DISTRIBUSI DISKRIT. MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI DISKRIT •Uniform (seragam) •Bernoulli •Binomial •Poisson

•Beberapa distribusi lainnya :

•MULTINOMIAL, HIPERGEOMETRIK, GEOMETRIK, BINOMIAL NEGATIF

MA 2081 Statistika Dasar y Utriweni Mukhaiyar 5 Maret 2012

Distribusi uniform (seragam)  Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2, …, xk)

memiliki peluang yang sama.  Distribusi peluang X : P( X  x)   Rataan :  Variansi :

2

1 , k

x  x1 , x2 ,..., xk

1 k    xi k i 1 k 1 2 2     xi    k i 1

Bukti : mean dan variansi untuk p.a distribusi seragam.

Berdasarkan definisi ekspektasi, k

k

xi 1 k   E[ X ]   xi P( X  xi )     xi , k i 1 i 1 i 1 k k

  E  X        xi    2

3

2





i 1

2

1 k 2 P( X  xi )    xi    k i 1

Contoh 1  Pelantunan sebuah dadu.

1 P( X  x)  , 6

x  1, 2,3, 4,5, 6 0.18 0.175 P(X=x)

1 2  3  4  5  6   3,5 35 6

0.17 0.165

2 2 2 2 2 2 1  2  3  4  5  6  3.52 2  6  15.17 15 17  12 12.25 25  22.92 92 4

0.16 1

2

3

4 x

5

6

Percobaan Bernoulli  Percobaan terdiri dari 1 usaha

Sukses Usaha

G Gagal l

 Peluang sukses  p

Peluang gagal  1-p  Misalkan

1, jika terjadi sukses X  0, jika terjadi tidak sukses (gagal) 5

Distribusi Bernoulli X

b di t ib i Bernoulli, berdistribusi B lli  p x (1  p )1 x , x  0,1 P( X  x)  ber ( x; p )   , x lainnya 0

 Rataan  Variansi

6

: E[X] = µx = p : Var(X)= x2 = p(1-p)

Percobaan Binomial    

7

n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yyangg dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas.

Distribusi Binomial  Distribusi binomial binomial, parameter n dan p  Notasi X ~ B(n,p)

 F.m.p:

n x P( X  x)  b( x; n, p )    p (1  p ) n  x  x

 Koefisien binomial : n n!     x  x !( n  x )!

8

n! = n.(n-1).(n-2) … 1 untuk x = 0,1, … , n

o

Rataan

: E[X] = µx = np

o

Variansi

: var(X)= X2 = np(1-p)

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa X = np. Misalkan hasil pada usaha ke-j dinyatakan oleh peubah acak Bernoulli Ij, dimana

0, Ij   1 1,

jika gagal dengan peluang q jika jik sukses k dengan d peluang l p

Dalam hal ini Ij disebut peubah indikator/penunjuk. Banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dinyatakan sebagai jumlah n peubah indikator bebas. Dapat ditulis, X = I1 + I2 + ... + In Sehingga,

  E[ X ]  E[ I1 ]  E[ I 2 ]  ...  E[ I n ]

9

 p  p  ...  p  np

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa X2 = npq. Variansi setiap p Ij diberikan oleh 2 2      E  I j  p    E  I j    p 2     2 Ij

  0  q  1 p  p 2  p 1  p   pq 2

2

Karena percobaan binomial terdiri dari n percobaan Bernoulli yang saling bebas, maka

 X2   I2   I2  ...   I2  pq  pq  ...  pq  npq 1

10

2

n

Contoh 2 Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu? 11

Jawab Misalkan p peubah acak X menyatakan y banyaknya y y penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’. sesungguhnya Maka X~B(5, 0.7)

Yang ingin Y i i dicari di i adalah d l h P(X  3). 3) P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 5 5 3 2 4 1 5 0     0.7   0.3      0.7   0.3      0.7   0.3 

12

 3 4 5 5! 5! 5!  (0 343)(0 (0, 343)(0, 09)  (0 (0, 240)(0, 240)(0 30)  (0,168)(1) (0 168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! edited 2011 by UM  0, 309  0, 360  0,168  0,837

Percobaan Poisson  Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.  Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan

Binomial)  Panjang selang waktu  Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter panjang p j g sungai g “A” 13

Proses Poisson Selang waktu atau daerahnya saling bebas.  Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah.  Peluang g untuk selangg yyangg p pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan. 

14

Distribusi Poisson  Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P((t))  F.m.p :

P( X  x) 

e

 t

 t  x!

x

, x  0,1, 2,...

e = tetapan Euler (2.71828…)

X = t o Variansi : var(X)= X2 = t o Rataan : E[X] =

15

Bukti : Akan ditunjukkan j bahwa rataan adalah t,, tulis  = t. 

EX    x x 0

e



 

x

x!

 e   x e    x 1 x   x! x 1 x 1  x  1 ! 

Definisi fungsi peluang untukk p.a. PPoisson

Misalkan y = x – 1, 1 diperoleh 

e  E  X    y! y 0 

16



e   y 1 y y 0 y !





  t

Bukti : Akan ditunjukkan j bahwa variansi adalah t. E  X 2  X   E  X  X  1   e   x e   x   x  x  1   x  x  1 x! x! x 0 x2 

e   x2 y  x2 2  e   y       2 y! x2  x  2 ! y 0 

2

Sehingga,

 2  E  X 2    E  X 

=1 2

 E  X  X   E  X    E  X  2

  2     2    t 17

2

Contoh 3 Rata-rata R t t b banyaknya k k kejadian j di h hujan j b beserta t b badai d id dalam l satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung gp peluang g bahwa lebih dari 2 kejadian j hujan j beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. b. Berapa rata rata-rata rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.

18

Alur Analisis Kasus

19

Jawab Jenis kasus

• Kasus Diskrit • Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya • Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 • Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 • Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata  = t = 7 Parameter distribusi • Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P () , dengan rata rata-rata rata  = t = (7/4)(4) = 7 • t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... Pertanyaan • t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... a.

• t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka  = ....

Pertanyaan gg ), X ~ P(14) ( ) maka  = .... • t = 8 ((dalam minggu), b. 20

... Ingat definisi:

P ( X  x) 

e

 t

 t  x!

x

, x  0,1, 2,...

sehingga a.

P( X  2)  1  P  X  2   1  P  X  0   P  X  1  P  X  2  e 3,5  3,5  e 3,5  3,5  e 3,5  3,5   1   0! 1! 2!  1  0.030  0,106  0,370  0, 494 t  0,5

21

0

1

2

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14. 14

Hubungan distribusi Bernoulli Binomial, Bernoulli, Binomial Poisson dan Normal Misalkan p.a X Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p)

n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ N(μ, σ2) μ = np, σ2 = np(1- p) μ =  , σ2 = 

Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

n >>> DLP 22

n >>>

Distribusi Poisson X ~ POI (t)  = np = np(1- p)

Beberapa distribusi diskrit lainnya  Distribusi Multinomial  Distribusi Di t ib i Hipergeometrik Hi t ik  Distribusi Binomial Negatif  Distribusi Geometri

23

Distribusi Multinomial  Bila suatu usaha tertentu dapat p menghasilkan g k macam hasil

E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1, E2, …,, Ek dalam n usaha bebas ialah,,

n   x1 x2 xk  p p p P ( X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X k  xk )    1 2 k , ,..., x x x k   1 2 dengan, k

x i 1

24

i

n

k

dan

p i 1

i

1

Percobaan Binomial menjadi Multinomial jjika setiap p percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

Contoh 4  Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota

menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.  Jawab: Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.  9  3 3 1 2 P( X 1  3, X 2  3, X 3  1, X 4  2)   0.4 0.2 0.3 0.1           3,3,1, 2  9!   0.064  0.08 0.3 0.01  2520 1.536 105  0, 038702 3!3!1!2! 25

Distribusi Hipergeometrik  X ~ h(N, n, k)  X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari

N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. gagal

 k  N  k     x n  x , P ( X  x)  h( x; N , n, k )     N   n 

Rataan :

nk  N 26



x  0,1, 2,..., n

Variansi :

N n k  k    n 1   N 1 N  N  2

Contoh 5  Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode

pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode p gg pelanggaran!  Jawab : Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 12  38     3  7   220 12620256     0.2703 P ( X  3)  h(3;50,10,12)  10272278170  50     10  27

K it Kaitannya dengan d g distribusi di t ib i Bi Binomial i l  Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2

kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.  Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan d dengan pengembalian b li sedangkan d k hipergeometrik, h k percobaan b dilakukan tanpa pengembalian.  Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

28

Distribusi Geometrik  X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)  X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-

usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). (1 p)

P ( X  x)  g ( x; p )  p (1  p ) x 1 , 

Rataan : 

29

1 p



Variansi : 2 

1 p p2

x  1, 2,...

Contoh 6  Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu

patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada ppengelasan. g . Beberapa p hasil pengelasan p g dites.. Misalkan X adalah banyak y tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!  Jawab b: X ~ Geom(0.2)

P( X  3)  g (3;0.2)  0.2(0.8) 2  0.128

30

Distribusi Binomial Negatif  X ~ b*(k, p)  X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling

bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 x  1 k xk P ( X  x)  b *( x; k , p)   p (1  p ) ,   k  1

x  k , k  1, k  2...

 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak

Geometrik. X = Y1 + Y2 + ... + Yk dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). 31



Rataan :

k  p



Variansi :

k (1  p )   p2 2

Contoh 7  Perhatikan Contoh 6.  Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3

patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga d ditemukan k 3 patahan h pertama!!  Jawab : 7 P( X  8)  b *(8;3 (8;3, 0.2) 0 2)    (0.2) (0 2)3 (0.8) (0 8)5  0.05505 0 05505  2

32

Referensi  Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and

Scientists, 2nd d Ed., d New York: k McGraw-Hill. ll  Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.  Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

33