EKSPERIMEN ACAK & PELUANG MA3181 Teori Peluang Utriweni Mukhaiyar 1 September 2014
Jenis-jenis Observasi OBSERVASI / DATA KUALITATIF
Nominal
Ordinal/Rank
KUANTITATIF
Diskrit
Kontinu
Tidak mengenal urutan dan operasi aritmatika
Mengenal urutan dan operasi aritmatika
Berhubungan dengan ‘proses menghitung’, dan pengamatan atas himpunan terhitung.
Didasarkan pada suatu selang/interval sehingga meliputi semua bilangan riil
Jenis asuransi (“umum dan jiwa” atau “kendaraan, rumah, dll”)
Pengelompokan risiko dari nasabah asuransi kendaraan bermotor (kecil, menengah, besar)
Banyak klaim yang diajukan seorang nasabah setiap tahun.
Besar klaim yang diajukan seorang 2 suatu nasabah pada tahun
© 2012 by UM
Eksperimen Acak Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik): O Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. O Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari hasil-hasil sebelumnya. O Bisa diukur (diamati). O Hasilnya tidak bisa ditebak (tidak ada pola) karena adanya galat/error (acak murni / purely random).
Sifat Keacakan O Konsep pada hal yang belum terjadi (a priori
concept). O Tak dapat dibuktikan (a negative property). O Bukan sifat “fisik" sebuah percobaan (not a “physical property" of an experiment).
Ruang Sampel & Kejadian (Event) O Ruang sampel S , yaitu himpunan dari semua
kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). O Kejadian (event), yaitu himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S . Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal E1, E2, ......dst.
Ruang Sampel Diskrit O Diskrit : banyaknya (number) anggota pada
S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. O Contoh 1 : S pada (percobaan) pemeriksaan nasabah bank AAA pemegang kartu kredit. Setiap nasabah dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai kredit macet atau lancar.
Ruang Sampel Kontinu O Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian
dari suatu interval. O Contoh 2 : S pada pengamatan besar klaim (dalam juta rupiah) setiap tahun yang diajukan oleh seorang nasabah, misalnya S = {x: 2 < x < 4}. Jika kita pilih tahun-tahun secara acak, maka mungkin ditemukan tahun-tahun dengan besar klaim 2,1 juta atau 3,5 juta atau 2,75 juta atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.
Ruang Sampel dan Kejadian O Ruang sampel, dinotasikan
S
Ruang Sampel Diskrit
Ruang Sampel Kontinu
S= {
,
, ... ,
}
Event (kejadian)
E = {
,
,
}
8 8
Populasi dan Sampel O Pada Contoh 1: Semua nasabah yang
terdaftar di bank AAA tersebut disebut populasi, sedangkan beberapa nasabah yang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah dua kategori nasabah pemegang kartu kredit yang mungkin, yaitu {macet, tidak macet} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(S) = 2.
Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian O Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas
pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.
Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) Contoh kejadian, mis kejadian E1 dimana dua aktifitas pengeboran tersebut sukses, maka E1 ={SS}; dan E2 dimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E2={ST,TS}.
Contoh 4 O Dilakukan survey dan pencatatan
tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan.
Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan (mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm, maka E2 = {x | 200 < x 600, x R} Perhatikan bahwa E2 S
Gabungan (Union) O Union dua peristiwa
E1 dan E2 ditulis
E1E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 atau di dalam E2
(termasuk di dalam keduanya jika ada). Contoh 5. Perhatikan Contoh 3.
Misal E1 adalah kejadian salah satu lokasi berhasil menemukan minyak, dan E2 adalah kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka E1 E2 = {ST,TS,TT}.
Irisan O Irisan dua peristiwa
E1 dan E2, ditulis
E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 dan di dalam E2.
Contoh 6. Perhatikan Contoh 2.
Misalkan E1: himpunan besar klaim lebih dari 2,65 juta, dan E2: himpunan besar klaim kurang dari 3,70 juta. Maka E1 ∩ E2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.
Komplemen O Komplemen suatu peristiwa
E1, ditulis
E1c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1.
Contoh 7. Perhatikan Contoh 4.
E2c= {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan tingkat curah hujan 0 sampai dengan 200.
Peluang O Peluang adalah cara matematis untuk
mengkarakterisir/menggambarkan ketidakpastian (to characterize uncertainty). O "Probability is not just a number, it's a structure of reasoning"
Peluang Suatu Kejadian O Prinsip dasar : frekuensi relatif O Jika suatu ruang sampel mempunyai
n(S ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen, maka probabilitas E adalah:
n( E ) P( E ) n( S )
Contoh 8 Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam hari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}
n( E ) 7 P( E ) n( S ) 12
17
Konsep Peluang Permutasi dan Kombinasi Banyak cara untuk menghitung anggota ruang sampel atau kejadian. O Permutasi adalah cara menyusun suatu objek dengan memperhatikan urutan penyusunan.
n! P n(n 1)...(n (k 1)) (n k )! n k
O Kombinasi adalah cara menyusun suatu objek
tanpa memperhatikan urutan penyusunan.
n n! C k k !(n k )! n k
Latihan (permutasi atau kombinasi?) O Calon Badan Pengurus himpunan O Calon Presiden dan Wakil Presiden
O Pasangan ganda putra Thomas cup
Latihan O Seorang mahasiswa menjawab 7 dari 10
pertanyaan dalam suatu ujian. Berapa banyak pilihan yang dia miliki? Berapa banyak pilihan yang dia miliki jika dia harus menjawab minimal 3 pertanyaan dari 5 pertanyaanpertama?
O Ada berapa carakah yang mungkin dilakukan
seorang bapak saat hendak memberikan 7 hadiah kepada 3anaknya, jika anak tertua mendapatkan 3 hadiah dan 2 anak yang lain mendapatkan masing-masing 2 hadiah?
Aksioma Peluang Peluang atau ukuran peluang P pada lapangan-σ (σ-field) 𝒜 adalah suatu pemetaan dari 𝒜 terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, untuk setiap A 𝒜 2. P(S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung (countable), kejadian saling lepas A1, A2, …, ∞
𝑃
∞
𝐴𝑖 = 𝑖=1
𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑖=1
Peluang O P(Ac) = 1 – P(A)
Bukti: Kejadian-kejadian A dan Ac saling lepas dan AAc = S. Jadi, 1 = P(S) = P(A Ac) = P(A) + P(Ac) atau P(Ac) = 1 – P(A) O Jika A B maka P(A) ≤ P(B) O P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)
Definisi Lapangan-σ Misalkan 𝒜 adalah koleksi dari subhimpunan dari S. 𝒜 dikatakan lapangan-σ (σfield) jika: 1. S 𝒜 2. Jika A 𝒜 maka Ac 𝒜 3. Jika 𝐴 = ∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 dan jika Ai 𝒜 untuk i=1,2,…, maka A 𝒜.
Contoh 9. Lapangan-σ Misalkan S = {00, 01, 10, 11}. Beberapa lapanganσ yang dapat didefinisikan atas ruang sampel tersebut adalah: O 𝒜0 = {∅, 𝑆} O 𝒜1 = {∅, 00 , 01, 10, 11 , 𝑆} O 𝒜2 = {∅, 00 , 11 , 01, 10, 11 , 00, 01, 10 , 00, 11 , 01, 10 , 𝑆} O 𝒜3 = {Ф, {00}, {01}, {10}, {11}, {00, 01}, {00, 10}, {00, 11}, {01, 10}, {01, 11}, {10, 11}, {01, 10, 11}, {00, 10, 11}, {00, 01, 11}, {00, 01, 10}, S}
Ruang Peluang O (S, 𝒜, P) disebut sebagai ruang peluang. O Misalkan ruang sampel S berupa selang tutup [-
3, 3] dan hanya ada dua kejadian yang dapat dideteksi yaitu A = [0, 3] dan Ac = [-3, 0). Maka lapangan-σ yang dapat dibentuk adalah: 𝒜 = {Ф, [-3, 0), [0, 3], [-3, 3]} O Ukuran peluang harus memetakan anggota 𝒜 ke selang unit [0, 1]. Dalam hal ini dapat didefinisikan: P(A) = P(Ac) = 1/2
Latihan Diketahui S = [-3, 3] dan partisi [-3, 3] = [-3, 0) [0, 1] (1, 3] maka O Bangun lapangan-σ yang mungkin? O Ukuran peuang P yang sesuai?
Contoh 10 O A manufacturer has five seemingly identical computer
a. b.
c. d.
e.
terminals available for shipping. Unknown to her, two of the five are defective. A particular order calls for two of the terminals and is filled by randomly selecting two of the five that are available. List the sample space for this experiment. Let A denote the event that the order is filled with two nondefective terminals. List the sample points in A. Construct a Venn diagram for the experiment that illustrates event A. Assign probabilities to the simple events in such a way that the information about the experiment is used and the axioms probability are met. Find the probability of event A.
Solusi
Latihan
Peluang Bersyarat O Peluang bersyarat (conditional
probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah dibatasi. event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah:
Jika
P( A B) P( B A) P( A)
31
Peluang Bersyarat O
32
Contoh
11
Warna pasir
Jenis pasir Halus
Kasar
Hitam
2
3
Abu-abu
2
4
Terang (putih, kuning)
1
2
P(Halus Hitam) 2 5 2 P(Halus| Hitam) = : P(Hitam) 14 14 5 33
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas O Dua kejadian
E dan F dikatakan saling
bebas (independent) jika berlaku:
P( EF ) P( E).P( F ) kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:
Dua
P( EF ) 0 34
Contoh 12 O Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai
kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah
kejadian terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa
E dan F saling bebas. Apakah E dan F saling lepas? 35
Solusi: Jawab:
P( EF ) 1/ 52
karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
P( E ) 4 / 52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge
P( F ) 13 / 52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati
4 13 52 1 P( E ).P( F ) . P( EF ) 52 52 52.52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
36
Peluang Bersyarat Banyak kejadian
B5
B1 A B1 A B2
S
B2
A B5 A B3
A A B4
B3
B4 37
Peluang Bersyarat Banyak kejadian
38
Aturan Bayes
39
Contoh 13 Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seorang pelanggan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik. b. Seorang pelanggan mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S. 40
Solusi
41
Latihan 1. Perusahaan asuransi XYZ mengklasifikasikan orang menjadi 3 kelompok: risiko rendah, risiko sedang dan risiko tinggi. Perusahaan mencatat bahwa peluang orangorang berisiko rendah, sedang dan tinggi untuk mengalami kecelakaan (dalam rentang satu tahun) adalah berturut-turut 0.05, 0.15 dan 0.30. Jika 20 persen dari populasi adalah orang berisiko rendah, 50 persen berisiko sedang dan 30 persen berisiko tinggi, berapa proporsi orang yang mengalami kecelakaan dalam suatu tahun tertentu? Jika seseorang tidak mengalami suatu kecelakaan, berapa peluang orang tersebut berasal dari kelompok risiko rendah?
2. Jika P(A|B) = 0,3, P(B) = 0,8 dan P(A) = 0,3. Selidiki manakah pernyataan yang mungkin benar: “kejadian A dan B adalah saling lepas” atau ““kejadian A dan B adalah saling bebas”. 3. Proporsi banyaknya orang di suatu komunitas yang mengidap suatu penyakit tertentu adalah 0,005. Suatu tes tersedia untuk mendiagnosis penyakit tersebut. Jika seseorang mengidap penyakit tersebut, peluang bahwa tes memberikan sinyal positif adalah 0,99. Jika seseorang tidak mengidap penyakit tersebut, peluang bahwa tes memberikan sinyal positif adalah 0,01. Jika tes memberikan sinyal positif, berapa peluang bahwa yang bersangkutan mengidap penyakit tersebut?
Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and
Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6th ed., Pearson: New Jersey, 2005. Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7th Ed., USA: Thomson, 2008. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 43 2000.
