1
Peluang & Aturan Bayes MA 2081 STATISTIKA DASAR 5 Februari 2014 Utriweni Mukhaiyar
2
Eksperimen Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik): • Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. • Proporsi p keberhasilan dapat p diketahui dari hasil-hasil sebelumnya. • Bisa diukur (diamati). • Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error.
3
Ruang Sampel Ruangg sampel p S , yyaitu himpunan p dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). (statistik)
4
Ruang Sampel Diskrit A. Diskrit: banyaknya (number) anggota pada S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). ) Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. Contoh 1. S p pada (p (percobaan)) p pemeriksan produksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan g g sebagai g p pasangan g sepatu p rusak atau tidak .
5
Ruang g Sampel p Kontinu B K B. Kontinu: ti anggota t dari d i S tsb t b adalah d l hb bagian i dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan m), m) misalnya S = {x: 2 < x < 4}. Jika kita pilih hari-hari secara acak, maka mungkin ditemukan hari-hari hari hari dengan tinggi pasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.
6
Kejadian j ((Event)) • Himpunan bagian (subset) dari suatu ruang sampel S . • Notasi untuk even (kejadian) umumnya huruf kapital, kapital misal A A, B B, dan lain-lain lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan barisan, misal E1, E2, ......dst. dst
7
Ruang Sampel dan Kejadian • Ruang sampel, dinotasikan S Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Kontinu
S= {
,
, ... ,
}
E Event t (kejadian) (k j di )
E = {
,
,
} 7
8
Populasi dan sampel • Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot yang ada di pabrik AAA disebut populasi, sedangkan beberapa pasang sepatu boot yang diambil di bil disebut di b t sampel. l Ruang R sampel pada contoh ini adalah semua keadaan p pasang g sepatu p boot y yang g mungkin, g , yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung, dihitung yaitu ada 2 buah buah, n(S) = 2. 2
Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian • Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi y yang g bersangkutan. g Tentukan ruang g sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya. Jawab: J b
Ruang sampelnya R l adalah d l hS = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) ( ) Contoh kejadian, mis kejadian E1 dimana dua aktifitas pengeboran tersebut sukses, maka E1 ={SS}; dan E2 dimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E2={ST,TS}.
9
Contoh 4 • Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan. pegunungan Jawab:
Misalkan X : tingkat g curah hujan j (mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm mm, maka E2 = {x | 200 < x 600, x R} Perhatikan bahwa E2 S
10
11
G b Gabungan •U Union i d dua peristiwa i ti E1 dan d E2 ditulis dit li E1E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 atau di dalam E2 (termasuk di dalam keduanya jika ada). Contoh.
Perhatikan Contoh 3. Misal E1 adalah kejadian salah satu lokasi b h il menemukan berhasil k minyak, i k dan d E2 adalah d l h kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka E1 E2 = {ST,TS,TT ST TS TT}. }
12
Irisan • Irisan dua peristiwa E1 dan E2, ditulis E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 dan di dalam E2. Contoh.
Perhatikan Contoh 2.
Misalkan E1: himpunan tinggi pasang maksimum lebih dari 2,65 m, dan E2: himpunan tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E1 ∩ E2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.
13
Komplemen • Komplemen suatu peristiwa E1, ditulis E1c, adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1. Contoh.
Perhatikan Contoh 4.
E2c= {0 ≤ x ≤ 200}, 200} yaitu himpunan tingkat
curah hujan 0 sampai dengan 200.
14
Peluang g Suatu Kejadian j • Prinsip dasar : frekuensi relatif • Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S ) elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen maka probabilitas E adalah: elemen,
n( E ) P( E ) n( S )
15
C Contoh h5 • Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) Kantor hari). K t tempat t t pengusaha h tersebut t b t bekerja b k j 7h harii d dalam l 1 minggu. i Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari, hari maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}
n( E ) 7 P( E ) n( S ) 12
16
Aksioma Peluang 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.
2 P(S) = 1 2. 1. 3. Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku: lepas,maka
P(E1E2 ) = P(E1) + P(E2) 4 Jika E1, E2,…,E 4. En adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku :
P(E1E2…En) = P(E1) + P(E2) + +…+ + P(En)
Peluang Bersyarat • Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat y karena eventnya y sudah dibatasi. event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang p g bersyaratnya y y adalah:
Jika
P( A B) P( B A) P( A)
17
18
Peluang g Bersyarat y • Dalam P(B|A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B. Jika
A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka bebas, P(B|A) = P(B)
19
C t h6 Contoh Warna pasir
Jenis pasir Halus
Kasar
Hitam
2
3
Abu-abu
2
4
Terang (putih, kuning)
1
2
P(Halus Hitam) 2 5 2 P(Halus| Hitam) = : P(Hitam) 14 14 5
20
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas • Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:
P ( EF ) P ( E ). ) P( F ) kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:
Dua
P ( EF ) 0
21
Contoh 7 7-• Sebuah S kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian t ilih gambar terpilih b hati. h ti Tunjukkan T j kk b bahwa h E dan d F saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?
22
--Contoh Contoh 7 Jawab:
P( EF ) 1/ 52
karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
P( E ) 4 / 52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge
P( F ) 13 / 52
karena terdapat 13 kartu bergambar hati
4 13 52 1 P ( E ).P ( F ) . P ( EF ) 52 52 52.52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
23
Peluang Bersyarat Banyak kejadian
B5
B1 A B1 A B2
S
B2
A
A B5 A B3
A B4
B3
B4
Peluang Bersyarat Banyak k kejadian k d
24
25
Aturan Bayes
26
Contoh 8 Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel II, 50% di Hotel B B, dan 30% di Hotel S S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya y tidak baik. b. Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S.
27
Solusi
28
R f Referensi i Dekking g F.M., et.al., A Modern Introduction to Probabilityy and
Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, Data USA: Duxbury Press, Press 1997. 1997 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: P Penerbit bit ITB, ITB 1995. 1995 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
