CVIČNÝ TEST 18 Mgr. Kateřina Nováková
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 18
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Anna zdědila 150 000 Kč a banka jí nabízí uložit je na roční termínovaný vklad při 3% roční úrokové míře. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítává státem stanovená daň ve výši 15 %. Anna hotovost nepotřebuje, a proto nechá vklad zvýšený o zdaněný úrok v peněžním ústavu za stejných podmínek po dobu dalších dvou let. max. 2 body
1
B 18
Kolik korun bude připraveno po třech letech k vyzvednutí? (Výsledek vyjádřete v celých Kč.)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Střecha přízemního domu má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o podstavné hraně délky a = 10 m. Sklon střechy je ϕ = 30°.
max. 2 body
2.1 Jaká je užitná plocha přízemí tohoto domu, zanedbáme-li tloušťku stěn? 2.2 Kolik zaplatí majitel tohoto přízemního domu za nákup plechové střešní krytiny, jestliže ta se prodává v balících po 10 m2 za cenu 1 950 Kč za 1 balík? 1 bod
3
Určete počet všech průsečíků grafu funkce f: y = sin(2x) s oběma souřadnicovými osami pro x ∈ 〈0; 2π〉.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán bod A a přímka p (viz obrázek). Pro přímku q platí, že prochází bodem A a je kolmá na přímku p.
2
Maturita z matematiky • 02
B 18
max. 2 body
4
Určete souřadnice průsečíku P [x; y] přímek p a q. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 1 bod
5
Určete počet všech společných dělitelů čísel 30, 42 a 120. 1 bod
6
Řešte v oboru reálných čísel nerovnici a výsledek zapište intervalem, příp. sjednocením intervalů. 6 − 3x –≤−x x − 2
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na dva úseky. Obsahy S1 a S2 čtverců sestrojených nad těmito úseky jsou v poměru 81 : 16.
Maturita z matematiky • 03
3
B 18
B 18 2 body
7
V jakém poměru jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku? A) 81 : 16 B) 5 : 2 C) 9 : 4 D) 3 : 2 E) v jiném poměru
8
B 18
max. 4 body
Přiřaďte ke každému výrazu (8.1–8.4) jeho maximální definiční obor (A–F). x+1 8.1 – − x − 1 x+2 4 − x2 8.2 – x−1 −1 – x x −2 8.3 – x+1 x−1 8.4 – : (x + 1) x+2
A) (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; ∞) B) (−∞; −2) ∪ (−2; 1) ∪ (1; ∞) C) (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; ∞) D) (−∞; −2) ∪ (−2; ∞) E) (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) F) (−∞; 1) ∪ (1; ∞)
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Graf lineární funkce f prochází body A [1; −2] a B [−1; −4]. max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Předpisem funkce f je rovnice y = kx − q, kde k, q jsou kladná reálná čísla. 9.2 Jeden z průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami je bod P [−3; 0]. 9.3 Funkce f je rostoucí. 9.4 Funkční hodnota funkce f v bodě 2 je 1, tj. f(2) = 1.
4
ANO NE
Maturita z matematiky • 03
B 18 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Žáci jednoho semináře jedou na exkurzi minibusem, ve kterém je 19 míst k sezení (viz obrázek). Na sedadle vedle řidiče bude sedět organizátor exkurze.
2 body
10
Kolika způsoby si můžou do minibusu sednout Adam s Evou, jestliže spolu nastupují jako první a chtějí sedět těsně vedle sebe. A) 18 B) 16 C) 14 D) 8 E) 7
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 03
5
B 18
B 18
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Anna zdědila 150 000 Kč a banka jí nabízí uložit je na roční termínovaný vklad při 3% roční úrokové míře. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítává státem stanovená daň ve výši 15 %. Anna hotovost nepotřebuje, a proto nechá vklad zvýšený o zdaněný úrok v peněžním ústavu za stejných podmínek po dobu dalších dvou let. max. 2 body
1
Kolik korun bude připraveno po třech letech k vyzvednutí? (Výsledek vyjádřete v celých Kč.) Jedná se o úlohu na vzrůst hodnoty. Nejprve vypočteme „čistou“ úrokovou míru, tedy promítneme do ní zdanění úroku: p = (1 − 0,15) ∙ 3 = 2,55. Jestliže počáteční hodnota je a0 = 150 000 Kč, úroková míra je p = 2,55 a počet úrokovacích období je n = 3, potom konečná cena je p n = 150 000 ∙ 1 + – 2,55 n =̇ 161 770 an = a0 1 + – 100 100 Po třech letech bude k vyzvednutí připraveno 161 770 Kč.
B 18
(
)
Řešení: 161 770 Kč
(
)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Střecha přízemního domu má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o podstavné hraně délky a = 10 m. Sklon střechy je ϕ = 30°.
max. 3 body
2.1 Jaká je užitná plocha přízemí tohoto domu, zanedbáme-li tloušťku stěn? Užitnou plochu domu tvoří čtverec o straně a = 10 m, takže její velikost je: S = a2 = (10 m)2 = 100 m2 Užitná plocha přízemí tohoto domu je 100 m2. Řešení: 100 m2
6
Maturita z matematiky • 03
B 18 2.2 Kolik zaplatí majitel tohoto přízemního domu za nákup plechové střešní krytiny, jestliže ta se prodává v balících po 10 m2 za cenu 1 950 Kč za 1 balík? Střechu domu tvoří plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu tvoří čtyři shodné rovnoramenné trojúhelníky.
Výšku trojúhelníku vypočteme s využitím goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku: a – 2 a 10 m = 10√3 –m cos φ = – ⇒ va = – = – 2 cos φ 2 ∙ cos 30 ° 3 va Plochu střechy Spl vypočteme jako obsah čtyř trojúhelníků: ava – m = 200√3 – m2 =̇ 120 m2 = 2ava = 2 ∙ 10m ∙ 10√3 Spl = 4 ∙ – 2 3 3 Jestliže se krytina prodává v balících po 10 m2, pak je na pokrytí střechy třeba 12 balíků, a celková cena bude: 12 ⋅ 1 950 Kč = 23 400 Kč Majitel zaplatí za nákup plechové střešní krytiny 23 400 Kč.
B 18
Řešení: 23 400 Kč
1 bod
3
Určete počet všech průsečíků grafu funkce f: y = sin(2x) s oběma souřadnicovými osami pro x ∈ 〈0; 2π〉. Graf funkce f: y = sin (2x) má pět průsečíků se souřadnicovými osami (viz obrázek).
Řešení: 5
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán bod A a přímka p (viz obrázek). Pro přímku q platí, že prochází bodem A a je kolmá na přímku p.
Maturita z matematiky • 02
7
B 18
max. 2 body
4
B 18
Určete souřadnice průsečíku P [x; y] přímek p a q. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
Přímka p je určena body [1; 0] a [0; −2]. Směrový vektor přímky p: s⃗p = (1; 2). Normálový vektor přímky p: n⃗p = (2; −1). Obecná rovnice přímky p: 2x − y + c = 0. Přímka p je určena bodem [1; 0] ⇒ 2 ∙ 1 − 0 + c = 0 ⇒ c = −2 ⇒ p: 2x − y − 2 = 0 q ⊥ p ⇒ n⃗q = s⃗p = (1; 2). Obecná rovnice přímky q: x + 2y + c = 0. Přímka q je určena bodem [−2; 0] ⇒ −2 + 2 ∙ 0 + c = 0 ⇒ c = 2 ⇒ q: x + 2y + 2 = 0. Řešíme soustavu rovnic: 2x − y − 2 = 0 ∧ x + 2y + 2 = 0. Z první rovnice vyjádříme y = 2x − 2, dosadíme do druhé: x + 2(2x − 2) + 2 = 0, upravíme: 5x − 2 = 0, 2 ay=2∙– 2 − 2 = −– 6. vyjádříme: x = – 5 5 5 6 . 2 ;−– Průsečík má souřadnice P – 5 5 6 2 Řešení: P –;−– 5 5
[
8
]
[
]
Maturita z matematiky • 02
B 18 1 bod
5
Určete počet všech společných dělitelů čísel 30, 42 a 120. Určíme největšího společného dělitele čísel 30, 42 a 120, přičemž platí: D (30; 42; 120) = D (30; 42), protože číslo 120 je násobkem čísla 30. Rozložíme čísla 30 a 42 na součin prvočísel, tj. 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 a 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7, z čehož vyplývá, že D (30; 42; 120) = 2 ∙ 3 = 6. Společnými děliteli čísel 30, 42 a 120 jsou čísla 1, 2, 3 a 6, jejich počet je tedy 4. Řešení: 4
1 bod
6
Řešte v oboru reálných čísel nerovnici a výsledek zapište intervalem, příp. sjednocením intervalů. 6 − 3x –≤−x x − 2
B 18
Nerovnice je řešitelná pro x ≠ 2. 6 − 3x = 3(2 − x) = −3. – Upravíme levou stranu nerovnice vytknutím a zkrácením: – x−2 x−2 Z nerovnosti −3 ≤ −x vyplývá: x ≤ 3, přičemž řešením nerovnice jsou všechna reálná čísla x, pro která platí: x ≤ 3 ∧ x ≠ 2, tj. x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; 3〉. Řešení: x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; 3〉
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na dva úseky. Obsahy S1 a S2 čtverců sestrojených nad těmito úseky jsou v poměru 81 : 16.
Maturita z matematiky • 03
9
B 18 2 body
7
V jakém poměru jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku? A) 81 : 16 B) 5 : 2 C) 9 : 4 D) 3 : 2 E) v jiném poměru
B 18 ( ) ( )
S1 cb 2 9 2 92 cb cb2 ca 9 ⇒– 4 – –⇒– = 81 =– ⇒ – = – ⇒– =– =– 2 2 S2 16 ca 4 ca 4 ca 4 cb 9
Euklidovy věty pro odvěsny: a2 = c ∙ ca ∧ b2 = c ∙ cb
( ) ( )
a2 c ∙ ca ca 22 4 =– a =– 2 a 2= – 2 2⇒– – =–= – =– ⇒ – 2 2 b c ∙ cb cb 9 3 b 3 b 3
Odvěsny jsou tedy v poměru 2 : 3, resp. 3 : 2, správně je tedy možnost D. Řešení: D
8
max. 4 body
Přiřaďte ke každému výrazu (8.1–8.4) jeho maximální definiční obor (A–F). x+1 8.1 – − x − 1 x+2 4 − x2 8.2 – x−1 −1 – x x −2 8.3 – x+1 x−1 8.4 – : (x + 1) x+2 10
A) (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; ∞) B) (−∞; −2) ∪ (−2; 1) ∪ (1; ∞) C) (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; ∞) D) (−∞; −2) ∪ (−2; ∞) E) (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) F) (−∞; 1) ∪ (1; ∞)
Maturita z matematiky • 03
B 18
8.1 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x ≠ −2 ⇒ x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; ∞). Jde tedy o možnost D. 8.2 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x ≠ 1 ⇒ x ∈ (−∞; 1) ∪ (1; ∞). Jde tedy o možnost F. 8.3 Zlomek upravíme:
x−1 – x−2 x −1– – =– x + 1 (x − 2)(x + 1) Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že: x ≠ 2 ∧ x ≠ −1 ⇒ x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; ∞). Jde tedy o možnost C.
8.4 Zlomek upravíme: – x − 1 : (x + 1) = – x − 1 ∙ 1 –; x+2 x + 2 x + 1 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x ≠ −2 ∧ x ≠ −1 ⇒ x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; ∞). Jde tedy o možnost A.
B 18
Řešení: D, F, C, A
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Graf lineární funkce f prochází body A [1; −2] a B [−1; −4]. max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Předpisem funkce f je rovnice y = kx − q, kde k, q jsou kladná reálná čísla. 9.2 Jeden z průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami je bod P [−3; 0]. 9.3 Funkce f je rostoucí. 9.4 Funkční hodnota funkce f v bodě 2 je 1, tj. f(2) = 1.
ANO NE
9.1 f: y = kx − q A → f: −2 = k − q(I) B → f: −4 = −k − q(II) (I) + (II): −6 = −2q ⇒ q = 3 > 0 (I)k = q − 2 = 1 > 0 Tvrzení je pravdivé. 9.2 Py: x = 0 ⇒ y = 0 − 3 = −3 ⇒ Py [0; −3] Px: y = 0 ⇒ 0 = x − 3 ⇒ x = 3 ⇒ Px [3; 0] Tvrzení je nepravdivé.
Maturita z matematiky • 02
11
B 18
9.3 f: y = x − 3; k = 1 > 0 ⇒ funkce f je rostoucí Tvrzení je pravdivé. 9.4 f(2) = 2 − 3 = −1 ≠ 1 Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, NE
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Žáci jednoho semináře jedou na exkurzi minibusem, ve kterém je 19 míst k sezení (viz obrázek). Na sedadle vedle řidiče bude sedět organizátor exkurze.
B 18 2 body
10
Kolika způsoby si můžou do minibusu sednout Adam s Evou, jestliže spolu nastupují jako první a chtějí sedět těsně vedle sebe. A) 18 B) 16 C) 14 D) 8 E) 7 V autobusu je pět dvojsedadel, takže dvojice má 5 možností, jak je obsadit. Dále je v autobusu jedno čtyřsedadlo, které může dvojice obsadit 3 různými způsoby – sednout si těsně vedle sebe k levému či pravému okénku, nebo doprostřed. Dvojice má tedy dohromady 8 způsobů, a navíc si mohou mezi sebou vyměnit místo, takže možností je celkem 2 ∙ 8 = 16. Jde tedy o možnost B. Řešení: B
12
Maturita z matematiky • 02
B 18
III. KLÍČ
Tabulka úspěšnosti
1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
161 770 Kč
max. 2 body
2
3
2.1 100 m2
1 bod
2.2 23 400 Kč
max. 2 body
5
1 bod
B 18
max. 2 body
4
Přímka p je určena body [1; 0] a [0; −2]. Směrový vektor přímky p: s⃗p = (1; 2). Normálový vektor přímky p: n⃗p = (2; −1). Obecná rovnice přímky p: 2x − y + c = 0. Přímka p je určena bodem [1; 0] ⇒ 2 ∙ 1 − 0 + c = 0 ⇒ c = −2 ⇒ p: 2x − y − 2 = 0 q ⊥ p ⇒ n⃗q = s⃗p = (1; 2). Obecná rovnice přímky q: x + 2y + c = 0. Přímka q je určena bodem [−2; 0] ⇒ −2 + 2 ∙ 0 + c = 0 ⇒ c = 2 ⇒ q: x + 2y + 2 = 0. Řešíme soustavu rovnic: 2x − y − 2 = 0 ∧ x + 2y + 2 = 0. Z první rovnice vyjádříme y = 2x − 2, dosadíme do druhé: x + 2(2x − 2) + 2 = 0, upravíme: 5x − 2 = 0, vyjádříme: 2 − 2 = −– 6. 2 ay=2∙– x=– 5 5 5 6 . 2 ;−– Průsečík má souřadnice P – 5 5 6 2 Řešení: P –;−– 5 5
5
4
[
Maturita z matematiky • 03
]
[
]
1 bod
13
B 18 6 7
x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; 3〉
D
8 8.1 D 8.2 F 8.3 C 8.4 A 9 9.1 ANO 9.2 NE 9.3 ANO
B 18
9.4 NE 10
14
B
1 bod 2 body max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
2 body
Maturita z matematiky • 03
B 18
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů max. 2 body
2 2.1
1 bod
2.2
max. 2 body
3
1 bod
4
max. 2 body
5
1 bod
Maturita z matematiky • 03
B 18
15
B 18 6
1 bod
7
2 body
8 8.1 8.2 8.3 8.4 9 9.1 9.2 9.3
B 18
9.4 10
16
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
2 body
Maturita z matematiky • 03
