1
PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 11 September 2012
2
P Pemetaan t (F (Fungsi) i) • Suatu p pemetaan / fungsi g • Kategori fungsi: 1. Fungsi titik g
A • • • •
B • • • • •
2. Fungsi himpunan A
B • • •
3
P b h Acak Peubah A k • Peubah acak, acak yaitu pemetaan X : S R
4
Mengapa g p Peubah Acak Perlu? • Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. • Dapat dipetakan. • Lebih mudah dalam penulisan
5
Contoh • Percobaan p pelemparan p sebuah dadu S= {
,
, ... ,
}
X= { 1 , 2 ,…, 6 }
6
Jenis Peubah Acak • Peubah Acak Diskrit himpunan terhitung x1 , x 2 , ... , berhingga s : X ( s ) x E S atau tak berhingga, dan i
Peubah Acak Kontinu peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) merupakan fungsi kontinu untuk semua x є R
7
Contoh
Peubah Acak X
Tipe
X = 0, jika tidak terjadi hujan dalam 1 minggu u Banyak kejadian hujan j dalam satu minggu
= 1, jika terjadi hujan 1 kali dalam 1 minggu gu
Diskrit
= 2, , jika terjadi hujan 2 kali dalam 1 minggu nggu … dst X = [0, 15], jika hujan turun sampai 15 menit
Lama waktu hujan X = (15, 30], jika hujan turun antara 15 sampai 30 menit setiap kali turun X = (30, 45], jika hujan turun antara 30 sampai 45 menit X = (45, 60], jika hujan turun antara 45 sampai 60 menit X = (60, ], jika hujan turun lebih dari 1 jam
Kontinu
8
Fungsi peluang P(X = x) dan f(x)
Diskrit P(X = x), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p).
Kontinu f(x), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Pada kasus kontinu, fungsi peluang tidak bisa ditulis sebagai P(X = x) karena peluang di satu titik adalah g nol,, meskipun p nilai fungsinya g y belum tentu sama dengan nol.
9
X:S
R
Diskrit 1. P(X=x) 0 2. P X x 1 x 3. P(a< X b) = P(Xb) - P(Xa) 4 F x P X x 4. f t tx
Kontinu 1. f(x) 0, xR 2. f x dx 1
3. P(a<Xb) =
b
f x dx a
4. F x P X x
x
f t dt
Pada prinsipnya kedua tipe di atas bermakna sama, hanya berbeda dalam hal penulisan dan cara menghitungnya.
10
Contoh Grafik Fungsi Peluang Diskrit
Kontinu f(x)
P(X=x) ( ) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1
2
3
4
Jumlah peluang untuk semua titik = 1
0.1 0.3 P X x 0.4 0.2 02 0
, , , ,
x 1 x2 x3 x4
, x lainnya
x Luas di bawah grafik = 1
, 0 x 1 x f ( x) 2 x , 1 x 2 0 , x lainnya
x
11
Fungsi Distribusi • Fungsi distribusi kumulatif, F dari peubah acak X • Sifat-sifat Sif if 1. F fungsi yang monoton tidak turun, F ( x) 1 2 lim 2. x
3. lim F ( x) 0 x
4 F kontinu 4. k ti dari d ik kanan.
lim F ( x ) F (a )
xa
12
Contoh 1 Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki laki laki dan perempuan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, sebut ’baik’ baik dan ’tidak’ tidak . Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {, , , }, Dimana = baik, baik = tidak. tidak Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi F i massa peluang l d darii peubah b h acak kT b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan
…
13
Ilustrasi Contoh Ruang Sampel
T
2 0 1
P (T = t)
¼ ½
14
Jawab a. Misal p peubah acak T = banyaknya y y mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0, 1, 2} d ffungsii masa peluang dan l P(T t) adalah: P(T=t) d l h
2 t 1 1/ 2, P(T t ) 1/ 4, t 0, 2 0, t yang lain
15
b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t 0, maka , F 0 P T 0 P T 0 P T 0 P T 0 , peluang di T 0 bernilai 0 ¼ ¼ Ambil 0 t 1, maka F t P T t P PT T 0 P P T T 0 0 ¼ 0 ¼
P P 0 0 T T tt
16
Ambil t = 1, maka
F(1) = P(T ≤ 1) = P(T ≤ 0) + P(0
Ambil t = 2, maka F(2) = P(T≤ 2) = P(T ( ≤ 1)) + P(1
17
Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : 0, 1/ 4, 4 F (t ) 3 / 4, 1,
t0
0 t 1 1 t 2 t2
Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik di bawah ini: F(t) 1 ¾ ½ ¼ t 0
1
2
3
4
18
Contoh 2 Misalkan kesalahan dalam pengukuran tingkat curah hujan antara - ½ mm dan ½ mm. Dianggap bahwa alat ukur melakukan kesalahan tidak akan kekurangan maupun kelebihan dari ukuran sebenarnya lebih dari ½ mm. Jika Y adalah peubah acak yang menyatakan kekurangan maupun kelebihan pengukuran tersebut, tentukan : a. Peluang alat ukur melakukan kesalahan antara kekurangan 0,25 mm dan kelebihan 0,2 mm, b. peluang kelebihan pengukuran adalah lebih dari 0,2 mm, dan c. Fungsi distribusi F(y) beserta gambar.
19
Jawab : Diketahui Y menyatakan y kesalahan p pengukuran g (mm). 1 1 1, y f ( y) 2 2 0, y yang lain
a a.
1 1 1 1 P Y P Y P Y 5 5 4 4 1 12 4 0 dy 1 dy 0 dy 1 dy 1/ 2 1 2 7 1 0 0 10 4 1/ 2
1/5
28 10 18 40
40
20
b.
P Y 0, 2 1 P Y 0, 2 1 1 P Y 5 1 12 5 1 0 dy 1 dy 1 2 7 3 1 0 10 10
c. F y f ( y ) dy y
Fungsi distribusi : 0, 1 F y y , 2 1,
y
1 2
1 1 y 2 2 1 y 2
1
2
y
1
F(y)
0 dy 1 dy
y
1 2
1
2
y -½
½
21
Referensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and
Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Navidi, William, Statistics for Engineers and Scientists 2nded., New York: McGraw-Hill,, 2008. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, ITB 1995. 1995 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
