Rancangan Pengamatan Berulang Repeated Measurement Design
Pendahuluan • Repeated measurement (pengamatan berulang) mengacu kepada (Clewer & Scarisbrick, 2006): 1. Suatu percobaan dimana masing-masing unit percobaan menerima perbedaan perlakuan terpisah dalam waktu 2. Suatu percobaan dimana masing-masing unit percobaan diberikan sebuah perlakuan tetapi pengukurannya dilakukan berulang dalam beberapa kali serial measurement
• Misal : dalam bidang pertanian. Dilakukan percobaan untuk mengetahui pengaruh pemupukan pada tanaman cabe. Perlakuan pemupukan N yang dicobakan yaitu dosis 0 kg/ha (kontrol), 100 kg/ha, 200 kg/ha, dan 300 kg/ha. Pengamatan produksi dilakukan dalam 3 kali panen
• Memerlukan analisis khusus informasi yang diperoleh lebih luas • Hal yang dilihat : – Pengaruh perlakuan yang dicobakan rancangan dasar – Perkembangan / pertumbuhan respon selama penelitian berjalan waktu
Ilustrasi • Misal percobaan faktor tunggal • Jika faktor waktu dimasukkan dalam analisis maka tidak tepat menggunakan rancangan faktorial kenapa? • Satuan percobaan yang digunakan untuk mengukur respon waktu pertama untuk perlakuan 1 sama dengan waktu kedua untuk perlakuan 1 tidak sesuai dengan prinsip pengacakan pada rancangan faktorial.
Lanjutan Ilustrasi • Kapan percobaan tersebut dapat menggunakan faktorial dimana faktor waktu sebagai faktor? • Jika masing-masing kombinasi perlakuan dengan waktu menggunakan satuan percobaan yang berbeda antar waktu
Analisis data Model linier • Faktor tunggal seperti rancangan split plot dengan faktor waktu sebagai subplot (Clewer & Scarisbrick, 2001):
Yijk = + Ai + ik + Wj + AWij + ijk dimana : Yijk = respon dari pengaruh perlakuan ke-i, pengaruh waktu kej, serta ulangan ke-k = rataan umum Ai = pengaruh perlakuan (petak utama) ke-i ik = galat petak utama Wj = pengaruh waktu (anak petak) ke-j AWij = pengaruh interaksi perlakuan ke-i dan waktu ke-j ijk = galat dari perlakuan ke-i, waktu ke-j, serta ulangan ke-k
Lanjutan • Coba Anda uraikan sumber-sumber keragaman dalam tabel ANOVA! • Coba Anda uraikan formula untuk memperoleh jumlah kuadrat masingmasing sumber keragaman dalam Tabel ANOVA!
Lanjutan • Menurut Steel & Torie menggunakan model linier pada rancangan dasar ditambah pengaruh waktu dan interaksi waktu dengan perlakuan mengikuti model linier rancangan blok terbagi (split blok)
Lanjutan • Penamaan percobaan ini sesuai dengan rancangan dasar ditambah “dalam waktu “ (in time) • Misal : Rancangan dasar
Faktorial
Repeated Measurement design Faktorial in Time
Split plot
Split plot in Time
Back to Ilustration • Misal Percobaan Faktorial 2x3 dalam waktu dengan rancangan pengendalian lingkungan RAL dapat dituliskan :
yijkl Ai B j ABij ijk Wl kl AWil BW jl ABWijl ijkl – Yijkl =respon dari faktor A ke-I, faktor B ke-j, ulangan ke-k, serta waktu ke-l – = rataan umum – Ai = pengaruh faktor A ke-i – Bj = pengaruh faktor B ke-j – ABij = pengrauh interaksi faktor A ke-I da faktor B ke-j – ijk = pengaruh acak dari perlakuan Wl = pengaruh waktu ke-l – kl = pengaruh acak dari waktu – AWil = pengaruh interaksi faktor A ke-i dan waktu ke-l – BWjl = pengaruh interaksi faktor B ke-j dan waktu ke-l – ABWijl = pengaruh interaksi faktor A ke-I, faktor B ke-j, serta waktu ke-l – ijkl = pengaruh acak dari interaksi waktu dengan perlakuan
Hipotesis yang diuji • Pengaruh faktor A: – H0 : A1 = … = Aa = 0 – H1 : Min ada satu i dimana Ai 0
• Pengaruh faktor B: – H0 : B1 = … = Bb = 0 – H1 : Min ada satu j dimana Bj 0
• Pengaruh interaksi A dan B: – H0 : AB11 = … = ABab = 0 – H1 : Min ada sepasang (i,j) dimana ABij 0
Lanjutan Hipotesis yang diuji • Pengaruh faktor W: – H0 : W1 = … = Wc = 0 – H1 : Min ada satu l dimana Wl 0
• Pengaruh interaksi faktor A dengan waktu: – H0 : AW11 = … = AWac = 0 – H1 : Min ada sepasang (i,l) dimana AWil 0
• Pengaruh interaksi B dan waktu: – H0 : BW11 = … = BWbc = 0 – H1 : Min ada sepasang (j,l) dimana BWjl 0
• Pengaruh interaksi A, B, dan Waktu: – H0 : ABW111 = … = ABWabc = 0 – H1 : Min ada sepasang (i,j,l) dimana ABWijl 0
Tabel ANOVA Sumber Keragaman
db
JK
KT
Fhit
A
a-1
JKA
KTA
KTA / KT(a)
B
b-1
JKB
KTB
KTA / KT(a)
AB
(a-1)(b-1)
JKAB
KTAB
KTA / KT(a)
Galat (a)
ab(r-1)
JK(a)
KT(a)
W
c-1
JKW
KTW
Galat (b)
c(r-1)
JK(b)
KT( b)
AW
(a-1)(c-1)
JKAW
KTAW
KTAW / KT( c)
BW
(b-1)(c-1)
JKBW
KTBW
KTBW / KT( c)
ABW
(a-1)(b-1)(c-1)
JKABW
KTABW
KTABW / KT( c)
Galat ( c )
(abc-ab-c)(r-1)
JK ( c)
KT( c)
Total
abcr-1
JKT
KTW / KT(b)
ALAT ANALYSIS LAIN : PROFILE ANALYSIS • Analisis Profil digunakan pada saat terdapat p perlakuan yang terbagi ke dalam dua atau lebih group. • Dalam kasus repeated measurement group = waktu • Asumsi yang digunakan: – Semua respon diukur dalam unit yang sama – Respon dari group yag berbeda saling bebas satu sama lain
Ilustrasi • Misal terdapat 2 perlakuan : kelompok kontrol (K0) dan kelompok yang diberi perlakuan (K1). Masing-masing dilakukan pengukuran 4 kali (awal percobaan, 1 tahun percobaan, 2 tahun percobaan, dan 3 tahun percobaan) • Ingin diketahui apakah rataan vektor antar waktu sama?
• Sebagai awal hanya akan dilihat kesamaan rataan vektor perlakuan pada saat awal percobaan (1) dibandingkan dengan satu tahun percobaan (2) • Misal 1’ = [11, 12] dan 2’ = [21, 22] • H0 : 1 = 2 perlakuan mempunyai efek yang sama (secara rata-rata) antara dua waktu tersebut
Ilustrasi Data PERLAKUAN
INITIAL
1 YEAR
PERLAKUAN
INITIAL
1 YEAR
KO
87.30
86.90
TG
83.80
85.50
KO
59.00
60.20
TG
65.30
66.90
KO
76.70
76.50
TG
81.20
79.50
KO
70.60
76.10
TG
75.40
76.70
KO
54.90
55.10
TG
55.30
58.30
KO
78.20
75.30
TG
70.30
72.30
KO
73.70
70.80
TG
76.50
79.90
KO
61.80
68.70
TG
66.00
70.90
KO
85.30
84.40
TG
76.70
79.00
KO
82.30
86.90
TG
77.20
74.00
KO
68.60
65.40
TG
67.30
70.70
KO
67.80
69.20
TG
50.30
51.40
KO
66.20
67.00
TG
57.70
57.00
KO
81.00
82.30
TG
74.30
77.70
KO
72.30
74.60
TG
74.00
74.70
RATAAN
72.380
73.293
70.087
71.633
RAGAM
92.119
89.076
94.238
91.415
COV-KO(INITIAL,1 YEAR)
65.889
COV-TG(INITIAL,1 YEAR)
58.115
• x1 ' = [72.380,73.293] dan x2 ' = [70.087,71.633]
74.000
RATAAN
73.000 72.000 KO
71.000
TG
70.000 69.000 68.000 initial
1 year WAKTU
Terdapat tiga hipotesis • Apakah antar profil saling pararel? – H01 : 12 - 11 = 22 - 21?
• Jika diasumsikan antar profil pararel, apakah profilnya berimpit? – H02 : 1i - 2i =0, i = 1,2 ?
• Jika diasumsikan saling berimpit, apakah semua rata-rata sama dengan konstanta yang sama? – H03 : 11 = 12 = 21 = 22
Uji Kepararelan • H01 dapat dituliskan: • H01 : C 1 = C 2 dimana C adalah konstanta matrix • Statistik uji :
1 1 T ( x1 x2 )' C '[ CS pooledC ' ]1 C ( x1 x2 ) n1 n2 • Tolak H0 jika T2 > c2 , dimana 2
c2 S pooled
(n1 n2 2)( p 1) Fp 1,n1 n2 p ( ) n1 n2 p
n1 1 n 2 1 S1 S2 n1 n2 2 n1 n2 2
Back to Ilustrasi Data • H01 : 12 - 11 = 22- 21 • H01 : C 1 = C 2 • C = [1 -1] S 92.119 65.889 1
S pooled
65.889 94.238
87.076 58.115 S2 58.115 87.076
179.195 124.004 89.5975 62.0020 29 [ S1 S 2 ] 0.5 58 124.004 185.653 62.0020 92.8265
1 1 1 89.5975 62.002 1 1 A CS pooledC ' [1 1] 1 3.89467 62 . 002 92 . 8265 n n 30 30 1 2
A1 1 / 3.89467 0.256761
1 2.293 T 2.293 1.660 0.2567611 1 0.102881 1 1.660 2
c2
(30 30 2)(2 1) F1,58( 0.05) F1,58( 0.05) 4.0069 30 30 2
Kesimpulan : karena T2 < c2 maka Terima H0 dua garis tersebut pararel
Uji Keberhimpitan, jika diasumsikan pararel • H02 : 1’ 1 = 1’ 2 • Statistik Uji : 1 1 1' S pooled1]11' ( x1 x2 ) T 2 1' ( x1 x2 )[ n1 n2
1' ( x1 x2 ) 1 1 1' S pooled1 n1 n2
• Tolak H0 jika T2 > c2 , dimana c t 2
2 n1 n2 2
(
2
) F1,n1 n2 2( )
2
Back to Ilustrasi Data • H02 : 11 + 12 = 21+ 22 • H02 : 1’ 1 = 1’ 2 • 1’ = [1 1] S 92.119 65.889 1
S pooled
65.889 94.238
87.076 58.115 S2 58.115 87.076
179.195 124.004 89.5975 62.0020 29 [ S1 S 2 ] 0.5 58 124.004 185.653 62.0020 92.8265
1 1 1 89.5975 62.002 1 1 A 1' S pooled1 [1 1] 20.4285 62.002 92.8265 1 n1 n2 30 30 2
2.293 1 1 2 1.660 1' ( x1 x2 ) - 0.8745972 0.764921 2 T A 20.4285
c 2 F1,58(0.05) 4.0069
Kesimpulan : karena T2 < c2 maka Terima H0 dua garis saling berhimpit
Uji Kesamaan • H03 : 1 = 2 • H03 : C = 0 • Statistik uji : 2
1
T (n1 n2 ) x ' C '[CSC ' ] Cx
• Tolak H0 jika T2 > c2 , dimana c2
(n1 n2 1)( p 1) Fp 1,n1 n2 p ( ) n1 n2 p 1
• S = matrix variance covariance dari n1 + n2 pengamatan
Back to Ilustration Data PERLAKUAN
INITIAL
PERLAKU AN
1 YEAR
INITIAL
1 YEAR
KO
87.3
86.9
TG
83.8
85.5
KO
59.0
60.2
TG
65.3
66.9
KO
76.7
76.5
TG
81.2
79.5
KO
70.6
76.1
TG
75.4
76.7
KO
54.9
55.1
TG
55.3
58.3
KO
78.2
75.3
TG
70.3
72.3
KO
73.7
70.8
TG
76.5
79.9
KO
61.8
68.7
TG
66.0
70.9
KO
85.3
84.4
TG
76.7
79.0
KO
82.3
86.9
TG
77.2
74.0
KO
68.6
65.4
TG
67.3
70.7
KO
67.8
69.2
TG
50.3
51.4
KO
66.2
67.0
TG
57.7
57.0
KO
81.0
82.3
TG
74.3
77.7
KO
72.3
73.2
TG
69.8
71.4
RATAAN
72.75
70.61
RAGAM
87.58
95.95
COV(K0,TG)
62.36
Back to Ilustrasi Data • H03 : C = 0 • C = [1 -1] 87.689 62.355 S 62.355 90.245
72.837 x 70.860
87.689 62.355 1 1 A 1 / 55.2240 0.0181081 A CSC ' 1 1 55.2240 62.355 90.245 1 1 72.837 T 2 (30 30)72.837 70.860 0.01810811 1 4.2466 1 70.860
c 2 F1,58(0.05) 4.0069 Kesimpulan : karena T2 > c2 maka Tolak H0 Rataan kedua populasi berbeda
