CVIČNÝ TEST 16. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 16 Mgr. Tomáš Kotler

OBSAH

I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list

2 6 13 15

B 16

I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Brzký ranní vlak z Prahy do Brna zastavil v Pardubicích. Ve sledovaném vagónu (viz obrázek) je pět kupé, každé s šesti místy k sezení, tři jsou vždy proti a tři po směru jízdy. Místa, která byla, než vlak zastavil v Pardubicích, obsazena (někdo na nich sedí nebo je na ně zakoupena místenka), jsou označena v obrázku křížkem. V Pardubicích nastoupila do vlaku parta pěti kamarádů, kteří jedou do Brna na veletrh, ani jeden z kamarádů neměl zakoupenou místenku. Místenku neměl zakoupenou ani pan Voříšek, který nastoupil do vlaku na další zastávce, v České Třebové. Pan Voříšek jel do Brna na přednášku na Masarykovu univerzitu. Jiní cestující mezi Pardubicemi a Brnem do tohoto vagonu nenastoupili, ani do něj během jízdy nepřesedli.

B 16 max. 2 body

1.1 Kolika způsoby se mohla pětice kamarádů usadit do kupé sousedícího s toaletou? 1.2 Určete, jaká je pravděpodobnost, že si pan Voříšek sedl na sedadlo ve směru jízdy na místo, které ještě nebylo obsazeno a nebyla na něj koupena místenka. (Výsledek vyjádřete v % a zaokrouhlete na celá procenta.)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde platí: AB ∥ CD, AB ⊥ BC, |AB| = 7 cm, |CD| = 3 cm, |AD| = 5 cm

max. 4 body

2.1 Jaký je obsah lichoběžníku ABCD? 2.2 Narýsujte bod X tak, aby lichoběžník AXCD byl také pravoúhlý, přičemž AD ∥ XC, AX ⊥ XC. (V záznamovém listu proveďte celou konstrukci.) 2

Maturita z matematiky • 02

B 16 1 bod

3 Určete součet čísel A + B + C (A, B a C jsou celá čísla) tak, aby pro každé x ∈ R platilo: Ax2 + B(2x – 1) + C(4 – 6x) = 1 1 bod

4

x+1 x 1 Určete všechna reálná čísla x, která jsou řešením rovnice: 1– x – – =– 2 2 – 6,11893 3

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Děti ve školce hrají hru. Pepa, Kája a Lidka sedí ve třech rozích trojúhelníkového koberce a čtvrtý hráč ve hře, Emička, chodí po směru hodinových ručiček od jednoho k druhému dítěti a rozdává jim karty z balíčku 54 karet tak, že každému dalšímu dítěti dá o kartu více než předchozímu. Ema začíná u Pepy, kterému dá dvě karty. 1 bod

5

Kolikrát se Ema ještě k Pepovi vrátí?

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6

10 200 Pokles ceny mobilního telefonu odpovídal přibližně funkci y = – , kde y udává celko 1,02x vou cenu, proměnná x vyjadřuje prodejní měsíc. V první den, kdy se zboží objevilo na pultech, stál telefon 10 000 Kč. 1 bod

6

O kolik Kč méně bude podle tohoto odhadu stát mobilní telefon o rok později? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) 2 body

7

Tetička se rozhodla, že na přání uplete k Vánocům všem svým synovcům svetry, každému jeden. Tetička dva svetry upletla, pak ještě upletla polovinu toho, co zbývalo uplést, potom třetinu hotových svetrů zase rozpárala. Když se k práci vrátila, upletla ještě dvojnásobek toho, co už měla hotové. Z hotových svetrů nakonec pětinu dala sousedce. Kolik má teta synovců? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6


3

B 16

B 16 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8

{

〈

〉}

1 Je dán trojúhelník ABC, v němž platí: C[2; –3], A[6; –2], CB = [2; 3t]; t ∈ –1,– . 3 8

Která z rovnic vyjadřuje rovnici úsečky AB? A) AB = {[6 + 3s; –2 + 3s]; s ∈ 〈–1; 0〉} 1 B) AB = [6; –2 + 3s]; s ∈ –1,– 3 1 C) AB = [6 – 4s; –2 – 3s]; s ∈ –1,– 3 D) AB = {[6 + 4s; –2 –3s]; s ∈ 〈–1; 0〉} E) AB = {[2 + 4s; –3 –3s]; s ∈ 〈0;∞)}

{ {

B 16

〈

2 body

〉}

〈

〉}

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Na číselné ose jsou zobrazeny obrazy čísel A = √18 a B > A. Na číselné ose je dále zobrazen obraz čísla C = 6√2, který dělí úsečku AB v poměru 3 : 1. max. 2 body

9

Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):

9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu B je rovna 4√2. 9.2 Bod B je obrazem čísla √99. 9.3 Obraz čísla A je zároveň obrazem čísla 3√2. 9.4 Platí, že |AC| = √18.

ANO NE

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán kvádr ABCDA’B’C’D‘ s výškou v = 8 cm a s podstavou ABCD tvaru čtverce o hraně délky a = 6 cm. max. 4 body

10 Přiřaďte každému z těles (10.1–10.4), jeden z objemů (A–F). 10.1 trojboký hranol ABDA’B’D‘ 10.2 trojboký jehlan ABDA‘ 10.3 krychle s podstavou ABCD 10.4 čtyřboký jehlan ABCDC‘

4


B 16

A) B) C) D) E) F)

288 cm3 216 cm3 144 cm3 96 cm3 72 cm3 48 cm3

KONEC TESTU

B 16


5

B 16

II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Brzký ranní vlak z Prahy do Brna zastavil v Pardubicích. Ve sledovaném vagónu (viz obrázek) je pět kupé, každé s šesti místy k sezení, tři jsou vždy proti a tři po směru jízdy. Místa, která byla, než vlak zastavil v Pardubicích, obsazena (někdo na nich sedí nebo je na ně zakoupena místenka), jsou označena v obrázku křížkem. V Pardubicích nastoupila do vlaku parta pěti kamarádů, kteří jedou do Brna na veletrh, ani jeden z kamarádů neměl zakoupenou místenku. Místenku neměl zakoupenou ani pan Voříšek, který nastoupil do vlaku na další zastávce, v České Třebové. Pan Voříšek jel do Brna na přednášku na Masarykovu univerzitu. Jiní cestující mezi Pardubicemi a Brnem do tohoto vagonu nenastoupili, ani do něj během jízdy nepřesedli.

B 16 max. 2 body

1.1 Kolika způsoby se mohla pětice kamarádů usadit do kupé sousedícího s toaletou? V kupé sousedícím s toaletou je 5 volných míst. Na první místo se může posadit pět, na druhé čtyři, na třetí tři, na druhé dva a na poslední volné místo už zbyde jen jeden kandidát z pětičlenné party. Jde tedy o 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120 možností. Řešení: 120 možností

1.2 Určete, jaká je pravděpodobnost, že si pan Voříšek sedl na sedadlo ve směru jízdy na místo, které ještě nebylo obsazeno a nebyla na něj koupena místenka. (Výsledek vyjádřete v % a zaokrouhlete na celá procenta.) Ve vagónu je nyní obsazeno 12 míst, zbývá 10 míst ve směru a 8 míst proti směru jízdy. Pan Voříšek si tedy může sednout na 10 míst. Pravděpodobnost je tedy určena poměrem příznivých možností ke 10 všem možnostem, tj.: – = 0,5. 18 Pravděpodobnost je přibližně 56 %.

Řešení: 56 %

6


B 16 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, kde platí: AB ∥ CD, AB ⊥ BC, |AB| = 7 cm, |CD| = 3 cm, |AD| = 5 cm

max. 4 body

2.1 Jaký je obsah lichoběžníku ABCD?

B 16

Dopočteme výšku BC lichoběžníku ABCD. Z obrázku platí, že |BC| = √(|AD|2 – (|AB| – |CD|)2. Dosazením vypočteme, že |BC| = 3 cm. Dosadíme ji do vztahu pro výpočet obsahu lichoběžníku. |AB| + |CD| – ∙ |BC| S =– 2 Obsah lichoběžníku ABCD je 15 cm2. Řešení: 15 cm2

2.2 Narýsujte bod X tak, aby lichoběžník AXCD byl také pravoúhlý, přičemž AD ∥ XC, AX ⊥ XC. (V záznamovém listu proveďte celou konstrukci.) Lichoběžník AXCD má rovnoběžné základny v úsečkách AD a XC, pravé úhly u vrcholů A a X. Hledáme-li bod X, víme, že leží na Thaletově kružnici k nad úsečkou AC, která je z něj vidět pod úhlem 90 °, a zároveň na přímce p procházející bodem C, která je rovnoběžná s úsečkou AD. Průsečík kružnice k a přímky p je hledaný bod X. 1) lichoběžník ABCD (byl zadán) Řešení: 2) p; p ∥ AD ∧ C ∈ p |AC| 3) k; k S; – , kde S je střed AC. 2 4) X; X ∈ k ∩ p

(

)


7

B 16

Konstrukci je možno provést i takto: 1) lichoběžník ABCD (byl zadán) 2) p; p ∥ AD ∧ C ∈ p 3) q; q ⊥ AD ∧ A ∈ q 4) X; X ∈ p ∩ q

1 bod

B 16

3 Určete součet čísel A + B + C (A, B a C jsou celá čísla) tak, aby pro každé x ∈ R platilo: Ax2 + B(2x – 1) + C(4 – 6x) = 1 Upravíme výraz na levé straně rovnice tak, abychom znali koeficienty jednotlivých členů polynomu. Ax2 + 2Bx – B + 4C – 6Cx = Ax2 + x(2B – 6C) + 4C – B Protože výraz na pravé straně zadané rovnosti neobsahuje x2, je A = 0. Neobsahuje ani proměnnou x, přičemž prostý člen je roven 1, musí být proto splněna soustava rovnic: 2B – 6C = 0 –B + 4C = 1 Řešením soustavy je dvojice B = 3 a C = 1. Součet A + B + C = B + C = 4. Řešení: 4

1 bod

4

x+1 x 1 Určete všechna reálná čísla x, která jsou řešením rovnice: 1– x – – =– 2 2 – 6,11893 3 Z levé strany rovnice vytkneme neznámou x: 3 x+1 1 x 1 – – – =– 2 2 6,11893 Dořešíme. 3 x+1 1 x 1 – – – =– 2 2 6,11893 x+1 x ∙ 0 =– 6,11893 Protože zlomek je roven nule právě tehdy, když má nenulového jmenovatele a nulového čitatele, platí, že: x+1=0 x = –1

(

)

(

)

Řešení: x = –1

8


B 16 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Děti ve školce hrají hru. Pepa, Kája a Lidka sedí ve třech rozích trojúhelníkového koberce a čtvrtý hráč ve hře, Emička, chodí po směru hodinových ručiček od jednoho k druhému dítěti a rozdává jim karty z balíčku 54 karet tak, že každému dalšímu dítěti dá o kartu více než předchozímu. Ema začíná u Pepy, kterému dá dvě karty. 1 bod

5

Kolikrát se Ema ještě k Pepovi vrátí? Úlohu můžeme spočítat pomocí aritmetické posloupnosti nebo ji rozepsat tak, jak hra probíhala. 1. kolo: Pepa 2, Kája 3 a Lidka 4 karty, Ema rozdala 9 karet, takže jí zůstává v ruce 45 karet. 2. kolo: Pepa 5, Kája 6 a Lidka 7 karet, Ema rozdala 18 karet, takže jí zůstává v ruce 27 karet. 3. kolo: Pepa 8, Kája 9 a Lidka 10 karet, Ema rozdala 27 karet, takže jí žádná v ruce nezůstává. Ema se k Pepovi dvakrát vrátí. Pokud bychom uvažovali aritmetickou posloupnost, a1 = 2, d = 1, potom se ptáme, pro jaká n je součet n po sobě jdoucích členů roven 54. Upravíme vzorec pro n-tý člen. n n = [a + a + (n – 1)d] ∙ – n = [2 + 2 + (n – 1)1] ∙ – (a1 + an) ∙ – 1 1 2 2 2 n = 54 [2 + 2 + (n – 1)1] ∙ – 2 [3 + n] ∙ n = 108 n2 + 3n – 108 = 0 (n – 9)(n + 12) = 0 n=9 54 je roven součet devíti po sobě jdoucích členů, kde první, čtvrtý a sedmý představují zastávky u Pepy. Ema se tedy musela u Pepy zastavit ještě dvakrát od chvíle, kdy mu prvně rozdala karty.

B 16

Řešení: dvakrát


10 200 Pokles ceny mobilního telefonu odpovídal přibližně funkci y = – , kde y udává celko 1,02x vou cenu, proměnná x vyjadřuje prodejní měsíc. V první den, kdy se zboží objevilo na pultech, stál telefon 10 000 Kč. 1 bod

6

O kolik Kč méně bude podle tohoto odhadu stát mobilní telefon o rok později? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) Dosadíme prodejní měsíc za proměnnou x. Za rok bude 13. prodejní měsíc, tedy cena telefonu bude: 10 200 =̇ 7884,93 =̇ 7885 y =– 1,0213 Cena tudíž poklesla o 2 115 Kč. Řešení: 2 115 Kč


9

B 16 2 body

7

Tetička se rozhodla, že na přání uplete k Vánocům všem svým synovcům svetry, každému jeden. Tetička dva svetry upletla, pak ještě upletla polovinu toho, co zbývalo uplést, potom třetinu hotových svetrů zase rozpárala. Když se k práci vrátila, upletla ještě dvojnásobek toho, co už měla hotové. Z hotových svetrů nakonec pětinu dala sousedce. Kolik má teta synovců? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6 Teta má x synovců. x – 2 2+x Teta napřed upletla 2 svetry, zbývalo tedy x – 2 svetrů, teta tedy upletla 2 + – , tj. – svetrů. 2 2 2 + x 2 + x 2 ∙ – = –. Třetinu z toho rozpárala, zůstaly tedy dvě třetiny svetrů, tedy – 3 3 2 2+x Teta upletla ještě dvojnásobek, tedy celkově měla 3 ∙ –, tj. x + 2 upletených svetrů. 3 Protože pětinu dala sousedce, zůstaly jí čtyři pětiny upletených svetrů. x – 2 4 =x 2 ∙3∙ – 2+– ∙ – 2 3 5 4 =x (x + 2) ∙ – 5 4x + 8 = 5x x=8 Teta měla 8 synovců. Správná je možnost C.

B 16

(

)

Řešení: C


{

〈

〉}

1 . Je dán trojúhelník ABC, v němž platí: C[2; –3], A[6; –2], CB = [2; 3t]; t ∈ –1,– 3 8

Která z rovnic vyjadřuje rovnici úsečky AB? A) AB = {[6 + 3s; –2 + 3s]; s ∈ 〈–1; 0〉}

2 body

{ 〈 〉} 1 C) AB = {[6 – 4s; –2 – 3s]; s ∈ 〈–1,– 3 〉}

1 B) AB = [6; –2 + 3s]; s ∈ –1,– 3

10

D) AB = {[6 + 4s; –2 –3s]; s ∈ 〈–1; 0〉} E) AB = {[2 + 4s; –3 –3s]; s ∈ 〈0;∞)}


B 16

1 . Bod B má souřadnice B [2; 1]. Z rovnice úsečky BC určíme bod B dosazením t = – 3 Nyní určíme parametrickou rovnici AB. s⃗ = AB = (–4; 3) ∥ (4; –3) Rovnice přímky AB má tvar: x = 6 + 4s y = –2 – 3s; s ∈ R Protože bodu A dosáhneme dosazením s = 0, bodu B dosazením s = –1, je rovnicí úsečky AB tato rovnice: x = 6 + 4s y = –2 – 3s; s ∈ 〈–1; 0〉 Správným řešením je možnost D. Řešení: D


Na číselné ose jsou zobrazeny obrazy čísel A = √18 a B > A. Na číselné ose je dále zobrazen obraz čísla C = 6√2, který dělí úsečku AB v poměru 3 : 1. max. 2 body

9

Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):

9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu B je rovna 4√2. 9.2 Bod B je obrazem čísla √99. 9.3 Obraz čísla A je zároveň obrazem čísla 3√2. 9.4 Platí, že |AC| = √18.

ANO NE

9.1 Vzdálenost obrazu bodu A od bodu C vypočteme takto |AC| = 6√2 – √18 = 6√2 – 3√2 = 3√2 Dále platí: |AB| = |AC| + |CB| Vyjádříme poměr úseček ze zadání a vyjádříme úsečku |BC|: |AC| 3 – =– |CB| 1 1 ∙ |AC| = – 1 ∙ 3√2 = √2 |CB| = – 3 3 A určíme velikost úsečky |AB| |AB| = |AC| + |CB| = 3√2 + √2 = 4√2 Tvrzení je pravdivé. 9.2 Bod B je obrazem bodu, který je vzdálen √2 od bodu C, tj. B = 6√2 + √2 = 7√2 = √98 ≠ √99. Tvrzení je nepravdivé. 9.3 Odpověď, zda je toto tvrzení pravdivé, jsme již získali při předchozích úpravách. √18 = √9 ∙ 2 = 3√2 Tvrzení je pravdivé.


11

B 16

B 16

9.4 I na tuto otázku jsme již schopni odpovědět. |AC| = 6√2 – √18 = 6√2 – 3√2 = 3√2 = √18 Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, ANO

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán kvádr ABCDA’B’C’D‘ s výškou v = 8 cm a s podstavou ABCD tvaru čtverce o hraně délky a = 6 cm. max. 4 body

B 16

10 Přiřaďte každému z těles (10.1–10.4), jeden z objemů (A–F). 10.1 trojboký hranol ABDA’B’D‘ 10.2 trojboký jehlan ABDA‘ 10.3 krychle s podstavou ABCD 10.4 čtyřboký jehlan ABCDC‘

A) B) C) D) E) F)

288 cm3 216 cm3 144 cm3 96 cm3 72 cm3 48 cm3 10. 1 36 ∙ 8 1 a2v = – Objem hranolu spočteme jako polovinu objemu celého kvádru, V1 = – = 144. Objem 2 2 hranolu je 144 cm3. 10.2 1 a2v = 48. Objem jehlanu je 48 cm3. Objem jehlanu je třetinou objemu hranolu ze zadání 10.1, tj. V2 = – 6 10.3 Krychle má velikost výšky rovnu délce hrany podstavy, její objem tedy vypočteme ze vzorce V3 = a3 = 216. Objem krychle je 216 cm3. 10.4 Jehlan má stejnou výšku a obsah podstavy jako kvádr ze zadání úlohy, představuje tedy jednu třetinu 36 ∙ 8 1 a2v = – jeho objemu, tj. V4 = – = 96. Objem jehlanu je 96 cm3. 3 3 Řešení: C, F, B, D

KONEC TESTU

12


B 16

III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.

Úloha

Správné řešení

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Počet bodů

1 1.1 120 možností

1 bod

1.2 56 %

1 bod

2.1 15 cm2

1 bod

2.2

max. 3 body

2

3

4

1 bod

4

x = –1

1 bod

5

dvakrát

1 bod

6

2 115 Kč

1 bod

7

C

2 body

8

D

2 body


B 16

13

B 16 9 9.1 ANO 9.2 ANO 9.3 NE 9.4 ANO 10 10.1 C 10.2 F 10.3 B 10.4 D

max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh

2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.


4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

B 16

14


B 16

IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.

Úloha

Správné řešení

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Počet bodů

1 1.1

1 bod

1.2

1 bod

2.1

1 bod

2.2

max. 3 body

2

3

1 bod

4

1 bod

5

1 bod

6

1 bod

7

2 body

8

2 body


B 16

15

B 16 9 9.1 9.2 9.3 9.4 10 10.1 10.2 10.3 10.4


2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.


4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.

B 16

16


CVIČNÝ TEST 16. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Recommend Documents