DISTRIBUSI KONTINU
•
• Uniform • Normal N l Gamma & Eksponensial MA 2081 Statistika St ti tik Dasar D Utriweni Mukhaiyar Maret 2012 By NN 2008
Distribusi Uniform Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: f k p:
f( ) f(x)
1 , a xb f(x) = b a 0 , x llainnya i Rataan :
a 2
Variansi : b
ba 2 (b - a ) 2 Var ( X ) 12 E[ X ] =
Distribusi Normal (Gauss) Karl Friedrich Gauss 1777-1855
Penting P i di dipelajari l j i
- Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat
Notasi: X ~ N ( , 2)
rataan
f.k.p: f k p:
1 f ( x) e 2 = 3.14159…
1 x 2
2
, - < x < Simpangan baku / t d deviasi /standar d i i
e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku) 3
Kurva Normal Modus tunggal Titik belok
Titik belok Total luas daerah di bawah kurva =1 1
Simetri terhadap x=
http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
4
Peluang g X di sekitar 1, 2, dan 3
Pengaruh dan Kurva normal dengan yang sama
1 < 2 < 3
2
Kurva normal dengan yang sama
3 parameter skala
1 < 2 < 3
parameter lokasi
5
Luas di bawah kurva Normal P( X ) 1 X ~ N((,2)
P (z1 < Z < z2)
P(a ( < X < b)
X ~ N((,2)
Z ~ N(0,1) N(0 1)
a-m z1 = s 6
0
z2 =
b-m s
Menghitung Peluang Normal Sulit !!! Harus dihitung secara numerik
2.
1.. Cara langsung g g b
1 P ( a X b) e 2 a
Dengan tabel normal standar P (Z z)
1 x 2
2
dx Z
X
N(0 1) N(0,1)
7
Arti Tabel Normal Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4 z
P( Z z )
P(Z z )
8
1 2
e
x2 / 2
dx
P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4
Membaca Tabel Normal P(Z 1,24 1 24 )
9
Hit Hitung P (0 Z 1,24 1 24 ) P(0 ( Z 1,24 , ) = P(Z ( 1,24 , ) - P(Z ( <0) = 0,8925 – 0,5 = 0,3925 P(Z ( 0)
10
P(Z 1,24 )
Contoh 1 Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam.
http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Hitunglah Hit l h peluang l suatu t bola b l lampu l dapat menyala antara 778 dan 834 jam http://www.nataliedee.com/101906/nightshift at http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg
11
Jawab Misal X : umur bola lampu X ~ N (800,402) X -m Dengan transformasi Z =
:
s 834 800 778 800 P(778 X 834) P Z 40 40
P (0,55 Z 0,85) P ( Z 0,85) P ( Z 0,55) 0,8023 0, 2912 0,5111 12
Contoh 2 Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt d standar dan t d deviasi d i i 2 volt. lt Misalkan Mi lk tegangan tersebut berdistribusi normal. Dari 1000 voltmeter yang diproduksi berapa voltmeter diproduksi, yang tegangannya melebihi 43 volt? 13
Jawab Misal X : tegangan voltmeter X ~ N (40, 4) X -m Dengan transformasi Z = s
43 40 P( X 43) P Z 2 P( Z 1,5) 1 P ( Z 1,5) 1 0,9332 0 9332 0, 0668 14
Banyaknya y y voltmeter y yang g tegangannya lebih dari 43 volt adalah 1000 unit x 0,0668 0 0668 66 unit
A k i Aproksimasi i Bi Binomial i ld dengan g N Normall JJika n maka B(n,p) ( ,p) N (,2) dimana = np dan 2=np(1-p) np (1 p )
B (6;0,2)
B (15;0,2)
Semakin besar n n, binomial semakin dekat ke normal 15
Contoh 3 Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.
http://www.bratachem.com/abate/imag es/demam jpg es/demam.jpg
Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh b h a. tepat 30 orang b kurang dari 30 orang b. 16
Jawab Misal X : banyaknya pasien yang sembuh X ~ B(n,p) B(n p) , n = 100 ; p = 0,4 04 Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40 , St.Dev: St. e : npp((1 p) 40 0,, 6 4,899 a. Peluang bahwa banyaknya y y pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:
P( X 30) P(29,5 X 30,5) , 40 30,5 , 40 29,5 P Z 4,899 4,899 P (2,14 Z 1,94) P ( Z 1,94) P( Z 2,14) 0, 0262 0, 0162 0, 0 01
17
Jawaban lanjutan b Peluang bahwa banyaknya b. pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah: 29,5 40 P( X 30) P Z 4,899 P ( Z 2,14) 0, 0162
18
Distribusi Gamma Notasi X ~ Gamma(,) f.k.p p
1 1 x / x e f ( x) ( ) 0
,0 x , x lainnya
0 dan 0
() disebut fungsi gamma
( ) y 1e y dy
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1 E[X] = dan Var(X) = 2 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat, Weibull, dan Erlang 0
19
Distribusi Eksponensial Keluarga distribusi
gamma (1, 1/) Notasi: X ~ Exp p (()) f.k.p e x f ( x) 0
,0 x , x lainnya
• E[X] = 1/ • Var(X) = 1/ 2 • Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan 20
Contoh 4 Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang.
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
21
Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu: a. lebih dari 10 menit p 20 menit b. antara 10 sampai
Jawab Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik X ~ exp(1/10) Dik. (1/10) sehingga hi
f ( x) 101 e x /10 Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a. P ( X 10) 1 P ( X 10) 10
1 101 e x /10 dx 1 0, 0 368 0, 0 632 0
20
b b.
P (10 X 20)
10 22
1 10
e x /10 dx 0, 233
Referensi Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu
Peluang l dan d Statistika k untukk Insinyur dan d Ilmuwan, l Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Walpole Ronald E E., et.al, et al 2007, 2007 Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
23
