(HARAPAN MATEMATIKA) BI5106 Analisis Biostatistik 20 September 2012 Utriweni Mukhaiyar

1

EKSPEKTASI ((HARAPAN MATEMATIKA)) BI5106 Analisis Biostatistik 20 September 2012 y Utriweni Mukhaiyar

Ekspektasi S t Peubah Suatu P b h Acak A k Misalkan X peubah acak 

Ekspektasi dari X   xP( X  x), jika X peubah acak diskrit  semua x E[ X ]      xf ( x) dx , jika X peubah acak kontinu   dimana : x P(X x) P(X=x)

: nilai-nilai pada X : peluang untuk setiap nilai x 2

Ekspektasi S t Fungsi Suatu F i dari d i Peubah P b h Acak A k





Misalkan peubah acak Y = g(X), yang merupakan fungsi dari peubah acak X. Ekspektasi g(x) didefinisikan sebagai:

  g ( x) P( X  x), jika X peubah acak diskrit  semua x E[ g ( x)]      g ( x) f ( x) dx d , jika jik X peubah b h acakk kontinu k ti  

Sifat-sifat Ekspektasi p 4



Apabila a konstan, maka E[a]=a



U Untuk k peubah b h acak k X dan d Y, Y maka k E(X+Y) ( ) = E(X) ( ) + E(Y) ( )



Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, maka E(Y) = aE(X)+b

Beberapa p Ekspektasi p Khusus 



Rataan

  xP( X  x), jika j X peubah p acak diskrit  x   E[ X ]   semua    xf ( x) dx , jika X peubah acak kontinu  

Variansi

Var(X)  E[(X ) ]  E[X ](E[X]) 2



Fungsi Pembangkit Momen

M (t )  E[etX ] untuk suatu bilangan riil t. Kasus khusus : M '(0) (0)  E[ X ] M ''(0)  E[ X 2 ]

2

2

Sifat Variansi 6





Bila Y = aX + b, b a dan b tetapan, tetapan maka Var(Y) = 2Y= a2Var(X) = a2 2X Bila X suatu peubah acak dan g suatu fungsi bernilai riil, maka:

2 Var(g(x)) = E[( g ( x)   ) ]

  ( g( x)  )2 P( X  x), jjika X peubah p acak diskrit  semua x =   ( g( x)  )2 f ( x) dx , jika X peubah acak kontinu  

Variansi disebut juga sebagai momen ke-dua disekitar 

Beberapa p Sifat Lainnya y 





Misalkan g(X) dan h(X) masing-masing adalah f fungsi i dari d i peubah b h acak k X, X maka k E[g(X)  h(X)] = E[g(X)]  E[h(X)] Jika peubah acak X dan Y dengan fungsi peluang gabungan g g f( f(x,y) ,y) maka,,  E[X  Y] = E[X]  E[Y]  2aX+bY = a2 2X + b2 2Y + 2ab X Y Jika peubah acak X dan Y saling bebas, maka  2aX+bY = a2 2X + b2 2Y  2aXbY = a2 2X + b2 2Y

Contoh 3 8

a a. b.

Misal X adalah kesalahan dalam pengukuran nilai curah hujan (dalam mm). Jika ditetapkan fungsi peluang sebagai berikut:  x2 , 1  x  2  f ( x)   3  0 x yang lain 0,  Tentukan: Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran di atas. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan variansi i i dari d i Y ini. i i

Jawab: 9

a.

Rataan dari X

Variansi dari X

2

x2 E  X    x dx 3 1 2

1 x     3  4  1 1  16  1 12 5  4 4

2  5  V  X   E  X    Var 4    2

2 5 x    x  dx 4 3 1  2

 0.6375

10

b.

E Y   E  4 X  3  4E  X   3 2

x2  4  x dx  3 3 1 2

4 x     38 3  4  1 2

2  Var Y   E   4 X  3  8     2   E  4 X  5    2



  4 x  5

1

51  5

2

x2 dx 3

Soal Latihan 11

1.

Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang sebagai b i berikut b ik :  34 (1  t 2 ), untuk - 1  t  1 f (t )   y  0 , untuk t lainnya

Cari E[ T2 ], E[ T-1], E[T<0.5]. 2.

1/ 3 , x  1, 2,3 Jika P( X  x)  0 , x yang y g lain 

maka nilai F(1, 99) = ......

3 Banyaknya kejadian hujan beserta angin badai secara 3. bersamaan setiap minggunya pada musim hujan di 12 suatu daerah AA merupakan suatu peubah acak (misal H) dengan distribusi peluang berikut. berikut h P(H = h)

0 0.41

1 0.37

2 0.16

3 0.05

4 0.01

Tentukan: a. Harapan (matematika) dan variansi banyak kejadian hujan beserta badai setiap minggunya di wilayah tersebut b Fungsi b. F i distribusi di t ib i F(h) dan d gambarkan b k c. Jika banyak kejadian serupa di daerah lain, AB adalah dua kali banyak kejadian di AA ditambah satu, hitung harapan banyak kejadian hujan beserta badai setiap minggunya di wilayah AB.

KASUS DUA PEUBAH ACAK

Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan kategori kategori yang berbeda. kategori-kategori berbeda Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan. •Banyak lantai •Kekuatan bangunan •Banyak lift •Ti •Tinggi ib bangunan •Banyak pintu/tangga darurat •Luas bangunan •Banyak ruangan •Luas taman/daerah hijau •.... bangunan •... KONTINU DISKRIT Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan. bangunan Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y. f(x
Ilustrasi Misalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2 menyatakan banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan. f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama //serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X1, X2, dan X3. f(10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50 ruangan.

Fungsi g Peluang g Gabungan g D I S K R I T

1. P(X=x, Y=y)  0 untuk semua (x, y) 2. P ( X  x, Y  y )  1

 x

y

3 Untuk 3. U t k sebarang b daerah d h A ddalam l daerah d h ddefinisi fi i i xy berlaku, b l k

P[( X , Y )  A]   f ( x, y ) A

K O N T I N U

1. f(x, y)  0 untuk semua (x, y)   2.



f ( x, y )dxdy  1

 

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

P[( X , Y )  A]   f ( x, y )dxdy A

Contoh 1 

Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung: a. Fungsi peluang gabungan f(x,y) b. P[(X,Y)A] [( , ) ] dimana A adalah daerah {( {(x,y)|x y) + y  2}}

Jawab: a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). f(3 0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang. f(3,0) Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C4 = 70. Banyak cara yang mungkin mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.

Solusi 1 

Distribusi fungsi peluangnya: x f(x,y)

0

1

2

3

h(y)

0

0

3/70

9/70

3/70

15/70

1

2/70

18/70

18/70

2/70

40/70

2 g(x)

3/70 5/70

y

9/70 3/70 0 15/70 3   2   13  30/70 30/70 5/70     x y  4  x  y  3 C x  2 C y  3C4  x  y  f ( x, y )  , x  0,1, 2,3, y  0,1, 2  8 C   P[( X , Y )  A]  P( X  Y  2)) 8 4    4

b.

 P ( X  0, Y  1)  P( X  0, Y  2)

 P ( X  1, Y  0)  P( X  1, Y  1)  P( X  2, Y  0)  f (0,1) (0 1)  f (0, (0 2)  f (1, (1 0)  f (1 (1,1) 1)  f (2 (2, 0) 

2 3 3 18 9 35 1       70 70 70 70 70 70 2

Contoh 2 

Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: 2  ( x  2 y ), 0  x  1, 0  y  1 f ( x, y )   3  0 0, x, y lainnya

a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang. b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing masing masing kurang dari setengah. setengah

Solusi 2  

a.



 

1 1

1

1

1 2 1 2 1 f ( x, y )dxdy    ( x  2 y )dxdy   ( x  4 yx) dy   (1  4 y )dy 3 3 3 0 0 0 0 0 1 1 1 2  ( y  2 y )  (1  2)  0 3 3 0 1

f(x,y) adalah fungsi peluang. 1/2 1/2

0 5 Y  00.5) 5)  b P( X  0.5, b.

 0

1/2



 0

0

1/ 2

1/2 2 1 2 ( x  2 y )dxdy   ( x  4 yx) dy 3 3 0 0

1/2 11 11 11 1 1 1  2     2 y  dyy   y  y    3 4 3 4   0 3 4 2 4 8

Fungsi g Marjinal j Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y). 

Untuk X dan Y diskrit. diskrit

g ( x )   f ( x, y )   P ( X  x, Y  y ) y

y

h ( y )   f ( x, y )   P ( X  x, Y  y ) x

x

 Untuk X dan Y kontinu. 

g ( x) 







f ( x, y )dy

dan

h( y ) 





f ( x, y )dx

Contoh 3 Perhatikan Contoh 1.  Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang marjinal ji l d darii X dan d Y. Y  Jawab : 2 3 5 1 g (0)  f (0, 0)  f (0, (0,1))  f (0, 2))  0     70 70 70 14 

3 18 9 30 3 g ((1))  f ((1, 0))  f (1,1) ( )  f ((1, 2))      70 70 70 70 7 9 18 3 30 3 g (2)  f (2, 0)  f (2,1)  f (2, 2)      70 70 70 70 7 3 2 5 1 g (3)  f (3, 0)  f (3,1)  f (3, 2)   0   70 70 70 14

Solusi 3 

Distribusi p peluang g peubah p acak X adalah : x

0

1

2

3

g(x) = P(X=x)

1/14

6/14

6/14

1/14

 Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang

peubah b h acakk Y adalah d l h: y

0

1

2

h(y) = P(Y=y)

3/14

8/14

3/14

Contoh 4  a. b. c.

Perhatikan Contoh 2. Tentukan, fungsi peluang marjinal untuk X fungsi peluang marjinal untuk Y peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.

JJawab b: a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x) 

g ( x) 





1

1 2 2 2 2 f ( x, y )dy   ( x  2 y )dy  ( xy  y )  ( x  1)  0 3 3 3 0 0

2  ( x  1), 3

0  x 1

Solusi 4 b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y) 

h( y ) 





1

2 f ( x, y )dx   ( x  2 y )dx  3 0

1 4   y, 3 3

21 2  1 21     x 2 yx 2 y    0 32  0 32 

0  y 1

c Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in c. membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan adalah P(X P(X<1,5). 1,5). 1.5

1

2 1 2 2 P ( X  1.5)   g ( x)dx   ( x  1)dx  x  x 3 3 3  0 1

1 0

1  (1  2)  0 3

Peluang g Bersyarat y 



Misalkan X dan Y adalah peubah acak, diskrit atau kontinu. Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika diberikan X=x adalah: f ( x, y ) f ( y | x)  , g ( x)



g ( x)  0

Peluang bersyarat dari peubah acak X jika diberikan Y=y adalah: f ( x, y ) f ( x | y)  , h( y )

h( y )  0

Bebas Statistik 

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi peluang p g marjinal j masing-masingnya g g y adalah g( g(x)) dan h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling x, y ) jika,  g ( x ) h( y ) bebas jika danf (hanya

untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.

Contoh 5  



Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1. Hitung P(X=0|Y=1) Jawab b:

f ( x, y ) , h( y )  0 h( y ) f (0,1) 2 70 1 f (0 |1)    8 14 8 14 20 f ((2,1) , ) 18 70 9 f (2 |1)    8 14 8 14 20 f ( x | y) 

f ( x,1) 8 14 f (1,1) 18 70 9 f (1|1)    8 14 8 14 20 f (3,1) ( , ) 2 70 1 f (3 |1)    8 14 8 14 20

yaitu , ,

f ( x |1) 

 Distribusi peluang bersyarat : P(X=0|Y=1)

x

0

1

2

3

f(x|1)

1/20

9/20

9/20

1/20

Contoh 6   

Perhatikan Contoh 2. Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena Karena, 2  1  2 g ( x)h( y )   ( x  1)   (1  4 y )   (4 xy  4 y  x  1) 3  3  9 2  ( x  2 y )  f ( x, y ) 3



Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.

Kovariansi Dua Peubah Acak 



Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) Kovariansi dari X dan Y adalah: Cov( X , Y )  E[( X   X )(Y  Y )] Cov(X, X) = Var(X)   E[ XY ]  E[ X ]E[Y ]

Cov(Y, Y) = Var(Y)

dengan, Variansi adalah kovariansi terhadap diri sendiri

 

E[ XY ] 

  xyf ( x, y)dydx

   

E[ X ] 

d d   xff ( x, y)dydx

 

 

ddan

E[Y ] 

d d   yff ( x, y)dxdy

 

Korelasi Dua Peubah Acak 



Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) Korelasi dari X dan Y adalah: Corr ( X , Y )  

 XY Cov( X , Y )   Var ( X )Var (Y )  X  Y

Referensi 33

 Devore, D J.L. J L and d Peck, P k R., R Statistics St ti ti – The Th Exploration E l ti andd

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.  Walpole, p Ronald E. dan Myers, y Raymond y H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.  Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.