Analisis Variansi (ANOVA) Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 13 November 2012

1

Analisis Variansi (ANOVA) ( ) Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 13 November 2012

2

Analisis Variansi 1. Tujuan Analisis Variansi su s asu s da dalam a Analisis a s s Variansi a a s 2. Asumsi-asumsi 3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 4. Tabel Analisis Variansi 5. Contoh Kasus

3

Ilustrasi Angkatan 1

Angkatan 2

Gabungan angkatan 1 & 2

x x

x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

y y

x x x x x x x x y y

x x x x x x x x x x x

y y y y

x x x x x x x x x x x y y y y

x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y

x x x x x y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

x x x y y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

x x y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y

Bila rata-rata rata rata setiap angkatan/kelompok hampir sama, sama maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan hampir minimal.

Ilustrasi

Gabungan angkatan 1 & 2 x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Angkatan 2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

y y

x x x x x

y y y y

x x x

y y y y y y y

x x

y y y y y y y y y

x

y y y y y y y y y y y y

Angkatan 1

x x x x x x x x

x x x x x x x y y x x x x x y y y y x x x y y y y y y y x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y y y y y y

y y y y y y y

y y y y y

y y y y y

y y y

y y y

y y

y y

y

y

Bila rata rata-rata rata setiap angkatan/kelompok jauh berbeda, berbeda maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan jauh lebih besar dibanding variansi setiap angkatan.

4

5

Populasi 2 μ2, σ2

Populasi 1 μ1, σ1

Populasi k μk, σk

……

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

x x

z z z z z z z z z

x x x x

z z z z z z z z z z z

x x x x x x

z z z z z z z z z z z z z

x x x x x x x x

z z z z z z z z z z z z

x x x x x x x x x x x

y y

z z z z z z z z z z z

x x x x x x x x x x x x

y y y y

z z z z z z z z

x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

y y y y y y y y y y y y

x x x

y y y y y y y y y y

x x

y y y y y y y y

x

y y y y y y y y y y y y y y y y y y

Membandingkan beberapa angkatan /kelompok yang terkait dapat dilakukan dengan membandingkan masing-masing rataannya.

6

Tujuan j Analisis Variansi menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata beberapa kelompok populasi (lebih dari dua), melalui ukuran-ukuran p penyebaran y ((variansi)) dari masing-masing kelompok populasi tersebut.

7

Hubungan Beberapa Variansi Terkait Konsep Dasar Analisis Variansi

Variansi hasil p penggabungan gg g semua angkatan g data terdiri atas rata-rata variansi setiap p angkatan g dan variansi dari semua rata rata-rata rata angkatan

8

Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi ▫ Populasi ke-i berdistribusi normal; i = 1, 1 2 2, …, k ▫ σ12 = σ22 = … = σk2 = σ2 ▫ Populasi-populasi Populasi populasi tidak berhubungan satu dengan yang lainnya (saling bebas)

9

Angkatan 1

Angkatan 2

y11

y21

yk1

y12

y22

yk2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Susunan Data

y1n1

…

Angkatan k

yknk yn2

Jumlah: Keterangan: - yij : pengamatan ke-j dalam perlakuan (populasi) ke-i ; i = 1,2,…,k ; j =1, 2, …, ni - N = ( n1 + n2 + …+ ni + …+ nk ) : total banyak pengamatan

10

Beberapa p Besaran Anova JKT = b – a Jumlah Kuadrat Total

JKP = c – a J l h Kuadrat Jumlah K d t Perlakuan P l k

JKG = JKT – JKP =b–c Jumlah Kuadrat Galat

11

Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk : yij = μi + εij dengan yij : pengamatan t ke-j k j dalam d l perlakuan l k k i ke-i μi : rata-rata populasi pada perlakuan ke-i εij : penyimpangan pengamatan ke-j pada perlakuan ke-i dari rataan perlakuan padanannya.

Hipotesis yang diuji dalam Analisis Variansi H0 : rata-rata seluruh k populasi/perlakuan adalah sama H1 : paling li sedikit diki terdapat d d populasi dua l i yang rata-ratanya t t tid k sama, tidak atau H0 : μ1 = μ2 = … = μk H1 : μi ≠ μj, untuk paling sedikit sepasang i dan j, dengan i,j = 1, 2, …, k 12

13

Tabel Analisis Variansi Sumber T2 Jumlah Variasi NKuadrat Antar Angkatan

JKP

Dalam Angkatan

JKG

Total

dk (derajat kebebasan)

Rata-rata Kuadrat ni

2

i 1 j 1

N–k

k

RKG = JKG/(N – k) 2

 n i  yi   y  i 1

N–1 ni

  y k

i 1 j1

Fhitung =

i=1 j=1

k

JKT

ni

k – 1   yRKP = JKP/(k  yij2 – 1) ij  y  k

F

ij  y i  

2

2

k

Ti 

i=1

ni



RKP/RKG

14

K Keputusan t  = P (H0 ditolak | H0 benar)

1–

Fα(k-1,N-k) (k 1 N k)

H0 benar

F(hitung) > Fα(k-1,N-k)

F(hitung) berdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k H0 ditolak

Ket : Fα(k-1,N-k) nilai distribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N –k

15

Contoh Kasus • Berikut adalah data rata-rata curah hujan bulanan yang diamati dari Stasiun Padaherang pada tahun 2001 – 2004. Sumber : Modul 3 Praktikum Mekanika Medium Kontinu “ Medan Gravitasi”

Tahun Jan

Feb

Mar

Apr

Mei

2001 278.59 279.78 355.29 241.34 115.9

Jun

Jul

Agust Sep

Okt

Nop

Des

176.9 55.32 29.08 43.82 313.68 508.49 267.82

2002 299.78 245.88 266.64 185.27 122.22 133.1 76.78

32.4

26.09 169.05 461.62 415.73

3 4 425.21 5 370.8 3 37 300.23 3 157.43 57 43 184.96 4 9 69.93 9 93 23.28 3 14.39 4 39 17.86 7 275.23 75 3 433 433.23 3 45 456.02 2003 2004 547.8 308.2

388

93

297

128

47

5

87

105

 Asumsikan bahwa data berasal dari populasi yang

389

berdistribusi b di ib i normall d dan setiap i tahunnya h adalah d l h saling li bebas. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata curah hujan setiap tahun di daerah tersebut tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%)

371.6

Solusi RUMUSAN HIPOTESIS H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 H1 : Paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama Akan digunakan ANOVA untk menguji hipotesis tersebut, dengan taraf signifikansi 5%.

16

17

Beberapa perhitungan Tahun

D t kuadrat Data k d t (y ( ij2)

D t asli Data li (y ( ij) 2001

2002

2003

2004

2001

2002

2003

2004

Jan

278.59

299.78

425.21

547.8

77612.39 89868.05 180803.5 300084.8

Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agust Sep Okt Nop

279.78 355.29 241.34 115.9 176.9 55.32 29.08 43.82 313 68 313.68 508.49

245.88 266.64 185.27 122.22 133.1 76.78 32.4 26.09 169 05 169.05 461.62

370.8 300.23 157.43 184.96 69.93 23.28 14.39 17.86 275 23 275.23 433.23

308.2 388 93 297 128 47 5 87 105 389

78276.85 126231 58245 13432.81 31293.61 3060.302 845.6464 1920.192 98395 14 98395.14 258562.1

Des

267.82

415.73

456.02

371.6

71727.55 172831.4 207954.2 138086.6

Jumlah

2666.01

2434.56

2728.57

2766.6

819602.6 710528.2 944780.9 969093.6

Jumlah total

10595.74

3444005.27

60456.97 71096.89 34324.97 14937.73 17715.61 5895.168 1049.76 680.6881 28577 9 28577.9 213093

137492.6 94987.24 90138.05 150544 24784.2 8649 34210.2 88209 4890.205 16384 541.9584 2209 207.0721 25 318.9796 7569 75751 55 75751.55 11025 187688.2 151321

18

B b Beberapa B Besaran A Anova  10595, 74  1  a    yij    2338952, 2338952 2 48  i 1 j 1  48 4

4

ni

2

2

ni

b   yij2  3444005, 3444005 27 i 1 j 1

2

    yij  2 2 2 2 4 2666,01 2434,56 2758,57 2766,6         2344488,5 j 1   c   12 12 12 12 ni i1 ni

JKT = b – a = 1105053,1 JKP = c – a = 5536,2485 JKG = JKT – JKP = b – c = 1099516,8

19

TABEL ANOVA

S b V Sumber Variasi i i Antar Angkatan (perlakuan) Dalam Angkatan (galat) Total

Jumlah K d t Kuadrat (JK) 5536.2485

fhitung = RKP /RKG derajat Rataan f k b b kebebasan Kuadrat K d t f hitung hit tabel (dk) (RK) 3

1845.416 0.074 2.816

1099516.8

44

1105053.1

47

24989.02

RK = JK/dk

ftabel = f0.05;3, 44

20

PUTUSAN & SIMPULAN • Karena fhitung = 0.074 < f0.05(3, 47) = 2,816, maka H0 tidak ditolak. ditolak • Dapat disimpulkan bahwa untuk tingkat sifnifikansi if ifik i 5% % tidak tid k ada d perbedaan b d signifikan i ifik antara rata-rata curah hujan tahun 2001 – 2004 di lokasi tersebut. • Perhatikan bahwa untuk  = 1% diperoleh f0.01(3, 47) = 4,261 • Untuk k  = 10% diperoleh di l h f0.1(3, 47) = 2,213 • Sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata curah hujan j tahun 2001 – 2004 di lokasi tersebut tidak d k berbeda b b d signifikan f k untuk k 1%    10%

21

Referensi  Djauhari, M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis Data.  Walpole, W l l Ronald R ld E E., et.al, t l Statistic St ti ti for f Scientist S i ti t andd

Engineering, 8th Ed., 2007.  Pasaribu, Pasaribu U.S., U S 2007, 2007 Catatan Kuliah Biostatistika. Biostatistika