi

lebih dari 1, maka

banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi

lebih dari 4. Hal

tersebut kontradiksi dengan sifat dari fungsi

yang memiliki nilai

ekstrem lokal maksimal 4. Oleh karena itu pada dan

,

hanya termuat 1 nilai ekstrem

lokal dari fungsi . Hasil pembuktian di atas juga menunjukkan bahwa jika fungsi memenuhi kondisi pada kasus 6.a, maka ada 2 kemungkinan yang terjadi yaitu :


1) Kasus 6.a.(i) : fungsi setiap selang

memiliki 1 nilai ekstrem lokal pada ,

dan

jika terdapat 3 titik potong antara 2) Kasus 6.a.(ii) : fungsi ,

titik potong antara

( ).

memiliki nilai ekstrem lokal pada

. Selain itu, fungsi

pada setiap selang (

dan

memiliki 1 nilai ekstrem lokal ) dan (

dan

) jika terdapat 2

( ).

Pada subbab sebelumnya, proses mencari pembuat nol dari fungsi telah dikerjakan dalam program MATLAB, dengan nama M-file lanjut_translasi. Hasil dari perhitungan proses tersebut akan digunakan dalam proses pada sub bagian ini, yaitu penentuan banyak titik ekstrem lokal

ditinjau dari pembuat nol fungsi polinomial

. Algoritma yang

dituliskan dalam program dibawah ini disesuaikan dengan hasil analisis yang sudah dilakukan di atas, sehingga pengguna program hanya akan diberikan informasi tentang banyaknya titik ekstrem lokal fungsi h sesuai dengan kondisi yang terjadi. Algoritma berikut merupakan sub bagian dari algoritma yang termuat dalam M-file lanjut_translasi, yang dikhususkan untuk menentukan banyaknya titik ekstrem lokal dari fungsi . %Penentuan Banyaknya Titik Puncak yg dimiliki if Disk>0 if (p1>0)&&(p2>0) %Kasus1 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem lokal dengan 2 titik maksimum lokal dan 2 titik minimum lokal') disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max akar1(1),akar2(1))),']']) disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]'])


disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max akar1(2),akar2(2))),']']) disp(' '); disp('Ketik lanjut_4 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal.');%next to other program else if (p1<0)&(p2<0)%Kasus3 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan tidak mempunyai nilai ekstrem lokal') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program selesai.') disp('---------------END--------------------------'); else disp('Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai ekstrem lokal dengan 1 titik maksimum lokaldan 1 titik minimum lokal') %Kasus2 disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end disp(' '); disp('Ketik lanjut_2 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal');%next to other program end end else if Disk==0 if (p1>0) %Kasus4 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar) dan 4 nilai ekstrem lokal dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum, dimana akar selain 0 jadi absis puncak') disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]']) disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_3 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem');%next to other program else %Kasus5


disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki nilai ekstrem lokal.') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem lokal. Program selesai.') disp('-------------END--------------------------'); end else disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki nilai ekstrem.') %Kasus6 disp('Ketik lanjut_coba') %next to other program end end

Pada algoritma di atas, pengguna program diberikan informasi tentang banyaknya titik ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi fungsi

. Jika

sudah dipastikan tidak memiliki nilai ekstrem lokal, seperti kasus

3 dan kasus 5, maka proses berhenti. Sedangkan, jika fungsi

sudah

dipastikan memiliki nilai ekstrem lokal, seperti kasus 1, 2 dan 4, maka pengguna program diminta memanggil nama M-file yang sesuai dengan kondisi dari fungsi

. Sedangkan, jika kasus 6 yang terjadi, pengguna

program juga diminta memanggil M-file, dengan nama lanjut_coba, untuk mengecek apakah fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal. Berikut adalah

algoritma yang termuat dalam M-file lanjut_coba : %Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 %Tujuan dari program ini adalah : %menentukan apakah fungsi h pada kasus 6 memiliki nilai ekstrem lokal disp('----------------------------------------------------') disp(' Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ') disp('----------------------------------------------------') f=0; k=0.1; %Pada program bagian pengujian ini, banyaknya iterasi dibatasi hingga 1000 %konstanta pergerakan sumbu X menggunanakan k=0.1 f=f+k; r=0; iter=0;


while r<=1 & iter<1000 T=[0 0 0 0 0 f]; L=(H-T); akr=sort(roots(L)); for i=1:5 if imag(akr(i))==0 r=r+1; end end if r>1 %Kasus6.a k_i=f; disp(['Fungsi h memiliki ',num2str(r),' titik potong antara y=',num2str(k_i),' dan y=h(x)']) for i=1:5 if imag(akr(i))==0 disp(akr(i)) end end disp(['Fungsi h juga memiliki ',num2str(r),' titik potong antara y=',num2str(-1*k_i),' dan y=h(x)']) Z=[0 0 0 0 0 k_i]; J=(H+Z); akr2=sort(roots(J)); for i=1:5 if imag(akr2(i))==0 disp(akr2(i)) end end if akr(2)==akr(3) %Kasus6.a.(ii) disp(['Nilai ekstrem lokal fungsi h terjadi pada ',num2str(akr(2)),' dan ',num2str(akr2(2))]); disp(['Fungsi h unimodal pada [',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),'] dan [',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) else %Kasus6.a.(i) disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(2)),',',num2str(akr2(3)),']']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_cari untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal') end else r=0; f=f+k;


iter=iter+1; end end if iter==1000 %Kasus6.b disp('Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi, fungsi h tidak memiliki titik ekstrem lokal.') disp('-----------------END-------------------------'); end

C. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi

Menggunakan Golden Section Search

Pada sub bab sebelumnya, telah dilakukan analisis banyaknya titik ekstrem lokal yang dimiliki oleh fungsi . Hasil analisis pada fungsi

ditinjau dari pembuat nol fungsi

yang memiliki nilai ekstrem lokal

menunjukkan selang-selang yang menjamin bahwa fungsi pada selang tersebut. Artinya, fungsi

unimodal

hanya memiliki 1 nilai ekstrem

lokal pada selang tersebut. Hasil dari analisis yang sudah dilakukan dan menunjukkan selang-selang yang menjamin fungsi 1. Pada

kasus

[ √

1,

fungsi

√ ], [ √

2. Pada kasus 2, fungsi

bersifat

], [ √ ] dan [√

unimodal adalah : unimodal

pada

√ ]

bersifat unimodal pada [ √

] dan

bersifat unimodal pada ( √

) dan

[ √ ]. 3. Pada kasus 4, fungsi ( [ √ ]). 4. Pada kasus 6.a.(i), fungsi dan

berifat unimodal pada .

,


5. Pada kasus 6.a.(ii), fungsi (

bersifat unimodal pada (

dan

.

Pada sub bab ini akan dilakukan proses mencari nilai ekstrem lokal fungsi

dengan menggunakan metode Golden Section Search pada kasus

1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii). Syarat yang diperlukan untuk menggunakan metode Golden Section Search telah dipenuhi yaitu diketahui selang yang menjadi fungsi unimodal pada selang tersebut. Namun sebelum menggunakan metode Golden Section Search pada fungsi

, perlu

diketahui dalam selang tersebut memuat nilai ekstrem maksimum atau minimum lokal, karena algoritma metode Golden Section Search untuk kasus maksimum sedikit berbeda dengan kasus minimum. Ide yang digunakan untuk menentukan apakah selang memuat nilai ekstrem maksimum atau minimum lokal adalah melakukan evaluasi nilai fungsi batas bawah selang dan bilangan yang terletak cukup dekat di sebelah kanan dengan batas bawah, pada setiap selang. Perhatikan bahwa interval yang telah diperoleh pada proses sebelumnya, nilai fungsi pada batas bawah sama dengan nilai fungsi batas atas interval. Misal diketahui fungsi ( )

( ) dengan

ekstrem lokal pada

bersifat unimodal pada

. Akibatnya, fungsi , artinya fungsi

dan

memiliki 1 nilai

hanya mengalami perubahan

dari fungsi naik menjadi fungsi turun atau sebaliknya, hanya satu kali. Untuk menentukan apakah selang tersebut memuat nilai ekstrem maksimum atau minimum lokal, maka dilakukan evaluasi fungsi

( )


dan bilangan yang terletak cukup dekat di sebelah kanan dari , dipilih 1. Jika

( ) Fungsi

. ( ), maka fungsi

dan merupakan fungsi naik pada

hanya mengalami perubahan naik menjadi turun atau

sebaliknya hanya satu kali dan karena fungsi , maka pada

Fungsi

naik pada

termuat nilai ekstrem maksimum lokal.

2. Sedangkan, jika jika ( ) turun pada

. Misalkan

( ), maka fungsi

merupakan fungsi

hanya mengalami perubahan naik menjadi

turun atau sebaliknya hanya satu kali dan karena fungsi , maka pada

turun pada

termuat nilai ekstrem minimum

lokal. Berikut adalah algortima untuk menyelidiki apakah nilai ekstrem minimum atau maksimum lokal dari fungsi , jika diketahui fungsi

yang termuat dalam selang

unimodal pada

:

%Diketahui fungsi H unimodal pada [x0,xt] %uji nilai fungsi pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); %x0 dan xt harus terlebih dahulu diketahui %x0 dan xt ditentukan pada proses sebelumnya x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); %evaluasi nilai fungsi pada [x0,x1] if y1 < y2 disp('-----Fungsi naik pada selang tersebut. Ada titik maksimum di selang tersebut-----') else if y1 > y2 disp('-----Fungsi turun pada selang tersebut. Ada titik


minimum di selang tersebut-----') end end

Pada penelitian ini, algoritma di atas dilakukan pada selang yang terbentuk dari 2 pembuat nol

real yang berdekatan yang sudah

ditentukan pada M-file lanjut_translasi. Algoritma di atas juga akan dipadukan dengan algoritma metode Golden Section Search pada proses selanjutnya. Setelah mengetahui selang memuat nilai ekstrem maksimum atau minimum lokal, metode Golden Section Search siap digunakan untuk menentukan nilai ekstrem lokal fungsi

yang disesuaikan dengan kasus

maksimum atau minimum lokal. Berikut adalah algoritma untuk menentukan nilai ekstrem lokal fungsi

secara umum :

1. Kasus Maksimum disp('==================================================='); disp('--Pencarian Nilai Maksimum dengan Golden Section--'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; %goldenratio xl=x0; %x0:batasbawahinterval xh=xt; %xt:batasatasinterval del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); %H : matriks koefisien dari fungsi polinomial H yang terlebih dahulu didefinisikan y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);


else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')'])

2. Kasus Minimum disp('==================================================='); disp('--Pencarian Nilai Minimum dengan Golden Section--'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; %goldenratio xl=x0; %x0:batasbawahinterval xh=xt; %xt:batasatasinterval del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); %H : matriks koefisien dari fungsi polinomial H yang terlebih dahulu didefinisikan y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')'])

Algoritma metode Golden Section Search di atas digunakan pada masing-masing kasus yaitu kasus 1,2,4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii) untuk menentukan nilai ekstrem lokal maksimum dan minimum dari fungsi (lihat lampiran). Penentuan nilai ekstrem lokal fungsi

.

untuk kasus 1

termuat dalam M-file dengan nama lanjut_4. Sedangkan penentuan nilai ekstrem lokal fungsi

untuk kasus 2 termuat dalam M-file dengan nama

lanjut_3. Proses menentukan nilai ekstrem lokal fungsi

pada kasus 4

termuat dalam M-file dengan nama lanjut_2. Sedangkan untuk kasus 6.a.(i) dan 6.a.(ii), termuat dalam M-file dengan nama lanjut_cari. Pada algoritma yang digunakan pada penelitian ini, panjang interval akhir yang diinginkan dilambangkan dengan variabel eps atau epsilon. Epsilon yang digunakan pada penelitian ini adalah Pencarian nilai ekstrem lokal fungsi positif atau untuk

.

hanya dilakukan pada sumbu X

. Hal ini dapat dilakukan karena fungsi

merupakan fungsi ganjil, sehingga apabila nilai ekstrem lokal fungsi pada sumbu X positif sudah diketahui maka nilai ekstrem lokal fungsi pada sumbu X negatif juga dapat ditentukan.


D. Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Awal Pada sub bab sebelumnya telah didapat informasi tentang banyaknya nilai ekstrem yang dimiliki dari fungsi lokal dari fungsi

, untuk fungsi

dan nilai ekstrem

yang memiliki nilai ekstrem lokal.

Fungsi awal atau fungsi asli yang diberikan adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris yaitu fungsi . Tujuan awal adalah menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi . Oleh karena itu, proses yang selanjutnya adalah menggeser fungsi fungsi

kembali ke fungsi awal yaitu fungsi oleh vektor (

diperoleh dengan menggeser fungsi

proses selanjutnya yang dilakukan adalah menggeser fungsi

. Jika ), maka

oleh vektor

yang besarnya sama tetapi berlawanan arah, yaitu vektor ( ). Analisis yang sudah dilakukan tentang banyaknya nilai ekstrem lokal dari fungsi

menentukan pula banyaknya nilai ekstrem lokal dari

fungsi

. Hal ini dikarenakan fungsi

merupakan hasil translasi dari

fungsi

, yang artinya grafik fungsi

fungsi

. Pada kasus 3, 5 dan 6.b menunjukkan bahwa fungsi

tidak merubah bentuk dari grafik

memiliki nilai ekstrem lokal, sehingga fungsi

tidak

juga tidak memiliki nilai

ekstrem lokal. Sedangkan pada kasus 1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii) menunjukkan bahwa fungsi

memiliki nilai ekstrem lokal dan pada proses

sebelumnya telah dilakukan pencarian titik ekstrem lokal dari fungsi maka akibatnya titik ekstrem lokal fungsi

,

juga dapat diketahui dengan


menambahkan sebesar

untuk absis titik ekstrem dan

untuk ordinat

dari titik ekstrem lokal. Pada proses sebelumnya, yaitu menentukan nilai ekstrem lokal dengan menggunakan metode Golden Section Search, termuat dalam Mfile yang terpisah dan disesuaikan dengan kondisi fungsi . Namun, pada setiap M-file diakhiri dengan pemberian informasi kepada pengguna program untuk memanggil M-file dengan nama lanjut_final. M-file lanjut_final berisikan algoritma untuk menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi awal yaitu fungsi

. Hasil dari proses yang sebelumnya tetap

digunakan dalam perhitungan atau pengerjaan algoritma pada M-file lanjut_final. Berikut adalah algoritma untuk menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi awal yaitu fungsi . %Penentuan Nilai Ekstrem Fungsi g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ') disp('----------------------------------------------------'); if (Ax~=0) & (Bx~=0) Ax1=Ax+m; Ax2=-Ax+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; %By adalah nilai lokal minimum dari h By2 adalah nilai lokal maksimum dari g disp('--------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('--------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')'])


disp(' '); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) else if Ax~=0 Ax1=Ax+m; Ax2=-(Ax)+m;

%Ax adalah absis titik maksimum dari h, Ax2 adalah absis titik minimum dari g

Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n;

%Ay adalah nilai lokal maksimum dari h, Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g disp('----------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-----------------------------------------------'); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) else Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h, Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; disp('-----------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-----------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) end end

E. Analisis Kesalahan Proses yang dilakukan dalam menentukan nilai ekstrem lokal pada fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, yaitu fungsi

, terbagi

menjadi 9 langkah. Kesembilan langkah tersebut telah digambarkan dalam diagram pada gambar 3.7. Dari kesembilan langkah tersebut, metode


numerik digunakan pada langkah menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi

dengan metode Golden Section dan secara khusus digunakan

untuk kasus 6 dalam langkah menganalisis banyaknya nilai ekstrem lokal ditinjau dari pembuat nol fungsi

. Solusi yang menggunakan metode

numerik merupakan solusi yang bersifat hampiran dari solusi yang eksak. Hal ini berakibat terjadinya galat atau error dari solusi yang diperoleh dari metode numerik. Pada langkah analisis fungsi fungsi

untuk kasus 6, dilakukan pengujian

menggunakan metode numerik. Ide dasar yang digunakan tetap

menggunakan konsep aljabar dan geometri, yaitu konsep translasi. Kondisi yang terjadi pada kasus 6 adalah diskriminan dari persamaan kudrat bernilai negatif sehingga fungsi

hanya memiliki 1 pembuat nol real yaitu

0. Selain itu, kondisi yang ditemukan adalah ada fungsi nilai ekstrem lokal dan ada fungsi

yang memiliki

yang tidak memiliki nilai ekstrem

lokal pada kasus 6. Translasi yang digunakan adalah menggerakkan atau menggeser sumbu X ke atas, sebesar , secara berulang hingga terdapat lebih dari 1 titik potong dengan grafik fungsi

. Dalam algoritma yang

digunakan pada langkah translasi tersebut, perulangan dibatasi oleh 2 hal yaitu banyaknya titik potong garis sudah ditentukan yaitu

dengan

( ), dengan

, dan banyak iterasi yang ditentukan yaitu 1000

iterasi. Perulangan akan berhenti jika banyaknya titik potong garis dengan 1000.

( ) lebih dari 1 dan perulangan sudah dilakukan sebanyak


Jika diperhatikan banyaknya titik potong garis ( ), bergantung pada nilai

dengan

yang ditentukan pada program. Besar atau

juga dapat mempengaruhi hasil dari proses ini. Apabila nilai

yang

ditentukan terlalu besar, bisa jadi nilai ekstrem lokal dari fungsi

telah

terlewati sehingga garis grafik fungsi adalah

tidak memotong lebih dari 1 titik pada

untuk setiap perulangan. Misalkan

. Artinya pada iterasi pertama

yang ditentukan

. Perhatikan gambar

berikut ini :

Gambar 4.25. Ilustrasi kesalahan metode numerik karena kebergantungan nilai 𝑘 pada kasus 6 Fungsi

yang digunakan pada contoh di atas adalah ( )

. Grafik fungsi fungsi. Pada grafik fungsi

sangat kecil pada terjadinya nilai ekstrem lokal dapat ditunjukkan bahwa fungsi

nilai ekstrem lokal. Nilai ekstrem lokal fungsi

memiliki

terjadi di bawah garis

. Artinya, dari iterasi pertama hingga selanjutnya hanya terdapat 1 titik potong antara fungsi

dan

( ), karena nilai ekstrem lokal dari

telah terlewati dari iterasi pertama. Akibatnya, pada iterasi ke-


1000, perulangan berhenti dan memberikan informasi bahwa fungsi hingga iterasi ke-1000 tidak menemukan nilai ekstrem lokal. Padahal, kondisi yang sebenarnya terjadi adalah fungsi

memiliki nilai ekstrem

lokal. Hal yang serupa juga bisa terjadi jika nilai hingga iterasi ke-1000, garis fungsi . Jika

terlalu kecil akibatnya

belum mencapai nilai ekstrem dari

, maka

.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Gambar 4.26. Ilustrasi keterbatasan iterasi dan kebergantungan nilai 𝑘 metode numerik pada kasus 6

Fungsi

yang digunakan pada contoh di atas adalah . Pada grafik fungsi

fungsi

( )

dapat ditunjukkan bahwa

memiliki nilai ekstrem lokal. Namun, perulangan yang sudah

sampai batas iterasi yaitu pada iterasi ke-1000,

belum mencapai


nilai ekstrem lokal dari fungsi . Akibatnya, hasil final dari proses secara numerik adalah hingga iterasi ke-1000 tidak ditemukan nilai ekstrem lokal dari fungsi

. Berdasarkan 2 ilustrasi yang diberikan tersebut, proses

mengidentifikasi fungsi

pada kasus 6 masih memiliki kekurangan,

dimana proses identifikasi tersebut bergantung pada nilai konstanta pergerakan dan banyaknya iterasi. Semakin kecil konstanta pergerakan dan semakin banyaknya jumlah iterasi, maka kesalahan pada 2 ilustrasi di atas dapat minimalisir. Pada kasus 1, 2, 4, 6.a.(i) dan 6.a.(ii), metode Golden Section Search digunakan untuk menentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi . Jika diperhatikan pada algoritma metode Golden Section, baik kasus maksimum maupun minimum lokal, terdapat perulangan dari proses penyempitan selang hingga kondisi stop terpenuhi. Kondisi stop pada perulangan tersebut ditentukan dari panjang interval akhir yang diinginkan. Pada algoritma yang digunakan, panjang interval akhir yang diinginkan dilambangkan dengan variabel eps atau epsilon ( ). Pada penelitian ini dipilih

sebagai panjang interval akhir

yang diinginkan. Nilai epsilon yang digunakan dapat bervariasi, bergantung pada pemakai program ataupun ketentuan yang telah ditentukan. Namun, semakin kecil nilai epsilon maka solusi yang diperoleh akan semakin mendekati solusi yang sebenarnya (solusi secara eksak). Artinya, semakin kecil galat atau error yang terdapat pada solusi secara numerik.


BAB V PENUTUP Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran dari pembahasan bab-bab sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya. A. Kesimpulan Dari pembahasan dalam tugas akhir ini dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Karakteristik dari fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris adalah sebagai berikut. a. Fungsi polinomial berderajat 5, ( ) , adalah fungsi yang simetris jika fungsi simetri di (

mempunyai pusat

, dengan pusat simetri berupa titik simetri putar di

( )) Fungsi

adalah fungsi yang simetris jika memenuhi

persamaan :

dengan pusat simetri di b. Jika fungsi

.

merupakan fungsi polinomial berderajat 5 yang

simetris, maka apabila fungsi (

( )) ke O(

ditranslasikan dengan menggeser

), hasil translasinya merupakan fungsi ganjil

dengan titik simetri putar di O(

182

).


c. Misal fungsi

ditranslasikan dengan menggeser (

Jika fungsi O(

adalah fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris.

) dan hasil translasinya adalah fungsi

( )) ke

, maka fungsi

berbentuk : ( )

(

)

(

) Jika

,

dan , maka : ( ) (

)

Hasil translasi dari fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, dengan menggeser titik simetri putarnya ke O(0,0), akan menghasilkan fungsi ganjil polinomial berderajat 5. 2. Nilai ekstrem lokal dari fungsi , fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris, dapat ditentukan dengan menggunakan konsep aljabar dan geometri yang dikombinasikan dengan metode numerik yaitu metode Golden Section Search. Namun syarat untuk menggunakan metode Golden Section Search adalah perlu diketahui interval yang menjamin fungsi unimodal pada interval tersebut. Oleh karena itu dalam menentukan nilai ekstrem dari fungsi

dengan menggunakan metode

Golden Section Search juga disertai dengan proses mencari interval


yang menjadi fungsi unimodal pada interval tersebut. Berikut adalah langkah-langkah dalam menentukan nilai ekstrem dari fungsi

:

a. Langkah awal yang dilakukan adalah melakukan translasi fungsi dengan menggeser (

( )) ke O(

hasil translasi dari fungsi

) sedemikian sehingga

adalah fungsi

dimana fungsi

merupakan fungsi ganjil dengan titik simetri putar O(0,0). b. Menentukan pembuat nol dari fungsi hasil translasi dari fungsi persamaan

polinomial

, yang merupakan fungsi

. Dalam menentukan akar-akar dari memunculkan

bentuk

polinomial berderajat 4, yang hanya memuat suku

persamaan dan

.

Persamaan polinomial berderajat 4 tersebut dapat dimanipulasi sehingga membentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, pembuat nol dari fungsi

ditentukan dengan rumus kuadrat untuk mencari

akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk. Berdasarkan analisis yang

dilakukan

pada

bab

IV,

terdapat

6

kasus

yang

menggambarkan kemungkinan banyaknya nilai pembuat nol real dari fungsi . Berikut adalah hasil analisis tentang kemungkinan banyaknya nilai pembuat nol real dari fungsi .

Tabel 5.1. Kemungkinan Banyaknya Nilai Pembuat Nol dari Fungsi Nilai

Kondisi Kemungkinan

Diskriminan Kasus 1 : Fungsi

memiliki 5 pembuat nol real yang berbeda.

Kasus 2 : Fungsi

memiliki 3 pembuat nol real yang berbeda

Kasus 3 : Fungsi

memiliki 1 pembuat nol real.


Kasus 4 : Fungsi

memiliki 5 pembuat nol real, dengan dua

pasang pembuat nol kembar. Kasus 5 : Fungsi


Kasus 6 : Fungsi


c. Setelah menentukan nilai-nilai pembuat nol real dari fungsi

,

langkah selanjutnya adalah melakukan analisis banyaknya nilai ekstrem

lokal

yang

dimiliki

oleh

fungsi

berdasarkan

kemungkinan banyaknya pembuat nol real dari fungsi

yang telah

dilakukan pada langkah sebelumnya. Nilai-nilai pembuat nol real dari fungsi akan

menjadi batas atas dan batas bawah dari interval yang

digunakan

untuk

menentukan

nilai

ekstrem

fungsi

menggunakan metode Golden Section Search. Interval yang digunakan terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan dari fungsi

. Analisis yang dilakukan menguji apakah interval yang

terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan menjamin fungsi bersifat unimodal pada interval tersebut.Berikut adalah hasil analisis banyaknya nilai ekstrem lokal pada fungsi

berdasarkan

pembuat nol real dari fungsi Tabel 5.2. Kemungkinan Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal Fungsi Pembuat Nol Real dari Fungsi Nilai Diskriminan

Kemungkinan Pembuat Nol Kasus 1 : Fungsi memiliki 5 pembuat nol real yang berbeda. Kasus 2 : Fungsi memiliki 3 pembuat nol real yang berbeda.

Berdasarkan

Banyaknya Nilai Ekstrem Lokal Fungsi lokal. Fungsi lokal.

memiliki 4 nilai ekstrem memiliki 2 nilai ekstrem


Kasus 3 : Fungsi memiliki 1 pembuat nol real, yaitu 0. Kasus 4 : Fungsi memiliki 3 pembuat nol real yang berbeda dengan 2 pasang pembuat nol kembar. Kasus 5 : Fungsi memiliki 1 pembuat nol real.

Fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Fungsi memiliki 4 nilai ekstrem lokal. Ada 2 nilai ekstrem lokal yang terjadi pada pembuat nol real selain 0. Fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Fungsi memiliki 4 nilai ekstrem lokal. Fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal.

Kasus 6 : Fungsi memiliki 1 pembuat nol real.

Pada kasus 1, 2 dan 4, fungsi


yang terbentuk dari 2 pembuat nol real yang berdekatan. Pada kasus 6, fungsi

memiliki 2 kemungkinan yaitu fungsi

4 nilai ekstrem lokal atau fungsi

tidak memiliki nilai ekstrem

lokal. Sedangkan pada kasus 6, fungsi

hanya memiliki 1 pembuat

nol real yaitu 0. Untuk menyelidiki apakah fungsi memiliki

nilai

ekstrem

atau

memiliki

tidak,

menggerakkan sumbu X atau garis sehingga persamaan garis menjadi

pada kasus 6

digunakan

langkah

ke atas sebesar . Selanjutnya, memeriksa

banyaknya titik potong antara grafik fungsi dengan garis Jika terdapat 1 titik potong, maka garis ke atas sebesar

.

digerakkan kembali

. Proses translasi atau pergerakan garis tersebut

terus dilakukan hingga terdapat lebih dari 1 titik potong. Pergerakan garis tersebut selain dibatasi oleh nilai

yang telah

ditentukan, juga dibatasi oleh jumlah iterasi yang telah ditentukan yaitu 1000 iterasi. Artinya, setelah 1000 iterasi jika ditemukan


terdapat 1 titik potong maka proses perulangan berhenti. Jika sebelum iterasi ke-1000 terdapat lebih dari 1 titik potong, maka proses perulangan juga berhenti. Titik-titik potong tersebut menjadi batas bawah dan batas atas pada interval yang menjamin fungsi h unimodal pada interval tersebut. d. Setelah mengetahui interval yang menjamin fungsi

unimodal

pada interval tersebut, langkah selanjutnya adalah memeriksa nilai ekstrem lokal yang termuat dalam interval tersebut merupakan nilai ekstrem lokal maksimum atau minimum. Pada langkah ini proses yang dilakukan adalah memeriksa nilai fungsi pada batas bawah interval dan nilai fungsi di dekat batas bawah sebelah kanan. Hal ini dilakukan untuk memeriksa kondisi awal fungsi

pada interval

tersebut. Jika kondisi awal fungsi pada interval tersebut naik, maka pada interval tersebut memuat nilai ekstrem lokal maksimum. Sedangkan jika kondisi awal fungsi pada interval tersebut turun, maka pada interval tersebut memuat nilai ekstrem lokal minimum. e. Jika telah diketahui interval yang menjamin fungsi

unimodal

pada interval tersebut dan mengetahui nilai ekstrem lokal minimum atau maksimum yang terletak pada interval tersebut, maka proses yang selanjutnya adalah menentukan nilai ekstrem lokal fungsi menggunakan metode Golden Section Search dengan panjang interval akhir

atau

.


f. Setelah mendapatkan nilai ekstrem lokal fungsi lokal fungsi dari fungsi

, nilai ekstrem

dapat diperoleh dengan melakukan translasi kembali ke fungsi .

B. Saran Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut. 1. Fungsi polinomial yang dibahas pada penelitian ini adalah fungsi polinomial berderajat 5, khususnya fungsi polinomial berderajat 5 yang simetris. Penelitian selanjutnya dapat membahas tentang nilai ekstrem dari fungsi polinomial berderajat 5 secara umum atau fungsi polinomial dengan derajat yang lebih tinggi tanpa menggunakan konsep turunan. 2. Pada analisis banyaknya nilai ekstrem untuk kasus 6, ditemukan bahwa ada 2 kemungkinan yaitu fungsi memiliki nilai ekstrem lokal dan fungsi tidak memiliki nilai ekstrem lokal. Pada penelitian ini masih terdapat kekurangan dalam mengidentifikasi fungsi polinomial untuk kasus 6 termasuk fungsi yang memiliki nilai ekstrem lokal atau tidak memiliki nilai ekstrem lokal, tanpa menggunakan konsep turunan. Oleh karena itu, penelitian selanjutnya dapat membahas bagaimana mengidentifikasi fungsi polinomial berderajat 5 untuk kasus 6 sehingga dapat menentukan fungsi tersebut mempunyai nilai ekstrem lokal atau tidak memiliki nilai ekstrem lokal.


DAFTAR PUSTAKA Aufmann, Barker dan Nation, Richard. (1990). College Algebra. Boston : Houghton Mifflin Company. Ayuningtyas, Setyarini, dan Retnosari. (2016). Permasalahan Optimasi pada Fungsi Polinomial Berderajat Tinggi tanpa Melibatkan Konsep Turunan. Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains X UKSW. 28 Mei 2016, hlm 54-63. Bardell & Spitzbart. (1958). College Algebra and Plane Trigonometry. Massachusetts:Addison-Wesley Publishing Company Inc. Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. New York : Springer-Verlag. Carico, Charles C. (1984). College Algebra with Analytival Geometry. USA : John Wiley & Sons, Inc. Clapham, C. (1990). A Concise Oxford Dictionary of Mathematics. New York : Oxford University Press. Chapra, Steven C. & Raymond P. Canale. (2010). Numerical Methods for Engineers: With Software and Programming Applications”, 6th edition, New York: McGraw-Hill Company, Inc. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. (1995). Kamus Aljabar. Jakarta. ISBN : 979-459-578-0 de Villiers, M. (2004). All Cubic Polynomial are Point Symmetric. Learning and Teaching Mathematics, 1, 12-15. Fitriani, R. (2013). Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala. [pdf] (http://rahmafitriani.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/4Algoritma-GoldenSection-Search diakses tanggal 5 Desember 2016) Gohle, G., & Kobayasi, M. (2013). Polynomial Graphs and Symmetry. The Collage Mathematics Journal, 44(1), 3-42. Hvidsten, Michael. Geometry with Geometry Explorer. (2005). New York : The McGraw-Hill Companies, Inc.


Knott, R. (2010).

Fibonacci Numbers and The Golden Section [online].

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html (diakses 17 Mei 2017) Livio, Mario. (2003). The Golden Ratio : The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. New York : Broadway Book. Loveless.

(2011).

Fundamental

Theorem

of

Algebra

[pdf].

https://sites.math.washington.edu/~aloveles/Math300Summer2011/Funda mentalTheoremOfAlgebra.pdf (diakses 24 Maret 2017) Lumen Platform. Recognize Characteristics Graphs of Polynomials Function [photo]. https://courses.lumenlearning.com/precalcone/chapter/recognizecharacteristics-of-graphs-of-polynomial-functions/

(diakses

16

Maret

2017) Meserve, E. Bruce. (1959). Fundamental Concepts Of Algebra. Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Prayudi. (2006). Kalkulus Fungsi Satu Variabel. Yogyakarta : Graha Ilmu. Priswanto, Ferry. (2005). Metode Numeris Untuk Menemukan Ekstrem Fungsi nVariabel Tanpa Kendala (Skripsi). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma. Swokowski dan Cole. (2004). Fundamentals of Algebra, 11th edition. USA : Thomson Brooks. Stewart, James. Alih bahasa oleh Chriswan Sungkono. (2009). Calculus. Jakarta : Salemba Teknika. Suryawan, Herry P. (2016). Kalkulus Diferensial. Yogyakarta : Sanata Dharma University Press. Taylor, R.D., & Hanses, R. (2008). Optimization of Cubic Polynomial Function without Calculus. Journal of The Mathematics Teacher, 101(6), 408-411.


LAMPIRAN 1. Code Program MATLAB 2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1 3. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 2 4. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 3 5. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 4 6. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 5 7. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 6


1. Code Program MATLAB Berikut adalah code program MATLAB untuk menentukan nilai ekstrem lokal pada fungsi polinomial berderjaat 5 yang simetris. a. Code Program dalam M_file inisiasi_dan_uji simetris, yang memuat proses inisasi dan menguji kesimetrisan fungsi. %Membuat Program Metode Golden Section Search untuk Polinomial Pangkat 5 clear all close all %input koefisien Polinomial disp('------------------------------------'); disp('Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5'); disp('------------------------------------'); a=input('masukkan koefisien x^5 : '); b=input('masukkan koefisien x^4 : '); c=input('masukkan koefisien x^3 : '); d=input('masukkan koefisien x^2 : '); e=input('masukkan koefisien x : '); f=input('masukkan konstanta : '); disp(' '); disp(['g(x)= ',num2str(a),'*x^5 + (',num2str(b),')*x^4 + (',num2str(c),')*x^3 + (',num2str(d),')*x^2 + (',num2str(e),')*x + (',num2str(f),')']) G=[a b c d e f] %Matriks yg berisi Koefisien Polinomial disp(' '); %Uji Simetris Grafik Fungsi disp('------------------------------'); disp('Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi'); disp('------------------------------'); m= -b/(5*a); n=polyval(G,m); disp(['Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) %Pengujian Fungsi g simetris di titik (m,n) S= (((4*(b^3))/(25*(a^2))))-((3*b*c)/(5*a))+d if S==0 disp(['Fungsi polinomial tersebut simetris di (',num2str(m),',',num2str(n),')']) disp('Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses') disp('==============================================='); else disp('Fungsi polinomial tersebut tidak simetris dan program tidak dapat dilanjutkan. Program selesai.') disp('========================================================='); end disp(' ');


b. Code Program dalam M-file lanjut_translasi, yang memuat proses translasi, menentukan pembuat nol dan menentukan banyaknya titik ekstrem lokal disp('-----------------------------------------------'); disp([‘Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-',num2str(m),',',num2str(n),')']); disp('-----------------------------------------------') %Translasi fungsi G dengan menggeser titik (m,n) ke (0,0) a1=a; b1=10*a*(m^2) + 4*b*m + c; c1=5*a*(m^4) + 4*b*(m^3) + 3*c*(m^2) + 2*d*m + e; %Perhitungan diperoleh dari proses translasi polinomial secara umum b=0; d=0; f=0; %Peta dari G setelah ditranslasi oleh vektor (m,n) menjadi H %H merupakan fungsi ganjil sehingga suku-suku yg termuat adalah x^5, x^3 dan x H=[a1 b b1 d c1 f] %Matriks koefisien dari peta fungsi g setelah ditranslasi %Pencarian akar-akar dari fungsi h selain x=0 Disk=(b1^2)-(4*a1*c1) p1=(-b1+sqrt(Disk))/(2*a1); p2=(-b1-sqrt(Disk))/(2*a1); K=[1 0 -p1]; L=[1 0 -p2]; akar1=sort(roots(K)) akar2=sort(roots(L)) %Penentuan Banyaknya Titik Puncak yg dimiliki if Disk>0 if (p1>0)&&(p2>0) %Kasus1 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum') %next gunakan selang yg sudah ada disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max(akar1(1) ,akar2(1))),']']) disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]']) disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2) ,akar2(2))),']']) disp(' '); disp('Ketik lanjut_1 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem.');%next to other program else if (p1<0)&(p2<0)%Kasus3 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan tidak mempunyai nilai ekstrem') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program selesai.') disp('--------------END---------------------------'); else %Kasus2


disp('Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai ekstrem dengan 1 titik maksimum dan 1 titik minimum') %next gunakan selang yang sudah ada disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end disp(' '); disp('Ketik lanjut_2 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem');%next to other program end end else if Disk==0 if (p1>0) %Kasus4 disp('Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar) dan 4 nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum, dimana akar selain 0 jadi absis puncak') disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]']) disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_4 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem');%next to other program else %Kasus5 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki nilai ekstrem.') disp('Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem. Program selesai.') disp('-------------------END-------------------------'); end else %Kasus6 disp('Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki nilai ekstrem.') %next to other program disp('Ketik lanjut_coba') end end


c. Code Program dalam M-File lanjut_coba, yang memuat proses pengujian pada kasus 6 %Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 %Tujuan dari program ini adalah : %menentukan apakah fungsi h pada kasus 6 memiliki nilai ekstrem disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ') disp('----------------------------------------------------'); f=0; k=0.1; %Pada program bagian pengujian ini, banyaknya iterasi dibatasi hingga 1000 %konstanta pergerakan sumbu X menggunanakan k=0.1 f=f+k; r=0; iter=0; while r<=1 & iter<1000 T=[0 0 0 0 0 f]; L=(H-T); akr=sort(roots(L)); for i=1:5 if imag(akr(i))==0 r=r+1; end end if r>1 %Kasus 6.a k_i=f; disp(['Fungsi h memiliki ',num2str(r),' titik potong antara y=',num2str(k_i),' dan y=h(x)']) for i=1:5 if imag(akr(i))==0 disp(akr(i)) end end disp(['Fungsi h juga memiliki ',num2str(r),' titik potong antara y=',num2str(-1*k_i),' dan y=h(x)']) Z=[0 0 0 0 0 k_i]; J=(H+Z); akr2=sort(roots(J)); for i=1:5 if imag(akr2(i))==0 disp(akr2(i)) end end if akr(2)==akr(3) %Kasus 6.a.(ii) disp(['Nilai ekstrem fungsi h terjadi pada ',num2str(akr(2)),' dan ',num2str(akr2(2))]); disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']'])


disp('Ketik lanjut_6.a.ii untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal') else

%Kasus 6.a.(i) disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(2)),',',num2str(akr2(3)),']']) disp(' ') disp('Ketik lanjut_6.a.i untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal') end else r=0; f=f+k; iter=iter+1; end end if iter==1000 disp('Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h') disp('----------------------END-------------------------------------'); end

d. Code Program dalam M-file lanjut_1,

yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 1. disp('============================================================ ===='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['[',num2str(min(akar1(1),akar2(1))),',',num2str(max(akar1(1) ,akar2(1))),']']) disp(['[',num2str(max(akar1(1),akar2(1))),', 0]']) disp(['[0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp(['[',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2) ,akar2(2))),']']) disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali') disp(' '); i=1;


while i<=2 if i==1 disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Pertama dilakukan pada selang [0,',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(min(akar1(2),akar2(2)))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=min(akar1(2),akar2(2)); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=1*(10^-6); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1;


del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1eps if y2

if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); disp(' '); Bx1=x1+m; By1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g end else disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Kedua dilakukan pada selang [',num2str(min(akar1(2),akar2(2))),',',num2str(max(akar1(2),akar2( 2))),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:',num2str(min(akar1(2),akar2(2)))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(max(akar1(2),akar2(2)))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=min(akar1(2),akar2(2)); xt=max(akar1(2),akar2(2)); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2);


while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); Ax1=x1+m; Ay1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('=================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('=================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); disp(' '); Bx1=x1+m; By1=y1+n; %Nilai ekstrem lokal dari fungsi g end end i=i+1; end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g'); disp('==========================================================') ;


e. Code Program dalam M-file lanjut_2,

yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 2. disp('======================================================'); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') if p1>0 disp(['[',num2str(min(akar1)),', 0]']) ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),']']) ak2=max(akar1); else disp(['[',num2str(min(akar2)),', 0]']) ak=min(akar2); disp(['[0,',num2str(max(akar2)),']']) ak2=max(akar2); end disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 1 kali') disp(' '); disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang [0,',num2str(ak2),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(ak2)]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('=========================================================');


disp(' Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section '); disp('========================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); Bx=0; disp(' '); else disp('-----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('========================================================='); disp(' Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('========================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2;


xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2
f. Code Program dalam M-file lanjut_4,

yang memuat proses

menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 4. disp('========================================================='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp('Fungsi h bersifat unimodal pada interval :') disp(['(',num2str(min(akar1)),', 0]'])


ak=min(akar1); disp(['[0,',num2str(max(akar1)),')']) ak2=max(akar1); disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan pengujian sebanyak 1 kali.') disp(' '); disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang [0,',num2str(ak2),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp('Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0') disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(ak2)]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut----') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del;


y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end Bx=ak2; By=polyval(H,ak2); disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(polyval(H,Bx)),')']) disp(' '); else disp('-----Ada titik minimum lokal pada selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1<=y2 Bx=x1; By=y1; else Bx=x2; By=y2; end Ax=ak2; Ay=polyval(H,ak2); disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(polyval(H,Ax)),')']) disp(' '); disp(' '); end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g'); disp('=========================================================');

g. Code Program dalam M-file lanjut_6.a.i, yang memuat proses menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 6.a.i. disp('========================================================='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali') disp(' '); disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp(' ') i=1; while i<=2 if i==1 disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji Pertama dilakukan pada selang [',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(1))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(2))]) disp(' ');


%uji selang [x0,xt] x0=akr(1); xt=akr(2); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; %uji nilai fungsi di dekat sebelah kanan x0 y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('-----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2;


end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

disp([' Uji Kedua dilakukan pada selang [',num2str(akr(2)),',',num2str(akr(3)),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(2))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(3))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=akr(2); xt=akr(3); %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1); if y1 < y2 disp('----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut---') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1);


y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(' '); else disp('----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----') disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

end disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); end end i=i+1; end disp('Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g'); disp('=========================================================');

h. Code Program dalam M-file lanjut_6.a.ii, yang memuat proses menentukan nilai ekstrem lokal pada kasus 6.a.ii. disp('========================================================='); %Uji Nilai Fungsi H dengan arah x=0 ke kanan disp('----------------------------------------------------'); disp(' Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ') disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai ekstrem fungsi h terjadi pada ',num2str(akr(2)),' dan ',num2str(akr2(2))]); disp('Fungsi h unimodal pada :') disp(['[',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp(['[',num2str(akr2(1)),',',num2str(akr2(2)),']']) disp(' '); disp('Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan') disp('Lakukan pengujian sebanyak 1 kali.') disp(' '); disp('----------------------------------------------------'); disp([' Uji akan dilakukan pada selang [',num2str(akr(1)),',',num2str(akr(2)),']']) disp('----------------------------------------------------'); disp(['Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(1))]) disp(['Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:',num2str(akr(2))]) disp(' '); %uji selang [x0,xt] x0=0; xt=ak2; %Fungsi h unimodal pada [x0,xt] delta=(1/10)*(abs(xt-x0)); x1=x0+delta; y1=polyval(H,x0); y2=polyval(H,x1);


if y1 < y2 disp('---Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut--') disp(' '); %Golden-Section Search Part disp('===================================================='); disp('Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section'); disp('===================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2>y1 xh=x1; x1=x2; del=R*(xh-xl); x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); else xl=x2; x2=x1; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); end end if y1>=y2 Ax=x1; Ay=y1; else Ax=x2; Ay=y2; end Bx=akr(2); By=polyval(H,akr(2)); disp(['Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Ax),',',num2str(Ay),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (',num2str(Bx),',',num2str(By),')']) disp(' '); else disp('--Ada titik minimum lokal pada selang tersebut---')


disp(' '); %Case minimum Golden Section Search disp('==================================================='); disp('Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section'); disp('==================================================='); eps=0.01*(10^-4); R=(5^0.5 - 1)/2; xl=x0; xh=xt; del=R*(xh-xl); x1=xl+del; x2=xh-del; y1=polyval(H,x1); y2=polyval(H,x2); while abs(xh-xl)>eps if y2

i. Code Program dalam M-file lanjut_final, yang memuat proses menentukan nliai ekstrem lokal pada fungsi awal. %Penentuan Nilai Ekstrem Fungsi g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ') disp('----------------------------------------------------'); if (Ax~=0) & (Bx~=0) Ax1=Ax+m; Ax2=-Ax+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h, Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h, Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h, Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n; %By adalah nilai lokal minimum dari h, By2 adalah nilai lokal maksimum dari g disp('----------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('----------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) disp(' '); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) else if Ax~=0 Ax1=Ax+m; Ax2=-(Ax)+m; %Ax adalah absis titik maksimum dari h, Ax2 adalah absis titik minimum dari g Ay1=Ay+n; Ay2=-Ay+n; %Ay adalah nilai lokal maksimum dari h, Ay2 adalah nilai lokal minimum dari g disp('-------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('-------------------------------------------------'); disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax1),',',num2str(Ay1),')']) disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Ax2),',',num2str(Ay2),')']) else Bx1=Bx+m; Bx2=-Bx+m; %Bx adalah absis titik minimum dari h, Bx2 adalah absis titik maksimum dari g By1=By+n; By2=-By+n;


disp('------------------------------------------------'); disp(' Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g '); disp('------------------------------------------------'); disp(['Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx1),',',num2str(By1),')']) disp(['Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (',num2str(Bx2),',',num2str(By2),')']) end end


2. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 1 >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : 1 masukkan koefisien x^4 : 10 masukkan koefisien x^3 : 35 masukkan koefisien x^2 : 50 masukkan koefisien x : 24 masukkan konstanta : 2 g(x)= 1*x^5 + (10)*x^4 + (35)*x^3 + (50)*x^2 + (24)*x + (2) G = 1

10

35

50

24

2

-----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-2,2) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (-2,2) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--2,-2) ----------------------------------------------H = 1

0

-5

0

4

0

Disk = 9 akar1 = -2.0000 2.0000 akar2 = -1 1 Fungsi h mempunyai 5 akar real dan 4 nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum Fungsi h bersifat unimodal pada interval : [-2,-1] [-1, 0] [0,1] [1,2]


Ketik lanjut_1 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem. >> lanjut_1 =========================================================== ---------------------------------------------------Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ---------------------------------------------------Fungsi h bersifat unimodal pada interval : [-2,-1] [-1, 0] [0,1] [1,2] Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali ---------------------------------------------------Uji Pertama dilakukan pada selang [0,1] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:1 -----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----==================================================== Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section ==================================================== Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (0.54391,1.4187) ---------------------------------------------------Uji Kedua dilakukan pada selang [1,2] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:1 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:2 -----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----================================================== Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section ================================================== Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (1.6444,-3.6314) Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g =========================================================== >> lanjut_final ---------------------------------------------------Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g ---------------------------------------------------Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-0.35557,-1.6314) Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-2.5439,0.5813) Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-1.4561,3.4187) Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (-3.6444,5.6314)


3. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 2 >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : -1 masukkan koefisien x^4 : -5 masukkan koefisien x^3 : -9 masukkan koefisien x^2 : -7 masukkan koefisien x : 2 masukkan konstanta : 0 g(x)= -1*x^5 + (-5)*x^4 + (-9)*x^3 + (-7)*x^2 + (2)*x + (0) G = -1

-5

-9

-7

2

0

-----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,-4) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,-4) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,--4) ----------------------------------------------H = -1 0 1 0 4 0 Disk = 17 akar1 = 0 - 1.2496i 0 + 1.2496i akar2 = -1.6005 1.6005 Fungsi h mempunyai 3 akar real dan 2 nilai ekstrem dengan 1 titik maksimum dan 1 titik minimum Fungsi h bersifat unimodal pada interval : [-1.6005, 0] [0,1.6005] Ketik lanjut_2 untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem >> lanjut_2 ============================================================


---------------------------------------------------Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ---------------------------------------------------Fungsi h bersifat unimodal pada interval : [-1.6005, 0] [0,1.6005] Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan Lakukan Pengujian Interval sebanyak 1 kali ---------------------------------------------------Uji akan dilakukan pada selang [0,1.6005] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:1.6005 -----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----============================================================ Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section ============================================================ Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (1.1151,4.1228) Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g ============================================================ >> lanjut_final ---------------------------------------------------Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g ---------------------------------------------------Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (0.11508,0.12284) Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (-2.1151,-8.1228)


4. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 3 >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : 1 masukkan koefisien x^4 : -10 masukkan koefisien x^3 : 43 masukkan koefisien x^2 : -98 masukkan koefisien x : 118 masukkan konstanta : -50 g(x)= 1*x^5 + (-10)*x^4 + (43)*x^3 + (-98)*x^2 + (118)*x + (-50) G = 1

-10

43

-98

118

-50

-----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (2,10) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (2,10) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-2,-10) ----------------------------------------------H = 1 0 3 0 2 0 Disk = 1 akar1 = 0 - 1.0000i 0 + 1.0000i akar2 = 0 - 1.4142i 0 + 1.4142i Fungsi h mempunyai 1 akar real yaitu x=0 dan tidak mempunyai nilai ekstrem Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrim. Program selesai. -------------------END----------------------------------


5. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 4 >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : 2 masukkan koefisien x^4 : -20 masukkan koefisien x^3 : 72 masukkan koefisien x^2 : -112 masukkan koefisien x : 72 masukkan konstanta : -8 g(x)= 2*x^5 + (-20)*x^4 + (72)*x^3 + (-112)*x^2 + (72)*x + (-8) G = 2 -20 72 -112 72 -8 -----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (2,8) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (2,8) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-2,-8) ----------------------------------------------H = 2 0 -8 0 8 0 Disk = 0 akar1 = -1.4142 1.4142 akar2 = -1.4142 1.4142 Fungsi h mempunyai 5 akar real (ada 2 pasang kembar) dan 4 nilai ekstrem dengan 2 titik maksimum dan 2 titik minimum, dimana akar selain 0 jadi absis puncak Fungsi h bersifat unimodal pada interval : (-1.4142, 0] [0,1.4142) Ketik lanjut_4 ekstrem

untuk

melanjutkan

proses

mencari

nilai


>> lanjut_4 ============================================================ ---------------------------------------------------Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ---------------------------------------------------Fungsi h bersifat unimodal pada interval : (-1.4142, 0] [0,1.4142) Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan Lakukan pengujian sebanyak 1 kali. ---------------------------------------------------Uji akan dilakukan pada selang [0,1.4142] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji: 0 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:1.4142 -----Ada titik maksimum lokal pada selang tersebut----==================================================== Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section ==================================================== Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (0.63246,3.2382) Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (1.4142,0) Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g =========================================================== >> lanjut_final ---------------------------------------------------Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g ---------------------------------------------------Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (3.4142,8) Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (1.3675,4.7618) Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (2.6325,11.2382) Titik maksimum lokal fungsi g terletak di: (0.58579,8)


6. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 5 >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : -1 masukkan koefisien x^4 : 5/2 masukkan koefisien x^3 : -4.5 masukkan koefisien x^2 : 17/4 masukkan koefisien x : -45/16 masukkan konstanta : 3.78125 g(x)= -1*x^5 + (2.5)*x^4 + (-4.5)*x^3 + (4.25)*x^2 + (2.8125)*x + (3.7813) G = -1.0000 2.5000 -4.5000 4.2500 -2.8125 -----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (0.5,3)

3.7813

S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (0.5,3) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-0.5,-3) ----------------------------------------------H = -1

0

-2

0

-1

0

Disk = 0 akar1 = 0 - 1.0000i 0 + 1.0000i akar2 = 0 - 1.0000i 0 + 1.0000i Fungsi h mempunyai 1 akar real dan tidak memiliki nilai ekstrem. Fungsi g tidak mempunyai nilai ekstrem. Program selesai. -------------------END----------------------------------


7. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB Kasus 6 a. Kasus 6.a 1) Hasil Perhitungan pada Kasus 6 yang Memiliki Nilai Ekstrem dan Berhasil Ditemukan Nilai Ekstrem >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : 4 masukkan koefisien x^4 : 20 masukkan koefisien x^3 : 35 masukkan koefisien x^2 : 25 masukkan koefisien x : 7 masukkan konstanta : 3 g(x)= 4*x^5 + (20)*x^4 + (35)*x^3 + (25)*x^2 + (7)*x + (3) G = 4 20 35 25 7 3 -----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,2) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,2) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,-2) ----------------------------------------------H = 4 0 -5 0 2 0 Disk = -7 akar1 = -0.8161 - 0.2026i 0.8161 + 0.2026i akar2 = 0.8161 - 0.2026i -0.8161 + 0.2026i Fungsi h mempunyai 1 memiliki nilai ekstrem. Ketik lanjut_coba >> lanjut_coba

akar

real.

Ada

kemungkinan


---------------------------------------------------Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ---------------------------------------------------Fungsi h memiliki 3 titik potong antara y=0.4 dan y=h(x) 0.2286 0.6385 0.8473 Fungsi h juga memiliki 3 titik potong antara y=-0.4 dan y=h(x) -0.2286 -0.6385 -0.8473 Fungsi h unimodal pada : [0.22863,0.63845] [0.63845,0.84733] [-0.22863,-0.63845] [-0.63845,-0.84733] Ketik lanjut_6_a_i untuk melanjutkan proses mencari nilai ekstrem lokal >> lanjut_6_a_i ===================================================== ---------------------------------------------------Pengujian Nilai Fungsi pada Interval ---------------------------------------------------Pengujian akan dilakukan hanya pada arah x=0 ke kanan Lakukan Pengujian Interval sebanyak 2 kali Fungsi h unimodal pada : [0.22863,0.63845] [0.63845,0.84733] ---------------------------------------------------Uji Pertama dilakukan pada selang [0.22863,0.63845] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:0.22863 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:0.63845 -----Ada titik maksimum lokal di selang tersebut----==================================================== Pencarian Nilai Maksimum Lokal dengan Golden Section ==================================================== Titik maksimum lokal fungsi h terletak di: (0.41647,0.52188) ---------------------------------------------------Uji Kedua dilakukan pada selang [0.63845,0.84733] ---------------------------------------------------Nilai x minimum pada selang yang akan diuji:0.63845 Nilai x maximum pada selang yang akan diuji:0.84733


-----Ada titik minimum lokal di selang tersebut----=================================================== Pencarian Nilai Minimum Lokal dengan Golden Section =================================================== Titik minimum lokal fungsi h terletak di: (0.75931,0.33933) Ketik lanjut_final untuk mengetahui semua titik ekstrem fungsi g ====================================================== >> lanjut_final

---------------------------------------------------Penentuan Nilai Lokal Ekstrem Fungsi g ------------------------------------------------------------------------------------------------------Titik Maksimum & Minimum Lokal Fungsi g ---------------------------------------------------Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (0.24069,2.3393) Titik minimum lokal fungsi g terletak di: (1.4165,1.4781) Titik maksimum 0.58353,2.5219) Titik maksimum 1.7593,1.6607)

lokal

fungsi

g

terletak

di:

(-

lokal

fungsi

g

terletak

di:

(-

2) Hasil Perhitungan pada Kasus 6 yang Memiliki Nilai Ekstrem dan Tidak Berhasil Ditemukan Nilai Ekstrem, karena keterbatasan jumlah iterasi dan konstanta pergeseran >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : 450 masukkan koefisien x^4 : -4500 masukkan koefisien x^3 : 17250 masukkan koefisien x^2 : -31500 masukkan koefisien x : 27450 masukkan konstanta : -9200 g(x)= 450*x^5 + (-4500)*x^4 + 31500)*x^2 + (27450)*x + (-9200) G = 450

-4500

17250

-31500

(17250)*x^3

27450

+

-9200

(-


-----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (2,100) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (2,100) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (-2,-100) ----------------------------------------------H = 450

0

-750

0

450

0

Disk = -247500 akar1 = -0.9574 - 0.2887i 0.9574 + 0.2887i akar2 = -0.9574 + 0.2887i 0.9574 - 0.2887i Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki nilai ekstrem. Ketik lanjut_coba >> lanjut_coba ---------------------------------------------------Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 ---------------------------------------------------Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h ---------------------END------------------------------

b. Contoh Hasil Perhitungan MATLAB pada Kasus 6 yang Tidak Memiliki Nilai Ekstrem >> inisiasi_dan_uji_simetris -----------------------------------Inisiasi Fungsi Polinomial Pangkat 5 -----------------------------------masukkan koefisien x^5 : -1 masukkan koefisien x^4 : -5 masukkan koefisien x^3 : -14 masukkan koefisien x^2 : -22 masukkan koefisien x : -22 masukkan konstanta : -8.5


g(x)= -1*x^5 + (-5)*x^4 + (-14)*x^3 + (-22)*x^2 + (-22)*x + (-8.5) G = -1.0000

-5.0000

-14.0000

-22.0000

-22.0000

-8.5000

-----------------------------Uji Kesimetrisan Grafik Fungsi -----------------------------Asumsi fungsi memiliki titik simetris di (-1,1.5) S = 0 Fungsi polinomial tersebut simetris di (-1,1.5) Ketik lanjut_translasi untuk melanjutkan proses =============================================== >> lanjut_translasi ----------------------------------------------Proses Translasi Fungsi g dengan vektor (--1,-1.5) ----------------------------------------------H = -1 0 -4 0 -5 0 Disk = -4 akar1 = 0.3436 - 1.4553i -0.3436 + 1.4553i akar2 = 0.3436 + 1.4553i -0.3436 - 1.4553i Fungsi h mempunyai 1 akar real. Ada kemungkinan memiliki nilai ekstrem. Ketik lanjut_coba >> lanjut_coba -------------------------------------------------Pengujian Fungsi h pada Kasus 6 -------------------------------------------------Hasil sementara di proses ini dengan 1000 iterasi dan k=0.1, belum ditemukan nilai ekstrem dari fungsi h --------------------END---------------------------------

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika. Oleh :

Recommend Documents