CVIČNÝ TEST 23 Mgr. Kateřina Nováková
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 23
I. CVIČNÝ TEST max. 2 body
1 Určete nulové body následujících výrazů. 1.1 V(a) = 9a – 27 ∙ 3a; a ∈ R 1.2 V(b) = log216 + 2 log2(1 – b); b ∈ (–∞; 1) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2
B 23
Ve hře Sportka sázející tipuje 6 čísel ze 49, přičemž se každou středu a neděli losuje 6 čísel ze 49. Ve hře Šťastných 10 sázející tipuje 1 až 10 čísel z 80, přičemž se každý den losuje 10 čísel z 80. Jan a Petr spolu vyplnili sázenky na nedělní tah. Jan si vsadil ve hře Sportka a zakřížkoval 6 čísel v jednom sloupečku sázenky. Petr si zase vsadil ve hře Šťastných 10 a zakřížkoval 10 čísel v jednom sloupečku sázenky. 1 bod
2
Kdo z dvojice Jan, Petr má větší pravděpodobnost, že uhodne ve své loterii právě polovinu z tažených čísel?
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 3 Na číselné ose je obraz racionálního čísla A = –. 2
3
2 Křížkem vyznačte na číselné ose obraz racionálního čísla B = –. 3
4
2 Určete maximální definiční obor iracionálního výrazu V(x) = – – 1. x
2
√
1 bod
1 bod
Maturita z matematiky • 03
B 23 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 K jednomu rohu ohrady čtvercového výběhu je provazem přivázaná koza. K protějšímu rohu výběhu pak je provazem přivázán kozel. Délka jejich provazů je stejná, přičemž se oba dostanou nejdále přesně do středu výběhu.
max. 2 body
5
Jakou část výběhu koza a kozel spasou dohromady? (Zanedbejte dobu pasení i růst trávy. Výsledek uveďte v celých procentech.) V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Poločasem přeměny rozumíme dobu, za kterou se přemění polovina z původního počtu jader ve vzorku. Pro konkrétní izotop je konstantní. Např. poločas přeměny francia 223Fr je přibližně 20 minut, což znamená, že za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny z poloviny původního počtu jader atd. max. 2 body
3 6.1 Za jak dlouho se přemění – původního počtu jader ve vzorku? 4 6.2 Jakou hmotnost bude mít francium 223Fr po 2 hodinách, jestliže hmotnost původního vzorku byla 150 g? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny g.)
Maturita z matematiky • 03
3
B 23
B 23 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán graf kvadratické funkce (viz obrázek).
2 body
B 23
7 Které z následujících kvadratických funkcí patří tento graf? A) y = (x – 1)2 + 4 B) y = 4 – (x – 1)2 C) y = (x + 1)(x – 3) D) y = (1 – x)(3 + x) E) y = 3 – 2x – x2 max. 2 body
8
Je dán vektor u⃗ = (1; –3). Rozhodněte o každém tvrzení (8.1–8.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
8.1 Vektor v⃗ = (9; 3) je vektor kolmý k vektoru u⃗ . 1 8.2 Násobkem vektoru u⃗ je vektor w ⃗ = ––;1 . 3 8.3 Vektor u⃗ je směrovým vektorem přímky p: x – 3y + 2 = 0. ⃗ kde A[–1; 4], B[–2; 1]. 8.4 Pro vektor u⃗ platí: u⃗ = AB,
(
4
)
ANO NE
Maturita z matematiky • 03
B 23 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9
y−1 y+1 y Pro y ∈ R ∖ {–2; 0; 2} je dán lomený výraz: V(y) = – – – : –2 . y–2 y+2 8 + 2y 9
(
)
1 ? Která z možností představuje hodnotu výrazu pro y = – – 2 238 A) –– 15 B) –14 C) – 4 D) 4 E) 14
2 body
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10
B 23
Do krychle o délce hrany a = 12 cm je vepsán válec o maximálním objemu (viz obrázek).
max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
Přiřaďte každé z ploch (10.1–10.4) jeden z obsahů zaokrouhlených na celé cm2 (A–F). podstava krychle plášť krychle podstava válce plášť válce
A) B) C) D) E) F)
113 cm2 144 cm2 226 cm2 452 cm2 576 cm2 864 cm2
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 03
5
B 23
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ max. 2 body
1 Určete nulové body následujících výrazů. 1.1 V(a) = 9a – 27 ∙ 3a; a ∈ R
Nulový bod výrazu je taková hodnota proměnné, ve které má výraz obsahující tuto proměnou nulovou hodnotu. Nulový bod hledáme tak, že výraz položíme roven nule a řešíme rovnici, která tak vznikne.
⏟ 9a – 2⏟7 ∙ 3a = 0 ⇒ (32)a = 33 ∙ 3a ⇒ 32a = 33 + a ⇒ a = 3 32 33 Řešení: a = 3
B 23
1.2 V(b) = log216 + 2 log2(1 – b); b ∈ (–∞; 1)
log216 + 2 log2(1 – b) = 0 ⇒ 2 log2(1 – b) = –log224 ⇒ 2 log2(1 – b) = –4 ⇒ log2(1 – b) = –2 ⇒ 1 – b = 2–2 3 ⇒b=– 4
3 Řešení: b = – 4
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Ve hře Sportka sázející tipuje 6 čísel ze 49, přičemž se každou středu a neděli losuje 6 čísel ze 49. Ve hře Šťastných 10 sázející tipuje 1 až 10 čísel z 80, přičemž se každý den losuje 10 čísel z 80. Jan a Petr spolu vyplnili sázenky na nedělní tah. Jan si vsadil ve hře Sportka a zakřížkoval 6 čísel v jednom sloupečku sázenky. Petr si zase vsadil ve hře Šťastných 10 a zakřížkoval 10 čísel v jednom sloupečku sázenky. 1 bod
2
Kdo z dvojice Jan, Petr má větší pravděpodobnost, že uhodne ve své loterii právě polovinu z tažených čísel? m , kde n je počet všech výsledků náhodného pokusu Pravděpodobností jevu A rozumíme číslo P(A) = – n a m je počet výsledků příznivých jevu A. Ve hře Sportka je tažených 6 čísel ze 49, jedná se o kombinace bez opakování, protože na pořadí taže49 ných čísel nezáleží a nevrací se zpět do osudí, tj. n = C6(49) = . 6 Situace, ve které Jan uhodne polovinu tažených čísel, tedy 3 čísla z 6 výherních, znamená, že zbylá 3 nevýherní čísla jsou ze 43, protože 43 = 49 – 6. Opět se jedná o kombinace bez opakování, protože na pořadí při tipování čísel nezáleží a jedno číslo lze tipnout pouze jednou, navíc využijeme kombina6 43 torické pravidlo o součinu, tj. m = C3(6) ∙ C3(43) = ∙ . 3 3
( )( )
6
( )
Maturita z matematiky • 03
B 23
6 43 ∙( ) ( ) 3 3 m = P(A) = – =̇ 0,0177 49 n ( 6 )
Ve hře Šťastných 10 je tažených 10 čísel z 80, tj. n’ = C10 (80) =
. ( 80 10 )
Situace, ve které Petr uhodne polovinu tažených čísel, tedy 5 čísel z 10 výherních, znamená, že zbylých 10 70 5 nevýherních čísel je z 70, protože 70 = 80 – 10, tj. m’ = C5 (10) ∙ C5 (70) = ∙ . 5 5 10 70 ∙ 5 m’ = 5 =̇ 0,0019 P(B) = – 80 n’ 10 0,0177 > 0,0019
( )( ) ( )
( )( )
Větší pravděpodobnost, že ve své loterii uhodne právě polovinu z tažených čísel, má Jan. Řešení: Jan
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3
B 23
3 Na číselné ose je obraz racionálního čísla A = –. 2
3
2 Křížkem vyznačte na číselné ose obraz racionálního čísla B = –. 3
1 bod
3 odpovídá na číselné ose 18 dílům. A = – 3 =– 18 , což znamená, že na 1 díl připadá Obraz čísla A = – 2 2 12 1 . Obraz čísla B = – 2 =– 8 tedy na číselné ose odpovídá 8 dílům. – 12 3 12
Řešení:
4
√
2 Určete maximální definiční obor iracionálního výrazu V(x) = – – 1. x
Maturita z matematiky • 03
1 bod
7
B 23
Určíme podmínky, za nichž má výraz V(x) smysl, neboť maximální definiční obor výrazu V(x) jsou všechny přípustné hodnoty proměnné x. 2 – 1 ≥ 0 ⇒– 2–x ≥0 x≠0∧– x x 2–x x – 2−x x
x ∈ (–∞; 0)
x ∈ (0; 2〉
x ∈ 〈2, +∞)
–
+
–
+ –
+
+
–
+
Maximálním definičním oborem jsou x ∈ (0; 2〉. Řešení: x ∈ (0; 2〉
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5
B 23
K jednomu rohu ohrady čtvercového výběhu je provazem přivázaná koza. K protějšímu rohu výběhu pak je provazem přivázán kozel. Délka jejich provazů je stejná, přičemž se oba dostanou nejdále přesně do středu výběhu.
max. 2 body
5
Jakou část výběhu koza a kozel spasou dohromady? (Zanedbejte dobu pasení i růst trávy. Výsledek uveďte v celých procentech.) V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. u , kde u je úhlopříčka ve čtverci, Koza i kozel spásají plochu tvaru čtvrtkruhu o poloměru r = – 2 tj. u = a√2. a√2 2= 1π – 1π – 1 πr2 = – u 2= – Celková spásaná plocha má tedy tvar půlkruhu o obsahu S = – 2 2 2 2 2 a2 ∙ 2 = – 1 πa2. 1 π– =– 1 πa2 4 2 4 – 1 π =̇ 0,79, tj. 79 %. 4 2 2 Má-li celý výběh plochu a , pak spásaná část –πa tvoří =– 2 4 4 a Koza s kozlem spasou cca 79 % výběhu.
( )
(
)
Řešení: 79 %
8
Maturita z matematiky • 03
B 23 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Poločasem přeměny rozumíme dobu, za kterou se přemění polovina z původního počtu jader ve vzorku. Pro konkrétní izotop je konstantní. Např. poločas přeměny francia 223Fr je přibližně 20 minut, což znamená, že za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny z poloviny původního počtu jader atd. 3 6.1 Za jak dlouho se přemění – původního počtu jader ve vzorku? 4
max. 2 body
Za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve 3 vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, což je čtvrtina původního počtu jader, a tedy – 4 původního počtu jader ve vzorku se za tu dobu rozpadnou. 3 původního počtu jader ve vzorku se přemění za 40 minut. – 4
B 23
Řešení: 40 minut
6.2 Jakou hmotnost bude mít francium 223Fr po 2 hodinách, jestliže hmotnost původního vzorku byla 150 g? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny g.) 1. Radioaktivní přeměna představuje geometrickou posloupnost, kde a1 = 150 g a q = – 2 Jestliže první člen této posloupnosti a1 = 150 g je hmotnost původní vzorku (t = 0 min), pak hmotnost vzorku v čase t = 2 h = 120 min je sedmý člen (dojde k šesti „přeměnám“). 1 6 =̇ 2,3 a7 = a1 ∙ q6 = 150 ∙ – 2 Po dvou hodinách bude mít francium 223Fr hmotnost cca 2,3 g. Řešení: 2,3 g
( )
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán graf kvadratické funkce (viz obrázek).
Maturita z matematiky • 03
9
B 23 2 body
7 Které z následujících kvadratických funkcí patří tento graf? A) y = (x – 1)2 + 4 B) y = 4 – (x – 1)2 C) y = (x + 1)(x – 3) D) y = (1 – x)(3 + x) E) y = 3 – 2x – x2 Jestliže grafem kvadratické funkce je konkávní parabola s vrcholem v bodě V[1; 4], jejíž průsečíky se souřadnicovými osami jsou body Py[0; 3], Px1[–1; 0], Px2[3; 0], může její předpis vypadat takto: y = a(x – 1)2 + 4, takto: y = a(x + 1)(x – 3) nebo takto: y = ax2 + bx + 3, přičemž a < 0. Jestliže funkce s předpisem y = a(x – 1)2 + 4 prochází bodem Py[0; 3], lze vypočítat hodnotu parametru a: 3 = a(0 – 1)2 + 4 ⇒ 3 = a + 4 ⇒ a = –1. Předpisy y = (1 – x)(3 + x) a y = 3 – 2x – x2 = –(x2 + 2x – 3) = –(x + 3)(x – 1) odpovídají grafu, jehož průsečíky se souřadnicovou osou x jsou v bodech Px1[–3; 0], Px2[1; 0]. V předpisech y = (x – 1)2 + 4 a y = (x + 1)(x – 3) je a = 1 > 0. Správná možnost je B. Řešení: B
B 23
max. 2 body
8
Je dán vektor u⃗ = (1; –3). Rozhodněte o každém tvrzení (8.1–8.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE
8.1 Vektor v⃗ = (9; 3) je vektor kolmý k vektoru u⃗ . 1 8.2 Násobkem vektoru u⃗ je vektor w ⃗ = ––;1 . 3 8.3 Vektor u⃗ je směrovým vektorem přímky p: x – 3y + 2 = 0. ⃗ kde A[–1; 4], B[–2; 1]. 8.4 Pro vektor u⃗ platí: u⃗ = AB,
(
)
8.1 Vektory u⃗ , v⃗ jsou na sebe kolmé, jestliže jejich skalární součin je roven nule, tj. u⃗ ∙ v⃗ = 0. u⃗ ∙ v⃗ = u1 ∙ v1 + u2 ∙ v2 = 1 ∙ 9 + (–3) ∙ 3 = 9 – 9 = 0 Tvrzení je pravdivé. 8.2 Vektor w ⃗ je násobkem vektoru u⃗ , jestliže platí: w ⃗ = k ∙ u⃗ . 1 1 1 w ⃗ = ––; 1 = –– ∙ (1; –3) = ––u⃗ 3 3 3 Tvrzení je pravdivé.
(
)
8.3 Z obecné rovnice přímky p: x – 3y + 2 = 0 vyplývá, že vektor u⃗ = (1; –3) je jejím normálovým vektorem, nikoliv vektorem směrovým. Tvrzení je nepravdivé. 8.4 ⃗ platí: AB ⃗ = B – A = (–1; –3) ≠ u⃗ . Jsou-li dány body A[–1; 4], B[–2; 1], pak pro vektor AB Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, NE
10
Maturita z matematiky • 03
B 23 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9
y−1 y+1 y Pro y ∈ R ∖ {–2; 0; 2} je dán lomený výraz: V(y) = – – – : –2 . y–2 y+2 8 + 2y 9
(
)
1 ? Která z možností představuje hodnotu výrazu pro y = – – 2 238 A) –– 15 B) –14 C) – 4 D) 4 E) 14
2 body
Vypočítat hodnotu výrazu je možné dvěma způsoby, buď dosadit za proměnnou příslušnou hodnotu a vypočítat číselný výraz, nebo algebraický výraz upravit a zjednodušit, a teprve poté dosadit za proměnnou příslušnou hodnotu.
(
B 23
)
8 – 2y2 y–1 y+1 y (y – 1)(y +– 2) – (y + – 1)(y – 2) – V(y) = – – – : – ∙ = =– 2 y–2 y+2 8 – 2y (y – 2)(y + 2) y 2(2 – y)(2– + y) y2 + y – 2– – y2 + y + 2 – 2y – – –2(y – 2)(y– + 2) ∙ = – 4 =– =– ∙ (y – 2)(y + 2) y (y – 2)(y + 2) y Zjednodušením jsme zjistili, že pro všechna y ∈ R ∖ {–2; 0; 2} platí: V(y) = – 4. Správná možnost je tedy C. Řešení: C
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Do krychle o délce hrany a = 12 cm je vepsán válec o maximálním objemu (viz obrázek).
Maturita z matematiky • 03
11
B 23 max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
Přiřaďte každé z ploch (10.1–10.4) jeden z obsahů zaokrouhlených na celé cm2 (A–F). podstava krychle plášť krychle podstava válce plášť válce
A) B) C) D) E) F)
113 cm2 144 cm2 226 cm2 452 cm2 576 cm2 864 cm2 10.1 Podstavou krychle je čtverec o straně a = 12 cm, jehož obsah je S = a2 = (12 cm)2 = 144 cm2. Správná možnost je B.
B 23
10.2 Pláštěm krychle je obdélník o rozměrech a = op = 4a = 48 cm a b = v = a = 12 cm, jehož obsah je S = ab = (48 cm) ∙ (12 cm) = 576 cm2. Správná možnost je E. 10.3 a = 6 cm, jehož obsah je S = πr2 = π(6 cm)2 = 36π cm2 =̇ Podstavou válce je kruh o poloměru r = – 2 =̇ 113 cm2. Správná možnost je A. 10.4 Pláštěm válce je obdélník o rozměrech a = op = 2πr = 12π cm a b = v = a = 12 cm, jehož obsah je S = ab = (12π cm) ∙ (12 cm) = 144π cm2 =̇ 452 cm2. Správná možnost je D. Řešení: B, E, A, D
KONEC TESTU
12
Maturita z matematiky • 03
B 23
III. KLÍČ
Tabulka úspěšnosti
1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1 a = 3
1 bod
3 1.2 b = –
1 bod
4
2
Jan
1 bod
3
4 5
1 bod
x ∈ (0; 2〉
B 23
1 bod
Koza i kozel spásají plochu tvaru čtvrtkruhu o poloměru u , kde u je úhlopříčka ve čtverci, r=– 2 tj. u = a√2.
max. 2 body
Celková spásaná plocha má tedy tvar půlkruhu o obsahu a√2 2= – a2 ∙ 2 = – 1 πa2. 1π – 1π – 1 π– u 2= – 1 πr2 = – S=– 2 4 2 2 2 2 2 4 1 πa2 tvoří Má-li celý výběh plochu a2, pak spásaná část – 4 1 πa2 – π 4 = – =̇ 0,79, tj. 79 %. 4 a2 Koza s kozlem spasou cca 79 % výběhu.
( )
(
)
Řešení: 79 %
6
7
6.1 40 minut
1 bod
6.2 2,3 g
1 bod
B
2 body
8 8.1 ANO 8.2 ANO 8.3 NE 8.4 NE
Maturita z matematiky • 03
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
13
B 23 9
C
10 10.1 B 10.2 E 10.3 A 10.4 D
2 body max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 23
14
Maturita z matematiky • 03
B 23
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
1 bod
2
1 bod
3
1 bod
4
1 bod
5
max. 2 body
B 23
6 6.1
1 bod
6.2
1 bod
7
2 body
8 8.1 8.2 8.3 8.4
Maturita z matematiky • 03
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
15
B 23 9
2 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 23
16
Maturita z matematiky • 03
