CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler

OBSAH

I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list

2 6 13 15

B 43

I. CVIČNÝ TEST 1 bod

1 Pro a, b ∈ R určete hodnotu výrazu (√a − √ b) − (√a + √ b) , víte-li, že 4√ab = 10. +

2

2

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V papírnictví prodávají party kloboučky různých barev a velikostí. V jedné sadě je dvacet kloboučků tvaru pláště rovnostranného kužele. Kloboučky do sebe zapadají. Příslušný klobouček je vždy o 2 % nižší, než nejnižší klobouček, do nějž zapadne. Nejmenší klobouček v sadě má poloměr podstavy 61 mm.

B 43

max. 3 body

2.1 Jakou výšku v má nejmenší z kloboučků? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) 2.2 Jaký poloměr R má podstava největšího kloboučku v sadě? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.)

2

Maturita z matematiky • 07

B 43 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dány různé body S, P a K, které neleží na jedné přímce. Dále je dána kružnice k se středem S, pro jejíž poloměr r platí: 0 < r < |SP|, taková, že K ∈ k.

max. 2 body

3

Určete konstrukčně bod T v polorovině ⟼SPK tak, aby přímka TP byla tečnou kružnice k s bodem dotyku v bodě T. V záznamovém listu uveďte i celý postup řešení. V záznamovém listu obtáhněte vše propisovací tužkou.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Rubikova kostka 3 × 3 je tvořena 26 stejně velkými kostkami na obvodu, 8 v rozích (černé), 12 na společných hranách (šedivé) a 6 ve středech stěn (bílé). Uvnitř kostky, kde by měla být 27. kostka, je speciální pohybový mechanismus k ovládání hlavolamu. Mezi stěnami kostek je 1 mm široká mezera. Všechny kostky, z nichž je Rubikova kostka složena, mají dohromady povrch 563,16 cm2.

1 bod

4

Jaká je délka hrany celé Rubikovy kostky?


3

B 43

B 43 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[a, 2b], L[2a, 2b], M[1 − a, −b], a, b ∈ R.

max. 2 body

5.1 Určete všechny hodnoty parametru b tak, aby bod T[3, −2] byl těžištěm trojúhelníka KLM. 5.2 Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé. 1 bod

6 Kolik reálných kořenů má pro přístupné hodnoty neznámé x rovnice log –1 (x − 2) − log –1 (x + 6) = −2? 3

3

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7

B 43

3x – 7 Je dána funkce f: y = 1 − –. 4 max. 2 body

7

Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):

7.1 Funkce f je rostoucí. 7.2 Funkce f je lichá. 7.3 Graf funkce f je rovnoběžný s grafem funkce g procházející body A[−1, 3], B[9, −3]. 7.4 Souřadnicové osy x a y a graf funkce f vymezují trojúhelník, jehož obsah je 4,5 jednotek čtverečných.

ANO NE

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V rámci zábavy se spolužáky hrají čtyři kamarádi Ota, Petr, Jiří a Karel karty s balíčkem 32 karet, v němž se nachází 8 typů karet (čísla 7, 8, 9 a 10, spodek, svršek, král a eso) ve 4 barvách (srdce, kule, listy a žaludy). Během hry snímají z vrchu balíčku kartu, ukážou ji ostatním, vrátí do balíčku, balíček se zamíchá a snímá další ve hře. 2 body

8 4

Která z možností A–E je nejblíže hodnotě pravděpodobnosti, že dva z nich sejmou srdcové eso a dva z nich sejmou jinou kartu? A) 55,5 % B) 50,5 % C) 50 % D) 5,5 % E) 0,55 % Maturita z matematiky • 07

B 43 2 body

9

Která z možností A−E udává počet všech kořenů rovnice |x − 2| = |4 − x| pro x ∈ R? A) nekonečně mnoho B) tři C) dva D) jeden E) žádný max. 4 body

10 Přiřaďte každému číslu (10.1–10.4) počet jeho přirozených dělitelů (A–F). 10.1 48 10.2 63 10.3 85 10.4 89

B 43

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 F) 10

KONEC TESTU


5

B 43

II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod

1 Pro a, b ∈ R určete hodnotu výrazu (√a − √ b) − (√a + √ b) , víte-li, že 4√ab = 10. +

2

2

Využijeme např. vzorce M2 − N2 = (M + N)(M − N) pro rozklad na součin a výraz dle něj rozložíme. (√a − √b − √a − √b) ∙ (√a − √b + √a + √b) = (−2√b) ∙ (2√a) = −4√ab Protože víme, že 4√ab = 10, má výraz hodnotu −10. Řešení: −10

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2

B 43

V papírnictví prodávají party kloboučky různých barev a velikostí. V jedné sadě je dvacet kloboučků tvaru pláště rovnostranného kužele. Kloboučky do sebe zapadají. Příslušný klobouček je vždy o 2 % nižší, než nejnižší klobouček, do nějž zapadne. Nejmenší klobouček v sadě má poloměr podstavy 61 mm.

max. 3 body

2.1 Jakou výšku v má nejmenší z kloboučků? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) Kloboučky mají tvar pláště rovnostranného kužele, ve kterém je strana s kužele rovna jeho průměru d. Nejmenší klobouček má průměr d = 2 ∙ r = 2 ∙ 61 mm = 122 mm. Nyní použijeme Pythagorovu větu a vypočteme výšku v kužele. v = √s2 − r2 = √(122 mm)2 − (61 mm)2 ≈ 106 mm Nejmenší klobouček má výšku 106 mm. Řešení: 106 mm

6


B 43 2.2 Jaký poloměr R má podstava největšího kloboučku v sadě? (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) Hledáme poloměr R největšího kloboučku. Protože poloměry kloboučku se snižují o 2 %, tvoří tedy vždy 98 %, tj. 0,98 poloměru předchozího kloboučku, odvodíme, že poloměry kloboučku tvoří klesající geometrickou posloupnost s kvocientem 0,98 a prvním členem R. Poloměr r = 61 mm je dvacátým členem. Hledáme tedy první člen. r ⇒R=– 61 mm ≈ 90 mm an = a1 ∙ qn − 1 ⇒ r = R ∙ q20 − 1 ⇒ R = – q20 − 1 0,9819 Největší klobouček má poloměr 90 mm. Vzhledem k tomu, že obvod podstavy by pak byl asi 565 mm, byl by ideální pro dospělého muže. Řešení: 90 mm

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dány různé body S, P a K, které neleží na jedné přímce. Dále je dána kružnice k se středem S, pro jejíž poloměr r platí: 0 < r < |SP|, taková, že K ∈ k.

max. 2 body

3

Určete konstrukčně bod T v polorovině ⟼SPK tak, aby přímka TP byla tečnou kružnice k s bodem dotyku v bodě T. V záznamovém listu uveďte i celý postup řešení. V záznamovém listu obtáhněte vše propisovací tužkou.


7

B 43

B 43

Tečna v bodě dotyku svírá pravý úhel s přímkou procházející bodem dotyku a středem, tedy trojúhelník STP je pravoúhlý. Všechny vrcholy takových pravoúhlých trojúhelníků, které mají přeponu SP, leží na tzv. Thaletově kružnici. Stačí tedy nad úsečkou SP sestrojit Thaletovu kružnici. Narýsujeme přímku SP (1.), střed SSP úsečky SP (2.), kružnici l (SSP ,|SSP P|) (3.) a průsečík kružnice l s kružnicí k je bod T (4.). Řešení:

B 43

• SAP , SAP je středem úsečky AP • l, l = (SAP , r = |AP|) • T, T = l ∩ k ∧ T ∈ ⟼ SPK

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Rubikova kostka 3 × 3 je tvořena 26 stejně velkými kostkami na obvodu, 8 v rozích (černé), 12 na společných hranách (šedivé) a 6 ve středech stěn (bílé). Uvnitř kostky, kde by měla být 27. kostka, je speciální pohybový mechanismus k ovládání hlavolamu. Mezi stěnami kostek je 1 mm široká mezera. Všechny kostky, z nichž je Rubikova kostka složena, mají dohromady povrch 563,16 cm2.

1 bod

4

Jaká je délka hrany celé Rubikovy kostky? Povrch 26 kostek 563,16 cm2 Povrch 1 kostky (563,16 cm2): 26 = 21,66 cm2 Hrana 1 kostky √(21,66 cm2) : 6 = 1,9 cm Hrana Rubikovy kostky 3 ∙ 1,9 cm + 2 ∙ 1 mm = 5,9 cm Rubikova kostka má délku hrany rovnu 5,9 cm. Řešení: 5,9 cm

8


B 43 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[a, 2b], L[2a, 2b], M[1 − a, −b], a, b ∈ R.

max. 2 body

5.1 Určete všechny hodnoty parametru b tak, aby bod T [3, −2] byl těžištěm trojúhelníka KLM. Těžiště trojúhelníka je aritmetickým průměrem jeho vrcholů, tj. a +– 2a + 1 − a = 3 ⇒ 2a + 1 = 9 ⇒ 2a = −8 ⇒ a = −4 K+L+M ⇒ – T =– 3 3 2b + 2b − b = −2 ⇒ 3b = −6 ⇒ b = −2 – – 3 Řešení: b = −2

{

5.2 Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé. ⃗ = (2a − a, 2b − 2b) = (a, 0) Aby úsečky KL a KM byly na sebe kolmé, musí skalární součin vektorů KL ⃗ a KM = (1 − a − a, −b − 2b) = (1 − 2a, −3b) být roven 0. a ∙ (1 − 2a) + 0 ∙ (−3b) = 0 a ∙ (1 − 2a) = 0 1 a=0∨a=– 2 1 Řešení: a = 0 ∨ a = – 2

1 bod

6 Kolik reálných kořenů má pro přístupné hodnoty neznámé x rovnice log –1 (x − 2) − log –1 (x + 6) = −2? 3

3

Pro x ∈ 〈4, +∞) řešíme rovnici úpravou rozdílu logaritmů o stejném základu na logaritmus podílu x−2 log– 1 – = −2. 3 x+6 Dle definice logaritmu jej odstraníme.

( )

x−2 = – 1 −2 – x+6 3 x−2 =9 – x+6 x − 2 = 9x + 54 −56 = 8x x = −7 Pro x = −7 není rovnice definována. Rovnice tedy nemá žádný reálný kořen. Řešení: žádný


9

B 43

B 43 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 3x – 7 Je dána funkce f: y = 1 − –. 4 max. 2 body

7

Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE

7.1 Funkce f je rostoucí. 7.2 Funkce f je lichá. 7.3 Graf funkce f je rovnoběžný s grafem funkce g procházející body A[−1, 3], B[9, −3]. 7.4 Souřadnicové osy x a y a graf funkce f vymezují trojúhelník, jehož obsah je 4,5 jednotek čtverečných.

B 43

7.1 Upravíme předpis funkce do směrnicového tvaru y = kx + q. 4 −– 3x + 7 ⇒ f: y = – −3x + – 11 . 3x − 7 ⇒ f: y = – f: y = 1 − – 4 4 4 4 3 , je funkce f klesající. Protože směrnice k = −– 4 Tvrzení je nepravdivé. 7.2 11 , funkce neprochází počátkem, nemůže být tedy lichá. Protože q = – 4 Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Určíme směrnici funkce g procházející body A[−1, 3], B[9, −3]. Pro směrnici qg platí: −6 = – −3 = q −3 −3 =– – qg = – f 9 − (−1) 10 5 Směrnice nejsou totožné, a proto grafy funkcí f a g nejsou rovnoběžné. Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Trojúhelník má vrcholy v počátku O a v průsečících grafu funkce f se souřadnicovými osami.

[

]

11 ⇒ P – 11 , 0 3x − 7 ⇒ 4 = 3x − 7 ⇒ x = – Px[x, 0] ⇒ 0 = 1 − – x 4 3 3 11 3 ∙ 0 − 7 11 Py[0, y] ⇒ y = 1 − – ⇒ 4y = 4 + 7 ⇒ y = – ⇒ Py 0; – 4 4 4 11 11 121 – ∙ – – 3 4 12 |PxO| ∙ |PyO| 121 =–= – = – S =– 2 24 2 2 Tvrzení je nepravdivé.

( )( )

[

]

Řešení: NE, NE, NE, NE

10


B 43 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V rámci zábavy se spolužáky hrají čtyři kamarádi Ota, Petr, Jiří a Karel karty s balíčkem 32 karet, v němž se nachází 8 typů karet (čísla 7, 8, 9 a 10, spodek, svršek, král a eso) ve 4 barvách (srdce, kule, listy a žaludy). Během hry snímají z vrchu balíčku kartu, ukážou ji ostatním, vrátí do balíčku, balíček se zamíchá a snímá další ve hře. 2 body

8

Která z možností A–E je nejblíže hodnotě pravděpodobnosti, že dva z nich sejmou srdcové eso a dva z nich sejmou jinou kartu? A) 55,5 % B) 50,5 % C) 50 % D) 5,5 % E) 0,55 % 1 , pravděpodobnost, že to bude Pravděpodobnost, že si hráč sejme z vrchu balíčku srdcové eso je – 32 31 . jiná karta, je – 32 Protože netušíme, zda hráči, kteří sejmou jinou kartu než srdcové eso, byli Petr a Jiří, nebo Karel či Ota, 4 musíme je vždy vybrat ze čtveřice, celkově jde o = 6 možností. 2 Celkovou pravděpodobnost tedy vypočteme takto: 4 6 ∙ 312 ≈ 0,55 % 1 ∙– 1 ∙– 31 ∙ – 31 = – ∙– 324 2 32 32 32 32 Správná je možnost E.

()

B 43

()

Řešení: E

2 body

9

Která z možností A−E udává počet všech kořenů rovnice |x − 2| = |4 − x| pro x ∈ R? A) nekonečně mnoho B) tři C) dva D) jeden E) žádný Rovnici lze vyřešit geometricky, chápeme-li ji tak, že hledáme obraz čísla, které má od obrazů čísel 4 a 2 stejnou vzdálenost. Pak se jedná o obraz čísla 3. Rovnice má tedy jediný kořen. Rovnici lze řešit i algebraicky. Pro x ∈ (−∞, 2) odstraníme absolutní hodnotu: 2 − x = 4 − x ⇒ 2 = 4 ⇒ x ∈ ∅ Pro x ∈ 〈2, 4) odstraníme absolutní hodnotu: x − 2 = 4 − x ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 Pro x ∈ 〈4, +∞) odstraníme absolutní hodnotu: x − 2 = x − 4 ⇒ −2 = −4 ⇒ x ∈ ∅ I v tomto případě má rovnice jen jeden kořen. Správně je tedy možnost D. Řešení: D


11

B 43 max. 4 body

10 Přiřaďte každému číslu (10.1–10.4) počet jeho přirozených dělitelů (A–F). 10.1 48 10.2 63 10.3 85 10.4 89

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 F) 10 Dělitelnost ověřujeme pomocí pravidel dělitelnosti a numericky.

B 43

10.1 D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} Řešení: F 10.2 D63 = {1, 3, 7, 9, 21, 63} Řešení: D 10.3 D85 = {1, 5, 17, 85} Řešení: C 10.4 D89 = {1, 89}, 89 je prvočíslo. Řešení: A

KONEC TESTU

12


B 43

III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Úloha

Správné řešení

Počet bodů

1

−10

1 bod

2.1 106 mm

2 body

2.2 90 mm

1 bod

2

3

Řešení:

B 43

max. 2 body

• SAP , SAP je středem úsečky AP • l, l = (SAP , r = |AP|) • T, T = l ∩ k ∧ T ∈ ⟼ SPK

4

5,9 cm

1 bod

5.1 b = −2

1 bod

1 5.2 a = 0 ∨ a = – 2

1 bod

5


13

B 43

6

žádný

7 7.1 NE 7.2 NE

1 bod max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh

2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.

7.3 NE 7.4 NE

B 43

8

E

2 body

9

D

2 body

10 10.1 F 10.2 D

max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh

4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

10.3 C 10.4 A

14


B 43

IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.

Úloha

Správné řešení

1

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Počet bodů 1 bod

2 2.1

2 body

2.2

1 bod

3

max. 2 body

4

1 bod

B 43

5 5.1

1 bod

5.2

1 bod


15

B 43

6

1 bod

7


7.1 7.2

2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.

7.3 7.4

B 43

8

2 body

9

2 body

10


10.1 10.2

4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

10.3 10.4

16


CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Recommend Documents