CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 25
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili od zákazníka 100 m dlouhý nelakovaný měděný drát o hustotě 8,96 g ∙ cm–3, který měl 0,5 cm v průměru. Odpovídající výkupní cenu určil zaměstnanec výkupny podle následujícího ceníku:
B 25
index materiálu
typ materiálu
cena za 1 kg
Cu001
Měď – plech, kusový
115 Kč
Cu002
Měď – třísky bez příměsí železa
105 Kč
Cu003
Měď – drát lakovaný
135 Kč
Cu004
Měď – drát nelakovaný, průměr méně jak 1 mm
105 Kč
Cu005
Měď – drát nelakovaný, průměr 1 mm – 2,5 mm
110 Kč
Cu006
Měď – drát nelakovaný, průměr více jak 2,5 mm
125 Kč
Cu007
Měď – granulát
115 Kč
Cu008
Měď – karmy, chladiče
100 Kč
max. 3 body
1.1 Jaká výkupní cena za 1 kg odpovídá danému typu drátu dle uvedeného ceníku? 1.2 Kolik Kč zaplatila výkupna barevných kovů zákazníkovi za výše uvedené množství drátu v souladu s uvedeným ceníkem? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Následující obrázek zobrazuje vzor prvních sedmi sloupců na začátku křížkové výšivky. Na zbytku výšivky se opakuje stejný vzor.
1 bod
2
2
Kolik křížků bude v 75. sloupci?
Maturita z matematiky • 04
B 25 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 V nové stupňovité konferenční místnosti bude v hledišti umístěno dvacet řad sedadel tak, že v nejvyšší řadě bude 50 a v každé další řadě vždy o 1 místo méně než v řadě vyšší. max. 3 body
3.1 Jakou maximální kapacitu míst k sezení bude hlediště mít? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 3.2 Kolik řad nejméně by muselo v hledišti být, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst? 1 bod
4
Pro kolik různých reálných čísel p je řešením rovnice x – px = 9 s neznámou x ∈ R jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen?
5
Určete všechny průsečíky grafu funkce f: y = 3 osou x.
2
1 bod x–2
–3
; x ∈ R se souřadnicovou
4 – 5x
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Jsou dány vektory u⃗ , v⃗ a body A, B tak, jak ukazuje obrázek.
1 bod
6
Určete reálné číslo x tak, aby platilo: A + xu⃗ + (x + 1) v⃗ = B.
Maturita z matematiky • 04
3
B 25
B 25 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V trojúhelníku ABC platí, že vnější úhel α’ u vrcholu A je ostrý. 7
2 body
Který z trojúhelníků A–E tuto vlastnost může splňovat? A) rovnostranný trojúhelník B) pravoúhlý trojúhelník s přeponou c C) pravoúhlý trojúhelník s přeponou a D) rovnoramenný trojúhelník se základnou c E) rovnoramenný trojúhelník se základnou a 2 body
8
B 25
Zkušenější pracovní tým vyhloubí jámu pro položení vodovodu za t hodin, méně zkušený za tým za m hodin. Který z výrazů A–E vyjadřuje, za kolik hodin vyhloubí jámu oba týmy společně? A) t+m 1 1 –+– B) t m C) tm tm D) – t + m tm E) 1 + – t + m VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Kamarádi hrají hru s třemi klasickými hracími kostkami s čísly 1 až 6. Jedno kolo hry probíhá tak, že napřed hodí první hráč všemi kostkami najednou, poté totéž provede druhý hráč. Vítězem kola je ten, kdo hodí větší součet na všech třech hozených kostkách dohromady. (Předpokládejte vždy situaci, kdy všechna čísla na kostkách lze po hodu dobře a jednoznačně přečíst.) max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na každé kostce sudé číslo, je 12,5 %. 9.2 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na všech kostkách šestka, je vyšší než 1 %. 9.3 Pravděpodobnost, že druhému hráči padnou právě dvě trojky, je menší, než že mu na žádné kostce trojka nepadne. 9.4 Pravděpodobnost, že v jednom kole zvítězí první hráč, je 50 %.
4
ANO NE
Maturita z matematiky • 04
B 25 max. 4 body
10
Přiřaďte každému z výrazů (10.1–10.4) množinu (A–F), která určuje jeho definiční obor.
10.1 √x2 – 9
x+3 10.2 – √x − 3 x−3 10.3 – x+3 1 1 10.4 – + – x–3 x+3
√
A) (3; +∞) B) (–∞; –3) C) 〈–3; 3〉 D) (–∞; –3) ∪ 〈3; + ∞) E) (–∞; –3〉 ∪ 〈3; + ∞) F) (–∞; –3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞)
B 25
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 04
5
B 25
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili od zákazníka 100 m dlouhý nelakovaný měděný drát o hustotě 8,96 g ∙ cm–3, který měl 0,5 cm v průměru. Odpovídající výkupní cenu určil zaměstnanec výkupny podle následujícího ceníku:
B 25
index materiálu
typ materiálu
cena za 1 kg
Cu001
Měď – plech, kusový
115 Kč
Cu002
Měď – třísky bez příměsí železa
105 Kč
Cu003
Měď – drát lakovaný
135 Kč
Cu004
Měď – drát nelakovaný, průměr méně jak 1 mm
105 Kč
Cu005
Měď – drát nelakovaný, průměr 1 mm – 2,5 mm
110 Kč
Cu006
Měď – drát nelakovaný, průměr více jak 2,5 mm
125 Kč
Cu007
Měď – granulát
115 Kč
Cu008
Měď – karmy, chladiče
100 Kč
max. 3 body
1.1 Jaká výkupní cena za 1 kg odpovídá danému typu drátu dle uvedeného ceníku? Jedná se o materiál s indexem Cu006, neboť se jedná o nelakovaný měděný drát s průměrem 5 mm, tj. více jak 2,5 mm. Odpovídající cena je 125 Kč za 1 kg materiálu. Řešení: 125 Kč
1.2 Kolik Kč zaplatila výkupna barevných kovů zákazníkovi za výše uvedené množství drátu v souladu s uvedeným ceníkem? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) Protože hustota materiálu je v g ∙ cm–3, určíme objem drátu v cm3. Drát je válec o poloměru r = 0,25 cm a výšce v = 100 m = 10 000 cm. Objem V válce vypočteme následovně: V = πr2v = (0,25 cm)2 ∙ (10 000 cm) ∙ π = 625π cm3 Určíme hmotnost drátu s hustotou ρ = 8,96 g ∙ cm–3 = 0,00896 kg ∙ cm–3. m = ρ ∙ V = (0,00896 kg ∙ cm–3) ∙ 625π cm3 = 5,6π kg Protože výkupní cena je 125 Kč za 1 kg, byla celková cena: (125 Kč ∙ kg–1) ∙ (5,6π kg) =̇ 2 199 Kč. Řešení: 2 199 Kč
6
Maturita z matematiky • 04
B 25 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Následující obrázek zobrazuje vzor prvních sedmi sloupců na začátku křížkové výšivky. Na zbytku výšivky se opakuje stejný vzor.
1 bod
2
Kolik křížků bude v 75. sloupci? Protože sloupců v základním vzoru je 7, určuje vzor ve sloupci zbytek po vydělení 7. Je-li zbytek 1, půjde o vzor v prvním sloupci, bude-li zbytek 2, bude se jednat o vzor ve sloupci druhém atd. 5 75 = 10 + – – 7 7 Protože zbytek je 5, jedná se v 75. sloupci o stejný vzor jako ve sloupci pátém. V 75. sloupci tak bude 6 křížků.
B 25
Řešení: 6
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 V nové stupňovité konferenční místnosti bude v hledišti umístěno dvacet řad sedadel tak, že v nejvyšší řadě bude 50 a v každé další řadě vždy o 1 místo méně než v řadě vyšší. max. 3 body
3.1 Jakou maximální kapacitu míst k sezení bude hlediště mít? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Problém převedeme na otázku, jaký je součet s20 prvních dvaceti po sobě jdoucích členů (n = 20) klesající aritmetické posloupnosti, v níž a1 = 50, d = –1. Pro výpočet využijeme následující vzorce pro aritmetickou posloupnost: n sn = (a1 + an ) – 2 an = a1 + (n – 1)d n ⇒ s = [2a + (n – 1)d ] – n sn = [a1 + a1 + (n – 1)d] – n 1 2 2 sn = [100 + 19 ∙ (–1)] ∙ 10 = 810 V hledišti je maximální kapacita 810 míst k sezení. Řešení: 810 míst
Maturita z matematiky • 04
7
B 25 3.2 Kolik nejméně řad by muselo v hledišti být, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst? Jedná se o tutéž posloupnost jen s tím rozdílem, že sn = 999. n = 999 sn = [2a1 + (n – 1)d ] – 2 n ⇒ 1 988 = (101 – n) n ⇒ n2 – 101n + 1 998 = 0 ⇒ 999 = [100 – n + 1] ∙ – 2 (n – 74)(n – 27) = 0 ⇒ n = 27 ∨ n = 74
Provedeme zkoušku řešení výpočtem an. a27 = 50 + 27 ∙ (–1) = 23 a74 = 50 + 73 ∙ (–1) = –23 < 0 V hledišti musí být nejméně 27 řad, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst. Řešení: 27 řad
1 bod
B 25
4
Pro kolik různých reálných čísel p je řešením rovnice x – px = 9 s neznámou x ∈ R jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen? 2
Jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen má kvadratická rovnice právě tehdy, když její diskriminant D je roven 0. Určíme D pro zadanou rovnici, kterou upravíme do normovaného tvaru x2 – px – 9 = 0. D = (–p)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–9) = p2 + 36 > 0 Protože diskriminant D je kladný, žádné takové p neexistuje. Řešení: 0 (žádný)
1 bod
5
Určete všechny průsečíky grafu funkce f: y = 3 osou x.
x–2
–3
; x ∈ R se souřadnicovou
4 – 5x
Průsečík grafu P[x; 0] funkce f se souřadnicovou osou x určíme tak, že řešíme rovnici 3x – 2 – 34 – 5x = 0 ⇒ 3x – 2 = 34 – 5x ⇒ x – 2 = 4 – 5x ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1 ⇒ P[1; 0] Graf funkce f protíná souřadnicovou osu x v bodě [1; 0]. Řešení: [1; 0]
8
Maturita z matematiky • 04
B 25 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Jsou dány vektory u⃗ , v⃗ a body A, B tak, jak ukazuje obrázek.
1 bod
6
Určete reálné číslo x tak, aby platilo: A + xu⃗ + (x + 1) v⃗ = B.
Z kartézské soustavy souřadnic na obrázku vyčteme, že u⃗ = (–2; 2), v⃗ =(3; 1), A[–2; –1], B[3; 6]. Získané údaje dosadíme do vztahu. [–2; –1] + x(–2; 2) + (x + 1)(3; 1) = [3; 6] Porovnáme první (I.) a druhé (II.) souřadnice: I: –2 – 2x + 3x + 3 = 3 II: –1 + 2x + x + 1 = 6 Aby měla soustava řešení, musí hledané x být řešením obou rovnic (I. a II.). Takovým řešením je x = 2. Řešení lze nalézt i z obrázku:
Řešení: x = 2
Maturita z matematiky • 04
9
B 25
B 25 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V trojúhelníku ABC platí, že vnější úhel α’ u vrcholu A je ostrý. 7
2 body
Který z trojúhelníků A–E tuto vlastnost může splňovat? A) rovnostranný trojúhelník B) pravoúhlý trojúhelník s přeponou c C) pravoúhlý trojúhelník s přeponou a D) rovnoramenný trojúhelník se základnou c E) rovnoramenný trojúhelník se základnou a Jestliže vnější úhel α’ u vrcholu A je ostrý, je vnitřní úhel α u vrcholu A tupý. Tupoúhlý trojúhelník nemůže mít všechny strany stejně dlouhé (všechny vnitřní úhly mají velikost 60°) ani nemůže být pravoúhlý, neboť největší vnitřní úhel se nachází proti přeponě a je pravý, žádný jiný vnitřní úhel už nemůže mít proto větší velikost. V úvahu přichází pouze rovnoramenné trojúhelníky. Protože vnitřní úhly při základně takového trojúhelníku jsou shodné a hlavně ostré, tupý může být pouze vnitřní úhel proti základně. Základnou tak musí být strana proti úhlu α, tedy strana a. Správná je možnost E.
B 25
Řešení: E
2 body
8
Zkušenější pracovní tým vyhloubí jámu pro položení vodovodu za t hodin, méně zkušený za tým za m hodin. Který z výrazů A–E vyjadřuje, za kolik hodin vyhloubí jámu oba týmy společně? A) t+m 1 1 –+– B) t m C) tm tm D) – t + m tm E) 1 + – t + m Dle zadání sestavíme orientační tabulku: tým
doba práce
díl práce za 1 hodinu díl práce za x hodin
zkušenější
t hodin
1 – t
x – t
méně zkušený
m hodin
1 – m
x – m
společně
x hodin
1
Z posledního sloupce určíme rovnici: x +– x = 1 ⇒ xm + xt = tm ⇒ x(m + t) = tm ⇒ x = – tm – t m t+m Správná je tedy možnost D. Řešení: D
10
Maturita z matematiky • 04
B 25 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Kamarádi hrají hru s třemi klasickými hracími kostkami s čísly 1 až 6. Jedno kolo hry probíhá tak, že napřed hodí první hráč všemi kostkami najednou, poté totéž provede druhý hráč. Vítězem kola je ten, kdo hodí větší součet na všech třech hozených kostkách dohromady. (Předpokládejte vždy situaci, kdy všechna čísla na kostkách lze po hodu dobře a jednoznačně přečíst.) max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na každé kostce sudé číslo, je 12,5 %. 9.2 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na všech kostkách šestka, je vyšší než 1 %. 9.3 Pravděpodobnost, že druhému hráči padnou právě dvě trojky, je menší, než že mu na žádné kostce trojka nepadne. 9.4 Pravděpodobnost, že v jednom kole zvítězí první hráč, je 50 %.
ANO NE
B 25
9.1 Celkový počet možností, že padne na jedné kostce sudé číslo je 0,5, pravděpodobnost, že padne na všech třech kostkách je P = 0,53 = 0,125, tj. 12,5 %. Tvrzení je pravdivé. 9.2 1 , pravděpodobnost, že padne na všech Pravděpodobnost, že padne hráči šestka na jedné kostce je – 6 3 1 =– 100 % < 1 %. 1 , tj. – kostkách je P = – 6 216 216 Tvrzení je nepravdivé.
( )
9.3 1 , že trojka nepadne je – 5. Pravděpodobnost, že na kostce padne trojka, je – 6 6 Porovnáme pravděpodobnosti P1, že hráči padnou právě dvě trojky, a P2, že hráči na žádné kostce trojka nepadne. Aby hráči padly právě dvě trojky, musí nastat na kostkách následující situace: Trojky padnou na prvních dvou kostkách, na první a třetí, nebo na druhé a třetí. Zbylé číslo trojka být nesmí. Pravděpodobnost, že padnou právě dvě trojky, tedy spočteme jako součet tří součinů. 1 ∙– 1 ∙– 5 +– 1 ∙– 5 ∙– 1 +– 5 ∙– 1 ∙– 1 =– 15 P1 = – 6 6 6 6 6 6 6 6 6 216 5 3= – 125 . Pravděpodobnost, že hráči nepadne žádná trojka, je P2 = – 6 216 Z toho vyplývá P1 < P2. Tvrzení je pravdivé.
( )
9.4 Při jednom kole mohou nastat tři možnosti, vyhraje 1. hráč, vyhraje 2. hráč (oba mají stejnou pravděpodobnost, že vyhrají) a že bude remíza. Z toho plyne, že pravděpodobnost vítězství jednoho z hráčů musí být menší než 50 %. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, NE
Maturita z matematiky • 04
11
B 25 max. 4 body
10
Přiřaďte každému z výrazů (10.1–10.4) množinu (A–F), která určuje jeho definiční obor.
10.1 √x2 – 9
x+3 10.2 – √x − 3 x−3 10.3 – x+3 1 1 10.4 – + – x–3 x+3
√
B 25
A) (3; +∞) B) (–∞; –3) C) 〈–3; 3〉 D) (–∞; –3) ∪ 〈3; + ∞) E) (–∞; –3〉 ∪ 〈3; + ∞) F) (–∞; –3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞)
10.1 x2 – 9 ≥ 0 ⇒ (x – 3)(x + 3) ≥ 0 ⇒ x ∈ (–∞; –3〉 ∪ 〈3; +∞) Řešení: E
10.2 x – 3 > 0 ⇒ x > 3 ⇒ x ∈ (3; +∞) Řešení: A
10.3 – x − 3 ≥ 0 ∧ x ≠ –3 x + 3 x–3 x+3 – x−3 x + 3
x ∈ (–∞, –3)
x ∈ (–3, 3〉
x ∈ 〈3, +∞)
+
–
+
–
–
–
+
+
+
x ∈ (–∞; –3) ∪ 〈3; +∞) Řešení: D
10.4 x – 3 ≠ 0 ∧ x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 ∧ x ≠ –3 ⇒ x ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; 3) ∪ (3; +∞) Řešení: F
KONEC TESTU
12
Maturita z matematiky • 04
B 25
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1 125 Kč
1 bod
1.2 2 199 Kč
max. 2 body
2
6
1 bod
Problém převedeme na otázku, jaký je součet s20 prvních dvaceti po sobě jdoucích členů (n = 20) klesající aritmetické posloupnosti, v níž a1 = 50, d = –1. Pro výpočet využijeme následující vzorce pro aritmetickou posloupnost: n sn = (a1 + an ) – 2 an = a1 + (n – 1)d
max. 2 body
B 25
3 3.1
n ⇒ s = [2a + (n – 1)d ] – n sn = [a1 + a1 + (n – 1)d] – n 1 2 2 sn = [100 + 19 ∙ (–1)] ∙ 10 = 810 V hledišti je maximální kapacita 810 míst k sezení. Řešení: 810 míst
3.2 27 řad
1 bod
4
0 (žádný)
1 bod
5
[1; 0]
1 bod
6
x=2
1 bod
7
E
2 body
8
D
2 body
Maturita z matematiky • 04
13
B 25
9 9.1 ANO 9.2 NE
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
9.3 ANO 9.4 NE 10 10.1 E 10.2 A 10.3 D
B 25
10.4 F
14
Maturita z matematiky • 04
B 25
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3.1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
max. 2 body
2
1 bod
B 25
3 3.1
max. 2 body
3.2
1 bod
4
1 bod
5
1 bod
6
1 bod
7
2 body
8
2 body
Maturita z matematiky • 04
15
B 25
9 9.1 9.2
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
9.3 9.4 10 10.1 10.2 10.3
B 25
10.4
16
Maturita z matematiky • 04
