CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 15 17
B 36
I. CVIČNÝ TEST 1 bod
1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem |(6√2 − |π − 4| + |3π − √72| − 3π)|.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2
B 36
Z černých a bílých kamínků je vyrobena rozsáhlá čtvercová mozaika. Mozaiku tvoří kamínky vyskládané soustředné černé a bílé čtverce, které se postupně střídají a zvětšují. Nejmenší čtverec má obvod tvořený ze 4 černých kamínků. Další čtverec je bílý, tvořený 12 bílými kamínky. Na každé straně každého čtverce je vždy o 2 kamínky více než na každé straně největšího z čtverců ležícího uvnitř něj. Kamínků bylo na mozaiku použito dohromady 15 376. Na obrázku je ukázka prvních pěti čtverců mozaiky.
max. 3 body
2.1 Jakou barvu budou mít kamínky, které tvoří obvod největšího čtverce v mozaice? 2.2 V jakém poměru jsou v celé mozaice použity bílé a černé kamínky? Výsledek vyjádřete jako zlomek v základním tvaru.
2
Maturita z matematiky • 06
B 36 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Vyšrafovaný čtyřúhelník má vrcholy umístěny v bodech čtvercové mřížky tvořené čtverci s obsahem 1 cm2.
max. 2 body
3.1 Určete délku nejkratší strany vyšrafovaného čtyřúhelníku. 3.2 Určete obsah vyšrafovaného čtyřúhelníku.
1 bod
4
Určete menší ze dvou vzájemně převrácených kladných reálných čísel, jejichž součet je roven pěti třetinám toho z jejich rozdílů, který je kladný.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro x ∈ R+ je definován výraz [(√x − 1)2 − (1 − √x)2 ]2. 5
1 bod
Určete hodnotu výrazu pro x = 3√ 7.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Na obrázku je síť rotačního kužele, tvořená kruhovou výsečí (plášť kužele) a kruhem (podstava kužele). Středový úhel kruhové výseče je 216°, obsah kruhu 9 π cm2.
max. 2 body
6
Určete velikost v výšky kužele. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
Maturita z matematiky • 06
3
B 36
B 36 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 x–6 . Je dána rovnice funkce f: y = – 2–x max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE
7.1 Funkce f je pro všechna záporná reálná čísla definována. 7.2 Pro x ∈ 〈3, 8〉 je funkce klesající. 7.3 Pro každé x ≥ 4 platí, že f(x) ≤ 1. 7.4 Funkce f je lichá.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8
B 36
(
)
x ∙ 57!. Pro přirozená čísla x je dána rovnice 60! − 58! = 60x − – 59 2 body
8 Která z možností A–E určuje kořen x dané rovnice? A) x = 60 B) x = 60 ∙ 58 C) x = 59 ∙ 58 D) x = 58 ∙ 57 E) x = 60 ∙ 59 ∙ 58
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 x Jsou dány přímky p = {[x, y]; y = −x ∧ x ∈ R} a q = {[x, y]; y = – − 2 ∧ x ∈ R}. 1 9
2 body
Která z možností A−E udává y-ovou souřadnici bodu přímky q, který má od přímky p vzdálenost rovnu √2? A) −1 B) 0 C) √2 D) 2√2 E) 3
4
Maturita z matematiky • 06
B 36 max. 4 body
10
Přiřaďte každé zobrazené množině bodů v kartézské soustavě Oxy (10.1–10.4) soustavu nerovnic, jíž je řešením (A–F).
10.1
10.2
10.3
10.4
A) B) C) D) E) F)
B 36
{ yy << −x +x +1 1 { yy << −x +x −1 1 { yy >> −x +x −1 1 { yy >> −x +x +1 1 { yy >> −x +x −2 2 { yy >> −x −x −2 1
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 06
5
B 36
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod
1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem |(6√2 − |π − 4| + |3π − √72| − 3π)|. Odstraníme absolutní hodnotu. Odstraňujeme ji tak, že je-li výraz v ní kladný, je jeho absolutní hodnota rovna jemu samému, je-li záporný, je rovna výrazu k němu opačnému.
|6√2 − |π − 4| + |3π − √72| − 3π| = |6√2 + (π − 4) + (3π − √72) − 3π| = |π − 4| = 4 − π −
+
6√2
−
Řešení: 4 − π
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2
B 36
Z černých a bílých kamínků je vyrobena rozsáhlá čtvercová mozaika. Mozaiku tvoří kamínky vyskládané soustředné černé a bílé čtverce, které se postupně střídají a zvětšují. Nejmenší čtverec má obvod tvořený ze 4 černých kamínků. Další čtverec je bílý, tvořený 12 bílými kamínky. Na každé straně každého čtverce je vždy o 2 kamínky více než na každé straně největšího z čtverců ležícího uvnitř něj. Kamínků bylo na mozaiku použito dohromady 15 376. Na obrázku je ukázka prvních pěti čtverců mozaiky.
max. 3 body
2.1 Jakou barvu budou mít kamínky, které tvoří obvod největšího čtverce v mozaice? 2.2 V jakém poměru jsou v celé mozaice použity bílé a černé kamínky? Výsledek vyjádřete jako zlomek v základním tvaru.
6
Maturita z matematiky • 06
B 36
Kamínky vytváří čtverce, jejichž délky tvoří aritmetické posloupnosti. Délky obvodů čtverečků představují aritmetickou posloupnost {4 + (n − 1) ∙ 8; n ∈ N}. Protože víme, kolik bylo kamínků celkově použito, určíme n, které vyjadřuje počet čtverců, které mozaiku tvoří, ze vzorce pro součet aritmetické posloupnosti. n = 15 376 [4 + 4 + (n − 1) ∙ 8] ∙ – 2 8n + 8n2 − 8n = 30 752 8n2 = 30 752 n2 = 3844 n = 62 2.1 V mozaice bylo použito 62 čtverců, a protože černé kamínky tvoří první, třetí, pátý,…, tedy liché čtverce, a bílé kamínky sudé čtverce, bude poslední čtverec, čtverec nejdelší délky, tvořen z bílých kamínků. Řešení: bílou 2.2 U dílčích barev můžeme také v délkách čtverců odhalit posloupnosti. U černých kamínků se jedná o posloupnost 4, 20, 36, …, tj. {4 + (l − 1) ∙ 16; l ∈ N}, u bílých kamínků o podobnou posloupnost 12, 28, 44, …, j. {12 + (m − 1) ∙ 16; m ∈ N}. Protože mozaiku tvoří celkově 62 čtverců, nachází se v ní 31 bílých (m = 31) a 31 černých čtverců (l = 31). U obou posloupností určíme součet 31 členů (tj. počty všech kamínků v příslušné barvě) a určíme poměr počtu bílých k počtu černých kamínků mozaiky. – [12 + 12 + (31 − 1) ∙ 16] ∙ 31 2 63 7812 = – – – –= – 7564 61 31 [4 + 4 + (31 − 1) ∙ 16] ∙ – 2
B 36
63 Řešení: – 61
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Vyšrafovaný čtyřúhelník má vrcholy umístěny v bodech čtvercové mřížky tvořené čtverci s obsahem 1 cm2.
max. 2 body
3.1 Určete délku nejkratší strany vyšrafovaného čtyřúhelníku. Protože dílčí čtverec mřížky má obsah 1 cm2, je jeho strana délky 1 cm. Nejkratší strana vyšrafovaného čtyřúhelníku je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku o odvěsnách délek 2 cm a 4 cm, má tedy délku √(2 cm)2 + (4 cm)2 = √4 cm2 + 16 cm2 = √20 cm = 2√5 cm. Řešení: 2√ 5 cm
Maturita z matematiky • 06
7
B 36 3.2 Určete obsah vyšrafovaného čtyřúhelníku. Čtyřúhelník je zakreslen do mřížky s 96 čtverečky, tedy s obsahem 96 cm2. Pokud od obsahu celé mřížky odečteme obsahy krajních pravoúhlých trojúhelníků I, II, III a IV, získáme obsah S čtyřúhelníku.
(4 cm) ∙ (9 cm) – = 18 cm2, Obsahy trojúhelníků I, II, III a IV jsou po řadě SI = – 2 (3 cm) ∙ (7 cm) (4 cm) ∙ (2 cm) (10 cm) ∙ (1 cm) – – – = 10,5 cm2, SIII = – = 4 cm2 a SIV = – = 5 cm2. SII = – 2 2 2 Obsah čtyřúhelníku je S = (96 cm2) − (SI + SII + SIII + SIV) = (96 cm2) − (18 cm2 + 10,5 cm2 + 4 cm2 + 5 cm2) = (96 cm2) − (37,5 cm2) = 58,5 cm2.
B 36
Řešení: 58,5 cm2
1 bod
4
Určete menší ze dvou vzájemně převrácených kladných reálných čísel, jejichž součet je roven pěti třetinám toho z jejich rozdílů, který je kladný. 1 >0 x>– x Sestavíme a vyřešíme rovnici za výše uvedené podmínky. 1 5 x−– 1 =– x+– x 3 x 2 – x2 + 1 5x − 5 =– x 3x
(
)
3x2 + 3 = 5x2 − 5 8 = 2x2 x=2 1. Jedná se tedy o dvojici čísel 2 a – 2 1. Menším z nich je – 2 1 Řešení: – 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro x ∈ R+ je definován výraz [(√x − 1)2 − (1 − √x)2 ]2. 5
8
1 bod
Určete hodnotu výrazu pro x = 3√ 7.
Maturita z matematiky • 06
B 36
3 3 Výraz je pro x = √7 definován. Zjednodušíme jej a dosadíme x = √7 do zjednodušeného tvaru.
[(√x − 1)2 − (1 − √x)2]2 = [x − 2√x + 1 − (1 − 2√x + x)]2 = 0 3 Protože je výraz pro všechna přípustná x vždy roven nule, je roven nule i pro x = √7.
Řešení: 0
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Na obrázku je síť rotačního kužele, tvořená kruhovou výsečí (plášť kužele) a kruhem (podstava kužele). Středový úhel kruhové výseče je 216°, obsah kruhu 9 π cm2.
B 36 max. 2 body
6
Určete velikost v výšky kužele. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Z obsahu kruhu získáme jeho poloměr r, z poloměru jeho obvod l. S = πr2 = 9π cm2 r = 3 cm Pro středový úhel 216° platí: 216° = – 2πr – 360° 2πs 6π cm 3 =– – 2πs 5 6s = 30 cm s = 5 cm Pro stranu kužele, poloměr podstavy a výšku kužele platí: v = √s2 − r2 v = √(5 cm)2 − (3 cm)2 v = 4 cm Kužel má výšku dlouhou 4 cm. Řešení: v = 4 cm
Maturita z matematiky • 06
9
B 36 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 x–6 . Je dána rovnice funkce f: y = – 2–x max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Funkce f je pro všechna záporná reálná čísla definována. 7.2 Pro x ∈ 〈3, 8〉 je funkce klesající. 7.3 Pro každé x ≥ 4 platí, že f(x) ≤ 1. 7.4 Funkce f je lichá.
ANO NE
7.1 2 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 ⇒ Df = (−∞, 2) ∪ (2, +∞) Funkce f je pro záporná reálná čísla definována. Tvrzení je pravdivé.
B 36
7.2 K určení monotónnosti lze použít graf lineárně lomené funkce. Taková funkce má na každé větvi definičního oboru ryze monotónní průběh, stačí tedy zjistit, jak její graf vypadá. Upravíme pro x ≠ 2 předpis funkce f, abychom rozpoznali asymptotický střed a průběh funkce. −(2 − x) − 4 = −1 + 4 + 6) = – −(2 − x + 4) = – – – – – f: y = −(−x 2−x 2−x 2−x x−2 Zkonstruujeme graf a odvodíme, že pro x ∈ 〈3, 8〉 je funkce klesající.
Tvrzení je pravdivé. 7.3 I toto tvrzení je zhodnotitelné z přesného grafu, podobného závěru lze dosáhnout i řešením nerovnice. x − 6 − 2 + x – x−6 ≤ 1 ∧ x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, +∞) ⇒ –– ≤ 0 ∧ x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, +∞) 2−x 2−x 2x − 8 ⇒ – ≤ 0 ∧ x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, +∞) ⇒ x ∈ (−∞, 2) ∪ 〈4, +∞) 2−x Tvrzení je pravdivé.
10
Maturita z matematiky • 06
B 36
7.4 Závěr opět lze odvodit z přesného grafu, nebo dle definice liché funkce. Protože graf není středově souměrný podle počátku, funkce lichá není. Pokud bychom použili definici, muselo by platit, že pro každé x z definičního oboru funkce platí, že f(−x) = −f(x). −x − 6 f(−x) = – = −f(x) jen pro x = 0. 2 − (−x) Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, NE
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8
(
)
x ∙ 57!. Pro přirozená čísla x je dána rovnice 60! − 58! = 60x − – 59 2 body
8 Která z možností A–E určuje kořen x dané rovnice? A) x = 60 B) x = 60 ∙ 58 C) x = 59 ∙ 58 D) x = 58 ∙ 57 E) x = 60 ∙ 59 ∙ 58 Pro přípustné hodnoty řešíme rovnici. x ∙ 57! 60! − 58! = 60x − – 59 x ∙ 57! | : 57! (60 ∙ 59 ∙ 58 − 58) ∙ 57! = 60x − – 59 x (60 ∙ 59 ∙ 58 − 58) = 60x − – | ∙ 59 59 59 ∙ (60 ∙ 59 ∙ 58 − 58) = 60 ∙ 59x − x 59 ∙ (60 ∙ 59 ∙ 58 − 58) = x(60 ∙ 59 − 1) 59 ∙ 58 ∙ (60 ∙ 59 − 1) = x(60 ∙ 59 − 1) | : (60 ∙ 59 − 1) x = 58 ∙ 59
(
(
)
(
)
)
Správná je možnost C. Řešení: C
Maturita z matematiky • 06
11
B 36
B 36 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 x Jsou dány přímky p = {[x, y]; y = −x ∧ x ∈ R} a q = {[x, y]; y = – − 2 ∧ x ∈ R}. 1 9
2 body
Která z možností A−E udává y-ovou souřadnici bodu přímky q, který má od přímky p vzdálenost rovnu √2? A) −1 B) 0 C) √2 D) 2√2 E) 3 Z rovnice přímky q si vyjádříme y, abychom mohli vyjádřit souřadnice libovolného jejího bodu s pomocí souřadnice y. x − 2 ⇒ 3y = x − 6 ⇒ x = 3y + 6, y ∈ R y=– 3 Hledáme tedy bod [3y + 6; y], y ∈ R, pro který platí, že má od přímky x + y = 0 vzdálenost √2. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost bodu od přímky. |3y + 6 +– y| √2 = – 2 2 √1 + 1 |4y + 6| – √2 = √2 2 = |4y + 6|
B 36
Nyní už můžeme závěr odvodit experimentováním, dosazením souřadnic v možnostech A–E a vybrat správnou odpověď. 2 = |4y + 6| | : 4
| ( )|
1 = y − −– 3 – 2 2
| ( )|
1 = y − −– 3 má geometrický význam takový, že hledáme číslo y, jehož obraz Protože rovnice – 2 2 3 1 , zjišťujeme, že y = −1 nebo y = −2. má od obrazu čísla −– vzdálenost rovnu – 2 2 Správně je tedy možnost A. Řešení: A
12
Maturita z matematiky • 06
B 36 max. 4 body
10
Přiřaďte každé zobrazené množině bodů v kartézské soustavě Oxy (10.1–10.4) soustavu nerovnic, jíž je řešením (A–F).
10.1
10.2
10.3
10.4
A) B) C) D) E) F)
B 36
{ yy << −x +x +1 1 { yy << −x +x −1 1 { yy >> −x +x −1 1 { yy >> −x +x +1 1 { yy >> −x +x −2 2 { yy >> −x −x −2 1
Maturita z matematiky • 06
13
B 36
Směrnice k hraničních přímek jsou ve všech případech stejné, 1 a −1, předpisy určíme vždy s pomocí průsečíků s osou y, víme-li, že je-li předpis lineární funkce y = kx + q, x ∈ R, potom platí, že je Py [0, q]. 10.1 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = −x − 1, y = x + 1 . Řešení leží vždy „nad“ oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ C. Řešení: C 10.2 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = −x + 1, y = x + 1 . Řešení leží vždy „nad“ oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ D. Řešení: D 10.3 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = −x + 1, y = x + 1 . Řešení leží vždy „pod“ oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ A. Řešení: A
B 36
10.4 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = −x − 1, y = x − 2 . Řešení leží vždy „nad“ oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ F. Řešení: F
KONEC TESTU
14
Maturita z matematiky • 06
B 36
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
4−π
1 bod
2.1 bílou
1 bod
2
2.2
63 – 61
max. 2 body
B 36
3 3.1 2√5 cm
1 bod
3.2 58,5 cm2
1 bod
4
1 – 2
1 bod
5
0
1 bod
6
Z obsahu kruhu získáme jeho poloměr r, z poloměru jeho obvod l. S = πr2 = 9π cm2 r = 3 cm
max. 2 body
Pro středový úhel 216° platí: 216° = – 2πr – 488° 2πs 2 3 =– – 2πs 5 6π cm 3 =– – 2πs 5 6s = 30 cm s = 5 cm Pro stranu kužele, poloměr podstavy a výšku kužele platí: v = √s2 − r2 v = √(5 cm)2 − (3 cm)2 v = 4 cm Kužel má výšku dlouhou 4 cm. Řešení: v = 4 cm
Maturita z matematiky • 06
15
B 36
7 7.1 ANO 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 NE 8
C
2 body
9
A
2 body
10 10.1 C
B 36
10.2 D
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 A 10.4 F
16
Maturita z matematiky • 06
B 36
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů 1 bod
2 2.1
1 bod
2.2
max. 2 body
3.1
1 bod
3.2
1 bod
B 36
3
4
1 bod
5
1 bod
6
max. 2 body
Maturita z matematiky • 06
17
B 36
7 7.1 7.2
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4 8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1
B 36
10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
18
Maturita z matematiky • 06
