1|
PELUANG Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah Menentukan ruang sampel suatu percobaan Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya Tujuan Pembelajaran : Menyusun aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi Menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan Menentukan peluang suatu kejadian melalui percobaan Menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis
D. PELUANG 1. RUANG SAMPEL Beberapa istilah yang perlu dipahami adalah ruang sampel, titik sampel dan kejadian. Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel sering disebut Ruang Contoh. Banyaknya anggota atau unsur dalam ruang sampel dinotasikan dengan 𝑛(𝑆) atau 𝑛.
Titik sampel (Titik Contoh) adalah unsur-unsur yang terdapat dalam 2|
ruang sampel. Himpunan beberapa atau seluruh ruang sampel disebut kejadian (event). Contoh :
1) Carilah ruang sampel pada pelemparan 2 mata uang dan 3 mata uang. 2) Carilah ruang sampel pada pelemparan satu mata uang dan sebuah dadu. 3) Carilah ruang sampel pada pelemparan dua buah dadu. Jawab :
3|
2. PELUANG KEJADIAN Penentuan peluang suatu kejadian dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu pendekatan frekuensi relatif (nisbi), pendekatan definisi peluang klasik dan penggunaan ruang sampel. Salah satu cara yang dipakai dalam mencari peluang suatu kejadian adalah penggunaan ruang sampel. Adapun pendefinisiannya adalah sebagai berikut:
𝑃(𝐴) =
𝑛 (𝐴) 𝑛 (𝑆)
Keterangan : 𝑃 (𝐴) : Peluang Kejadian A 𝑛 (𝐴) : banyaknya kejadian A 𝑛 (𝑆) : banyaknya ruang sampel
Contoh : 1) Tiga keping uang logam ditos bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya paling sedikit 1 angka. 2) Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan komposit. 3) Jika seperangkat kartu bridge dikocok maka tentukan peluang munculnya kartu As 4) Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, hitunglah peluang muncul mata dadu yang berjumlah : a. Kurang dari 6 b. Bilangan prima 5) Sebuah kotak berisi 10 kelereng, 6 buah berwarna merah dan 4 buah berwarna kuning. Jika dari kotak itu diambil 3 kelereng secara acak, hitunglah peluang yang terambil : a. Semuanya berwarna kuning b. 1 kelereng merah dan 2 kelereng kuning c. 2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning
4|
Jawab :
3. KISARAN NILAI PELUANG Pada teori himpunan : ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑆 dengan ∅ = himpunan kosong, A himpunan kejadian acak yang tidak kosong, dan S himpunan ruang sampel. Banyaknya anggota dari hubungan teori himpunan ditentukan oleh :
𝑛(∅) ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆) 0 ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆) Bagilah ketiga ruas dengan 𝑛(𝑠), diperoleh : 5|
0 𝑛 (𝐴 ) 𝑛 (𝑆 ) ≤ ≤ 𝑛 ( 𝑠 ) 𝑛 (𝑆 ) 𝑛 (𝑆 ) 0 ≤ 𝑃 (𝐴 ) ≤ 1 Nilai 𝑃(𝐴) = 0 disebut peluang kejadian mustahil atau tidak mungkin terjadi. Nilai 𝑃(𝐴) = 1 disebut peluang kejadian pasti. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Himpunan bukan A ditulis
𝐴′, 𝐴̅ ataupun 𝐴𝑐 sering disebut komplemen
dari A. Berdasarkan definisi peluang berdasarkan ruang sampel, maka peluang komplemen suatu kejadian dapat dicari sebagai berikut :
Hubungan antara 𝑛(𝐴), 𝑛(𝐴𝑐 ) dan 𝑛(𝑆) adalah : 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐴𝑐 ) = 𝑛(𝑆) Jika masing-masing ruas dibagi oleh 𝑛(𝑆) diperoleh : 𝑛(𝐴) 𝑛 (𝐴𝑐 ) 𝑛(𝑆) + = 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) Berdasarkan hasil diatas diperoleh : 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴) Contoh : 1. Hari ini cuaca mendung. Peluang hari ini tidak turun hujan adalah 0,13 . Berapa peluang hari ini turun hujan ? 2. Peluang A memenangkan pertandingan catur melawan B adalah
1 3
.
Tentukan peluang bahwa A akan memenangkan paling sedikit satu dari 3 pertandingan itu.
Jawab :
6|
4. FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN Dalam matematika kata harapan sering disebut sebagai frekuensi harapan. Frekuensi harapan kejadian A ditulis 𝐹ℎ(𝐴) . Dalam suatu percobaan, A adalah kejadian dan peluang kejadian A adalah 𝑃(𝐴). Frekuensi harapan kejadian A dalam N percobaan ditentukan oleh formula berikut :
𝐹ℎ(𝐴) = 𝑃(𝐴) × 𝑁 Contoh : 1. Diketahui peluang seorang terkena penyakit flu burung 0,04. Berapa di antara 5.250 orang diperkirakan tidak terkena flu burung ? 2. Peluang seekor anjing mengidap rabies 0,23 . Jika jumlah anjing yang tidak rabies 154 ekor, maka tentukan jumlah anjing yang diperiksa ?
Jawab :
5. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK A. Menentukan Peluang Gabungan atau Irisan Beberapa Kejadian Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian
𝐴 ∪ 𝐵 ditentukan dengan formula:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 7|
Contoh : 1. Dua buah dadu bermata enam dilempar bersamaan. Hitunglah peluang bahwa yang terambil bilangan genap pada mata dadu pertama atau jumlahnya 8. 2. Dari pelemparan dua dadu bermata enam satu kali, hitunglah peluang bahwa a. Dadu yang muncul bermata sama atau berjumlah 9. b. Dadu yang muncul tidak ada yang bermata sama dan tidak berjumlah 9. Catatan :
𝐴̅ ∩ 𝐵̅ = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴∪𝐵 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴∩𝐵 3. Peluang muncul kejadian E dan F masing-masing 0,25 dan 0,5. Peluang muncul kedua kejadian itu bersamaan adalah 0,14. Hitunglah peluang muncul bukan E dan bukan F.
Jawab :
8|
B. Menentukan Peluang Kejadian Bersyarat Penentuan formula untuk peluang kejadian bersyarat dapat dilihat berikut ini : a. Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul ditentukan oleh :
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵) , dengan 𝑃(𝐵 ) ≠ 0 𝑃(𝐵)
b. Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul ditentukan oleh :
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴∩𝐵) , dengan 𝑃(𝐴) ≠ 0 𝑃(𝐴)
c. Contoh : 1. Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka prima jika telah muncul angka ganjil ? 2. Tiga lempeng mata uang ditos. Hitunglah peluang muncul ketiganya angka apabila telah muncul paling sedikit satu angka.
Jawab :
9|
C. Menentukan Peluang Dua Kejadian saling Bebas Dua kejadian A dan B disebut kejadian-kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas, maka
𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) × 𝑃 (𝐵 ) Jika A dan B adalah kejadian-kejadian yang tidak saling bebas, maka
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵 ) ≠ 𝑃 (𝐴 ) × 𝑃 ( 𝐵 )
Contoh : 1. Satu dadu dan satu mata uang dilempar sekali bersamaan. Berapa peluang muncul mata dadu 5 dan angka pada mata uang ? 3 2 2. Misalkan peluang lulus UN dari A, B dan C masing-masing adalah , 4 3 2 dan . Hitunglah setiap peluang berikut ini : 3 a. Peluang ketiganya lulus UN b. Peluang hanya 2 orang yang lulus UN c. Peluang paling sedikit 1 orang lulus UN 3. Dari dalam kantong yang berisi 3 bola merah dan 4 bola putih, diambil 2 bola secara berurutan tanpa pengembalian. Tentukan setiap peluang berikut ini. a. Peluang terambil semua merah b. Peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua putih c. Peluang terambil bola kedua putih, jika diketahui bola pertama merah.
Jawab :
10 |
Latihan Soal 1.
Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Tentukan banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang-seling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok.
2.
Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu menempati tempat juara I, maka tentukan banyak foto berbeda yang mungkin tercetak.
3.
Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Tentukan banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320.
4.
Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Tentukan banyak cara memilih pengurus OSIS.
5.
Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Tentukan banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda.
6.
Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru.
7.
Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka tentukan banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan.
8.
Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Tentukan peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki.
9.
Dua buah dadu dilempar undi satu kali. Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 atau 9.
11 |
10. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 8 bola kuning, dan 3 bola biru. Jika dari kotak diambil satu bola secara acak, tentukan peluang terambil bola kuning atau biru. 11. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar bersama satu kali. Tentukan peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan lebih dari 2 pada dadu. 12. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B. 13. Dari dalam kantong berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Tentukan peluang yang terambil 2 kelereng putih. 14. Dua buah bola diambil satu per satu dari sebuah kantong berisi 5 bola berwarna hitam dan 7 bola berwarna hijau. Tentukan peluang terambilnya satu bola hitam tanpa pengembalian dilanjutkan dengan satu bola hijau. 15. Dua buah dadu dilemparkan sebanyak 144 kali. Tentukan frekuensi harapan kejadian munculnya mata dadu bejumlah 8. Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.
12 |
