Uji Hipotesis dengan ANOVA (Analysis of Variance) I.
Pengertian
Dalam sebuah penelitian, terkadang kita ingin membandingkan hasil perlakuan (treatment) pada sebuah populasi dengan populasi yang lain dengan metode uji hipothesis yang ada (Distribusi Z, Chi Kuadrat, atau Distribusi-T). Membandingkan satu rata-rata populasi dengan satu rata-rata populasi yang lain, selain memakan waktu, juga beresiko mengandung kesalahan yang besar. Untuk itu, kita memerlukan sebuah metode yang cepat dan beresiko mengandung kesalahan lebih kecil, yakni ANOVA (Analysis of Variance) [1]. Pada dasarnya, pola sampel dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yakni: 1. Seluruh sampel, baik yang berada pada kelompok pertama sampai dengan yang ada di kelompok yang lain, berasal dari populasi yang sama. Untuk kondisi ini, hipotesis nol berbunyi: “tidak ada efek dari perlakuan (treatment)”. 2. Sampel yang ada pada kelompok yang satu berasal dari populasi yang berbeda dengan populasi sampel yang ada di kelompok yang lain. Untuk kondisi ini, hipotesis nol berbunyi: “tidak ada perbedaan efek perlakuan antar kelompok”. Sebagai contoh, ANOVA digunakan untuk membandingkan rata-rata dari beberapa populasi yang diwakili oleh beberapa kelompok sampel secara bersama, sehingga hipotesis matematikanya (untuk 5 kelompok) adalah: H0
: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
H1
: salah satu dari µ tidak sama
Bunyi hipotesis sebagaimana yang disebutkan di atas bersifat fleksibel karena tidak menyebutkan secara pasti µ mana yang berbeda dengan lainnya. Hal ini berarti bahwa µ mana yang tidak sama bukan merupakan masalah Anova dapat digunakan untuk menganalisa sejumlah sampel dengan jumlah data yang sama pada tiap-tiap kelompok sampel, atau dengan jumlah data yang berbeda. ANOVA mensyaratkan datadata penelitian untuk dikelompokkan berdasarkan kriteria tertentu. Penggunaan “variance” sesuai dengan prinsip dasar perbedaan sampel: sampel yang berbeda dilihat dari variabilitas-nya. Ukuran yang baik untuk melihat variabilitas adalah variance atau standard deviation (simpangan baku). 1
II.
Langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVA 1. Kumpulkan sampel dan kelompokkan berdasarkan kategori tertentu. Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1). Contoh: Kategori A xA
Kategori B
(xA)2
xB
Kategori C
(xB)2
(xc)2
xC
x1
(x1)2
x1
(x1)2
x1
(x1)2
…
…
…
…
…
…
xn
(xn) 2
xn
(xn) 2
xn
(xn) 2
x
n
x
2 n
x
n
x
2 n
x
n
x
2 n
2. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel. 3. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom) 4. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok 5. Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok. Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-3) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F. 6. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel : Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0 Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0 7. Buat kesimpulan, sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain. 2
III.
Variabilitas sampel dalam ANOVA
Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian: 1. Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat simpangan total. Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya. Untuk menghitung SSt bisa digunakan rumus berikut ini: SSt x 2
G2 N
(1)
2. Between treatments variability (SSb) – variabilitas antar kelompok. Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok. Cara menghitung SSb sebagai berikut: SSb
T 2 G2 n N
(2)
3. Within treatments variability (SSw) – variabilitas dalam kelompok. Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok. Cara menghitung SSw sebagai berikut: SSw SSt SSb
(3)
. Keterangan: x
= data pada masing-masing kelompok.
k
= banyaknya kelompok.
T
= total x dari masing-masing kelompok.
G
= total x dari seluruh kelompok.
n
= jumlah sampel masing-masing kelompok.
N
= jumlah sampel keseluruhan.
3
IV.
Derajat Kebebasan dalam ANOVA
Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau df) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung: 1. Derajat kebebasan untuk SSt, dalam makalah ini akan kita lambangkan dengan vSSt, dapat dihitung dengan rumus:
vSSt N 1
(4)
2. Derajat kebebasan untuk SSb, dalam makalah ini akan kita lambangkan dengan vSSb, dapat dihitung dengan rumus: vSSb k 1
(5)
3. Derajat kebebasan untuk SSw, dalam makalah ini akan kita lambangkan dengan vSSw, dapat dihitung dengan rumus: vssw n 1, atau vssw N k
(6)
Derajat kebebasan juga memiliki sifat hubungan yang sama dengan sifat hubungan variabel, yakni: vsst vssb vssw
(7)
Keterangan: x
= data pada masing-masing kelompok.
k
= banyaknya kelompok.
T
= total x dari masing-masing kelompok.
G
= total x dari seluruh kelompok.
n
= jumlah sampel masing-masing kelompok.
N
= jumlah sampel keseluruhan.
4
V.
Menghitung variance antar kelompok dan dalam kelompok
Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
VI.
MSb
SSb vSSb
(8)
MS w
SSw vSSw
(9)
Menghitung distribusi-F
Ftabel dihitung dengan melihat nilai α, vSSb sebagai pembilang (kolom atas dari kiri ke kanan), sedangkan vSSw merupakan penyebut (kolom kiri atas ke bawah). Perpotongan antara vSSb dan vSSw merupakan nilai Ftabel. Pada makalah ini, digunakan tabel distribusi-F dari referensi [2]. Fhitung didapatkan dengan rumus di bawah ini:
Fhitung
VII.
MSb MS w
(10)
Alasan penggunaan ANOVA
Uji hipotesis dengan ANOVA digunakan, setidaknya karena beberapa alasan berikut: 1. Memudahkan analisa atas beberapa kelompok sampel yang berbeda dengan resiko kesalahan terkecil. 2. Mengetahui signifikansi perbedaan rata-rata (µ) antara kelompok sampel yang satu dengan yang lain. Bisa jadi, meskipun secara numeris bedanya besar, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut TIDAK SIGNIFIKAN sehingga perbedaan µ bisa diabaikan. Sebaliknya, bisa jadi secara numeris bedanya kecil, namun berdasarkan analisa ANOVA, perbedaan tersebut SIGNIFIKAN, sehingga minimal ada satu µ yang berbeda dan perbedaan µ antar kelompok sampel tidak boleh diabaikan. Referensi: [1] Agus Irianto,“Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya”, Penerbit Kencana,Jakarta, 2009. [2] Walpole, R.E. & Myers, R.H.,”Probability and Statistics for Engineers and Scientists”, MacMillan Publishing Company, New York, 1990.
5
Soal 1: Analisa ANOVA untuk kelompok dengan jumlah sampel sama Seorang dosen melakukan penelitian tentang metode mengajar pada sebuah kelas yang sama selama satu semester. Tiga buah metode mengajar dipraktikkan dan tiga kali ujian dilaksanakan untuk melihat signifikansi hasil penerapan metode mengajar A, B, dan C. Berikut ini hasil penelitian tentang hasil ujian mahasiswa yang diajar dengan metode yang berbeda: Metode A
Metode B
Metode C
8
10
5
6
7
7
7
8
8
5
6
4
9
9
6
Pertanyaan: Berpengaruhkah penerapan metode yang berbeda terhadap hasil ujian mahasiswa?
Soal 2: Analisa ANOVA untuk kelompok dengan jumlah sampel berbeda Seorang dosen melakukan penelitian tentang metode mengajar pada tiga buah universitas yang berbeda. Perlakuan dalam pembelajaran adalah sama, sedangkan pengambilan sampel dilakukan dengan teknik proporsional random sampling, dan didapatkan hasil dengan jumlah sampel berbeda untuk tiap universitas. Berikut ini nilai ujian untuk universitas A, B, dan C Univ A
Univ. B
Univ. C
7
10
10
8
9
9
8
9
5
6
10
8
9
7
7
7
8
7
8
6 7 7 6
Pertanyaan: Apakah asal universitas berpengaruh terhadap hasil ujian tersebut?
6
