Bab 3 Pengantar teori Peluang Istilah peluang atau kemungkinan, sering kali diucapkan atau didengar. Sebagai contoh ketika manajer dari sebuah klub sepak bola ditanya wartawan tentang hasil pertandingan yang akan dimainkan oleh timnya, maka manajer tersebut sering berkata ” peluang tim kami memenangkan pertandingan nanti fifty-fifty ”; dalam sebuah pertemuan, manajer pemasaran sebuah perusahaan mengatakan : ” Untuk tahun ini diperkirakan bahwa 90 % produk yang terlempar ke pasar akan terjual ” ; seorang ahli mesin mengatakan : ” mesin yang dirancang ini akan memiliki keandalan 98 % ”. Dan sebagainya. Dari beberapa contoh ini, muncul ketidakpastian. Hubungan dengan tahapan statistika inferensial, yaitu membuat kesimpulan dimana kesimpulan tersebut dibuat berdasarkan data sampel, maka terhadap kesimpulan yang dibuat adalah layak muncul pertanyaan : ” apakah kesimpulan yang dibuat sudah 100 % mencerminkan populasi ?”. Karena kesimpulan diambil dalam kondisi seperti ini maka, kesimpulan yang dibuat mengandung unsur ketidak pastian, sehingga kesimpulan yang dikemukakan memiliki tingkat keyakinan (peluang benar) atau tingkat (peluang keliru/salah). Oleh karena itu, dalam statistika diperlukan teori peluang.
3.1 Ruang Sampel
Jika dua buah dadu (bermata : 1,2,…6) dilempar satu kali, maka semua hasil (dari mata dadu yang nampak) yang mungkin ada 36 hasil yaitu (1,1) yang menyatakan “ kedua dadu menampakan mata 1”, (1,2) yang menyatakan “ dadu pertama nampak mata 1 dan dadu ke dua nampak mata 2”, dan seterusnya (lihat tabel 3.1). Totalitas semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan, disebut ruang sampel (sampel space), S.
Tabel 3.1 Ruang Sampel Percobaan Dadu Mata Dadu Ke-1
Mata Dadu ke-2 1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4) (6,5) (6,6)
Dalam tabel di atas Elemen dalam tiap sel menyatakan (disebut) titik sampel atau outcome atau hasil Kumpulan satu atau beberapa titik sampel dapat menyatakan ( membentuk) sebuah peristiwa atau kejadian atau event. Sebagai contoh, baris satu dengan elemen : (1,1), (1,2), …(1,6) adalah peristiwa “ nampak mata 1 dari dadu ke-1 “ ; kolom 3 dengan elemen : (1,3), (2,3), …(6,3) adalah peristiwa “ nampak mata 3 dari dadu ke-2”.
Dilihat dari jumlah titik-titik sampelnya, ruang sampel bisa bersifat terhingga atau tak terhingga, diskrit atau kontinu. Untuk percobaan dadu di atas, ruang sampelnya bersifat terhingga dan diskrit karena, semua anggota ruang sampel dapat diidentifikasi dan terbilang. Sedangkan jika dilakukan percobaan mengukur masa pakai sejenis kendaraan maka S Є [0,∞) yang berupa ruang sampel tak terhingga dan kontinu karena, anggotanya banyak sekali dan terukur. Ruang sampel dan peristiwa dapat digambarkan sebagai diagram venn. Sebagai contoh, di dalam sebuah ruang sampel S terdapat sebuah peristiwa A, dalam diagram venn diperoleh:
Gambar 3.1. Diagram Venn
S
A
1. 2. 3.
4.
5.
Misal A dan B adalah dua peristiwa dalam S. Hubungan yang mungkin terjadi antara peristiwa A dan peristiwa B adalah : Komplementer, Jika B menyatakan “terjadi bukan peristiwa A ( Ac)” Bersyarat (conditional), jika “terjadi B menjadi syarat terjadinya A ( A|B) atau sebaliknya”. Saling bebas (independent), jika “terjadi atau tidak terjadinya peristiwa B tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa A, atau sebaliknya” Saling asing (mutually exclusive), jika “ terjadinya B mencegah terjadinya A atau sebaliknya ( A dan B tidak bisa terjadi secara bersamaan). Jadi A atau B ( A B) saja “ Inklusif, jika “ A terjadi atau B terjadi atau keduanya terjadi (A B )”
Diagram venn berikut menyatakan hubungan di atas,
Ac A A
A
B
B
Definisi 3-1 (peluang klasik) Jika dalam ruang sampel S dengan anggota sebanyak n titik sampel, atau N(S) = n .Terdapat peristiwa E dengan anggota sebanyak x titik sampel, atau N(E) = x. Maka peluang E terjadi. (3.1) ..... P(E) = [ N(E)] / [ N(S)] = x/n Definisi 3-2 (peluang empirik ): Peluang terjadinya sebuah peristiwa E adalah proporsi frekuensi terjadinya E (dalam jangka panjang) diantara peristiwa lain yang mungkin terjadi Aksioma : 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 untuk setiap dalam S 2. P(S) = 1 3. Jika A dan B dua peristiwa dalam S yang saling asing, maka peluang A atau B terjadi adalah (3.2) ..... P ( A B ) = P(A) + P(B).
Dalam definisi peluang di atas, terdapat kata “anggota” yang merupakan jumlah titik sampel dari sebuah ruang sampel dan peristiwa. Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini dikemukakan beberapa teori untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin terjadi dari sebuah ruang sampel atau peristiwa.
Dalil 3.1 Jika himpunan A1,A2,…Ak masing-masing beranggota n1,n2,…nk elemen, maka ada sebanyak n1 x n2, … ,x nk cara yang dapat dilakukan untuk memilih, pertama : satu elemen A1, kedua : satu elemen A2, …, terakhir : satu elemen Ak Dalil 3.2 : Jumlah permutasi dari r objek yang dipilih dari n objek yang berbeda adalah n! n r!
(3.3)... nPr =
Dalil 3.3 : Banyaknya cara memilih r objek yang berbeda adalah n n! (3.4) … r
r! n r !
Dimana n ! = n( n-1 )( n-2 ) …1 dan 0! = 1 ( aksioma)
Contoh : 3.1 • Ruang sample pada pelemparan sebuah dadu , bila yang diselidiki ialah nomor yang muncul, maka ruang sampelnya • D1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Bila pengamatan pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil , maka ruang sampelnya • D2 = { ganjil , genap}.
Contoh : 3.2 • Ruang sample yang berisi informasi dari tiga produk yang diambil secara acak dari suatu proses produksi di pabrik. Kemudian setiap produk tersebut diperiksa apakah cacat ( C ) atau tidak cacat ( T ). • Sangat membantu bila dirinci semua anggota ruang sample secara sistematis melalui sebuah diagram pohon.
Soal :
Misalkan A = { 1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 7}, maka : A B= A B= c. Misalkan R adalah kejadian seseorang yang dipilih secara acak selagi makan disuatu kantin dekat kampus adalah seorang mahasiswa dan S menyatakan kejadian bahwa seseorang yang terpilih tinggal di asrama. Himpunan semua mahasiswa yang makan dikantin tersebut dan tinggal di asrama adalah : d. Misalkan P = { a, i,e, o ,u} dan Q = { r.s,t }; maka P Q adalah : e. Misalkan P = { a,b,c } dan Q = { b,c,d,e } maka P Q adalah :
