BI5106 Analisis Biostatistik 18 September 2012 Utriweni Mukhaiyar

FUNGSI PELUANG GABUNGAN BI5106 Analisis Biostatistik 18 September p 2012 Utriweni Mukhaiyar

Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori kategori yang berbeda. kategori-kategori berbeda Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan. •Banyak lantai •Kekuatan bangunan •Banyak lift •Ti •Tinggi ib bangunan •Banyak pintu/tangga darurat •Luas bangunan •Banyak ruangan •Luas taman/daerah hijau •.... bangunan •... KONTINU DISKRIT Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan. bangunan Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y. f(x
Ilustrasi Misalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2 menyatakan banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan. f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama //serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X1, X2, dan X3. f(10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50 ruangan.

F Fungsi i Peluang P l G Gabungan b D I S K R I T

1. P(X=x, Y=y)  0 untuk semua (x, y) 2. P ( X  x, Y  y )  1

 x

y

3 Untuk 3. U t k sebarang b daerah d h A ddalam l daerah d h ddefinisi fi i i xy berlaku, b l k

P[( X , Y )  A]   f ( x, y ) A

K O N T I N U

1. f(x, y)  0 untuk semua (x, y)   2.



f ( x, y )dxdy  1

 

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

P[( X , Y )  A]   f ( x, y )dxdy A

C Contoh h1 

Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung: a. Fungsi peluang gabungan f(x,y) b. P[(X,Y)A] [( , ) ] dimana A adalah daerah {( {(x,y)|x y) + y  2}}

Jawab: a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). f(3 0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang. f(3,0) Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C4 = 70. Banyak cara yang mungkin mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.

Solusi 1 

f ( x, y ) 

3

C x  2C y  3C4 x  y 8

C4

3  3 2       x y  4  x  y    , x  0,1, 2,3, y  0,1, 2 8      4

D b fungsi Distribusi f peluangnya: l x

y

f(x,y)

0

1

2

3

h(y)

0

0

3/70

9/70

3/70

15/70

1

2/70

18/70

18/70

2/70

40/70

2 g(x)

3/70 / 5/70

9/70 / 30/70

3/70 / 30/70

0 5/70

15/70 / 1

P[( X , Y )  A]  P( X  Y  2)

b.

 P ( X  0, Y  1)  P ( X  0, Y  2)  P ( X  1, Y  0)  P ( X  1, Y  1)  P( X  2, Y  0)  f (0,1)  f (0, 2)  f (1, 0)  f (1,1)  f (2, 0) 2 3 3 18 9 35 1        70 70 70 70 70 70 2

Contoh 2 

Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: 2  ( x  2 y ), 0  x  1, 0  y  1 f ( x, y )   3  0 0, x, y lainnya

a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang. b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing masing masing kurang dari setengah. setengah

Solusi 2  

a.



 

1 1

1

1

1 2 1 2 1 f ( x, y )dxdy    ( x  2 y )dxdy   ( x  4 yx) dy   (1  4 y )dy 3 3 3 0 0 0 0 0 1 1 1 2  ( y  2 y )  (1  2)  0 3 3 0 1

f(x,y) adalah fungsi peluang. 1/2 1/2

0 5 Y  00.5) 5)  b P( X  0.5, b.

 0

1/2



 0

0

1/ 2

1/2 2 1 2 ( x  2 y )dxdy   ( x  4 yx) dy 3 3 0 0

1/2 11 11 11 1 1 1  2     2 y  dyy   y  y    3 4 3 4   0 3 4 2 4 8

Fungsi Marjinal Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y). 

Untuk X dan Y diskrit. diskrit

g ( x )   f ( x, y )   P ( X  x, Y  y ) y

y

h ( y )   f ( x, y )   P ( X  x, Y  y ) x

x

 Untuk X dan Y kontinu. 

g ( x) 







f ( x, y )dy

dan

h( y ) 





f ( x, y )dx

Contoh 3 Perhatikan Contoh 1.  Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang marjinal dari X dan Y. Y  Jawab : 2 3 5 1 g (0)  f (0, 0)  f (0, (0,1))  f (0, 2))  0     70 70 70 14 

3 18 9 30 3 g ((1))  f ((1, 0))  f (1,1) ( )  f ((1, 2))      70 70 70 70 7 9 18 3 30 3 g (2)  f (2, 0)  f (2,1)  f (2, 2)      70 70 70 70 7 3 2 5 1 g (3)  f (3, 0)  f (3,1)  f (3, 2)   0   70 70 70 14

Solusi 3 

Distribusi p peluang g peubah p acak X adalah : x

0

1

2

3

g(x) = P(X=x)

1/14

6/14

6/14

1/14

 Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang

peubah b h acakk Y adalah d l h: y

0

1

2

h(y) = P(Y=y)

3/14

8/14

3/14

C Contoh h4  a. b. c.

Perhatikan Contoh 2. Tentukan, fungsi peluang marjinal untuk X fungsi peluang marjinal untuk Y peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.

JJawab b: a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x) 

g ( x) 





1

1 2 2 2 2 f ( x, y )dy   ( x  2 y )dy  ( xy  y )  ( x  1)  0 3 3 3 0 0

2  ( x  1), 3

0  x 1

Solusi 4 b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y) 

h( y ) 





1

2 f ( x, y )dx   ( x  2 y )dx  3 0

1 4   y, 3 3

21 2  1 21     x 2 yx 2 y    0 32  0 32 

0  y 1

c Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in c. membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan adalah P(X P(X<1,5). 1,5). 1.5

1

2 1 2 2 P ( X  1.5)   g ( x)dx   ( x  1)dx  x  x 3 3 3  0 1

1 0

1  (1  2)  0 3

Peluang g Bersyarat y 



Misalkan X dan Y adalah peubah acak, diskrit atau kontinu. Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika diberikan X=x adalah: f ( x, y ) f ( y | x)  , g ( x)



g ( x)  0

Peluang bersyarat dari peubah acak X jika diberikan Y=y adalah: f ( x, y ) f ( x | y)  , h( y )

h( y )  0

Bebas Statistik 

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi peluang p g marjinal j masing-masingnya g g y adalah g( g(x)) dan h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,

f ( x, y )  g ( x ) h ( y ) untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.

C Contoh h5  



Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1. Hitung P(X=0|Y=1) Jawab b:

f ( x, y ) , h( y )  0 h( y ) f (0,1) 2 70 1 f (0 |1)    8 14 8 14 20 f ((2,1) , ) 18 70 9 f (2 |1)    8 14 8 14 20 f ( x | y) 

f ( x,1) 8 14 f (1,1) 18 70 9 f (1|1)    8 14 8 14 20 f (3,1) ( , ) 2 70 1 f (3 |1)    8 14 8 14 20

yaitu , ,

f ( x |1) 

 Distribusi peluang bersyarat : P(X=0|Y=1)

x

0

1

2

3

f(x|1)

1/20

9/20

9/20

1/20

Contoh 6   

Perhatikan Contoh 2. Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena Karena, 2  1  2 g ( x)h( y )   ( x  1)   (1  4 y )   (4 xy  4 y  x  1) 3  3  9 2  ( x  2 y )  f ( x, y ) 3



Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.

Referensi 18

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H.,

Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan g Penerbit ITB, 1995. Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:  Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, g g 8th Ed., New Jersey: y Prentice Hall.  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

edited 2011 by UM