CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 19 21
B 12
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nebo 9, každé písme no jinou. S jejich pomocí vytvoříme čtyřciferné číslo A9CD a dvojciferné číslo CA. Pro jejich součet platí: A9CD + CA – 2050
max. 2 body
B 12
1
Určete číslo D. max. 2 body
| x – 4 | 2 Pro x ∈ (2, 4) a celé číslo C platí:– = C. | 2 – x | – 2 Určete číslo C. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Bazén lze plnit dvěma čerpadly. Jedním čerpadlem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. max. 4 body
3 3.1 Za jak dlouho by se bazén naplnil oběma čerpadly současně? 3.2 Za jak dlouho by se bazén naplnil, kdyby bylo napřed v provozu jen druhé čerpadlo a za 5 hodin by bylo zapojeno i čerpadlo první? max. 2 body
4
2
Jakému číslu je roven součet všech reálných kořenů rovnice x – 7x – 18 = 0? 4
2
Maturita z matematiky • 01
B 12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Jsou dány body A, B, …, T uspořádané do pravoúhlé mřížky tak, že každé dva sousední body jsou od sebe stejně vzdáleny.
B 12 max. 4 body
5 5.1 Určete, pro kolik bodů mřížky platí |AI| = √ |AX|2 + |IX|2 , kde X je libovolný bod mřížky. 5.2 Určete S obsah čtyřúhelníku APQI, je-li vzdálenost dvou sousedních bodů mřížky 3 cm. max. 2 body
6
Určete pro libovolné x ∈ R hodnotu výrazu (sin x + cos x) – 2 sin x cos x. 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána aritmetická posloupnost 5, 8, 11, 14,… max. 4 body
7 7.1 Kolik nejméně po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním členem počínaje) je třeba sečíst, aby jejich součet byl větší než 390? 7.2 Pro určitý člen an této posloupnosti platí: 3an – 1 + 2an + 1 = 157. Určete hodnotu takového členu an.
Maturita z matematiky • 01
3
B 12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Třídní učitel kontroluje seznam žáků a jejich předběžné přihlášky k maturitní zkoušce. Ve třídě si jako druhý maturitní předmět v rámci profilové zkoušky zvolí 12 žáků matematiku, 5 žáků dějepis, 6 žáků biologii a 5 žáků chemii. U studenta Novotného a studentky Hůlkové ale třídnímu učiteli chybí údaje. Ten si je ale jist, že ze všech žáků třídy si pětina vybrala děje pis, že student Novotný nematuruje z dějepisu, a dokonce si vzpomíná, že student Novotný říkal: „Kdyby nám do třídy přišli ještě dva studenti a maturovali z téhož předmětu jako já, tak by z toho předmětu maturovala čtvrtina celé třídy.“ max. 4 body
8 8.1 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky studentka Hůlková? 8.2 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky student Novotný?
B 12
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány body A [–2; 3], B [0; –3], C [3; 5]. max. 3 body
9 9.1 Určete souřadnici y bodu P [3; y] tak, aby bod P ležel na přímce AB. 9.2 Určete bod D v rovině tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Nádrž na vodu má tvar kolmého hranolu se čtvercovou podstavou, ve kterém je poměr ob sahů podstavy a boční stěny 3 : 4. Objem hranolu je 288 m3. 4 body
10 10.1 Jaký je obsah čtvercového dna nádrže? A) 12 m2 B) 16 m2 C) 32 m2 D) 36 m2 E) 64 m2 10.2 O kolik cm klesne výška vody v nádrži, ubyde-li v nádrži 144 hl vody? A) 5 cm B) 7,6 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 76 cm 4
Maturita z matematiky • 01
B 12 2 body
p–2 x 11 Pro která reálná čísla p platí, že funkce f: y = – je rostoucí exponenciální 3–p funkcí? A) p ∈ (–∞; 2) B) p ∈ (2; 3) 5 C) p ∈ –; 3 2 5 D) p ∈ –; +∞ 2 E) p ∈ (3; +∞)
(
)
( ) ( )
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 12 Je dána kvadratická funkce f (viz obrázek).
B 12
max. 2 body
12
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Funkce f je sudá. 2 12.2 Funkce f má předpis f: y = x – 2x – 15. 2 12.3 Funkce f má předpis f: y = (x – 1) . 12.4 Funkce f je kladná pro každé x > 0. KONEC TESTU Maturita z matematiky • 01
5
B 12
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nebo 9, každé písme no jinou. S jejich pomocí vytvoříme čtyřciferné číslo A9CD a dvojciferné číslo CA. Pro jejich součet platí: A9CD + CA – 2050
max. 2 body
B 12
1
Určete číslo D. Protože číslo A9CD má v řádu stovek 9, číslo CA má v řádu stovek 0 a po jejich sečtení má vyjít 0, je jasné, že: 1. číslo 2, které má výsledný součet v řádu tisíců, vznikne jako součet 1 a čísla A, tj. A = 2 – 1 = 1. 2. součet číslic C, které mají obě čísla řádu desítek, je číslo větší než 10. Tedy pro součty v řádech jednotek a desítek plyne: D + A = 0 ∧ C + C =15 nebo D + A = 10 ∧ C + C = 14. První vztah evidentně neplatí, neboť C ∈ N, tedy 2C musí být sudé číslo, platí proto vztah druhý, z něhož plyne, že C = 7. Z něj vypočteme hodnotu číslice D. D + 1 = 10 ⟹ D = 9 Provedeme zkoušku: 1979 + 71 – 2050 Řešení: D = 9
6
Maturita z matematiky • 01
B 12 max. 2 body
| x – 4 | 2 Pro x ∈ (2, 4) a celé číslo C platí:– = C. | 2 – x | – 2 Určete číslo C. Protože x ∈ (2, 4), odstraníme absolutní hodnoty z výrazu na levé straně rovnice takto: x > 2 ⟹ |2 – x| = x – 2 x < 4 ⟹ |x – 4| = 4 – x Rovnice proto upravíme: 4 – x –= C (x – 2) – 2 Rovnici vyřešíme: – 4 – x = C x–4 C = –1
B 12
Řešení: C = –1
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Bazén lze plnit dvěma čerpadly. Jedním čerpadlem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. max. 4 body
3 3.1 Za jak dlouho by se bazén naplnil oběma čerpadly současně? Zapíšeme si zadání úlohy do tabulky: za 1 hodinu naplní 1 – 1. čerpadlo 20 1 – 2. čerpadlo 30 x x Sestavíme rovnici: – + – = 1 20 30 x x Rovnici vyřešíme: – + – = 1 / ∙ 60 20 30 3x + 2x = 60 5x = 60 x = 12 hodin Bazén se naplní za 12 hodin.
za x hodin naplní x – 20 x – 30
Řešení: 12 hodin
Maturita z matematiky • 01
7
B 12 3.2 Za jak dlouho by se bazén naplnil, kdyby bylo napřed v provozu jen druhé čerpadlo a za 5 hodin by bylo zapojeno i čerpadlo první? Rovnici upravíme takto: x x – 5 – – = 1 / ∙ 60 + 30 20 A vyřešíme: x – x – 5 – = 1 / ∙ 60 + 30 20 3(x – 5) + 2x = 60 3x – 15 + 2x = 60 5x = 75 x = 15 hodin Bazén by se naplnil za 15 hodin.
B 12
Řešení: 15 hodin
max. 2 body
4
Jakému číslu je roven součet všech reálných kořenů rovnice x – 7x – 18 = 0? 4
2
Rovnici můžeme řešit například následovně: Zavedeme novou proměnnou y, pro kterou platí: 0 ≤ y = x2, tj. x4 = y2, a rovnici vyjádříme takto: y2 – 7y – 18 = 0. Rozložíme kvadratický trojčlen na součin kořenových činitelů a určíme kořeny rov nice: (y – 9)(y + 2) = 0 ⇒ y1 = 9 ∨ y2 = –2. Kořen y2 < 0 a odporuje podmínce. Řešením je tedy jen kořen y1 = 9. Nyní se vrátíme k původní proměnné x a určíme její hodnotu. y = 9 ⇒ x1,2 = ±3 Součet kořenů je tedy 0. Řešení: 0
8
Maturita z matematiky • 01
B 12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Jsou dány body A, B, …, T uspořádané do pravoúhlé mřížky tak, že každé dva sousední body jsou od sebe stejně vzdáleny.
B 12 max. 4 body
5 5.1 Určete, pro kolik bodů mřížky platí |AI| = √ |AX|2 + |IX|2 , kde X je libovolný bod mřížky. |AI| = √|AX|2 + |IX|2 bude určitě splněn pro body A a I. Vztah lze chápat i jako Pythagorovu větu pro přeponu AI a odvěsny AX a IX. Hledáme tedy dále třetí vrchol pravoúhlého trojúhelníka, jehož přepona je úseč ka AI. Načrtneme-li nad úsečkou AI Thaletovu kružnici, je evidentní, že přicházejí v úvahu pouze body F, L, M a D.
Maturita z matematiky • 01
9
B 12
Pro ověření bychom samozřejmě měli spočítat, že pro každý bod platí Pythagoro va věta. Protože je mřížka kolmá, body F a D vztah splňují, a určíme z něj délku úsečky AI. |AI| = √1 + 9 = √10 Nyní ověříme platnost vztahu pro body L a M. Pro bod M: |MI| = √|MN|2 + |MH|2 = √2 |AM| = 2|MI| = 2√2 = √8 |AI| = √|AM|2 + |MI|2 = √2 + 8 = √10 Pro bod M je vztah splněn. Pro bod L: |LI| = √|LN|2 + |NI|2 = √4 + 1 = √5 |AL| = |LI| = √5 |AI| = √|AL|2 + |LI|2 = √5 + 5 = √10 Pro bod L je vztah rovněž splněn. Celkem jde tedy o 6 bodů.
B 12
Řešení: 6 bodů
5.2 Určete S obsah čtyřúhelníku APQI, je-li vzdálenost dvou sousedních bodů mřížky 3 cm. Čtyřúhelník APQI rozdělíme (viz obrázek) na dva trojúhelníky – pravoúhlý APQ s odvěsnami délek 9 cm a 3 cm a rovnoramenný AQI trojúhelník s výškou AM délky 6√2 cm a základnou QI téže délky. Vypočteme obsahy obou trojúhelníků a výsledné obsahy sečteme. 9∙3 6√2 ∙ 6√2 27 36 ∙ 2 27 + 72 S = – + – = – + – = – = 49,5 cm2 2 2 2 2 2 Řešení: S = 49,5 cm2
max. 2 body
6
Určete pro libovolné x ∈ R hodnotu výrazu (sin x + cos x) – 2 sin x cos x. 2
Výraz upravíme: (sin x + cos x)2 – 2 sin x cos x = (sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x) – 2 sin x cos x = = sin2 x + cos2 x = 1 Hodnota výrazu je rovna 1. Řešení: 1
10
Maturita z matematiky • 01
B 12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána aritmetická posloupnost 5, 8, 11, 14,… max. 4 body
7 7.1 Kolik nejméně po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním členem počínaje) je třeba sečíst, aby jejich součet byl větší než 390? Budeme pracovat s aritmetickou posloupností, pro kterou platí: a1 = 5, d = 3. Pro součet prvních n členů této posloupnosti, který má být větší než 390, platí: n (a1 + an) – > 390. 2 Vyjádříme n-tý člen a do nerovnice dosadíme: an = a1 + (n – 1) ∙ d ⇒ an = 5 + 3(n – 1) = 5 + 3n – 3 = 2 + 3n n (5 + 2 + 3n) – > 390 / ∙2 2 (7 + 3n)n > 780 3n2 + 7n – 780 > 0 Určíme nulové body výrazu 3n2 + 7n – 780. –7 ± √72 +– 4 ∙ 3 ∙ 780 – –7 ± 97 104 n1,2 =– = ⇒ n1 = –– ∨ n2 = 15 6 2 ∙ 3 6 Řešením nerovnice jsou tedy n ∈ N, pro něž platí n >15. Minimální počet členů je tedy 16.
B 12
Řešení: 16
7.2 Pro určitý člen an této posloupnosti platí: 3an – 1 + 2an + 1 = 157. Určete hodnotu takového členu an. Zadání úlohy odpovídá následující rovnice. 3an – 1 + 2an + 1 = 157 3(an – d) + 2(an + d) = 157 Pro a1 = 5, d = 3 platí: 3(an – 3) + 2(an + 3) = 157 5an – 3 = 157 5an = 160 an = 32 Hledaný člen je an = 32. Řešení: an = 32
Maturita z matematiky • 01
11
B 12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Třídní učitel kontroluje seznam žáků a jejich předběžné přihlášky k maturitní zkoušce. Ve třídě si jako druhý maturitní předmět v rámci profilové zkoušky zvolí 12 žáků matematiku, 5 žáků dějepis, 6 žáků biologii a 5 žáků chemii. U studenta Novotného a studentky Hůlkové ale třídnímu učiteli chybí údaje. Ten si je ale jist, že ze všech žáků třídy si pětina vybrala děje pis, že student Novotný nematuruje z dějepisu, a dokonce si vzpomíná, že student Novotný říkal: „Kdyby nám do třídy přišli ještě dva studenti a maturovali z téhož předmětu jako já, tak by z toho předmětu maturovala čtvrtina celé třídy.“ max. 4 body
8 8.1 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky studentka Hůlková? Dle zadání chce v druhém profilovém předmětu maturovat 12 žáků z matema tiky, 5 žáků z dějepisu, 6 žáků z biologie a 5 žáků z chemie. U dvou žáků údaje chybí. To znamená, že ve třídě je 30 žáků. Aby byla splněna podmínka, že pětina žáků maturuje z dějepisu, musí z dějepisu maturovat 6 žáků. Jeden z chybějících žáků tedy musí maturovat z dějepisu. Ten druhý ovšem nikoliv. Protože student Novotný z dějepisu maturovat nechce, musí z něj maturovat studentka Hůlková.
B 12
Řešení: dějepis
8.2 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky student Novotný? Protože student Novotný tvrdí, že kdyby ve třídě bylo 32 žáků, pak by čtvrtina maturovala z jednoho předmětu, musíme porovnat poměr počtu žáků v jednot livých možných variantách: Pokud by student Novotný maturoval z matematiky, šlo by o poměr 15 : 32. Pokud by student Novotný maturoval z biologie, šlo by o poměr 9 : 32. Pokud by student Novotný maturoval z chemie, šlo by o poměr 8 : 32. Z toho vyplývá, že student Novotný maturoval z chemie. Řešení: chemie
12
Maturita z matematiky • 01
B 12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány body A [–2; 3], B [0; –3], C [3; 5]. max. 3 body
9 9.1 Určete souřadnici y bodu P [3; y] tak, aby bod P ležel na přímce AB. Určíme rovnici přímky AB a dosazením bodu P určíme jeho y-ovou souřadnici. Určení přímky AB může být různé, zde ukážeme určení směrnicového tvaru rov nice, které je nejrychlejší, byť méně používané.
[
]
–3 – 3 y= – ∙x–3 0 – (–2) –6 y=–x–3 2 y = –3x – 3 Nyní dosadíme bod P [3; y]: y = –3 ∙ 3 – 3 y = –9 – 3 y = –12
B 12
Řešení: y = –12 9.2 Určete bod D v rovině tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. Pro bod D musí platit: D = C + BA D = [3; 5] + (–2 – 0; 3 – (–3)) D = [3 – 2; 5 + 6] D = [1; 11] Hledaným bodem je D [1; 11]. Řešení: D [1; 11]
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Nádrž na vodu má tvar kolmého hranolu se čtvercovou podstavou, ve kterém je poměr ob sahů podstavy a boční stěny 3 : 4. Objem hranolu je 288 m3.
Maturita z matematiky • 01
13
B 12 4 body
10 10.1 Jaký je obsah čtvercového dna nádrže? A) 12 m2 B) 16 m2 C) 32 m2 D) 36 m2 E) 64 m2 Označíme a hranu podstavy a v jeho výšku, potom dle zadání platí: 3 4 a2 – – = ⇒ v = –a. 3 av 4 Dle zadání je objem hranolu 288 cm3. 288 = a2v 4a3 288 = – 3 3 a = 216 a=6m⇒v=8m Dopočteme povrch P dna nádrže (obsah podstavy hranolu). P = a2 ⇒ P = 36 m2
B 12
Řešení: D
10.2 O kolik cm klesne výška vody v nádrži, ubyde-li v nádrži 144 hl vody? A) 5 cm B) 7,6 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 76 cm Lze použít více postupů řešení: 1. způsob: Ubude-li 14,4 m3 vody, klesne hladina o x metrů. Využijeme-li předchozího výsledku, platí: 14,4 = 36x x = 0,4 m 2. způsob: 144 hl vody představuje 14,4 m3. V nádrži tedy bude 273,6 m3 vody. Voda zabírá 0,95 % objemu nádrže. Voda musí sahat do 95 % původní výšky. Výška se sníží o 5 %. 0,05 ∙ 8 = 0,4 m = 40 cm Výška klesne o 40 cm. Řešení: C 14
Maturita z matematiky • 01
B 12 2 body
p–2 x 11 Pro která reálná čísla p platí, že funkce f: y = – je rostoucí exponenciální 3–p funkcí? A) p ∈ (–∞; 2) B) p ∈ (2; 3) 5 C) p ∈ –; 3 2 5 D) p ∈ –; +∞ 2 E) p ∈ (3; +∞)
(
)
( ) ( )
Má-li být funkce f rostoucí exponenciální funkcí, musí pro její základ platit: – p–2 >1 3–p Nerovnici vyřešíme:
B 12
– p–2 > 1 / –1 3–p – p–2 –1>0 3–p p – 2 – (3 – p) – –>0 3–p 2p –5 – >0 3–p
( )
5 p ∈ –; 3 2
Řešení: C
Maturita z matematiky • 01
15
B 12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 12 Je dána kvadratická funkce f (viz obrázek).
B 12
max. 2 body
12
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Funkce f je sudá. 2 12.2 Funkce f má předpis f: y = x – 2x – 15. 2 12.3 Funkce f má předpis f: y = (x – 1) . 12.4 Funkce f je kladná pro každé x > 0. Graf funkce f všechny klíčové vlastnosti ukazuje. Funkce f sudá není, neboť její graf není osově souměrný podle osy y. Tvrzení 12.1 není pravdivé. Protože funkce f protíná osu x v bodech –3 a 5, platí, že: y = a(x – 5)(x + 3). Dosadíme minimum [1; –16] a určíme hodnotu kvadratického koeficientu a: –16 = a(1 – 5)(1 + 3) –16 = a ∙ (–4) ∙ 4 a=1
16
Maturita z matematiky • 01
B 12
Předpis kvadratické funkce f je f : y = (x – 5)(x + 3), což po roznásobení závorek dá předpis: f : y = x2 – 2x – 15. Tvrzení 12.2 je pravdivé. Trojčlen x2 – 2x – 15 vylučuje možnost, že by předpisem byl předpis f : y = f : y = = x2 + 2x + 1 = (x – 1)2. Tvrzení 12.3 není pravdivé. Funkce je kladná pro ta x, jimž odpovídající y jsou kladná. Jinak řečeno, kdy graf funkce leží nad souřadnicovou osou x. Jedná se o x ∈ (–∞; –3) ∪ (5; ∞). Pro kladná x ∈ (0; 5) funkce f není kladná. Tvrzení 12.4 není pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, NE
B 12
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 01
17
B 12
B 12
18
Maturita z matematiky • 01
B 12
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–9 jsou otevřené. 3) Úlohy 10–12 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpo vědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
D=9
max. 2 body
2
C = –1
max. 2 body
3
max. 4 body 12 hodin 15 hodin
4
0
5
max. 2 body
B 12
max. 4 body 5.1 6 bodů 5.2 S = 49,5 cm2
6
1
7
max. 2 body max. 4 body
n = 16 an = 32 8
max. 4 body dějepis chemie
9
max. 3 body 9.1 y = –12 9.2 D [1, 11]
10
max. 4 body 10.1 D 10.2 C
11
C
Maturita z matematiky • 01
2 body
19
B 12 12 12.1 NE 12.2 ANO 12.3 NE 12.4 NE
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
B 12
20
Maturita z matematiky • 01
B 12
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–9 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 10–12 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Počet bodů
1
max. 2 body
2
max. 2 body
3
max. 4 body
4
max. 2 body
5
max. 4 body
B 12
5.1 5.2 6
max. 2 body
7
max. 4 body
8
max. 4 body
9
max. 3 body 9.1 9.2
10
max. 4 body 10.1 10.2
11
Maturita z matematiky • 01
2 body
21
B 12 12 12.1 12.2 12.3 12.4
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
B 12
22
Maturita z matematiky • 01
