CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 17 19
B 10
I. CVIČNÝ TEST max. 2 body
1
Pro x ∊ R řešte rovnici: 5
x–1
+5 +5 x
x+3
= 3 155. max. 2 body
2
Za předpokladu x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3 zjednodušte: 5x + 6 + x2 – – x –1 – x+3 – 2 – x – x2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3
B 10
Stavební firma dostala za úkol přemostit bažinu mezi obcemi A a B, která se v současnosti objíždí přes obec C. Vzdálenost |AP| = 10 km, |BC| = 15 km , velikost úhlu PCB je 38°.
max. 2 body
3
Určete vzdálenost mezi obcemi A a B zaokrouhlenou na desetiny km.
4
max. 2 body
(
)
(
)
3 π π 4 Víte-li, že cos x = – a tg y = –, kde x ∈ 0; – a y ∈ 0; – , určete hodnotu čísla 5 3 2 2 A, pro které platí: A = sin x ∙ cotg y.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5
V aritmetické posloupnosti (an) platí: 2a2 – a3 = 40; a4 – 5a1 = –190.
max. 5 bodů
5 5.1 Určete diferenci této posloupnosti. 5.2 Jaký je součet s5 prvních pěti členů této posloupnosti? 5.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (počínaje prvním) je třeba sečíst, aby byl součet roven nule. 2
Maturita z matematiky • 03
B 10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Z krychle o hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku.
max. 2 body
6
Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jistý spisovatel, který neumí psát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. Písařka Alena ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama ji přepíše za 8 dní. Ale spisovateli „hoří“ termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. max. 2 body
7
Vypočítejte, jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat.
max. 2 body
8
Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3. V1: 3x2 + 3x – 18 V2: x2 – 9 V3: x3 + 27
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V krabici je 15 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. 1 bod
9
Kolika způsoby lze vybrat 10 výrobků tak, aby právě 3 byly vadné?
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Kvádr má rozměry v poměru 2 : 3 : 6. Objem tohoto kvádru se rovná 972 dm3. max. 2 body
10
Určete délky jeho stran v cm.
Maturita z matematiky • ZD
3
B 10
B 10 max. 2 body
11
Jsou dány dva body A [–3; 4] a B [5; 0]. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímka AB má rovnici x + 2y – 5 = 0. 11.2 Polopřímka AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t; y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 1〉. 11.3 Bod C [0; 2] leží na přímce AB. 11.4 Opačná polopřímka k polopřímce AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t, y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 0〉. 12
B 10
2 body
12 Je dána rovnice: 14 – 3x = – s neznámou x ∈ R. x–1 Čemu je roven součet všech kořenů této rovnice? A) Součet všech kořenů je roven 0. B) Součet všech kořenů je –5. C) Součet všech kořenů je 5. D) Součet kořenů je roven 10. E) Součet kořenů není žádné z čísel A)–D).
2 body
13
Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 10, 7, 3. Určete velikost vnitřních úhlů takto vzniklého trojúhelníku. A) 60°; 70°; 50° B) 65°; 75°; 40° C) 60°; 75°; 45° D) 65°; 80°; 50° E) 60°; 85°; 35° max. 4 body
14 Přiřaďte ke každé funkci f1–f4 (14.1–14.4) její definiční obor (A–F): 5x + 2 14.1 f1: y =– x–4 14.2 f2: y = log (2 + x) 14.3 f3: y = √25 – x2 x+3 14.4 f4: y = log – x–3 A) R ∖ {4} B) R ∖ {0} C) (–2; ∞) D) (0, +∞) E) 〈–5; 5〉 F) (–∞; –3) ∪ (3; ∞) 4
Maturita z matematiky • ZD
B 10 max. 3 body
15 Ke každému zadání příkladu (15.1–15.3) přiřaďte odpovídající výsledky: 15.1 √28 – 2√18 + √63 + √72 = 15.2 4 – |8 + |3 – 7| – 6| = 2 1 –––
5 – 3 = 15.3 – 2 – 1 – – 3 5
A) 0 B) 2 C) 5√7 D) 1 E) –2 F) –1
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • ZD
B 10
5
B 10
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ max. 2 body
1
Pro x ∊ R řešte rovnici: 5
x–1
+5 +5 x
x+3
= 3 155.
5x – 1 + 5x + 5x + 3 = 3 155 5x ∙ (5–1 + 1 + 53) = 3 155 1 5x ∙ – + 1 + 125 = 3 155 5 1 + 5 + 625 5x ∙ – = 3 155 5 631 5x ∙ – = 3 155 | ∙ 5 5 x 5 ∙ 631 = 15 775 | : 631 5x = 25 5x = 52 x = 2
( (
B 10
) )
Řešení: x = 2
max. 2 body
2
Za předpokladu x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3 zjednodušte: 5x + 6 + x2 – – x –1 – x+3 – 2 – x – x2 5x +6+x –
2
(x + 2) (x + 3) (x – 1) (–x – 2) (x + 2)(–1)(x + 2) – x –1 =– – – ∙–– = – –= x–1 x+3 1 x+3 – 2 2–x–x
= (–1)(x + 2)2 = –x2 – 4x – 4
Trojčlen 5x + 6 + x2 rozložíme na součin (x + 2) ∙ (x + 3). Trojčlen ve jmenovateli jmenovatele rozložíme na součin (x – 1) ∙ ( –x – 2), kde ve druhé závorce vytkneme číslo –1. Výrazy x + 3 v čitateli prvního zlomku a ve jmenovateli druhého zlomku zkrátíme, stejně tak výrazy x – 1 ve jmenovateli prvního zlomku a v čitateli druhého zlomku. Řešení: –x2 – 4x – 4
6
Maturita z matematiky • ZD
B 10 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Stavební firma dostala za úkol přemostit bažinu mezi obcemi A a B, která se v současnosti objíždí přes obec C. Vzdálenost |AP| = 10 km, |BC| = 15 km , velikost úhlu PCB je 38°.
max. 2 body
3
Určete vzdálenost mezi obcemi A a B zaokrouhlenou na desetiny km.
B 10
Vzdálenost |PB| = x můžeme vypočítat z trojúhelníku CPB pomocí kosinové věty: |PB|2 = |CP|2 + |CB|2 – 2|CP| ∙ |CB| cos α x2 = 182 + 152 – 2 ∙ 18 ∙ 15 ∙ cos 38° x2 = 324 + 225 – 36 ∙ 15 ∙ 0,78 x2 = 549 – 425,52 x2 = 123,474 x = 11,1 km |AB| = |AP| + |PB| = 10 + 11,1 = 21,1 km Vzdálenost mezi obcemi A, B je 21,1 km. Řešení: 21,1 km
4
max. 2 body
(
)
(
)
3 π π 4 Víte-li, že cos x = – a tg y = –, kde x ∈ 0; – a y ∈ 0; – , určete hodnotu čísla 5 3 2 2 A, pro které platí: A = sin x ∙ cotg y. Hodnotu funkce cotg y určíme jako převrácenou hodnotu funkce tg y: 1 1 3 cotg y = – = – = – tg y 4 4 – 3
Maturita z matematiky • 03
7
B 10
Hodnotu funkce sin x určíme pro daná x, pro která je tato hodnota kladná, pomocí funkce cos x: sin x = + √1 – cos2x
√
( )
3 sin x = + 1 – – 5 4 sin x = – 5
2
4 ∙ 3 = 3 . Nakonec spočítáme hodnotu čísla A = – – – 5 4 5 3 Řešení: A = – 5
B 10
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V aritmetické posloupnosti (an) platí: 2a2 – a3 = 40; a4 – 5a1 = –190.
max. 5 bodů
5 5.1 Určete diferenci této posloupnosti. Pomocí vzorce pro n-tý člen posloupnosti můžeme rovnice přepsat do následujícího tvaru: 2a1 + 2d – a1 – 2d = 40 a1 + 3d – 5a1 = –190 a1 = 40 3d – 4a1 = –190 Z první rovnice dosadíme za a1 do druhé rovnice a určíme d. 3d – 160 = –190 3d = –30 d = –10 Řešení: d = –10
8
Maturita z matematiky • 03
B 10 5.2 Jaký je součet s5 prvních pěti členů této posloupnosti? Nejdříve vyjádříme pátý člen pomocí vzorce pro n-tý člen: a5 = a1 + 4d a5 = 40 + 4 ∙ (–10) a5 = 0 Potom použijeme vzorec pro součet prvních n členů: 5 ∙ (a + a ) s5 = – 1 5 2 5 ∙ (40 + 0) s5 = – 2 s5 = 100 Řešení: s5 = 100 5.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (počínaje prvním) je třeba sečíst, aby byl součet roven nule. Hledáme tedy přirozené číslo n, pro které platí, že sn = 0. Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah n . sn = (a1 + an ) ∙ – 2 N-tý člen posloupnosti lze vypočítat ze vzorce an = a1 + (n – 1) ∙ d, do něhož dosadíme již vypočtené hodnoty. an = 40 – 10 ∙ (n – 1) an = 40 – 10n + 10 an = 50 – 10n Nyní zkompletujeme rovnici: sn = 0. n 0 = (40 + 50 – 10n) ∙ – 2 n ∙ (90 – 10n) 0= – 2 0 = 45n – 5n2 0 = 5n ∙ (9 – n) n = 0 nebo n = 9 Roven nule je součet prvních devíti členů. Řešení: 9 členů
Maturita z matematiky • ZD
9
B 10
B 10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Z krychle o hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku.
max. 2 body
6
Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. Nejdříve vypočteme objem celé krychle: V = a3 V = 3,83 V = 54, 872 dm3 Potom vypočteme objem válce, jehož poloměr podstavy je roven polovině hrany krychle. V = π ∙ r2 ∙ v V = π ∙ 1,92 ∙ 3,8 V = 43,1 dm3 Na závěr vypočítáme, kolik procent bude činit odpad: 54,872 – 43,1 = 11,8 dm3 100 % ......................................... 54,872 dm3. x % .................................................... 11,8 dm3 x = 21,5 %
B 10
Řešení: Odpad činí 21,5 %.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jistý spisovatel, který neumí psát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. Písařka Alena ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama ji přepíše za 8 dní. Ale spisovateli „hoří“ termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. max. 2 body
7
Vypočítejte, jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat.
320 Vyjádříme, kolik stran přepíše Alena za 1 den: – ; potom vyjádříme, kolik pře 6 x ∙ 320 píše za x dní: – . 6 320 Vyjádříme, kolik stran přepíše Hanka za 1 den: – ; potom vyjádříme, kolik pře 8 x ∙ 320 píše za x dní: – . 8 10
Maturita z matematiky • ZD
B 10
Poté sestavíme rovnici: x ∙ 320 x ∙ 320 + – = 320 | ∙ 24 – 6 8 1 280x + 960x = 7 680 2 240x = 7 680 x = 3,4 dne Řešení: Písařky knihu přepsat nestihnou.
max. 2 body
8
Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3. V1: 3x2 + 3x – 18 V2: x2 – 9 V3: x3 + 27
B 10
Nejdříve všechny výrazy rozložíme na součiny a potom porovnáme: V1: 3x2 + 3x – 18 = 3 ∙ (x2 + x – 6) = 3 ∙ (x + 3) ∙ (x – 2) V2: x2 – 9 = (x – 3) ∙ (x + 3) V3: x3 + 27 = (x + 3) ∙ (x2 – 3x + 9) Největším společným dělitelem výrazů je dvojčlen: V = x + 3. Řešení: x + 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V krabici je 15 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. 1 bod
9
Kolika způsoby lze vybrat 10 výrobků tak, aby právě 3 byly vadné?
Ve skupině deseti výrobků nezáleží na pořadí, takže jde o kombinace. Tři vadné výrobky lze vybrat ze šesti tolika způsoby, kolik je tříčlenných kombinací ze šesti prvků; výběr sedmi nezávadných výrobků z devíti je roven počtu sedmičlenných kombinací z devíti prvků. Celkový počet způsobů výběru tří vadných a sedmi nezávadných výrobků je roven součinu. 9 6 C7(9) ∙ C3(6) = ∙ = 36 ∙ 20 = 720 7 3
( )( )
Řešení: 720 způsoby
Maturita z matematiky • ZD
11
B 10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Kvádr má rozměry v poměru 2 : 3 : 6. Objem tohoto kvádru se rovná 972 dm3. max. 2 body
10
Určete délky jeho stran v cm.
Délky stran vyjádříme pomocí neznámé x: tedy a = 2x; b = 3x a c = 6x. Dále použijeme vzorec pro výpočet objemu kvádru: V=a∙b∙c V = 2x ∙ 3x ∙ 6x Dosadíme za objem: 972 = 36 ∙ x3 x = 3 Délky stran: a = 60 cm; b = 90 cm a c = 180 cm
B 10
Řešení: a = 60 cm; b = 90 cm; c = 180 cm
max. 2 body
11
Jsou dány dva body A [–3; 4] a B [5; 0]. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímka AB má rovnici x + 2y – 5 = 0. 11.2 Polopřímka AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t; y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 1〉. 11.3 Bod C [0; 2] leží na přímce AB. 11.4 Opačná polopřímka k polopřímce AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t, y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 0〉. V tvrzení 11.1 je řečeno, že přímka AB má rovnici x + 2y – 5 = 0. Rovnice přímky AB je 4x + 8y + c = 0. Dosazením souřadnic bodu A zjistíme hodnotu parametru c: 4 ∙ (–3) + 8 ∙ 4 + c = 0, tedy c = –20. Rovnice přímky AB je 4x + 8y – 20 = 0, což jde zkrátit 4. Tvrzení je pravdivé.
V tvrzení 11.2 je řečeno, že polopřímka je dána rovnicí: x = –3 + 8t, y = 4 – 4t, kde t ∊ (-∞; 1〉. Bod A leží na přímce pro t = 0, pro bod B je t = 1, tedy touto rovnicí je dána polopřímka BA. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 11.3 je řečeno, že bod C [0; 2] leží na přímce AB. Dosadíme do rovnice přímky souřadnice bodu C: 0 + 2 ∙ 2 – 5 = –1 ≠ 0. Tvrzení je nepravdivé.
12
Maturita z matematiky • ZD
B 10
V tvrzení 11.4 je řečeno, že přímka opačná k polopřímce AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t; y = 4 – 4t; t ∊ (–∞;0〉. Už v tvrzení 11.2 jsme zjistili, že pro bod A je t = 0 a pro bod B je t = 1, tedy pro t z daného intervalu je určena polopřímka opačná k polopřímce AB. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, NE, NE, ANO
12
12 Je dána rovnice: 14 – 3x = – s neznámou x ∈ R. x–1 Čemu je roven součet všech kořenů této rovnice? A) Součet všech kořenů je roven 0. B) Součet všech kořenů je –5. C) Součet všech kořenů je 5. D) Součet kořenů je roven 10. E) Součet kořenů není žádné z čísel A)–D).
2 body
B 10
12 Rovnice 14 – 3x =– má smysl pro x ≠ 1. x – 1 Pro tyto přípustné hodnoty proměnné lze rovnici vynásobit jmenovatelem pravé strany. (14 – 3x) ∙ (x – 1) = 12 14x – 14 – 3x2 + 3x = 12 –3x2 + 17x – 26 = 0 3x2 – 17x + 26 = 0 Vypočítáme diskriminant: D = b2 – 4ac D = –23 Rovnice nemá v R řešení, takže je správně E. Řešení: E
2 body
13
Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 10, 7, 3. Určete velikost vnitřních úhlů takto vzniklého trojúhelníku. A) 60°; 70°; 50° B) 65°; 75°; 40° C) 60°; 75°; 45° D) 65°; 80°; 50° E) 60°; 85°; 35°
Maturita z matematiky • ZD
13
B 10
Mezi číslicemi 3 a 7 na ciferníku jsou 4 mezery, což znamená, že středový úhel měří 120°; protože příslušný obvodový úhel je poloviční, má úhel u čísla 10 velikost 60°. Podobně určíme úhel u čísla 7: středový úhel měří 150°, takže příslušný obvodový úhel měří 75°. Ze součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku určíme úhel u čísla 3. Jeho velikost je 45°. Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tedy jsou: 60°; 75°; 45° Řešení: C
B 10
max. 4 body
14 Přiřaďte ke každé funkci f1–f4 (14.1–14.4) její definiční obor (A–F): 5x + 2 14.1 f1: y =– x–4 14.2 f2: y = log (2 + x) 14.3 f3: y = √25 – x2 x+3 14.4 f4: y = log – x–3 A) R ∖ {4} B) R ∖ {0} C) (–2; ∞) D) (0, +∞) E) 〈–5; 5〉 F) (–∞; –3) ∪ (3; ∞) 14.1
5x + 2 Pro funkci f1: y =– platí, že jmenovatel musí být různý od 4, tj. D(f)1 = R ∖ {4}. x–4
Řešení: A
14.2 Pro funkci f2: y = log (2 + x) platí, že logaritmovaný výraz musí být kladný, tj. 2 + x > 0, tj. x > –2. D(f2) = (–2; ∞) Řešení: C
14
Maturita z matematiky • ZD
B 10
14.3 Pro funkci f3: y = √25 – x2 platí, že výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. 25 – x2 ≥ 0. Dvojčlen rozložíme na součin, určíme nulové body a rozhodneme o jeho znaménku v příslušných intervalech číselné osy. 25 – x2 = (5 – x) ∙ (5 + x) ≥ 0 Rovnice 25 – x2 = 0 má kořeny (nulové body) v bodech –5 a 5. D(f3)= 〈–5; 5〉 Řešení: E
14.4 x+3 Pro funkci f4: y = log – platí, že logaritmovaný výraz musí být kladný, x–3 – x+3 tj. > 0. x–3 Zlomek je kladný, jsou-li čitatel i jmenovatel buď oba kladné, nebo oba záporné. Musí tedy platit: x + 3 < 0 a zároveň x – 3 < 0 nebo x + 3 > 0 a zároveň x – 3 > 0. D(f4) = (–∞; –3) ∪ (3; ∞)
B 10
Řešení: F
max. 3 body
15 Ke každému zadání příkladu (15.1–15.3) přiřaďte odpovídající výsledky: 15.1 √28 – 2√18 + √63 + √72 = 15.2 4 – |8 + |3 – 7| – 6| = 2 1 –––
5 – 3 = 15.3 – 2 – 1 – – 3 5
A) 0 B) 2 C) 5√7 D) 1 E) –2 F) –1 15.1 Upravíme daný výraz částečným odmocněním: 2√7 – 6√2 + 3√7 + 6√2 = 5√7 Řešení: C
Maturita z matematiky • ZD
15
B 10
15.2 Postupně odstraníme absolutní hodnoty: 4 – |8 + |– 4| – 6)| = 4 – |8 + 4 – 6| = 4 – 6 = –2 Řešení: E
15.3 Postupně zjednodušujeme složený zlomek: 2 1 ––– 1 15 5 3 – – = – ∙ – = –1 15 –1 2 – 1 – – 3 5
( )
Řešení: F
B 10
KONEC TESTU
16
Maturita z matematiky • ZD
B 10
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–10 jsou otevřené. 3) Úlohy 11–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
x=2
max. 2 body
2
–x2 – 4x – 4
max. 2 body
3
x = 21,1 km
max. 2 body
4
A = 3 – 5
max. 2 body
5 5.1 d = –10
1 bod
5.2 S5 = 100
max. 2 body
5.3 9 členů
max. 2 body
6
21,5 %
max. 2 body
7
Nestihnou.
max. 2 body
8
V=x+3
max. 2 body
9
720 způsoby
1 bod
10
a = 60 cm; b = 90 cm; c = 180 cm
max. 2 body
11 11.1 ANO 11.2 NE 11.3 NE 11.4 ANO
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
12
E
2 body
13
C
2 body
14 14.1 A 14.2 C 14.3 E 14.4 F
Maturita z matematiky • ZD
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
B 10
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
17
B 10 15 15.1 C 15.2 E 15.3 F
max. 3 body 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 10
18
Maturita z matematiky • ZD
B 10
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 11–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
35–30
1
29–24
2
23–18
3
17–12
4
Počet bodů
1
max. 2 body
2
max. 2 body
3
max. 2 body
4
max. 2 body
5 5.1
1 bod
5.2
max. 2 body
5.3
max. 2 body
6
max. 2 body
7
max. 2 body
8
max. 2 body
9
1 bod
10
max. 2 body
11 11.1 11.2 11.3 11.4
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
12
2 body
13
2 body
14 14.1 14.2 14.3 14.4
Maturita z matematiky • ZD
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
B 10
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
19
B 10 15 15.1 15.2 15.3
max. 3 body 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 10
20
Maturita z matematiky • ZD
