CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 7 17 19
B3
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = (–∞; 2), B = 〈–1; 3〉, C = 〈0; ∞). max. 2 body
1 1.1 Zapište intervalem množinu (A ∪ B) ∩ C. 1.2 Zapište intervalem množinu B – A. max. 2 body
2
B 3
V oboru reálných čísel řešte rovnici |x – 3| = 5 – x.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 – x2 – y2 2 2 3x y . Je dán výraz V =– – 2y – 1 + 2x 1 – –– x y
max. 3 body
3 3.1 Zjednodušte výraz V. 3.2 Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Body A, B na obrázku představují pozici dvou hokejistů vzhledem k mantinelu m. Hráč A přihraje hráči B puk odrazem o mantinel tak, že odchylka dráhy puku od stěny mantinelu bude po odražení 45°.
max. 3 body
4 4.1 Určete v metrech délku dráhy, kterou puk urazil. 4.2 Určete vzdálenost hráčů A, B.
2
Maturita z matematiky • ZD
B3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Mladí manželé využili k nákupu bytu výhodnou hypotéku 1 500 000 Kč úročenou jen 4 % p. a. Již dva roky každý měsíc splácejí 15 000 Kč. Banka úročí dluh a připisuje splátku jednou ročně v den sjednání hypotéky. max. 3 body
5 5.1 O kolik korun je dluh nižší po první splátce? 5.2 Kolik korun bance dluží po dvou letech splácení?
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6–8 Společnost provozující síť mobilních telefonů nabízí dva nové programy služeb OPTIMUM a STANDARD. Do reklamního letáku chce vložit graf znázorňující závislost výše měsíční platby na počtu provolaných minut a stručný komentář, který bude obsahovat informace o měsíčním paušálu, počtu volných minut a ceně za jednu provolanou minutu nad rámec volných minut.
1 bod
6
Určete měsíční paušál programu STANDARD. max. 2 body
7
Určete v programu OPTIMUM cenu jedné minuty provolané navíc. max. 2 body
8
Vypočítejte maximální počet provolaných minut za měsíc, při kterém je výhodnější využívat služeb programu STANDARD.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Počítačový program náhodně vytváří přirozená trojciferná čísla.
Maturita z matematiky • ZD
3
B 3
B3 max. 2 body
9 9.1 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? 9.2 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo je dělitelné pěti? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK 10
Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r.
B 3
max. 3 body
10 10.1 Vyjádřete pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového bazénu zakulacením jednoho svislého rohu. 10.2 Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Funkce je dána grafem.
2 body
11
4
Kterou dvojici vlastností má funkce na intervalu 〈–3; 3〉? A) spojitá a rostoucí B) nespojitá a klesající C) spojitá a klesající D) nespojitá a prostá E) nespojitá a lichá
Maturita z matematiky • ZD
B3 max. 2 body
12 Přímka p je určena rovnicí 3x + y – 6 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Přímka p je rovnoběžná s přímkou m: –x – 3y + 6 = 0. 12.2 Přímka p je kolmá k přímce n: x – 3y + 6 = 0. 12.3 Přímka p je kolmá k přímce o: x = y. 12.4 Přímka p prochází bodem M [1; 3]. 2 body
13 Vrcholy trojúhelníku ABC tvoří body se souřadnicemi A [1; 1], B [2; –1] a C [3; 2]. Jaké vlastnosti trojúhelník ABC má? A) je rovnoramenný, ostroúhlý B) je rovnoramenný, pravoúhlý C) je rovnostranný D) je rovnoramenný, tupoúhlý E) nemá žádnou z uvedených vlastností VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 14 14.1
14.2
14.3
14.4
Maturita z matematiky • ZD
B 3
5
B3 max. 4 body
14
Přiřaďte grafu každé goniometrické funkce na obrázcích 14.1–14.4 nejvhodnější funkční předpis z možností A–F: A) y = sin x B) y = 2 cos x C) y = –sin x D) y = –tg x E) y = cotg x F) y = –cos x
B 3
x+1 15 Je dána nerovnice– ≤ 1. x–1 Nerovnici vyhovují právě všechna reálná čísla x, pro která platí: A) x ∈ 〈–1; ∞) B) x ∈ 〈–1; –1〉 C) x ∈ 〈–1; 1) D) x ∈ (–∞; 1) E) x ∈ (–∞; –1)
2 body
KONEC TESTU
6
Maturita z matematiky • ZD
B3
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = (–∞; 2), B = 〈–1; 3〉, C = 〈0; ∞). max. 2 body
1 1.1 Zapište intervalem množinu (A ∪ B) ∩ C.
Čísla, která patří množině A nebo patří množině B, jsou čísla (–∞; 3〉. Čísla, která patří množině A ∪ B a zároveň patří množině C, jsou čísla 〈0; 3〉. Množiny A, B můžeme případně znázornit na reálné ose a řešit úlohu nejprve graficky.
B 3
Řešení: (A ∪ B) ∩ C = 〈0; 3〉 1.2 Zapište intervalem množinu B – A. Čísla, která patří množině B a nepatří množině A, jsou čísla <2; 3>. Množiny A, B můžeme případně znázornit na reálné ose a řešit úlohu nejprve graficky. Řešení: B – A = 〈2; 3〉
max. 2 body
2
V oboru reálných čísel řešte rovnici |x – 3| = 5 – x. Absolutní hodnotu odstraníme podle definice. Pro všechna x ≥ 3 je |x – 3| = x – 3 a rovnice bude mít tvar x – 3 = 5 – x. Jejím řešením je číslo x = 4, které podmínku x ≥ 3 splňuje. Pro všechna x < 3 je |x – 3| = –x + 3 a rovnice bude mít tvar –x + 3 = 5 – x. Tato rovnice nemá řešení. Řešení: x = 4
Maturita z matematiky • ZD
7
B3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 – x2 – y2 2 2 3x y . Je dán výraz V =– – 2y – 1 + 2x 1 – –– x y
max. 3 body
3 3.1 Zjednodušte výraz V. Sečteme zlomky ve jmenovateli a dělení zlomků převedeme na násobení. Po rozkladu čitatele prvního zlomku krátíme: – x2 – y2 x2 – y2 – 2 2 x2 – y2 ∙ xy = 3x y 3x2y2 = – =– V =– – – 3x2y2 x + y 2y – 1 + 2x y + x 1 – –– – x y xy
B 3
(x – y) ∙ (x + y) xy x–y =– – ∙– = – 2 2 3x y y + x 3xy x–y Řešení: V = – 3xy 3.2 Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1. Výpočet hodnoty výrazu pro x = 2, y = 1 lze provést dosazením do zadaného nebo zjednodušeného výrazu. 1 Řešení: V = – 6
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Body A, B na obrázku představují pozici dvou hokejistů vzhledem k mantinelu m. Hráč A přihraje hráči B puk odrazem o mantinel tak, že odchylka dráhy puku od stěny mantinelu bude po odražení 45°.
8
Maturita z matematiky • ZD
B3 max. 3 body
4 4.1 Určete v metrech délku dráhy, kterou puk urazil. Pro odraz puku od mantinelu platí, že úhel odrazu je stejný jako úhel dopadu. Protože úhel AOA0 je 45°, je úhel BOB0 také 45°. Pravoúhlé trojúhelníky AA0O, BB0O jsou rovnoramenné a jejich přepony mají délky 3√2 m, 2√2 m.
Řešení: 5√2 m
4.2 Určete vzdálenost hráčů A, B. Trojúhelník AOB je pravoúhlý. Jeho vnitřní úhel AOB je součtem úhlu dopadu 45° a úhlu odrazu 45°. Vzdálenost hráčů AB vypočteme podle Pythagorovy věty jako délku přepony AB trojúhelníku s délkami odvěsen 3√2 m, 2√2 m.
Řešení: √26 m
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Mladí manželé využili k nákupu bytu výhodnou hypotéku 1 500 000 Kč úročenou jen 4 % p. a. Již dva roky každý měsíc splácejí 15 000 Kč. Banka úročí dluh a připisuje splátku jednou ročně v den sjednání hypotéky. max. 3 body
5 5.1 O kolik korun je dluh nižší po první splátce?
Dluh se zvýší o čtyřprocentní úrok 60 000 Kč a zmenší se o roční splátku 180 000 Kč. Řešení: 120 000 Kč
Maturita z matematiky • ZD
9
B 3
B3 5.2 Kolik korun bance dluží po dvou letech splácení? Úlohu lze řešit užitím vhodného vztahu z finanční matematiky nebo si vztah odvodit postupným vyjádřením dlužné částky nejprve na konci prvního a pak druhého roku. Je možné řešit úlohu jen numericky nebo nejprve obecně a po zjednodušení dosadit. Řešení: I2 = 1 255 200 Kč
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6–8
B 3
Společnost provozující síť mobilních telefonů nabízí dva nové programy služeb OPTIMUM a STANDARD. Do reklamního letáku chce vložit graf znázorňující závislost výše měsíční platby na počtu provolaných minut a stručný komentář, který bude obsahovat informace o měsíčním paušálu, počtu volných minut a ceně za jednu provolanou minutu nad rámec volných minut.
1 bod
6
Určete měsíční paušál programu STANDARD. Volné jsou minuty, které lze provolat bez navýšení měsíčního paušálu. Jejich maximální počet je evidentní z grafu. Řešení: 200 Kč
max. 2 body
7
Určete v programu OPTIMUM cenu jedné minuty provolané navíc. Odečtením souřadnic dvou vyznačených bodů na grafu lze vypočítat cenu jedné minuty provolané nad limit volných minut. Řešení: 5 Kč
10
Maturita z matematiky • ZD
B3 max. 2 body
8
Vypočítejte maximální počet provolaných minut za měsíc, při kterém je výhodnější využívat služeb programu STANDARD. Výpočet lze provést určením rovnice funkce pro rostoucí část grafu popisujícího program STANDARD. Ten je pro volání výhodnější, pokud je vyjádřená funkční hodnota menší než 400. Rostoucí část grafu programu STANDARD prochází body [30; 200], [80; 500] a je lineární. Dosazením do obecné rovnice lineární funkce y = ax + b odvodíme rovnici y = 6x + 20. Řešením nerovnice 6x + 20 < 400 vypočteme maximální počet provolaných minut za měsíc, kdy je ještě program STANDARD výhodnější než OPTIMUM. Řešení: 63 minut
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9
B 3
Počítačový program náhodně vytváří přirozená trojciferná čísla. max. 2 body
9 9.1 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou?
Počet všech trojciferných čísel je 900. Počet trojciferných čísel s trojkou na místě jednotek je 90. Pravděpodobnost náhodného výběru trojciferného čísla s trojkou na místě jednotek je podílem počtu trojciferných čísel požadované vlastnosti a počtu všech trojciferných čísel. Řešení: Pravděpodobnost je 0,1.
9.2 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo je dělitelné pěti? Počet všech trojciferných čísel je 900. Počet trojciferných čísel dělitelných pěti je 180 (každé páté je dělitelné pěti). Pravděpodobnost náhodného výběru trojciferného čísla dělitelného pěti je podílem počtu trojciferných čísel požadované vlastnosti a počtu všech trojciferných čísel. Řešení: Pravděpodobnost je 0,2.
Maturita z matematiky • ZD
11
B3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r.
max. 3 body
10 10.1 Vyjádři pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového bazénu zakulacením jednoho svislého rohu.
B 3
Zmenšení půdorysu bazénu zaoblením jednoho svislého rohu můžeme vyjádřit jako rozdíl obsahu čtverce o straně r a čtvrtkruhu s poloměrem r. 1 Řešení: r2 – –πr2 4 10.2 Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. Bez zaoblení vnitřních rohů by byl objem vyjádřen jako a ∙ b ∙ h. Zmenšení půdorysu bazénu zaoblením svislých rohů můžeme vyjádřit jako rozdíl obsahu 4 čtverců o straně r a 4 čtvrtkruhů s poloměrem r. Řešení: V = h[ab – (4r2 – πr2)] = abh – 4r2h + πr2h
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Funkce je dána grafem.
12
Maturita z matematiky • ZD
B3 2 body
11
Kterou dvojici vlastností má funkce na intervalu 〈–3; 3〉? A) spojitá a rostoucí B) nespojitá a klesající C) spojitá a klesající D) nespojitá a prostá E) nespojitá a lichá Podle grafu je funkce evidentně nespojitá a prostá. Není lichá, graf není souměrný podle počátku. Řešení: D
max. 2 body
12 Přímka p je určena rovnicí 3x + y – 6 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Přímka p je rovnoběžná s přímkou m: –x – 3y + 6 = 0. 12.2 Přímka p je kolmá k přímce n: x – 3y + 6 = 0. 12.3 Přímka p je kolmá k přímce o: x = y. 12.4 Přímka p prochází bodem M [1; 3]. Normálový vektor přímky p má souřadnice (3; 1). Přímka m má normálový vektor (–1; –3). Přímky p, m nejsou rovnoběžné, protože (3; 1) ≠ k(–1; –3). Přímka n má normálový vektor (1; –3). Platí (3; 1) ∙ (1; –3) = 0, je tedy přímka n kolmá na přímku p. Přímka o má normálový vektor (1; –1). Není ani kolmý ani rovnoběžný s vektorem (3; 1). Dosazením zjistíme, že souřadnice bodu M rovnici přímky p vyhovují. Řešení: NE, ANO, NE, ANO
2 body
13
Vrcholy trojúhelníku ABC tvoří body se souřadnicemi A [1; 1], B [2; –1] a C [3; 2]. Jaké vlastnosti trojúhelník ABC má? A) je rovnoramenný, ostroúhlý B) je rovnoramenný, pravoúhlý C) je rovnostranný D) je rovnoramenný, tupoúhlý E) nemá žádnou z uvedených vlastností
Maturita z matematiky • ZD
13
B 3
B3
Pomocí souřadnic bodů A [1; 1], B [2; –1], C [3; 2] nejprve určíme souřadnice vektorů: A – B = (–1; 2), C – B = (1; 3), C – A = (2; 1). Zjistíme, že vektory A – B, C – A mají stejnou velikost a jejich skalární součin je roven 0. Řešení: B
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 14 14.1
14.2
14.3
14.4
B 3
14
Maturita z matematiky • ZD
B3 max. 4 body
14
Přiřaďte grafu každé goniometrické funkce na obrázcích 14.1–14.4 nejvhodnější funkční předpis z možností A–F: A) y = sin x B) y = 2 cos x C) y = –sin x D) y = –tg x E) y = cotg x F) y = –cos x Funkce 14.1 nabývá maxima pro x = 0, z nabídky vyhovuje jen funkce y = cos 2x. Funkce 14.2 má pro x = 0 hodnotu 0. To platí o funkci y = sin x, ta ale v okolí bodu x = 0 neklesá. Proto rovnicí zobrazené funkce je y = –sin x. Funkce 14.3 je neomezená a nespojitá. Protože je klesající a nespojitá v bodě x = 0, vyhovuje jí rovnice y = cotg x. Funkce 14.4 je také neomezená a nespojitá, ale pro x = 0 má hodnotu 0. Z výběru jí odpovídá funkce y = –tg x, protože v okolí bodu x = 0 klesá.
B 3
Řešení: B, C, E, D
x+1 15 Je dána nerovnice– ≤ 1. x–1 Nerovnici vyhovují právě všechna reálná čísla x, pro která platí: A) x ∈ 〈–1; ∞) B) x ∈ 〈–1; –1〉 C) x ∈ 〈–1; 1) D) x ∈ (–∞; 1) E) x ∈ (–∞; –1)
2 body
x+1–x+1 x+1 Nerovnici– ≤ 1 anulujeme). Nerovnici– – ≤ 0 upravíme na podíx–1 x–1 2 lový tvar – ≤ 0. Úvahou nebo řešením metodou nulových bodů určíme, že x–1 nerovnici vyhovují právě všechna čísla menší než 1. Řešení: D
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • ZD
15
B3
B 3
16
Maturita z matematiky • ZD
B3
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–10 jsou otevřené. 3) Úlohy 11–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Počet bodů
1 1.1 (A ∪ B) ∩ C = 〈0; 3〉 1.2 B – A = 〈2; 3〉
2
1 bod 1 bod
x=4
max. 2 body
x–y 3.1 V = – 3xy
max. 2 body
1 3.2 V = – 6
1 bod
4.1 5√2 m
max. 2 body
4.2 √26 m
1 bod
5.1 120 000 Kč
1 bod
5.2 I2= 1 255 200 Kč
max. 2 body
3
B 3
4
5
6
200 Kč
1 bod
7
5 Kč /1min.
max. 2 body
8
63 minut
max. 2 body
9 9.1 0,1
1 bod
9.2 0,2
1 bod
10 1 1 10.1 r2 – –πr = r2(1 – –π) 4 4
1 bod
10.2 V = h[ab – (4r2 – πr2)] = abh – 4r2h + πr2h
max. 2 body
Maturita z matematiky • ZD
17
B3 11
D
12 12.1 NE 12.2 ANO 12.3 NE 12.4 ANO 13
B
14 14.1 B 14.2 C 14.3 E
B 3
14.4 D 15
18
D
2 body max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
2 body max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
2 body
Maturita z matematiky • ZD
B3
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 11–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
1 bod
2
max. 2 body
3 3.1
max. 2 body
3.2
1 bod
4.1
max. 2 body
4.2
1 bod
5.1
1 bod
5.2
max. 2 body
B 3
4
5
6
1 bod
7
max. 2 body
8
max. 2 body
9 9.1
1 bod
9.2
1 bod
10.1
1 bod
10.2
max. 2 body
10
Maturita z matematiky • ZD
19
B3 11
2 body
12 12.1 12.2 12.3 12.4 13
14.1 14.2 14.3 14.4 15
20
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
2 body
14
B 3
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
2 body
Maturita z matematiky • ZD
