CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler
OBSAH
I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list
2 6 13 15
B 22
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazili do terénu, z toho 1/6 z nich navštívila školní jídelny, 3/10 soukromá restaurační zařízení, 2/7 výrobny a další zařízení pracující v oboru potravinářské výroby a zpracování a výroby jídel. Zbylých 52 inspektorů navštívilo prodejny potravin. 1 bod
1
Kolik inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazilo do terénu? 1 bod
2
B 22
Určete souřadnice všech bodů X v rovině, které leží na souřadnicové ose x a mají stejnou vzdálenost od bodu A[5; 4] jako od bodu B[–1; –2]. 1 bod
3
Určete, kolik přirozených čísel je kořenem rovnice x(x + 2) = 4(9 + x) – 1.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán trojúhelník EBF a čtverec AFGH. Bod A leží na úsečce EF, body D, G leží na úsečce FB, bod H leží na úsečce EB. Úsečky EF, CD a GH jsou rovnoběžné, velikost úhlu ∢ AHE je 62°.
max. 2 body
4.1 Jaká je velikost úhlu φ z obrázku? 4.2 Která úsečka má délku rovnu vzdálenosti bodu B od přímky AE?
2
Maturita z matematiky • 03
B 22 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 2 : 1. Tělesová úhlopříčka tohoto kvádru má délku 6 cm. max. 2 body
5
Jaký je objem kvádru v cm ? 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dána rovnice s kombinačními čísly
( ) + ( ) = ( ). k 1
k 2
8 6
max. 3 body
6.1 Určete nejmenší možnou hodnotu neznámé k, pro kterou má rovnice smysl. 6.2 Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.)
B 22
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán čtverec o obsahu a2 a tři shodné obdélníky, které mají jeden rozměr délky a a druhý rozměr délky b. Pro čísla a, b platí, že jsou kladná a a > b. 2 body
7
Jaký bude obvod obdélníka, který vznikne vhodným složením čtverce a všech tří obdélníků? A) a + 3b B) 2a – 6b C) 4a + 6b D) 2a(a + b) E) a(a + 3b)
Maturita z matematiky • 03
3
B 22 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Je dána množina bodů v rovině označená v obrázku šrafováním.
2 body
8
B 22
Která soustava nerovnic má grafické řešení shodné s množinou na obrázku? A) I. y ≤ 1 – x II. y ≥ (x – 2)2 – 3
B) I. y ≤ x – 1 II. y ≥ (x – 2)2 – 3
C) I. y ≤1 – x II. y ≥ 2x2 – 3
D) I. y ≥ –x + 1 II. y ≤ (x – 2)(x – 3)
E) I. y ≥ 1 – x II. y ≤ (x – 1)(x – 4)
4
Maturita z matematiky • 03
B 22 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 A, B, C a D zastupují vždy jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, přičemž mohou zastupovat i stejnou číslici. Je dán součet: ABC + 93B D131 max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Číslice B musí být rovna 0. 9.2 Číslice C může být větší než 1. 9.3 Číslice A může být rovna 1. 9.4 Číslice D může být rovna 2.
ANO NE max. 4 body
10 Přiřaďte každé z posloupností (10.1–10.4) její vlastnost (A–F). 10.1 {2n – 5}n∞= 1 10.2 {4 + (–1)n}n∞= 1 10.3 {9n – 32n}n∞= 1 ∞ 1 10.4 – – 1 n n=1
{
}
A) klesající B) rostoucí C) konstantní D) záporná E) konečná F) kladná
KONEC TESTU
Maturita z matematiky • 03
5
B 22
B 22
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazili do terénu, z toho 1/6 z nich navštívila školní jídelny, 3/10 soukromá restaurační zařízení, 2/7 výrobny a další zařízení pracující v oboru potravinářské výroby a zpracování a výroby jídel. Zbylých 52 inspektorů navštívilo prodejny potravin. 1 bod
1
Kolik inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce vyrazilo do terénu? Počet všech inspektorů, kteří vyrazili do terénu, označíme neznámou x: x +– 3x + – 2x + 52 = x / ∙ 420 – 6 10 7
B 22
70x + 126x + 120x + 21 840 = 420x 21 840 = 420x x = 210 Do terénu vyrazilo 210 inspektorů Státní zemědělské a potravinářské inspekce. Řešení: 210
1 bod
2
Určete souřadnice všech bodů X v rovině, které leží na souřadnicové ose x a mají stejnou vzdálenost od bodu A[5; 4] jako od bodu B[–1; –2]. Označíme bod X[m; 0], m ∈ R ležící na souřadnicové ose x. Určíme jeho vzdálenost od obou bodů a porovnáme je. √(m – 5)2 + (0 – 4)2 = √(m + 1)2 + (0 + 2)2 (m – 5)2 + (0 – 4)2 = (m + 1)2 + (0 + 2)2 m2 – 10m + 25 + 16 = m2 + 2m + 1 + 4 12m = 36 m=3 Jedná se o bod X[3; 0]. Řešení: X[3; 0]
1 bod
3
Určete, kolik přirozených čísel je kořenem rovnice x(x + 2) = 4(9 + x) – 1. x(x + 2) = 4(9 + x) – 1 ⇒ x2 + 2x = 36 + 4x – 1 ⇒ x2 – 2x – 35 = 0 ⇒ (x – 7)(x + 5) = 0 ⇒ x1 = 7 ∨ x2 = –5 Kořen x2 není z množiny přirozených čísel, rovnice má jen jeden přirozený kořen. Řešení: jedno
6
Maturita z matematiky • 03
B 22 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán trojúhelník EBF a čtverec AFGH. Bod A leží na úsečce EF, body D, G leží na úsečce FB, bod H leží na úsečce EB. Úsečky EF, CD a GH jsou rovnoběžné, velikost úhlu ∢ AHE je 62°.
max. 2 body
4.1 Jaká je velikost úhlu φ z obrázku? Protože úhly ∢AEH a ∢GHB jsou shodné (vyplývá to z podobnosti trojúhelníků FEB a GHB) a úhel ∢EAH je pravý (je vedlejší k vnitřnímu úhlu ve čtverci AFGH), platí: |∢AEH| = |∢GHB| = φ = 90°– 62° = 28° Ke stejnému závěru dojdeme i takto: Ve čtverci AFGH jsou všechny vnitřní úhly pravé, takže platí: |∢AHE| + |∢AHG| + |∢GHB|= 180° ⇒ φ = 180° – 62° – 90° = 28°. Řešení: φ = 28°
4.2 Která úsečka má délku rovnu vzdálenosti bodu B od přímky AE? Vzdálenost bodu B od přímky AE měříme od bodu B po kolmici k přímce AE, tedy po přímce BF. Vzdálenost bodu B od přímky AE je délka úsečky BF. Řešení: BF
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 2 : 1. Tělesová úhlopříčka tohoto kvádru má délku 6 cm. max. 2 body
5
Jaký je objem kvádru v cm ?
Maturita z matematiky • 03
3
7
B 22
B 22
Vyjádříme délky hran a a c. a =– 2 =1∧– b =– 2 ⇒a=b∧c=– b – b 2 c 1 2
Délku u tělesové úhlopříčky spočteme ze vztahu: u = √a2 + b2 + c2 Do vztahu dosadíme:
√
9b2 b2 ⇒ 36 = – 6 cm = b2 + b2 + – ⇒ b2 = 16 ⇒ b = 4 (b > 0) 4 4
Nyní určíme objem V = abc = (4 cm) ∙ (4 cm) ∙ (2 cm) = 32 cm3. Objem kvádru je 32 cm3. Řešení: 32 cm3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6
B 22
Je dána rovnice s kombinačními čísly
( ) + ( ) = ( ). k 1
k 2
8 6
max. 3 body
6.1 Určete nejmenší možnou hodnotu neznámé k, pro kterou má rovnice smysl. V daných kombinačních číslech musí zároveň platit: k ∈ N ∧ k ≥ 1 ∧ k ≥ 2. Nejmenší možnou hodnotou neznámé k je tedy 2. Řešení: k = 2
6.2 Řešte rovnici pro přípustné hodnoty. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.) Rovnici můžeme řešit tak, že každé kombinační číslo převedeme zvlášť na zlomek. Je ale vhodné si uvědomit, že z Pascalova trojúhelníku pro kombinační čísla vyplývá: k k k+1 8 8 k+1 8 + = ∧ = ⇒ = ⇒k+1=8⇒k=7 1 2 2 6 2 2 2 Kořenem rovnice je k = 7. Převedeme-li každé kombinační číslo, vypadalo by řešení následovně: k k 8 k! k! – + = ⇒ – + – = 8! 1 2 6 1!(k – 1)! 2!(k – 2)! 6! 2! – k! k! + – = 28 (k – 1)! 2(k – 2)! – k (k – 1)! + – k(k – 1)(k – 2)! = 28 – (k – 1)! 2(k – 2)! k (k – 1) = 28 k + – 2 2k + k2 – k = 56 k2 + k – 56 = 0 (k – 7)(k + 8) = 0 k1 = 7 ∨ k2 = –8 ∉ N
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Řešení: k = 7
8
Maturita z matematiky • 03
B 22 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán čtverec o obsahu a2 a tři shodné obdélníky, které mají jeden rozměr délky a a druhý rozměr délky b. Pro čísla a, b platí, že jsou kladná a a > b. 2 body
7
Jaký bude obvod obdélníka, který vznikne vhodným složením čtverce a všech tří obdélníků? A) a + 3b B) 2a – 6b C) 4a + 6b D) 2a(a + b) E) a(a + 3b) Pokud si situaci zakreslíme, jedná se o tento obdélník: Z obrázku jasně vyplývá, že obvod trojúhelníka je 4a + 6b, tj. možnost C.
B 22 Řešení: C
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Je dána množina bodů v rovině označená v obrázku šrafováním.
Maturita z matematiky • 03
9
B 22 2 body
8
Která soustava nerovnic má grafické řešení shodné s množinou na obrázku? A) I. y ≤ 1 – x II. y ≥ (x – 2)2 – 3
B) I. y ≤ x – 1 II. y ≥ (x – 2)2 – 3
C) I. y ≤1 – x II. y ≥ 2x2 – 3
D) I. y ≥ –x + 1 II. y ≤ (x – 2)(x – 3)
E) I. y ≥ 1 – x II. y ≤ (x – 1)(x – 4)
B 22
Funkce, jejíž graf tvoří dolní hranici oblasti, má minimum v bodě [2, –3] a prochází bodem [0; 1], je kvadratická. K zápisu jejího předpisu použijeme vrcholový tvar, neboť bod [2, –3] je vrcholem jejího grafu. y = a(x – 2)2 – 3 Do předpisu dosadíme bod [0; 1], abychom zjistili koeficient a. 1 = a(0 – 2)2 – 3 ⇒ 1 = 4a – 3 ⇒ a = 1 Předpis první hledané funkce je y = (x – 2)2 – 3. Protože tento předpis se nachází jen v možnostech A a B, nebudeme další možnosti již sledovat. Lineární funkce, jejíž graf tvoří horní hranici, má předpis, využijeme-li úsekový tvar rovnice přímky, následující: x +– y = 1 ⇒ x + y = 1 ⇒ y = –x + 1 ⇒ y = 1 – x. – 1 1 Nerovnosti ověříme dosazením libovolného bodu do soustavy nerovnic, např. [2; –2]. I. –2 ≤ 1 –2 ⇒ –2 ≤ –1 II. –2 ≥ (2 – 2)2 – 3 ⇒ –2 ≥ –3 Jedná se o oblast vymezenou soustavou nerovnic uvedených v možnosti A. Řešení: A
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 A, B, C a D zastupují vždy jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, přičemž mohou zastupovat i stejnou číslici. Je dán součet: ABC + 93B D131
10
Maturita z matematiky • 03
B 22 max. 2 body
9
Rozhodněte o každém tvrzení (9.1–9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE):
9.1 Číslice B musí být rovna 0. 9.2 Číslice C může být větší než 1. 9.3 Číslice A může být rovna 1. 9.4 Číslice D může být rovna 2.
ANO NE
9.1 Pro číslici B mohou nastat teoreticky následující situace: B + 3 = 3, nebo B + 3 = 13, nebo B + 3 + 1 = 3, nebo B + 3 + 1 = 13. Z toho plynou reálně jen dvě možnosti, že B = 0, nebo B = 9, možnost B + 3 + 1 = 3 reálně nenastane, protože číslice B nemůže být záporná ani rovna 10. B může být i 9, tvrzení je nepravdivé. 9.2 Ze součtu B + C = 1 vyplývá, že pro případ, kdy B = 0, bude C = 1, a pro případ, kdy B = 9, bude C = 2. Tvrzení je pravdivé.
B 22
9.3 Bude-li B = 0, nemůže být A + 9 = 1, protože by číslice A byla záporná. Musí tedy platit, že B = 0 a zároveň A + 9 = 11. Pak by číslice A = 2 . Pokud číslice B = 9, bude platit B + 3 = 12, tudíž A + 9 + 1 = 1 nebo A + 9 + 1 = 11. První možnost je vyloučena, platí tedy jen druhá, že A = 11 – 10 = 1. Protože A = 1 nebo A = 2, tvrzení je pravdivé. 9.4 Číslice D nemůže být rovna 2, protože maximální hodnota, které teoreticky může součet A + 9 dosáhnout, je 19. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE
max. 4 body
10 Přiřaďte každé z posloupností (10.1–10.4) její vlastnost (A–F). 10.1 {2n – 5}n∞= 1 10.2 {4 + (–1)n}n∞= 1 10.3 {9n – 32n}n∞= 1 ∞ 1 10.4 – – 1 n n=1
{
}
A) klesající B) rostoucí C) konstantní D) záporná E) konečná F) kladná
Maturita z matematiky • 03
11
B 22
10.1 Posloupnost {2n – 5}6n = 1 = {–3; –1; 1; 3; 5; 7; …}. Posloupnost je nekonečná, rostoucí, není záporná, ani kladná. Řešení: B 10.2 Posloupnost {4 + (–1)n}∞n = 1 = {3; 5; 3; 5; 3; 5; …}. Posloupnost je nekonečná, není rostoucí, ani klesající, ani konstantní, je ale kladná. Řešení: F 10.3 Posloupnost {9n – 32n}∞n = 1 = {(32)n – 32n}∞n = 1 = {32n – 32n}∞n = 1 = {0; 0; 0; 0; 0; …}. Posloupnost je nekonečná, konstantní. Není ani kladná, ani záporná. Řešení: C 10.4 1 –1 Posloupnost – n kladná, ani záporná. Řešení: A
B 22
{
}
{
}
1 ; –– 2 ;– –3 ; – –4 ; … = 0; –– n=1 2 3 4 5
∞
∞ n=1
. Posloupnost je nekonečná, klesající. Není ani
KONEC TESTU
12
Maturita z matematiky • 03
B 22
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
210
1 bod
2
X[3; 0]
1 bod
3
jedno
1 bod
4 4.1 φ = 28°
1 bod
4.2 BF
1 bod
32 cm3
5 6
B 22
max. 2 body 1 bod
6.1 k = 2
1 bod
6.2
2 body
Rovnici můžeme řešit tak, že každé kombinační číslo převedeme zvlášť na zlomek. Je ale vhodné si uvědomit, že z Pascalova trojúhelníku pro kombinační čísla vyplývá:
( 1k ) + ( 2k ) = (k +2 1) ∧ ( 86 ) = ( 82 ) ⇒ ( k +2 1 ) = ( 82 ) ⇒ k + 1 = 8 ⇒k=7
Kořenem rovnice je k = 7. Převedeme-li každé kombinační číslo, vypadalo by řešení následovně: – k! + – k! = – 8! ( 1k ) + ( 2k ) = ( 86 ) ⇒ 1!(k – 1)! 2!(k – 2)! 6! 2!
– k! + – k! = 28 (k – 1)! 2(k – 2)! – k (k – 1)! + – k(k – 1)(k – 2)! = 28 – (k – 1)! 2(k – 2)! k (k – 1) = 28 k + – 2 2k + k2 – k = 56 k2 + k – 56 = 0 (k – 7)(k + 8) = 0 k1 = 7 ∨ k2 = –8 ∉ N Řešení: k = 7
7
C
2 body
8
A
2 body
Maturita z matematiky • 03
13
B 22 9 9.1 NE 9.2 ANO 9.3 ANO 9.4 NE 10 10.1 B 10.2 F 10.3 C 10.4 A
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 22
14
Maturita z matematiky • 03
B 22
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů
1
1 bod
2
1 bod
3
1 bod
4 4.1
1 bod
4.2
1 bod
5
max. 2 body
6
1 bod 6.1
1 bod
6.2
2 body
7
2 body
8
2 body
Maturita z matematiky • 03
B 22
15
B 22 9 9.1 9.2 9.3 9.4 10 10.1 10.2 10.3 10.4
max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.
max. 4 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh
4 b. 3 b. 2 b. 1 b. 0 b.
B 22
16
Maturita z matematiky • 03
