CVIČNÝ TEST 39 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 5 11 13
B 39
I. CVIČNÝ TEST 1 bod
1
Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu tvoří obsah rovnostranného trojúhelníku? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta.
2
Určete v rovnici kvadratické funkce f(x) = Ax + Bx + C hodnotu nejvyššího z koeficientů A, B, C, jestliže graf funkce f prochází body [−2; 0], [1; −6]; [0; −8].
1 bod 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku POQ. Koeficient této podobnosti je 2,2.
B 39
max. 2 body
3.1 Určete číslo k tak, aby 1 : k (kde k > 1) byl poměr jejich obvodů. 3.2 Určete číslo m tak, aby 1 : m (kde m > 1) byl poměr jejich obsahů. max. 2 body
4
Jaký objem má rotační kužel, jehož pláštěm je kruhová výseč o poloměru s = 10 cm se středovým úhlem 120° je pláštěm kužele? Výsledek v cm3 zaokrouhlete na celé mm3.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[−1, 2], L[4, −2]. max. 3 body
5.1 Určete bod M tak, aby bod L byl středem úsečky KM. 5.2 Určete na ose y všechny body N tak, aby odchylka přímek KL a KN od osy x byla stejná. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
6
2
logx Určete, kolik řešení pro x ∈ N má rovnice–= 1. 2logx + 1
1 bod
Maturita z matematiky • 06
B 39 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dána trojciferná čísla m = 4A4 a n = 5B1, v jejichž ciferném zápisu nahrazují číslici na místě desítek proměnné A a B. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, budou čísla m a n soudělná. 7.2 Existuje právě jedna možná číslice A taková, aby číslo m bylo dělitelné 9. 7.3 Existují alespoň dvě možné číslice A takové, aby číslo m bylo dělitelné 4. 7.4 Existuje nejvýše jedna číslice B taková, aby číslo 2655 bylo násobkem čísla n.
ANO NE 2 body
8 Která z možností A–E určuje počet kořenů rovnice (x + 1) + (x2 + x) + (x3 + x2) + ... = 3 pro x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1)? A) nekonečně mnoho B) právě čtyři C) právě dva D) právě jeden E) žádný 2 body
9
Která z možností A–E udává rovnici, jejímž řešením je dvojice vzájemně opačných reálných čísel? A) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x − 2−5 = 0 B) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x = 0 C) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x + 2−5 = 0 D) 412 ∙ x2 + 2−5 = 0 E) 412 ∙ x2 − 2−5 = 0
Maturita z matematiky • 06
3
B 39
B 39 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Student provedl jednoduchý statistický výzkum, při němž ve čtyřech studijních skupinách v ročníku, který navštěvoval, provedl šetření tělesné výšky spolužáků. Data vždy seřadil podle velikosti vzestupně, hodnoty uvedl v cm. max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
B 39
Přiřaďte vytvořené vzestupné řadě (10.1–10.4) její základní charakteristiky polohy – modus X̂ , medián X̃ a aritmetický průměr X (A–F). 155, 156, 164, 168, 170, 172, 173, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, 186 169, 173, 173, 173, 173, 177, 184, 187, 187, 193, 202 164, 168, 169, 173, 175, 175, 175, 185 166, 173, 173, 173, 175, 178, 187, 202, 202
A) X̂ = X̃ = 175, X = 173 B) X̂ = X̃ = 175, X = 181 C) X̂ = 175, X̃ = 174, X = 173 D) X̂ = 173, X̃ = 175, X = 181 E) X̂ = 173, X̃ = 177, X = 181 F) X̂ = 202, X̃ = 175, X = 181 KONEC TESTU
4
Maturita z matematiky • 06
B 39
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod
1
Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu tvoří obsah rovnostranného trojúhelníku? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. Jestliže je r poloměr kruhu, potom jeho střed je těžištěm trojúhelníka a délka poloměru kružnice jsou dvě třetiny délky těžnice. Protože v rovnostranném trojúhelníku splývá těžnice s výškou v, je poloměr kruhu roven dvěma třetinám výšky. Z pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou je strana a trojúhela níka a odvěsny mají délku v a – , odvodíme vzorec pro délku výšky v. 2 2 a√3 – 2 a√3 ⇒ r = – v = – v ⇒ r = – ∙ – = a√3 3 3 2 2 3 Určíme a porovnáme obsahy Sk kruhu a St trojúhelníka. a√3 a ∙– 2 – a2 ∙ √3 – 4 2 S t – =– – – =̇ 0,41 – = = − 3√3 2 Sk 1 4π a√3 2 πa ∙ – π∙ – 3 6 Obsah trojúhelníka tvoří 41 % obsahu kruhu, do něhož byl vepsán.
(
Řešení: 41 %
B 39
)
1 bod
2
Určete v rovnici kvadratické funkce f(x) = Ax + Bx + C hodnotu nejvyššího z koeficientů A, B, C, jestliže graf funkce f prochází body [−2; 0], [1; −6]; [0; −8]. 2
Protože průsečík s osou y, bod [0; −8] má y-ovou souřadnici rovnu −8, je koeficient C = −8. Zbylé dva body lze dosadit a ze soustavy dvou rovnic (I, II) o dvou neznámých (A, B) určit zbylé koeficienty. I: 0 = A ∙ (−2)2 + B ∙ (−2) − 8 II: −6 = A ∙ 12 + B ∙ 1 − 8 Rovnici vyřešíme sčítací metodou, kdy k první rovnici přičteme dvojnásobek druhé. I + 2 ∙ II: 0 + 2 ∙ (−6) = 4A + 2A − 2B + 2B − 8 + 2∙ (−8) ⇒ −12 = 6A − 24 ⇒ 12 = 6A ⇒ A = 2 II. B = 2 − A ⇒ B = 0 Nejvyšším z koeficientů je A = 2. Řešení: A = 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku POQ. Koeficient této podobnosti je 2,2. max. 2 body
3.1 Určete číslo k tak, aby 1 : k (kde k > 1) byl poměr jejich obvodů. Protože poměr podobnosti je 2,2 a obvod každého z nich je součtem délek jeho stran, je poměr jejich obvodů 1 : 2,2, tj. k = 2,2. Řešení: k = 2,2
Maturita z matematiky • 06
5
B 39 3.2 Určete číslo m tak, aby 1 : m (kde m > 1) byl poměr jejich obsahů. Protože poměr podobnosti je 2,2 a obsah každého z nich je polovinou součinu délek příslušné strany a výšky na ní, které jsou vždy v daném poměru, je poměr jejich obsahů 1 : 2,22, tj. m = 4,84. Řešení: m = 4,84
max. 2 body
4
Jaký objem má rotační kužel, jehož pláštěm je kruhová výseč o poloměru s = 10 cm se středovým úhlem 120° je pláštěm kužele? Výsledek v cm3 zaokrouhlete na celé mm3. Neboť je kruhová výseč pláštěm rotačního kužele, je délka oblouku této kruhové výseče obvodem podstavy kužele. Kruhová výseč představuje takovou část celého kruhu, jakou část z úplného úhlu tvoří její středový úhel. Totéž platí pro poměr mezi délkou jejího oblouku a celého kruhu, jehož poloměrem je strana s celého kužele. Zároveň mezi výškou v kužele, poloměrem r podstavy kužele a stranou s kužele platí vztah Pythagorovy věty v = √s2 − r2, neboť osovým řezem takového kužele je rovnoramenný trojúhelník.
B 39
√ ( )
√
s s 2 2πr = – 120° ⇒ r = – 8s2 ⇒ v = – 2s√2 – ⇒ v = s2 − – ⇒ v = – 3 3 2πs 360° 9 3 2 2s√2 s π – ∙– 3 3 πr2 ∙ v ⇒ V = – – V= – 3 3
(
)
( )
2 ∙ (10 cm) ∙ √2 10 cm 2 ∙ – – π – 3 3 – – – =̇ 109,701 cm3 V=– 3 Řešení: 109,701 cm3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[−1, 2], L[4, −2]. max. 3 body
5.1 Určete bod M tak, aby bod L byl středem úsečky KM. K + M ⇒ M = 2L − K ⇒ M[2 ∙ 4 − (−1); 2 ∙ (−2) − 2] = M[9; −6]. L = SKM = – 2
Řešení: M[9; −6]
6
Maturita z matematiky • 06
B 39 5.2 Určete na ose y všechny body N tak, aby odchylka přímek KL a KN od osy x byla stejná. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. N[0; y] a zároveň platí, že obě úsečky mají stejnou odchylku od osy x, tudíž mají stejnou nebo opačnou směrnici. Směrnice je poměr y-ových a x-ových souřadnic. ⃗ = L − K = (4 − (−1); −2 − 2) = (5; −4) KL ⃗ = L − K = (0 − (−1); y − 2) = (1; y − 2) KN Stejnou směrnici mají tehdy, když: 6 6 −4 – – = y − 2 ⇒ 5y − 10 = −4 ⇒ 5y = 6 ⇒ y1 = – ⇒ N1 0; – 5 5 5 1 Opačnou směrnici mají tehdy, když: 14 14 −4 – – = y − 2 ⇒ 5y − 10 = 4 ⇒ 5y = 14 ⇒ y2 = – ⇒ N2 0; – 5 5 5 1 6 14 Jde o body N1 0; – a N2 0; – . 5 5
[
[
] [
] [
6 14 Řešení: N1 0; – a N2 0; – 5 5
6
]
]
[
[
]
]
1 bod
logx Určete, kolik řešení pro x ∈ N má rovnice–= 1. 2logx + 1 Určíme podmínky, za nichž má rovnice smysl. 1 x > 0 ∧ 2logx + 1 ≠ 0 ⇒ x > 0 ∧ x ≠ – √10 Tuto podmínku všechna přirozená čísla splňují. Pro x ∈ N rovnici vyřešíme. 1 logx – = 1 ⇒ logx = 2logx + 1 ⇒ logx = −1 ⇒ x = – ∉ N 10 2logx + 1 Rovnice nemá žádné řešení rovné číslu přirozenému. Řešení: žádný
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dána trojciferná čísla m = 4A4 a n = 5B1, v jejichž ciferném zápisu nahrazují číslici na místě desítek proměnné A a B. max. 2 body
7
Rozhodněte o každém tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, budou čísla m a n soudělná. 7.2 Existuje právě jedna možná číslice A taková, aby číslo m bylo dělitelné 9. 7.3 Existují alespoň dvě možné číslice A takové, aby číslo m bylo dělitelné 4. 7.4 Existuje nejvýše jedna číslice B taková, aby číslo 2655 bylo násobkem čísla n.
Maturita z matematiky • 06
ANO NE
7
B 39
B 39
7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, půjde o čísla m = 484 a n = 561. Přirozená čísla jsou soudělná, když mají alespoň jednoho společného dělitele většího než 1. Rozložíme-li číslo m na součin mocnin prvočísel, dojdeme k závěru, že čísla m a n soudělná budou jen tehdy, když bude číslo n dělitelné 2 nebo 11. Protože číslo n je dělitelné 11, jsou m a n soudělná. m = 484 = 22 ∙ 112 n = 561 = 11 ∙ 51 Tvrzení je pravdivé. 7.2 Aby přirozené číslo bylo dělitelné 9, musí jeho ciferný součet dát rovněž číslo dělitelné 9. Protože v číslu m = 4A4 je ciferný součet číslo A + 8, přichází v úvahu právě jen číslice A = 1. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Aby přirozené číslo bylo dělitelné 4, musí být jeho poslední dvojčíslí dělitelné 4. Protože v číslu m = 4A4 je poslední dvojčíslí A4 a čísla 04 a 24 jsou 4 dělitelná, tvrzení je pravdivé. 7.4 Aby bylo číslo 7965 násobkem čísla n, musí být n dělitelem 7965 . Využijeme-li známá pravidla dělitelnosti, určíme rychle, že 7965 = 15 ∙ 531 = 32 ∙ 5 ∙ 59. Nejbližšími dalšími děliteli 7965 jsou 295 a 885, žádné další možné n již nenajdeme. Existuje tedy jen jediná možnost, a to pro B = 3. Tvrzení je pravdivé.
B 39
Řešení: ANO, ANO, ANO, ANO
2 body
8 Která z možností A–E určuje počet kořenů rovnice (x + 1) + (x2 + x) + (x3 + x2) + ... = 3 pro x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1)? A) nekonečně mnoho B) právě čtyři C) právě dva D) právě jeden E) žádný (x + 1) + (x2 + x) + (x3 + x2) + ... = 3 Na levé straně rovnice je geometrická řada, v níž a1 = x + 1 a q = x, která je pro x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) konvergentní. Určíme její součet, který je roven číslu na pravé straně rovnice. 1 x + 1 = 3 ⇒ x + 1 = 3 − 3x ⇒ 4x = 2 ⇒ x = – a1 = 3 ⇒ – s= – 2 1−q 1−x Rovnice má právě jeden kořen. Správná je možnost D. Řešení: D
8
Maturita z matematiky • 06
B 39 2 body
9
Která z možností A–E udává rovnici, jejímž řešením je dvojice vzájemně opačných reálných čísel? A) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x − 2−5 = 0 B) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x = 0 C) 412 ∙ x2 − 3 ∙ 513 ∙ x + 2−5 = 0 D) 412 ∙ x2 + 2−5 = 0 E) 412 ∙ x2 − 2−5 = 0 Dva vzájemně opačné reálné kořeny mají jen tzv. ryze kvadratické rovnice, tedy rovnice ve tvaru Ax2 + C = 0, jejichž diskriminant je kladný. Což je mimo jiné důsledkem toho, že reálné koeficienty A a C mají různá znaménka. Této postačující podmínce vyhovuje pouze možnost E, možnosti A–C jsou neryze kvadratické rovnice, v možnosti D jsou kvadratický koeficient a prostý člen kladná čísla, znaménkem se neliší. Správně je tedy možnost E. Řešení: E
B 39
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Student provedl jednoduchý statistický výzkum, při němž ve čtyřech studijních skupinách v ročníku, který navštěvoval, provedl šetření tělesné výšky spolužáků. Data vždy seřadil podle velikosti vzestupně, hodnoty uvedl v cm. max. 4 body
10 10.1 10.2 10.3 10.4
Přiřaďte vytvořené vzestupné řadě (10.1–10.4) její základní charakteristiky polohy – modus X̂ , medián X̃ a aritmetický průměr X (A–F). 155, 156, 164, 168, 170, 172, 173, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, 186 169, 173, 173, 173, 173, 177, 184, 187, 187, 193, 202 164, 168, 169, 173, 175, 175, 175, 185 166, 173, 173, 173, 175, 178, 187, 202, 202
A) X̂ = X̃ = 175, X = 173 B) X̂ = X̃ = 175, X = 181 C) X̂ = 175, X̃ = 174, X = 173 D) X̂ = 173, X̃ = 175, X = 181 E) X̂ = 173, X̃ = 177, X = 181 F) X̂ = 202, X̃ = 175, X = 181
Maturita z matematiky • 06
9
B 39
Modus je nejzastoupenější hodnotou znaku, medián je hodnota, která dělí uspořádanou množinu hodnot znaku na dvě stejně četné skupiny, aritmetický průměr spočteme tak, že vydělíme součet všech hodnot znaku součtem jejich četností. 10.1 155, 156, 164, 168, 170, 172, 173, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, 186 Protože v první skupině bylo 15 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek 2595 cm = 173 cm. Osmá hodnota (175 cm) v pořadí je byl 2595 cm, je aritmetický průměr X = – 15 přesně uprostřed, medián X̃ = 175 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 175 cm (u tří případů), modus X̂ = 175 cm.
X̂ = X̃ = 175, X = 173
Řešení: A
10.2 169, 173, 173, 173, 173, 177, 184, 187, 187, 193, 202 Protože v druhé skupině bylo 11 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 1991 cm = 181 cm. Šestá hodnota (177 cm) v pořadí je přes1991 cm, je aritmetický průměr X = – 11 ně uprostřed, medián X̃ = 177 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 173 cm (u čtyř případů), modus X̂ = 173 cm. X̂ = 173, X̃ = 177, X = 181
B 39
Řešení: E
10.3 164, 168, 169, 173, 175, 175, 175, 185 Protože ve třetí skupině bylo 8 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 1384 cm = 173 cm. Čtvrtá a pátá hodnota (173 cm a 175 cm) 1991 cm, je aritmetický průměr X = – 8 v pořadí jsou přesně uprostřed, medián X̃ = 174 cm je jejich průměrem. Nejčastěji byla naměřena výška 175 cm (u tří případů), modus X̂ = 175 cm. X̂ = 175, X̃ = 174, X = 173 Řešení: C
10.4 166, 173, 173, 173, 175, 178, 187, 202, 202 Protože ve čtvrté skupině bylo 9 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 1629 cm = 181 cm. Pátá hodnota (175 cm) v pořadí je přes1629 cm, je aritmetický průměr X = – 9 ně uprostřed, medián X̃ = 175 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 173 cm (u tří případů), modus X̂ = 173 cm. X̂ = 173, X̃ = 175, X = 181 Řešení: D
KONEC TESTU
10
Maturita z matematiky • 06
B 39
III. KLÍČ
Tabulka úspěšnosti
1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
41 %
1 bod
2
A=2
1 bod
3 3.1 k = 2,2
1 bod
3.2 m = 4,84
1 bod
109,701 cm3
4
B 39
max. 2 body
5 5.1 M[9; −6]
1 bod
5.2
2 body
N[0; y] a zároveň platí, že obě úsečky mají stejnou odchylku od osy x, tudíž mají stejnou nebo opačnou směrnici. Směrnice je poměr y-ových a x-ových souřadnic. ⃗ = L − K = (4 − (−1); −2 − 2) = (5; −4) KL ⃗ = L − K = (0 − (−1); y − 2) = (1; y − 2) KN Stejnou směrnici mají tehdy, když: 6 6 −4 – – = y − 2 ⇒ 5y − 10 = −4 ⇒ 5y = 6 ⇒ y1 = – ⇒ N1 0; – 5 5 5 1 Opačnou směrnici mají tehdy, když: 14 14 −4 – – = y − 2 ⇒ 5y − 10 = 4 ⇒ 5y = 14 ⇒ y2 = – ⇒ N2 0; – 5 5 5 1 6 14 Jde o body N1 0; – a N2 0; – . 5 5
[
[
] [
] [
6 14 Řešení: N1 0; – a N2 0; – 5 5
6
žádný
Maturita z matematiky • 06
]
]
[
[
]
]
1 bod
11
B 39
7 7.1 ANO 7.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 ANO 7.4 ANO 8
D
2 body
9
F
2 body
10 10.1 A
B 39
10.2 E
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 C 10.4 D
12
Maturita z matematiky • 06
B 39
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
1 bod
2
1 bod
3 3.1
1 bod
3.2
1 bod
4
B 39
max. 2 body
5 5.1
1 bod
5.2
2 body
6
Maturita z matematiky • 06
1 bod
13
B 39
7 7.1 7.2
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
7.3 7.4 8
2 body
9
2 body
10
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
10.1
B 39
10.2
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
10.3 10.4
14
Maturita z matematiky • 06
