PROBABILITAS dan STATISTIKA
DASAR-DASAR TEORI PELUANG
MK. STATISTIKA Konsep Dasar Probabilitas
Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random Random – fenomena/eksperimen dimana keluaran individual tidak pasti tetapi ada distribusi yg regular dari keluaran utk jumlah pengulangan yang banyak Probabilitas – proporsi berapa kali suatu keluaran spesifik akan muncul dlm suatu serie pengulangan yang panjang dari suatu eksperimen
KONSEP DASAR PELUANG = PROBABILITAS Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-Konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskrit
Pengertian Probabilitas dan Manfaat Probabilitas
Pendekatan Terhadap Probabilitas Hukum Dasar Probabilitas
Distribusi Normal
Teorema Bayes
Teori Keputusan
Menggunakan MS Excel Untuk Probabilitas
Konsep Dasar Probabilitas Definisi: Probabilitas adalah peluang suatu kejadian
Manfaat: Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh: • pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham • peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dll.
Konsep Dasar Probabilitas Probabilitas: Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Percobaan: Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Hasil (outcome): Suatu hasil dari sebuah percobaan. Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.
PENGERTIAN PELUANG Contoh:
Percobaan/ Kegiatan
Pertandingan sepak bola Persita VS PSIS di Stadion Tangerang, 5 Maret 2003.
Hasil
Persita menang Persita kalah Seri -- Persita tidak kalah dan tidak menang Persita Menang
Peristiwa
PENDEKATAN PROBABILITAS
1. Pendekatan Klasik
2. Pendekatan Relatif
3. Pendekatan Subjektif
PENDEKATAN KLASIK Definisi: Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Rumus: Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa
jumlah total kemungkinan hasil
8
PENDEKATAN KLASIK Percobaan
Hasil
Probabilitas
Kegiatan melempar uang
1. Muncul gambar 2. Muncul angka
2
½
Kegiatan perdagangan saham Perubahan harga
1. Menjual saham 2. Membeli saham
2
½
1. Inflasi (harga naik) 2. Deflasi (harga turun)
2
½
Mahasiswa belajar
1. Lulus memuaskan 2. Lulus sangat memuaskan 3. Lulus terpuji
3
1/3
PENDEKATAN RELATIF
Definisi: Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi. Rumus:
Probabilitas =
jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa jumlah total percobaan
Contoh:
PENDEKATAN SUBJEKTIF
Definisi:
Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan.
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS A. Hukum Penjumlahan P(A ATAU B) = P(A) + P(B) Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60
Peristiwa atau Kejadian Bersama A
AB
B
P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB) Apabila P(AB) = 0,2, maka , P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS • Peristiwa Saling Lepas P(AB) = 0 Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B)
A
• Hukum Perkalian P( A DAN B) = P(A) X P(B) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875 • Kejadian Bersyarat P(B|A) P(B|A) = P(AB)/P(A)
B
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS • Hukum Perkalian P( A DAN B) = P(A) X P(B) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
• Kejadian Bersyarat P(B|A) P(B|A) = P(AB)/P(A)
• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event) P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
DIAGRAM POHON Keputusan Jual atau Beli Probabilitas Bersyarat
Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa
Jual
1
0,6
Jenis Saham
Probabilitas bersama 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21
BCA
0,35
BLP
0,40
1 x 0,6 x 0,40 = 0,24
BNI
0,25
1 x 0,6 x 0,25 = 0,15
BCA
0,35
1 x 0,4 x 0,35 = 0,14
BLP
0,40
1 x 0,4 x 0,40 = 0,16
0,25
1 x 0,4 x 0,25 = 0,10
Beli
BNI
Jumlah Harus = 1.0
0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0
TEOREMA BAYES Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. Rumus:
P(Ai|B) =
P(Ai) X P (B|Ai) P(A1) X P(B|A1)+P(A2) X P(B|A2) + … + P(Ai) X P(B|AI)
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG • Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok). Factorial = n!
• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek). Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!
• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Permutasi nPr = n!/ (n-r)!
Apakah Probabiltas? • Frekuensi relatif jangka panjang
– Jika melempar coin, frekuensi relatif dari “head” tidak menentu utk 2, 5 atau 10 pelemparan – Jika pelemparan suatu coin dilakukan bbrp ribu kali, frekuensi relatif tetap stabil
• Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yg terjadi thd frekuensi relatif setelah pengulangan sejumlah tak hingga eksperimen random
Probabilitas dari “Head” • Probabilitas didasarkan pd frekuensi relatif jangka panjang
Model Probabilitas • Sample Space - set dari semua keluaran (outcomes) yg mungkin dari eksperimen random (S) • Event – suatu keluaran (outcome) atau satu set outcomes dari suatu eksperimen • Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yg memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara 0 dan 1 • Probabilitas dari semua outcomes yg mungkin (yaitu sample space) harus sama dg 1
Model Probabilitas • Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu • Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6} • Event:
A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, D= {muncul angka 2}
• Ukuran Probabilitas: P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
Aturan-Aturan Probabilitas • Probabilitas dari sembarang event P(A) hrs memenuhi 0 < P(A) < 1
• Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tdk terjadi P(Ac) = 1 - P(A) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3 • Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common outcomes) P (A or B) = P(A) + P (B) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
Aturan-Aturan Probabilitas • Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui bhw salah satu terjadi/muncul tdk mengubah probabilitas yg lain muncul P (A and B) = P(A)*P(B) Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 6/36 = 1/6 dan P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B) = 1/36 = P(A) P(B) menunjukan independence
Aturan-Aturan Probabilitas • Multiplication Rule Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang dadu S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 4/36 = 1/9 dan P(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36 tdk sama P(A) P(B) = 1/54 menunjukan dependence
Aturan-Aturan Probabilitas • Contoh: suatu web site memp tiga server A, B, dan C, yg dipilih secara independent dg probabilitas: P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼. (a) Cari probabilitas A atau B dipilih P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4 (b) Cari probabilitas A tdk dipilih P(Ac) = 1 – P(A) = ¾ (c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali P(AA) = P(A)P(A) = 1/16 (d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
Peluang Bersyarat = Conditional Probability • Utk dua event A dan B probabilitas dari event A diberikan bhw event B telah terjadi dinyatakan: P(A|B) dan ditentukan dg P (A|B) = P(A and B)/P(B)
Contoh: Lempar satu dadu S = {1,2,3,4,5,6}. mis A ={2}, B={bil genap} = {2,4,6}, P(A|B) = P(A and B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3
Bayes Rule • Utk dua event A dan B yg mempartisi sample space, yaitu (A atau B) = S dan event ketiga C ditentukan di atas A dan B
Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1) (1,2), …. (6,6)} 36 kemungkinan outcomes. Mis A ={jumlah dadu 9 atau lebih besar}, A = {(6,3),(5,4), (4,5), (3,6), (6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6)} B = Ac = {jumlah dadu 8 atau kurang} = {(1,1) , (1,2,) ….(6,2), …(2,6)} --cat P(A) = 10/36 dan P(B) = 26/36
Bayes Rule • Mis C event jumlah dari dadu adalah bil genap {2,4,6,8,10,12}, P(C|A) =4/10 dan P(C|B) = 14/26
PEUBAH ACAK • Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random didefinisikan pd sample space S • Contoh: Mis X, bilangan jumlah dari head pd pelemparan dua coin yg fair. Sample space S dari eksperimen adalah: S ={(t,t),(t,h),(h,t),(h,h)} dimana t menunjukan tail dan h menunjukan head
PEUBAH ACAK • Suatu random variable X dikarakteristikan oleh salah satu: – probability density function (pdf): f(x) – cumulative density function (cdf):
• Contoh: perhatikan random variable X, yg merupakan jumlah head pd pelemparan dua coin – f(x) diberikan dg P{X = 0} = .25; P{X=1} = .5 ; P{X=2} = .25 – F(x) diberikan dg
Probability Density Function • Formula matematis • Memperlihatkan semua harga, X, & frekuensi, f(X) – f(X) adalah probability density function (pdf)
• Properties – Area di bawah kurva = 1 – Mean (µ) – Standard Deviation ()
Tipe-Tipe Peubah Acak • Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random didefinisikan pd sample space S – Jika S adalah terbatas (finite) atau dp dihitung (countable) X adalah suatu discrete random variable (mis., jumlah head pd pelemparan dua coin) – Jika S adalah kontinyu X adalah suatu random variable kontinyu (mis., waktu antar queries ke suatu server database)
Tipe-Tipe Peubah Acak • Jika X discrete random variables maka
• Jika X continuous random variables maka
Peubah Acak Diskrit • Discrete Random Variables yg umum: – Bernoulli, Geometric, Binomial dan Poisson
• Bernoulli – memodelkan eksperimen spt toss suatu coin – X adalah suatu indicator function – X = 1 sukses; X = 0 gagal
Spt coin toss dg probabilitas p mendpkan head, 1-p mendpkan tail
Peubah Acak Diskrit • Geometric – memodelkan jumlah percobaan X sampai sukses pertama pd suatu deretan percobaan Bernoulli trials P{X = x} = f(x) = (1-p)x-1p; dimana x = 1,2,3, …
Mean = 1/p Variance = (1-p)/p2 Sbg contoh, memodelkan jumlah tail yg terlihat sblm head pertama pd suatu deretan coin tosses
Peubah Acak Diskrit • Binomial – memodelkan jumlah sukses X pd n percobaan/trials. Mis p menyatakan probabilitas sukses pd 1 trial, probabilitas dari k sukses diberikan dg
Mean = np, Variance = np(1-p) Tabel pd textbook memp macam-macam harga dari P(X = k)
Contoh : Peubah Acak Kontinyu Eksperimen
Random Variable
Harga Yg Mungkin
Berat mahasiswa ITB Berat
43.2, 78, … Kg
Umur hidup battery
900, 875.9, … jam
Jam
Lama panggilan Lama panggilan telepon Waktu antar Waktu antar kedatangan paket ke kedatangan router
3.2, 1,53, … menit 0, 1.3, 2.78, … det
Contoh : Peubah Acak Kontinyu
Continuous Random Variable • Continuous Random Variables yg umum: – Exponential, Uniform, Normal
• Exponential – memodelkan waktu antar kedatangan, lama waktu pelayanan (mis., waktu dari panggilan telepon), mis X suatu exponential random variable dg mean a.
Peubah Acak Kontinyu • Uniform – memodelkan kasus “equally likely”. Mis. X uniform random variable antara a dan b – yaitu X akan mempunyai harga antara a dan b dengan kemungkinan “equally likely”
Peubah Acak Kontinyu • Normal – Normal random variable memodelkan fenomena random alamiah utk jumlah yg besar. Mis X suatu normal random variable
• Standard Normal Z adalah kasus dimana: Mean = 0, Variance = 1.
Nilai Z & Peluang • Normal Distribution • Hubungan langsung antara persentase dan probabilitas • Persentase dari kurva normal dp di- rephrased sbg problem probabilitas
Nilai Z & Peluang
• Berapakah probabilitas bhw pekerja pabrik yg dipilih random akan melaksanakan test dibawah 81 seconds atau diatas 75 seconds?
Suatu konsultan menyelidiki waktu diperlukan pekerja pabrik utk assemble suatu part stlh mereka ditraining Konsultan menentukan bhw waktu dlm detik terdistribusi normal dg mean µ = 75 seconds dan standard deviation = 6 seconds. P(X<x) = P(Z
P(75 < X < 81)
P(75 < X < 81)
Momentum • Ekspektasi E[x] atau mean atau first moment dari suatu random variable X di definisikan dg
Moment lebih tinggi didp dg mengganti x dg xn
Ragam , Mode, Quantil • Variance didefiniskan sbg
• Mode adalah titik dimana f(x) adalah maximum • Quantile – quantile dari X ditulis x adalah titik pd X dimana F(x) =
• Cat. 0,5 quantile disebut median dimana 50% harga pd kedua sisi
Aturan-Aturan untuk Peubah Acak • Aturan utk Means – Suatu transformasi linier dari suatu random variable menghasilkan suatu linear scaling dari mean. Yaitu jika X adalah suatu random variable dg mean µX dan a dan b adalah konstanta maka jika Y = aX + b mean dari Y diberikan oleh µY = aµX + b – Mean dari sum dari suatu set dari random variables adalah sum dari individual mean. Yaitu jikaf X dan Y adalah random variables maka µX+Y = µX + µY
Aturan-Aturan untuk Peubah Acak • Aturan utk Variances – Suatu transformasi liniear dari suatu random variable menghasilkan suatu squared scaling dari variance. Yaitu jika X adalah suatu random variable dg variance x2 dan a dan b adalah konstanta maka jika Y = aX + b variance dari Y diberikan oleh y2 = a2 x2 – Variance dari sum dari suatu set dari independent random variables adalah sum dari individual variances. Yaitu jika X dan Y adalah random variables maka x+y2 = x2 + y2
Statistik Inferensial • Menggunakan teori probabilitas utk membuat kesimpulan mengenai suatu populasi dari data sampel • Tdk dp memperoleh data dari setiap anggota populasi maka menguji suatu sampel random dari populasi dan berdasarkan statistik dari sampel menyimpulkan mengenai parameter dari populasi
Statistik Inferensial • Statistical Inference: menggunakan statistik dari suatu sampel random utk menyimpulkan mengenai parameter dari suatu populasi – Sbg contoh menguji mean x dari sampel utk menyimpulkan mean dari populasi µ – Perlu mengerti bagaimana perubahan statistik dengan tiap sampel
• Sample Distribution: distribusi probabilitas dari suatu statistik (spt mean, standard deviation) dari semua sampel yg mungkin dari ukuran yg sama dari suatu populasi
Distribusi Sampel dari Counts dan Proporsi • Perhatikan suatu sampel random tetap (fixed) ukuran n dari observasi independen dari suatu populasi. Tiap observasi jatuh kedalam satu dari dua kategori, “sukses” atau “gagal” – Probabilitas suatu “sukses” (p) sama utk tiap observasi – Probabilitas suatu “gagal” (1-p)
• Mis X menyatakan count dari jumlah sukses dalam suatu sampel ukuran n. X memp distribusi Binomial
Distribusi Sampel dari Counts dan Proporsi • Ingat distribusi Binomial memodelkan jumlah sukses X dlm n percobaan Bernoulli dan memp. Mean = np, Variance = np(1-p) • Dg n bertambah besar distribusi dari X mendekati distribusi Normal dg mean dan variance
Distribusi Sampel dari Counts dan Proporsi • Utk estimasi probabilitas atau proportion dari suatu populasi p kita uji sample proportion:
dimana X adalah jumlah dari “sukses” dlm suatu sampel ukuran n • adalah estimasi unbiased dari population proportion p. • Jika ukuran sampel n besar, mendekati suatu distribusi Normal dg
Sample Distribution of Means • Perhatikan suatu sampel random ukuran tetap n dari suatu populasi dg mean µ dan standard deviation . Distribusi dari sample mean x (jika dihasilkan dari repeated random samples) memp. mean = µ dan standard deviation • Jika populasi memp. distribusi Normal maka distribusi dari sample mean adalah Normal • Dari Central Limit Theorem – distribusi dari suatu sum dari random variables mendekati distribusi Normal jika jumlah terms dlm sum menjadi besar
Central Limit Theorem
Central Limit Theorem • Central limit theorem menyatakan bhw dg bertambah besarnya ukuran sampel n, tdk tergantung pd distribusi populasi, distribusi dari sample mean mendekati distribusi Normal utk ukuran sampel yg besar, dg mean = µ dan standard deviation =
Tipe-Tipe Statistik Inferensial • Confidence Intervals: mengestimasi harga suatu parameter populasi dg suatu harga rentang – Berapakah mean IQ dari mahasiswa SIT ITB? – Berapakah proporsi dari switches pd suatu network perlu perbaikan? • Hypothesis Testing: menilai bukti yg disediakan data menyetujui suatu claim mengenai populasi – Apakah mean IQ dari mhs SIT ITB sama dg dg IQ populasi secara umum? – Apakah proporsi switches yg memerlukan perbaikan pd jaringan Telkom berbeda dg proporsi pd jaringan Indosat?
Titik Estimasi • Menyediakan harga tunggal/single value, mis., sample mean, sample proportion – Berdasarkan observasi dari 1 sample • Tdk memberikan informasi mengenai seberapa dekat harga point estimate thd parameter populasi yg tdk diketahui • Contoh: Sample mean X = 22.9 adalah point estimate dari mean populasi yg tdk diketahui µ
Selang Estimasi • Menyediakan nilai interval (a, b) dimana parameter populasi µ diprediksi berada – Interval berdasarkan observasi dari 1 sampel
• Memberikan informasi mengenai seberapa dekat dari estimasi ke parameter populasi yg tdk diketahui – Dp dinyatakan sbg
– Atau dinyatakan dlm terms probabilitas, (confidence level)
Tingkat Kepercayaan • Nilai adalah probabilitas bhw parameter tidak berada dalam interval (a,b) • 100(1 - ) % adalah confidence level dan adalah kemungkinan bhw parameter populasi yg tdk diketahui jatuh dlm interval (a,b)
• Nilai tipikal adalah = .1, .05, .01 yg memberikan confidence levels masing-masing 90%, 95%, dan 99% • Contoh: Mean populasi yg tdk diketahui terletak antara 50 & 70 dg 95% confidence
Element Kunci dari Selang Estimasi
Selang Kepercayaan : Proses
Selang Kepercayaan untuk Rataan Populasi • Asumsi – Standard deviation populasi diketahui • Ukuran sampel n cukup besar shg hasil central limit theorem dp diaplikasikan dan sample mean distribution dp diperkirakan dg distribusi normal. Aturan umum (Rule of thumb) utk ukuran sampel adalah (n ≥ 30)
• 100(1-) % confidence interval pd sample mean diberikan oleh
Selang Kepercayaan untuk Rataan Populasi
• Catatan – x adalah sample mean. – Z(1-/2) adalah nilai standard normal value dimana /2 adalah tail ke sebelah kanan dari nilai Z – adalah standard deviation populasi – n adalah ukuran sampel
Contoh: Confidence Interval utk Population Mean • Suatu retailer e-commerce spt Amazon.com, ingin melakukan studi waktu rata-rata (mean time) yg diperlukan utk memproses dan mengapalkan pesanan. Suatu random sample dari waktu utk proses dan mengapalkan 33 pesanan dikumpulkan dan dinyatakan sbg n dlm jam di bawah. Dari data yg lalu standard deviation dari populasi = 9 {23, 33, 14, 15, 42, 28, 33, 45, 23, 34, 39, 21, 36, 23, 34, 36, 25, 9, 11, 19, 35, 24, 31, 29, 16, 23, 34, 24, 38, 15, 13, 35, 28} • Tentukan 90% confidence interval dari rata-rata waktu proses dan pengapalan pesanan. – sample mean x adalah = 26.9091, ukuran sampel n = 33 pd 90% confidence level Z(1-/2) = Z.95 = 1.645
Contoh: Confidence Interval utk Population Mean • Krnnya confidence interval adalah menghasilkan
Cat margin of error kadang-kadang diekspresikan sbg persentase dari estimasi. Utk contoh e-commerce: margin of error % = 100 * (2.577 / 26.9091) = 9.57% • Juga confidence interval dp diekspresikan sbg (24.332, 29.486) yg dp diinterpretasikan sbg P(24.332 < µ < 29.486) = .9
SELANG KEPERCAYAAN = Confidence Intervals • Trade off antara confidence level 100(1-) % dan margin of error – Lebih tinggi confidence lebih tinggi harga Z lebih besar margin of error
• Contoh proses dan pengiriman pemesanan e-commerce. Suatu 95% confidence interval memp. Z = 1.96 (dimana 90% memp Z = 1.645) dan sbg hasil
Selang Kepercayaan • Margin of error juga tergantung pd ukuran sampel n, lebih besar n makin kecil margin of error • Utk confidence interval pd population mean, margin of error berkurang setengahnya utk tiap pertambahan faktor 4 pd ukuran sampel
• Utk contoh e-commerce jika utk 90% confidence interval ukuran sample adalah 4 kali lebih besar (yaitu 132) dg mean dan standard deviation yg sama interval akan
Selang Kepercayaan • Cat utk margin of error yg diinginkan m kita dp tentukan ukuran sampel yg diperlukan n utk mencapai m. Kita mendpkan
• Utk contoh e-commerce pd 90% confidence level jika diinginkan margin of error 3%, m.x = .03 x 26.9091= .80727 dan selesaikan utk ukuran sampel n
Cat perlu 337-33= 304 tambahan observasi
Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi • Dari aproksimasi Normal pd distribusi Binomial kita dapatkan 100(1- )% confidence interval pd suatu population proportion sbg
dimana Z1- /2 adalah /2 critical point dari standard distribusi Normal
Confidence Interval utk Proportion of population
• Contoh: Perhatikan suatu link komunikasi satelit. Spy dp mengestimasi packet error rate pd link kita transmit 5000 packets dan observasi bhw 23 diterima error. Tentukan 90% confidence interval pd packet error probability. Dari, Z.95 = 1.645, n = 5000,
• Krnnya 90% confidence interval utk packet error probability diberikan oleh (.0030, .0062)
Confidence Interval utk Quantile of population • Quantile: Harga xq dimana CDF mempunyai harga q disebut qquantile atau 100-q-percentile
• 50-percentile (atau 0.5-quantile) disebut median • Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu sorted order list x1, x2, x3, …, xn adalah
* dibulatkan ke integer terdekat
Confidence Interval utk Quantile of population • 100(1-)% confidence interval pd suatu harga populasi q-quantile xq adalah
dimana
Confidence Interval utk Quantile of population • Contoh: 45 titik data (n=45) • 6, 6, 7, 8, 8.5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 42, 43, 46, 47, 47.5, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 81, 83, 84, 88, 93, 97, 103, 108, 111, 116, 134 Cari 90% c.i. pd 0.5 quantile. Posisi dari 0.5 quantile = (45-1)*0.5 + 1 = 23 x0.5 = 47.5
• Krnnya, 90% c.i. pd x0.5 = (41, 59)
Tugas (kumpulkan minggu depan) 1. Perhatikan N mobile phones dlm suatu cell. Tiap phone mungkin berusaha utk transmit data pd suatu kanal shared time slot. Tiap transmisi terjadi tepat pd satu slot, dan tdk ada pencegahan collision digunakan serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg probabilitas p, independen thd phone lainnya. a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong, yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone? b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses, yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit. c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot, yaitu dua atau lebih phone berusaha transmit pd slot yg sama?
Tugas (cont.) 2. Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu koneksi utk di-set up utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup request tiba, suatu access network node akan menentukan apakah menerima permintaan atau menolak berdasarkan ketersediaan resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha sampai 10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan call-setup memp. probabilitas 0.02 utk diterima dan usaha permintaan panggilan adalah independent. a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd usaha pertama? b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima adalah usaha yg ke-empat? c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha bagi user utk koneksi? d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah? e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk koneksi?
Tugas (cont.) 3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi web-based, dari 3000 transaksi terdistribusi normal dg mean 66 sec dan standard deviation 3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri dari 25 transaksi didapat, a). berapakah mean dan standard deviation yg diharapkan sbg hasil dari mean dari distribusi sampling? b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa mengharapkan mean: (i) antara 64.8 dan 66.3 sec dan (ii) kurang dari 64.4 sec?
