Analisis Varians = Analysis of Variance = ANOVA

Analisis Varians = Analysis of Variance = ANOVA 1. 1.1

Pendahuluan Distribusi F

χ² ANOVA

→ →

pengujian beberapa (>2) proporsi pengujian beberapa (>2) nilai rata-rata

Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher. Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F. Lihat Buku Statistika-2, GD hal. 180-182. Nilai F tabel tergantung dari α dan derajat bebas Nilai α = luas daerah penolakan H0 = taraf nyata Derajat bebas (db) dalam Dist F ada dua (2), yaitu : 1. db numerator = dfn → db kelompok; db baris; db interaksi 2.

→

db denumerator = dfd

db galat/error

Baca Tabel F anda! Nilai F untuk db numerator = 4; db denumerator = 20 dan α = 5 %? (2.87) Nilai F untuk db numerator = 10; db denumerator = 19 dan α = 2.5 %? (2.82) Nilai F untuk db numerator = 8; db denumerator = 25 dan α = 1 %? (3.32) Pahami cara membaca Tabel hal 180-182 tsb! Bentuk distribusi F → selalu bernilai positif Perhatikan gambar berikut :

α : luas daerah penolakan H0 = taraf nyata pengujian

0 1.2

F tabel

+∞

Penetapan H0 dan H1

H0 :

H1 :

Semua perlakuan (kolom, baris, interaksi) memiliki rata-rata yang bernilai sama Ada perlakuan (kolom, baris, interaksi) yang memiliki rata-rata yang bernilai tidak sama (berbeda)

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 1 – dari 12

1.3

Tipe ANOVA

Pemilihan tipe ANOVA tergantung dari rancangan percobaan (experiment design) yang kita pilih . a.

ANOVA 1 arah: Sampel dibagi menjadi beberapa kategori dan ulangan kolom = kategori baris = ulangan/replika

Contoh :

Terdapat 4 Metode diet, dan 14 orang digunakan sebagai sampel

member#1 member#2 member#3 member#4

Metode-1 Ali Eno Ina --------

Metode-1 diulang 3 kali, Metode-3 diulang 3 kali,

Metode-2 Badu Fifi Juli Mimi

Metode-3 Cici Gina Kiki ---------

Metode-4 Didi Hadi Lilo Nike

Metode-2 diulang 4 kali, Metode-4 diulang 4 kali.

Cat : Dalam banyak kasus untuk mempermudah perhitungan, ulangan untuk setiap kategori dibuat sama banyak b.

ANOVA 2 Arah tanpa interaksi: Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1; baris : blok, kategori-2 Setiap sel berisi satu data

Contoh :

Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok. Blok berupa kelompok umur. metode Metode-1 Metode-2 Metode-3 kel. umur 9 9 9 < 20 tahun 9 9 9 20 - 40 tahun 9 9 9 >40 tahun

c.

ANOVA 2 Arah dengan interaksi: Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1 baris : blok, kategori-2 Setiap blok diulang, satu sel berisi beberapa data

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 2 – dari 12

Metode-4 9 9 9

Dengan pengulangan dalam tiap blok seperti ini, interaksi antara kolom dan baris dapat diketahui. Contoh :

Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok, dan tiap blok diulang 3 kali

metode kel. umur < 20 tahun,member#1 ,member#2 ,member#3 20-40 tahun,member#1 ,member#2 ,member#3 >40 tahun,member#1 ,member#2 ,member#3

1. 4

Metode-1

Metode-2

9 9 9 9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

Metode3 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Metode4 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Tabel ANOVA

Untuk memudahkan perhitungan ANOVA, kita dapat membuat tabel ANOVA, sebagai berikut: Sumber Keragaman (SK)

Jumlah derajat Kuadrat (JK) bebas (db)

Kuadrat Tengah (KT)

f hitung

Cara pengambilan keputusan → bandingkan F hitung dengan F tabel.

F hitung ada di daerah penerimaan H0 , maka H0 diterima atau Rata-rata tidak berbeda nyata F hitung ada di daerah penolakan H0 , maka H0 ditolak, H1 diterima atau Rata-rata berbeda nyata

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 3 – dari 12

f tabel

2.

ANOVA 1 arah

Tabel ANOVA 1 Arah Jumlah Kuadrat (JK)

Sumber Keragama n (SK)

JKK

Rata-rata Kolom

derajat bebas (db)

db numerator = k-1

Kuadrat Tengah (KT)

2

s K = KTK =

JKK k −1 Galat

JKG

db denumerator= N-k

f hitung

f tabel

f hitung

α= db numer = db denum =

=

KTK KTG

f tabel =

s2 G = KTG =

JKG N −k

Total

JKT

ni

k

JKT =

N-1

∑∑ x

2 ij

i=1 j =1

T**2 − N

T*2i T*2* JKK = ∑ − n N i=i i k

JKG = JKT-JKK di mana

:

k N

: banyaknya kolom : banyaknya pengamatan/keseluruhan data

ni xij T*i T**

: banyaknya ulangan di kolom ke-i : data pada kolom ke-i ulangan ke-j : total (jumlah) ulangan pada kolom ke-i : total (jumlah) seluruh pengamatan

Contoh 1: Terdapat 4 metode diet, berikut adalah data 10 orang sampel yang didata rata-rata penurunan berat badan, setelah sebulan melakukan diet.

member#1 member#2 member#3 Total kolom

Penurunan berat badan (Kg) Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode-4 4 8 7 6 6 12 3 5 4 5

T*1 =14 T*2 =20 T*3 =10 T*4

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 4 – dari 12

=16

T** =60

Apakah keempat metode diet tersebut memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama? Uji pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 % Solusi : H0 : 1. H1 :

2.

Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama Ada suatu metode yang memberikan rata-rata penurunan berat badan yang tidak sama

Selesaikan Tabel ANOVA berikut : Jumlah derajat Kuadrat bebas (db) (JK)

Sumber Keragaman (SK)

JKK= 40.67

Rata-rata Kolom

3.

Kuadrat Tengah (KT)

db numerato r k-1 = 4 -1 = 3

KTK = JKK =13.55 k −1

KTG = JKG =3.22 N −k

Galat

JKG = 19.33

db denum = N-k= 10-4=6

Total

JKT = 60

N-1 = 10-1= 9

f hitung

f hitung = KTK = 4.21 KTG (tidak beda nyata)

f tabel α =5% db num=3 db denum = 6 f tabel = 4.76

Penyelesaian JKT, JKK dan JKG k

ni

JKT = ∑ ∑ xij2 − i=1 j =1

T**2 N

JKT = (4 2 + 62 + 4 2 + 82 + 122 + 72 + 32 + 62 + 52 + 52 ) −

602 = 420 - 360 = 60 10

T*2i T*2* JKK = ∑ − N i=i ni k

142 202 102 162 602 JKK = ( = (65.33... + 200 + 50 + 85.33...) – 360 + + + ) − 3 2 2 3 10 = 40.67

JKG = JKT - JKG = 60 - 40.67 = 19.33...

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 5 – dari 12

KTK =

JKK 40.67 = = 13.55 k −1 3

KTG =

JKG 19.33 = = 3.22 N −k 6

4.

Wilayah kritis : Penolakan H0 jika F hitung > F tabel; F hitung > 4.76 Penerimaan H0 F hitung < F tabel; F hitung < 4.76

5.

Kesimpulan :

Karena F hitung ada di daerah penerimaan (F hitung < F tabel) maka H0 terima, Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama 3

ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi

Pada rancangan percobaaan dengan ANOVA jenis ini, setiap kategori mempunyai banyak blok yang sama, sehingga jika banyak kolom = k dan banyak baris/blok = r maka banyak data = N = r x k Tabel ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi Sumber Keragama n (SK) Rata-rata Baris

Rata-rata Kolom

Jumlah Kuadrat (JK) JKB

JKK

derajat bebas (db) db numer1 = r-1

db numer2 = k-1

Kuadrat Tengah (KT) 2

s B = KTB = JKB r −1

s2 K = KTK = JKK k −1

f hitung

f hitung KTB = KTG

f hitung KTK = KTG

f tabel α= db numer1= db denum = f tabel = α= db numer2= db denum = f tabel =

Galat

JKG

db denum = (r-1)(k-1)

Total

JKT

r.k -1

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 6 – dari 12

s2 G = KTG = JKG (r − 1)(k − 1)

T**2 JKT = ∑ ∑ x − rk i=1 j =1 r

Ti*2 T*2* JKB = ∑ − rk i=i k

k

r

2 ij

k

JKK = ∑ i=i

di mana :

xij T* j

T*2j

T**2 − r rk

JKG = JKT-JKB-JKK

k : banyaknya kolom

: data pada baris ke-i, kolom ke-j : total (jumlah) kolom ke-j

Contoh 2:

r : banyaknya baris/blok

Ti* : T** :

total (jumlah) baris ke-i total (jumlah) seluruh pengamatan

Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur. Metode-1

<20 thn

5

Metode-2 Metode-3 Metode4 6 2 3

20 –40

2

7

5

3

>40 thn

7

3

4

3

Total Kolom

T*1 = 14

T*2 =16 T*3 = 11 T*4 = 9

Total Baris

T1* = 16 T2* = 17 T3* = 17 Total pengamata n

T** =50 Ujilah pendapat yang menyatakan bahwa keempat metode diet dalam ketiga kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama. Buktikan jawaban saudara dengan pengujian varians, dengan tingkat nyata = 1 % Solusi : 1.

H0 : H1 :

2.

Setiap metode pada setiap kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama Ada suatu metode pada suatu kelompok umur yang memberikan ratarata penurunan berat badan yang tidak sama

Selesaikan Tabel ANOVA berikut :

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 7 – dari 12

Tabel ANOVA Sumber Keragama n (SK)

Jumlah Kuadrat (JK)

derajat bebas (db)

Kuadrat Tengah (KT)

f hitung

f tabel

Rata-rata Baris

JKB = 0.17

db numer1= r-1= 3-1=2

s2 B = KTB =

f hitung KTB = = KTG 0.01974...

α = 0.01 db numer1=2 db denum = 6

JKB = 0.085 r −1

f tabel = 10.92 JKK = 9.67

Rata-rata Kolom

db numer2= k-1 = 4-1 =3

s2 K = KTK = JKK = k −1 3.223

f hitung KTK = = KTG 0.7456

α =0.01 db numer2=3 db denum = 6 f tabel = 9.78

Galat

JKG = 25.83

db denumer= (r-1)(k-1)= 2.3 =6

s2 G = KTG = JKG = (r − 1)(k − 1)

4.305

JKT = 35.67

Total

3.

r.k -1= 3x4-1=11

Penyelesaian JKT, JKB, JKK dan JKG r

k

JKT = ∑ ∑ xij2 − i=1 j =1

r

JKB = ∑ i =i k

JKK = ∑ i=i

T**2 502 = (52 + 2 2 + 72 + 62 + 7 2 + 32 + 22 + 52 + 4 2 + 32 + 32 + 32 ) 12 rk = 244 - 208.33 ... = 35.67

Ti*2 T2 834 2500 (162 + 172 + 172 ) 502 − ** = = 208.5 -208.33 = 0.17 = 12 4 4 12 k rk T*2j r

−

T**2 (14 2 + 162 + 112 + 9) 502 654 2500 = = 218 - 208.33 = rk 3 12 3 12 = 9.67

JKG = JKT-JKB-JKK = 35.67 - 0.17 - 9.67 = 25.83 7. Kesimpulan Menurut Baris dan Blok, nilai F hitung berada di daerah penerimaan H0 .

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 8 – dari 12

Berarti :

4.

setiap metode pada setiap kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama

ANOVA 2 Arah dengan Interaksi

Efek interaksi diperoleh setelah setiap kolom [perlakuan] dan blok [baris] diulang. Interaksi dinyatakan sebagai perkalian Baris x Kolom [BK]. Tabel ANOVA 2 Arah dengan Interaksi Sumber Keragama n (SK) Nilai tengah Baris

Jumlah Kuadrat (JK) JKB

Nilai tengah Kolom

JKK

Interaksi [BK]

JK[BK]

derajat bebas (db) db numer1 = r-1 db numer2 = k-1 db numer3 = [r-1][k1] db denumer r.k.[n-1]

JKG Galat

Total

JKT

Kuadrat Tengah (KT)

f hitung

s2 B = KTB = JKB r −1

f hitung = KTB KTG f hitung KTK = KTG

s2 K = KTK = JKK k −1 s2 K = KT[BK] = JK[ BK ] [r − 1][ k − 1]

f tabel

α= db numer1= db denum = f tabel = α= db numer2= db denum = f tabel = f hitung α = = db numer3= KT[ BK ] db denum = f tabel = KTG

s2 G = KTG = JKG r . k .[n − 1]

[r.k.n] -1 r

r

k

n

JKT = ∑ ∑ ∑ x

2 ijm

i =1 j =1 m =1

2 ***

T − rkn

JKB =

k

∑T

2 * j*

JKK =

j =1

rn r

2 T*** − rkn

k

∑∑T

JK[ BK ] =

i =1 j =1

n

k

r

2 ij *

−

∑T

2 i **

i =1

kn

JKG = JKT - JKB - JKK - JK[BK]

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 9 – dari 12

∑T

2 * j*

−

j =1

rn

2 T*** + rkn

∑T

2 i **

2 T*** − kn rkn

i =1

Perhatikan : Sebagian Notasi dalam JKT, JKB dan JKK digunakan dalam penghitungan JK[BK] di mana : r : banyak baris i = 1,2,3,...r k : banyak kolom j = 1,2,3....k n : banyak ulangan m = 1,2,3,...n

xijm Ti** T* j*

: data pada baris ke-i, kolom ke-j dan ulangan ke-m

Tij* T***

: Total Sel di baris ke-i dan kolom ke-j

: Total baris ke-i : Total kolom ke-j

: Total keseluruhan pengamatan

Contoh 3: Terdapat 4 metode diet, 3 kelompok umur dan 3 ulangan. Berikut adalah data rata-rata penurunan berat badan setelah 1 bulan melakukan diet. Ujilah apakah penurunan berat badan sama untuk setiap metode diet, kelompok umur dan interaksi dengan taraf uji 5 %? metode metode 1

metode2

metode3

metode4

0 2 1 4 2 1 5 5 0

3 4 8 2 2 4 2 1 2

4 2 2 5 3 2 6 4 4

kel. umur < 20 tahun, #1 #2 #3 20-40 tahun,#1 #2 #3 >40 tahun, #1 #2 #3 r = 3,

5 4 5 5 6 2 4 4 5

k = 4,

Solusi : H0 : 1.

n=3

Semua perlakuan [metode diet, kelompok umur, interaksi] memberikan penurunan berat badan yang bernilai sama H1 : Ada suatu perlakuan [suatu metode diet, kelompok umur, interaksi] memberikan penurunan berat badan yang bernilai tidak sama 2. α=5% 3. Statistik Uji : F 4, 5, 6 : Selesaikan Tabel Data dan Tabel ANOVA Contoh:

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 10 – dari 12

metode

metode 1

metode-2

metode-3

metode-4

Total Baris

5 4 5 T11* = 14 5 6 2 T21* = 13 4 4 5 T31* = 13

0 2 1 T12* = 3 4 2 1 T22* = 7 5 5 0 T32* = 10

3 4 8 T13* = 15 2 2 4 T23* = 8 2 1 2 T33* = 5

4 2 2 T14* = 8 5 3 2 T24* = 10 6 4 4 T34* = 14

T1** = 40

T*1* = 40

T*2* = 20

T*3* = 28

T*4* = 32

kel. umur < 20 tahun, #1 #2 #3 20-40 tahun,#1 #2 #3 >40 tahun, #1 #2 #3 Total Kolom

JKT = [52 + 4 2 + 52 + 52 +...+6 2 + 4 2 + 4 2 ] -

JKB =

T2** = 38

T3** = 42

TOTAL T***= 120

1202 = 516 - 400 = 116 3× 4 × 3

402 + 382 + 42 2 1202 = 400.66... - 400 = 0.66.. = 0.67 4×3 3× 4 × 3

1202 402 + 202 + 282 + 32 2 JKK = = 423.11...- 400 = 23.11.. = 23.11 3× 4 × 3 3× 3 JK[ BK ] =

14 2 + 132 + 132 +...+102 + 14 2 402 + 382 + 42 2 40 2 + 20 2 + 28 2 + 32 2 + 3 4×3 3× 3 1202 = 455.33... - 400.66... - 423.11... + 400 = 31.55... = 31.56 3× 4 × 3

JKG = 116 - 0.66.. - 23.11.. - 31.56 = 60.66... = 60.67

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 11 – dari 12

Tabel ANOVA Sumber Keragama n (SK) Nilai tengah Baris

Nilai tengah Kolom

Interaksi [BK]

Jumlah Kuadrat (JK) JKB = 0.67

JKK = 23.11

JK[BK] =

derajat bebas (db)

Kuadrat Tengah (KT)

f hitung

f tabel

db numer1= r-1 = 3-1 = 2

s2 B = KTB = JKB = 0.34 r −1

f hitung KTB = = KTG

α = 5% db numer1= 2 db denum = 24

0.13 ns f hitung KTK = = KTG

f tabel = 3.40 α = 5% db numer2= 3 db denum = 24

3.04* f hitung = KT[ BK ] KTG

f tabel = 3.01 α = 5% db numer3= 6 db denum = 24

db numer2= k-1 = 4-1 = 3

db numer3= [r-1][k-1] = 2x3=6

31.56

2

s K = KTK JKK = = k −1 7.70 2

s K = KT[BK] = JK[ BK ] [r − 1][ k − 1] = 5.26

f tabel = 2.51 = 2.08 ns

JKG = Galat 60.67

db denumer r.k.[n-1]= 3x4x2= 24

s 2 G = KTG = JKG = r . k .[n − 1]

2.53 Total

JKT = 116

7.

[r.k.n] -1= [3 x 4 x 3]-1 = 35

Kesimpulan :

Perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata penurunan berat badan pada Baris [Kel. Umur] dan Interaksi tidak berbeda [masih dianggap sama] sedangkan rata-rata penurunan berat badan dalam Kolom [metode diet] dapat dikatakan berbeda. O selesai O

ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 12 – dari 12