CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 15 17
B 48
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní úhly při straně délky a jsou pravé. Nejdelší strana má délku b, nejkratší 3 (viz obrázek).
B 48 max. 3 body
1.1 Určete výraz o, který vyjadřuje délku obvodu čtyřúhelníku. 1.2 Určete zjednodušený výraz S, který vyjadřuje velikost obsahu čtyřúhelníku. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Továrník Ludeček si nechal na zakázku vyrobit na svůj rozložitý, starožitný pracovní stůl ve stylu art deco od architekta Jindřicha Halabaly sestavu 28 šanonů z barevného tvrzeného polystyrenu. Nejvyšší šanon má výšku 60 cm, druhý nejvyšší 58,5 cm, další potom 57 cm atd. Šanony mají stejnou šířku 7 cm. Když se šanony postaví těsně vedle sebe do řady, zabírají bez 4 cm celou délku stolu.
max. 2 body
2.1 Jakou délku má továrníkův stůl? 2.2 Jakou výšku má nejnižší šanon?
2
Maturita z matematiky • 08
B 48 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do čtvercové mřížky tvořené čtverečky o straně délky 1 byla zakreslen čtverec (viz obrázek) rozdělený na tři části – pravoúhlé trojúhelníky (I a III) a pětiúhelník, jejichž vrcholy leží v bodech mřížky.
max. 2 body
3.1 Který z útvarů I, II, nebo III má největší obvod? 3.2 Jakou část obsahu čtverce tvoří obsah pětiúhelníku II? (Výsledek uveďte jako zlomek v základním tvaru.)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Neořezaná tužka na kreslení je kolmý válec s podstavou kruhu o průměru 6 mm, do něhož je vložen válec tuhy o průměru 2 mm o stejné výšce. Po ořezání vznikl odpad rovnající se 5 % objemu celé tužky, z tuhy byl odpad menší, jen 1 % jejího původního objemu. Objem tuhy je po ořezání 594 mm3.
1 bod
4
Jaký objem v mm měla neořezaná tužka? 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[5, 11], B[–1, 5], P[x, y], x, y ∈ R. Bod P leží uvnitř úsečky AB.
1 bod
5 Určete P tak, aby platilo: |AP| : |PB| = 2 : 1 1 bod
6
Řešte rovnici 3 + 3
Maturita z matematiky • 08
–x
–x + 1
= 12 s neznámou x ∈ R.
3
B 48
B 48 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce reálné proměnné f: y = 3px – p + 1, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel, kde p je reálný parametr. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Pro p > 1 je funkce rostoucí. 7.2 Pro p = 1 je funkce lichá. 7.3 Existuje alespoň jedno p, pro které je funkce f omezená. 7.4 Existuje alespoň jedno p, pro které nemá graf funkce f průsečík s osou y.
B 48
ANO NE
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V balíčku 30 karet jsou jen čtyři druhy karet. Na deseti z nich je na lícové straně obrázek zeleného čtverce, na devíti obrázek červeného kruhu, na třech kartách je vyobrazen zelený kruh a na zbylých kartách obrázek červeného trojúhelníku. 2 body
8
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytáhneme kartu s červeným obrázkem nebo s obrázkem kruhu? 29 A) – 30 41 – B) 72 2 – C) 3 1 – D) 125 E) žádná z uvedených možností
2 body
9
4
3 x2 + 2x Která z možností A–E udává počet právě všech kořenů rovnice – = – x+3 x+3 pro přípustné hodnoty reálné neznámé x? A) žádný B) jeden C) dva D) tři E) nekonečně mnoho
Maturita z matematiky • 08
B 48 max. 4 body
10 Přiřaďte každé dvojici čísel (10.1–10.4) jejich největší společný dělitel (A–F). 10.1 144,120 10.2 240, 36 10.3 60, 64 10.4 120, 100
A) 4 B) 8 C) 12 D) 20 E) 24 F) 60
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 08
B 48
5
B 48
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní úhly při straně délky a jsou pravé. Nejdelší strana má délku b, nejkratší 3.
B 48 max. 3 body
1.1 Určete výraz o, který vyjadřuje délku obvodu čtyřúhelníku. K výpočtu délky obvodu potřebujeme délku čtvrté neznámé strany. Určíme ji tak, že doplníme čtyřúhelník na obdélník. Hledaná strana je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky a a b – 3.
Délka o obvodu bude tedy vyjádřena výrazem o = 3 + a + b + √a2 + (b – 3)2. Řešení: o = 3 + a + b + √a2 + (b – 3)2
6
Maturita z matematiky • 08
B 48 1.2 Určete zjednodušený výraz S, který vyjadřuje velikost obsahu čtyřúhelníku. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Pro výpočet obsahu naopak odečteme od obsahu obdélníka polovinu obsahu obdélníka, v němž je šikmá strana čtyřúhelníku úhlopříčkou. Téhož dosáhneme, sečteme-li velikosti obsahů menšího z obdélníků a pravoúhlého trojúhelníka (viz obrázek).
B 48 1 [a ∙ (b − 3)] = 3a + – 1 [a ∙ (b − 3)] = – 1 ab + – 3 a= Velikost S obsahu vypočteme takto: S = ab −– 2 2 2 2 1 a(b + 3). =– 2 1 a(b + 3) Řešení: S = – 2
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Továrník Ludeček si nechal na zakázku vyrobit na svůj rozložitý, starožitný pracovní stůl ve stylu art deco od architekta Jindřicha Halabaly sestavu 28 šanonů z barevného tvrzeného polystyrenu. Nejvyšší šanon má výšku 60 cm, druhý nejvyšší 58,5 cm, další potom 57 cm atd. Šanony mají stejnou šířku 7 cm. Když se šanony postaví těsně vedle sebe do řady, zabírají bez 4 cm celou délku stolu.
Maturita z matematiky • 08
7
B 48 max. 2 body
2.1 Jakou délku má továrníkův stůl? Šanonů bude stát vedle sebe 28, tedy zaberou délku 28 ∙ 7 cm = 196 cm. Takto postavené šanony tvoří bez 4 cm celou délku stolu. Stůl má tedy délku 196 cm + 4 cm = 200 cm. Řešení: 200 cm
2.2 Jakou výšku má nejnižší šanon? Výšky šanonů tvoří aritmetickou posloupnost, a1 = 60 cm, d = –1,5 cm, určíme a28. a28 = a1 + 27d = 60 cm + 27 ∙ (–1,5 cm) = 19,5 cm Nejnižší šanon má výšku 19,5 cm. Řešení: 19,5 cm
B 48
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do čtvercové mřížky tvořené čtverečky o straně délky 1 byla zakreslen čtverec (viz obrázek) rozdělený na tři části – pravoúhlé trojúhelníky (I a III) a pětiúhelník, jejichž vrcholy leží v bodech mřížky.
max. 2 body
3.1 Který z útvarů I, II, nebo III má největší obvod?
8
Maturita z matematiky • 08
B 48
Strana jednoho čtverečku mřížky je 1 jednotka. Popíšeme si v obrázku délky všech stran všech útvarů. Spočteme i délky přepon obou pravoúhlých trojúhelníků pomocí Pythagorovy věty.
B 48
Nyní porovnáme obvody oI, oII, oIII. oI = 10 + 5√2 ≈ 17,07 oII = 4 + 5√2 + 2√13 ≈ 18,28 oIII = 4 + 6 + 2√13 ≈ 17,21 Nejdelší je obvod pětiúhelníku II. Řešení: II
3.2 Jakou část obsahu čtverce tvoří obsah pětiúhelníku II? (Výsledek uveďte jako zlomek v základním tvaru.) S – (SI + SIII) , Jakou část obsahu čtverce tvoří pětiúhelník II, spočteme ze vztahu: – S kde S je obsah čtverce a SI , SIII jsou obsahy pravoúhlých trojúhelníků.
(
)
25 – 36 – – + 24 23 72 –– 25 – 24 = – 2 2 =– – – 36 72 72 23 obsahu čtverce. Pětiúhelník tvoří – 72 23 Řešení: – 72
Maturita z matematiky • 08
9
B 48 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Neořezaná tužka na kreslení je kolmý válec s podstavou kruhu o průměru 6 mm, do něhož je vložen válec tuhy o průměru 2 mm o stejné výšce. Po ořezání vznikl odpad rovnající se 5 % objemu celé tužky, z tuhy byl odpad menší, jen 1 % jejího původního objemu. Objem tuhy je po ořezání 594 mm3.
1 bod
4
Jaký objem v mm měla neořezaná tužka? 3
594 mm3 ∙ 100 % = Objem tuhy po ořezání tužky je 594 mm3. Objem T tuhy před ořezáním tužky je – 99 % 2 mm = 1 mm a v je výška tuhy (výška válce tuhy je stejná = 600 mm3 = πt2v, kde t je poloměr tuhy – 2 jako výška válce celé tužky). Vypočteme ji ze vztahu pro objem T tuhy. T =– 600 mm3 = – 600 mm – v=– 2 πt π · (1 mm)2 π 6 mm = 3 mm. Podstavou válce celé tužky je kruh o poloměru r = – 2 Spočteme nyní objem V válce, který je objemem původní, neořezané tužky. 600 mm = 5 400 mm3. V = πr2v = π(3 mm)2 ∙ – π Tužka měla původně objem 5 400 mm3.
(
B 48
)
Řešení: 5 400 mm3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[5, 11], B[–1, 5], P[x, y], x, y ∈ R. Bod P leží uvnitř úsečky AB.
1 bod
5 Určete P tak, aby platilo: |AP| : |PB| = 2 : 1 Rozdělíme-li úsečku AB na tři díly, bude ležet bod P dva dílky od bodu A a jeden dílek bude vzdálen od bodu B. Bude tedy platit, že: 2 AB ⃗ P=A+– 3 2 (–1 – 5) = 5 – 4 = 1 x=5+– 3 2 (5 – 11) = 11 – 4 = 7 y = 11 + – 3 P[x, y] = P[1, 7]. Řešení: P[1, 7]
10
Maturita z matematiky • 08
B 48 1 bod
6
Řešte rovnici 3 + 3 –x
–x + 1
= 12 s neznámou x ∈ R.
3–x + 3–x + 1 = 12 ⇒ 3–x(1 + 3) = 12 ⇒ 3–x = 3 ⇒ –x = 1 ⇒ x = –1 Řešení: x = –1
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce reálné proměnné f: y = 3px – p + 1, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel, kde p je reálný parametr. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Pro p > 1 je funkce rostoucí. 7.2 Pro p = 1 je funkce lichá. 7.3 Existuje alespoň jedno p, pro které je funkce f omezená. 7.4 Existuje alespoň jedno p, pro které nemá graf funkce f průsečík s osou y.
ANO NE
B 48
7.1 Aby byla lineární funkce f: y = 3px – p + 1 rostoucí, musí být její směrnice kladná. Kdyby bylo p nulové, půjde o konstantní funkci, která není ani rostoucí, ani klesající. Směrnicí bude pro nenulová p výraz 3p, který je pro kladná p rovněž kladný. Pro p > 1 je tedy funkce určitě rostoucí, neboť každé p > 1 je kladné. Tvrzení je pravdivé. 7.2 Funkce je lichá, platí-li pro každé x z jejího definičního oboru, že f(–x) = f(x). Je-li p = 1, jedná se v našem případě o funkci f: y = 3x. Protože pro každé x ∈ R platí, že f(–x) = 3(–x) = –3x = –f(x), funkce je lichá. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Aby byla funkce f: y = 3px – p + 1 omezená, musí být konstantní, neboť ani rostoucí, ani klesající lineární funkce na množině všech reálných čísel není omezená. Funkce f je konstantní pro p = 0. Takové p tedy existuje. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Pro všechny hodnoty reálného parametru p je funkce f funkcí konstantní nebo lineární. Každá konstantní nebo lineární funkce, jejímž definičním oborem je množina reálných čísel (viz zadání), je definována i pro x = 0, a tudíž má vždy průsečík s osou y. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, NE
Maturita z matematiky • 08
11
B 48 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V balíčku 30 karet jsou jen čtyři druhy karet. Na deseti z nich je na lícové straně obrázek zeleného čtverce, na devíti obrázek červeného kruhu, na třech kartách je vyobrazen zelený kruh a na zbylých kartách obrázek červeného trojúhelníku. 2 body
8
B 48
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytáhneme kartu s červeným obrázkem nebo s obrázkem kruhu? 29 A) – 30 41 – B) 72 2 – C) 3 1 – D) 125 E) žádná z uvedených možností Zelené čtverce jsou v balíčku 10 krát, zelené kruhy 3 krát, červené kruhy 9 krát a červený trojúhelník na 8 kartách. 17 , pravděpodobnost P(K), že je tam Pravděpodobnost P(C), že na první kartě je červený obrázek, je – 30 12 . Pravděpodobnost P(C ∪ K) jevu, že je na obrázku červený obrázek nebo obrázek kruhu, kruh, je – 30 je rovna součtu pravděpodobností P(C) + P(K), zmenšené o pravděpodobnost P(C ∪ K), neboť jevy nejsou disjunktní (případné karty s obrázkem červeného kruhu jsou výsledky příznivé oběma jevům). 17 + – 12 − – 9 =– 20 = – 2 P(C ∪ K) = P(C) + P(K) – P(C ∪ K), = – 30 30 30 30 3 Správná je možnost C. Řešení: C
2 body
9
12
3 x + 2x Která z možností A–E udává počet právě všech kořenů rovnice – = – x+3 x+3 pro přípustné hodnoty reálné neznámé x? A) žádný B) jeden C) dva D) tři E) nekonečně mnoho 2
Maturita z matematiky • 08
B 48
Definičním oborem rovnice jsou všechna reálná čísla vyjma –3, pro níž je jmenovatel roven 0. Pro přípustná x rovnici řešíme. 3 x2 + 2x = – – x+3 x+3 x2 + 2x = 3 x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x1 = –3 ∨ x2 = 1 Kořen x1 = –3 neleží v definičním oboru. Rovnice má právě jeden kořen. Správně je tedy možnost B. Řešení: B
max. 4 body
10 Přiřaďte každé dvojici čísel (10.1–10.4) jejich největší společný dělitel (A–F). 10.1 144,120 10.2 240, 36 10.3 60, 64 10.4 120, 100
B 48
A) 4 B) 8 C) 12 D) 20 E) 24 F) 60 10.1 D(144, 120) = D(24 ∙ 32, 23 ∙ 3 ∙ 5) = 23 ∙ 3 = 24 Řešení: E 10.2 D(240, 36) = D(24 ∙ 3 ∙ 5, 22 ∙ 32) = 22 ∙ 3 = 12 Řešení: C 10.3 D(60, 64) = D(22 ∙ 3 ∙ 5, 26) = 22 = 4 Řešení: A 10.4 D(120, 100) = D(23 ∙ 3 ∙ 5, 22 ∙ 52) = 22 ∙ 5 = 20 Řešení: D
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 08
13
B 48
B 48
14
Maturita z matematiky • 08
B 48
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1 o = 3 + a + b + √a2 + (b – 3)2
1 bod
1.2
max. 2 body
Pro výpočet obsahu naopak odečteme od obsahu obdélníka polovinu obsahu obdélníka v němž je šikmá strana čtyřúhelníku úhlopříčkou. Téhož dosáhneme, sečteme-li velikosti obsahů menšího z obdélníků a pravoúhlého trojúhelníka (viz obrázek).
B 48
1 [a ∙ (b − 3)] = Velikost S obsahu vypočteme takto: S = ab −– 2 1 [a ∙ (b − 3)] = – 1 ab + – 3 a=– 1 a(b + 3). 3a + – 2 2 2 2 1 a(b + 3) Řešení: S = – 2
2 2.1 200 cm
1 bod
2.2 19,5 cm
1 bod
3.1 II
1 bod
3
3.2
23 – 72
Maturita z matematiky • 08
1 bod
15
B 48
4
5 400 mm3
1 bod
5
P[1, 7]
1 bod
6
x = –1
1 bod
7 7.1 ANO 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 NE
B 48
8
C
2 body
9
B
2 body
10 10.1 E 10.2 C
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 A 10.4 D
16
Maturita z matematiky • 08
B 48
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
max. 2 body
B 48
2 2.1
1 bod
2.2
1 bod
3.1
1 bod
3.2
1 bod
3
Maturita z matematiky • 08
17
B 48
4
1 bod
5
1 bod
6
1 bod
7
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7.1 7.2
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4
B 48
8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1 10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
18
Maturita z matematiky • 08
