&9,ą1ë7(67 Mgr. Tomáš Kotler
2%6$+
I. II. III. IV.
Cvičný test Autorské řešení Klíč Záznamový list
2 6 15 17
B 33
,&9,ą1ë7(67 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede z každé světové strany jedno svébytné schodiště. Schodiště bylo postaveno tak, že od země vycházelo šikmo vzhůru 24 schodů, poté schodiště změnilo směr a pokračovalo 22 schody, pak opět změnilo směr a pokračovalo 20 schody atd., až dosáhlo plošiny na vrcholu stavby, ke které vystoupaly poslední dva schody, neboť počet schodů v jednom směru se pravidelně zmenšoval. Stejným způsobem jsou postavena schodiště na všech čtyřech bocích zikkuratu.
B 33
1 bod
1
Kolik celkem schodů vedlo na zikkurat na všech bocích stavby dohromady?
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 tg2x + 1 –. Je dán výraz– tg x · cotg x – – sin2x – 1
2
2
π Určete hodnotu výrazu pro x א0; – . 6
(
1 bod
)
Maturita z matematiky • 05
B 33 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na obrázku jsou dány přímky p a q v kartézské soustavě souřadnic.
B 33 max. 3 body
3.1 Určete odchylku φ zobrazených přímek p a q. Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně. 3.2 Určete souřadnice bodu M, který je průsečíkem přímek p a q.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Na dřevěné hrací desce je 5 × 6 polí, na které jeden hráč umísťuje 15 stejných kamenů ve tvaru kosočtverce a druhý 15 identických kamenů oválných. Hráč si připíše body například za dvojici či trojici svých kamenů stojících vedle sebe, výše bodované jsou vedle sebe stojící čtveřice, ještě lépe čtveřice stojící tak, jak vlevo nahoře zobrazuje obrázek – takových bodovaných kombinací nabízí hra více. Ve hře tedy rozhoduje vzájemná poloha kamenů vedle sebe.
1 bod
4
Určete, kolik možností rozložení kamenů na hrací ploše existuje, jsou-li kameny stejného tvaru zaměnitelné.
Maturita z matematiky • 05
3
B 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Čísla a, b a k jsou přirozená čísla. Nejmenším společným násobkem čísla a, které je k násobkem čísla 32, a čísla b, které je k násobkem čísla 24, je číslo 1 440. max. 2 body
5
Určete číslo k. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. max. 2 body
6
Řešte v množině racionálních čísel rovnici √x = 1 – 2x.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána krychle o hraně délky a. Do krychle je vepsána koule tak, že se dotýká krychle ve středech jejích stěn.
B 33
max. 2 body
7
7.1 7.2 7.3 7.4
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 3 Objem koule je větší než – objemu krychle. 4 1 Povrch koule je větší než – povrchu krychle. 2 Tělesová úhlopříčka krychle je rovna čtyřnásobku poloměru koule. Stěnová úhlopříčka krychle je rovna trojnásobku poloměru koule.
ANO
NE
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Výraz v = 1,2 ∙ (0,8 ∙ 1,3x + 50) vyjadřuje, jak byl výrobek s původní cenou x postupně zdražován a zlevňován, až dosáhla jeho cena hodnoty v. Ceny jsou uvedeny v Kč. 2 body
8
Která z možností A–E popisuje, jaké změny v ceně výrobku dle výrazu v proběhly? A) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 50 Kč, potom třikrát zvýšena, napřed o 130 %, potom o 80 % a nakonec o 120 %. B) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 30 %, poté o 20 % snížena, poté vrácena na původní výši a nakonec byla ještě navýšena o 50 Kč. C) Cena výrobku byla postupně zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 % a nakonec opět zvýšena o 20 %. D) Cena výrobku byla zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 Kč a nakonec opět zvýšena o 20 %. E) Cena výrobku byla zprvu zvýšena o 20 %, poté snížena o 20 %, následně zdražena o 30 % a nakonec navýšena ještě o 50 Kč.
4
Maturita z matematiky • 05
B 33 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Do čtverce o hraně délky 2r je vepsán kruh o poloměru r tak, že jejich středy splývají. V jednom z bodů jejich dotyku je střed dalšího kruhu, jehož obvodová kružnice prochází sousedními body dotyku původního kruhu a čtverce.
2 body
9
Který z výrazů A–E vyjadřuje obsah vyšrafované části v závislosti na rozměru r? A) r2(π – 1) B) 3r2 C) πr2 D) 4r2 E) r2(π + 2) max. 4 body
10
Přiřaďte každé z funkcí (10.1–10.4) její maximální definiční obor (A–F).
log3(3 – x) 10.1 y =– x log3x 10.2 y = – x–3 √3 – x 10.3 y = – log3x 10.4 y = log3(3 – x) + √x A) B) C) D) E) F)
x ( א0; 3) ( 3; +∞) x ( א0; 3) x ;∞–( א1) ( 1; 3) x ;∞–( א0) ( 0; 3) x ( א0; 1) ( 1; 3² x א¢0; 3)
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 05
5
B 33
B 33
,,$87256.eĤ(ä(1Ì VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede z každé světové strany jedno svébytné schodiště. Schodiště bylo postaveno tak, že od země vycházelo šikmo vzhůru 24 schodů, poté schodiště změnilo směr a pokračovalo 22 schody, pak opět změnilo směr a pokračovalo 20 schody atd., až dosáhlo plošiny na vrcholu stavby, ke které vystoupaly poslední dva schody, neboť počet schodů v jednom směru se pravidelně zmenšoval. Stejným způsobem jsou postavena schodiště na všech čtyřech bocích zikkuratu.
B 33
1 bod
1
Kolik celkem schodů vedlo na zikkurat na všech bocích stavby dohromady? Protože počty schodů představují členy po dvou (d = –2) klesající konečné aritmetické posloupnosti počínající členem a1 = 24 a končící členem an = 2, stačí jejich celkový počet s vypočítat jako čtyřnásobek součtu Sn všech jejích členů. an – a1 an = a1 + (n – 1) ∙ d ֜ n = 1 + – d an – a1 (an + a1) ∙ 1 + – d (a n + a1) ∙ n – = –– – Sn = – 2 2 2 – 24 = 52 ∙ 12 = 624 s = 4Sn = 2(2 + 24) ∙ 1 + – –2
(
(
)
)
Na zikkurat vede 624 schodů. Řešení: 624
6
Maturita z matematiky • 05
B 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 tg2x + 1 –. Je dán výraz– tg x · cotg x – – sin2x – 1
2
1 bod
π Určete hodnotu výrazu pro x א0; – . 6
(
)
Využijeme základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi, které jsou na daném intervalu π definovány. x א0; – 6 sin x רtg x ∙ cotg x = 1 רcos2x + sin2x = 1 tg x = – cos x 1 sin x 2 + 1 – 2 cos x sin2x + cos2x tg x + 1 ∙ (–cos2x) = –1 – – = –– = –– cos2x tg x · cotg x 1 – – – –cos2x sin2x – 1
(
)
(
)
Řešení: –1
B 33
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na obrázku jsou dány přímky p a q v kartézské soustavě souřadnic.
max. 3 body
3.1 Určete odchylku φ zobrazených přímek p a q. Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně.
Maturita z matematiky • 05
7
B 33
Odchylku přímek lze spočítat pomocí odchylky jejich směrových vektorů. Přímky jsou dle obrázku definovány takto: {[–2; 1]; [1; 3]} אp; {[–2; 4]; [3; –2]} אq Určíme jejich směrové vektory. sԦp = (1 – (–2); 3 – 1) = (3; 2); sԦq = (3 – (–2); –2 – 4) = (5; –6) Dosazením do vzorce pro výpočet odchylky přímek získáme hodnotu odchylku φ zobrazených přímek p a q. | sԦp ∙ sԦq | 3 |3 · 5 – + 2 · (–6)| – =– cos φ = – =– √13 · √61 √32 + 22 · √52 + (–6)2 | sԦp ||sԦq | 3 φ = arccos– =ሶ 84° √13 · √61 Přímky svírají úhel 84°. Řešení: φ =ሶ 84°
3.2 Určete souřadnice bodu M, který je průsečíkem přímek p a q. Přímka p = {[–2 + 3t; 1 + 2t; t אR]}, přímka q = {[–2 + 5s; 4 – 6s; s אR]}. Budeme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. –2 + 3t = –2 + 5s ר1 + 2t = 4 – 6s ֜ 4 – 6t = 4 – 10s ר3 + 6t = 12 – 18s ֜ 9 ; 4–6∙– 9 ֜ M –2 + 5 ∙ – 9 ֜M – 58 ֜ M – 29 –11; – –11; – ֜7 = 16 – 28s ֜ s = – 28 28 28 28 28 28 14 –11; – 29 . Přímky se protínají v bodě M – 28 14
B 33
[
[
29 –11; – Řešení: M – 28 14
[
]
[
]
[
]
]
]
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Na dřevěné hrací desce je 5 × 6 polí, na které jeden hráč umísťuje 15 stejných kamenů ve tvaru kosočtverce a druhý 15 identických kamenů oválných. Hráč si připíše body například za dvojici či trojici svých kamenů stojících vedle sebe, výše bodované jsou vedle sebe stojící čtveřice, ještě lépe čtveřice stojící tak, jak vlevo nahoře zobrazuje obrázek – takových bodovaných kombinací nabízí hra více. Ve hře tedy rozhoduje vzájemná poloha kamenů vedle sebe.
1 bod
4
Určete, kolik možností rozložení kamenů na hrací ploše existuje, kameny stejného tvaru jsou zaměnitelné.
8
Maturita z matematiky • 05
B 33
Při hře vlastně kameny jenom přemísťujeme opakující se kameny (permutace s opakováním), konkrétně 15 kosočtvercových (k1 = 15) a 15 oválných kamenů (k1 = 15), tedy 30 kamenů celkem (n = 30). Použijeme tedy vztah n! , kde k + k = n. P’n (k1; k2) = – 1 2 k1! ∙ k2! V našem případě tedy 30! = 155 117 520. P’30 (15; 15) = – 15! ∙ 15! Řešení: 155 117 520
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Čísla a, b a k jsou přirozená čísla. Nejmenším společným násobkem čísla a, které je k násobkem čísla 32, a čísla b, které je k násobkem čísla 24, je číslo 1 440. max. 2 body
5
Určete číslo k. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Vyjádříme obě čísla pomocí rozkladu na součin mocnin prvočísel a určíme jejich nejmenší společný násobek. Uvědomme si, že je-li číslo a násobkem čísla k a číslo b taktéž, je i jejich nejmenší společný násobek násobkem čísla k. a = 32k = 25k; b = 24k = 23 ∙ 3k; k אN ֜ ֜ N(a, b) = 25 ∙ 3k = 1 440 ֜ ֜ 1 440 = 25 ∙ 32 ∙ 5 ֜ k = 3 ∙ 5 = 15 Řešení: k = 15
max. 2 body
6
Řešte v množině racionálních čísel rovnici √x = 1 – 2x. √x = 1 – 2x | 2 x = 1 – 4x + 4x2 1 – 5x + 4x2 = 0 1 – x – 4x + 4x2 = 0 (1 – x)(1 – 4x) = 0 1 x=1שx=– 4 1. Provedeme zkoušku a na základě ní rozhodneme, že řešením je pouze x = – 4 1 Řešení: x = – 4
Maturita z matematiky • 05
9
B 33
B 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána krychle o hraně délky a. Do krychle je vepsána koule tak, že se dotýká krychle ve středech jejích stěn. max. 2 body
7
7.1 7.2 7.3 7.4
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO
3 Objem koule je větší než – objemu krychle. 4 1 Povrch koule je větší než – povrchu krychle. 2 Tělesová úhlopříčka krychle je rovna čtyřnásobku poloměru koule. Stěnová úhlopříčka krychle je rovna trojnásobku poloměru koule.
NE
a 3 7.1 4π – 2 4π a3 = – a . Její objem je tedy – π a3 =ሶ 0,52a3. = – Krychle má povrch a3. Koule má poloměr – 3 2 24 6 Tvrzení je nepravdivé.
( )
B 33
7.2 a . Její povrch je tedy 4π – 1 Krychle má povrch 6a2. Koule má poloměr – 2 2 pravdivé.
2
( ) = πa =ሶ 3,14a . Tvrzení je 2
2
7.3 a . Poměr velikosti poloměru koule Krychle má tělesovou úhlopříčku délky a√3. Koule má poloměr – 2 a√3 a délky tělesové úhlopříčky krychle je – = 2√3 =ሶ 3,46. Tvrzení je nepravdivé. a – 2 7.4 a . Poměr velikosti poloměru koule Krychle má stěnovou úhlopříčku délky a√2. Koule má poloměr – 2 a√2 a délky tělesové úhlopříčky krychle je – = 2√2 =ሶ 2,8. Tvrzení je nepravdivé. a – 2 Řešení: NE, ANO, NE, NE
10
Maturita z matematiky • 05
B 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Výraz v = 1,2 ∙ (0,8 ∙ 1,3x + 50) vyjadřuje, jak byl výrobek s původní cenou x postupně zdražován a zlevňován, až dosáhla jeho cena hodnoty v. Ceny jsou uvedeny v Kč. 2 body
8
Která z možností A–E popisuje, jaké změny v ceně výrobku dle výrazu v proběhly? A) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 50 Kč, potom třikrát zvýšena, napřed o 130 %, potom o 80 % a nakonec o 120 %. B) Cena výrobku byla napřed zvýšena o 30 %, poté o 20 % snížena, poté vrácena na původní výši a nakonec byla ještě navýšena o 50 Kč. C) Cena výrobku byla postupně zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 % a nakonec opět zvýšena o 20 %. D) Cena výrobku byla zvýšena o 30 %, poté snížena o 20 %, dále zvýšena o 50 Kč a nakonec opět zvýšena o 20 %. E) Cena výrobku byla zprvu zvýšena o 20 %, poté snížena o 20 %, následně zdražena o 30 % a nakonec navýšena ještě o 50 Kč. Budeme-li postupovat dle výrazu, musíme si uvědomit, které operace byly provedeny dříve a které později. x ֜ 1,3x ֜ 0,8 ∙ 1,3x ֜ 0,8 ∙ 1,3x + 50 ֜ 1,2 ∙ (0,8 ∙ 1,3x + 50) = v Zvýšení ceny o 30 % ֜ Snížení ceny o 20 % ֜ Zvýšení ceny o 50 Kč ֜ Zvýšení ceny o 20 % Této posloupnosti kroků odpovídá pouze možnost D. Řešení: D
Maturita z matematiky • 05
11
B 33
B 33 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Do čtverce o hraně délky 2r je vepsán kruh o poloměru r tak, že jejich středy splývají. V jednom z bodů jejich dotyku je střed dalšího kruhu, jehož obvodová kružnice prochází sousedními body dotyku původního kruhu a čtverce.
B 33
2 body
9
Který z výrazů A–E vyjadřuje obsah vyšrafované části v závislosti na rozměru r? A) r2(π – 1) B) 3r2 C) πr2 D) 4r2 E) r2(π + 2) Zrekapitulujme si rozměry útvarů. Čtverec má stranu délky 2r, menší z kruhů má poloměr r a poloměr většího z kruhů si musíme dopočítat. I z obrázku je vypozorovatelné, že je úhlopříčkou ve čtverci s délkou strany r, má tedy rozměr r√2. Vyšrafovaná část představuje součet dvou ploch – půlkruhu (polovina obsahu menšího z kruhů) a kruhové úseče oddělené od většího z kruhů (tětiva je střední příčkou čtverce – odpovídá tedy dle zadání středovému úhlu 90°). Obsah šrafované plochy získáme tedy ze vztahu: πr2 + – πr2 + – πr2 + – 2r2 – 2πr2 − – 2r2 = πr2 − r2 = r2 (π − 1) (r√2)2 – π ∙ 90° − sin 90° = – π − 1 =– S=– 2 2 2 2 2 4 2 2 a Správně je možnost A.
(
)
(
)
Řešení: A
12
Maturita z matematiky • 05
B 33 max. 4 body
10
Přiřaďte každé z funkcí (10.1–10.4) její maximální definiční obor (A–F).
log3(3 – x) 10.1 y =– x log3x 10.2 y = – x–3 √3 – x 10.3 y = – log3x 10.4 y = log3(3 – x) + √x A) B) C) D) E) F)
x ( א0; 3) ( 3; +∞) x ( א0; 3) x ;∞–( א1) ( 1; 3) x ;∞–( א0) ( 0; 3) x ( א0; 1) ( 1; 3² x א¢0; 3)
B 33
10.1
log– 3(3 − x) y=– ֜ 3 − x > 0 רx ≠ 0 ֜ x ;∞–( א0) ( 0; 3) x Řešení: D 10.2 log3x y =– ֜ x > 0 רx – 3 ≠ 0 ֜ x ( א0; 3) ( 3; +∞) x−3 Řešení: A
10.3 √3 − x y = – ֜ 3 − x ≥ 0 רlog3x ≠ 0 רx > 0 ֜ log3x ֜3 ≥ x רx ≠ 1 רx > 0 ֜ ֜x ( א0; 1) ( 1; 3²
Řešení: E
10.4 y = log3(3 − x) + √x ֜ 3 – x > 0 רx ≥ 0 ֜ x א¢0; 3) Řešení: F
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 05
13
B 33
B 33
14
Maturita z matematiky • 05
B 33
,,,./Ìą
Tabulka úspěšnosti
1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
624
1 bod
2
−1
1 bod
3.1 φ =ሶ 84°
1 bod
3
3.2
[
29 –11; – M – 28 14
]
B 33
2 body
4
155 117 520
1 bod
5
Vyjádříme obě čísla pomocí rozkladu na součin mocnin prvočísel a určíme jejich nejmenší společný násobek. Uvědomme si, že je-li číslo a násobkem čísla k a číslo b taktéž, je i jejich nejmenší společný násobek násobkem čísla k. a = 32k = 25k; b = 24k = 23 ∙ 3k; k אN ֜ ֜ N(a, b) = 25 ∙ 3k = 1 440 ֜ ֜ 1440 = 25 ∙ 32 ∙ 5 ֜ k = 3 ∙ 5 = 15
max. 2 body
1 x=– 4
2 body
Řešení: k = 15
6 7
7.1 NE 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 NE 7.4 NE 8
D
2 body
9
A
2 body
Maturita z matematiky • 05
15
B 33
10 10.1 D 10.2 A
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 E 10.4 F
B 33
16
Maturita z matematiky • 05
B 33
,9=É=1$029ë/,67 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
1 bod
2
1 bod
3 3.1
1 bod
3.2
2 body
4
1 bod
5
max. 2 body
6
2 body
7
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7.1 7.2
B 33
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4 8
2 body
9
2 body
Maturita z matematiky • 05
17
B 33
10 10.1 10.2
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
B 33
18
Maturita z matematiky • 05
