CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 15 17
B 29
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí. Klíčením semen vznikají semenáčky, které na stanovišti musí obstát v boji s klimatickými podmínkami a se škůdci, a proto jen 2 % z nich vyrostou ve stromky. max. 2 body
1
B 29
Kolik semen smrku je třeba nechat vyklíčit, aby po jejich vyklíčení a vysázení vyrostl na stanovišti les čítající 250 kusů stromků? Výsledek zaokrouhlete na stovky kusů. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 2
1 bod
2
Vypočítejte velikost úhlu φ.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Žlab pro napájení domácího skotu má tvar poloviny válce s délkou 3 metry a šířkou 75 cm.
max. 2 body
3
Kolik litrů vody se do zcela naplněného žlabu vejde? Zaokrouhlete na desítky litrů.
2
Maturita z matematiky • 04
B 29 max. 2 body
4 V oboru R řešte: 4.1 3a – 1 = 7 108 – 3b 4.2 3b = – 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[–3; 1] a B[1; –2]. 1 bod
5.1 Najděte souřadnice bodu X, který leží na polopřímce AB, tak, aby platilo: |AX| = 3 ∙ |AB|. 5.2 Najděte souřadnice bodu C tak, aby s body A, B tvořil trojúhelník ABC, jehož těžištěm je počátek souřadnicového systému, tj. T[0; 0]. 1 bod
6
{ }
1 Pro z ∈ R ∖ – určete všechna přirozená čísla z, která jsou nulovými body výrazu: 2 z +2 – 2
V(z)= z –– 1 z–– 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Státní závěrečná zkouška na ekonomické fakultě se skládá ze tří předmětů: účetnictví, ekonomie a management. V každém předmětu si student losuje jednu ze třiceti otázek. Anna se z každého předmětu naučila pouze deset otázek. 2 body
7
Jaká je pravděpodobnost, že Anna úspěšně složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů?
1 A) – 27 1 – B) 9 1 – C) 3 D) 1 E) jiná pravděpodobnost
Maturita z matematiky • 04
3
B 29
B 29 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 x–1 1 . Je dána rovnice: 1 – – = – x x2 + x 2 body
8
B 29
V množině reálných čísel má rovnice právě: A) dva kořeny, a to x1 = –1 ∨ x2 = 0 B) dva kořeny, a to x1 = 0 ∨ x2 = 1 1 C) jeden kořen, a to x = – 2 D) jeden kořen, a to x = 1 3 E) jeden kořen, a to x = – 2
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán pravidelný šestiúhelník A–F s délkou strany a.
max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Nejkratší úhlopříčka má délku a√3. 9.2 Nejdelší úhlopříčka má délku 2a. 9.3 Celkový počet úhlopříček je 8. 9.4 Úhlopříčky AC a AD svírají úhel 30°.
4
ANO NE
Maturita z matematiky • 04
B 29 max. 4 body
10 Přiřaďte každé z geometrických posloupností (10.1–10.4) jeden z kvocientů q (A–F). 10.1 an – 3 = –3, an = 24 10.2 ak + 3 = 8ak am – 1 10.3 – =8 am + 2 10.4 sn = n ∙ a1
A) –2 B) –1 1 C) –– 2 1 – D) 2 E) 1 F) 2
B 29
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 04
5
B 29
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí. Klíčením semen vznikají semenáčky, které na stanovišti musí obstát v boji s klimatickými podmínkami a se škůdci, a proto jen 2 % z nich vyrostou ve stromky. max. 2 body
1
Kolik semen smrku je třeba nechat vyklíčit, aby po jejich vyklíčení a vysázení vyrostl na stanovišti les čítající 250 kusů stromků? Výsledek zaokrouhlete na stovky kusů. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Ve stromky vyrostou 2 % semenáčků, tj. 250 kusů stromků jsou 2 %. 100 = 12 500. Potřebný počet semenáčků je 100 %, tj. 250 ∙ – 2 V semenáčky vyklíčí 95 % semen, tj. 12 500 kusů stromků je 95 %. 100 =̇ 13 200. Potřebný počet semen je 100 %, tj. 12 500 ∙ – 95 Je třeba nechat vyklíčit cca 13 200 kusů semen smrku.
B 29
Řešení: 13 200 kusů
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 2
1 bod
2
6
Vypočítejte velikost úhlu φ.
Maturita z matematiky • 04
B 29
Označíme si vrcholy trojúhelníků (viz obrázek) a využijeme znalosti o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku.
Obecný Δ ABD: |∡ BDA| = 180° – |∡ ABD| – |∡ DAB| = 135°. Rovnoramenný Δ BCD: |∡ BCD| = |∡ DBC| = 25°. Obecný Δ ABC: |∡ ABC| = |∡ ABD| + |∡ DBC| = 45°; |∡ CAB| = |∡ CAD| + |∡ DAB| = 75°; |∡ BCA| = = 180° – |∡ ABC| – |∡ CAB| = 60°. φ = |∡ DCA| = |∡ BCA| – |∡ BCD| = 35°
B 29
Řešení: 35°
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Žlab pro napájení domácího skotu má tvar poloviny válce s délkou 3 metry a šířkou 75 cm.
max. 2 body
3
Kolik litrů vody se do zcela naplněného žlabu vejde? Zaokrouhlete na desítky litrů. Žlab je 3 m dlouhý, tj. v = 3 m = 30 dm. d = 37,5 cm = 3,75 dm. Žlab je 75 cm široký, tj. d = 75 cm. Poloměr žlabu je r = – 2 Do žlabu se vejde tolik litrů vody, kolik udává objem poloviny válce: 2 π– · (3,75 dm) · 30 dm = – 3 375 π dm3 =̇ 660 l πr2v = – V= – – 2 2 16 Do žlabu se vejde cca 660 litrů vody. Řešení: 660 litrů
Maturita z matematiky • 04
(
)
7
B 29 max. 2 body
4 V oboru R řešte: 4.1 3a – 1 = 7 +
+
Při řešení této rovnice využijeme definici logaritmu: logaritmus čísla x ∈ R při základu z ∈ R ∖ {1} je takové reálné číslo l = logzx, pro které platí: zl = x. 3a – 1 = 7 ⟹ a – 1 = log37 ⟹ a = 1 + log37 Řešení: a = 1 + log37
108 – 3b 4.2 3b = – 3 Tuto rovnici převedeme užitím ekvivalentních úprav na exponenciální rovnici, kterou vyřešíme převedením na společný základ. 108 – 3b / ∙3 3b = – 3 3 ∙ 3b = 108 – 3b / + 3b 4 ∙ 3b = 108 / :4 3b = 27 3b = 33 b=3
B 29
Řešení: b = 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[–3; 1] a B[1; –2]. max. 2 body
5.1 Najděte souřadnice bodu X, který leží na polopřímce AB, tak, aby platilo: |AX| = 3 ∙ |AB|. ⃗ a AB ⃗ jsou kolineární (rovnoProtože bod X leží na polopřímce AB, můžeme využít toho, že vektory AX + ⃗ ⃗ ⃗ běžné). tj. AX = k ∙ AB, k ∈ R . Poněvadž navíc platí: |AX| = 3 ∙ |AB|, je vektor AX trojnásobkem vektoru ⃗ tj. AX ⃗ = 3 ∙ AB. ⃗ AB, X – A = 3 ∙ (B – A) X – [–3; 1] = 3 ∙ (4; –3) X = (12; –9) + [–3; 1] X = [9; –8] Řešení: X = [9; –8]
8
Maturita z matematiky • 04
B 29 5.2 Najděte souřadnice bodu C tak, aby s body A, B tvořil trojúhelník ABC, jehož těžištěm je počátek souřadnicového systému, tj. T[0; 0]. A+B+C . Pro těžiště trojúhelníku ABC platí: T =– 3 –3 + 1 + c1 a pro y-ové souJe-li A[–3; 1], B[1; –2], C[c1;c2 ], T[0; 0], pak pro x-ové souřadnice platí: 0 =– 3 1 + (–2) +– c2 . řadnice platí: 0 =– 3 Vyřešením obou rovnic získáme: c1 = 2 ∧ c2 = 1 ⟹ C[2; 1]
B 29 Řešení: C[2; 1]
1 bod
6
{ }
1 Pro z ∈ R ∖ – určete všechna přirozená čísla z, která jsou nulovými body výrazu: 2 z +2 – 2
V(z)= z –– 1 z–– 2 Výraz nejprve upravíme. z +2 z+4 – – 2 2 2 z + 4 =– 2z– –z–z–4 = z(2z –– 1) – (z + 4) = – V(z) = z –– = z –– = z – – 2z – 1 2z – 1 2z – 1 z–– – 1 2z – 1 2 2 2 2 2(z 2(z– – 2)(z + 1) – 2z – 4 = – – z – 2) = – 2z =– – – 2z – 1 2z – 1 2z – 1
Nulovým bodem výrazu je reálné číslo, pro které je hodnota výrazu rovna nule. Hodnota lomeného výrazu je rovna nule, je-li nule rovna hodnota čitatele lomeného výrazu, tj. pro z = 2 nebo pro z = –1. Protože číslo –1 není přirozené, je jediným přirozeným nulovým bodem výrazu V(z) číslo 2. Řešení: z = 2
Maturita z matematiky • 04
9
B 29 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Státní závěrečná zkouška na ekonomické fakultě se skládá ze tří předmětů: účetnictví, ekonomie a management. V každém předmětu si student losuje jednu ze třiceti otázek. Anna se z každého předmětu naučila pouze deset otázek. 2 body
7
Jaká je pravděpodobnost, že Anna úspěšně složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů?
1 A) – 27 1 – B) 9 1 – C) 3 D) 1 E) jiná pravděpodobnost
B 29
m , kde n je počet všech výsledků náhodného pokuPravděpodobností jevu A rozumíme číslo P(A) = – n su a m je počet výsledků příznivých jevu A. 1. 10 = – Pravděpodobnost, že Anna složí zkoušku z účetnictví, jestliže umí 10 otázek ze 30, je P(U) = – 30 3 Stejně tak je pravděpodobnost, že Anna složí zkoušku z ekonomie a z managementu po řadě 1. 1 , P(M) = – P(E) = – 3 3 Pravděpodobnost, že Anna složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů, je: 1. 1 ∙– 1 = – 1 3=– 1 ∙– P(SZZ) = P(U) ∙ P(E) ∙ P(M) = – 3 3 3 3 27 Správná možnost je A. Řešení: A
( )
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 x–1 1 . Je dána rovnice: 1 – – = – x x2 + x 2 body
8
10
V množině reálných čísel má rovnice právě: A) dva kořeny, a to x1 = –1 ∨ x2 = 0 B) dva kořeny, a to x1 = 0 ∨ x2 = 1 1 C) jeden kořen, a to x = – 2 D) jeden kořen, a to x = 1 3 E) jeden kořen, a to x = – 2
Maturita z matematiky • 04
B 29
Určíme podmínky, za kterých je rovnice v množině reálných čísel řešitelná, a pomocí ekvivalentních úprav rovnici upravíme. 1 =– x–1 1–– / ∙ x(x + 1); x ≠ 0 ∧ x ≠ –1 x x(x + 1) x(x + 1) – (x + 1) = x – 1 x2 + x – x – 1 = x – 1 / –x + 1 x2 – x = 0 Neúplnou kvadratickou rovnici upravíme na součinový tvar. x(x – 1) = 0 Řešením rovnice jsou nulové body výrazu, pro které je rovnice definována. x1 ≠ 0 ∨ x2 = 1 Správná možnost je tedy D. Řešení: D
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán pravidelný šestiúhelník A–F s délkou strany a.
B 29
max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Nejkratší úhlopříčka má délku a√3. 9.2 Nejdelší úhlopříčka má délku 2a. 9.3 Celkový počet úhlopříček je 8. 9.4 Úhlopříčky AC a AD svírají úhel 30°.
Maturita z matematiky • 04
ANO NE
11
B 29
9.1 Nejkratší úhlopříčkou je např. úsečka AC, označíme ji u1. Úhlopříčka u1 tvoří s vrcholem B rovnoramenný trojúhelník, jehož ramena mají délku a a úhel, která spolu ramena svírají, je vnitřní úhel pravidelného šestiúhelníku. n – 2 . Vnitřní úhel pravidelVnitřní úhel φ pravidelného n-úhelníku vypočteme dle vzorce: φ = 180° ∙ – n ného šestiúhelníku (n = 6) má tedy velikost 120°. Pro výpočet délky úhlopříčky můžeme použít kosinovu větu: 1 = √a2 + a2 + a2 = √3a2 = a√3. u1 = √a2 + a2 – 2 ∙ a ∙ a ∙ cos120° = a2 + a2 – 2a2 ∙ –– 2
√
( )
Alternativa: Rovnoramenný trojúhelník půlí výška na základnu na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky, takže můžeme využít znalostí o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku: u1 – 2 √3 = a√3. – sin 60° = ⟹ u1 = 2 ∙ a ∙ sin 60° = 2 ∙ a ∙ – 2 a Tvrzení je pravdivé. 9.2 Nejdelší úhlopříčku si označíme u2. Nejdelší úhlopříčkou pravidelného šestiúhelníku je průměr kružnice opsané tomuto šestiúhelníku, a protože se pravidelný šestiúhelník skládá ze šesti shodných rovnostranných trojúhelníků, platí: u2 = d =2a. Tvrzení je pravdivé.
B 29
9.3 n ∙ (n – 3) . Pravidelný šestiPočet úhlopříček k pravidelného n-úhelníku vypočteme dle vzorce: k =– 2 úhelník (n = 6) má tedy 9 úhlopříček. Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Úhlopříčky AC a AD svírají úhel, který můžeme označit jako obvodový úhel kružnice opsané danému 1 celé kružnice, a prošestiúhelníku. Tento obvodový úhel přísluší kružnicovému oblouku o velikosti – 6 1 ze 180°, tj. 30°. to je jeho velikost – 6 Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, ANO
12
Maturita z matematiky • 04
B 29 max. 4 body
10 Přiřaďte každé z geometrických posloupností (10.1–10.4) jeden z kvocientů q (A–F). 10.1 an – 3 = –3, an = 24 10.2 ak + 3 = 8ak am – 1 10.3 – =8 am + 2 10.4 sn = n ∙ a1
A) –2 B) –1 1 C) –– 2 1 – D) 2 E) 1 F) 2
B 29
10.1 24 = –8. an = – Jestliže platí: an – 3 = –3, an = 24, pak: – –3 an –3 ar . Kvocient můžeme vypočítat ze vztahu mezi dvěma členy: qr – s = – as an ⟹ q3 = –8 ⟹ q = –2. Platí tedy: qn – (n – 3) = – an –3 Správná možnost je A.
10.2 ak + 3 = 8. Jestliže platí: ak + 3 = 8ak, pak: – a ak + 3 ⟹ q3 =k 8 ⟹ q = 2. Platí tedy: qk + 3 – k = – ak Správná možnost je F.
10.3 1. am – 1 = 8, pak: – am + 2 = – Jestliže platí: – 8 am + 2 am – 1 1 1. a m+2 m + 2 – (m – 1) 3 Platí tedy: q =–⟹q =–⟹q=– 8 2 am – 1
Správná možnost je D.
10.4 Pro součet sn geometrické posloupnosti platí: sn = n ∙ a1, jestliže se jedná o geometrickou posloupnost konstantní, tj. sn = a1 + a1 + a1 + ⋯ + a1, tj. an = a1, tedy kvocient je q = 1. Správná možnost je E. Řešení: A, F, D, E
Maturita z matematiky • 04
13
B 29
B 29
14
Maturita z matematiky • 04
B 29
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
Ve stromky vyrostou 2 % semenáčků, tj. 250 kusů stromků jsou 2 %. 100 = 12 500. Potřebný počet semenáčků je 100 %, tj. 250 ∙ – 2 V semenáčky vyklíčí 95 % semen, tj. 12 500 kusů stromků
max. 2 body
je 95 %. 100 =̇ 13 200. Potřebný počet semen je 100 %, tj. 12 500 ∙ – 95 Je třeba nechat vyklíčit cca 13 200 kusů semen smrku.
B 29
Řešení: 13 200 kusů
2
35°
1 bod
3
660 litrů
max. 2 body
4 4.1 a = 1 + log37
1 bod
4.2 b = 3
1 bod
5.1 X[9; –8]
1 bod
5.2 C[2; 1]
1 bod
5
6
z=2
1 bod
7
A
2 body
8
D
2 body
Maturita z matematiky • 04
15
B 29
9 9.1 ANO 9.2 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
9.3 NE 9.4 ANO 10 9.1 A 9.2 F 9.3 D
B 29
9.4 E
16
Maturita z matematiky • 04
B 29
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů max. 2 body
B 29 2
1 bod
3
max. 2 body
4 4.1
1 bod
4.2
1 bod
5.1
1 bod
5.2
1 bod
5
6
1 bod
7
2 body
8
2 body
Maturita z matematiky • 04
17
B 29
9 9.1 9.2
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
9.3 9.4 10 9.1 9.2 9.3
B 29
9.4
18
Maturita z matematiky • 04
