JURNAL AGROTEKNOS Juli 2011 Vol. 1 No. 2. Hal 107-113 ISSN: 2087-7706
ULASAN
ANALISIS VARIAN BAGI PENGUKURAN BERULANG Analysis of Variance of Repeated Measures SUAIB*) Jurusan Agroekoteknologi Fakultas Pertanian Universitas Haluoleo Kendari
ABSTRACT A variety of methods are available for analysing repeated measurements data where the outcome is continuous. However, there is little information on how established methods is compared in practice with methods that have become available to applied statisticians more recently, and multilevel models. The aim of this paper was to exemplify the use of this method, and directly compare the results by the application of a hypothetical data set. The focus was on practical aspects rather than technical issues. The data considered were taken from a livestock trial of treatments for pasture in 20 chows, in which a baseline and four post-randomization measurements of outcomes were taken. The simplicity of the method of summary statistics using the post-randomization mean of observations provided a useful initial analysis. Key words: Analysis of variance, repeated measures, applying in broad aspects.
9
PENDAHULUAN
Repeated Measures Anova (RMA) adalah analisis varian yang menganalisis suatu variabel yang diamati secara berulang pada periode/waktu yang berbeda. Teladan dari pengertian ini seperti pengamatan: tinggi tanaman, diameter batang, panjang sulur, jumlah daun, jumlah anakan, dan lain sebagainya yang dilakukan secara berkala pada umur 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 minggu setelah tanam (MST). Sesungguhnya, secara teoritis RMA telah diperkenalkan dan diuraikan sejak lama oleh Steel dan Torrie (1960) yang ia sebut sebagai “Split-Plot in Time Experiment”. Akan tetapi, jenis analisis ini masih jarang diterapkan di Indonesia karena alasan yang tidak jelas. Pada hal, hasil analisis ini jauh lebih mudah diinterpretasikan dan lebih akurat sesuai tujuan penelitian yang ingin dicapai seperti suatu perlakuan memberikan pengaruh terhadap tinggi tanaman, bukan tinggi tanaman dari minggu ke minggu. Oleh karena itu wajar apabila suatu penelitian yang *)
Alamat korespondensi:
Email:
[email protected]
seharusnya mengamati perkembangan variabel secara gradual, terkadang tidak melakukan pengukuran variabel tersebut secara bertahap. Mungkin karena belum difahami prosedur dan makna penggunaan RMA. Hampir setiap buku teks Statistika menguraikan cara RMA dengan nama atau istilah yang berbeda selain yang diuraikan oleh Steel dan Torrie (1960). Akan tetapi yang umum dipakai adalah analisis varian pengamatan berulang (Repeated Measurement Anova) sebagaimana diuraikan oleh Mead et al. (1994), Motulsky, (1995), Zar, (1999), Clewer dan Scarisbrick (2001), dan Johnson dan Wichern (2007). Bahkan, sejak lama artikel review di jurnal internasional juga sudah diulas oleh beberapa pakar dengan nama RMA, dua di antaranya seperti: Huynh dan Feldt (1970) dalam Journal of American Statistic Association 65:1582-1589, dan Litle (1989) dalam jurnal HortScience 24(1):37-40. Seperti beberapa anova lainnya, anova pengukuran berulang digunakan untuk menguji kesamaan antar rerata. Anova pengukuran berulang digunakan ketika semua unit contoh acak diukur pada kondisi yang berbeda. Setiap contoh yang mendapat masing-masing kondisi,
108
SUAIB
pengukuran variabel bebas (dependent) dilakukan secara berulang. Pada kondisi ini, tidak cocok untuk digukanan anova biasa sebab akan gagal memenuhi model korelasi antara nilai-nilai pengukuran berulang yang dilakukan. Perhatikan bahwa beberapa disain anova yang mengkombinasikan faktor-faktor pengukuran berulang dan tidak berulang. Jika terdapat faktor berulang maka anova pengukuran berulang yang harus digunakan. Pendekatan anova pengukuran berulang digunakan karena beberapa alasan: pertama, hipotesis penelitian memerlukan pengukuran berulang. Sebagai contoh, penelitian longitudinal, setiap anggota contoh pengukuran dilakukan pada setiap fase. Kasus seperti ini, fase adalah faktor berulang. Ke dua, pada kasus dimana varians sangat besar antara anggota contoh, estimasi kekeliruan varian (varians eror) dari anova baku akan besar pula. Pengukuran berulang setiap anggota sampel memberi jalan untuk mengkur variannya sehingga memperkecil kekeliruan varian. Ke tiga, bila sulit menentukan anggota sampel, disain pengukuran berulang menjadi ekonomis sebab setiap anggota sampel diukur pada semua kondisi (Park et al., 2009). Anova pengukuran berulang dapat juga digunakan bila anggota sampel berhubungan dengan suatu sifat penting. Sejumlah anggota sampel yang dihasilkan bagi setiap set mempu-nyai jumlah anggota yang sama dan setiap anggota sampel diperlakukan dengan tingkat acak yang berbeda bagi suatu faktor atau sekelompok faktor. Bila anggota sampel sama, pengukur-an semua kondisi diperlakukan seperti pengukuran berulang pada anova pengukuran ber-ulang. Sebagai contoh, dalam suatu penelitian psikologi andaikan kita memilih sekelompok individu yang mengalami depresi, ukur tingkat depresi mereka, dan kemudian susun partisi-pan secara berpasangan dengan tingkat depresi yang sama. Anova pengukuran berulang dapat digunakan dalam segala aspek, tidak hanya ter-batas pada percobaan yang berhubungan dengan peternakan dan pertanian tanaman budidaya, akan tetapi juga dapat digunakan pada aspek-aspek ilmu kesehatan, keteknikan, psikologi, dan ilmu sosial lainnya. Contoh dari aspek psikologi diandaikan satu subyek dari
J. AGROTEKNOS
setiap pasangan yang sesuai diberikan perlakuan depresi, setelah itu tingkat depresi bagi seluruh sampel diukur kembali. Pembandingan anova antara dua kelompok dari pengukuran terakhir akan lebih efisien bila menggunakan anova pengukuran berulang. Dari kasus ini, setiap pasangan yang sesuai harus diberi perlakuan sebagai anggota sampel tunggal. Suatu hal yang penting dijelaskan dalam percobaan dengan perlakuan yang ditata menurut rancangan pengukuran berulang (repeated measures design) terutama penggunaan rancangan acak lengkap (CRD, Completely Randomized Design) sebagai rancangan ling-kungannya, adalah pengukuran yang dilakukan secara berseri, “waktu” tidak dapat diacak, kecuali rancangan lingkungannya adalah rancangan acak kelompok (RBD, Randomized Block Design) dalam pola faktorial termasuk rancangan split plot (Milliken dan Johnson, 1984; Clewer dan Scarisbrick, 2001). Dengan demikian masuknya waktu pengukuran sebagai perlakuan dalam pengukuran berulang pola percobaan faktor tunggal merupakan suatu kekeliruan bahkan dapat dikatakan sebagai kesalahan yang fatal, sedangkan pada percobaan faktorial masuknya waktu pengukuran yang berkombinasi dengan faktor perlakuan lainnya menjadi keharusan karena semua faktor perlakuan dapat dianalisis, baik secara kombinasi (efek interaksi) maupun secara parsial (efek mandiri). Rancangan pengukuran berulang akan memperkecil variasi karena perbedaan subyek dari beberapa perlakuan. Analisis pengukuran berulang dapat juga digunakan untuk menangani masalah yang lebih kompleks, yaitu dengan rancangan yang lebih rumit dengan beberapa komponen di dalam subyek (within subject) dan banyak faktor antara komponen subyek (between subjects). Percobaan faktor tunggal hanya menganalisis perbedaan “within subject”, sedangkan dalam percobaan faktorial kedua subyek (within dan between-subjects) harus dianalisis, termasuk waktu atau dosis gradual sebagai salah satu faktor perlakuan. Analisis pengukuran berulang dapat juga digunakan untuk menilai perubahan suatu variabel sepanjang waktu dari suatu pengamatan yang berseri.
Vol. 1 No.2, 2011
Analisis Varian bagi Pengukuran Berulang
CONTOH PENERAPAN PADA PENELITIAN TERNAK Pengukuran berat badan 20 ekor sapi yang mendapat perlakuan penambahan empat macam (grup) ransum (faktor tunggal)
109
dilakukan setiap minggu selama enam minggu, di-susun menurut rancangan acak lengkap (RAL). Hasil pengukurannya disajikan pada Tabel 1. Seluruh pengukuran berat badan adalah 20 ekor x 7 kali penimbangan = 140 unit data.
Tabel 1. Berat badan (kg) lima kelompok sapi masing-masing terdiri dari 5 ekor sapi yang mendapat empat macam ransum selama enam minggu (data hipotetis) GRUP A
MK-0 MK-1 MK-2 MK-3 MK-4 80 82 84 88 92 79 80 82 86 90 81 82 85 88 93 82 83 86 90 94 80 83 84 89 95 Jumlah 402 410 421 441 464 Rerata 80.400 82.000 84.200 88.200 92.800 B 79 81 83 86 102 78 80 82 88 104 81 83 84 90 110 80 81 83 90 108 83 85 86 93 112 Jumlah 401 410 418 447 536 Rerata 80.200 82.000 83.600 89.400 107.200 C 80 90 110 120 130 83 91 111 121 132 82 92 103 119 129 81 90 102 113 128 83 92 110 120 131 Jumlah 409 455 536 593 650 Rerata 81.800 91.000 107.200 118.600 130.000 D 84 92 108 118 122 80 90 110 121 132 76 82 100 118 126 82 92 106 120 134 78 91 100 118 128 Jumlah 400 447 524 595 642 Rerata 80.000 89.400 104.800 119.000 128.400 Keterangan: MK-x = minggu ke-x; Grup = macam ransum
Apabila data Tabel 1 diringkas, maka rerata berat badan (kg) ke 20 ekor sapi dimaksud, disajikan pada Tabel 2. Melalui analisis varians biasa yang lazim diterapkan selama ini, akan diperoleh sebanyak tujuh tabel anova sebagaimana disajikan pada Tabel 3. Ini berarti setiap fase pengamatan dilakukan sekali perhitungan anova yang
MK-5 99 100 101 103 102 505 101.000 110 112 120 120 119 581 116.200 138 139 133 138 140 688 137.600 131 140 132 142 133 678 135.600
MK-6 108 110 113 116 119 566 113.200 121 123 130 132 129 635 127.000 150 152 149 152 158 761 152.200 140 146 142 154 149 731 146.200
Jumlah 633 627 643 654 652 3209 641.800 662 667 698 694 707 3428 685.600 818 829 807 804 834 4092 818.400 795 819 776 830 797 4017 803.400
Rerata 90.429 89.571 91.857 93.429 93.143 458.429 91.686 94.571 95.286 99.714 99.143 101.000 489.714 97.943 116.857 118.429 115.286 114.857 119.143 584.571 116.914 113.571 117.000 110.857 118.571 113.857 573.857 114.771
menggambarkan pertambahan berat badan mingguan. Dari Tabel 3 terlihat bahwa ketujuh anova memberikan hasil analisis yang berbeda-beda dengan interpretasi yang berbeda pula. Untungnya, perbedaan tersebut menunjukkan kurva garis lurus yang cenderung linier dan menaik (trend) (Gambar 1).
Tabel 2. Rerata berat badan (kg) 20 ekor sapi yang mendapat empat macam ransum selama enam minggu Grup
MK-0
MK-1
MK-2
MK-3
MK-4
MK-5
MK-6
Juml.
Rerata
A B C D
80.400 80.200 81.800 80.000
82.000 82.000 91.000 89.400
84.200 83.600 107.200 104.800
88.200 89.400 118.600 119.000
92.800 107.200 130.000 128.400
101.000 116.200 137.600 135.600
113.200 127.000 152.200 146.200
641.800 685.600 818.400 803.400
91.686 97.943 116.914 114.771
110
SUAIB
J. AGROTEKNOS
Tabel 3. Analisis varians berat badan 20 ekor sapi yang mendapat perlakuan ransum selama enam minggu (data Tabel 1, dianalisis menggunakan SAS versi 9.20) Sumber Keragaman Mk-0 Model Eror Total Terkoreksi Mk-1 Model Eror Total Terkoreksi Mk-2 Model Eror Total Terkoreksi Mk-3 Model Eror Total Terkoreksi Mk-4 Model Eror Total Terkoreksi Mk-5 Model Eror Total Terkoreksi Mk-6 Model Eror Total Terkoreksi
db
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
F-Hitung
Prob. > F-Hitung
3 16 19
10,000 66,800 76,800
3,333 4,175
0,800
0,513
3 16 19
342,600 97,200 439,800
114,200 6,075
18,800
< 0,0001
3 16 19
2457,350 177,600 2634,950
819,117 11,100
73,79
< 0,0001
3 16 19
4504,000 85,200 4589,200
1501,333 5,325
281,940
< 0,0001
3 16 19
4788,000 184,800 4972,800
1596,000 11,550
138,180
< 0,0001
3 16 19
4507,600 233,200 4740,800
1502,533 14,575
103,090
< 0,0001
3 16 19
4800,150 342,400 5142,550
1600,050 21,400
74,770
< 0,0001
Gambar 1. Petambahan berat badan (kg) bagi 20 ekor sapi menurut perbedaan grup ransum
Pemisahan rerata antar perlakuan keempat macam ransum sesuai uji BNT pada taraf alpha 0,05 diperoleh nilai seperti pada Tabel 4. Hasil uji BNT dimaksud menunjukkan pola yang tidak konsisten karena pada awalnya hingga minggu ke-3, ransum grup A dan B memberi efek yang sama terhadap berat badan 20 ekor sapi. Akan tetapi, mulai pada minggu ke empat kedua grup ransum
mengindikasikan efek yang berbeda hingga minggu ke enam. Meskipun kesimpulan yang dapat ditarik dari Tabel 4 yang menetapkan ransum grup C sebagai ransum yang lebih mampu meningkatkan berat badan sapi, uraian sebelum tiba pada kesimpulan ini dirasa masih memusingkan. Melalui prinsip “repeated measures”, anova cukup hanya sekali saja, yaitu: mencari nilai berat (kg) badan sapi melalui: (1) pengurangan berat penimbangan minggu ke enam dengan penimbangan mula-mula (minggu nol), atau (2) pengurangan [{(Mk-1) – (Mk-0)} + {(Mk-2) – (Mk-1)} + {(Mk-3) – (Mk2)} + {(Mk-4) – (Mk-3)} + {(Mk-5) – (Mk-4)} + {(Mk-6) – (Mk-5)}], lalu dibagi dengan 6 sebagaimana diuraikan oleh Clewer dan Scarisbrick (2001) sehingga hasil pengukurannya disajikan pada Tabel 5 dan 6, dimana Mk-1 adalah minggu ke-1, dan seterusnya. Hasil pemisahan rerata pertambahan berat badan 20 ekor sapi melalui RMA diperoleh kesimpulan bahwa perlakuan
Vol. 1 No.2, 2011
Analisis Varian bagi Pengukuran Berulang
ransum C memberikan pertambahan berat badan sapi yang lebih baik dibandingkan dengan ransum A, B, dan D hingga pada
111
pengamatan enam minggu setelah pemberian ransum (Tabel 7).
Tabel 4. Perbedaan rerata antara keempat macam ransum menurut minggu pengamatan Grup A B C D Keterangan:
MK-0
MK-1
MK-2
MK-3
80.400 a 82.000 b 84.200 b 88.200 b 80.200 a 82.000 b 83.600 b 89.400 b 81.800 a 91.000 a 107.200 a 118.600 a 80.000 a 89.400 a 104.800 a 119.000 a Nilai rerata yang diikuti dengan huruf yang sama signifikan menurut uji BNT pada taraf alpha 0,05
MK-4
MK-5
92.800 c 107.200 b 130.000 a 128.400 a pada kolom
MK-6
101.000 c 113.200 c 116.200 b 127.000 b 137.600 a 152.200 a 135.600 a 146.200 a yang sama berbeda tidak
Tabel 5. Analisis varian pertambahan berat badan (kg) 20 ekor sapi sesuai metode RMA menggunakan data Tabel 1 dengan SAS versi 9.20 Sumber Keragaman
db
Model Eror Total Terkoreksi
3 16 19
Jumlah Kuadrat 4595,350 321,600 4916,950
Kuadrat Tengah 1531,783 20,100
F-Hitung 76,21
Prob. > F-Hitung < 0,0001
Keterangan: Pr > F, probabilitas nilai F-hitung lebih besar dari F-tabel = < 1 % (sangat signifikan) Tabel 6. Analisis varian menguji hipotesis perbedaan antara perlakuan (grup) ransum (between group) dan di dalam perlakuan (grup) ransum (within group) sesuai metode RMA menggunakan data Tabel 1 dengan SAS versi 9.20 Sumber Keragaman
db
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
F-Hitung
Prob. > F-Hitung
Antara Ransum Ransum 3 4595,350 1531,783 76,21 < 0,0001 Eror 16 321,600 20,100 Dalam Ransum*) Minggu (waktu) 6 45189,029 7531,505 1117,74 < 0,0001 Minggu x Ransum 17 5475,952 322,115 47,80 < 0,0001 Eror 97 653,600 6,738 Total Terkoreksi 139 69302,886 Keterangan: *) Karena dalam RMA satu faktor tidak diperlukan analisis waktu berseri atau sejenisnya, maka bagian ini (dalam ransum, within subject) tidak perlu dicantumkan dalam penyajian dan analisis serta pembahasan data. Tabel 7. Pemisahan rerata pertambahan berat badan (kg) 20 ekor sapi menurut perbedaan ransum Rerata Simbol Beda Jumlah Sampel Grup Ransum 70,400 a 5 C 66,200 a 5 D 46,800 b 5 B 32,800 c 5 A Keterangan: Nilai rerata yang diikuti dengan huruf yang sama pada kolom yang sama berbeda tidak signifikan menurut uji BNT pada taraf alpha 0,05
PEMBAHASAN Prosedur analisis data pada uraian ini menggunakan program statistika SAS versi 9.2, dimaksudkan agar lebih cepat. Akan tetapi, bagi pembaca yang belum mahir mengoperasi-kan program tersebut bisa menganalisis dengan cara manual
menggunakan mesin hitung (calculator) sesuai prosedur biasa sambil mempelajari beragam program statistika yang bisa mencapai hasil yang lebih presisi, cepat, efisien, efektif, dan benar. Bagi analisis RMA, prosedur perhitungannya menggunakan data dengan prosedur sebagaimana dikemukakan pada bagian B dengan memilih satu dari dua alternatif di atas. Kedua alternatif prosedur
112
SUAIB
akan memberikan hasil akhir yang sama meskipun prosedur 2 lebih panjang dari prosedur 1. Dengan hanya satu anova (Tabel 5 dan 6) dan satu uji pemisahan rerata (Tabel 7) yang dihasilkan dari analisis data Tabel 1 akan memudahkan dan mempercepat dalam menen-tukan ada tidaknya pengaruh perlakuan, dan pemberian ransum yang mana yang menun-jukkan efek lebih baik terhadap pertambahan berat badan 20 ekor sapi. Selain itu, volume pekerjaan yang lebih sedikit dan interpretasi hasil akhir juga akan semakin mudah sehingga mempercepat dan meningkatkan ketepatan penarikan kesimpulan penelitian. Kenyataan lain yang banyak terjadi dalam usulan-usulan atau laporan-laporan penelitian adalah penghindaran terhadap keharusan melakukan pengukuran variabel secara berulang atau pengukuran secara berkala. Padahal, waktu-waktu pengukuran berkala dimaksud juga sangat dibutuhkan terkait dengan sifat dari suatu variabel yang akan diamati. Selain itu, waktu pengukuran secara berkala tidak ditentukan secara serta-merta karena waktu-waktu pengukuran tersebut harus didasarkan pada alasan dan penjelasan yang rasional, bahkan dengan dasar ilmiah yang kuat. Dengan demikian, tidak saja hanya ingin melihat perkembangan suatu variabel pada periode waktu tertentu, akan tetapi juga bisa dijelaskan perkembangan yang terjadi meskipun hanya dalam bentuk garis lurus yang menaik atau menurun (trend). Dengan hanya menganalisis hasil akhir berupa nilai pengamatan akhir dikurangi dengan nilai pengamatan awal (Pn – P0, dimana n=waktu ke-n dan 0=waktu mulamula), maka kerumitan data yang mungkin terjadi di antara waktu pengamatan awal dengan waktu pengamatan akhir dapat dipecahkan tanpa terganggu dengan kondisi data secara parsial itu. Hipotesis yang diajukan pada suatu penelitian biasanya diekspresikan dalam bentuk hasil akhir. Sebagai contoh hipotesis: (1) perbedaan jenis ransum memberikan respon yang berbeda terhadap pertambahan berat badan 20 ekor sapi, atau (2) minimal terdapat satu macam ransum yang memberikan respon terbaik terhadap pertambahan berat badan 20 ekor sapi, atau (3) ransum C memberikan respon terbaik terhadap pertambahan berat badan 20
J. AGROTEKNOS
ekor sapi, dan seterusnya. Dari tiga macam hipotesis yang dikemukakan di atas nampak bahwa penekanannya adalah pertambahan berat badan 20 ekor sapi dari waktu ke waktu sehingga pengukurannya dilakukan secara berkala. Oleh karena itu, anova setiap periode pengamatan akan tidak banyak manfaatnya karena pada akhirnya bukan ingin menyimpulkan setiap periode pengukuran, melainkan kesimpulannya adalah data kumulatif dari semua periode pengamatan. Dalam hal adanya dinamika data pada setiap periode pengamatan, penyajian dan penguraian data pada setiap periode pengukuran akan lebih mudah difahami jika diwujudkan dalam bentuk gambar grafik, bisa berbentuk grafik garis (Gambar 1) kalau bersifat trend positif atau negatif, bisa juga dalam bentuk gambar proporsi parsial atau proporsi kumulatif kalau gugus datanya adalah data persentase. Dalam kaitan dengan pengekspresian hasil pengukuran secara periodik, yang penting diperhatikan adalah bentuk penyajian gambar yang sesuai agar mudah difahami dan dimengerti sebagai wujud dari terpenuhinya prinsip komunikasi satu arah yang pasif, efisien dan efektif.
PENUTUP Penggunaan analisis varian pengukuran berulang maupun analisis varian biasa, akan benar atau dapat menarik kesimpulan dengan tepat (valid) apabila memenuhi syarat. Empat syarat (Bartlett, 1947; Cochran, 1947; Eisenhart, 1947) yang harus dipenuhi sebelum anova dilakukan adalah: (1) pengaruh perlakuan dan lingkungan (treatment and environmental effects) harus bersifat aditif, (2) kekeliruan percobaan (experimental errors) semuanya harus saling independen, (3) kekeliruan percobaan harus mempunyai varian yang sama (common variance), dan (4) kekeliruan percobaan harus berdistribusi normal (normally distributed). Bagaimana uraian mengenai keempat persyaratan anova di atas tidak akan dikemukakan dalam tulisan ini. Namun, penyimpangan atau tidak memenuhi salah satu dari semua syarat anova di atas menjadikan kesimpulan penelitian yang tidak tepat karena penentuan suatu kesimpulan selalu didasarkan kepada besar kecilnya angka simpangan (alpha). Kalau
Vol. 1 No.2, 2011
besar nilai alpha sebagai rujukan adalah 0,05 maka angka toleransi ini akan menjadi lebih besar dari 0,05 apabila tidak memenuhi salah satu syarat anova di atas. Berdasarkan uraian penutup di atas nampak bahwa contoh uraian anova pengukuran berulang ini masih belum memenuhi persyaratan validitas anova sehingga kesimpulan bahwa ransum grup C yang lebih baik masih harus diverifikasi dengan uji asumsi yang telah disebutkan di atas. Bagaimana prosedur pengujain empat asumsi uji validitas anova bagi pengukuran berulang dan anova biasa, dapat dibaca pada banyak pustaka yang membahas mengenai hal ini, dan salah satunya adalah Aref (1998). Dengan demikian, uraian uji anova pengukuran berulang yang dibahas dalam tulisan ini semata-mata hanya menjelaskan prosedur, persyaratan, kelebihan, dan keharusan penggunannya.
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada reviewer yang telah memberikan saran dan kritik yang konstruktif demi perbaikan artikel ini, dan terima kasih yang tak terhingga terutama disampaikan kepada redaksi Agroteknos atas pemuatan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA Aref, S., 1998. SAS recipes. Illinois Statistics Office, Department of Statistics, USA. Bartlett, M.S., 1947. The use of transformations. Biometrics, 3(1): 39-52.
Analisis Varian bagi Pengukuran Berulang
113
Clewer, A.G. dan D.H. Scarisbrick, 2001. Practical statistics and experimental design for plant and crop science. John Wiley and Sons, Ltd. Chichester, New York, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto. Cochran, W.G., 1947. Some consequences when the assumptions for the analysis of variance are not satisfied. Biometrics, 3(1): 22-38. Eisenhart, C., 1947. The Assumptions underlying the analysis of variance. Biometrics, 3(1): 1-21. Huynh, H. dan L.S. Feldt, 1970. Conditions under which mean square ratios in repeated measurement design have exact F-distribution. Journal of American Statistics Association, 65: 1582-1589. Johnson, R.A. dan D.W. Wichern, 2007. Applied multivariate statistical analysis. 5th Edn. New Jersey. Little, R.C., 1989. Statistical analysis of experiments with repeated measurements. HortScience, 24(1): 37-40. Mead, R., R.N. Curnow, dan A.M. Hasted, 1994. Statistical methods in agriculture and experimental biology. 2nd Edn. Chapman and Hall. London, Glasgow, New York, Tokyo, Melbourne, Madras. Milliken, G.A., dan D.E. Johnson, 1984. Analysis of messy data. Vol. 1: Designed Experiments. Van Nostrand Reinhold Company, New York. Motulsky, H., 1995. Intuitive biostatistics. Oxford University Press. New York. Park, E., M. Cho, dan C-S. Ki, 2009. Correct use of repeated measures analysis of variance. Korean Journal of Laboratory Medicine, 29:1-9. Steel, R.G.D. dan J.H. Torrie, 1960. Principles and procedures of statistics. McGraw-Hill, New York. Zar, J.H., 1999. Biostatistical analysis. 4th Edn. Prentice Hall International Inc. New Jersey.
