CVIČNÝ TEST 47 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 47
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Sbor chlapců a mužů se pro různé příležitosti štěpí do různých koncertních skupin (mužský sbor, gospelová skupina, komorní skupina, madrigaly). Každý zpěvák sboru účinkuje právě ve dvou takových koncertních skupinách. Ne zcela doplněná tabulka níže ukazuje, kolik členů sboru zpívá v různých dvojicích skupin, např. v chrámovém sboru a ve skupině madrigaly zpívá 10 sboristů. V posledním sloupci je uveden počet členů sboru v dané koncertní skupině, například v komorním sboru zpívá 30 sboristů. chrámový sbor chrámový sbor
–
gospelová skupina
40
gospelová skupina –
komorní skupina
B 47
madrigaly
komorní skupina
madrigaly
10
10
15 –
10
20
dohromady
5
30
–
max. 2 body
1.1 Kolik členů má celý sbor? 1.2 Kolik zpěváků zpívá v gospelové nebo v komorní skupině?
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jídelní servis vyřazený z prodeje obsahuje 27 stejných mělkých talířů, 180 stejných hlubokých talířů, 72 stejných polévkových misek a 90 stejných desertních talířů. V rámci příměstského podnikového tábora pořádaného porcelánkou pro děti zaměstnanců proběhla série soutěží a vždy tři nejúspěšnější děti obdržely ceny sestavené právě z kusů nádobí z vyřazeného servisu. Každý ze tří vítězů obdržel tři různé kusy. 1 bod
2
2
Kolik nejvíce soutěží mohlo proběhnout?
Maturita z matematiky • 08
B 47 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Viditelná část jistého akvária v sekci vodního světa v ZOO má tvar rovnostranného trojúhelníka s jednou vodorovnou stranou, zbytek akvária je kryt dřevěným ostěním. Voda sahá ve viditelné části do 3√3 cm výšky a smáčí 75 % viditelné části akvária.
max. 2 body
3
Jakou plochu má viditelná část akvária, která je pod vodou? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry čtvereční.)
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Betonový válec na lepení plakátů je polepen 100 nepřekrývajícími se plakáty o rozměru 200 mm × 300 mm tak, že se žádné dva plakáty nepřekrývají a celá plocha válce je využita. Válec má v průměru 1 m. 1 bod
4
Kolik m je válec vysoký? (Výsledek zaokrouhlete na celé m.)
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky p: x − y + 7 = 0 a q = {1 − t, 2 + t; t ∈ R}.
max. 3 body
5.1 Určete y tak, aby bod M[−6, y] ležel na přímce p. 5.2 Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p a q a je kolmá k souřadnicové ose x. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. 1 bod
6
Které celé číslo je nejmenší hodnotou výrazu 2 ∙ 2
Maturita z matematiky • 08
x−3
− 2, jestliže x ∈ R?
3
B 47
B 47 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7
{
}
9 Je dána posloupnost čtyř racionálních čísel 2, a, 3,– . 2
7
max. 2 body
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE
5 7.1 Je-li a = –, jedná se o aritmetickou posloupnost. 2 3 7.2 Je-li a = –, jedná se o geometrickou posloupnost. 2 7.3 Je-li a = 2,3, jedná se o rostoucí posloupnost. 7.4 Je-li a = −2,3, nejedná se o posloupnost.
B 47
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 p Kvadratická rovnice 2x2 − –x + p2 = 0, p ∈ R má dva různé reálné kořeny. 3 2 body
8
Která z možností A–E určuje, čemu je roven součin těchto kořenů?
p A) −– 3 2p B) −– 3 p – C) 6 – p2 D) 3 p2 – E) 2
2 body
9
Která z možností A–E určuje jen takové hodnoty parametru p, pro které má rovni x ce – = x – p s neznámou x ∈ R vždy právě jedno řešení. p A) p > 1 B) p≤1 C) p ∈ 〈−1, 1〉 D) p ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) E) p∈R
4
Maturita z matematiky • 08
B 47 max. 4 body
10
Přiřaďte k výrazům (10.1–10.4) jejich ekvivalentní vyjádření (A–F). −x 10.1 – 2 x +x 1 1 – +– 1–x x–1 10.2 – – 2 1 – x – x 10.3 – x – x–1 1 10.4 1 + x ∙ – 1–x (x – 1)2 A) − – x2 B) 0 1 C) – –1–x 1 D) – 1–x E) 1 F) −1
B 47
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 08
5
B 47
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Sbor chlapců a mužů se pro různé příležitosti štěpí do různých koncertních skupin (mužský sbor, gospelová skupina, komorní skupina, madrigaly). Každý zpěvák sboru účinkuje právě ve dvou takových koncertních skupinách. Ne zcela doplněná tabulka níže ukazuje, kolik členů sboru zpívá v různých dvojicích skupin, např. v chrámovém sboru a ve skupině madrigaly zpívá 10 sboristů. V posledním sloupci je uveden počet členů sboru v dané koncertní skupině, například v komorním sboru zpívá 30 sboristů. chrámový sbor chrámový sbor
–
gospelová skupina
40
gospelová skupina –
madrigaly
madrigaly
10
10
– 10
dohromady
15
komorní skupina
B 47
komorní skupina
5
20
30
–
max. 2 body
1.1 Kolik členů má celý sbor? Doplníme tabulku kompletně – tabulka je podél hlavní diagonály osově souměrná, počty se shodují, protože vyjadřují stejný průnik.
chrámový sbor
gospelová skupina
komorní skupina
madrigaly
dohromady
chrámový sbor
–
40
10
10
60
gospelová skupina
40
–
15
20
75
komorní skupina
10
15
–
5
30
madrigaly
10
20
5
–
35
Ve sboru zpívá celkem 100 sboristů, neboť každý z členů sboru je započten právě do dvou z koncertních skupin. Řešení: 100 členů
1.2 Kolik zpěváků zpívá v gospelové nebo v komorní skupině? Chceme-li spočítat, kolik zpěváků zpívá v komorní nebo gospelové skupině, sečteme jejich počty (105 zpěváků), ale tím jsme započítali ty, kteří zpívají v obou skupinách (15 zpěváků), dvakrát. Musíme tedy počet těchto zpěváků jednou odečíst. V komorní nebo gospelové skupině zpívá 90 zpěváků. Řešení: 90 zpěváků
6
Maturita z matematiky • 08
B 47 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jídelní servis vyřazený z prodeje obsahuje 27 stejných mělkých talířů, 180 stejných hlubokých talířů, 72 stejných polévkových misek a 90 stejných desertních talířů. V rámci příměstského podnikového tábora pořádaného porcelánkou pro děti zaměstnanců proběhla série soutěží a vždy tři nejúspěšnější děti obdržely ceny sestavené právě z kusů nádobí z vyřazeného servisu. Každý ze tří vítězů obdržel tři různé kusy. 1 bod
2
Kolik nejvíce soutěží mohlo proběhnout? Při vyhodnocení jedné soutěže se rozdalo devět kusů nádobí. Každý soutěžící, který byl oceněn, snížil počet kusů ve třech baleních o jeden kus. Výpočet se nezmění, budeme-li uvažovat, že zprvu budeme plnit ceny ze tří konkrétních balení. Předpokládejme, že po vyhodnocení ubude v balení tří ze čtyř typu trojice kusů. Protože platí: 27 = 3 ∙ 9 180 = 3 ∙ 60 72 = 3 ∙ 24 90 = 3 ∙ 30, vyčerpá se po devíti soutěžích napřed balení plytkých talířů, po dalších 15 soutěžích pak balení polévkových misek. Ze zbylých dvou balení už nelze tvořit ceny, v nichž je jednomu výherci předána trojice různých kusů. Při zadaných podmínkách může proběhnout nejvýše 24 soutěží.
B 47
Řešení: 24 soutěží
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Viditelná část jistého akvária v sekci vodního světa v ZOO má tvar rovnostranného trojúhelníka s jednou vodorovnou stranou, zbytek akvária je kryt dřevěným ostěním. Voda sahá ve viditelné části do 3√3 cm výšky a smáčí 75 % viditelné části akvária.
max. 2 body
3
Jakou plochu má viditelná část akvária, která je pod vodou? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry čtvereční.)
Maturita z matematiky • 08
7
B 47
Pokud rozdělíme rovnostranný trojúhelník v jeho středních příčkách, zjistíme, že výška smáčené části je polovinou délky celkové výšky trojúhelníka.
Výška celého trojúhelníka měří 6√3 cm. Ze vztahu pro výšku rovnostranného trojúhelníka o straně délky a spočteme a: a√3 ⇒ a = – 2v ⇒ a = – 2 ∙ (6√3 cm) ⇒ a = 12 cm. – v= – 2 √3 √3 Obsah S‘ viditelné části akvária, která je pod vodou, spočteme jako tři čtvrtiny obsahu trojúhelníka, tj.
B 47
3 ∙ √18 cm ∙ 6 cm ∙ 6 cm ∙ 6 cm = – 3 ∙ 36√3 cm2 = 27√3 cm2 ≈ 47 cm2. S‘ = – 4 4 Viditelná část akvária má plochu 47 cm2. Řešení: 47 cm2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Betonový válec na lepení plakátů je polepen 100 nepřekrývajícími se plakáty o rozměru 200 mm × 300 mm tak, že se žádné dva plakáty nepřekrývají a celá plocha válce je využita. Válec má v průměru 1 m. 1 bod
4
Kolik m je válec vysoký? (Výsledek zaokrouhlete na celé m.) Spočteme plochu pláště válce Spl, kterou pokryjí nepřekrývající se plakáty. Spl = 100 ∙ (200 mm ∙ 300 mm) = 6 000 000 mm2 = 6 m2 Protože průměr podstavy válce je 1 m, určíme její obvod o. o = π ∙ (1 m) = π m Rozvinutý plášť válce je obdélník, tedy výška válce a obvod podstavy jsou jeho rozměry. Ze známé výměry Spl pláště a obvodu o podstavy určíme výšku v. 6 m2 ⇒ v = – 6 m≈2m Spl ⇒ v = – Spl = o ∙ v ⇒ v = – o πm π Válec na lepení plakátů je vysoký přibližně 2 m. Řešení: 2 m
8
Maturita z matematiky • 08
B 47 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky p: x − y + 7 = 0 a q = {1 − t, 2 + t; t ∈ R}.
max. 3 body
5.1 Určete y tak, aby bod M[−6, y] ležel na přímce p. M[–6, y] ∈ p ⇒ –6 – y + 7 = 0 ⇒ y = 1 Řešení: y = 1
5.2 Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p a q a je kolmá k souřadnicové ose x. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Určíme průsečík P přímek p a q. 1 – t – (2 + t) + 7 = 0 ⇒ 1 – t – 2 – t + 7 = 0 ⇒ 6 = 2t ⇒ t = 3 ⇒ P[1 – 3, 2 + 3] ⇒ P[–2, 5] Protože přímka m má být kolmá k ose x, je její normálový vektor rovnoběžný se směrem osy x. Takovým vektorem je třeba vektor n⃗ = (1, 0). Sestavíme torzo obecné rovnice přímky m a dosadíme do něj bod P. x + 0 ∙ y + c = 0 ⇒ –2 + 0 + c = 0 ⇒ c = 2 ⇒ m: x + 2 = 0
B 47
Řešení: m: x + 2 = 0
1 bod
6
Které celé číslo je nejmenší hodnotou výrazu 2 ∙ 2
x−3
− 2, jestliže x ∈ R?
Výraz 2 ∙ 2x – 3 – 2 lze chápat jako předpis exponenciální funkce. Ta nabývá hodnoty –1 pro x = 2. Jedná se o rostoucí exponenciální funkci, jejíž graf má v přímce y = –2 asymptotu. Pro všechny funkční hodnoty platí, že jsou větší než hodnota –2. Žádné celé číslo, které by bylo nejmenší hodnotou výrazu, tedy neexistuje. Řešení: žádné
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7
{
}
9 Je dána posloupnost čtyř racionálních čísel 2, a, 3,– . 2
7
max. 2 body
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
5 7.1 Je-li a = –, jedná se o aritmetickou posloupnost. 2 3 7.2 Je-li a = –, jedná se o geometrickou posloupnost. 2 7.3 Je-li a = 2,3, jedná se o rostoucí posloupnost. 7.4 Je-li a = −2,3, nejedná se o posloupnost. Maturita z matematiky • 08
ANO NE 9
B 47
7.1 5 a a = 3 platí, že jsou aritmetickými průměry sousedních členů. Ověříme, že pro čísla a2 = – 3 2 5 2 + 3 a2 = – = – 2 2 5 +– 14 9 – – 7 ≠3 2 2 =– 2 a3 = – = – 2 2 2 Pro druhý člen by byl vztah splněn, ale pro třetí člen nikoliv. Posloupnost není aritmetická. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 3 a a = 3 platí, že jsou geometrickými průměry sousedních členů. Ověříme, že pro čísla a2 = – 3 2 3 a2 = √2 ∙ 3 = √6 ≠ – 2 Pro druhý člen již vztah splněn není, posloupnost není geometrická. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Protože posloupnost má jen čtyři členy a jejich hodnoty postupně rostou s přibývajícím pořadím, posloupnost je rostoucí. Tvrzení je pravdivé.
B 47
7.4 Hodnoty členů mohou být libovolná racionální čísla, záporné číslo s periodicky se opakujícím desetin7 ), o posloupnost se tedy jedná. ným rozvojem je racionální (lze vyjádřit zlomkem, 2,3 = – 3 Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, NE, ANO, NE
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 p Kvadratická rovnice 2x2 − –x + p2 = 0, p ∈ R má dva různé reálné kořeny. 3 2 body
8
Která z možností A–E určuje, čemu je roven součin těchto kořenů?
p A) −– 3 2p B) −– 3 p – C) 6 – p2 D) 3 p2 – E) 2
10
Maturita z matematiky • 08
B 47
p2 = 0, že má-li tato dva různé p x+– Dle Vietových vztahů platí v normované kvadratické rovnici x2 – – 6 2 p2 . Správně je možnost E. reálné kořeny, jejich součin je roven prostému členu, tj. – 2 Řešení: E
2 body
9
Která z možností A–E určuje jen takové hodnoty parametru p, pro které má rovni x ce – = x – p s neznámou x ∈ R vždy právě jedno řešení. p A) p > 1 B) p≤1 C) p ∈ 〈−1, 1〉 D) p ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) E) p∈R x =x–p – p Rovnice nemá smysl pro p = 0. Vyřadíme tedy možnosti B, C a E, protože obsahují 0. Pro p ≠ 0 rovnici řešíme: x =x–p | ∙p – p x = xp – p2 p2 = x(p – 1) Rovnici řešíme zvlášť pro p = 1, protože pro něj nelze řešit předchozí krok dělením. 1=x∙0 Tato rovnice ale řešení nemá. Pokračujeme pro p ≠ 0 a s p ≠ 1 řešením rovnice dělením: p2 = x(p – 1) | : (p – 1) p2 x= – p–1 Výsledný kořen je jen jeden. Právě jeden kořen mají rovnice pro p = (–∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞). Protože pro každé p > 1 platí, že je podmnožinou množiny (–∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞), má pro taková p rovnice jen jeden reálný kořen. Správně je tedy možnost A. Řešení: A
Maturita z matematiky • 08
11
B 47
B 47 max. 4 body
10
Přiřaďte k výrazům (10.1–10.4) jejich ekvivalentní vyjádření (A–F). −x 10.1 – 2 x +x 1 1 – +– 1–x x–1 10.2 – – 2 1–x – x 10.3 – x – x–1 1 10.4 1 + x ∙ – 1–x (x – 1)2 A) − – x2 B) 0 1 C) – –1–x 1 D) – 1–x E) 1 F) −1
B 47
10.1 –x = – –x = – 1 – x2 + x x(x + 1) –1 – x Řešení: C 10.2 1 1 +– 1–1 – – – 1–x x–1 1–x – – =– = 0 2 2 Řešení: B 10.3 1–x – x (x – 1)2 x – 1 = −– 1–x ∙– –= – x2 x x x – x–1 Řešení: A 10.4 1 =– 1–x+x =– 1 1+x∙– 1–x 1–x 1–x Řešení: D
KONEC TESTU
12
Maturita z matematiky • 08
B 47
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1 100 členů
1 bod
1.2 90 zpěváků
1 bod
2
24 soutěží
1 bod
3
47 cm2
max. 2 body
4
2m
1 bod
B 47
5 5.1 y = 1
1 bod
5.2
Určíme průsečík P přímek p a q. 1 – t – (2 + t) + 7 = 0 ⇒ 1 – t – 2 – t + 7 = 0 ⇒ 6 = 2t ⇒ t = 3 ⇒ P[1 – 3, 2 + 3] ⇒ P[–2, 5] Protože přímky m má být kolmá k ose x, je její normálový vektor rovnoběžný se směrem osy x. Takovým vektorem je třeba vektor n⃗ = (1, 0). Sestavíme torzo obecné rovnice přímky m a dosadíme do něj bod P. x + 0 ∙ y + c = 0 ⇒ –2 + 0 + c = 0 ⇒ c = 2 ⇒ m: x + 2 = 0
max. 2 body
žádné
1 bod
Řešení: m: x + 2 = 0
6 7
7.1 NE 7.2 NE
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 NE
Maturita z matematiky • 08
13
B 47
8
E
2 body
9
A
2 body
10 10.1 C 10.2 B
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 A 10.4 D
B 47
14
Maturita z matematiky • 08
B 47
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
1 bod
2
1 bod
3
max. 2 body
4
1 bod
B 47
5 5.1
1 bod
5.2
max. 2 body
6
1 bod
7
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
7.1 7.2
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4
Maturita z matematiky • 08
15
B 47
8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1 10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
B 47
16
Maturita z matematiky • 08
