CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 15 17
B 51
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově prodávají tři kouzelné hůlky různých délek. K nejmenší z nich byste museli přidat ještě 50 % její délky, aby byla stejně dlouhá jako nejdelší hůlka. Hůlka prostřední délky by se naopak musela o 20 % zkrátit, aby byla stejně dlouhá jako nejmenší hůlka. Nejdelší hůlka je o 48 mm delší než hůlka prostřední délky.
B 51
max. 2 body
1
Jakou délku má prostřední hůlka? Výsledek vyjádřete v celých mm.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Jsou dány dva trojúhelníky ABC1 a ABC2. Pro výšky v1, v2 na společnou stranu AB obou trojúhelníků platí, že v1 je o 30 mm delší než v2. Společná strana AB obou trojúhelníků má délku 40 mm. Obsah trojúhelníka ABC1 je třikrát větší než obsah trojúhelníka ABC2.
1 bod
2
2
Určete délku výšky v2. (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.)
Maturita z matematiky • 09
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dva různé body A[7, 2], B[2, 3]. max. 2 body
3
Najděte průsečík Px osy úsečky AB s osou x.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Mezi osadami Kocourkov a Myšinec je 40 km dlouhá asfaltová cesta. Ve stejnou chvíli vyjelo z Kocourkova auto a z Myšince cyklista. Auto jelo průměrnou rychlostí třikrát vyšší než cyklista. Cyklista s autem se setkají po půl hodině jízdy. 1 bod
4
Jak daleko od Myšince se setkají?
B 51
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 V obchodě s herními komponenty se prodává balení koulí na pool (jeden z druhů kulečníkové hry). V kufříku je umístěno 16 koulí vyrobených z fenolové pryskyřice. 9 koulí je v plné barvě (žlutá, červená, fialová, zelená, oranžová, hnědá, modrá, černá a bílá). 7 dalších koulí je ve stejných barvách, ale mají bílý kulový pás. Koule se skládají do kufříku, v němž je nahoře 8 míst a dole rovněž 8 míst pro koule. Do horní části se vždy umísťuje černá a zbylé plnobarevné koule vyjma bílé, která se umísťuje do dolní části spolu se všemi koulemi s bílým pásem.
1 bod
5
O kolik možností se liší odhad, který tvrdí, že existuje 1 625 miliónů možností, jak koule v kufříku uspořádat?
Maturita z matematiky • 09
3
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 + 1) . x2 + 4x(x Je dán výraz– – (x + 1)(5x + 4) max. 3 body
6.1 Určete množinu všech hodnot reálné proměnné x, pro které je výraz definován. 6.2 Zjednodušte výraz. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány krychle o objemu 64 cm3 a pravidelný čtyřboký jehlan o stejné výšce a objemu jako krychle. max. 2 body
B 51
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Povrch krychle je 96 cm2. 7.2 Tělesová úhlopříčka krychle je delší než 7 cm. 7.3 Hrana podstavy jehlanu má délku 4√3 cm. 7.4 Hrana podstavy jehlanu je delší než jeho boční hrana.
ANO NE
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě nekonečné aritmetické posloupnosti, jejichž první člen je 3 a jejichž diference se liší o 1. 2 body
8
Která z možností A–E určuje, o kolik se liší součty prvního sta jejich po sobě jdoucích členů? A) 1 B) 20 C) 300 D) 4950 E) 6125
4
Maturita z matematiky • 09
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz (sinx + cosx)2 − 1 pro x ∈ R. 9
2 body
Která z možností určuje výraz, který je danému výrazu pro všechna x ∈ R roven? A) (sinx + cosx − 1)(sinx − cosx + 1) B) (sinx − cosx − 1)(sinx + cosx + 1) C) 2sinx ∙ cosx D) sin2x + 2sinx ∙ cosx − cos2x − 1 E) 1 max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
Přiřaďte každé rovnici (10.1–10.4) množinu, v níž leží všechna řešení této rovnice (A–F). x2 + 6 = 5x x2 1 –−–=0 x−1 x−1 x(x + 6) = −9 x2 − 5x –=0 x
A) x ∈ (4; +∞) B) x ∈ 〈2, 4) C) x ∈ (−1; 1〉 D) x ∈ 〈−2, 0) E) x ∈ (−∞; −2) F) x ∈ (−∞; −4〉 KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 09
5
B 51
B 51
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově prodávají tři kouzelné hůlky různých délek. K nejmenší z nich byste museli přidat ještě 50 % její délky, aby byla stejně dlouhá jako nejdelší hůlka. Hůlka prostřední délky by se naopak musela o 20 % zkrátit, aby byla stejně dlouhá jako nejmenší hůlka. Nejdelší hůlka je o 48 mm delší než hůlka prostřední délky.
B 51
max. 2 body
1
Jakou délku má prostřední hůlka? Výsledek vyjádřete v celých mm. Označíme délku prostřední hůlky y a délku nejkratší hůlky x. Protože délka nejdelší hůlky je o 50 % delší než délka nejkratší hůlky, má délku 1,5x. Protože délky prostřední hůlky by se musela o 20 % zkrátit (bylo by jí jen 80 %), aby měla stejnou délku jako nejkratší hůlka, platí vztah: I. 0,8y = x Nejdelší hůlku 1,5x délky bychom museli o 48 mm zkrátit, aby měla stejný rozměr jako prostřední hůlka, platí tedy: II. 1,5x − 48 = y Řešením soustavy rovnic I. a II. získáme délky nejkratší a prostřední hůlky. I. 0,8y = x II. 1,5x − 48 = y Vyjádřenou neznámou y z II. rovnice, dosadíme do rovnice I. 0,8(1,5x − 48) = x 1,2x − 38,4 = x 0,2x = 38,4 38,4 x =– 0,2 x = 192 Dopočteme y a 1,5x. y = 1,5 ∙ 192 − 48 = 240 1,5x = 1,5 ∙ 192 = 288 Hůlky mají rozměry 192 mm, 240 mm a 288 mm. Zkouškou bychom měli ověřit, že platí zadané vztahy, tj. 192 ∙ 1,5 = 240, 240 ∙ 0,8 = 192 a 288 − 48 = 240. Délka prostřední hůlky je 240 mm. Řešení: 240 mm
6
Maturita z matematiky • 09
B 51 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Jsou dány dva trojúhelníky ABC1 a ABC2. Pro výšky v1, v2 na společnou stranu AB obou trojúhelníků platí, že v1 je o 30 mm delší než v2. Společná strana AB obou trojúhelníků má délku 40 mm. Obsah trojúhelníka ABC1 je třikrát větší než obsah trojúhelníka ABC2.
B 51 1 bod
2
Určete délku výšky v2. (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) Pro výšky v1, v2 trojúhelníků platí: v1 = v2 + 30 mm. Pro obsahy S1 a S2 platí dle zadání: S1 = 3S2. Ze vztahu pro výpočet obsahu trojúhelníka pomocí výšky a odpovídající strany sestavíme rovnici. (40 mm) ∙ v2 (40 mm) ∙ – (v2 + 30 mm) = 3 ∙ – – – – 2 2 1200 mm2 = v2 ∙ 80 mm 1200 mm2 = 15 mm – v2 = – 80 mm Kratší z výšek měří 15 mm. Řešení: 15 mm
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dva různé body A[7, 2], B[2, 3]. max. 2 body
3
Najděte průsečík Px osy úsečky AB s osou x.
Maturita z matematiky • 09
7
B 51
⃗ úsečky a prochází středem S úsečky. Osa úsečky má směr o⃗ kolmý ke směru AB 5 9 ,– 2+3 = – 7 + 2 ,– S= – 2 2 2 2 ⃗ = (2 − 7, 3 − 2) = (−5, 1) ⊥ (1, 5) = o⃗ AB K výpočtu souřadnic Px můžeme použít obecný nebo parametrický zápis rovnice osy.
[
] [
a) obecný zápis rovnice osy
]
Normálový vektor osy o je rovnoběžný se směrem úsečky AB, tedy můžeme rovnou sestavit část obecné rovnice osy o. o: −5x + y + c = 0 Pro určení členu c využijeme bod S. 9 +– 5 +c=0⇒c=– 40 = 20 −5 ∙ – 2 2 2 o: −5x + y + 20 = 0 Souřadnice průsečíků Px získáme tak, že za y-ovou souřadnici v obecném zápisu přímky dosadíme 0 (y-ová souřadnice každého bodu na ose x). −5x + 0 + 20 = 0 ⇒ x = 4 Průsečík Px má souřadnice [4, 0].
B 51
b) parametrický zápis rovnice osy Vytvoříme nyní parametrický zápis rovnice osy o pomocí jejího směrového vektoru o⃗. 5 +5t , t ∈ R 9 + t, – o= – 2 2 Souřadnice průsečíků Px získáme tak, že za y-ovou souřadnici v parametrickém zápisu přímky dosadíme 0. 1 5 + 5t ⇒ −5 = 10t ⇒ t = −– 0=– 2 2 Hodnotu parametru t dosadíme do x-ové souřadnice v parametrickém zápisu přímky. 9 −– 1 =4 9 +t⇒x=– x=– 2 2 2 Průsečík Px má souřadnice [4, 0]. Obrázek může sloužit k ověření poznatku.
{[
]
}
Řešení: Px [4, 0]
8
Maturita z matematiky • 09
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Mezi osadami Kocourkov a Myšinec je 40 km dlouhá asfaltová cesta. Ve stejnou chvíli vyjelo z Kocourkova auto a z Myšince cyklista. Auto jelo průměrnou rychlostí třikrát vyšší než cyklista. Cyklista s autem se setkají po půl hodině jízdy. 1 bod
4
Jak daleko od Myšince se setkají? Dráha s mezi osadami má délku 40 km. Rychlost v cyklisty je třikrát nižší než auta, rychlost auta je tedy 3v. V místě setkání mají oba účastníci za sebou stejnou dobu jízdy t = 0,5 h. 10 km ⇒ v = – 10 km = 20 km ∙ h−1 3v ∙ t + v ∙ t = 40 km ⇒ 4vt = 40 km ⇒ v = – t 0,5 h Cyklista ujel za 0,5 hodiny dráhu v ∙ t, tj. (20 km ∙ h−1) ∙ (0,5 h) = 10 km. Cyklista a auto se setkají 10 km od Myšince. Jiné řešení (úvahou): Jestliže je rychlost auta třikrát vyšší než rychlost cyklisty, ujede auto za stejný časový interval třikrát vyšší dráhu, tj. poměr ujetých drah auta a cyklisty jsou v poměru 3 : 1. Pokud tedy vzdálenost obou osad 40 km rozdělíme v poměru 3 : 1, setkají se auto s cyklistu 30 km od osady Kocourkov a 10 km od osady Myšinec.
B 51
Řešení: 10 km
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 V obchodě s herními komponenty se prodává balení koulí na pool (jeden z druhů kulečníkové hry). V kufříku je umístěno 16 koulí vyrobených z fenolové pryskyřice. 9 koulí je v plné barvě (žlutá, červená, fialová, zelená, oranžová, hnědá, modrá, černá a bílá). 7 dalších koulí je ve stejných barvách, ale mají bílý kulový pás. Koule se skládají do kufříku, v němž je nahoře 8 míst a dole rovněž 8 míst pro koule. Do horní části se vždy umísťuje černá a zbylé plnobarevné koule vyjma bílé, která se umísťuje do dolní části spolu se všemi koulemi s bílým pásem.
1 bod
5
O kolik možností se liší odhad, který tvrdí, že existuje 1 625 miliónů možností, jak koule v kufříku uspořádat?
Maturita z matematiky • 09
9
B 51
V horní části kufříku zaměňujeme umístění 8 koulí, jedná se tedy o permutace z osmi prvků, těch je 8!. V dolní části provádíme totéž. Existuje tedy opět 8! možností. Protože můžeme přemísťovat v obou částech zároveň, platí kombinatorické pravidlo součinu. Celkově tedy jde o 8! ∙ 8! možností. To je celkem 1 625 702 400 možností, tedy o 702 400 možností více, než tvrdil odhad. Řešení: o 702 400
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 + 1) . x2 + 4x(x Je dán výraz– – (x + 1)(5x + 4) max. 3 body
6.1 Určete množinu všech hodnot reálné proměnné x, pro které je výraz definován.
B 51
Ve jmenovateli musí být výraz různý od nuly.
(
) (
)
5 ⇒ x ∈ −∞, −– 5 ∪ −– 5 , −1 ∪ (−1, +∞) (x + 1)(5x + 4) ≠ 0 ⇒ x ≠ −1 ∧ x ≠ −– 4 4 4
(
) (
)
5 ∪ −– 5 , −1 ∪ (−1, +∞) Řešení: x ∈ −∞, −– 4 4
6.2 Zjednodušte výraz. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. V čitateli je nutné výraz roznásobit, ve jmenovateli nikoliv. Pozor, abychom nekrátili výrazem x + 1, to by bylo nesprávné, výraz v čitateli není součin, ale jedná se o součet! 2 x2 + 4x– 5x2 – x2 + 4x(x + 1) ⇒– + 4x ⇒– + 4x – – (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) Nyní vytkneme v čitateli výraz x. Poté již budeme moci krátit, protože v čitateli i ve jmenovateli budou součiny. 5x2 – + 4x x(5x– + 4) x – ⇒– ⇒– (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) x+1 x Řešení: – x+1
10
Maturita z matematiky • 09
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány krychle o objemu 64 cm3 a pravidelný čtyřboký jehlan o stejné výšce a objemu jako krychle. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Povrch krychle je 96 cm2. 7.2 Tělesová úhlopříčka krychle je delší než 7 cm. 7.3 Hrana podstavy jehlanu má délku 4√3 cm. 7.4 Hrana podstavy jehlanu je delší než jeho boční hrana.
ANO NE
7.1 Objem V krychle vypočteme dle vzorce V = a3, kde a je délka hrany krychle. Pro hranu krychle tedy platí: a = 3√V. V našem případě tedy: a = 3√64 cm3 = 4 cm. Povrch Pk krychle vypočteme dle vzorce Pk = 6a2. V našem případě tedy: Pk = 6(4 cm)2 = 96 cm2. Tvrzení je pravdivé.
B 51
7.2 Tělesovou úhlopříčku u krychle můžeme vypočítat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří hrana krychle a stěnová úhlopříčka podstavy. Lze ale také využít vztah, který pro tělesovou úhlopříčku krychle platí a který je důsledkem právě tohoto výpočtu. u = a√3 V našem případě tedy: u = (4 cm)√3 ≈ 6,93 cm < 7 cm. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Pro výpočet strany b jehlanu o výšce v využijeme vzorce pro výpočet objemu krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu a faktu, že dle zadání mají tato tělesa výšku a objem shodné. Platí tedy, že v = a. 1 v ∙ b2 ⇒ a3 = – 1 ab2 ⇒ b2 = 3a2 ⇒ b = a√3 a3 = – 3 3 V našem případě tedy: b = (4 cm)√3 = 4√3 cm. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Pro výpočet boční hrany s jehlanu musíme použít pravoúhlý trojúhelník, v němž známe odvěsnu, kterou tvoří výška a jehlanu. Druhá odvěsna x je polovinou úhlopříčky v podstavě. K jejímu výpočtu použijeme ve čtverci podstavy Pythagorovu větu.
s = √a2 + x2 ∧ 2x = √(4√3 cm)2 + (4√3 cm)2 ⇒ s = √(4 cm)2 + (2√6 cm)2 ⇒ s = √16 cm2 + 24 cm2 = 2√10 cm ≈ 6,32 cm < 7 cm Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, ANO
Maturita z matematiky • 09
11
B 51 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě nekonečné aritmetické posloupnosti, jejichž první člen je 3 a jejichž diference se liší o 1. 2 body
8
Která z možností A–E určuje, o kolik se liší součty prvního sta jejich po sobě jdoucích členů? A) 1 B) 20 C) 300 D) 4950 E) 6125 K výpočtu použijeme vztahy pro aritmetické posloupnosti. an = a1 + (n − 1)d, n ∈ N n ,n∈N sn = [a1 + an]– 2 Pro první posloupnost platí, že: 100 = 300 + 4950d. a1 = 3, a100 = 3 + 99d ⇒ s100 = (3 + 3 + 99d)– 2 Pro druhou posloupnost, u jejíž diference budeme předpokládat, že je o 1 větší než u první posloupnosti, platí, že: 100 = 5250 + 4950d. a'1 = 3, a'100 = 3 + 99(d + 1) ⇒ s'100 = [3 + 3 + 99(d + 1)]– 2 Určíme nyní rozdíl stých součtů. s'100 − s100 = (5250 + 4950d) − (300 + 4950d) = 4 950 Sté součty se liší o 4 950.
B 51
Řešení: D
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz (sinx + cosx)2 − 1 pro x ∈ R. 9
2 body
Která z možností určuje výraz, který je danému výrazu pro všechna x ∈ R roven? A) (sinx + cosx − 1)(sinx − cosx + 1) B) (sinx − cosx − 1)(sinx + cosx + 1) C) 2sinx ∙ cosx D) sin2x + 2sinx ∙ cosx − cos2x − 1 E) 1 Mocninu ve výrazu roznásobíme. Poté použijeme vztah pro x ∈ R: sin2x + cos2x = 1. 1
(sinx + cosx)2 − 1 = sin2x + 2sinx ∙ cosx + cos2x − 1 = sin2x + cos2x + 2sinx ∙ cosx − 1 = 2sinx ∙ cosx Správná je možnost C. Řešení: C
12
Maturita z matematiky • 09
B 51 max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
Přiřaďte každé rovnici (10.1–10.4) množinu, v níž leží všechna řešení této rovnice (A–F). x2 + 6 = 5x x2 1 –−–=0 x−1 x−1 x(x + 6) = −9 x2 − 5x –=0 x
A) x ∈ (4; +∞) B) x ∈ 〈2, 4) C) x ∈ (−1; 1〉 D) x ∈ 〈−2, 0) E) x ∈ (−∞; −2) F) x ∈ (−∞; −4〉
B 51
10.1 x2 + 6 = 5x ⇒ x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 3)(x − 2) = 0 ⇒ x = 3 ∨ x = 2 ⇒ x ∈ 〈2, 4)
Řešení: B
10.2 1 = 0 ∧ x ≠ 1 ⇒ x2 − 1 = 0 ∧ x ≠ 1 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 0 ∧ x ≠ 1 ⇒ x = −1 ⇒ x ∈ 〈−2, 0) x2 − – – x−1 x−1 Řešení: D
10.3 x(x + 6) = −9 ⇒ x2 + 6x + 9 = 0 ⇒ (x + 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = −3 ⇒ x ∈ (−∞; − 2)
Řešení: E
10.4 x2 − 5x = 0 ∧ x ≠ 0 ⇒ x2 − 5x = 0 ∧ x ≠ 0 ⇒ x(x − 5) = 0 ∧ x ≠ 0 ⇒ x = 5 ⇒ x ∈ (4; +∞) – x Řešení: A
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 09
13
B 51
B 51
14
Maturita z matematiky • 09
B 51
III. KLÍČ
Tabulka úspěšnosti
1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
240 mm
max. 2 body
2
15 mm
1 bod
3
Px [4, 0]
max. 2 body
4
10 km
1 bod
5
o 702 400
1 bod
B 51
6 6.1 6.2
(
) (
)
5 ∪ −– 5 , −1 ∪ (−1, +∞) x ∈ −∞, −– 4 4
V čitateli je nutné výraz roznásobit, ve jmenovateli nikoliv. Pozor, abychom nekrátili výrazem x + 1, to by bylo nesprávné, výraz v čitateli není součin, ale jedná se o součet! 2 x2 + 4x(x + 1) ⇒– + 4x ⇒– + 4x x2 + 4x– 5x2 – – – (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) Nyní vytkneme v čitateli výraz x. Poté již budeme moci krátit, protože v čitateli i ve jmenovateli budou součiny. 5x2 – + 4x x(5x– + 4) ⇒ – x – ⇒– (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) x+1
1 bod max. 2 body
x Řešení: – x+1
7 7.1 ANO 7.2 NE
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 ANO
Maturita z matematiky • 09
15
B 51
8
D
2 body
9
C
2 body
10 10.1 B 10.2 D
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 E 10.4 A
B 51
16
Maturita z matematiky • 09
B 51
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
max. 2 body
2
1 bod
3
max. 2 body
4
1 bod
5
1 bod
B 51
6 6.1
1 bod
6.2
max. 2 body
7.1
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7
7.2
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4
Maturita z matematiky • 09
17
B 51
8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1 10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
B 51
18
Maturita z matematiky • 09