CVIČNÝ TEST 38 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 5 13 15
B 38
I. CVIČNÝ TEST (
) (
)
2 2 a b – 1 Pro a ≠ b ∧ a ≠ −b zjednodušte výraz – − . b2 − a2 a2 − b2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2
1 bod
Jedním z největších stromů v roce 2014 byla v Čechách 64,1 metrů vysoká douglaska tisolistá, která roste na Jablonecku. Přírůstek tvoří každý rok asi 30 cm. max. 2 body
B 38
2.1 Pokud by tento přírůstek byl rovnoměrný od počátku jejího růstu, jaké výšky dosahovala v roce 2002? 2.2 O kolik cm nejméně by musel narůst rovnoměrný přírůstek douglasky, aby v roce 2029 dosáhla nebo přerostla 83,7 m (současnou výšku amerického giganta, sekvojovce Generála Shermana)?
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB délky 5 jednotek. Dále je dána polopřímka AX, pro kterou platí, že konvexní úhel ∢BAX má velikost 30°.
max. 4 body
3.1 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod C tak, aby obsah trojúhelníka ABC byl 6,25 jednotek čtverečných. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. 3.2 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod S tak, aby přímka AB byla tečnou kružnice se středem v bodě S, s bodem dotyku v bodě B. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu.
2
Maturita z matematiky • 06
B 38 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Jedna z tradic pití čaje v Jižní Americe je nalévat jej do misek vydlabaných z tykví (např. do kalebasy). Jedna taková miska byla vydlabána z půlky tykve tvaru koule o poloměru 9 cm. Prostor, kam se nalévá nejčastěji čaj Yerba maté, má tvar kulového vrchlíku. V nejhlubším místě je miska tlustá 5 cm.
1 bod
4
Kolik ml čaje se do misky vejde, je-li naplněna až po okraj? Výsledek zaokrouhlete na celé ml.
B 38
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[−1, 2], L[−1, −2]. 1 bod
5
Určete všechny body M[x; y] tak, aby těžnice tm v trojúhelníku KLM měla délku 5 a strana ML měla délku √41.
6
Určete, kolik řešení pro x ∈ N má rovnice 0,5 + 2
1 bod −x
x+2
= 15 ∙ 4
x – −1 2
+ 20.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 –3 . Je dána funkce f: y = 4x – 1 – 2x max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic 3 1 jsou body [0; −3], –; 0 , –; 0 . 4 2 1 7.2 Asymptoty grafu funkce f jsou přímky a1: y = −2 a a2: x = –. 2 7.3 Daná funkce je rostoucí. 7.4 Daná funkce není lichá.
[ ][ ]
Maturita z matematiky • 06
ANO NE
3
B 38 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pravděpodobnost, že při hodu dvěma stejnými mincemi zároveň padne na obou „panna“, je vyšší, než že při hodu třemi stejnými mincemi zároveň padne na všech „orel“. 2 body
8
Která z možností A–E určuje rozdíl těchto pravděpodobností? A) 0,5 B) 0,25 C) 0,2083 D) 0,2 E) 0,125
9
Která z možností A–E udává součet všech kořenů rovnice 2x + 4x − 3 = 0 pro x ∈ R? A) 4 + √10 B) 4 − √10 C) 4 D) −2 E) −2 + 2√10
2 body
B 38
2
max. 4 body
10
Přiřaďte každému číselnému výrazu (10.1–10.4) jeho hodnotu (A–F).
[
(
0,75 – 10.1 √(−2)2 + −4 + – 1 – 4
[
]
)]
2
+ |−2|
2 1 1 10.2 – + (−0,5−2 + 3) − 2– 2 4 10.3 (−1)3 + [−5 − (−4)]2 10.4 [√2 + √3]2 − 5
A) −2 B) −0,25 C) 0 D) 3 E) 2√6 F) 11
KONEC TESTU
4
Maturita z matematiky • 06
B 38
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ (
) (
)
2 2 a b – 1 Pro a ≠ b ∧ a ≠ −b zjednodušte výraz – − . b2 − a2 a2 − b2
1 bod
Využijeme např. vzorce M2 − N2 = (M + N)(M − N) pro rozklad na součin a výraz dle něj rozložíme. – a − – a + – a + b ∙ – a − b = 1 b b – ∙ −1 – = 1 – ∙ – = – b2 − a2 a2 − b2 b2 − a2 a2 − b2 b2 − a2 b2 − a2 b−a b+a a2 − b2
(
– Řešení: 1 a2 − b2
)(
) (
)(
)
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jedním z největších stromů v roce 2014 byla v Čechách 64,1 metrů vysoká douglaska tisolistá, která roste na Jablonecku. Přírůstek tvoří každý rok asi 30 cm. max. 2 body
2.1 Pokud by tento přírůstek byl rovnoměrný od počátku jejího růstu, jaké výšky dosahovala v roce 2002? Je-li přírůstek rovnoměrný, je růst douglasky tisolisté aritmetickou posloupností, přičemž přírůstek je diferencí této aritmetické posloupnosti. Proto platí: a2014 = 64,1 m, d = 30 cm = 0,3 m. Pro výpočet výšky v roce 2002 použijeme vztah mezi dvěma členy aritmetické posloupnosti, tj. platí: a2002 = a2014 + (2002 − 2014) ∙ d = 64,1 m + (–12) ∙ 0,3 = 60,5 m. V roce 2002 měla douglaska výšku 60,5 m. Řešení: 60,5 m
2.2 O kolik cm nejméně by musel narůst rovnoměrný přírůstek douglasky, aby v roce 2029 dosáhla nebo přerostla 83,7 m (současnou výšku amerického giganta, sekvojovce Generála Shermana)? Je-li přírůstek rovnoměrný, je růst douglasky tisolisté aritmetickou posloupností, přičemž přírůstek je diferencí této aritmetické posloupnosti. Proto platí: a2014 = 64,1 m, a2029 ≥ 83,7 m. Pro výpočet přírůstku opět použijeme vztah mezi dvěma členy aritmetické posloupnosti, tj. platí: 83,7 – m − 64,1 m 83,7 m ≤ 64,1 m + (2029 − 2014) ∙ d ⇒ d ≥ – =̇ 1,31 m = 131 cm. 2029 – 2014 Její přírůstek by musel narůst o 101 cm (= 131 cm − 30 cm). Řešení: 101 cm
Maturita z matematiky • 06
5
B 38
B 38 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB délky 5 jednotek. Dále je dána polopřímka AX, pro kterou platí, že konvexní úhel ∢BAX má velikost 30°.
max. 4 body
3.1 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod C tak, aby obsah trojúhelníka ABC byl 6,25 jednotek čtverečných. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu.
B 38
Pro obsah trojúhelníku platí vztah: |AB| ∙ |BC| ∙ sin(|∢BAX|) – –. S = – 2 Dosadíme známé velikosti a určíme velikost úsečky AC. 2S 12,5 j2 12,5 j – ⇒ |AC| = – – ⇒ |AC| = – ⇒ |AC| = 5 j = |AB| |AC| = – |AB| ∙ sin(|∢BAX|) (5 j) ∙ sin 30° 2,5 j Narýsujeme tedy kružnici k se středem v bodě A a poloměrem r = |AB|. Bod C je průsečík kružnice k a polopřímky AX. Řešení:
6
Maturita z matematiky • 06
B 38 3.2 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod S tak, aby přímka AB byla tečnou kružnice se středem v bodě S, s bodem dotyku v bodě B. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. Aby byla úsečka AB tečnou a bod dotyku byl bod B, musí být poloměr takové kružnice v bodě B k úseč ce AB kolmý. Vedeme tedy bodem B kolmici p kolmou k úsečce AB. Bod S je průsečíkem přímky p a polopřímky AX. Řešení:
B 38
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Jedna z tradic pití čaje v Jižní Americe je nalévat jej do misek vydlabaných z tykví (např. do kalebasy). Jedna taková miska byla vydlabána z půlky tykve tvaru koule o poloměru 9 cm. Prostor, kam se nalévá nejčastěji čaj Yerba maté, má tvar kulového vrchlíku. V nejhlubším místě je miska tlustá 5 cm.
1 bod
4
Kolik ml čaje se do misky vejde, je-li naplněna až po okraj? Výsledek zaokrouhlete na celé ml.
Maturita z matematiky • 06
7
B 38
Určujeme objem kulové úseče, jejíž hloubka h = 4 cm je rozdílem tloušťky v = 5 cm misky a poloměru r = 9 cm původní tykve. Poloměr této úseče je (protože tykev byla rozpůlena) roven r.
Použijeme vzorec pro objem kulové úseče. π ∙ (4– cm) πh (3r2 + h2 ) ⇒ V = – V= – [3 ∙ (9 cm)2 + (4 cm)2] =̇ 542 cm3 = 542 ml 6 6 Řešení: 542 ml
B 38
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[−1, 2], L[−1, −2]. 1 bod
5
Určete všechny body M[x; y] tak, aby těžnice tm v trojúhelníku KLM měla délku 5 a strana ML měla délku √41.
[
]
−1 − 1 2 − 2 K+L Určíme střed strany SKL = – ⇒ SKL – ; – = [−1; 0]. 2 2 2 Musí platit, že |SKLM| = 5 a zároveň |ML| = √41. I. √(x + 1)2 + y2 = 5 II. √(x + 1)2 + (y + 2)2 = √41 I. (x + 1)2 + y2 = 25 II. (x + 1)2 + (y + 2)2 = 41 I.−II. 0 + y2 − (y + 2)2 = 25 − 41 ⇒ −4y − 4 = −16 ⇒ y = 3 I. √(x + 1)2 + 9 = 5 ⇒ (x + 1)2 + 9 = 25 ⇒ |x + 1| = 4 ⇒ x1 = −5 ∨ x2 = 3
Jde o body M1[−5; 3], M2[3; 3]. Řešení: M1[−5; 5], M2[3; 3]
8
Maturita z matematiky • 06
B 38 1 bod
6
Určete, kolik řešení pro x ∈ N má rovnice 0,5 + 2 −x
x+2
= 15 ∙ 4
x – −1 2
+ 20
Pro x ∈ N řešíme rovnici úpravou na tvar 2x. x −1 0,5−x + 2x + 2 = 15 ∙ 4 – + 20 ⇒ 2x + 2x + 2 = 15 ∙ 2x − 2 + 20 2 x 2 + 20 ⇒ 2x + 4 ∙ 2x = 15 ∙ – 4 Nyní provedeme substituci, tj. zavedeme novou neznámou 2x = m > 0 m + 20 | ∙ 4 m + 4m = 15 ∙ – 4 20m = 15m + 80 | −15m 5m = 80 m = 16 Vrátíme se k původní neznámé. 2x = m ⇒ x = 4 ∈ N Rovnice má jedno řešení. Řešení: jedno
B 38
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 –3 . Je dána funkce f: y = 4x – 1 – 2x max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic 3 1 jsou body [0; −3], –; 0 , –; 0 . 4 2 1 7.2 Asymptoty grafu funkce f jsou přímky a1: y = −2 a a2: x = –. 2 7.3 Daná funkce je rostoucí. 7.4 Daná funkce není lichá.
ANO NE
[ ][ ]
Funkce f je lineárně lomená funkce. Upravíme její předpis na tzv. asymptotický tvar a z něj určíme její průběh. 1 −3 1 1 +– – 4 x −– 2 2 2 4x − 3 2−3 = −2 + – f: y = – = –– – = −2 + –– 1 1 1 1 − 2x −2 x − – −2 x − – x−– 2 2 2
(
(
) )
(
)
7.1 1 , nemůže pro toto x mít průsečík s osou x. Protože funkce není definovaná pro x = – 2 Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Z asymptotického tvaru vidíme, že funkce má dvě asymptoty právě o uvedených rovnicích. Tvrzení je pravdivé.
Maturita z matematiky • 06
9
B 38
7.3
1 – 2 Z asymptotického tvaru vidíme, že předpis funkce je součtem −2 a výrazu –, který je klesající 1 x−– 1 – 2 2 1 je klesající nepřímá úměrnost). 1 se výsledky – snižují, neboť – (pro zvyšující se hodnoty x ≠ – 1 2 2x x−– 2 Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Aby funkce byla lichá, muselo by pro každé x z jejího definičního oboru platit, že f(−x) = −f(x). Máme-li naopak ukázat, že lichá není, stačit rozporovat předchozí vztah v jediném případě, např. pro x = 2. 4 ∙ 2 − 3 5 f(2) = – = – 1−2∙2 −3 – 4(−2) − 3 − 11 f(−2) = = – ≠ f(2) 1 − 2 (−2) 5 Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO
B 38
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pravděpodobnost, že při hodu dvěma stejnými mincemi zároveň padne na obou „panna“, je vyšší, než že při hodu třemi stejnými mincemi zároveň padne na všech „orel“. 2 body
8
Která z možností A–E určuje rozdíl těchto pravděpodobností? A) 0,5 B) 0,25 C) 0,2083 D) 0,2 E) 0,125 Všech možností, které mohou nastat při hodu dvěma mincemi, je V'2(2) = 22 = 4. Na obou mincích padne „panna“ v jediném případě, pravděpodobnost je tedy 0,25. Všech možností, které mohou nastat při hodu třemi mincemi, je V'3(2) = 23 = 8. Na třech mincích padne „orel“ v jediném případě, pravděpodobnost je tedy 0,125. Rozdíl pravděpodobností je tedy 0,25 − 0,125 = 0,125. Správná je možnost E. Řešení: E
10
Maturita z matematiky • 06
B 38 2 body
9
Která z možností A–E udává součet všech kořenů rovnice 2x + 4x − 3 = 0 pro x ∈ R? A) 4 + √10 B) 4 − √10 C) 4 D) −2 E) −2 + 2√10 2
Podle Vietových vztahů je v normované rovnici součet kořenů, existují-li, roven číslu opačnému k lineárnímu koeficientu. Napřed musíme určit, že má rovnice řešení. Její diskriminant musí být nezáporný. D = 16 − 4 ∙ 2 ∙ (−3) = 16 + 24 = 40 ≥ 0 Rovnice je řešitelná, nyní ji tedy stačí normovat (vydělit kvadratickým koeficientem) a určit číslo opačné k vzniklému lineárnímu koeficientu. 3 2x2 + 4x − 3 = 0 | : 2 ⇒ x2 + 2x − – = 0 2 Součet kořenů je roven −2. Správně je tedy možnost D.
B 38
Řešení: D
max. 4 body
10
Přiřaďte každému číselnému výrazu (10.1–10.4) jeho hodnotu (A–F).
[
(
0,75 – 10.1 √(−2)2 + −4 + – 1 – 4
[
]
)]
2
+ |−2|
2 1 1 10.2 – + (−0,5−2 + 3) − 2– 2 4 10.3 (−1)3 + [−5 − (−4)]2 10.4 [√2 + √3]2 − 5
A) −2 B) −0,25 C) 0 D) 3 E) 2√6 F) 11 10.1
0,75 + |−2| = [2 + (−4 + 3)] + 2 = [2 − 1] + 2 = 1 + 2 = 3 [√(−2) + (−4 + – 1 ] – 2
2
Řešení: D
2
2
4
10.2 2 1 1 1 1 – + (−0,5−2 + 3) − 2 – = [0,5 + (−4 + 3)]2 − 2 – = [−0,5]2 − 2 – = 0,25 − 2,25 = −2 2 4 4 4
[
Řešení: A
Maturita z matematiky • 06
]
11
B 38
10.3 (−1)3 + [−5 − (−4)]2 = −1 + [−5 + 4]2 = −1 + 1 = 0 Řešení: C 10.4 [√2 + √3]2 − 5 = (2 + 2√6 + 3) − 5 = 2√6 Řešení: E
KONEC TESTU
B 38
12
Maturita z matematiky • 06
B 38
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
1 – a2 − b2
1 bod
2 2.1 60,5 m
1 bod
2.2 101 cm
1 bod
3.1
2 body
3.2
2 body
B 38
3
4
542 ml
1 bod
5
M1 [−5; 3], M2 [3; 3]
1 bod
6
jedno
1 bod
Maturita z matematiky • 06
13
B 38
7 7.1 NE 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 NE 7.4 ANO 8
E
2 body
9
D
2 body
10 10.1 D
B 38
10.2 A
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 C 10.4 E
14
Maturita z matematiky • 06
B 38
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů 1 bod
2 2.1
1 bod
2.2
1 bod
3.1
2 body
3.2
2 body
B 38
3
4
1 bod
5
1 bod
6
1 bod
Maturita z matematiky • 06
15
B 38
7 7.1 7.2
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4 8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1
B 38
10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
16
Maturita z matematiky • 06
