CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 24
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze třídy 3. E. Polovina z nich napsala písemku za 1 nebo za 2. Ve třídě nebyl žák, který by písemku nezvládl a dostal z ní za 5. známka počet žáků
1 5
2 9
3 ?
4 ?
5 0
max. 2 body
B 24
1.1 Vypočítejte průměrnou známku, jestliže počet žáků, kteří napsali písemku za 3, byl stejný jako počet žáků, kteří napsali písemku za 4. (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.) 1.2 Uvažujme, že počet žáků, kteří napsali písemku za 3 nebo za 4, nebyl stejný. Vypočítejte počet žáků, kteří napsali písemku za 3, jestliže průměrná známka byla 2,75. 1 bod
2
6 Vypočítejte hodnotu parametru k ∈ R ∖ {0} tak, aby vektory u⃗ = (2; –1), v⃗ = (k – 2; –) k tvořily dvojici navzájem kolmých vektorů.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána čtvercová mřížka, v níž vzdálenost každých dvou těsně sousedících vrcholů je 10 mm.
1 bod
3
Vypočtěte v cm obsah S vybarveného ornamentu, jestliže všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.
2
Maturita z matematiky • 03
2
B 24 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Dopravní a silniční kužele se používají k označení částí komunikací, na kterých dochází k opravám, k oddělení jednotlivých jízdních pruhů a k vymezení míst, kam je vjezd zakázán. Vyrábí se z tvrzeného polyethylenu a mají tvar rotačního kužele se čtvercovou podstavou (viz obrázek). Čtvercová podstava má rozměry 29 cm × 29 cm, samotný kužel má průměr 22 cm a výšku 54 cm.
1 bod
4
Z polyethylenu se vyrábí plášť kužele a čtvercová podstava s vyříznutým kruhovým středem. Vypočítejte, kolik m2 polyethylenu je zapotřebí na výrobu takového dopravního kužele, který se prodává za 270 Kč. (Výsledek uveďte s přesností na setiny m2.)
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dána dvě neznámá kladná reálná čísla, jejichž součet je 50. Dělením většího z nich tím menším dostaneme neúplný podíl v hodnotě 4 se zbytkem 5. max. 2 body
5
Určete obě neznámá čísla.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Graf exponenciální funkce f: y = 2m – x + n prochází počátkem souřadnicového systému. Asymptotou grafu této funkce je přímka y = –4. max. 3 body
6.1 Určete hodnoty reálných parametrů m a n. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. 6.2 Určete f(–2).
Maturita z matematiky • 03
3
B 24
B 24 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Shodná zobrazení, která zachovávají orientaci, označujeme jako přímá, zatímco shodná zobrazení, která orientaci mění, zase jako nepřímá. Jestliže v daném shodném zobrazení splývá bod se svým obrazem, pak mluvíme o samodružném bodu. max. 2 body
7 Přiřaďte každému ze shodných zobrazení (7.1–7.4) jeho vlastnosti (A–F). 7.1 identita 7.2 osová souměrnost 7.3 posunutí 7.4 středová souměrnost
B 24
A) B) C) D) E) F)
přímá shodnost s nekonečně mnoha samodružnými body nepřímá shodnost s nekonečně mnoha samodružnými body přímá shodnost s právě jedním samodružným bodem nepřímá shodnost s právě jedním samodružným bodem přímá shodnost bez samodružného bodu nepřímá shodnost bez samodružného bodu
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8
( )
2 Je dán číselný výraz: 8120 + – 3 8
360
∙ 9180. max. 4 body
Která z možností představuje zjednodušení výše daného číselného výrazu? A) 2361 B) 2720 C) 4361 D) 4720 E) 8240
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Nekonečná posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen an = (–1)n – 1 ∙ (6 – 3n). 2 body
9
4
Jaký bude součet prvních pěti členů této posloupnosti? A) 15 B) 9 C) 3 D) –3 E) –15
Maturita z matematiky • 03
B 24 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Jsou dána vzestupně seřazená reálná čísla a < b < 0 < c < d, přičemž platí: |a| = |d|. 2 body
10
Rozhodněte o každém tvrzení (10.1–10.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
10.1 a + c > 0 10.2 ad – bc < 0 a + d 10.3 – = 0 ad 10.4 (b + d)(c – d) ≥ 0
ANO NE
KONEC TESTU
B 24
Maturita z matematiky • 03
5
B 24
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze třídy 3. E. Polovina z nich napsala písemku za 1 nebo za 2. Ve třídě nebyl žák, který by písemku nezvládl a dostal z ní za 5. známka počet žáků
1 5
2 9
3 ?
4 ?
5 0
max. 2 body
1.1 Vypočítejte průměrnou známku, jestliže počet žáků, kteří napsali písemku za 3, byl stejný jako počet žáků, kteří napsali písemku za 4. (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)
B 24
Počet žáků, kteří napsali písemku za 3, byl stejný jako počet žáků, kteří napsali písemku za 4, a dohromady jich byla poloviny třídy, tedy 14. Z toho plyne, že těch, kteří napsali písemku za 3, a stejně tak těch, kteří napsali písemku za 4, je 7. známka
1
2
3
4
5
počet žáků
5
9
7
7
0
Průměrnou známku z písemky vypočteme jako vážený aritmetický průměr. – 5 ∙ 1 + 9 ∙ 2– + 7 ∙ 3 + 7– ∙ 4 18 = – =̇ 2,6 28 7 Průměrná známka by za těchto podmínek byla přibližně 2,6. Řešení: 2,6
1.2 Uvažujme, že počet žáků, kteří napsali písemku za 3 nebo za 4, nebyl stejný. Vypočítejte počet žáků, kteří napsali písemku za 3, jestliže průměrná známka byla 2,75. Žáků, kteří napsali písemku za 3 nebo za 4, je dohromady 14. Jestliže počet žáků, kteří napsali písemku za 3, je x, pak počet žáků, kteří napsali písemku za 4, je 14 – x. známka
1
2
3
4
5
počet žáků
5
9
x
14 – x
0
Proměnné dosadíme do vzorce pro vážený aritmetický průměr a řešíme jako rovnici. – 5 ∙ 1 + 9 ∙ 2– + x ∙ 3 + (14 – x) ∙ 4 = 2,75 / ∙ 28 – 28 5 + 18 + 3x + 56 – 4x = 77 ⇒ 79 – x = 77 ⇒ x = 2 Jestliže byla průměrná známka 2,75, napsali písemku za 3 jen 2 žáci. Řešení: 2
6
Maturita z matematiky • 03
B 24 1 bod
2
6 Vypočítejte hodnotu parametru k ∈ R ∖ {0} tak, aby vektory u⃗ = (2; –1), v⃗ = (k – 2; –) k tvořily dvojici navzájem kolmých vektorů. Vektory u⃗ , v⃗ jsou navzájem kolmé, jestliže jejich skalární součin je roven nule, tj. u⃗ ∙ v⃗ = 0. 6 =0 u⃗ ∙ v⃗ = u1 ∙ v1 + u2 ∙ v2 = 2 ∙ (k – 2) + (–1) ∙ – k Řešíme rovnici. 6 = 0 / ∙ k(k ≠ 0) 2k – 4 – – k 2k2 – 4k – 6 = 0 / :2 k2 – 2k – 3 = 0 (k – 3)(k + 1) = 0 k = 3 ∨ k = –1 Řešení: k = 3 ∨ k = –1
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána čtvercová mřížka, v níž vzdálenost každých dvou těsně sousedících vrcholů je 10 mm.
1 bod
3
Vypočtěte v cm obsah S vybarveného ornamentu, jestliže všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky. 2
Vybarvený ornament lze rozdělit na obdélník a čtyři tupoúhlé trojúhelníky, z nichž vždy dva jsou shodné (viz obrázek).
Maturita z matematiky • 03
7
B 24
B 24 ava (3 cm) ∙ (2 cm) – = 3 cm2. S1 je obsah trojúhelníku, kde a = 3 cm a va = 2 cm, tj. S1 = – =– 2 2 bvb (5 cm) ∙ (3 cm) – = 7,5 cm2. S2 je obsah trojúhelníku, kde b = 5 cm a vb = 3 cm, tj. S2 = – =– 2 2 S3 je obsah obdélníku, kde a = 3 cm a b = 5 cm, tj. S3 = ab = (3 cm) ∙ (5 cm) = 15 cm2. Obsah S vybarveného ornamentu je: S = 2S1 + 2S2 + S3 = 2 ∙ 3 cm2 + 2 ∙ 7,5 cm2 + 15 cm2 = 36 cm2. Obsah S vybarveného ornamentu je 36 cm2. Řešení: S = 36 cm2
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4
B 24
Dopravní a silniční kužele se používají k označení částí komunikací, na kterých dochází k opravám, k oddělení jednotlivých jízdních pruhů a k vymezení míst, kam je vjezd zakázán. Vyrábí se z tvrzeného polyethylenu a mají tvar rotačního kužele se čtvercovou podstavou (viz obrázek). Čtvercová podstava má rozměry 29 cm × 29 cm, samotný kužel má průměr 22 cm a výšku 54 cm.
1 bod
4
Z polyethylenu se vyrábí plášť kužele a čtvercová podstava s vyříznutým kruhovým středem. Vypočítejte, kolik m2 polyethylenu je zapotřebí na výrobu takového dopravního kužele, který se prodává za 270 Kč. (Výsledek uveďte s přesností na setiny m2.) Čtvercová podstava má rozměry 29 cm × 29 cm, tj. a = 29 cm. Kužel má průměr d = 22 cm, tj. poloměr r = 11 cm, a výšku v = 54 cm. Obsah čtvercové podstavy s vyříznutým kruhovým středem je: S1 = a2 – πr2 = 292 – π ∙ 112 = 841 – 121π. Obsah pláště kužele je: S2 = πr√r2 + v2 = π ∙ 11 ∙ √112 + 542 = 11π√3 037. Celkový obsah je: S = S1 + S2 = 841 – 121π + 11π√3 037 =̇ 2 365. S = 2 365 cm2 =̇ 0,24 m2 Je zapotřebí přibližně 0,24 m2 polyethylenu. Řešení: 0,24 m2
8
Maturita z matematiky • 03
B 24 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dána dvě neznámá kladná reálná čísla, jejichž součet je 50. Dělením většího z nich tím menším dostaneme neúplný podíl v hodnotě 4 se zbytkem 5. max. 2 body
5
Určete obě neznámá čísla. Označíme neznámé: x … větší z neznámých čísel; y … menší z neznámých čísel. Sestavíme rovnice vyjadřující zadané vztahy: součet neznámých čísel je 50, tj. x + y = 50, dělením větx =4+– 5. šího z nich tím menším je podíl 4 se zbytkem 5, tj. x: y = 4, 5 ⇒ – y y Pro x > 0, y > 0 řešíme soustavu rovnic dosazovací metodou. x + y = 50 ⇒ x = 50 – y – 50 – y = 4 + – 5 /∙y y y 50 – y = 4y + 5 ⇒ 5y = 45 ⇒ y = 9 x = 50 – y = 50 – 9 = 41 Hledanými čísly jsou čísla 41 a 9.
B 24
Řešení: 41 a 9
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Graf exponenciální funkce f: y = 2m – x + n prochází počátkem souřadnicového systému. Asymptotou grafu této funkce je přímka y = –4. max. 3 body
6.1 Určete hodnoty reálných parametrů m a n. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Asymptotou grafu exponenciální funkce y = ax je osa x, jejíž rovnice je y = 0. Jestliže asymptotou grafu funkce f je přímka y = –4, je graf posunut o 4 dolů, a proto n = –4. Graf funkce f prochází počátkem, a proto 0 = 2m – 0 – 4 ⇒ 4 = 2m ⇒ m = 2. Předpis funkce f je y = 22 – x – 4. Řešení: m = 2; n = – 4
6.2 Určete f(–2). Funkční hodnota v bodě –2 je: f(–2) = 22–(–2) – 4 = 24 – 4 = 12. Řešení: 12
Maturita z matematiky • 03
9
B 24 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Shodná zobrazení, která zachovávají orientaci, označujeme jako přímá, zatímco shodná zobrazení, která orientaci mění, zase jako nepřímá. Jestliže v daném shodném zobrazení splývá bod se svým obrazem, pak mluvíme o samodružném bodu. max. 2 body
7 Přiřaďte každému ze shodných zobrazení (7.1–7.4) jeho vlastnosti (A–F). 7.1 identita 7.2 osová souměrnost 7.3 posunutí 7.4 středová souměrnost
B 24
A) B) C) D) E) F)
přímá shodnost s nekonečně mnoha samodružnými body nepřímá shodnost s nekonečně mnoha samodružnými body přímá shodnost s právě jedním samodružným bodem nepřímá shodnost s právě jedním samodružným bodem přímá shodnost bez samodružného bodu nepřímá shodnost bez samodružného bodu 7.1 V identitě je obrazem trojúhelníku ABC opět trojúhelník ABC, je tedy „pojmenován“ ve stejném směru jako trojúhelník ABC, a jedná se o přímou shodnost. Navíc každý bod zůstane na svém místě, je tedy samodružný. Správná možnost je A. 7.2 V osové souměrnosti je obrazem trojúhelníku ABC trojúhelník A’B’C’, který je „pojmenován“ v opačném směru než trojúhelník ABC, jedná se tedy o nepřímou shodnost. Samodružných bodů je nekonečně mnoho, neboť již v definici tohoto zobrazení je řečeno, že body ležící na ose souměrnosti se zobrazí samy na sebe. Správná možnost je B. 7.3 Posunutím trojúhelníku ABC vznikne trojúhelník A’B’C’, který je „pojmenován“ ve stejném směru jako trojúhelník ABC, jedná se tedy o přímou shodnost. Protože dojde k posunutí každého bodu v rovině, žádný nezůstane na svém místě, nemá tedy posunutí žádný samodružný bod. Správná možnost je E. 7.4 Ve středové souměrnosti je obrazem trojúhelníku ABC trojúhelník A’B’C’, který je „pojmenován“ ve stejném směru jako trojúhelník ABC, jedná se tedy o přímou shodnost. Jak praví definice tohoto zobrazení, samodružný bod je jeden – střed souměrnosti se zobrazí sám na sebe. Správná možnost je C. Řešení: A, B, E, C
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8
( )
2 Je dán číselný výraz: 8120 + – 3
10
360
∙ 9180.
Maturita z matematiky • 03
B 24 max. 4 body
8
Která z možností představuje zjednodušení výše daného číselného výrazu? A) 2361 B) 2720 C) 4361 D) 4720 E) 8240 Využijeme pravidla o počítání s mocninami, výraz upravíme a zjednodušíme: 2360 ∙ (32)180 = 2360 + – 2360 ∙ 3360 = 2360 + 2360 = 2 ∙ 2360 = 21 ∙ 2360 = 21 + 360 = 2361 2 360∙ 9180 = (23)120 + – 8120 + – 360 3 3 3360 Správná možnost je tedy A.
( )
Řešení: A
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9
B 24
Nekonečná posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen an = (–1)n – 1 ∙ (6 – 3n). 2 body
9
Jaký bude součet prvních pěti členů této posloupnosti? A) 15 B) 9 C) 3 D) –3 E) –15 Vypočítáme prvních pět členů: a1 = (–1)1 – 1 ∙ (6 – 3 ∙ 1) = 3, a2 = (–1)2 – 1 ∙ (6 – 3 ∙ 2) = 0, a3 = (–1)3 – 1 ∙ (6 – 3 ∙ 3) = –3, a4 = (–1)4 – 1 ∙ (6 – 3 ∙ 4) = 6, a5 = (–1)5 – 1 ∙ (6 – 3 ∙ 5) = –9. A jejich součet: s = 3 + 0 + (–3) + 6 + (–9) = –3. Správná možnost je tedy D. Řešení: D
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Jsou dána vzestupně seřazená reálná čísla a < b < 0 < c < d, přičemž platí: |a| = |d|. 2 body
10
Rozhodněte o každém tvrzení (10.1–10.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
10.1 a + c > 0 10.2 ad – bc < 0 a + d 10.3 – = 0 ad 10.4 (b + d)(c – d) ≥ 0 Maturita z matematiky • 03
ANO NE 11
B 24
10.1 |a| = |d| ∧ d > c ⇒ |a| > |c| ∧ a < 0 ∧ c > 0 ⇒ a + c < 0 Tvrzení je nepravdivé. 10.2 |a| = |d| ∧ c < d ∧ a < b ⇒ |ad| > |bc| ∧ ad < 0 ∧ bc < 0 ⇒ ad – bc < 0 Tvrzení je pravdivé. 10.3 a+d =0 |a| = |d| ∧ a < 0 ∧ d >0 ⇒ – ad
Tvrzení je pravdivé.
10.4 |a| = |d| ∧ a < b ⇒ |b| < |d| ∧ b < 0 ∧ d > 0 ⇒ b + d > 0 c
B 24
Řešení: NE, ANO, ANO, NE
KONEC TESTU
12
Maturita z matematiky • 03
B 24
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1 2,6
1 bod
1.2 2
1 bod 1 bod
3
k = 3 ∨ k = –1 S = 36 cm2
1 bod
4
0,24 m2
1 bod
5
41 a 9
max. 2 body
Asymptotou grafu exponenciální funkce y = ax je osa x, jejíž rovnice je y = 0. Jestliže asymptotou grafu funkce f je přímka y = –4, je graf posunut o 4 dolů, a proto n = –4. Graf funkce f prochází počátkem, a proto 0 = 2m – 0 – 4 ⇒ 4 = 2m ⇒ m = 2. Předpis funkce f je y = 22 – x – 4.
max. 2 body
2
B 24
6 6.1
Řešení: m = 2; n = – 4
6.2 12 7 7.1 A 7.2 B 7.3 E 7.4 C
1 bod max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
8
A
max. 4 body
9
D
2 body
Maturita z matematiky • 03
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
13
B 24 10 10.1 NE 10.2 ANO 10.3 ANO 10.4 NE
2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
B 24
14
Maturita z matematiky • 03
B 24
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1 1.1
1 bod
1.2
1 bod
2
1 bod
3
1 bod
4
1 bod
5
max. 2 body
B 24
6 6.1
max. 2 body
6.2
1 bod
7 7.1 7.2 7.3 7.4
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
8
max. 4 body
9
2 body
Maturita z matematiky • 03
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
15
B 24 10 10.1 10.2 10.3 10.4
2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
B 24
16
Maturita z matematiky • 03
