Analisis Varians = Analysis of Variance = ANOVA 1. 1.1
Pendahuluan Distribusi F
χ² ANOVA
→ →
pengujian beberapa (>2) proporsi pengujian beberapa (>2) nilai rata-rata
Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher. Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F. Lihat Buku Statistika-2, GD hal. 180-182.
α = taraf nyata uji = Luas daerah penolakan H0
""" F tabel
0
+∞
Nilai F tabel tergantung dari α dan derajat bebas Nilai α = luas daerah penolakan H0 = taraf nyata Derajat bebas (db) dalam Dist F ada dua (2), yaitu : → db kelompok; db baris; db interaksi 1. db numerator =dfn 2.
db denumerator= dfd
→
db galat/error
Baca Tabel F anda! Nilai F untuk db numerator = 4; db denumerator = 20 dan α = 5 %? (2.87) Nilai F untuk db numerator = 10; db denumerator = 19 dan α = 2.5 %? (2.82) Nilai F untuk db numerator = 8; db denumerator = 25 dan α = 1 %? (3.32) Pahami cara membaca Tabel hal 180-182 tsb! Bentuk distribusi F → selalu bernilai positif. Perhatikan gambar berikut : 1.2
Penetapan H0 dan H1 H0 : H1 :
Semua perlakuan (kolom, baris, interaksi) memiliki rata-rata yang bernilai sama Ada perlakuan (kolom, baris, interaksi) yang memiliki rata-rata yang bernilai tidak sama (berbeda)
1.3
Tipe ANOVA
Pemilihan tipe ANOVA tergantung dari rancangan percobaan (experiment design) yang kita pilih . a.
ANOVA 1 arah: Sampel dibagi menjadi beberapa kategori dan ulangan kolom = kategori baris = ulangan/replika
Contoh:
Terdapat 4 Metode diet, dan 10 orang digunakan sebagai sampel
member#1 member#2 member#3
Metode-1 Ali Eno Ina
Metode-1 diulang 3 kali, Metode-3 diulang 2 kali,
Metode-2 Badu Fifi --------
Metode-3 Cici Gina ---------
Metode-4 Didi Hadi Lilo
Metode-2 diulang 2 kali, Metode-4 diulang 3 kali.
Cat :
Dalam banyak kasus untuk mempermudah perhitungan, ulangan untuk setiap kategori dibuat sama banyak
b.
ANOVA 2 Arah tanpa interaksi: Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1; baris : blok, kategori-2 Setiap sel berisi satu data
Contoh :
Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok. Blok berupa kelompok umur.
kel. umur 0< 20 tahun 20 - 40 tahun >40 tahun
Metode1 9 9 9
Metode Diet Metode- Metode2 3 9 9 9 9 9 9
Metode4 9 9 9
2
c.
ANOVA 2 Arah dengan interaksi: Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1 baris : blok, kategori-2 Setiap blok diulang, satu sel berisi beberapa data
Dengan pengulangan dalam tiap blok seperti ini, interaksi antara kolom dan baris dapat diketahui. Contoh :
kelompo k < 20 thn 20 - 40 thn > 40 tahun 1. 4
Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok, dan tiap blok diulang 3 kali
umur member#1 member#2 member#3 member#1 member#2 member#3 member#1 member#2 member#3
Metode-1 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Metode Diet Metode-2 Metode-3 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Metode-4
9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
Tabel ANOVA
Untuk memudahkan perhitungan ANOVA, kita dapat membuat tabel ANOVA, sebagai berikut: Sumber Keragaman (SK)
Jumlah derajat Kuadrat (JK) bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
f tabel
Cara pengambilan keputusan → bandingkan F hitung dengan F tabel. F hitung ada di daerah penerimaan H0 , maka H0 diterima atau Rata-rata tidak berbeda nyata F hitung ada di daerah penolakan H0 , maka H0 ditolak, H1 diterima atau Rata-rata berbeda nyata
3
2.
ANOVA 1 arah
Tabel ANOVA 1 Arah Sumber Jumlah Keragaman Kuadrat (SK) (JK)
derajat bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
f tabel
Rata-rata Kolom
db numerator = k-1
s2 K = KTK =
f hitung
α= db numer = db denum =
JKK
JKK k −1 Galat
JKG
db denumerator= N-k
=
KTK KTG
f tabel =
s2G = KTG = JKG N −k
Total
JKT
ni
k
JKT =
∑∑ x
N-1
2 ij
i=1 j =1
T**2 − N
T*2i T**2 − JKK = ∑ n N i=i i k
JKG = JKT-JKK di mana
:
k N
ni xij T*i T**
: banyaknya kolom : banyaknya pengamatan/keseluruhan data : banyaknya ulangan di kolom ke-i : data pada kolom ke-i ulangan ke-j : total (jumlah) ulangan pada kolom ke-i : total (jumlah) seluruh pengamatan
4
Contoh 1: Terdapat 4 metode diet, berikut adalah data 10 orang sampel yang didata rata-rata penurunan berat badan, setelah sebulan melakukan diet.
member#1 member#2 member#3 Total kolom
Penurunan berat badan (Kg) Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode-4 4 8 7 6 6 12 3 5 4 5
T*1 =14 T*2 =20 T*3 =10 T*4
=16
T** =60
Apakah keempat metode diet tersebut memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama? Uji pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 % Solusi : 1. H0 : Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama H1 : Ada suatu metode yang memberikan rata-rata penurunan berat badan yang tidak sama 2.
Selesaikan Tabel ANOVA berikut : Sumber Keragaman (SK)
Jumlah derajat Kuadrat bebas (db) (JK)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
Rata-rata Kolom
JKK= 40.67
db numerator k-1 = 4 -1 = 3
KTK = JKK k −1 =13.55
f hitung = KTK = 4.21 KTG (tidak beda nyata)
KTG = JKG =3.22 N −k
Galat
JKG = 19.33
db denum = N-k= 10-4=6
Total
JKT = 60
N-1 = 10-1= 9
f tabel α=5% db num=3 db denum = 6 f tabel = 4.76
5
3.
Penyelesaian JKT, JKK dan JKG k
ni
JKT = ∑ ∑ xij2 − i=1 j =1
T**2 N
602 = 420 - 360 = 60 JKT = (4 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 3 + 6 + 5 + 5 ) − 10 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T*2i T2 − ** N i=i ni 2 2 14 20 102 162 602 + + + ) − = (65.33... + 200 + 50 + 85.33...) - 360 JKK = ( 3 2 2 3 10 = 40.67 k
JKK = ∑
JKG = JKT - JKG = 60 - 40.67 = 19.33...
KTK =
JKK 40.67 = = 13.55 k −1 3
KTG =
JKG 19.33 = = 3.22 N −k 6
4.
Daerah Penolakan H0 : Penolakan H0 jika F hitung > F tabel; F hitung > 4.76 Penerimaan H0 F hitung < F tabel; F hitung < 4.76
5.
Kesimpulan :
Karena F hitung ada di daerah penerimaan (F hitung < F tabel) maka H0 terima, Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama 3
ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi
Pada rancangan percobaaan dengan ANOVA jenis ini, setiap kategori mempunyai banyak blok yang sama, sehingga jika banyak kolom = k dan banyak baris/blok = r maka banyak data = N = r x k
6
Tabel ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi Sumber Keragama n (SK)
Jumlah Kuadrat (JK)
derajat bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
Rata-rata Baris
JKB
db numer1 = r-1
s2 B = KTB = JKB r −1
f hitung KTB = KTG
s2 K = KTK = JKK k −1
f hitung KTK = KTG
Rata-rata Kolom
JKK
db numer2 = k-1
Galat
JKG
db denum = (r-1)(k-1)
Total
JKT
r.k -1
k
k
T*2j
JKK = ∑ i=i
di mana :
α= db numer1= db denum = f tabel = α= db numer2= db denum = f tabel =
s2G = KTG = JKG (r − 1)(k − 1)
T**2 JKT = ∑ ∑ x − rk i=1 j =1 r
f tabel
Ti*2 T**2 JKB = ∑ − rk i=i k r
2 ij
T**2 − r rk
JKG = JKT-JKB-JKK
k : banyaknya kolom
r : banyaknya baris/blok
xij
: data pada baris ke-i, kolom ke-j
T* j
: total (jumlah) kolom ke-j
JKK 40.67 = : total (jumlah) baris ke-i k−1 3
T** : total (jumlah) seluruh pengamatan
7
Contoh 2:
Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur.
Kelompok Umur <20 thn
Metode-1
Metode Diet Metode-2 Metode-3 Metode-4
5
6
2
3
20 -40
0
0
2
2
>40 thn
9
10
7
4
Total Kolom
T*1 = 14
T*2 =16 T*3 = 11 T*4 = 9
Total Baris
T1* = 16 T2 * = 4 T3* = 30 Total pengamatan
T** =50
Ujilah pendapat yang menyatakan bahwa keempat metode diet dalam ketiga kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama. Buktikan jawaban saudara dengan pengujian varians, dengan tingkat nyata = 5 % Solusi : 1.
H0 :
Setiap metode pada setiap kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama
H1 :
Ada suatu metode pada suatu kelompok umur yang memberikan ratarata penurunan berat badan yang tidak sama
8
2.
Selesaikan Tabel ANOVA berikut :
Tabel ANOVA Sumber Keragaman (SK)
Jumlah Kuadrat (JK)
derajat bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
Rata-rata Baris
JKB = 84.67
db numer1= r-1= 3-1=2
s2 B = KTB =
f hitung α = 0.05 KTB = = db numer1=2 db denum = 6 KTG
Rata-rata Kolom
JKK = 9.67
JKB = 42.335 r −1
s2 K = KTK = JKK = 3.223 k −1
db numer2= k-1 = 4-1 =3
10.0272
JKG = 25.33
f tabel = 5.14
f hitung α = 0.05 KTK = = db numer2 =3 db denum = 6 KTG 0.7634
Galat
f tabel
f tabel = 4.76
s2G = KTG = JKG = (r − 1)(k − 1)
db denumer= (r-1)(k-1)= 2×3=6
4.222 JKT = 119.67
Total
r.k -1= (3×4) -1=11
3.
Penyelesaian JKT, JKB, JKK dan JKG r k T**2 2 JKT = ∑ ∑ xij − rk i=1 j =1 50 2 = (5 + 0 + 9 + 6 + 0 + 10 + 2 + 2 + 7 + 3 + 2 + 4 ) 12 = 328 - 208.33 ... = 119.67 2
2
2
2
2
2
2
2
(16 2 + 4 2 + 30 2 ) 50 2 Ti*2 T2 − ** = 4 12 rk i =i k = 293 - 208.33 ... = 84.67
2
r
JKB = ∑
=
2
2
2
1172 2500 4 12
9
k
JKK = ∑ i=i
T*2j r
−
(14 2 + 162 + 112 + 9) 502 654 2500 T**2 = = = 3 12 3 12 rk = 218 - 208.33 ... = 9.67
JKG = JKT-JKB-JKK = 119.67 - 84.67 - 9.67 = 25.33 7. Kesimpulan • Menurut Baris (Kelompok Umur) Nilai F hitung = 10.0272 berada di daerah penolakan H0 , ini berarti: Ada kelompok umur yang menunjukkan rata-rata penurunan berat badan yang tidak sama. • Menurut Kolom (Metode Diet) Nilai F hitung = 0.7634 berada di daerah penerimaan H0 , ini berarti: setiap metode diet memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama 4. ANOVA 2 Arah dengan Interaksi Efek interaksi diperoleh setelah setiap kolom [perlakuan] dan blok [baris] diulang. Interaksi dinyatakan sebagai perkalian Baris x Kolom [BK]. Tabel ANOVA 2 Arah dengan Interaksi Sumber Jumlah derajat Kuadrat Keragaman Kuadrat bebas Tengah (KT) (SK) (JK) (db) Nilai tengah JKB db s2 B = KTB = JKB Baris numer1 = r −1 r-1 Nilai tengah JKK db s2 K = KTK JKK Kolom numer2 = = k −1 k-1 Interaksi JK[BK] db s2 K = [BK] numer3 KT[BK] = = JK[ BK ] [r-1][k[r − 1][ k − 1] 1] JKG db s2G = KTG Galat denumer JKG r.k.[n-1] = r . k .[n − 1] Total
JKT
f hitung
f tabel
α= db numer1= db denum = f tabel = α= db numer2= db denum = f tabel = f hitung α = = db numer3= KT[ BK ] db denum = KTG f tabel = f hitung = KTB KTG f hitung KTK = KTG
[r.k.n] -1
10
r
r
k
n
JKT = ∑ ∑ ∑ x
2 ijm
i =1 j =1 m = 1 k
JKK =
∑T
2 * j*
j =1
rn r
JK[ BK ] =
− k
2 ***
T − rkn
JKB =
∑T
2 i **
2 T*** − kn rkn
i =1
2 T*** rkn
∑∑T
r
2 ij *
i =1 j =1
n
−
∑T
2 i **
i =1
kn
k
−
∑T
2 * j*
j =1
rn
2 T*** + rkn
JKG = JKT - JKB - JKK - JK[BK] Perhatikan : Sebagian Notasi dalam JKT, JKB dan JKK digunakan dalam penghitungan JK[BK] di mana : r k n
xijm Ti** T* j*
: banyak baris : banyak kolom : banyak ulangan
i = 1,2,3,...r j = 1,2,3....k m = 1,2,3,...n
: data pada baris ke-i, kolom ke-j dan ulangan ke-m : Total baris ke-i : Total kolom ke-j
Tij*
: Total Sel di baris ke-i dan kolom ke-j
T***
: Total keseluruhan pengamatan
Contoh 3: Terdapat 4 metode diet, 3 kelompok umur dan 3 ulangan. Berikut adalah data ratarata penurunan berat badan setelah 1 bulan melakukan diet. Ujilah apakah penurunan berat badan sama untuk setiap metode diet, kelompok umur dan interaksi dengan taraf uji 5 %?
11
kelompok umur < 20 tahun, #1 #2 #3 20-40 tahun, #1 #2 #3 >40 tahun, #1 #2 #3 r = 3, Solusi : 1. H0 : H1 :
k = 4,
metode 1
Metode Diet metode-2 metode-3 metode-4
5 4 5 5 6 2 4 4 5
0 2 1 4 2 1 5 5 0
3 4 8 2 2 4 2 1 2
4 2 2 5 3 2 6 4 4
n=3
Semua perlakuan [metode diet, kelompok umur, interaksi] memberikan penurunan berat badan yang bernilai sama Ada suatu perlakuan [suatu metode diet, kelompok umur, interaksi] memberikan penurunan berat badan yang bernilai tidak sama
2.
α=5%
3.
Statistik Uji : F
4, 5, 6 : Selesaikan Tabel Data dan Tabel ANOVA
12
kelompok umur < 20 tahun, #1 #2 #3 20-40 tahun,#1 #2 #3 >40 tahun, #1 #2 #3 Total Kolom
metode 1
Metode Diet metode-2 metode-3
metode-4
Total Baris
5 4 5 T11* = 14 5 6 2 T21* = 13 4 4 5 T31* = 13
0 2 1 T12* = 3 4 2 1 T22* = 7 5 5 0 T32* = 10
3 4 8 T13* = 15 2 2 4 T23* = 8 2 1 2 T33* = 5
4 2 2 T14* = 8 5 3 2 T24* = 10 6 4 4 T34* = 14
T1** = 40
T*1* = 40
T*2* = 20
T*3* = 28
T*4* = 32
JKT = [52 + 4 2 + 52 + 52 +...+6 2 + 4 2 + 4 2 ] -
T2** = 38
T3** = 42
TOTAL T***= 120
1202 = 516 - 400 = 116 3× 4 × 3
JKB =
402 + 382 + 42 2 1202 = 400.66... - 400 = 0.66.. = 0.67 4×3 3× 4 × 3
JKK =
402 + 202 + 282 + 32 2 1202 = 423.11...- 400 = 23.11.. = 23.11 3× 3 3× 4 × 3
JK[ BK ] =
14 2 + 132 + 132 +...+102 + 14 2 402 + 382 + 42 2 40 2 + 20 2 + 28 2 + 32 2 + 3 4×3 3× 3 1202 = 455.33... - 400.66... - 423.11... + 400 = 31.55... = 31.56 3× 4 × 3
JKG = 116 - 0.66.. - 23.11.. - 31.56 = 60.66... = 60.67
13
Tabel ANOVA Sumber Keragaman (SK) Nilai tengah Baris
Nilai tengah Kolom
Interaksi [BK]
Jumlah Kuadrat (JK) JKB = 0.67
JKK = 23.11
derajat bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT)
f hitung
f tabel
db numer1= r-1 = 3-1 = 2
s2 B = KTB = JKB = 0.34 r −1
f hitung KTB = = KTG
α = 0.05 db numer1= 2 db denum = 24
0.13 ns f hitung KTK = = KTG
f tabel = 3.40 α = 0.05 db numer2= 3 db denum = 24
3.04* f hitung = KT[ BK ] KTG
f tabel = 3.01 α = 0.05 db numer3= 6 db denum = 24
db numer2= k-1 = 4-1 = 3
JK[BK] = db numer3= 31.56 [r-1][k-1] = 2×3=6
JKG = Galat 60.67
2
s K = KTK JKK = = k −1 7.70 2
sK= KT[BK] = JK[ BK ] [r − 1][ k − 1] = 5.26
f tabel = 2.51
= 2.08 ns
2
db denumer s G = KTG r.k.[n-1]= = 3×4×2= JKG = 24 r . k .[n − 1] 2.53
Total
JKT = 116
Catatan:
(1) (2)
[r.k.n] -1= [3 × 4 × 3]1 = 35 Tanda (*) menunjukkan perbedaan nyata (significant) ns = not significant = tidak berbeda nyata - dianggap bernilai sama
7. Kesimpulan : Perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata penurunan berat badan pada Baris [Kel. Umur] dan Interaksi tidak berbeda [masih dianggap sama] sedangkan rata-rata penurunan berat badan dalam Kolom [metode diet] dapat dikatakan berbeda. K selesai K
14
