CVIČNÝ TEST 4. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 4 Mgr. Tomáš Kotler

OBSAH

I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list

2 7 21 23

B4

I. CVIČNÝ TEST

max. 2 body

1 Písmena A a B vyjadřují každá jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jejich pomocí vytvoříme trojciferné číslo ABA a dvojciferné číslo AB. Pro jejich součet platí: ABA + AB – 910

Určete číslici B.

B 4

2

max. 2 body

Je dán výraz V = (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ … ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 20). Vypočtěte hodnotu výrazu V. 50

48

49

47

4

2

3

1

2

max. 2 body

3

Je dán kvádr o podstavných hranách a = 4 cm, b = 2 cm a výšce c = 2 cm. O kolik cm3 se zmenší jeho objem, zvětšíme-li hranu a o n2 centimetrů, hranu b o n centimetrů prodloužíme a hranu c naopak o n centimetrů zkrátíme?

max. 2 body

4 Pro x ∈ (9; + ∞) je dána funkce f: y = log3 (x – 9), jejíž graf protíná souřadnicovou osu x v bodě P. Určete vzdálenost d bodu P od bodu [6; 3]. 1 bod

5

Řešte rovnici 4 ∙ 3 + 3 x

x-1

= 117 s neznámou x ∈ R.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Do závodu v přeskoku se přihlásilo 24 borců z Královéhradeckého kraje. Čtyři z nich hájí barvy tělovýchovného klubu z Jičína. Gymnastů z Jaroměře je třikrát méně než gymnastů z Trutnova, gymnastů z Trutnova je o dva více než gymnastů z Náchoda. Jeden gymnasta přijel z Rychnova nad Kněžnou. Po urputném klání získal jeden gymnasta zlatou, jeden stříbrnou a jeden bronzovou medaili.

max. 2 body

6 6.1 Kolik atletů přijelo z Náchoda? 6.2 Jaká je pravděpodobnost p, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova?

2

Maturita z matematiky • ZD

B4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán čtverec ABCD, kde | AB | = a = 16 cm. Vrcholy B a D jsou středy oblouků k1 a k2 o shodných poloměrech velikosti a. Oblouky vymezují rovinný útvar (na obrázku vyznačený černým rastrem).

7

max. 2 body

Určete obsah S rovinného útvaru označeného na obrázku černým rastrem. (Výsledek zaokrouhlete na jednotky).

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V kuchařce je uveden recept na zhotovení piškotového těsta. Dle tohoto receptu se těsto vyrábí z mouky, cukru, vajec a vody, přičemž suroviny jsou v hmotnostním poměru 5 : 3 : 6 : 1.

max. 2 body

8 8.1 Kolik procent z celkové hmotnosti piškotového těsta dle daného receptu představuje cukr? 8.2 Kolik gramů mouky je třeba na výrobu 600 gramů piškotového těsta dle daného receptu? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, kde body X, Y, Z jsou po řadě středy stran AB, BC, AC.

max. 2 body

9 9.1 Vypočtěte velikost úhlu ∢CXY. 9.2 Určete obsah S trojúhelníka XYC, je-li obsah trojúhelníka ABC roven 12 cm2.


3

B 4

B4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Děti skládají pyramidu z kostek tak, jak ukazuje obrázek. Na již postavenou řadu položí vždy poloviční počet kostek.

B 4

max. 2 body

10 10.1 Kolik kostiček by bylo v sedmé řadě takto stavěné pyramidy, bylo-li by v jejím prvním (nejspodnějším) patře 1 024 kostiček? 10.2 Kolik kostiček by bylo v nejspodnějším patře takto stavěné, osm pater vysoké pyramidy, jestliže by na jejím vrcholu (v osmém patře) byly dvě kostičky?

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 11–12 1 Je dán obdélník ABCD, v němž |AB| = 3 – x a |BC| = – , kde x ∈ (–3, 3). 9 – x2 1 bod

11

Určete zjednodušený výraz, který vyjadřuje obsah obdélníka ABCD.

12

1 bod

Určete délku úhlopříčky BD obdélníka ABCD pro x = 2. (Výsledek zaokrouhlete na setiny.)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Do válce o objemu dm3 jsou vepsány tři stejné koule o poloměru 10 cm tak, jak ukazuje obrázek. Koule se vzájemně dotýkají, krajní koule se dotýkají podstav válce.

4


B4 max. 2 body

13

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (13.1–13.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 13.1 Poloměr koule je třetinou výšky válce. 13.2 Výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy. 13.3 Povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady. 13.4 Koule zabírají dvě třetiny objemu válce.

max. 2 body

14

Je dána přímka p : 3x – y – 5 = 0. U každé z následujících přímek q1–q4 (14.1–14.4) určete, zda je s přímkou p různoběžná (ANO), či nikoliv (NE): ANO NE 14.1 q1 = ↔ AB, kde A [5, –2]; B [4; –5] 14.2 q2 = {[2 – 2t; 4 – 6t]; t ∈ R} 14.3 q3 = {[3 + 3s; 5 – s]; s ∈ R} 14.4 q4 : 6x – 2y – 19 = 0

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Jsou dány funkce f1, f2, f3 a f4.

max. 4 body

15 Přiřaďte ke každé funkci f1–f4 (15.1–15.4) z obrázku její předpis (A–F): A) y = –3x – 2 B) y = 3x – 2 C) y = 3x D) y = –3x + 2 E) y = –3x F) y = 3x + 2 Maturita z matematiky • ZD

5

B 4

B4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 16–18 5 n! . Je dán výraz – + n (n – 3)!

( )

2 body

16

Jaký je definiční obor tohoto výrazu? A) (3; +∞) B) (3; 5) C) {3; 4; 5} D) (-∞; 3) ∪ (3; 5) E) {4}

B 4

17

18

2 body

n n! Jakým číslem musíme dělit výraz – , abychom získali kombinační číslo ? 3 (n – 3)! A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) žádným z uvedených čísel

( )

2 body

5 Kombinační číslo vyjadřuje počet všech: n A) Možných různých neuspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky neopakují. B) Možných různých uspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky smí opakovat. C) Možných různých neuspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. D) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. E) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky smí opakovat.

( )

KONEC TESTU

6


B4

II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ

max. 2 body

1 Písmena A a B vyjadřují každá jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jejich pomocí vytvoříme trojciferné číslo ABA a dvojciferné číslo AB. Pro jejich součet platí: ABA + AB – 910

Určete číslici B. Platí:

ABA + AB – 910

B 4

Součet A + B z prvního sloupce zprava dá číslo končící 0, protože A i B jsou číslice od 0 do 9, může jít pouze o čísla 0 nebo 10. 0 by vznikla jen součtem dvou 0, tak by ale výsledný součet 910 splněn nebyl. Součet A + B je tedy 10. Do druhého součtu tedy přechází 1 z řádu desítek. Součet B + A z druhého sloupce zprava je opět 10, zvýšený o 1 z předchozího součtu, tedy 11. 1 opět přechází do dalšího sloupce. Ve třetím sloupci zprava je pouze A, tedy A zvýšené o 1 z předchozího sloupce musí dát 9. Platí tedy: A + 1 = 9. Určíme, že A = 8. Ze součtu A + B tedy vyplývá, že číslice B = 2. Řešení: B = 2

2

max. 2 body

Je dán výraz V = (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ … ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 2 ) ∙ (√(2 ) – 20). Vypočtěte hodnotu výrazu V. 50

48

49

47

4

2

3

1

2

Výraz V je součin. Činitel √(24 ) – 22 upravíme. √24 – 22 = (√2)4 – 4 = (√22)2 – 4 = 22 – 4 = 4 – 4 = 0 Protože jeden činitel je v součinu roven 0, je celý součin roven 0. Výraz V je tedy nulový. Řešení: V = 0


7

B4

3

max. 2 body

Je dán kvádr o podstavných hranách a = 4 cm, b = 2 cm a výšce c = 2 cm. O kolik cm3 se zmenší jeho objem, zvětšíme-li hranu a o n2 centimetrů, hranu b o n centimetrů prodloužíme a hranu c naopak o n centimetrů zkrátíme? Objem původního kvádru je V = a ∙ b ∙ c, tedy 16 cm3. Hrany změněného kvádru jsou: a‘ = a + n2 = (4 + n2) cm b‘ = b + n = (2 + n) cm c‘= c – n = (2 – n) cm Vypočteme jeho objem. V‘ = a‘ ∙ b‘∙ c‘ = (4 + n2) ∙ (2 + n) ∙ (2 – n) Výraz vyjadřující objem upravíme. V‘ = (4 + n2) ∙ (2 – n) ∙ (2 – n) = (4 + n2) ∙ (4 – n2) = 16 – n4 Protože původní objem byl 16 cm3, je nový kvádr o n4 cm3 menší.

B 4

Řešení: n4 cm3

max. 2 body

4 Pro x ∈ (9; + ∞) je dána funkce f: y = log3 (x – 9), jejíž graf protíná souřadnicovou osu x v bodě P. Určete vzdálenost d bodu P od bodu [6; 3]. Funkce f protíná osu x v bodě P [x; 0], kde x splňuje rovnici: 0 = log3 (x – 9) Rovnici vyřešíme: 30 = x – 9 1=x–9 x = 10 Bod P má souřadnice [10; 0]. Vypočteme vzdálenost bodu P od bodu [6; 3]. d = √(6 – 10)2 + (3 – 0)2 = √(–4)2 + 32 = √(16 + 9) = √25 = 5 Řešení: d = 5

1 bod

5

Řešte rovnici 4 ∙ 3 + 3 x

x-1

= 117 s neznámou x ∈ R.

Tuto exponenciální rovnici řešíme vytýkáním. 3x – 1 ∙ (4 ∙ 3 + 1) = 117 3x – 1 ∙ 13 = 117/ ∶ 13 3x – 1 = 9

8


B4

Vyjádříme na obou stranách rovnice čísla jako mocniny o stejném základu. 3x – 1 = 32 Z rovnosti základů mocnin na obou stranách rovnice vyplývá, že: x–1=2 x=3 Řešení: x = 3

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Do závodu v přeskoku se přihlásilo 24 borců z Královéhradeckého kraje. Čtyři z nich hájí barvy tělovýchovného klubu z Jičína. Gymnastů z Jaroměře je třikrát méně než gymnastů z Trutnova, gymnastů z Trutnova je o dva více než gymnastů z Náchoda. Jeden gymnasta přijel z Rychnova nad Kněžnou. Po urputném klání získal jeden gymnasta zlatou, jeden stříbrnou a jeden bronzovou medaili.

max. 2 body

6 6.1 Kolik atletů přijelo z Náchoda? Označme počet gymnastů z Náchoda jako neznámou x. Gymnasti z Jičína

4

Gymnasti z Náchoda

x

Gymnasti z Trutnova

x+2 x+2 – 3 1

Gymnasti z Jaroměře Gymnasti z Rychnova nad Kněžnou Gymnasti z Královéhradeckého kraje celkem

24

Platí tedy: x+2 4 + x + ( x + 2) + – + 1 = 24 3 Vypočteme neznámou x.

(

)

x+2 7 + 2x + – = 24/ ∙ 3 3


9

B 4

B4

21 + 6x + x + 2 = 72 7x = 49 x=7 Z Náchoda přijelo 7 gymnastů. Řešení: 7 gymnastů 6.2 Jaká je pravděpodobnost p, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova? Jevy J (vyhraje gymnasta z Jaroměře) a T (vyhraje gymnasta z Trutnova) jsou disjunktní (vylučují se), takže pravděpodobnost, že nastane jeden nebo druhý, vznikne součtem pravděpodobností každého z nich. Gymnasté z Jaroměře jsou 3, z Trutnova přijelo 9 gymnastů.

B 4

3 P (J) = – 24 9 P (J) = – 24 3 + 9 12 = – = 0,5 p = P (J ∪ T ) = – 24 24

Pravděpodobnost, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova, je 0,5, též 50 %. Řešení: p = 0,5

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán čtverec ABCD, kde | AB | = a = 16 cm. Vrcholy B a D jsou středy oblouků k1 a k2 o shodných poloměrech velikosti a. Oblouky vymezují rovinný útvar (na obrázku vyznačený černým rastrem).

10


B4

7

max. 2 body

Určete obsah S rovinného útvaru označeného na obrázku černým rastrem. (Výsledek zaokrouhlete na jednotky). Obsah S vyznačené části vypočteme takto (Sk je obsah čtvrtiny kruhu k1, resp. k2; Sc je obsah čtverce ABCD). S = 2 ∙ Sk – Sc 1 Platí, že Sk = – πa2 = 64π; Sc= a2 = 256. Dosadíme. 4 S = 2 ∙ 64π – 256 = 128π – 256 =. 146 cm2 Řešení: S = 128π – 256 =. 146 cm2

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V kuchařce je uveden recept na zhotovení piškotového těsta. Dle tohoto receptu se těsto vyrábí z mouky, cukru, vajec a vody, přičemž suroviny jsou v hmotnostním poměru 5 : 3 : 6 : 1.

max. 2 body

8 8.1 Kolik procent z celkové hmotnosti piškotového těsta dle daného receptu představuje cukr? Ze zadání úlohy vyplývá, že vyrábíme těsto z 15 množstevních či hmotnostních jednotek (sečteme-li jednotlivé díly surovin z poměru jejich zastoupení). 1 3 Na cukr tedy připadají – z celkového množství těsta, tedy –, tj. 20 %. 15 5 Řešení: 20 %

8.2 Kolik gramů mouky je třeba na výrobu 600 gramů piškotového těsta dle daného receptu? 1 5 Na mouku připadá – , tedy – z celkového množství těsta. Zpracováváme-li 3 15 suroviny na 600 g těsta, třetinu z něj tvoří mouka. Tedy 200 gramů. Řešení: 200 g


11

B 4

B4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, kde body X, Y, Z jsou po řadě středy stran AB, BC, AC.

max. 2 body

9 9.1 Vypočtěte velikost úhlu ∢CXY. Označme |∢CXY | = β

B 4 Protože trojúhelník ABC je rovnostranný a body X a Y jsou středy stran AB a BC, je zřejmé, že i trojúhelník XBY je rovnostranný, tedy všechny jeho vnitřní úhly mají velikost 60° – pro úhel ∢BXY platí, že |∢BXY | = 60°. Protože úsečka CX je na stranu AB kolmá, je úhel β doplněk úhlu ∢BXY do 90°. Velikost úhlu β = |∢CXY | = 30°. Řešení: 30°

9.2 Určete obsah S trojúhelníka XYC, je-li obsah trojúhelníka ABC roven 12 cm2. Označme SXY střed strany YZ.

12


B4

Trojúhelníky XYS, CSXYY a CZSXY (na obrázku označené šrafováním) jsou dle věty sus shodné. Obsah trojúhelníka XYC je tedy stejný jako obsah trojúhelníka ZYC. Protože výška CSXY trojúhelníka ZYC má poloviční délku než výška CX trojúhelníka ABC a strana SXYY má poloviční délku než strana XB trojúhelníka ABC, je obsah trojúhelníka ZYC čtvrtinou obsahu trojúhelníka ABC. Protože obsah trojúhelníka ZYC je stejný jako obsah trojúhelníka XYC, má trojúhelník XYC obsah: 12 S = – = 3 cm2 4 Řešení: S = 3 cm2

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Děti skládají pyramidu z kostek tak, jak ukazuje obrázek. Na již postavenou řadu položí vždy poloviční počet kostek.

max. 2 body

10 10.1 Kolik kostiček by bylo v sedmé řadě takto stavěné pyramidy, bylo-li by v jejím prvním (nejspodnějším) patře 1 024 kostiček? V dalším patře takové pyramidy je vždy použita polovina kostiček, říká zadání. 1 Jedná se tedy o klesající geometrickou posloupnost s koeficientem q = –. 2 1 Je dáno a1 = 1 024, q = –, hledáme a7. Dle vztahů v geometrické posloupnosti platí: 2 6 a7 = a1 ∙ q Dosadíme.

( )

1 6 1 024 a7 = 1 024 ∙ – = – = 16 2 64 V sedmém patře je 16 kostiček. Řešení: 16 kostiček


13

B 4

B4 10.2 Kolik kostiček by bylo v nejspodnějším patře takto stavěné, osm pater vysoké pyramidy, jestliže by na jejím vrcholu (v osmém patře) byly dvě kostičky? V dalším patře takové pyramidy je vždy použita polovina kostiček, říká zadání. 1 Jedná se tedy o klesající geometrickou posloupnost s koeficientem q = –. 2 1 Je dáno a8 = 2, q = –, hledáme a1. Dle vztahů v geometrické posloupnosti platí: 2 a1 = a8 : q7 Dosadíme. 1 7 a1 = 2 : – = 2 ∙ 27 = 28 = 256 2 V nejspodnějším patře je 256 kostiček.

( )

Řešení: 256 kostiček

B 4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 11–12 1 , kde x ∈ (–3, 3). Je dán obdélník ABCD, v němž |AB| = 3 – x a |BC| = – 9 – x2 1 bod

11

Určete zjednodušený výraz, který vyjadřuje obsah obdélníka ABCD. Obsah obdélníka je součinem délek jeho sousedních stran. Tedy: 3–x 3 – x – 1 1 =– = – S = (3 – x) ∙ – =– 2 2 9–x 9–x (3 – x)(3 + x) 3 + x 1 Řešení: – 3+x

12

1 bod

Určete délku úhlopříčky BD obdélníka ABCD pro x = 2 cm. (Výsledek zaokrouhlete na setiny.) Délku úhlopříčky obdélníka vypočteme z Pythagorovy věty: |BD| = √(|AB|2 + |BC|2) |AB| = 3 – 2 = 1 cm

14


B4

1 1 1 = – = – cm |BC| = – 5 9–4 9 – 22 Po dosazení:

√

( )

√

√

√

26 √ 26 25 + 1 1 1 2 |BD| = 12 + – = 1 + – = – = – = – =. 1,02 cm 25 25 25 5 25 Řešení: 1,02 cm

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Do válce o objemu dm3 jsou vepsány tři stejné koule o poloměru 10 cm tak, jak ukazuje obrázek. Koule se vzájemně dotýkají, krajní koule se dotýkají podstav válce.

max. 2 body

13

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (13.1–13.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 13.1 Poloměr koule je třetinou výšky válce. 13.2 Výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy. 13.3 Povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady. 13.4 Koule zabírají dvě třetiny objemu válce. Sjednotíme jednotky, budeme vše vyjadřovat v dm. Poloměr koulí je tedy 1 dm. Dopočteme všechny zbývající klíčové údaje. Poloměr r podstavy válce je shodný s poloměrem koulí a r = 1 dm. Výšku v válce spočteme ze vzorce pro jeho objem V. V = πr2v Vyjádříme výšku v a spočteme ji. V v = –2 πr 6π v=– π = 6 dm


15

B 4

B4

Spočteme povrch P válce. P = 2π(r + v) = 2π(1 + 6) = 14π dm2 Spočteme objem Vk a povrch Pk každé z koulí. 4 4 Vk = – πr3 = – π dm3 3 3 Pk = 4πr2 = 4π dm2 Nyní můžeme určit pravdivost, či nepravdivost tvrzení. V tvrzení 13.1 je řečeno, že poloměr koule je třetinou výšky válce. Poloměr koule je šestinou výšky válce. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 13.2 je řečeno, že výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy. Výška válce je šestinásobkem jeho poloměru, tedy trojnásobkem jeho průměru. Tvrzení je pravdivé.

B 4

V tvrzení 13.3 je řečeno, že povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady. Povrch válce je 14π dm2, povrch všech koulí dohromady je jen 12π dm2. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 13.4 je řečeno, že koule zabírají dvě třetiny objemu válce. Spočteme objem všech koulí: 4 3Vk = 3 ∙ –π = 4π dm3 3 a srovnáme s dvěma třetinami objemu válce: 2 2 ∙ 6π = 4π dm3. –V=– 3 3 Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO

16


B4

max. 2 body

14

Je dána přímka p : 3x – y – 5 = 0. U každé z následujících přímek q1–q4 (14.1–14.4) určete, zda je s přímkou p různoběžná (ANO), či nikoliv (NE): ANO NE 14.1 q1 = ↔ AB, kde A [5, –2]; B [4; –5] 14.2 q2 = {[2 – 2t; 4 – 6t]; t ∈ R} 14.3 q3 = {[3 + 3s; 5 – s]; s ∈ R} 14.4 q4 : 6x – 2y – 19 = 0

Přímka p má normálový vektor n⃗ = (3; –1), směrový vektor s⃗ = (1; 3).

14.1 q1 = ↔ AB, kde A [5, –2]; B [4; –5] Přímka q1 má směrový vektor AB = (4 – 5; – 5 – (–2)) = (–1; –3) = (–1) ∙ (1; 3)= –s⃗ . Přímka q1 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná.

B 4

14.2 q2 = {[2 – 2t; 4 – 6t]; t ∈ R} Přímka q2 má směrový vektor (–2; –6) = (1; 3) = s⃗. Přímka q2 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná. 14.3 q3 = {[3 + 3s; 5 – s]; s ∈ R} Přímka q3 má směrový vektor (3; –1) = n⃗ . Přímka q3 je na přímku p kolmá, je s ní tedy různoběžná. 14.4 q4: 6x – 2y – 19 = 0 Přímka q4 má normálový vektor (6; –2) = (–2) ∙ (3; –1) = –2n⃗. Přímka q4 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná. Řešení: NE, NE, ANO, NE


17

B4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Jsou dány funkce f1, f2, f3 a f4.

B 4

max. 4 body

15 Přiřaďte ke každé funkci f1–f4 (15.1–15.4) z obrázku její předpis (A–F): A) y = –3x – 2 B) y = 3x – 2 C) y = 3x D) y = –3x + 2 E) y = –3x F) y = 3x + 2 Budeme sledovat vlastnosti lineárních funkcí vyplývající z grafu. Zprvu vyřadíme možnosti C a E, neboť se jedná o přímé úměrnosti, jejichž grafy prochází počátkem. 15.1 Funkce f1 je rostoucí (lineární koeficient bude kladný, možnosti B, F) a graf prochází bodem [0; –2], což určuje, že prostý člen bude roven –2 (možnosti A, B). Řešením je tedy možnost B. Řešení: B

15.2 Funkce f2 je klesající (lineární koeficient bude záporný, možnosti A, D) a graf prochází bodem [0; 2], což určuje, že prostý člen bude roven 2 (možnosti D, F). Řešením je tedy možnost D. Řešení: D

18


B4

15.3 Funkce f3 je klesající (lineární koeficient bude záporný, možnost A). Jiné možnosti již k dispozici nejsou. Řešení: A

15.4 Zbývá jen možnost F. Řešení: F

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 16–18 5 n! . Je dán výraz – + n (n – 3)!

( )

B 4 2 body

16

Jaký je definiční obor tohoto výrazu? A) (3; +∞) B) (3; 5) C) {3; 4; 5} D) (-∞; 3) ∪ (3; 5) E) {4} 5 n! Ze zadání vyvozujeme, že výraz – + má následující podmínky: n (n – 3)!

( )

n ≥ 0 ∧ (n – 3) ≥ 0 ∧ 5 ≥ n ∧ n ∈ N0. Průnik těchto podmínek je množina n ∈ {3; 4; 5}. Řešení: C

17

2 body

n n! Jakým číslem musíme dělit výraz – , abychom získali kombinační číslo ? 3 (n – 3)! A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) žádným z uvedených čísel


( )

19

B4

n Vyjádříme kombinační číslo jako výraz s faktoriály: 3

()

n

n! n! –: 3! ( 3 ) =–= (n – 3)! ∙ 3! (n – 3)! Výraz je tedy třeba vydělit číslem 3! = 6. Řešení: B

18

B 4

2 body

5 Kombinační číslo vyjadřuje počet všech: n A) Možných různých neuspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky neopakují. B) Možných různých uspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky smí opakovat. C) Možných různých neuspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. D) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. E) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky smí opakovat.

( )

Když z pěti nabízených prvků volíme libovolné n-tice, aniž by se prvky ve skupině opakovaly, počet všech takových různých n-tic, které dokážeme vytvořit, vyjad5 řuje kombinační číslo . Skupiny jsou neuspořádané, pořadí prvků ve skupině n není podstatné, přeházíme-li je, půjde stále o tutéž skupinu.

( )

Řešení: A

KONEC TESTU

20


B4

III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–12 jsou otevřené. 3) Úlohy 13–18 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

35–30

1

29–24

2

23–18

3

17–12

4

Úloha

Správné řešení

Počet bodů

1

B=2

max. 2 body

2

V=0

max. 2 body

3

o n4 cm3

max. 2 body

4

d=5

max. 2 body

5

x=3

1 bod

6

7

6.1 7 gymnastů

1 bod

6.2 p = 0,5

1 bod

146 cm2

B 4

max. 2 body

8 8.1 20 %

1 bod

8.2 200 g

1 bod

9.1 30°

1 bod

9.2 3 cm2

1 bod

9

10 10.1 16 kostiček

1 bod

10.2 256 kostiček

1 bod

11

1 – 3+x

1 bod

12

1,02

1 bod

13 13.1 NE 13.2 ANO 13.3 NE 13.4 ANO


max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh

2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.

21

B4 14 14.1 NE 14.2 NE 14.3 ANO 14.4 NE 15 15.1 B 15.2 D 15.3 A 15.4 F

B 4


2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.


4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

16

C

2 body

17

B

2 body

18

A

2 body

22


B4

IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–12 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 13–18 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.

Úloha

Správné řešení

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

35–30

1

29–24

2

23–18

3

17–12

4

Počet bodů

1

max. 2 body

2

max. 2 body

3

max. 2 body

4

max. 2 body

5

1 bod

6 6.1

1 bod

6.2

1 bod

7

B 4

max. 2 body

8 8.1

1 bod

8.2

1 bod

9.1

1 bod

9.2

1 bod

10.1

1 bod

10.2

1 bod

9

10

11

1 bod

12

1 bod

13 13.1 13.2 13.3 13.4



2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.

23

B4 14 14.1 14.2 14.3 14.4 15 15.1 15.2 15.3 15.4

B 4


2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.


4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

16

2 body

17

2 body

18

2 body

24


CVIČNÝ TEST 4. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

Recommend Documents