1 |SMA SANTA ANGELA
STATISTIKA Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letek dan ukuran penyebaran data serta penafsirannya Tujuan Pembelajaran :
Membaca sajian data dalam bentuk diagram garis, diagram lingkaran, dan diagam batang. Menyajikan data dalam bentuk diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang dan ogive Menentukan rataan, median dan modus Memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan
A. Pengertian dan Unsur – Unsur Statistika 1. Pengertian Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran dan penarikan kesimpulan dari data yang berupa angka-angka. 2. Populasi dan Sampel Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti
2 |SMA SANTA ANGELA
Sampel adalah sebagian dari populasi yang akan diteliti 3. Datum dan Data Datum adalah keterangan mengenai suatu hal dapat berupa angka, lambang dan sifat Data adalah kumpulan dari datum 4. Data Kuantitatif dan Kualitatif Data kuantitatif adalah data yang berbentuk bilangan, seperti umur, nilai, tinggi badan, berat badan,dsb. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan, seperti warna, sikap, jenis kelamin, dsb. 5. Langkah-Langkah Membuat Tabel Distribusi Frekuensi a. Menentukan Jangkauan : b. Menetukan banyak kelas (aturan sturges)
c. Menentukan panjang (interval) kelas : d. Setelah
langkah
a-c
dilaksanakan,
kemudian
membuat
tabel
distribusi frekuensi. 6. Penyajian Data Data dapat disajikan dalam bentuk : a. Diagram lingkaran b. Diagram batang ( histogram ) c. Diagram garis (polygon) d. Kurva ogif B. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (Rata-rata)
3 |SMA SANTA ANGELA
Nilai rataan hitung dari data : 𝑥1
𝑥2 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛 didefinisikan sebagai
:
𝑥
𝑛 𝑖=1 𝑥
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
𝑛
Keterangan : 𝑥
rataan hitung (mean)
𝑛
banyak data
𝑥𝑖
data ke-i jumlah (dibaca “sigma” )
Contoh : 1) Hitunglah mean (rata-rata) data dibawah ini : a. 11, 13, 16, 19, 15, 10 b. 8, 8, 7, 6, 8, 12, 7, 8 2) Rata – rata nilai matematika dari 19 siswa adalah 65. Kemudian ditambahkan
nilai
seorang
siswa
sehingga
rata-rata
nilai
matematika menjadi 66. Tentukan nilai matematika siswa yang ditambahkan. 3) Kelas A terdiri dari 45 siswa dan kelas B 40 siswa. Nilai rata-rata ulangan matematika kelas A 17 angka lebih tinggi dari rata-rata kelas B. apabila kedua kelas digabung, maka nilai rata – ratanya menjadi 58. Tentukan rata-rata nilai kelas A.
Jawab :
4 |SMA SANTA ANGELA
2. Modus Modus adalah datum yang sering muncul atau datum yang memiliki frekuensi paling banyak. Kemungkinan adanya modus dari sekumpulan data : tidak ada, satu modus (unimodus), dua modus (bimodus) dan lebih dari 2 modus (multimodus). Contoh : Tentukan modus dari data berikut ini : 1) 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 2) 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 3) 5, 5, 7, 7, 9, 9
Jawab :
Latihan 1 1. Sepuluh orang wanita mempunyai rataan tinggi badan 16 dm sedangkan 20 orang pria mempunyai rataan tinggi badan 17 dm. Tentukan rataan tinggi badan seluruh orang tersebut. 2. Nilai rata-rata hasil ulangan bahasa Indonesia dari 42 siswa adalah 60. Jika nilai dari 2 siswa tidak diikutsertakan dalam perhitungan maka nilai rata-ratanya menjadi 59. Berapa jumlah nilai kedua siswa tersebut ?
5 |SMA SANTA ANGELA
3. Diketahui rataan hitung 15 bilangan adalah 13,4. Rataan hitung 8 bilangan pertama adalah 12,5. Sedangkan rataan hitung 6 bilangan kedua adalah 15. Tentukan bilangan ke-15. 4. Pada sekelompok data yang rata-ratanya 11, ditambahkan data baru yang besarnya 29 sehingga rata-ratanya menjadi 13. Tentukan banyak data asal. 5. Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri atas dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika rataan umur para dokter adalah 35 tahun
dan
rataan
umur
para
jaksa
50
tahun.
Tentukan
perbandingan banyak jaksa dan banyak dokter. 6. Suatu keluarga mempunyai 5 orang anak. Anak termuda berumur dan yang tertua
. Tiga anak lainnya berturut-turut berumur
dan
. Jika rataan umur mereka 16 tahun, maka
tentukan umur anak ke-2. 7. Untuk lulus dalam mata kuliah X, seorang mahasiswa harus mengikuti 10 kali ujian dengan nilai rata-rata 82. Johan telah mengikuti 9 kali ujian dengan nilai rata-rata 80. Berapa nilai yang harus diperoleh Johan pada ujian terakhirnya agar ia lulus dalam mata pelajaran X tersebut ? 8. Perhatikan tabel berikut ini ! Nilai ujian
3
4
5
6
7
8
9
Frekuensi
3
5
12
17
14
6
3
Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Tentukan banyak siswa yang lulus. 9. Tentukan modus dari data berikut ini : a. 5, 4, 7, 5, 8, 8, 8, 5, 7, 9, 5, 7, 9, 10, 8 b. 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5
6 |SMA SANTA ANGELA
10. Modus dari tabel frekuensi berikut adalah : Berat (kg) Banyak siswa
40
43
46
49
52
55
5
8
16
9
7
3
C. Ukuran Letak data 1. Median (Nilai Tengah) Median adalah nilai tengah apabila datanya ganjil, atau rataan dua nilai tengah apabila banyak datanya genap. Definisi diatas dapat ditulis sebagai berikut :
Median (𝑀𝑒 )
𝑋𝑛+1 ; 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 2
𝑥 𝑛 + 𝑥𝑛
2 +1
2
2
; 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
Contoh : Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut ini : a. 11, 5, 9, 7, 18, 5, 12, 15 b. 2, 3, 10, 9, 8, 4, 5, 4, 6, 6
Jawab :
2. Kuartil ( ) Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama. Ilustrasinya sebagai berikut :
𝑄1
𝑄2
𝑄3
7 |SMA SANTA ANGELA
Contoh : Tentukan kuartil-kuartil dari masing-masing data berikut ini : a. 7, 8, 4, 9, 4, 7, 3, 7, 6, 5 b. 9, 7, 6, 8, 9, 7, 4, 6, 5, 6, 8, 7, 7, 8, 5
Jawab :
3. Statistik Lima Serangkai adalah kumpulan kelima hal terpenting dalam data. Adapun penyajian statistik lima serangkai adalah sebagai berikut :
𝑄2 1
3
Contoh : Tentukan statistik lima serangkai data berikut ini : a. 7, 8, 4, 9, 4, 7, 3, 7, 6, 5 b. 5, 7, 7, 7, 6, 4, 1, 2, 7, 4, 5, 3
Jawab :
8 |SMA SANTA ANGELA
4. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga Rataan tiga dan rataan kuartil dapat ditentukan dengan formula berikut ini :
1
Rataan Kuartil (𝑅𝐾) Rataan Tiga (𝑅𝑇)
1 4
2
(𝑄1
(𝑄1
𝑄3 ) 𝑄2
𝑄3 )
Contoh : Tentukan rataan kuartil dan rataan tiga dari data berikut ini : a. 16, 10, 8, 9, 13, 10, 16, 11, 13, 7, 15 b. 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 17
Jawab :
5. Desil ( ) adalah kumpulan datum yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama. Adapun langkah-langkah mencari desil dari suatu data adalah :
1. Letak desil ke-i Dengan 𝑖
𝑖 (𝑛+1) 10
⋯ 9 dan 𝑛
banyak data (𝑛 > 0)
2. Nilai desil dicari dengan : Bilangan asli ⇒ nilai desil
𝑥𝑖 (𝑛+1) 10
𝑖 (𝑛+1) 10
Bukan bilangan asli (pecahan), nilai desil dilakukan dengan pendekatan interpolasi linear 9 |SMA SANTA ANGELA
Contoh : Diberikan sekumpulan bilangan : 20, 22, 22, 24, 24, 26, 28, 30, 29, 34, 32, 32, 38, 36. Hitunglah : a.
2
c.
b.
5
d.
6
Jawab :
D. Ukuran Penyebaran Data (Ukuran Dispersi) 1. Jangkauan, jangkauan antarkuatil, jangkauan semi antarkuartil (simpangan kuartil), langkah, pagar dalam dan pagar luar
a. Jangkauan (Range data) : 𝐽
𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑋𝑚𝑖𝑛
b. Jangkauan antarkuartil (Hamparan) : 𝐻
𝑄3
𝑄1
c. Jangkauan semi antarkuartil (Simpangan kuartil) : 𝑄𝑑 d. Langkah : 𝐿
3
2
e. Pagar Dalam : 𝑃𝐷 f.
Pagar Luar : 𝑃𝐿
3
𝐻
2
(𝑄3
𝑄1 𝑄3
1 2
(𝑄3
𝑄1 )
𝑄1 )
𝐿 𝐿
g. Pencilan adalah data yang berada diluar PD dan PL 10 |SMA SANTA ANGELA
Contoh : Tentukan
jangkauan,
jangkauan
antarkuatil,
simpangan
kuartil,
langkah, pagar dalam, pagar luar dari data berikut ini : a. 30, 27, 3, 5, 18, 29, 48, 13, 14, 49 b. 8, 8, 9, 9, 3, 3, 25, 2, 5, 9
Jawab :
11 |SMA SANTA ANGELA
2. Simpangan rata-rata, (Standar Deviasi)
variansi
(Ragam),
Simpangan
baku
1. Simpangan rata-rata
Adapun formulanya sebagai berikut : 𝑆𝑅
1 𝑛
𝑛 𝑖
𝑥𝑖
𝑥
Keterangan :
𝑥
rataan hitung
𝑥𝑖
datum ke-i
𝑛
banyak data
2. Ragam (Variansi) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi) Adapun formulanya sebagai berikut : a. Ragam (variansi) : 𝑆 2
1 𝑛
𝑛( 𝑖 𝑥𝑖
b. Simpangan Baku (Standar Deviasi) : 𝑆
𝑥)2 𝑆2
Keterangan : 𝑥
rataan hitung
𝑥𝑖
datum ke-i
𝑛
banyak data
Contoh : Tentukan simpangan rata-rata, ragam (variansi) dan simpangan baku (standar deviasi) dari data berikut ini : a. 2, 3, 6, 8, 11 b. 4, 5, 3, 10, 8, 12
12 |SMA SANTA ANGELA
Jawab :
13 |SMA SANTA ANGELA
Latihan 2 1. Rataan nilai ulangan matematika dari 24 siswa adalah 5,25. Jika ditambah dengan nilai seorang siswa yang mengikuti ulangan susulan , maka rataannya naik 0,05. Tentukan nilai ulangan susulan siswa tersebut. 2. Rataan hitung ujian matematika dari 39 orang siswa dalah 45. Jika dari seorang siswa lainnya yang bernama Kasdi digabungkan dengan kelompok itu, maka rataan hitung ujian matematika menjadi 46. Tentukan nilai ujian yang diperoleh Kasdi. 3. Nilai rata-rata 12 anak adalah 75, lalu ditambah nilai dari 14 anak yang rata-ratanya 65 kemudian ditambah lagi dua kelompok anak yang rata-ratanya 40 dan 50. Jika jumlah anak pada kedua kelompok tersebut sama banyak, maka rata-rata nilai dari seluruh anak tersebut menjadi 61. Tentukan jumlah anak seluruhnya. 4. Data dibawah ini menunjukkan nilai matematika dari 40 orang siswa kelas XI di suatu sekolah. adapun datanya sebagai berikut : Nilai
3
4
5
6
7
8
9
Frekuensi
4
6
7
9
6
5
3
Tentukan banyaknya siswa yang mendapat nilai dibawah rata-rata. 5. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa yang berjumlah 40 adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok ini yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam perhitungan maka tentukan nilai rataan yang baru. 6. Tentukan modus, kuartil bawah, median, kuartil atas, statistik lima serangkai, rataan kuartil dan rataan tiga dari data berikut ini : a. 5, 6, 7, 7, 8, 10 b. 10, 12, 17, 12, 10, 12, 16, 11
14 |SMA SANTA ANGELA
7. Tentukan nilai desil ke-2, desil ke-5 dan desil ke-8 dari data berikut ini : a. 15, 13, 7, 16, 11, 10, 13, 9, 16, 8, 10 b. 38, 36, 32, 34, 30, 32, 28, 29, 26, 20, 21, 24, 22 8. Tentukan jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam dan pagar luar data berikut ini : a. 8, 5, 10, 15, 9, 12, 7 b. 25, 30, 28, 34, 40, 20, 24, 36, 32, 33 9. Dari 15 orang pengikut kompetensi matematika diperoleh nilai sebagai berikut : 94, 80, 68, 77, 65, 66, 52, 54, 20, 36, 46, 50, 50, 51, 60. Tentukan nilai pencilan dari data tersebut. 10. Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku dari data berikut ini : a. 3, 4, 7, 6, 8, 8, 7, 5 b. 3, 4, 5, 7, 6, 5, 8, 2, 5
Jawab :
15 |SMA SANTA ANGELA
Jawab :
Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.
16 |SMA SANTA ANGELA
