Uji Hipotesis
MA2081 STATISTIKA DASAR STATISTIKA DASAR
Utriweni Mukhaiyar 1 November 2012
2
Pengertian g • Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya y 1. 2.
Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥) Hipotesis tandingan d ( 1) ; tandingan (H d h hipotesis H0 , mengandung tanda , >, atau <.
3
G l t (error) Galat ( )
H0 ditolak d l k H0 tidak ditolak
H0 benar
H0 salah
P(menolak H0 | H0 benar) = galat tipe I = α
keputusan benar
keputusan benar
( d k menolak l k H0 | H0 P(tidak salah) = galat tipe II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
4
Skema Umum Uji Hipotesis H0
•Hipotesis yang ingin diuji •Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥) •Dapat p berupa p - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain
H1
•Hipotesis Hipotesis yang ingin dibuktikan •Disebut juga hipotesis alternatif •Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)
Hipotesis Statistik ???
Keputusan
H0 ditolak
mungkin terjadi g j
H0 tidak ditolak
Kesimpulan
Kesimpulan
H1 benar
Tidak cukup bukti untuk menolak H0
Kesalahan
Tipe I
Tipe II
Menolak H0 padahal H0 benar P(tipe I) = α g g = tingkat signifikansi
Menerima H0 padahal H0 salah P(tipe I) = β
5
Statistik Uji j dan Titik Kritis • Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. dirumuskan Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. • Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan bersangkutan. • H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
1- 0
titik kritis
daerah kritis
1- titik kritis
titik kritis diperoleh dari tabel statistik
6
Uji j Rataan Satu Populasi p
uji dua arah
1. H0 : = 0 vs H1 : 0 2. H0 : = 0 vs H1 : > 0 3 H0 : = 0 vs H1 : < 0 3. uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
7
Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi 1. Kasus σ2 diketahui
X 0 Z / n
~ N(0,1) N(0 1)
Tabel Z (normal baku)
2. Kasus σ2 tidak diketahui
X 0 T s/ n
~ t(n-1)
Tabel t
8
Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi
Statistik uji : H0 : = 0 vs H1 : 0
σ2 diketahui
σ2 tidak diketahui
Z
T
Z < - Z1-α/2 atau Z > Z1-α/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : = 0 vs H1 : > 0
Z > Z1-α
T > Tα
H0 : = 0 vs H1 : < 0
Z < - Z1-α
T < - Tα
titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1
9
Uji j Rataan Dua Populasi p uji j dua arah 1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0 2 H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0 2. 3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0 uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui
10
Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi 1.
Kasus σ12 dan σ22 diketahui
ZH
2.
X =
X2 μ0 σ12 σ 22 n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ22
T H =
3 3.
1
X
1
X2 μ0 S12 S22 n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22
TH
X =
1
Sp
X2 μ0 1 1 n1 n 2
dengan
2 2 (n 1)S (n 1)S 1 2 2 S2p = 1 n1 n 2 2
11
Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi
Statistik uji :
σ12, σ22 diketahui
σ12, σ22 tidak diketahui
Z
T σ12 = σ22
σ12 ≠ σ22 2
Derajat j Kebebasan
n1 + n2 - 2
S12 S 22 n1 n 2 v= 2 2 S 22 1 S12 1 (n 1 1) n 1 (n 2 1) n 2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0
Z > Zα
T > Tα
T > Tα
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0
Z < - Zα
T < - Tα
T < - Tα
12
Uji untuk Rataan Berpasangan 1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0 2 H0 : d = 0 vs H1 : d > 0 2. 3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0 • Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui. T=
D μ0 Sd / n
;
13
Contoh 1 Berdasarkan 100 laporan p kejadian j hujan j (dengan ( g lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat i k curah hh hujan j adalah d l h adalah d l h 71 71,88 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata rata rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm. a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik b. Untuk tingkat g signifikansi g 5% , benarkah pernyataan literatur tersebut?
14
S l i Solusi Diketahui Ditanya: 0 70, X 71.8, s 8.9, a. Hipotesis p statistik b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab: Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70 H1: μ > 70
0, 05
15
• b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.645 x 0 71,8 70 t 2, 02 s 8, 9 n 100
• Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak. • Jadi sampel yang ada mendukung pernyataan literatur tersebut, yaitu bahwa rata-rata tingkat curah h hujan h di d daerah d h “SH” “ ” lebih l bhd dari 70 mm.
16
C Contoh h 1-modifikasi 1 difik i 1 Berdasarkan 100 laporan p kejadian j hujan j (dengan ( g lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat i k curah hh hujan j adalah d l h adalah d l h 71 71,88 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata rata rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak lebih dari 70 mm. a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan y hipotesis statistik Rumusan hipotesis akan sama dengan Contoh 1.
17
C Contoh h 1-modifikasi 1 difik i 2 Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak kurang dari 70 mm. mm a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis p statistik Rumusan hipotesis akan berbeda dengan Contoh 1, menjadi: H0: μ 70 H1: μ < 70
18
C t h2 Contoh Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan di kib tk oleh l h gosokan, k d i dua dari d bahan b h yang dilapisi. dil i i Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong b h 2 diuji bahan di ji dengan d cara yang sama. Dalam D l ti hal, tiap h l diamati di ti dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah gg p kedua p populasi p berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
19
Solusi Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata p populasi p bahan 1 dan p populasi p bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H0 : μ1 - μ2 2 H1 : μ1 - μ2 > 2
20
• Tingkat keberartian, α = 0.05 x1 85, 85 s1 44, n1 12 x2 81, s2 5, n2 10
• Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu tH =
x1 x2 μ0
• dengan1 sp
1 n1 n2
dgn
• Maka diperoleh :
(n1 1 )s12 (n2 1 )s22 (11)(16) (9)(25) sp = 4.478 4 478 n1 n2 2 12 10 2
tH =
x1 x2 μ0 sp
1 1 n1 n2
( 81)) 2 (85 1.04 1 04 4.478 (1/12) (1/10)
21
• Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n1+n2-2 2 = 12 +10 - 2 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725. • Karena t < 1.725, 7 5, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapat p disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan. satuan
22
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang Contoh 2 – modifikasi 1 diakibatkan oleh gosokan, gosokan dari dua bahan yang dilapisi. dilapisi Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel p b bahan 2 memberikan b rata-rata keausan sebanyak b y 81 dengan g simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa ratap rata-rata keausan bahan rata keausan bahan 1 melampaui 2 sebesar dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama. Rumusan hipotesis menjadi : H0 : μ1 - μ2 = 2 H1 : μ1 - μ2 2
23
Contoh 3 ((data berpasangan) p g ) • Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan g per ml p 30 menit kemudian diukur dalam nanogram (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
24 No No.
Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik
Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik
Selisih (di)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.76 5 18 5.18 2.68 3.05 4 10 4.10 7.05 6.60 4.79 7.39 7.30 11.78 8 3.90 26.00 6 8 67.48 17.04
7.02 3 10 3.10 5.44 3.99 5 21 5.21 10.26 13.91 18.53 8 7.91 4.85 11.10 3.74 94.03 94.03 41.70
4.26 -2.08 2 08 2.76 0.94 1 11 1.11 3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 -0.68 68 -0.16 68.03 6 26.55 24.66
25
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, j , p pada tingkat g keberartian 5 5%,, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.
26
Solusi Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan ((rusa)) memperoleh p p dua kali p pengukuran g Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H0 : μ1 = μ2 atau t μD = μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0 Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05
27
• Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( di ) adalah, adalah d 9.848
dan s d 18.474
• Statistik uji yang digunakan adalah, adalah t=
• Dalam hal ini, t=
d d0 sd / n
99.848 848 0 2.06 18.474 / 15
28
• Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H0 ditolak jika t < - t0.025,14 -2 145 atau t > t0.025,14 2 145 0 025 14 = -2.145 0 025 14 = 2.145. • Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. penolakan Dengan demikian, demikian H0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t0.025,14 , = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen bisa diabaikan.
29
Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi • Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah
1. H 0 : = 2
2 0
vs H 1 : 2
2 0
2. H 0 : 2 02 vs H 1 : 2 02 3. H 0 : 2 02 vs H 1 : 2 02
• Dengan g 02 menyatakan y suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui.
30
• Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :
2
( n 1) s 2
02
• Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi khi-kuadrat khi kuadrat dengan derajat kebebasan nn 1.
31
• Untuk hipotesis H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :
2 2
1 ,( n 1) 2
atau 2 2 2
,( n 1)
2 2 2 2 H : = vs H : • Untuk hipotesis 0 0 1 0 , tolak nilai dari tabel H0 p pada tingkat g keberartian α jjika distribusi chi-square
2
2 1 ,( n 1)
dengan derajat kebebasan n - 1
• Untuk hipotesis H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika 2 2 ,( n1)
32
Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi • Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji 2 2 hipotesis populasi adalah adalah, 1 H 0 mengenai 1. : 12 22variansi vs Hdua : 1 1 2
2. H 0 : vs H 1 : 2 1
3. H 0 : 2 1
2 2
2 2
2 1
vs H 1 : 2 1
2 2
2 2
• Dengan σ12 dan σ22 masing-masing adalah variansi populasi ke-1 ke 1 dan variansi populasi ke-2 ke 2
33
• Statistisk uji yang digunakan2untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah, adalahF s1
s 22
• Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher h dengan d d derajat k b b kebebasan, v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2
34
H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22
Untuk hipotesis H0 pada tingkat keberartian α jika : F f
1 ,( v1 , v2 ) 2
atau F f 2
, tolak
,( v1 , v2 )
2 2 2 2 H : vs H : Untuk hipotesis 0 1 2 1 1 2
, tolak
H0 p pada tingkat g keberartian α jjika : F f1 ,( v1 ,v2 ) 2 2 2 2 H : vs H : Untuk hipotesis 0 1 2 1 1 2
, tolak
H0 pada tingkat keberartian α jika :
F f ,(( v1 ,v2 )
f ,( v1 ,v2 ) , f1 ,( v1 ,v2 ) , f / 2,( v1 ,v2 ) , dan f1 / 2,( v1 ,v2 ) adalah nilai-nilai
g derajat j dari tabel distribusi Fisher dengan kebebasan v1 dan v2
35
Contoh 4 • Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel p acak 10 baterai tersebut menghasilkan g simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
36
Solusi H0 : σ2 = 0.81 H1 : σ2 > 0.81 α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji 2 ( n 1) s (9)(1.44) (9)(1 44) 2 16 2 0 0.81 Titik kritis adalah 2 ,n 1 2 0.05,9 16.919 16 919 2 2 Karena 0.05,9 , maka H0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9
37
Contoh 5 • Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.
38
Solusi • Misalkan σ12 dan σ22 adalah variansi
populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 α = 0.10
39
Statistik uji f = s12/ s22 = 16 / 25 = 0.64 H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika f f atau f f 1 ,( v1 , v2 ) 2
2
,( v1 , v2 )
α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9. Maka f
1 ,( v1 , v2 ) 2
Karena
f 0.95,(11.9) 0.34 dan
f 2
f
1 ,( v1 , v2 ) 2
f f 2
,( v1 , v2 )
,( v1 , v2 )
f 0.05,(11.9) 3.11
, maka jangan tolak H0.
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan b h bahwa variansinya i i b b d berbeda.
40
Referensi • Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration p and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. • Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. • Wild, Wild C.J. C J and Seber, Seber G.A.F., G A F Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. • Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. • Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice H ll 2007. Hall, 2007
