CVIČNÝ TEST 56 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 7 17 19
B 56
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Vrchol komína Kocourkovské elektrárny vidí pozorovatel z roviny, na níž komín stojí, pod výškovým úhlem 10° ze vzdálenosti 680 m. V 35,6 m výšky komína je zakreslen úzký červený pruh. max. 2 body
1.1 Určete výšku komína. (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) 1.2 Určete úhel, pod kterým vidí pozorovatel část komína od červeného pruhu k vrcholu. (Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně.) max. 2 body
B 56
2
x – 2
Určete reálné číslo M tak, aby se funkce f: y = 3x + M a g: y = 3 ∙ 9 pro všechna reálná čísla x rovnaly. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 V Kocourkově mají zvláštní strom se 168 větvemi, z jehož kmene vychází tři větve, z každé z nich pět větví, z každé z nich sedm větví a tak dále.
max. 2 body
3
2
Určete, kolik větví vychází z každé poslední rozvětvené větve.
Maturita z matematiky • 10
B 56 max. 2 body
4
Řešte pro přípustné hodnoty reálných proměnných soustavu rovnic 8 I. 4x + – = 12 y 4 II. 3x − – = 4. y VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány dvě kolmé přímky p a q, které se protínají v bodě Y [0; 4]. Přímka p protíná osu x v bodě P, přímka q protíná osu x v bodě Q[16; 0]. 1 bod
5
Určete vzdálenost bodů P a Q.
6
6−3 Zjednodušte výraz 3 − 22 ∙ –2 . 3−2
1 bod
|
2
|
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a délky 6 cm. Výška v jehlanu je 6 cm. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
ANO NE 7.1 Odchylka boční hrany CV od podstavy ABC jehlanu je větší než 63°. 7.2 Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC jehlanu je větší než 63°. 7.3 Odchylka boční hrany CV od hrany BC podstavy je větší než 65°. 3 7.4 Objem jehlanu je 216 cm .
Maturita z matematiky • 10
3
B 56
B 56 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pan Kocourek je archeolog a během prozkoumávání staré hrobky se dostal do čtyřúhelníkové místnosti. Dle dochované mapy z ní vedou dvě cesty, jedna vpravo, jedna vlevo. Cesta vpravo vede na rozcestí, odkud jedna ze tří cest vede do místnosti s cenným pokladem. Druhé dvě ústí do prázdných místností. Z místnosti, kde se pan Kocourek nachází, vede ještě cesta vlevo, která se po chvíli opět rozdvojuje. Kdyby si pan Kocourek v tomto případě vybral možnost jít vlevo, rovněž by do místnosti s pokladem dorazil. Naopak odbočením vpravo by skončil v prázdné místnosti.
B 56 2 body
8
Která z možností A–E přesně určuje pravděpodobnost, že pan Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, vydá-li se jednou z cest, aniž by se vracel? A) 1 1 B) – 6 1 C) – 5 5 – D) 12 5 – E) 6
4
Maturita z matematiky • 10
B 56 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán čtverec tak, že tři z jeho vrcholů vymezují čtvrtkruh o poloměru 6 cm. U posledního vrcholu čtverce je naopak středový úhel menšího čtvrtkruhu o poloměru 2 cm, jehož oblouk má koncový i počáteční bod na stranách čtverce, které z tohoto jeho posledního vrcholu vychází. Plochy obou čtvrtkruhů vymezují ve čtverci plochu označenou v obrázku černě.
2 body
9
Která z možností A–E určuje obsah této vymezené plochy? A) (36 – 10π) cm2 B) (36 – 32π) cm2 C) (36 – π) cm2 D) (10π) cm2 E) (π) cm2
Maturita z matematiky • 10
5
B 56
B 56 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 V obchodě mají v regálu m kg jablek. Cena za 1 kg jablek je r Kč. Pan Kocourek si koupil 20 % objemu jablek, které byly v regálu. Z ceny jablek mu byla na pokladně odečtena jednorázová sleva n Kč. max. 4 body
10 Přiřaďte výrazu (10.1–10.4) jeho slovní zadání (A–F). 10.1 m ∙ r 10.2 0,8m 10.3 0,2m ∙ r – n 100 ∙ (0,2m ∙ r − n) 10.4 100 − – – – 0,2m ∙ r
B 56
A) Cena za 1 jablko. B) Cena jablek v regálu poté, co část pan Kocourek odkoupil. C) Cena celkového množství jablek v regálu před nákupem pana Kocourka. D) Počet procent, které tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem. E) Skutečná cena, kterou pan Kocourek za nákup jablek po uplatnění slevy zaplatil. F) Počet procent, o které byl nákup levnější tím, že pan Kocourek uplatnil jednorázovou slevu.
KONEC TESTU
6
Maturita z matematiky • 10
B 56
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Vrchol komína Kocourkovské elektrárny vidí pozorovatel z roviny, na níž komín stojí, pod výškovým úhlem 10° ze vzdálenosti 680 m. V 35,6 m výšky komína je zakreslen úzký červený pruh. max. 2 body
1.1 Určete výšku komína. (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) Výšku v komína určíme z pravoúhlého trojúhelníka.
B 56 K výpočtu výšky v užijeme funkci tangens. v – = tg10° ⇒ v = (680 m) ∙ tg10° ⇒ v ≈ 120 m. 680 m Výška komína je přibližně 120 m. Řešení: 120 m
1.2 Určete úhel, pod kterým vidí pozorovatel část komína od červeného pruhu k vrcholu. (Výsledek zaokrouhlete na celé úhlové stupně.) Úhel 10 – φ dopočteme tak, že odečteme od zadaného výškového úhlu výškový úhel červeného pruhu φ.
35, 6 m = tgφ ⇒ φ ≈ 3° – 680 m Hledaný úhel dopočteme: 10° – 3° = 7°. Část komína od červeného pruhu k vrcholu je vidět pod úhlem 7°. Řešení: 7°
Maturita z matematiky • 10
7
B 56 max. 2 body
2
x – 2
Určete reálné číslo M tak, aby se funkce f: y = 3x + M a g: y = 3 ∙ 9 pro všechna reálná čísla x rovnaly. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení. Funkce se rovnají jen tehdy, když mají stejný definiční obor a jejich předpisy jsou pro každý bod společného definičního oboru shodné. Stačí tedy vyjádřit předpis funkce g vhodným způsobem. Úplným definičním oborem obou funkcí jsou všechna reálná čísla. x x x 1 2 – 1 2∙– 1 x 1+x 3 ∙ 9– . 2 = 3 ∙ (3 ) 2 = 3 ∙ 3 2 =3 ∙3 =3 Aby předpis funkce g byl stejný jako předpis funkce f, musí být číslo M rovno 1. Řešení: M = 1
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3
B 56
V Kocourkově mají zvláštní strom se 168 větvemi, z jehož kmene vychází tři větve, z každé z nich pět větví, z každé z nich sedm větví a tak dále.
max. 2 body
3
Určete, kolik větví vychází z každé poslední rozvětvené větve. Větve stromu splňují konečnou aritmetickou posloupnost, jejíž první tři členy jsou 3, 5 a 7, tj. jejíž první člen je 3, diference 2 a součet sn všech členů je 168. Určíme n a an. n ∧ a = a + (n – 1) ∙ d sn = (a1 + an) ∙ – n 1 2 n ⇒ n ⇒ 168 = (4 + 2n) ∙ – an = 3 + (n – 1) ∙ 2 = 3 + 2n – 2 = 1 + 2n ⇒ 168 = (3 + 1 + 2n) ∙ – 2 2 168 = (2 + n)n ⇒ 168 = 2n + n2 ⇒ n2 + 2n – 168 = 0 ⇒ (n – 12)(n + 14) = 0 ⇒ n = 12 Nyní určíme an. an = 1 + 2 ∙ 12 = 25. Z každé poslední rozvětvené větve vychází 25 větví. Řešení: 25 větví
8
Maturita z matematiky • 10
B 56 max. 2 body
4
Řešte pro přípustné hodnoty reálných proměnných soustavu rovnic 8 I. 4x + – = 12 y 4 II. 3x − – = 4. y Soustavu budeme řešit pro libovolné reálné x a nenulové y. 4 . K řešení můžeme použít substituci a nahradit neznámou za výraz – y Lze ale řešit soustavu i přímo, kombinovanou metodou. Vynásobíme druhou rovnici 2 a přičteme ji k rovnici první, eliminujeme tak neznámou y. 8 = 12 I. 4x + – y 4 II. 3x − – = 4 | ∙ 2 y 8 I. 4x + – = 12 y 8 II. 6x − – = 8 | + I. y
B 56
I. + II. 10x = 20 | : 10 I. + II. x = 2 Druhou neznámou y dopočteme dosazovací metodou. 4 =4 II. 3 ∙ 2 − – y 4 4 = 4 | −4 + – II. 6 − – y y 4 II. 2 = – y
y |∙ – 2
II. y = 2 Řešením soustavy je [2; 2]. Řešení: [2; 2]
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány dvě kolmé přímky p a q, které se protínají v bodě Y [0; 4]. Přímka p protíná osu x v bodě P, přímka q protíná osu x v bodě Q[16; 0]. 1 bod
5
Určete vzdálenost bodů P a Q.
Maturita z matematiky • 10
9
B 56
Bod P leží na ose x, tj. P = [x, 0]. ⃗ a vektor QY ⃗ platí, že jsou kolmé, tj. jejich skalární součin je roven nule. Pro vektor PY Určíme souřadnice těchto vektorů a platnost podmínky prověříme. ⃗ = P – Y = (x – 0; 0 – 4) = (x; –4) YP ⃗ = Q – Y = (16 – 0; 0 – 4) = (16; –4) YQ ⃗ ∙ YQ ⃗ = (x; –4) ∙ (16; –4) = 16x + (–4) ∙ (–4) = 16x + 16 = 0 ⇒ x = –1 YP Víme tedy, že bod P = [–1, 0]. Nyní určíme vzdálenost |PQ| vzorcem, nebo jednodušeji rozdílem jejich x-ových souřadnic. |PQ| = |–1 – 16| = |–17| = 17. Vzdálenost |PQ| je rovna 17. Řešení: 17 1 bod
6
|
|
6−3 Zjednodušte výraz 3 − 22 ∙ –2 . 3−2 2
6 – 3 = 3 − 4 ∙– 6–9 = 3−4∙– –3 = |3 − 4 ∙ 3| = |3 − 12| = |−9| = 9 |3 − 2 ∙ – 3−2 | | 3−4 | | −1 | 2
B 56
2
2
Řešení: 9
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a délky 6 cm. Výška v jehlanu je 6 cm. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
ANO NE 7.1 Odchylka boční hrany CV od podstavy ABC jehlanu je větší než 63°. 7.2 Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC jehlanu je větší než 63°. 7.3 Odchylka boční hrany CV od hrany BC podstavy je větší než 65°. 3 7.4 Objem jehlanu je 216 cm . 7.1 Využijeme rovnoramenného trojúhelníka ACV, u kterého víme, že výška na základnu je výškou v jehlanu a je délky 6 cm a základna je úhlopříčkou podstavy, tedy má délku a√2 tj. 6√2 cm. Nyní určíme velikost ostrého úhlu ACV, který je odchylkou boční hrany CV od podstavy ABC.
( )
(
)
6 cm ≈ 54,7°. v |∢ACV| = arctg – = arctg – a√2 3√2 cm – 2 Odchylka je tedy menší než 63°. Tvrzení je nepravdivé.
10
Maturita z matematiky • 10
B 56
7.2 Odchylka boční stěny BCV od podstavy ABC je reprezentována odchylkou ramene a základny rovnoramenného trojúhelníka SADVSBC, kde body SAD a SBC jsou po řadě středy hran AD a BC. Víme, že výška na základnu je výškou v jehlanu a je délky 6 cm a základna má délku hrany podstavy, tedy má délku a, tj. 6 cm.
Nyní určíme velikost ostrého úhlu ∢SADSBCV, který je odchylkou boční stěny BCV od podstavy ABC.
( )
(
)
6 cm ≈ 63,4°. v = arctg – |∢SADSBCV| = arctg – a 3 cm – 2 Odchylka je tedy větší než 63°. Tvrzení je pravdivé.
B 56
7.3 Odchylka boční hrany CV od hrany BC je reprezentována odchylkou ramene a základny rovnoramenného trojúhelníka BVC. Víme, že výška na základnu je výškou stěny jehlanu, použijeme tedy k určení odchylky rameno CV, jehož délku spočteme s použitím trojúhelníka ACV z úvodního příkladu. Naopak základna je známa – její délka je podstava, tedy má délku a, tj. 6 cm.
√ ( ) √
a√2 2 = (6 cm)2 + (3√2 cm)2 = 3√6 cm. |CV| = v2 − – 2 Nyní určíme velikost ostrého úhlu BCV, který je odchylkou boční hrany CV od hrany BC. a – 2 6 cm ≈ 65,9°. – = arccos – |∢BCV| = arccos – 2 3√2 cm a√2 v2 ∙ – 2 Odchylka je tedy větší než 65°. Tvrzení je pravdivé.
(√
(
)
)
(
)
7.4 Jehlan má podstavu čtverec o ploše (6 cm) ∙ (6 cm) a výšku délky 6 cm. Objem 216 cm3 by byl objem hranolu s týmiž parametry, jehlan má objem třetinový. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE
Maturita z matematiky • 10
11
B 56 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Pan Kocourek je archeolog a během prozkoumávání staré hrobky se dostal do čtyřúhelníkové místnosti. Dle dochované mapy z ní vedou dvě cesty, jedna vpravo, jedna vlevo. Cesta vpravo vede na rozcestí, odkud jedna ze tří cest vede do místnosti s cenným pokladem. Druhé dvě ústí do prázdných místností. Z místnosti, kde se pan Kocourek nachází, vede ještě cesta vlevo, která se po chvíli opět rozdvojuje. Kdyby si pan Kocourek v tomto případě vybral možnost jít vlevo, rovněž by do místnosti s pokladem dorazil. Naopak odbočením vpravo by skončil v prázdné místnosti.
B 56 2 body
8
Která z možností A–E přesně určuje pravděpodobnost, že pan Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, vydá-li se jednou z cest, aniž by se vracel? A) 1 1 B) – 6 1 C) – 5 5 – D) 12 5 – E) 6 1 ) Pan Kocourek si ve vstupní místnosti může vybrat cestu vpravo (tu si vybere s pravděpodobností – 2 1 ). Dle kombinatorického pravidla a poté si na rozcestí musí vybrat levou cestu (s pravděpodobností – 3 1 . Pan Kocourek ale může jít také vlevo (tu si vybe1 ∙– součinu je pravděpodobnost této volby P1 = – 2 3 1 ). 1 ) a poté si na rozcestí vybere cestu vpravo (s pravděpodobností – re opět s pravděpodobností – 2 2 1 . Protože obě tyto 1 ∙– Dle kombinatorického pravidla součinu je pravděpodobnost této volby P2 = – 2 2 pravděpodobnosti jsou pravděpodobnostmi disjunktních jevů, je celková pravděpodobnost, že pan 1 +– 1 ∙– 1 =– 1 +– 1 =– 2+3 = – 5 . 1 ∙– Kocourek dorazí do místnosti s pokladem, P = P1 + P2 = – 2 3 2 2 6 4 12 12 Správně je možnost D. Řešení: D
12
Maturita z matematiky • 10
B 56 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán čtverec tak, že tři z jeho vrcholů vymezují čtvrtkruh o poloměru 6 cm. U posledního vrcholu čtverce je naopak středový úhel menšího čtvrtkruhu o poloměru 2 cm, jehož oblouk má koncový i počáteční bod na stranách čtverce, které z tohoto jeho posledního vrcholu vychází. Plochy obou čtvrtkruhů vymezují ve čtverci plochu označenou v obrázku černě.
2 body
9
Která z možností A–E určuje obsah této vymezené plochy? A) (36 – 10π) cm2 B) (36 – 32π) cm2 C) (36 – π) cm2 D) (10π) cm2 E) (π) cm2 Vypočteme plochy obou čtvrtkruhů (P1 a P2 )a jejich součet odečteme od plochy P0 čtverce. π ∙ (6 cm)2, P = – π ∙ (2 cm)2 a P = (6 cm)2. P1 = – 2 0 4 4 π ∙ (6 cm)2 + – π ∙ (2 cm)2 = 36 − – π (36 + 4) cm2 = (36 − 10π) cm2. P0 – (P1 + P2) = (6 cm)2 – – 4 4 4 Obsah vymezené plochy je (36 − 10π) cm2. Správně je tedy možnost A. Řešení: A
Maturita z matematiky • 10
(
) [
]
13
B 56
B 56 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 V obchodě mají v regálu m kg jablek. Cena za 1 kg jablek je r Kč. Pan Kocourek si koupil 20 % objemu jablek, které byly v regálu. Z ceny jablek mu byla na pokladně odečtena jednorázová sleva n Kč. max. 4 body
10 Přiřaďte výrazu (10.1–10.4) jeho slovní zadání (A–F). 10.1 m ∙ r 10.2 0,8mr 10.3 0,2m ∙ r – n 100 ∙ (0,2m ∙ r − n) 10.4 100 − – – – 0,2m ∙ r
B 56
A) Cena za 1 jablko. B) Cena jablek v regálu poté, co část pan Kocourek odkoupil. C) Cena celkového množství jablek v regálu před nákupem pana Kocourka. D) Počet procent, které tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem. E) Skutečná cena, kterou pan Kocourek za nákup jablek po uplatnění slevy zaplatil. F) Počet procent, o které byl nákup levnější tím, že pan Kocourek uplatnil jednorázovou slevu. Vyhodnocování může probíhat oběma směry, ukážeme zde rozbor zadání výrazem. 10.1 Součin m ∙ r vyjadřuje cenu r 1 kg jablek vynásobenou vahou m všech jablek v regálu před nákupem. Výraz tedy vyjadřuje cenu za všechna jablka v regálu. Řešení: C 10.2 Dělíme-li tuto cenu pěti, získáme cenu za pětinové množství jablek, tj. 20 % objemu jablek, které jsou mr za to množství, které si pan Kocourek koupil. Zbylé v regálu před nákupem. Získáme tak cenu – 5 čtyři pětiny ceny je tedy částka, kterou zaplatíme za zbylá jablka v regálu. Řešení: B 10.3 mr za zakoupená jablka jednorázovou částku n získáme skutečnou cenu, Odečteme-li tedy od ceny – 5 mr − n = 0,2mr − n. kterou pan Kocourek zaplatil. Výraz jen upravíme: – 5 Řešení: E
14
Maturita z matematiky • 10
B 56
10.4 Pokud bychom nyní částku 0,2mr – n, kterou pan Kocourek zaplatil, vydělili částkou 0,2mr, kterou by zaplatil bez uplatnění slevy, získáme údaj, jakou část nová cena nákupu tvoří z ceny původní. Nyní stačí údaj vynásobit sty procenty, budeme mít část vyjádřenu v procentech. Když získaný údaj nyní odečteme od 100 %, uvidíme, o kolik % byla cena s uplatněnou slevou nižší než cena původní. Řešení: F Pro úplnost: Cenu za 1 jablko vyčíslit nelze, nevíme celkový počet jablek v regálu. Počet procent, kolik tvořila cena nákupu s uplatněnou slevou z celkové ceny všech jablek v regálu před nákupem, by vyjadřoval výraz 100 ∙ (0,2m– ∙ r − n) . – m∙r
KONEC TESTU
B 56
Maturita z matematiky • 10
15
B 56
B 56
16
Maturita z matematiky • 10
B 56
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
2
1.1 120 m
1 bod
1.2 7°
1 bod
Funkce se rovnají jen tehdy, když mají stejný definiční obor a jejich předpisy jsou pro každý bod společného definičního oboru shodné. Stačí tedy vyjádřit předpis funkce g vhodným způsobem. Úplným definičním oborem obou funkcí jsou všechna reálná čísla. x x x 1 2 – 1 2∙– 1 x 1+x 3 ∙ 9– . 2 = 3 ∙ (3 ) 2 = 3 ∙ 3 2 =3 ∙3 =3 Aby předpis funkce g byl stejný jako předpis funkce f, musí být číslo M rovno 1.
max. 2 body
B 56
Řešení: M = 1
3
25 větví
max. 2 body
4
[2; 2]
max. 2 body
5
17
1 bod
6
9
1 bod
7 7.1 NE 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 NE
Maturita z matematiky • 10
17
B 56
8
D
2 body
9
A
2 body
10 10.1 C 10.2 B
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 E 10.4 F
B 56
18
Maturita z matematiky • 10
B 56
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
1 bod
2
max. 2 body
3
max. 2 body
4
max. 2 body
5
1 bod
6
1 bod
7
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7.1 7.2
B 56
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4
Maturita z matematiky • 10
19
B 56
8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1 10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
B 56
20
Maturita z matematiky • 10
