CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 5 13 15
B 37
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec s šestnácti poli, v nichž jsou umístěna čísla. Součet čísel v každém řádku i součet čísel v každém sloupci je stejný jako v jiných sloupcích či řádcích. Ve vnitřní části čtverce jsou tři čísla již nečitelná. Přepis čtverce ukazuje obrázek, namísto již nečitelných čísel je uveden otazník.
B 37
1
0
5
7
2
6
?
2
3
?
?
1
7
0
3
3 1 bod
1
Jaký je celkový součet čísel, která již nejsou čitelná?
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dána obdélníková mřížka tvořena ze šesti čtverců, tří čtverců ve dvou řadách. Čtverce obarvujeme modrou a zlatou barvou. max. 2 body
2
Jaká je pravděpodobnost, že bude obarvený obdélník mít podobu šachovnice, tj. budou se v něm modré a zlaté čtverce střídat? (Výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru.)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany CD, bod Y, který je středem úsečky CX, bod W, který je středem úsečky AB, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 3.
max. 2 body
3
Kolik procent obsahu čtverce ABCD tvoří obsah konvexního pětiúhelníku XYWAZ? (Výsledek zaokrouhlete na celá procenta.)
2
Maturita z matematiky • 06
B 37 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 6 cm a v ní trojboký jehlan ABCG s podstavou ABC a výškou CG. max. 2 body
4.1 Určete objem jehlanu ABCG. 4.2 Určete povrch jehlanu ABCG. (Výsledek zaokrouhlete na celé milimetry čtverečné.) 1 bod
5
Určete na kladné části souřadnicové osy y bod Y tak, aby z něj bylo možno vidět úsečku AB (A[4, −2], B[−1, 1]) v zorném úhlu 90°. max. 2 body
6
Určete vzdálenost d průsečíků P1, P2 grafů funkcí f a g, které mají předpis: f: y = (x − 3)2 + 4 g: y = x + 3. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení.
B 37
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána uspořádaná trojice čísel {−1; 2; 8}. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Existuje jedno reálné číslo, které lze vložit mezi 2 a 8 tak, aby s danými čísly tvořilo geometrickou posloupnost. 7.2 Existuje jedno reálné číslo, které lze vložit mezi 2 a 8 tak, aby s danými čísly tvořilo aritmetickou posloupnost. 7.3 Daná čísla tvoří tři po sobě jdoucí členy posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen an= 3n − 4. 7.4 Daná čísla tvoří po sobě jdoucí členy posloupnosti dané rekurentním vzorcem an + 1= an + 3(n − 1); a1 = −1.
Maturita z matematiky • 06
ANO NE
3
B 37 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou daných různých přirozených čísel je roven polovině jejich součinu. Zvětšíme-li větší z čísel o 20 %, menší o 60 %, a poté je sečteme, dostaneme dvojnásobek většího. 2 body
8
Která z možností A–E určuje množinu, v níž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (5, 12) C) (4, 13) D) (5, 13) E) (12, 16) 2 body
9
B 37
Která z možností A−E udává všechny hodnoty parametru p, pro které má rovnice x2 − px + 2x − p + 5 = 0 s neznámou x dva různé reálné kořeny, z nichž žádný není roven 0? A) p∈R B) p∈∅ C) p ∈ (−∞, 2) ∪ (5, +∞) D) p ∈ (−∞, −4) ∪ (5, +∞) E) p ∈ (−∞, −4) ∪ (4, 5) ∪ (5, +∞) max. 4 body
10 Přiřaďte každému výrazu (10.1–10.4) množinu (A–F), která je jeho úplným definičním oborem. x−2 10.1 – x2 − 4 √x + 2 10.2 – x−2 10.3 √x + 2 − √2 − x
√
2−x 10.4 – x+2 A) 〈−2; 2〉 B) (−2; 2〉 C) R − {−2; 2} D) 〈−2; 2) ∪ (2; +∞) E) (−2; 2) ∪ (2; +∞) F) (2; +∞) KONEC TESTU
4
Maturita z matematiky • 06
B 37
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec s šestnácti poli, v nichž jsou umístěna čísla. Součet čísel v každém řádku i součet čísel v každém sloupci je stejný jako v jiných sloupcích či řádcích. Ve vnitřní části čtverce jsou tři čísla již nečitelná. Přepis čtverce ukazuje obrázek, namísto již nečitelných čísel je uveden otazník. 1
0
5
7
2
6
?
2
3
?
?
1
7
0
3
3 1 bod
1
Jaký je celkový součet čísel, která již nejsou čitelná? Jak lze ověřit, součet čísel v řádku i sloupci je 13. Celkový součet ve čtverci by měl být čtyřnásobný, tj. 52. Čitelná čísla dají součet 40. Zbývá 12. Nečitelná čísla dají součet 12. Řešení: 12
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dána obdélníková mřížka tvořena ze šesti čtverců, tří čtverců ve dvou řadách. Čtverce obarvujeme modrou a zlatou barvou. max. 2 body
2
Jaká je pravděpodobnost, že bude obarvený obdélník mít podobu šachovnice, tj. budou se v něm modré a zlaté čtverce střídat? (Výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru.) Pravděpodobnost, že nastane daný jev A, je poměr výsledků jevu příznivých m(A) ku všem možným výsledkům m. Určíme napřed počet všech výsledků, které mohou nastat. Protože obarvujeme 6 čtverců 2 různými barvami a barvy se mohou opakovat (modrá nebo zlatá), tvoříme variace s opakováním 6. řádu ze 2 prvků. Použijeme-li vzorec V'k(n) = nk, je počet všech výsledků, které mohou nastat, V'6(2) = 26 = 64. Příznivé výsledky jsou ty, kdy je obrázek podobný šachovnici. Prvním je ten, kdy první obarvený čtverec je modrý, druhý zlatý atd., druhým příznivý výsledek je, když první obarvený čtverec je zlatý, následující modrý atd. Příznivé výsledky jsou tedy jen dva. Výslednou pravděpodobnost vypočteme: 2 =– m(A) = – 1 . P(A) = – m 64 32 1 Řešení: – 32
Maturita z matematiky • 06
5
B 37
B 37 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany CD, bod Y, který je středem úsečky CX, bod W, který je středem úsečky AB, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 3.
max. 2 body
3
B 37
Kolik procent obsahu čtverce ABCD tvoří obsah konvexního pětiúhelníku XYWAZ? (Výsledek zaokrouhlete na celá procenta.) Zakreslíme-li zadání úlohy, je viditelné, že lze obsah S1 pětiúhelníku XYWAZ složit ze tří útvarů – pravoúhlých trojúhelníků I a II a obdélníka III. Obsah S čtverce lze chápat jako 16 čtverečných jednotek, představíme-li si, že je zakreslen do mřížky se šestnácti čtverci.
S1 . Výsledný poměr pak určíme ze vztahu: – S Určíme nyní obsahy tří útvarů, ze kterých je pětiúhelník složen. (4 j) ∙ (1 j) (3 j) ∙ (2 j) SI = –– = 2 j2, SII = –– = 3 j2, SIII = (2 j) ∙ (1 j) = 2 j2 2 2 Určíme výsledný poměr. SI + S– j2) ∙ (2 j2) (2 j2) ∙ (3– S1 = – 7 =̇ 44 %. II + SIII – =– =– S 16 2 16 j2
Řešení: 44 %
6
Maturita z matematiky • 06
B 37 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 6 cm a v ní trojboký jehlan ABCG s podstavou ABC a výškou CG. max. 2 body
4.1 Určete objem jehlanu ABCG. Jehlan má stejnou výšku jako krychle, tedy s délkou 6 cm. Podstavou jehlanu je pravoúhlý trojúhelník, jehož obsah je polovinou obsahu čtverce podstavy krychle, tedy 18 cm2. Objem V jehlanu je třetinou (18 cm2– ) ∙ (6 cm) součinu obsahu podstavy a výšky jehlanu, tj. V =– = 36 cm3. 3 Řešení: 36 cm3
4.2 Určete povrch jehlanu ABCG. (Výsledek zaokrouhlete na celé milimetry čtverečné.)
B 37
Povrch P jehlanu je součtem čtyř obsahů trojúhelníků, dva z nich mají obsah 18 cm2, neboť tvoří polovinu obsahu podstavy a boční stěny krychle, dva z nich jsou polovinou obsahu shodných obdélníků (6 cm) ∙ – (6√2 cm) ABGH, resp. ACGE., tj. – = 18√2 cm2. 3 P = 2 ∙ (18 cm2) + 2 ∙ (18√2 cm2) = 36 ∙ (1 + √2) cm2 =̇ 86,91 cm2 = 8 691 mm2 Řešení: 8 691 mm2
1 bod
5
Určete na kladné části souřadnicové osy y bod Y tak, aby z něj bylo možno vidět úsečku AB (A[4, −2], B[−1, 1]) v zorném úhlu 90°. Aby bylo možno vidět úsečku AB v zorném úhlu 90°, musí být přímky vedené z bodu Y, který má x-ovou souřadnici rovnu 0, po řadě bodem A a bodem B na sebe kolmé. Musí být na sebe kolmé i jejich směrové vektory. Jsou-li vektory na sebe kolmé, je jejich skalární součin roven 0. Sestavíme tedy tyto směrové vektory a určíme jejich skalární součin, který položíme roven 0. ⃗ = (0 − 4, y + 2) ∧ BY ⃗ = (0 + 1, y − 1) ⇒ −4 ∙ 1 + (y + 2) ∙ (y − 1) = 0 ⇒ Y[0, y] ⇒ AY 2 2 ⇒ −4 + y + y − 2 = 0 ⇒ y + y − 6 = 0 ⇒ (y + 3)(y − 2) = 0 ⇒ Y1 [0, −3] ∨ Y2 [0, 2]
Na kladné části osy y leží bod Y2 [0, 2]. Řešení: Y [0,2]
Maturita z matematiky • 06
7
B 37 max. 2 body
6
Určete vzdálenost d průsečíků P1, P2 grafů funkcí f a g, které mají předpis: f: y = (x − 3)2 + 4 g: y = x + 3. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. (x − 3)2 + 4 = x + 3 x2 − 6x + 9 + 4 = x + 3 x2 − 7x + 10 = 0 (x − 5)(x − 2) = 0 x1 = 2 ∨ x2 = 5 ⇒ y1 = 5 ∨ y2 = 8 Průsečíky grafů funkcí jsou body P1 [2; 5], P2 [5; 8]. Vzdálenost průsečíků d = |P1P2| = √(5 − 2)2 + (8 − 5)2 = √32 + 32 = 3√2. Řešení: d = |P1P2| = 3√ 2
B 37
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána uspořádaná trojice čísel {−1; 2; 8}. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Existuje jedno reálné číslo, které lze vložit mezi 2 a 8 tak, aby s danými čísly tvořilo geometrickou posloupnost. 7.2 Existuje jedno reálné číslo, které lze vložit mezi 2 a 8 tak, aby s danými čísly tvořilo aritmetickou posloupnost. 7.3 Daná čísla tvoří tři po sobě jdoucí členy posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen an = 3n − 4. 7.4 Daná čísla tvoří po sobě jdoucí členy posloupnosti dané rekurentním vzorcem an + 1 = an + 3(n − 1); a1 = −1.
ANO NE
7.1 Označme takové číslo a. Musí tedy platit, že a je geometrickým průměrem čísel 2 a 8 a zároveň musí být 2 geometrickým průměrem čísel −1 a a. √−1 ∙ a = 2 ∧ √2 ∙ 8 = a ⇒ −a = 4 ∧ a = √16 ⇒ a = −4 ∧ a = 4. Takové číslo a neexistuje. Závěr bylo možné učinit i z faktu, že 2 je záporným násobkem −1, tedy následující člen takové posloupnosti by byl opět záporné číslo, to ovšem mezi 2 a 8 nenajdeme. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Postupujeme analogicky. Označme takové číslo a. Musí tedy platit, že a je aritmetickým průměrem čísel 2 a 8 a zároveň musí být 2 aritmetickým průměrem čísel −1 a a. –1 + a = 2 ∧ – 2 + 8 = a ⇒ −1 + a = 4 ∧ 5 = a ⇒ a = 5 ∧ a = 5. – 2 2 Jedná se o číslo 5. Tvrzení je pravdivé.
8
Maturita z matematiky • 06
B 37
7.3 Dosadíme jednotlivá čísla do vzorce pro n-tý člen a určíme n. −1 = 3n − 4 ⇒ 3 = 3n ⇒ n = 1 2 = 3n − 4 ⇒ 6 = 3n ⇒ n = 2 8 = 3n − 4 ⇒ 12 = 3n ⇒ n = 4 Čísla tvoří první, druhý a čtvrtý člen takto definované posloupnosti, nikoliv však tři po sobě jdoucí. Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Dosadíme dvojice −1 a 2 a 2 a 8 do rekurentního vztahu a určíme n. 2 = −1 + 3(n − 1) ⇒ 2 = −1 + 3n − 3 ⇒ 6 = 3n ⇒ n = 2 8 = 2 + 3(n − 1) ⇒ 8 = 2 + 3n − 3 ⇒ 9 = 3n ⇒ n = 3 Jedná se např. o druhý, třetí a čtvrtý člen dané posloupnosti. Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou daných různých přirozených čísel je roven polovině jejich součinu. Zvětšíme-li větší z čísel o 20 %, menší o 60 %, a poté je sečteme, dostaneme dvojnásobek většího. 2 body
8
Která z možností A–E určuje množinu, v níž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (5, 12) C) (4, 13) D) (5, 13) E) (12, 16) Označíme čísla a, b, pro něž platí: a > b > 0 ∧ a, b ∈ N. Sestavíme rovnice, které odpovídající zadání úlohy. I. 2(a + b) = ab II. 1,2a + 1,6b = 2a Z druhé rovnice vyjádříme b a dosadíme do rovnice první. I. 2(a + b) = ab II. b = 0,5a I. 2(a + 0,5a) = a ⋅ (0,5a) Vypočteme a. I. 3a = 0,5a2 ⇒ a(3 − 0,5a) = 0 ⇒ a = 6 Určíme b. II. b = 0,5 ⋅ 6 ⇒ b = 3 Čísla 6 a 3 leží pouze v intervalu (2, 7). Správná je možnost A. Řešení: A
Maturita z matematiky • 06
9
B 37
B 37 2 body
9
Která z možností A−E udává všechny hodnoty parametru p, pro které má rovnice x2 − px + 2x − p + 5 = 0 s neznámou x dva různé reálné kořeny, z nichž žádný není roven 0? A) p∈R B) p∈∅ C) p ∈ (−∞, 2) ∪ (5, +∞) D) p ∈ (−∞, −4) ∪ (5, +∞) E) p ∈ (−∞, −4) ∪ (4, 5) ∪ (5, +∞) Aby měla daná rovnice dva různé reálné kořeny, musí být její diskriminant kladný, zároveň však nesmí být její prostý člen roven nule, aby žádný z kořenů nebyl nulový. Určíme diskriminant rovnice. x2 − px + 2x − p + 5 = 0 ⇒ x2 + x(2 − p) + (5 − p) = 0 ⇒ D = = (2 − p)2 − 4 ∙ 1 ∙ (5 − p) = 4 − 4p + p2 − 20 + 4p = p2 − 16 > 0 ⇒ p ∈ (−∞, −4) ∪ (4, +∞) Zároveň určíme podmínku prostého členu. 5−p≠0⇒p≠5 Aby měla rovnice dva různé reálné kořeny, z nichž žádný není roven 0, musí být p ∈ (−∞, −4) ∪ (4, 5) ∪ (5, +∞). Správně je tedy možnost E.
B 37
Řešení: E
max. 4 body
10 Přiřaďte každému výrazu (10.1–10.4) množinu (A–F), která je jeho úplným definičním oborem. x−2 10.1 – x2 − 4 √x + 2 10.2 – x−2 10.3 √x + 2 − √2 − x
√
2−x 10.4 – x+2 A) 〈−2; 2〉 B) (−2; 2〉 C) R − {−2; 2} D) 〈−2; 2) ∪ (2; +∞) E) (−2; 2) ∪ (2; +∞) F) (2; +∞)
10
Maturita z matematiky • 06
B 37
10.1 x – 2 ⇒ x2 − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 ∧ x ≠ 2 ⇒ x ∈ R − {−2; 2} – x2 − 4 Řešení: C 10.2 √x + 2 ⇒ x + 2 ≥ 0 ∧ x ≠ 2 ⇒ x ≥ −2 ∧ x ≠ 2 ⇒ x ∈ 〈−2; 2) ∪ (2; +∞) – x−2 Řešení: D
10.3 √x + 2 − √2 − x ⇒ x + 2 ≥ 0 ∧ 2 − x ≥ 0 ⇒ x ≥ −2 ∧ x ≤ 2 ⇒ x ∈ 〈−2; 2〉 Řešení: A 10.4 2 − x ≥ 0 ∧ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ∈ (−2; 2〉 2 − x ⇒– √– x+2 x+2
B 37
Řešení: B
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 06
11
B 37
B 37
12
Maturita z matematiky • 06
B 37
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
12
1 bod
2
1 – 32
max. 2 body
3
44 %
max. 2 body
4 4.1 36 cm3
1 bod
4.2 8 691 mm2
1 bod
5
Y [0, 2]
1 bod
6
(x − 3)2 + 4 = x + 3 x2 − 6x + 9 + 4 = x + 3 x2 − 7x + 10 = 0 (x − 5)(x − 2) = 0 x1 = 2 ∨ x2 = 5 ⇒ y1 = 5 ∨ y2 = 8 Průsečíky grafů funkcí jsou body P1 [2; 5], P2 [5; 8]. Vzdálenost průsečíků d = |P1P2| = √(5 − 2)2 + (8 − 5)2 = = √32 + 32 = 3√2.
max. 2 body
B 37
Řešení: d = |P1P2| = 3√2
7 7.1 NE 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 NE 7.4 ANO 8
A
2 body
9
E
2 body
Maturita z matematiky • 06
13
B 37
10 10.1 C 10.2 D
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 A 10.4 B
B 37
14
Maturita z matematiky • 06
B 37
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
1 bod
2
max. 2 body
3
max. 2 body
4 4.1
1 bod
4.2
1 bod
5
1 bod
6
max. 2 body
7
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7.1 7.2
B 37
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4 8
2 body
9
2 body
Maturita z matematiky • 06
15
B 37
10 10.1 10.2
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
B 37
16
Maturita z matematiky • 06
