ANALISIS VARIANSI (ANOVA)
ANOVA = Analisis Varians (Anava) = Analisis Ragam = Sidik Ragam Diperkenalkan oleh R.A. Fisher (1925) disebut uji F pengembangan dari uji t dua sampel bebas (independent samples t test) untuk mengetahui perbedaan nilai rerata lebih dari 2 kelompok
ANOVA
Berdasarkan banyak faktor (kriteria) yang dipergunakan untuk mengelompokkan data, dibedakan : 1. Anova satu arah (oneway Anova) data dikelompokkan (dibagi menjadi beberapa kategori) berdasarkan 1 faktor (kriteria) 2. Anova dua arah (twoway Anova) data dikelompokkan (dibagi menjadi beberapa kategori) berdasarkan 2 faktor (kriteria) berkembang menjadi multiway Anova
SYARAT ANOVA 1.
Normalitas
2.
skala pengukuran interval atau rasio berasal dari populasi dengan distribusi normal diuji 2, Kolmogorov-Smirnov satu sampel, Lilliefors, Shapiro-Wilks atau menguji kurtosis dan skewness distribusi data
Homogenitas variansi uji Bartlett atau Levene
3.
Independensi
galat atau error bersifat bebas (independen) terhadap sesamanya data pengamatan harus bebas satu sama lain perlakuan diberikan kepada unit eksperimen secara acak (random)
Asumsi-asumsi yang mendasari analisis variansi adalah :
Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal. Populasi-populasi tersebut memiliki standar deviasi yang sama (atau variansi yang sama). Sampel yang ditarik dari populasi tersebut bersifat bebas, dan sampel ditarik secara acak.
Prosedur analisis variansi adalah
Menentukan H0 dan H1.
H0 : 1 = 2 = 3 = ……= k H1 : paling sedikit dua diantara ratarata tersebut tidak sama
Menentukan taraf nyata .
Uji statistik (tabel Anova): Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Perlakuan
JKA
k 1
Galat
JKG
k (n 1)
Total
JKT
nk 1
k
JKA
T i 1
n
i.
k
2 2
T.. nk
n
JKT yij i 1 j 1
S1 2
2
2
Rata-rata Kuadrat
T .. nk
S2
JKA k 1
JKG k (n 1)
JKG JKT JKA
F hitungan
2
S1 S2
Daerah kritis : H0 ditolak bila F hitungan > f ( k 1, k ( n 1)) Kesimpulan
Analisis Variansi Dua Arah
Untuk menentukan apakah ada variasi dalam pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, uji hipotesisnya adalah :
H0 : 1. = 2. = … = k. atau bisa dituliskan H0 : 1 = 2 = … = k H1 : paling sedikit dua diantaranya tidak sama
Untuk menentukan apakah ada variasi dalam pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam blok, uji hipotesisnya adalah :
H0 : .1 = .2 = … = .b atau bisa dituliskan H0 : 1 = 2 = … = b H1 : paling sedikit dua diantaranya tidak sama
Tabel Anova: Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Perlakuan
JKA
k 1
Blok
JKB
b 1
Galat
JKG
(k 1)(b 1)
Total
JKT
bk 1
T ..2 2 JKT yij bk i 1 j 1 k
k
JKA
T i 1
b
i.
2 2
T .. bk
S1 2
2
JKB
T j 1
k
JKA k 1
S2
b
b
Rata-rata Kuadrat
.j
S2
JKB b 1
JKG (k 1)(b 1)
2 2
T .. bk
JKG JKT JKA JKB
F hitung
2
F1
S1 S2
F2
S2 S2
2
Daerah kritis : H0 ditolak pada taraf keberartian jika F1 >
f ;[ k 1, ( k 1)( b 1)] H0 ditolak pada taraf keberartian jika F2 >
f ;[b1,( k 1)( b1)]
Uji Kesamaan Beberapa Variansi
Analisis variansi satu arah hanya dapat dilakukan apabila variansi dari k-populasi adalah sama (homogen). Bila syarat tersebut tidak dipenuhi, maka uji analisis variansi tidak dapat dilakukan
Uji Bartlett H0 : 12 = 22 = 32 = …. = k2 H1: tidak semua variansi sama q Uji statistik : b 2,3026 h Daerah kritis : H0 ditolak jika b > 2,k-1 Kesimpulan Hitungan : q ( N k ) log S (n 1) log S
2
p
k
Sp 2
(ni 1)S i i 1
N k
2
k
i 1
2
i
1 k 1 1 h 1 3(k 1) i 1 ni 1 N k
i
uji Cochran
Pemakaiannya terbatas hanya untuk sampel yang ukurannya sama. Statistik uji yang digunakan adalah : G
Si 2 terbesar k
Si
2
i 1
Daerah kritis adalah H0 ditolak jika G > g,n,k dimana nilai g,n,k diperoleh dari tabel nilai kritis untuk uji Cochran.
Analisis Variansi
Misalkan kita mempunyai k populasi. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n. Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata 1, 2, …. dan k dan variansi 2. Hipotesa : H0 : 1 = 2 = … = k H1 : Ada rata-rata yang tidak sama 15
Analisis Variansi
Total
1 x11 x12 : x1n T1
2 x21 x22 : x2n T2
Populasi … i … xi1 … xi2 : : … xin … Ti
… … … : … …
k Xk1 Xk2 : xkn Tk
Total
T
Ti adalah total semua pengamatan dari populasi ke-i T adalah total semua pengamatan dari semua populasi
16
Rumus Hitung Jumlah Kuadrat k
Jumlah Kuadrat Total =
2
n
T JKT x nk i 1 j1 2 ij
k
T
2 i
2
T Jumlah Kuadrat Perlakuan = JKP n nk Jumlah Kuadrat Galat = JKG JKT JKP i 1
17
Tabel Anova dan Daerah Penolakan Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah kuadrat
Kuadrat Rata-rata
Statistik F
Perlakuan
k–1
JKP
KRP = JKP/(k – 1 )
F= KRP/KRG
KRG = JKG/(k(n-1))
Galat
k(n-1)
JKG
Total
nk – 1
JKT
H0 ditolak jika F > F(; k – 1; k(n – 1)) 18
Contoh 1 Sebagai manager produksi, anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti di samping. Pada tingkat signifikansi 0.05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?
Mesin1 25.40 26.31 24.10 23.74 25.10
Mesin2 23.40 21.80 23.50 22.75 21.60
Mesin3 20.00 22.20 19.75 20.60 20.40
19
Penyelesaian Hipotesa : H0: 1 = 2 = 3 H1: Ada rata-rata yang tidak sama Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2 dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka f(0.05;2;12) = 3.89. Jadi daerah pelokannya: H0 ditolak jika F > 3.89 20
Data
Total
1 25.40 26.31 24.10 23.74 25.10 124.65
Populasi 2 23.40 21.80 23.50 22.75 21.60 113.05
3 20.00 22.20 Total 19.75 20.60 20.40 102.95 340.65 21
Jumlah Kuadrat Total k
2
n
T JKT x nk i 1 j1 2 ij
25.40 2 26.312 24.10 2 23.74 2 25.10 2 23.40 21.80 23.50 22.75 21.60 2
2
2
2
2
20.00 2 22.20 2 19.75 2 20.60 2 20.40 2 340.65 5 3 58.2172
2
22
Jumlah Kuadrat Perlakuan dan Jumlah Kuadrat Galat k
T
2 i
2
T JKP n nk 2 2 2 2 124.65 113.05 102.95 340.65 5 5 3 47.1640 i 1
JKG 58.2172 47.1640 11.0532 23
Tabel Anova dan Kesimpulan Sumber Variasi
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Rata-rata
Perlakuan
3-1=2
47.1640
23.5820
Statistik F F = 25.60
Galat
15-3=12
11.0532
Total
15-1=14
58.2172
0.9211
Karena Fhitung = 25.60 > 3.89 maka H0 ditolak. Jadi ada rata-rata yang tidak sama. 24
Rumus Hitung Jumlah Kuadrat Untuk ukuran sampel yang berbeda 2 T 2 JKT x ij N i 1 j1 k
Jumlah Kuadrat Total =
k
ni
2 i
2
T T Jumlah Kuadrat Perlakuan = JKP N i 1 n i Jumlah Kuadrat Galat =
JKG JKT JKP k
dengan N n i i 1
25
Tabel Anova Untuk ukuran sampel yang berbeda Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah kuadrat
Perlakuan
k–1
JKP
KRP = F= JKP/(k – 1 ) KRP/KRG KRG = JKG/(N - k)
Galat
N–k
JKG
Total
N–1
JKT
Kuadrat Rata-rata
Statistik F
26
Contoh 2
Dalam Sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup. Apakah ada beda pertumbuhan rata-rata yang nyata yang disebabkan oleh keempat konsentrasi bahan kimia tersebut. Gunakan signifikasi 0,05.
Konsentrasi
1
2
3
4
8.2 7.7 6.9 6.8 8.7 8.4 5.8 7.3 9.4 8.6 7.2 6.3 9.2 8.1 6.8 6.9 8.0 7.4 7.1 6.1 27
Penyelesaian Hipotesa : H0: 1 = 2 = 3= 4 H1: Ada rata-rata yang tidak sama Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 3 dan df2 = derajat bebas galat = 16, maka f(0.05;3;16) = 3.24. Jadi daerah pelokannya: H0 ditolak jika F > 3.24 28
Data
1
Populasi 2 3
4
8.2
7.7
6.9
6.8
8.7
8.4
5.8
7.3
9.4
8.6
7.2
6.3
9.2
8.1
6.8
6.9
8.0
7.4
7.1
Total
6.1
Total
35.5
40.8
40.2
34.4
150.9 29
Jumlah Kuadrat Total k
ni
2
T JKT x N i 1 j1 2 ij
8.2 2 8.7 2 9.4 2 9.2 2 7.7 2 8.4 2 8.6 2 8.1 8.0 6.9 5.8 7.2 6.8 7.4 2
2
2
2
2
2
2
150.9 6.1 6.8 7.3 6.3 6.9 7.1 20 19.350 2
2
2
2
2
2
30
2
Jumlah Kuadrat Perlakuan dan Jumlah Kuadrat Galat Ti2 T2 JKP N i 1 n i k
35.52 40.82 40.2 2 34.4 2 150.9 2 4 5 6 5 20 15.462 JKG 19.350 15.462 3.888
31
Tabel Anova dan Kesimpulan Sumber Variasi
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Rata-rata
Perlakuan
4-1=3
15.462
5.154
Galat
20-4=16
3.888
Total
20-1=19
19.350
0.243
Statistik F F= 21.213
Karena Fhitung = 21.213 > 3.24 maka H0 ditolak. Jadi ada rata-rata yang tidak sama. 32
Latihan 1 Seorang kontraktor di bidang jenis Kapasitas jasa pengangkutan ingin Mitsubishi Toyota mengetahui apakah terdapat perbedaan yang signifikan pada (A) (B) kapasitas daya angkut 3 merk truk, 44 42 yaitu Mitsubishi, Toyota dan Honda. Untuk itu kontraktor ini mengambil sampel masing-masing 5 truk pada 43 45 tiap-tiap merek menghasilkan data seperti disamping. 48 44 Jika ketiga populasi data tersebut berdistribusi normal dan variansi 45 45 ketiganya sama, uji dengan signifikasi 5% apakah terdapat perbedaan pada kwalitas daya 46 44 angkut ketiga merek truk tersebut
Honda (C) 46 47 45 44 43
33
Latihan 2 Seorang guru SMU mengadakan penelitian tentang keunggulan metode mengajar dengan beberapa metode pengajaran. Bila data yang didapat seperti pada tabel disamping, ujilah dengan signifikasi 5% apakah keempat metode mengajar tersebut memiliki hasil yang sama? (asumsikan keempat data berdistribusi Normal dan variasnisnya sama)
Metode A
B
C
D
70
68
76
67
76
75
87
66
77
74
78
78
78
67
77
57
67
57
68
89
34
