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ANALISIS VARIANSI Utriweni Mukhaiyar MA 2181 Analisis Data 2 November 2011
Analisis Variansi 2
1. Tujuan Analisis Variansi 2. Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi 3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 4. Tabel Analisis Variansi 5 Contoh Kasus 5.
Ilustrasi 3
Angkatan 1
Angkatan 2
Gabungan angkatan 1 & 2
x x
x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
y y
x x x x x x x x y y
x x x x x x x x x x x
y y y y
x x x x x x x x x x x y y y y
x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y
x x x x x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
x x x y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
x x y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y
Bila rata-rata setiap p angkatan/kelompok g / p hampir p sama, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan hampir minimal.
Ilustrasi
Gabungan angkatan 1 & 2 x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
4
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Angkatan 2
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
y y
x x x x x
y y y y
x x x
y y y y y y y
x x
y y y y y y y y y
x
y y y y y y y y y y y y
Angkatan 1
x x x x x x x x
x x x x x x x y y x x x x x y y y y x x x y y y y y y y x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y
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y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y y
y y y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y
y y y
y y
y y
y
y
Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok jauh berbeda, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan jauh lebih besar dibanding variansi setiap angkatan.
Populasi 2 μ2, σ2
Populasi 1 μ1, σ1
Populasi k μk, σk
……
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
x x
z z z z z z z z z
x x x x
z z z z z z z z z z z
x x x x x x
z z z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x
z z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x
y y
z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x x
y y y y
z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
y y y y y y y y y y y y
x x x
y y y y y y y y y y
x x
y y y y y y y y
x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y
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Membandingkan beberapa angkatan /kelompok / yang terkait dapat dilakukan dengan membandingkan masing-masing rataannya.
Tujuan Analisis Variansi 6
menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata beberapa kelompok populasi (lebih dari dua), melalui ukuran ukuran-ukuran ukuran penyebaran (variansi) dari masing-masing kelompok populasi tersebut.
Hubungan g Beberapa p Variansi Terkait Konsep Dasar Analisis Variansi 7
Variansi hasil penggabungan semua angkatan data terdiri atas rata-rata variansi setiap angkatan dan variansi dari semua rata-rata angkatan
Asumsi-asumsi Asumsi asumsi dalam Analisis Variansi 8
Populasi
ke-i berdistribusi normal; i = 1, 2, …, k σ12 = σ22 = … = σk2 = σ2 Populasi-populasi tidak berhubungan satu dengan yang lainnya (saling bebas)
Susunan Data 9
Angkatan k 1
Angkatan k 2
y11
y21
yk1
y12
y22
yk2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y1n1
…
Angkatan k k
yknk yn2
Jumlah:
Keterangan: - yij : pengamatan ke-j dalam perlakuan (populasi) ke-i ; i = 1,2,…,k ; j =1, 2, …, ni - N = ( n1 + n2 + …+ ni + …+ nk ) : total banyak pengamatan
Beberapa Besaran Anova 10
JKT = b – a Jumlah Kuadrat Total
JKP = c – a Jumlah Kuadrat Perlakuan
JKG
= JKT – JKP =b–c
Jumlah l h Kuadrat d Galat G l
Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk : yij = μi + εij dengan yij : pengamatan ke-j dalam perlakuan ke-i μi : rata-rata populasi l i pada d perlakuan l k k i ke-i εij : penyimpangan pengamatan ke-j pada perlakuan ke-i dari rataan perlakuan padanannya.
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Hipotesis p yang y g diujij dalam Analisis Variansi H0 : rata-rata seluruh k populasi/perlakuan adalah sama H1 : paling sedikit terdapat dua populasi yang rata-ratanya tidak sama,
atau H0 : μ1 = μ2 = … = μk H1 : μi ≠ μj, untuk paling sedikit sepasang i dan j, dengan i,j = 1, 2, …, k 12
Tabel Analisis Variansi 13
Sumber Variansi
T2 Jumlah NKuadrat
Antar Angkatan
JKP
Dalam A k t Angkatan
JKG
Total
dk (derajat kebebasan) k–1
Rata-rata Rata rata Kuadrat
ni
k
ij
Fhitung =
ij
i=1 j=1
RKP/RKG
RKG = JKG/(N /( – k))
n y k
JKT
ni
2 RKP y2 y y= JKP/(k – 1)
i 1 j 1
N–k
k
F
i 1
N–1 ni
y k
i 1 j1
i
ij y i
i
2
y
2
k
Ti 2
i=1
ni
Keputusan 14
= P (H0 ditolak | H0 benar) 1–
Fα(k-1,N-k)
H0 benar
F(hitung) > Fα(k-1,N-k)
F(hitung) berdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k H0 ditolak
K : Fα(k-1,N-k) nilai Ket l distribusi d b F dengan d d derajat k b b kebebasan k – 1 dan d N–k
C Contoh h Kasus K
Tabel berikut menyatakan waktu kesembuhan (jam) yang diakibatkan tiga merek obat sakit kepala yang berlainan yang diberikan pada 25 penderita. Obat
Waktu kesembuhan (jam) (j )
A
5
4
8
6
3
3
5
2
B
9
7
8
6
9
3
7
4
C
7
6
9
4
7
2
3
4
1
Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata waktu kesembuhan yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%) 15
So us Solusi H0 : μA = μB = μC H1 : Paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama Untuk membuat tabel analisis variansi, kita lakukan beberapa perhitungan :
No
A
B
C
1
5
9
7
2
4
7
6
3
8
8
9
4
6
6
4
5
3
9
7
6
3
3
2
7
5
7
3
8
2
4
4
1
9
y
Jumlah
36
Jumlah total
132
54
42 16
Beberapa Besaran Anova 17
JKT = b – a = 137,04 137 04 JKP = c – a = 9,54 JKG = JKT – JKP = b – c = 127,5
TABEL ANOVA Sumber Variasi Perlakuan
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Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
9.54
2
99.54 54 4.77 2
Galat
127.5
22
Total
137.04
24
127.5 5.79 22
F (hitung)
4.77 0.772 . 5.54
PUTUSAN & SIMPULAN 19
Karena Fhitung = 0.772 < F0.05(2,22) = 3.443, maka H0 tak ditolak. Simpulkan bahwa rata-rata waktu kesembuhan yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut tidak berbeda secara signifikan.
Referensi 20
Djauhari, M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis
Data. Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, g g, 8th Ed.,, 2007. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
