CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 15 17
B 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.
B 15 1 bod
1
Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2 3 body
2 2.1 Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl. 2.2 Určete hodnotu výrazu pro x = 5. 2.3 Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3? 1 bod
3
2
Je dán výraz x + 6x + 12. Určete minimální hodnotu d výrazu, které může výraz nabývat. 2
Maturita z matematiky • 02
B 15 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Poměr objemů V1 a V2 dvou rotačních válců je 2 : 3. Poloměr podstavy menšího z válců je 2 cm, větší válec má poloměr podstavy 4 cm. max. 2 body
4
Určete, jaký je poměr v1 : v2 výšek obou válců V1, resp. V2. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky m, n a k svými parametrickými rovnicemi. m = {[1 – t; 3 + t], t ∈ R} n = {[–4s; 4 + s], s ∈ R} k = {[r; 0], r ∈ R} 5
1 bod
Určete vzdálenost d průsečíku přímek m a n od přímky k.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na obrázku je fragment ornamentu, který byl použit jako vlys na dekorativní dlažbě. Jedná se o lomenou čáru, která se vždy láme vpravo do pravého úhlu a následující díl čáry je vždy o 10 % delší. Nejkratší díl zobrazený na obrázku je dlouhý 2 cm.
2 body
6 6.1 Určete, z kolika dílů nejvíce se bude lomená čára skládat, musí-li se ornament vejít do čtvercové kachle o hraně délky 20 cm. 6.2 Kolik centimetrů bude měřit lomená čára, bude-li se skládat z 15 dílů? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry.)
Maturita z matematiky • 02
3
B 15
B 15 2 body
7
Kolik je všech trojciferných přirozených čísel, která obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2? A) 280 B) 243 C) 225 D) 184 E) 168
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána funkce f(x) = –x⁵ – 4x⁴ + 17x³ + 32x² – 124x + 80, pro x ∈ 〈–5; 2〉. Body A, B, C, D, E označují průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic.
B 15
2 body
8
Kolik kořenů rovnice –x⁵ – 4x⁴ + 17x³ + 32x² – 124x + 80 = 0 je kladných? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) právě tři E) právě čtyři
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dána čísla A = 1260, B = 4725 a C = 3528. Dále uvažujme číslo D, pro které platí D = A + B + C.
4
Maturita z matematiky • 02
B 15 max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je dělitelný 16. 9.2 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je násobkem 15. 9.3 Největší společný dělitel čísel A, B a C je číslo 21. 9.4 Číslo D je prvočíslo.
ANO NE max. 4 body
10
Přiřaďte každé z nerovnic (10.1–10.4), kde x ∈ R, jednu z množin řešení (A–F). 2x + 2 10.1 – ≤ 1 x+4
10.2 x2 ≤ 2(3x – 4) 10.3 –5 < x – 1 < 1 10.4 x + 2 ≥ 6 – x
B 15
A) (–∞, – 4〉 B) (– 4, 2) C) (– 4, 2〉 D) 〈2, 4〉 E) 〈– 4, + ∞) F) 〈2, + ∞)
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 02
5
B 15
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.
B 15 1 bod
1
Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 2
Rozdělíme-li si vhodně čtvercovou mřížku na pět obdélníků a jeden čtverec, jejichž obsahy označíme A, B, C, D, E a F, představuje obsah S vyznačeného obrazce polovinu součtu obsahů takto vytvořených pravoúhelníků. Jelikož strana každého čtverečku je dlouhá 1 cm, a tudíž každý čtvereček má obsah 1 cm2, mají pravoúhelníky následující obsahy v cm2: A = 2, B = 4, C = 2, D = 4, E = 12, F = 8 1 (A + B + C + D + E + F ) = Tedy S = – 2 1 (2 cm2 + 4 cm2 + 2 cm2 + 4 cm2 + 12 cm2 + 8 cm2) = =– 2 1 = – ∙ 32 cm2 = 16 cm2 2
Řešení: S = 16 cm2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2
6
Maturita z matematiky • 02
B 15 3 body
2 2.1 Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl. Nejvhodnější strategií je výraz zprvu zjednodušit, určit podmínky, za nichž má smysl, a hodnoty výrazu pak určovat ze zjednodušeného tvaru. Ke zjednodušení výrazu použijeme postupné vytýkání, které aplikujeme na čitatel i jmenovatel. Dále využijeme vzorce a2 – b2 = (a – b)(a + b). x2y – y + 2x2 – 2 y(x2 – 1) + 2(x2 – 1) (x2 – 1)(y + 2) (x – 1)(x + 1)(y + 2) –– =– – =– – =– – 2 x(y + 2) – (y + 2) (y + 2)(x – 1) (y + 2)(x – 1) Pro x = 1,y = –2 nemá výraz smysl, pro x ≠ 1, y ≠ –2 lze ve zlomku krátit: (x – 1)(x + 1)(y + 2) x + 1 – –= – = x + 1 (y + 2)(x – 1) 1 Řešení: x = 1 ∨ y = –2
2.2 Určete hodnotu výrazu pro x = 5.
B 15
Nyní, hledáme-li hodnotu výrazu pro x = 5, dosadíme za proměnnou x do zjednodušeného tvaru: 5+1=6 Pro x = 5 má výraz hodnotu rovnu 6. Řešení: 6
2.3 Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3? Chceme-li zjistit, pro kterou hodnotu proměnné x má výraz hodnotu větší než 3, opět využijeme zjednodušeného tvaru: x+1>3 x>3–1 x>2 Výraz má hodnotu větší než 3 pro x > 2. Řešení: x > 2
1 bod
3
Je dán výraz x + 6x + 12. Určete minimální hodnotu d výrazu, které může výraz nabývat. 2
Výraz x2 + 6x + 12 stačí upravit na čtverec do tvaru x2 + 6x + 9 + 3 = (x + 3)2 + 3. Sčítanec (x + 3)2 je vždy nezáporný a přičteme-li k nezápornému číslu číslo 3, dosáhneme vždy čísla většího nebo rovného 3. Výraz x2 + 6x + 12 nabývá minimálně hodnoty d = 3. Řešení: d = 3
Maturita z matematiky • 02
7
B 15 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Poměr objemů V1 a V2 dvou rotačních válců je 2 : 3. Poloměr podstavy menšího z válců je 2 cm, větší válec má poloměr podstavy 4 cm. max. 2 body
4
Určete, jaký je poměr v1 : v2 výšek obou válců V1, resp. V2. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Vyjádříme objemy obou válců. Objem válce V1 = πr12v1, válce V2 = πr22v2. Zapíšeme poměr objemů obou válců: V πr12v1 2 –1 =– =– V2 πr22v2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r1 = 2 cm, r2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek. 4πv1 2 – =– 16πv2 3 v1 2 –=– /∙ 4 4v2 3 v 8 –1 = – v2 3
B 15
Poměr v1 : v2 výšek válců je 8 : 3. v 8 Řešení: –1 = – v2 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky m, n a k svými parametrickými rovnicemi. m = {[1 – t; 3 + t], t ∈ R} n = {[–4s; 4 + s], s ∈ R} k = {[r; 0], r ∈ R} 5
1 bod
Určete vzdálenost d průsečíku přímek m a n od přímky k. Určíme průsečík P přímek m a n, které jsou různoběžné, neboť jejich směrové vektory (–1, 1) a (–4, 1) jsou lineárně nezávislé. Protože přímka k je souřadnicovou osou x, bude vzdálenost d průsečíku P přímek m a n od ní rovna y-ové souřadnici bodu P. Společný bod přímek m a n určíme řešením soustavy: I. 1 – t = –4s II. 3 + t = 4 + s Rovnice sečteme, eliminujeme tím parametr t a vypočteme parametr s. 4 = 4 – 3s s=0 Dosazením do rovnice přímky n určíme souřadnice průsečíku. P = [–4 ∙ 0; 4 + 0] = [0; 4] Bod P má od přímky k (souřadnicové osy x) vzdálenost d = 4. Řešení: d = 4
8
Maturita z matematiky • 02
B 15 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Na obrázku je fragment ornamentu, který byl použit jako vlys na dekorativní dlažbě. Jedná se o lomenou čáru, která se vždy láme vpravo do pravého úhlu a následující díl čáry je vždy o 10 % delší. Nejkratší díl zobrazený na obrázku je dlouhý 2 cm.
2 body
6 6.1 Určete, z kolika dílů nejvíce se bude lomená čára skládat, musí-li se ornament vejít do čtvercové kachle o hraně délky 20 cm. Čáru lze demonstrovat pomocí geometrické posloupnosti, kde kvocient q = 1,1 a první člen a1 = 2. Protože se ornament musí vejít do kachle o hraně 20 cm, musí se poslední člen posloupnosti (poslední čára) vejít do tohoto rozměru. an = 20 2 ∙ 1,1n – 1 = 20 1,1n – 1 = 10 log 10 n–1=– log 1,1 1 n = –+ 1 log 1,1 n = 25,16 Čára se může skládat nejvíce z 25 částí. Řešení: nejvýše z 25 částí
6.2 Kolik centimetrů bude měřit lomená čára, bude-li se skládat z 15 dílů? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry.) Tentokrát je neznámou součet 15 po sobě jdoucích členů výše popsané geometrické posloupnosti. Dosadíme tedy do vzorce pro součet. 1,115 – 1 s15 = 2 ∙– =̇ 64 1,1 – 1
Čára bude mít po zaokrouhlení délku 64 cm. Řešení: 64 cm
Maturita z matematiky • 02
9
B 15
B 15 2 body
7
Kolik je všech trojciferných přirozených čísel, které obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2? A) 280 B) 243 C) 225 D) 184 E) 168 Hledáme trojciferná čísla, která obsahují vždy jen jednou v ciferném zápisu 2, např. 215 nebo 982, nikoliv však 224. Taková trojciferná čísla mají ciferný zápis 2XY, nebo X2Y, nebo XY2, kde číslice X a Y jsou různé od 2. Mohou být ale stejná. V prvním případě tedy na pozice X a Y umísťujeme jednu z devíti možných cifer (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), jde tedy o 9 ∙ 9, tj. 81 možností, protože číslice se mohou opakovat. V druhém a třetím případě jde o shodnou situaci, musíme ale brát v úvahu, že možnost, kdy je na pozici stovek 0, nepočítáme, jde vlastně o dvojciferné číslo. Je-li tedy ciferný zápis X2Y (resp. XY2), jde o 81 možností bez těch, které mají na pozici stovek 0, což je 9 čísel (020, 021, 023, 024, 025, 026, 027, 028, 029), protože vlastně volíme jen číslici na pozici jednotek, a to z 9 možných (dvojku už zvolit nemůžeme). Celkový počet čísel tak vypočteme takto: 81 + 2 ∙ (81 – 9) = 81 + 2 ∙ 72 = 81 + 144 = 225 čísel Všech trojciferných čísel, které obsahují v ciferném zápisu právě jednou číslici 2, je 225.
B 15
Řešení: C
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána funkce f(x) = –x⁵ – 4x⁴ + 17x³ + 32x² – 124x + 80, pro x ∈ 〈–5; 2〉. Body A, B, C, D, E označují průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic.
10
Maturita z matematiky • 02
B 15 2 body
8
Kolik kořenů rovnice –x⁵ – 4x⁴ + 17x³ + 32x² – 124x + 80 = 0 je kladných? A) žádný B) právě jeden C) právě dva D) právě tři E) právě čtyři Z grafu funkce f plyne, že protíná osu x ve čtyřech bodech A, B, D a E: A = [–5, 0], B = [–4, 0], D = [1, 0], E = [2, 0] Průsečíky A, B, D, E s osou x přímo určují kořeny rovnice f(x) = 0. Jedná se o x1 = –5, x2 = –4, x3 = 1 a x4 = 2. Kladné jsou právě dva z nich, x3 a x4. Řešení: C
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dána čísla A = 1260, B = 4725 a C = 3528. Dále uvažujme číslo D, pro které platí D = A + B + C. max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je dělitelný 16. 9.2 Nejmenší společný násobek čísel A, B a C je násobkem 15. 9.3 Největší společný dělitel čísel A, B a C je číslo 21. 9.4 Číslo D je prvočíslo.
ANO NE
Všechna tři čísla je možné rozložit na součin mocnin prvočísel, závěry lze ale odvodit i jinak. 9.1 Víme, že 16 = 24. Nejmenší společný násobek čísel A, B a C bude dělitelný 16, když je 16 dělitelné alespoň jedno z čísel A, B nebo C. Číslo A je dělitelné 4, po vydělení ale získáme číslo 315, to už není ani sudé, tedy číslo A není 16 dělitelné. Číslo B je liché, tedy ani ono nesplňuje podmínku dělitelnosti 16. Číslo C je dělitelné 8, nikoli 16. Nejmenší společný násobek tak 16 dělitelný není. Tvrzení je nepravdivé. 9.2 Právě tehdy, když je přirozené číslo a dělitelem přirozeného čísla b, je přirozené číslo b násobkem přirozeného čísla a. Otázka zní tedy podobně jako v předchozí situaci. Protože číslo A má ciferný součet dělitelný 3 a končí 0, je dělitelné 3 a zároveň 5. Je tedy dělitelné i 15. Je-li číslo A dělitelné 15, musí jím být dělitelný i nejmenší společný násobek čísel A, B a C. Ten je proto násobkem čísla 15. Tvrzení je pravdivé.
Maturita z matematiky • 02
11
B 15
B 15
9.3 Ciferný součet čísla 1260 je 9, čísla 4725 je 18, stejně jako čísla 3528. Čísla A, B a C jsou dělitelná devíti, tedy jejich největší společný dělitel musí být rovněž dělitelný alespoň devíti. Protože 21 není násobkem devíti, nemůže být největším společným dělitelem. Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Protože z předchozích výpočtů víme, že všechna tři čísla jsou dělitelná devíti, je i jejich společný součet dělitelný devíti, tohoto společného dělitele lze totiž ze součtu čísel A, B a C vytknout. 1260 + 4725 + 3528 = 9 ∙ (140 + 525 + 392) Protože součet je dělitelný více jak dvěma děliteli (1, 9 a sám sebou), není prvočíslem. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, NE
B 15
max. 4 body
10
Přiřaďte každé z nerovnic (10.1–10.4), kde x ∈ R, jednu z množin řešení (A–F). 2x + 2 10.1 – ≤ 1 x+4
10.2 x2 ≤ 2(3x – 4) 10.3 –5 < x – 1 < 1 10.4 x + 2 ≥ 6 – x A) (–∞, – 4〉 B) (– 4, 2) C) (– 4, 2〉 D) 〈2, 4〉 E) 〈– 4, + ∞) F) 〈2, + ∞) 10.1 Pro x ≠ –4 řešíme nerovnici v podílovém tvaru 2x + 2 – ≤1 x+4 2x + 2 – x – 4 – – ≤0 x+4 x–2 – ≤0 x+4 Rozdělíme číselnou osu nulovými body a body, v nichž není nerovnice definována, a určíme znaménka čitatele, jmenovatele i celkového podílu.
12
Maturita z matematiky • 02
B 15
x ∈ (–∞,–4)
x ∈ (–4, 2〉
x ∈ (2,+ ∞)
x–2
–
–
+
x+4
–
+
+
+
–
+
x–2 – x+4
Hledáme, kdy je výraz na levé straně rovnice nekladný. Rovnice má řešení pro x ∈ (–4,2〉.
Řešení: C
10.2 V tomto případě se jedná o kvadratickou rovnici, upravíme tedy tvar rovnice do součinového tvaru kořenových činitelů kvadratického trojčlenu. x2 ≤ 2 (3x – 4) x2 ≤ 6x – 8 x2 – 6x + 8 ≤ 0 (x – 4)(x – 2) ≤ 0 Z grafu kvadratické funkce, jejíž rovnice je na levé straně této nerovnosti, vyplývá, že řešením nerovnice je množina 〈2,4〉.
B 15
Řešení: D 10.3 Jedná se vlastně o zápis soustavy dvou nerovnic. Je možné je řešit každou zvlášť (řešení je pak průnik výsledných množin), anebo zároveň. –5 < x – 1 < 1 / + 1 –5 + 1 < x – 1 + 1 < 1 + 1 –4 < x < 2 Řešením je množina (–4, 2). Řešení: B
Maturita z matematiky • 02
13
B 15
10.4 Lineární nerovnici vyřešíme úpravami: x+2≥6–x 2x ≥ 4 x≥2 Řešením nerovnice je množina 〈2, + ∞). Řešení: F
KONEC TESTU
B 15
14
Maturita z matematiky • 02
B 15
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
S = 16 cm2
1 bod
2 2.1 x = 1 ∨ y = –2
1 bod
2.2 6
1 bod
2.3 x > 2
1 bod
3
d=3
1 bod
4
Uveďte postup řešení.
max. 2 body
B 15
Vyjádříme objemy obou válců. Objem válce V1 = πr12v1, válce V2 = πr22v2. Zapíšeme poměr objemů obou válců: V πr12v1 2 –1 =– =– V2 πr22v2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r1 = 2 cm, r2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek. 4πv1 2 – =– 16πv2 3 v1 2 –=– /∙ 4 4v2 3 v 8 –1 = – v2 3 Poměr v1 : v2 výšek válců je 8 : 3.
5
d=4
1 bod
6 6.1 nejvýše z 25 částí
1 bod
6.2 64 cm
1 bod
7
C
2 body
8
C
2 body
Maturita z matematiky • 02
15
B 15 9 9.1 NE 9.2 ANO 9.3 NE 9.4 NE 10 10.1 C 10.2 D 10.3 B 10.4 F
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 15
16
Maturita z matematiky • 02
B 15
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů 1 bod
2 2.1
1 bod
2.2
1 bod
2.3
1 bod
3
1 bod
4
max. 2 body
5
1 bod
B 15
6 6.1
1 bod
6.2
1 bod
7
2 body
8
2 body
Maturita z matematiky • 02
17
B 15 9 9.1 9.2 9.3 9.4 10 10.1 10.2 10.3 10.4
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 15
18
Maturita z matematiky • 02
