Uji Hipotesis
•U J I R ATA A N •U J I VA R I A N S I
M A 2 0 8 1 S TAT I S T I K A D A S A R U T R I W E N I M U K H A I YA R APRIL 2011
Pengertian g 2
Hipotesis Hi t i adalah d l h suatu t anggapan yang mungkin ki
benar atau tidak mengenai satu populasi atau l bih yang perlu lebih l diuji di ji kebenarannya k b Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya 1. 2.
Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥) Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.
Galat (error) ( ) 3
H0 ditolak H0 tidak ditolak
H0 benar
H0 salah
P(menolak H0 | H0 benar) = galat tipe I = α
keputusan benar
k keputusan t b benar
P(tidak menolak H0 | H0 salah) l h) = galat tipe II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
Skema Umum Uji j Hipotesis p 4
H0
•Hipotesis yang ingin diuji •Memuat Memuat suatu kesamaan ((=,, ≤ atau ≥) •Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain
H1
•Hipotesis yang ingin dibuktikan •Disebut juga hipotesis alternatif •Memuat suatu p perbedaan ((≠, > atau <))
Hipotesis p Statistik ???
Keputusan
H0 ditolak
mungkin terjadi
H0 tidak ditolak
Kesimpulan
Kesimpulan
H1 benar b
Tidak cukup bukti untuk menolak H0
Kesalahan
Tipe I
Tipe II
Menolak H0 padahal H0 benar P(tipe I) = α = tingkat signifikansi
Menerima H0 padahal H0 salah P(tipe I) = β
Statistik Uji dan Titik Kritis 5
Statistik uji j digunakan g untuk menguji g j hipotesis p statistik
yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. Titik Ti ik kritis k i i membatasi b i daerah d h penolakan l k dan d penerimaan i H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan. H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis kritis.
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
1- 0
titik kritis
daerah kritis
1- titik kritis
titik kritis diperoleh dari tabel statistik
Uji j Rataan Satu Populasi p 6
uji dua arah
11. H0 : = 0 vss H1 : 0 2 H0 : = 0 vs H1 : > 0 2. 3. H0 : = 0 vs H1 : < 0
uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi 7
1. Kasus K σ2 diketahui dik t h i
X 0 Z / n
~ N(0,1)
Tabel Z (normal baku)
2. Kasus K σ2 tidak id k diketahui dik h i
X 0 T s/ n
~ t(n-1)
Tabel t
Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi 8
σ2 diketahui
σ2 tidak diketahui
Z
T
H0 : = 0 vs H1 : 0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : = 0 vs H1 : > 0
Z > Zα
T > Tα
H0 : = 0 vs H1 : < 0
Z < - Zα
T < - Tα
Statistik uji :
titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1
Uji j Rataan Dua Populasi p 9 uji dua arah
11. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0 2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0 3 H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0 3. uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi 1.
Kasus σ12 dan σ22 diketahui
ZH
2.
X =
X2 μ0 σ12 σ 22 n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ22
T H =
3.
1
10
X
1
X2 μ0 S12 S22 n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22
TH
X =
1
Sp
X2 μ0 1 1 n1 n 2
dengan
2 2 (n 1)S (n 1)S 1 2 2 S2p = 1 n1 n 2 2
Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi 11
Statistik uji :
σ12, σ22 diketahui
σ12, σ22 tidak diketahui
Z
T σ12 = σ22
σ12 ≠ σ22 2
Derajat Kebebasan
n1 + n2 - 2
S12 S 22 n1 n 2 v= 2 2 S 22 1 S12 1 (n 1 1) n 1 (n 2 1) n 2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0
Z > Zα
T > Tα
T > Tα
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0
Z < - Zα
T < - Tα
T < - Tα
Uji j untuk Rataan Berpasangan p g 12
1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0 2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0 3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0 Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus
satu populasi dengan variansi tidak diketahui. D μ0 T= ; Sd / n
Contoh 1 13
Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71 71.8 8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata-rata rata rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun. a a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik b Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah dugaan b. tersebut?
Solusi 14
Diketahui 0 70, X 71.8, s 8.9, y Ditanya: a. Hipotesis statistik b Kesimpulan uji hipotesis b. Jawab: Parameter yang akan k d diuji : μ p a. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70 H1: μ > 70 © 2008 by UM
0, 05
15
b. b α = 5%=0.05, 5% 0 05 maka k titik kritis k iti t0.05,(99) = 1.66 1 66 t
x 0 71,8 70 2, 2 02 s 8, 9 n 100
Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah
penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak.
Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia
meninggal di AS lebih dari 70 tahun. tahun
Contoh 2 16
Suatu S t percobaan b dil k k untuk dilakukan t k membandingkan b di k keausan k yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata rata rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan b bahan 1 melampaui p rata-rata keausan b bahan 2 lebih b dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
Solusi 17
Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing masing masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi p populasi p kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H0 : μ1 - μ2 = 2 H1 : μ1 - μ2 > 2
18
Tingkat Ti k t keberartian, k b ti α = 0.05 0 05
x1 85, s1 4, n1 = 12 x2 =81, 81 s 2 =5, 5 n 2 =10 10 Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak
diketahui tapi dianggap sama, sama yaitu x1 x2 μ0 dengan dengan tH = sp
1 1 n1 n2
Maka diperoleh :
(n1 1 )s12 (n2 1 )s22 (11)(16) (9)(25) sp = 4.478 4 478 n1 n2 2 12 10 2
tH =
x1 x2 μ0 sp
1 1 n1 n2
(85 81) 2 1.04 4.478 (1/12) (1/10)
19
Statistik St ti tik uji ji t berdistribusi b di t ib i t-student t t d t dengan d d j t derajat
kebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 0 05 20 = 1.725. Karena t < 1.725, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapat
disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.
Contoh 3 (data ( berpasangan) p g ) 20
Pada P d tahun t h 1976, 1976 J.A. J A Weson W memeriksa ik pengaruh h obat b t
succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen d d l dalam d h Sampel darah. S l darah d h dari d i rusa liar li yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. rusa Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. dilepaskan Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
N0
Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik
Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik
Selisih (di)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.76 5 18 5.18 2.68 3.05 4.10 7.05 6.60 4.79 7.39 7.30 11.78 3.90 26.00 67.48 17 04 17.04
7.02 3 10 3.10 5.44 3.99 5.21 10.26 13.91 18.53 7.91 4.85 8 11.10 3.74 94.03 94.03 41 70 41.70
4.26 -2.08 2 08 2.76 0.94 1.11 3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 -0.68 -0.16 68.03 26.55 24 66 24.66
21
22
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.
Solusi 23
Ini adalah data berpasangan karena masing-masing masing masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen g sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0 Ti k t signifikansi Tingkat i ifik i yang digunakan di k adalah d l h α = 5% %=0 0.05 0
24
Rata-rata R t t sampell dan d variansi i i sampell untuk t k selisih li ih
( di ) adalah,
d 9.848 9 848
dan d s d 18.474 18 474
Statistik uji j yyang g digunakan g adalah,,
t=
d d0 sd / n
Dalam hal ini,
t=
9.848 0 2.06 18.474 / 15
25
Statistik St ti tik uji ji t berdistribusi b di t ib i t-student t t d t dengan d d j t derajat
kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, 0 05 H0 ditolak jika
t < - t0.025,14 , = -2.145 atau t > t0.025,14 , = 2.145. Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada
daerah penolakan. penolakan Dengan demikian, demikian H0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t0.025,14 2 145 Jadi perbedaan rata rata-rata rata kadar 0 025 14 = 2.145. peredaran androgen tidak bisa diabaikan.
Uji j Hipotesis p Tentang g Variansi Satu Populasi p 26
Bentuk B t k hipotesis hi t i noll d dan ttandingannya di untuk t k
kasus variansi satu populasi adalah
1. H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 2. H 0 : = 2
2 0
vs H 1 : 2
2 0
3 H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 3. Dengan 02 menyatakan suatu konstanta mengenai
variansi yang diketahui.
27
Statistisk St ti ti k uji ji yang digunakan di k untuk t k menguji ji ketiga k ti
hipotesis di atas adalah :
2
( n 1) s 2
02
Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut
khi k d t dengan khi-kuadrat d d j t kebebasan derajat k b b n-1.
berdistribusi
28
Untuk U t k hipotesis hi t i H 0 : = 0 vs H 1 : 0 , tolak t l k 2
2
2
2
H0 pada tingkat keberartian α jika :
2 2
1 ,( n 1) 2
atau 2 2 2
,( n 1)
Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 , tolak 2
2
2
2
H0 pada tingkat keberartian α jika 2 12 ,( n 1)
H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 , tolak Untuk hipotesis p
H0 pada tingkat keberartian α jika 2 2 ,(( n n 1)
nilai dari tabel distribusi chi-square d dengan d j derajat kebebasan n - 1
Uji j Hipotesis p Tentang g Variansi Dua Populasi p 29
Bentuk B t k hi hipotesis t i noll d dan ttandingannya di untuk t k uji ji
hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,
1. H 0 : 2 1
2 2
vs H 1 : 2 1
2 2
2. H 0 : vs H 1 : 2 1
3 H0 : 3. 2 1
2 2
2 2
2 1
vs H 1 : 2 1
2 2
2 2
Dengan σ12 dan σ22 masing-masing masing masing adalah variansi
populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2
30
Statistisk St ti ti k uji ji yang digunakan di k untuk t k menguji ji ketiga k ti
hipotesis di atas adalah, 2 1 2 2
s F s
Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi
Fisher dengan derajat kebebasan, v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2
Untuk U t k hipotesis hi t i H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 ,tolak t l22 k H0 pada tingkat keberartian α jika : F f
1 ,( v1 , v2 ) 2
atau t F f 2
,( v1 , v2 )
Untuk hipotesis p H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 ,tolak 22 H0 pada tingkat keberartian α jika : F f1 ,( v1 ,v2 )
Untuk hipotesis H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 ,tolak 22 H0 pada d tingkat ti k t keberartian k b ti α jika jik : F f ,( v1 ,v2 )
f ,( v1 ,v2 ) , f1 ,( v1 ,v2 ) , f / 2,( v1 ,v2 ) , dan f1 / 2,( v1 ,v2 ) adalah nilai-nilai
dari tabel distribusi Fisher dengan derajat k b b kebebasan v1 dan d v2 31
Contoh 4 32
Suatu S t perusahaan h b baterai t i mobil bil menyatakan t k b bahwa h
umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 0 9 tahun. tahun Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1 2 tahun 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 00.9 9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
Solusi 33
H0 : σ2 = 0.81 H1 : σ2 > 0.81 α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji 2 2
(n 1) s
02
(9)(1.44) (9)(1 44) 16 0.81
Titik kritis adalah 2 ,n 1 20.05,9 16.919 Karena 0.05,9 ditolak Simpulkan 0 05 9 , maka H0 tidak ditolak. bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 2
2
Contoh 5 34
Dalam pengujian keausan kedua bahan di
contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak id k dik diketahui h i sama b besarnya. Ujil Ujilah h anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.
Solusi 35
Misalkan Mi lk σ12 dan d σ22 adalah d l h variansi i i populasi l i
dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. 2 rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 α = 0.10
36
Statistik uji j f = s12/ s22 = 16 / 25 5 = 0.64 4 H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika f f atau f f 1 ,( v1 , v2 ) 2
2
,( v1 , v2 )
α = 0.10,, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9 9. Maka
f
1 ,( v1 , v2 ) 2
Karena
f 0.95,(11.9) 0.34 0 34 dan
f 2
f
1 ,( v1 , v2 ) 2
f f 2
,( v1 , v2 )
,( v1 , v2 )
f 0.05,(11.9) 3.11 3 11
, maka jangan tolak H0.
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda. berbeda
Referensi 37
Devore, D J.L. J L and dP Peck, k R., R Statistics St ti ti – The Th Exploration E l ti andd
Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu U Pasaribu, U.S., S 2007 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Biostatistika Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, Inference USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice H ll 2007. Hall, 2007
