DASAR-DASAR TEORI PELUANG

DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan

1

Ruang Peluang

Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra) pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i) ∅, Ω ∈ A (ii) jika A ∈ A, maka Ac ∈ A (iii) jika A1 , A2 , . . . ∈ A, maka ∪∞ k=1 Ak ∈ A. Definisi 1.2 Diberikan aljabar-σ pada Ω. Fungsi P : A → [0, 1] disebut ukuran peluang (probability measure) jika memenuhi: (i) P (∅) = 0 dan P (Ω) = 1 (ii) jika A1 , A2 , . . . ∈ A, maka P

∞ [

! Ak

≤

∞ X

P (Ak ).

k=1

k=1

Kesamaan berlaku jika A1 , A2 , . . . adalah barisan himpunan yang saling asing (disjoint) Catatan: Diberikan A aljabar-σ pada Ω dan P ukuran peluang pada A. • jika A1 , A2 , . . . ∈ A, maka ∩∞ k=1 Ak ∈ A • jika A1 , A2 , . . . , An ∈ A, maka ∪nk=1 Ak ∈ A, ∩nk=1 Ak ∈ A • jika A1 , A2 ∈ A dengan A1 ⊆ A2 , maka P (A1 ) ≤ P (A2 ) • jika A1 , A2 ∈ A, maka P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) 1

Definisi 1.3 Diberikan himpunan tak kosong Ω, aljabar-σ A pada Ω, dan ukuran peluang P pada A. (i) (Ω, A) disebut ruang terukur (measurable space) (ii) (Ω, A, P ) disebut ruang peluang (probability space) Catatan: Diberikan ruang peluang (Ω, A, P ) • A ∈ A disebut kejadian (event) dan ω ∈ Ω disebut titik sampel (sample point). Seringkali Ω disebut ruang sampel (sample space). • P (A) disebut peluang kejadian A • Sifat yang berlaku kecuali pada kejadian dengan peluang nol dikatakan berlaku hampir pasti (almost surely).

2

Peubah Acak

Definisi 2.1 Diberikan ruang peluang (Ω, A, P ). Fungsi X : Ω → Rn disebut peubah acak (random variable) jika untuk setiap B ∈ B(Rn ) berlaku X −1 (B) ∈ A. Catatan: • B(Rn ) adalah aljabar-σ Borel pada Rn , yakni aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan terbuka (open set) pada Rn . • Peubah acak X : Ω → Rn tidak lain adalah fungsi terukur-A − B(Rn ). • Dalam hal ini seringkali Rn disebut sebagai ruang keadaan (state space) dari X. Lema 2.2 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn . Koleksi A(X) := {X −1 (B) : B ∈ B(Rn )} adalah subaljabar-σ terkecil dari A sehingga X terukur. A(X) disebut aljabarσ yang dibangun (generated) oleh X. 2

Definisi 2.3 (i) Koleksi peubah acak {Xt = X(t) : t ≥ 0} disebut proses stokastik (stochastic process). (ii) Untuk setiap ω ∈ Ω, fungsi t 7→ Xt (ω) = X(t, ω) disebut lintasan sampel (sample path). Catatan: Proses stokastik dapat dipandang sebagai fungsi dua peubah X. (.) : [0, ∞) × Ω → Rn yakni (t, ω) 7→ Xt (ω) = X(t, ω). Definisi 2.4 Diberikan X peubah acak pada ruang peluang (Ω, A, P ). (i) Nilai harapan (expectation / expected value) dari X adalah Z X dP. E(X) := Ω

(ii) Variansi (variance) dari X adalah Z |X − E(X)|2 dP. V (X) := Ω

Catatan: • Nilai harapan disebut juga nilai rata-rata (mean value). • V (X) = E(|X − E(X)|2 ) = E(|X|2 ) − |E(X)|2 . Lema 2.5 Ketaksamaan Chebyshev Jika X peubah acak dan 1 ≤ p < ∞, maka P (|X| ≥ λ) ≤

1 E(|X|p ) λp

untuk setiap λ > 0. Bukti. Ambil sebarang p dengan 1 ≤ p < ∞ dan λ > 0, Z Z Z p p p p dP = λp P (|X| ≥ λ). E(|X| ) = |X| dP ≥ |X| dP ≥ λ Ω

{|X|≥λ}

{|X|≥λ}

3

Definisi 2.6 (i) Fungsi distribusi (distribution function) dari peubah acak X adalah fungsi FX : Rn → [0, 1] dengan FX (x) := P (X ≤ x), untuk setiap x ∈ Rn . (ii) Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X1 , . . . , Xn : Ω → Rn . Fungsi distribusi bersama (joint distribution function) dari X1 , . . . , Xn adalah FX1 ,...,Xm : (Rn )m → [0, 1] dengan FX1 ,...,Xm (x1 , . . . , xm ) := P (X1 ≤ x1 , . . . , Xm ≤ xm ). Definisi 2.7 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn dan fungsi distribusi dari X yaitu F := FX . Apabila ada fungsi tak negatif terintegral f : Rn → R sehingga Z x1 Z xn F (x) = F (x1 , . . . , xn ) = ... f (y1 , . . . , yn ) dyn . . . dy1 , −∞

−∞

maka f disebut fungsi kepadatan (density function) dari X. Catatan: • P (X ∈ B) =

R B

f (x) dx, untuk setiap B ∈ B(Rn ).

• Fungsi kepadatan terkait dengan konsep turunan Radon-Nykodim (RadonNikodym derivative). Contoh 2.8 1. Peubah acak X : Ω → R dikatakan berdistribusi normal (normally distributed) dengan rata-rata (mean) m dan variansi (variance) σ 2 , ditulis X ∼ N (m, σ 2 ), jika X mempunyai fungsi kepadatan |x−m|2 1 e− 2σ2 , x ∈ R. f (x) = √ 2πσ 2

4

2. Peubah acak X : Ω → Rn dikatakan berdistribusi normal dengan ratarata m ∈ Rn dan matriks kovariansi (covariance matrix) C, dengan C suatu matriks simetrik (symmetric) positif definit (definite positive), jika X mempunyai fungsi kepadatan f (x) =

((2π)n

1 1 −1 e− 2 (x−m)C (x−m) , 1/2 det C)

x ∈ Rn

Lema 2.9 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn dan fungsi distribusinya F mempunyai fungsi kepadatan f . Jika g : Rn → R dan Y = g(X) terintegral, maka Z g(x)f (x) dx. E(Y ) = Rn

Khususnya, Z E(X) =

xf (x) dx Rn

dan

Z V (X) =

|X − E(X)|2 f (x) dx.

Rn

3

Kebebasan

Definisi 3.1 Peluang bersyarat (conditional probability) dari A apabila diberikan B adalah P (A ∩ B) P (A|B) = , P (B) asalkan P (B) > 0. Definisi 3.2 Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) jika P (A ∩ B) = P (A).P (B). Definisi 3.3 Kejadian-kejadian A1 , . . . , An , . . . dikatakan saling bebas jika untuk setiap pemilihan 1 ≤ k1 < k2 < . . . < km berlaku P (Ak1 ∩ Ak2 ∩ . . . ∩ Akm ) = P (Ak1 )P (Ak2 ) . . . P (Akm ).

5

Definisi 3.4 Barisan aljabar-σ {Ai }i∈N dengan Ai ⊆ A dikatakan saling bebas jika untuk setiap pemilihan 1 ≤ k1 < k2 < . . . < km dan untuk setiap pemilihan kejadian Aki ∈ Aki , P (Ak1 ∩ Ak2 ∩ . . . ∩ Akm ) = P (Ak1 )P (Ak2 ) . . . P (Akm ). Definisi 3.5 Barisan peubah acak {Xi }i∈N dengan Xi : Ω → Rn dikatakan saling bebas jika untuk setiap k ≥ 2 dan untuk setiap pemilihan himpunan Borel B1 , . . . , Bk ∈ B(Rn ), P (X1 ∈ B1 , . . . , Xk ∈ Bk ) = P (X1 ∈ B1 ) . . . P (Xk ∈ Bk ). Dengan kata lain, barisan aljabar-σ {A(Xi )}i∈N saling bebas. Lema 3.6 Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X1 , . . . , Xm+n dengan Xi : Ω → Rk , g : (Rk )n → R, dan h : (Rk )m → R. Maka Y := g(X1 , . . . , Xn ) dan Z := h(Xn+1 , . . . , Xn+m ) saling bebas. Teorema 3.7 Peubah acak X1 , . . . , Xm : Ω → Rn saling bebas jika dan hanya jika FX1 ,...,Xm (x1 , . . . , xm ) = FX1 (x1 ) . . . FXm (xm ), jika dan hanya jika fX1 ,...,Xm (x1 , . . . , xm ) = fX1 (x1 ) . . . fXm (xm ), apabila F mempunyai fungsi kepadatan f . Teorema 3.8 Jika X1 , . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak bernilai real yang saling bebas dengan E(|Xi |) < ∞ untuk setiap i = 1, . . . , m, maka E(|X1 . . . Xm |) < ∞ dan E(X1 . . . Xm ) = E(X1 ) . . . E(Xm ). Teorema 3.9 Jika X1 , . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak bernilai real yang saling bebas dengan V (Xi ) < ∞ untuk setiap i = 1, . . . , m, maka V (X1 + . . . + Xm ) = V (X1 ) + . . . + V (Xm ). 6

Teorema P∞ 3.10 (Borel-Cantelli) Jika n=1 P (An ) < ∞, maka P (lim supn→∞ An ) = 0. Bukti. P (lim sup An ) = P n→∞

∞ [ ∞ \

! ≤P

Am

n=1 m=n

∞ [

! Am

≤

m=n

∞ X

P (Am ).

m=n

Selanjutnya ambil limit n → ∞. Catatan: • P (lim supn→∞ An ) seringkali dituliskan dengan P (An i.o.) yang berarti peluang kejadian An muncul tak hingga kali (i.o. = infinitely often). Definisi 3.11 Barisan peubah acak {Xn }n∈N yang didefinisikan pada ruang peluang yang sama dikatakan konvergen di dalam peluang (convergent in P probability) ke peubah acak X, ditulis Xn → X, apabila untuk setiap ε > 0 lim P (|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞ P

Teorema 3.12 Jika Xn → X, maka ada subbarisan {Xnj }j∈N sehingga Xnj → X hampir pasti. Bukti. Gunakan Borel-Cantelli.

4

Fungsi Karakteristik

Definisi 4.1 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn . Fungsi karakteristik ( characteristic function) dari X adalah
φX (λ) := E eiλX . Contoh 4.2 Jika X ∼ N (m, σ 2 ), maka φX (λ) = eimλ−

λ2 σ 2 2

.

Lema 4.3 (i) Jika X1 , . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak yang saling bebas, maka untuk setiap λ ∈ Rn φX1 +...+Xm (λ) = φX1 (λ) . . . φXm (λ). 7

(ii) Jika X adalah peubah acak bernilai real maka φ(k) (0) = ik E(X k ), k ∈ N0 . (iii) Jika φX (λ) = φY (λ) untuk setiap λ ∈ Rn , maka FX (x) = FY (x) untuk setiap x ∈ Rn . Catatan: • (iii) mengatakan bahwa fungsi karakteristik menentukan (”mengkarakterisasi ”) fungsi distribusi dari peubah acak.

5

Teorema Limit Pusat

Definisi 5.1 Barisan peubah acak {Xn }n∈N dikatakan berdistribusi secara identik (identically distributed) jika FX1 (x) = FX2 (x) = . . . = FXn (x) = . . . , untuk setiap x ∈ Rn . Teorema 5.2 Hukum Kuat Bilangan Besar/ Strong Law of Large Number Jika {Xn }n∈N adalah barisan peubah acak terintegral yang saling bebas dan berdistribusi secara identik, yang terdefinisi pada ruang peluang yang sama serta m := E(Xi ), maka   X 1 + . . . + Xn = m = 1. P lim n→∞ n Lema 5.3 Jika {Xn }n∈N adalah barisan peubah acak bernilai real yang saling bebas dan berdistribusi secara identik dengan P (Xi = 1) = p, P (Xi = 0) = q, p + q = 1, maka E(X1 + . . . + Xn ) = np dan V (X1 + . . . + Xn ) = npq. Teorema 5.4 Laplace-De Moivre Jika {Xn }n∈N adalah barisan peubah acak seperti pada Lema 5.3 dan Sn := X1 + . . . + Xn , maka untuk setiap a, b dengan −∞ < a < b < ∞,   Z b x2 Sn − np 1 lim P a ≤ √ ≤b = √ e− 2 dx. n→∞ npq 2π a 8

Jadi distribusi dari jumlahan Xn setelah dilakukan renormalisasi untuk akan konvergen ke distribusi normal standar N (0, 1) untuk n → ∞. Teorema 5.5 Teorema Limit Pusat/Central Limit Theorem Jika {Xn }n∈N adalah barisan peubah acak bernilai real yang saling bebas dan berdistribusi secara identik dengan E(Xn ) = m, V (Xn ) = σ 2 , dan Sn := X1 + . . . + Xn , maka untuk setiap a, b dengan −∞ < a < b < ∞,   Z b x2 1 Sn − nm ≤b = √ e− 2 dx. lim P a ≤ √ n→∞ 2π a nσ 2

Daftar Pustaka • Durret, R. 2010. Probability: Theory and Examples, 4th edition. Cambridge University Press. • Jacod, J. and Protter, P. 2003. Probability Essentials, 2nd edition. Springer Verlag.

9